2014届高考数学(北师大版)一轮复习讲义课件：8.5双曲线

(2)设△ABC 是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以 A、B 为焦点
且过点 C 的双曲线的离心率为( )
1＋ 2 A. 2
1＋ 3 B. 2
C．1＋ 2 D．1＋ 3
答案 (1)A (2)B
解析 (1)设椭圆 C1 的方程为xa221＋yb221＝1(a1＞b1＞0)，
由已知得：2e＝a1＝ca11＝261，53，
变式迁移 1 求与双曲线 16x2－9y2＝－144 有共同焦点，且过点(0,2)的双曲 线方程．
解析 由已知双曲线知1y62 －x92＝1， ∴c＝5，且焦点在 y 轴上． ∴可设所求双曲线方程为ya22－25x－2 a2＝1， 将点(0,2)代入方程得 a2＝4. ∴所求双曲线方程为y42－2x12 ＝1.
变式迁移 2 就 m 的不同取值，讨论方程9－x2m2＋m2y－2 4＝1 所表示的曲线类型．
解析 ①当 9－m2＝m2－4≠0， 即 m＝± 226时，方程所表示的曲线为圆． ②当 9－m2＞0，且 m2－4＞0 且 m≠± 226， 即－3＜m＜－2 或 2＜m＜3 且 m≠± 226时，方程所表示的曲 线为椭圆． ③当(9－m2)(m2－4)＜0 即 m＞3 或 m＜－3 或－2＜m＜2 时，方程所表示的曲线为双 曲线.
另外两个也可知道，特别地如果知道 e，也就知道了 a、b、c 之间的
关系，也就是说 a、b、c 三个字母只需一个字母即可表示：如 e＝ 5，
则b＝ a
5－1＝2，则 b＝2a，c＝
a2＋b2＝
5a，即 b、c 都可用 a 表示．
(6)双曲线通径：过双曲线的焦点且垂直于实轴的弦 AB 叫双曲 线的通径．通径长|AB|＝2ab2.
(5)双曲线的离心率
双曲线的离心率反映了双曲线的开口开阔程度，e＝ca＞1.
由b＝ a
e2－1可知，当 e
＋∞时，b a
＋∞，则双曲线开口就大，
反之开口就小．
注意：①双曲线离心率 e＝ac，∵c＞a，∴e＞1，其中 c2＝a2＋b2.
②由ba＝ e2－1可知，a、b、c、e 四个参数中，只要知道两个，
(2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨 迹是何种曲线.
变式迁移 3
(1)设椭圆 C1 的离心率为153，焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲
线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则
曲线 C2 的标准方程为( ) A.4x22－y322＝1 B.1x322－5y22＝1 C.3x22－y422＝1 D.1x322－1y222＝1
a12－b12＝1， ∴－a222－5b22＝1.
解之，得 a2＝78，b2＝7. 若焦点在 y 轴上，设双曲线的标准方程为ay22－xb22＝1.
a12－b12＝1， 同理，有5a22－－b222＝1.
解之，得 a2＝－7，b2＝－78，舍去． 故所求双曲线的标准方程为 x72－y72＝ 1. 8
解法二：本题也可把双曲线方程设为 Ax2＋By2＝1，用待定系 数法解之．
设所求双曲线的方程为 Ax2＋ By2＝ 1. 将点 M(1,1)、N(－2,5)代入上述方程，得 A＋ B＝ 1， 4A＋25B＝ 1.
解之，得AB＝＝8－ 7，17.
故所求双曲线的标准方程为： x72－y72＝ 1. 8
可，即双曲线的两条渐近线合并为xa22－yb22＝
0，化简即为
y＝
b ±ax.
⑤共渐近线的双曲线系方程
与双曲线xa22－by22＝1 有相同渐近线的双曲线系方程可设为ax22－by22 ＝λ(λ≠0)；以直线mx ＋ny＝0 或mx －ny＝0 为渐近线的双曲线方程为mx22 －ny22＝ λ(λ≠0)．
(4)双曲线的渐近线 经过 A1、A2 任作平行 y 轴的平行线 x＝±a，经过 B1、B2 作 x 轴 的平行线 y＝±b，四条直线围成一个矩形，矩形两条对角线的方程 y ＝±bax，双曲线xa22－by22＝1 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接 近．
我们把 y＝±bax 叫作双曲线的渐近线．
2．双曲线的标准方程 双曲线 标准方程的推 导基本和椭圆 类似， xa22－ yb22＝ 1(a，b ＞ 0) 表示焦点在 x 轴上的双曲线，ya22－xb22＝1(a，b＞0)表示焦点在 y 轴上 的双曲线．
注意：(1)由椭圆的标准方程判断焦点在 x 轴上还是 y 轴上，可 看 x2，y2 下系数的大小，而双曲线标准方程中 x2，y2 前符号相异， 判断焦点在 x 轴上还是 y 轴上，可看 x2、y2 前正负号，若 x2 前的系 数为正，则焦点在 x 轴上，若 y2 前的系数为正，则焦点在 y 轴上， 正所谓椭圆靠大小定焦点位置，双曲线靠正、负定焦点位置．
∵|AA1|＝ 2. (1)当 a＝0 时，轨迹是线段 AA1 的垂直平分线，即 y 轴，方程为 x＝0； (2)当 0＜a＜2 时，轨迹是以 A、A1 为焦点的双曲线； (3)当 a＝2 时，轨迹是两条射线 y＝0(x≥1)或 y＝0(x≤－1)； (4)当 a＞2 时无轨迹． 点评 (1)本题容易出现的失误是对参变量 a 的取值范围划分不 准确，而造成讨论不全面．
(4)求双曲线方程的方法仍然是待定系数法，首先由题意设出方 程基本形式，进而列出关于 a、b、c 的方程组来求解．此时应注意 若要求的双曲线方程两种形式均有可能，应进行分类讨论，不能遗
漏． (5)双曲线方程的一般形式为 Ax2＋By2＝1.(其中 A、B 异号且都
不为零)，此形式一般用于如下情形：仅已知双曲线过两点，求双曲 线方程．
AB＝BC＝2c，作 BD⊥AC 于 D，
则 AC＝2AD＝2 3c，
由双曲线定义知 CA－CB＝2a，
即 2 3c－2c＝2a，
∴e＝ca＝2
32－2＝1＋2
3 .
题型四 共渐近线的双曲线系 例 4.以坐标轴为对称轴的双曲线的两条渐近线恰为圆(x＋2)2＋ y2＝1 的两条切线，则双曲线的离心率为________． 分析 此题是双曲线与圆的知识的初步综合，考查圆的切线和 双曲线的渐近线等知识．
∴e＝2 或23 3.
答案 2 或23 3
点评 当已知双曲线的渐近线方程为xa±yb＝0(或 y＝±mx)时，可 设双曲线的方程为xa22－by22＝λ(或 m2x2－y2＝λ)．其中 λ 为不等于零的 待定常数，以简化运算过程．当 λ＞0 时表示焦点在 x 轴上的双曲线，
当 λ＜0 时表示焦点在 y 轴上的双曲线.
注意：①双曲线有渐近线这是双曲线与椭圆和抛物线的最大不
同．
②画双曲线的图像一般要先画双曲线的渐近线，这样精确．
③在双曲线方程xa22－yb22＝1 中，若 a＝b，那么双曲线的方程为 x2－y2＝a2，渐近线方程为 y＝±x，它们互相垂直，实轴与虚轴等长，
这样的双曲线称为等轴双曲线．
④渐近线的记法只需把“xa22－ yb22＝ 1”中的“1”换成 “0”即
(2)椭圆标准方程中 a、b、c 之间的关系为 a2＝b2＋c2，max{a， b，c}＝a，而双曲线方程中 a、b、c 之间的关系为 c2＝a2＋b2，max{a， b，c}＝c.
(3)根据焦点位置不同，双曲线的标准方程有两种不同形式．与 椭圆不同的是，双曲线中的 a 不一定大于 b.故不能和椭圆那样通过 比较分母的大小来判断焦点位置，而应按 x2、y2 项系数的正负确 定．至于 a、b、c 之间的关系则可借助一个直角三角形来记忆，此 时注意双曲线和椭圆的差异．
(6)与双曲线xa22－ yb22＝1(a＞ 0， b＞0)共焦点的圆锥曲2
＝ λ
1(λ＜
a2，且
λ≠－b2)．
3．双曲线的几何性质(以标准方程xa22－by22＝1(a，b＞0)为例) (1)双曲线的范围(如图所示)
由双曲线方程xa22－by22＝1 可知xa22≥1，从而 x≤－a 或 x≥a，双曲 线在两直线 x＝a，x＝－a 的外侧，是无限延伸的．需要指出的是， 双曲线在直线 x＝－a 和 x＝a 之间没有图像，当|x|无限增大时，|y| 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭曲线．
∴ac11＝＝51，3，
∴焦距为 2c1＝10， 又∵8＜10，∴曲线 C2 是双曲线，设其方程为xa222－yb222＝1(a2＞0，
b2＞0)，
则 a2＝4，c2＝5，∴b22＝52－42＝32， ∴曲线 C2 的方程为4x22－3y22＝1.
(2)如图所示，设双曲线方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)，
题型二 双曲线性质的应用 例 2.已知方程k－x25－|k|y－2 2＝1 的图形是双曲线，那么 k 的取值 范围是( ) A．k＞5 B．k＞5，或－2＜k＜2 C．k＞2，或 k＜－2 D．－2＜k＜2
答案 B 解析 ∵方程的图形是双曲线， ∴(k－5)(|k|－2)＞0.
即|kk－|－52＞＞00，， 或k|k－|－52＜＜00，. 解得 k＞5，或－2＜k＜2. 点评 在双曲线的标准方程中 x2 项和 y2 项的系数是异号的.
解析 由已知双曲线为标准形式下的双曲线，故其两条渐近线 过坐标原点，因此圆的两条切线为过坐标原点的两条切线，由圆的
方程易知圆(x＋2)2＋y2＝1 的两切线方程为 y＝±33x. 故可设双曲线方程为x32－ y2＝ λ.(λ≠0) 当 λ＞0 时，e2＝3λ3＋λ λ＝43，∴e＝23 3. 当 λ＜0 时，e2＝－3λ－＋λ－λ＝4，∴e＝2.
变式迁移 4 求与双曲线x92－1y62 ＝1 有共同渐近线，且过点 P(－3,4 2)的双 曲线方程．
解析
与双曲线x2－ 9
y2 ＝ 16
1
有共同渐近线的双曲线方程可表
示为x92－1y62 ＝m(m≠0)，
由题意 m＝－932－41622＝－1，