苏教版2017高中数学(必修二) 1.2.1平面的基本性质(1) (Word版)
高中数学(苏教版必修2)同步文档第1章 1.2.1 平面的基本性质 Word版含解析
点、线、面之间的位置关系平面的基本性质．借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面．(重点)．会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系．(易错点)．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(重点、难点)[基础·初探]教材整理平面的概念及表示阅读教材～公理以上部分内容，完成下列问题．．概念厚薄平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有，是的．无限延展图－－．表示()图形表示置平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放正方形的的直观图作为平面的直观图(如图－－)．()字母表示α，希腊字母平面通常用β，，表示，也可以用平行四边形的两个相对顶…γ表示，如平面点的字母α、平面等．．点、线、面位置关系的符号表示如果直线⊂平面α，直线⊂平面α，∈，∈，且∈，∈，那么下列说法正确的是．(填序号)①⊂α；②⊄α；③∩α＝；④∩α＝.【解析】∵∈，∈，⊂α，⊂α，∴∈α，∈α.而，确定直线，根据公理可知⊂α.故填①.【答案】①教材整理平面的基本性质阅读教材～，完成下列问题．．平面的基本性质()公理：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点两点都在这个平面内．用符号表示为：⇒⊂α. ()公理：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公的集合是经过这个公共点的一条共点直线．用符号表示为：⇒α∩β＝且∈.()公理：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．．平面的基本性质的推论()推论：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．两条相交直线()推论：经过，有且只有一个平面．()推论：经过两条平行直线，有且只有一个平面．。
高中数学 1.2.1平面的基本性质课件 苏教版必修2
⇒O、C1、M 三点共线．
规律总结：证明点共线的问题，一般转化为证明这些 点是某两个平面的公共点．这样，可根据公理2证明 这些点都在这两个平面的公共直线上．
线共点问题
已知空间四边形 ABCD 中，E、H 分别是边 AB、AD 的中点，F、
G 分别是边 BC、CD 上的点，且CCFB＝CCGD＝23(如右图所示)，求证：
栏
目 链
预习
接
规律总结：判定平面的个数问题关键是要紧紧地抓住已知
典例
条件，要做到不重不漏．平面的确定问题主要是根据已知
条件、公理3及其三个推论来判定平面的个数．
►变式训练 1．过三点能确定__________个平面．
解析：若三点共线能确定无数个平面；若三点不共 线只能确定一个平面． 答案：1个或无数
AO1∈CA⊂1平C 面A1ACC1⇒O∈平面A1ACC1
平面BC1D∩直线A1C＝O⇒O∈平面BC1D
学习
栏
目 链
预习
接
典例
⇒O在平面A1ACC1与平面BC1D的交线上.
AC∩BD＝M⇒M∈平面BC1D且M∈平面A1ACC1
C1∈平面BC1D且C1∈平面A1ACC1
学习
三条直线 EF、GH、AC 交于一点．
栏
分析：欲证三线共点，可证其中两条直线有交点，且该交点在第
目 链
预习
三条直线上．
接
典例
证明：∵E、H 分别是 AB、AD 的中点，∴EH 綊12BD.
∵CCFB＝CCGD＝32，∴FG 綊32BD.
∴EH∥FG，且EH≠FG.
学习
故四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P.
苏教版数学必修二新素养同步讲义：1.2.1 平面的基本性质
1．2点、线、面之间的位置关系1．2.1平面的基本性质1.了解平面的概念．2.理解平面的三个公理及其推论．3．掌握平面的三个公理及其推论的应用，平面的画法和表示方法，以及图形语言与符号语言的互译．1．平面的概念及相关知识(1)平面：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的．(2)画法：通常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于邻边长的2倍，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来．(3)表示方法①一个希腊字母：如α、β、γ等；②两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点；③四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点．2．点、直线、平面之间的关系(1)两个平面的交线若两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线．(2)常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系数学符号表示文字语言表达图形语言表达A∈l 点A在直线l上A∉l 点A在直线l外A∈α点A在平面α内续表数学符号表示文字语言表达图形语言表达A∉α点A在平面α外l⊂α直线l在平面α内l⊄α直线l在平面α外l∩m＝A 直线l，m相交于点Aα∩β＝l 平面α、β相交于直线l3.平面的基本性质(1)公理公理文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内A∈l，B∈l，A∈α，B∈α⇒l⊂α公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线⎩⎪⎨⎪⎧P∈αP∈β⇒α∩β＝l且P∈l公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面三点A，B，C，A∉直线BC⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α推论文字语言图形语言符号语言推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面点A和直线a，且A∉a⇒有且只有一个平面α，使A∈α，a⊂α推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面直线a和b，且a∩b＝O⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面直线a和b，且a∥b，⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面．()(2)22个平面重叠起来要比10个平面重叠起来厚一些．()(3)一条直线在平面α内，可用下图表示．()(4)直线a与直线b相交于点A，可用符号表示为a∩b＝A.()(5)平面ABCD的面积为100 m2.()(6)过三点A，B，C有且只有一个平面．()★★答案★★：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×2．点A在直线l上，直线l在平面α外的符号表示是()A．A∈l，l∉αB．A⊂l，l∉αC．A∈l，l⊄αD．A⊂l，l⊄α★★答案★★：C3．根据图填入相应的符号：A__________平面ABC，A________平面BCD，BD__________平面ABC，平面ABC________平面ACD＝AC.★★答案★★：∈∉⊄∩文字语言、图形语言、符号语言的相互转化(1)用符号语言表示下面的语句，并画出图形．平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.解：(1)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示：(如图1所示)(2)文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图2所示．(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．1.(1)将下列文字语言转化为符号语言．①点A在平面α内，但不在平面β内．②直线a经过平面α外一点M.③直线l在平面α内，又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l)．(2)将下列符号语言转化为图形语言．①a⊂α，b∩α＝A，A∉a.②α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P.解：(1)①A∈α，A∉β.②M∈a，M∉α.③α∩β＝l.(2)点、线共面问题证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．解：已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明：法一：(纳入平面法)因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.又因为l2⊂α，所以B∈α.同理可证C∈α.又因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α.所以直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：(辅助平面法)因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.因为A∈l2，l2⊂α，所以A∈α.因为A∈l2，l2⊂β，所以A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．证明点、线共面的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．2.已知直线a，b，c两两平行，但不共面，求经过其中2条直线的平面个数．解：根据推论3：两条平行直线确定一个平面，又a，b，c两两平行但不共面，故可确定3个平面．点共线、线共点问题如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB、AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．证明：连结EF，D1C，A1B，因为E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点， 所以EF 綊12A 1B .又因为A 1B 綊D 1C ， 所以EF 綊12D 1C ，所以E ，F ，D 1，C 四点共面， 可设D 1F ∩CE ＝P .又D 1F ⊂平面A 1D 1DA ，CE ⊂平面ABCD ， 所以点P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点． 又因为平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ， 所以据公理3可得P ∈DA ， 即CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．若将题目条件中的“E ，F 分别为AB ，AA 1的中点”改成E ，F 分别为AB ，AA 1上的点，且D 1F ∩CE ＝M ，求证：点D 、A 、M 三点共线．证明：因为D 1F ∩CE ＝M ， 且D 1F ⊂平面A 1D 1DA ， 所以M ∈平面A 1D 1DA ， 同理M ∈平面BCDA ， 从而M 在两个平面的交线上， 因为平面A 1D 1DA ∩平面BCDA ＝AD ，所以M ∈AD 成立．所以点D 、A 、M 三点共线．(1)证明三点共线的方法①首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理2可知，这些点都在两个平面的交线上．②选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上． (2)证明三线共点的步骤①说明两条直线共面且交于一点．②说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交．③得到交线也过此点，从而得到三线共点．3.已知三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线相交于同一点．证明：因为α∩γ＝b，β∩γ＝a，所以a⊂γ，b⊂γ.又由于直线a和b不平行，所以a，b必相交．设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.因为a⊂β，b⊂α，所以P∈β，P∈α.又α∩β＝c，所以P∈c，即交线c经过点P.所以a，b，c三条直线相交于同一点．1．立体几何中的平面与平面几何中的平面图形的区别(1)平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们有大小之分，可以度量．(2)立体几何中的平面是无大小、厚薄之分的，是不可度量的，它可以无限延展，没有边界．(3)立体几何中的平面是理想的，绝对平的．2．符号语言的理解立体几何中引用集合的观点，把点看作元素，直线(平面)为点的集合．点与直线(平面)的关系是属于或不属于关系，用符号“∈”或“∉”表示．直线与平面的关系是包含或不包含关系，用符号“⊂”或“⊄”表示．已知直线a∥直线b，直线m与a、b分别交于点A、B.求证：过a、b、m有且只有一个平面．【证明】因为a∥b，所以过a、b有一个平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又A∈m，B∈m，所以m⊂α，a、b、m共面于α.假设过a、b、m有一个异于α的平面β，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β.这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾．所以过a、b、m有且只有一个平面．(1)“有”表示存在，“只有”表示惟一，“且”表示联立命题，所以此类问题的证明既要证明“存在性”又要证明“惟一性”．(2)“存在性”的证明一般由公理或推论得出题设要求的要素即可．(3)证明“惟一性”通常采用“反证法”．即从题设的结论入手，假设结论的反面成立，然后进行推理、论证，推出与条件或定义、定理、公理相矛盾的结论，说明结论反面是不成立的，从而肯定了命题的结论是成立的．1．若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则()A．C∈αB．C∉αC．AB⊄αD．AB∩α＝C★★答案★★：A2．下列说法正确的是()A．三点确定一个平面B．平面α和β有不同在一条直线上的三个交点C．梯形一定是平面图形D．四边形一定是平面图形★★答案★★：C3．一个平面把空间分成________部分，两个平面把空间分成________部分．解析：一个平面把空间分成两部分；两个平面相交时，把空间分成四部分，平行时把空间分成三部分．★★答案★★：24或34．如图，已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于点P，Q，R，求证：P，Q，R三点共线．证明：因为AB∩α＝P，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC，P∈α.所以点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证，点Q和R均在这条交线上．所以P，Q，R三点共线．[A基础达标]1．下面给出了三个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都平行的两条直线．其中，能确定一个平面的条件有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选B.①空间三点共线时不能确定一个平面．②点在直线上时不能确定一个平面．③和直线a都平行的两直线平行，能确定一个平面．故选B.2．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，那么() A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A.因为M∈a，N∈b，a⊂α，b⊂α，所以M∈α，N∈α.而M，N确定直线l，根据公理1可知，l⊂α.故选A.3．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合解析：选C.选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．4．空间四点A，B，C，D共面但不共线，那么这四点中()A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线解析：选B.若AB∥CD，则AB，CD共面，但A，B，C，D任何三点都不共线，故排除A，C；若直线l与直线外一点A在同一平面内，且B，C，D三点在直线l上，所以排除D.故选B.5.如图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D解析：选D.根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.6．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．解析：当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．★★答案★★：1或2或37．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．解析：如图，因为AC∥BD，所以AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.因为l∩α＝O，所以O∈α.又因为O∈AB⊂β，所以O∈直线CD，所以O，C，D三点共线．★★答案★★：共线8．如图所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________．(把正确图形的序号都填上)解析：图形①中，连结MN，PQ(图略)，则由正方体的性质得MN∥PQ，根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形①正确．分析可知③中四点共面，②④中四点均不共面．★★答案★★：①③9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)直线AC1在平面CC1B1B内；(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D 的交线为OO1；(3)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；(4)由A，C1，B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一个平面．解：(1)错误．如图所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1⊄平面CC1B1B.(2)正确．如图所示．因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.(3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以A，B1，C1，D共面．10．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．证明：如图．(1)因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1，在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF、BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)正方体AC 1中，设平面A 1ACC 1确定的平面为α，又设平面BDEF 为β.因为Q ∈A 1C 1，所以Q ∈α.又Q ∈EF ，所以Q ∈β.则Q 是α与β的公共点，同理P 是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ .又A 1C ∩β＝R ，所以R ∈A 1C .所以R ∈α，且R ∈β，则R ∈PQ .故P ，Q ，R 三点共线．[B 能力提升]1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1，那么正方体的过点M ，N ，C 1的截面图形是( ) A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形解析：选C.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1.如图，延长C 1M 交CD 于点P ，延长C 1N 交CB 于点Q ，连结PQ 交AD 于点E ，AB 于点F ，连结NF ，ME ，则正方体的过点M ，N ，C 1的截面图形是五边形，故选C.2．已知A 、B 、C 、D 为不共面的四点，E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、DA 上，(1)如果EH ∩FG ＝P ，那么点P 在________上；(2)如果EF ∩GH ＝Q ，那么点Q 在________上．解析：(1)如图，由AB 、AD 确定平面α.因为E 、H 在AB 、DA 上，所以E ∈α，H ∈α，所以直线EH ⊂α，又因为EH ∩FG ＝P ，所以P ∈EH ，P ∈α.设BC 、CD 确定平面β，同理可证，P ∈β，所以P 是平面α，β的公共点，因为α∩β＝BD ，所以点P 在直线BD 上．同理可证(2)点Q 在直线AC 上．★★答案★★：(1)BD所在的直线(2)AC所在的直线3．在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于点E，F，G，H.求证：E，F，G，H必在同一直线上．证明：因为AB∥CD，所以四边形ABCD是一个平面图形，即AB，CD确定一个平面β，则AB⊂β，AD⊂β.因为E∈AB，所以E∈β，因为H∈AD，所以H∈β.又因为E∈α，H∈α，所以α∩β＝EH.因为DC⊂β，G∈DC，所以G∈β.又因为G∈α，所以点G在α与β的交线EH上．同理，点F在α与β的交线EH上．所以E，F，G，H四点共线．4．(选做题)如图，定线段AB所在的直线与定平面α相交，交点为O，P为定直线外一点，P∉α，直线AP，BP与平面α分别相交于A′，B′，试问，如果P点任意移动，直线A′B′是否恒过一定点，请说明理由．解：随着P点移动，直线A′B′恒过定点O，O为直线AB与平面α的交点．理由如下：直线AB和直线外一点P可确定平面β，因为AP∩α＝A′，BP∩α＝B′，所以α∩β＝A′B′，而AB∩α＝O，所以O一定在交线A′B′上，即直线A′B′恒过定点O.。
高中数学 1.2.1平面的基本性质课件1课件 苏教版必修2
第七页，共30页。
l
一条直线(zhíxiàn)可以把平面分成两 部分，我们所画的只是一条直线(zhíxiàn) 的一部分，因此，刚才所说的物体如果是 平的，也只是它所在平面的一部分.
言：
公理2可以帮助我们解决哪些几何问题？
⑴判断两个平面是否相交；
⑵判定点是否在直线上.
如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直
线叫做这两个平面的交线.
第二十页，共30页。
【例1】已知命题：
数学(shùxué) 运用
①10个平面重叠(chóngdié)起来，要比5 个平面
重叠(chóngdié)起来厚；
第一页，共30页。
第二页，共30页。
第三页，共30页。
第四页，共30页。
情境(qíngjìng) 引入
问题1：平静(píngjìng)的湖面，广阔的草 原，这些
问题2：如画何面形会象给(你xín留gx下ià怎ng样)直的观印的象在呢纸？上 表示平面？
如何表示点与直线，直线与平面
的位置关系？
第五页，共30页。
一个平面面可(p以íng把m空ià间n)可(k以ōn把gj空iān间)分 成几 成部两分部呢分？.
第八页，共30页。
2. 平面(píngmiàn)的 画法通常我们画出直线的一部分来表示
直线；同样地，我们也可以画出平面 (píngmiàn)的一部分来表示平面 (píng当m我ià们n)从.(“适借当代的”角) 度和距离来观察桌
与正方体表面的交线； (2)试作出平面(píngmiàn)A1C1M与 平面 (píngmiàn)ABCD的交
高中数学 1.2.1平面的基本性质(1)课件 苏教版必修2
若直尺的两个端点在桌面内,问直尺所在直 线(zhíxiàn)上各点与桌面所在平面有何关系?
结论:
如果一条直线上的两个点在一个平面内,
那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
第九页，共23页。
《平面的基本性质》 江苏教育出版社
如果一条直线(zhíxiàn)上的两个点在一个平面内, 那么这条直线(zhíxiàn)上所有的点都在这个平面内.
表A示为:
B 直线AB
公理1说明平面是“平的”.
第十二页，共23页。
《平面(píngmiàn)的基本性质》 江苏教育出版社
把一本书的一角立在桌面(zhuōmiàn)上,观察这本 书所在的平面与桌面(zhuōmiàn)所在平面有几个 公共点?
第十三页，共23页。
《平面的基本(jīběn)性质》 江苏教育出版社
第五页，共23页。
《平面的基本性质》 江苏教育出版社
平面(píngmiàn)的表示：
（1）图形 (túxíng)语言
（2）符号语言
平面通常用希腊字母α，β，γ …来表示，也可以 (kěyǐ)用表示平行四边形的对角顶点的字母来表示.
D
C
α
β
A
B
第六页，共23页。
《平面的基本性质》 江苏教育出版社
把直尺和桌面分别看作一条直线和一个(yī ɡè)平面.
第十七页，共23页。
《平面的基本(jīběn)性质》 江苏教育出版社
β
α
ι
P
如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公 共点,这些公共点的集合是经过这个(zhè ge)公共 点的一条直线.
第十八页，共23页。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 1.2.1 平面的基本性质》3
平面的基本性质（2）（1课时）一、教材分析立体几何是研究三维空间中物体的形状，大小和位置的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间。
平面是立体几何的重要组成部分，所以研究平面的基本性质，是学习立体几何的理论基础，是今后推动论证的出发点和依据。
上节课我们已经对公理1，公理2进行了学习，初步了解了平面的基本性质，本节课则将一步研究共面的相关问题，为后面的面与面的位置关系作好铺垫。
二、教学目标1知识目标：（1）了解平面基本性质的公理3和3个推论, 了解它们各自的作用；（2）能运用平面的基本性质解决一些简单的问题2能力目标：通过本节课的学习，进一步认识和理解点线面之间的关系，培养学生观察，直观感知，思辨论证的能力，也进一步培养学生的空间想象力。
3情感目标：在学习和论证的过程中，培养学生积极主动，勇于探索的学习方式，完善学生的学习思维，激发学生对立体几何的学习的兴趣。
三、教学重点本节课的教学重点是理解公理三和三个推论，会运用这三个推论解决一些立体几何共面的相关问题。
四、教学难点本节课的教学难点是理解点和线的共面问题，会利用公理和推论证明共面问题。
五、教学方法：直观观察法，动手操作法六、教具准备：三角板，课件七、教学过程（一）复习巩固问题1：上节课我们学习了哪几个公理？它们的图形以及符号表示？生1：公理1：如果一条直线上的两个点在平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内生2：公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有的这些点的集合是一条过这个点的直线师：回答的很好，请大家一起来回顾一下（PPT 投影） （二）问题情境导入问题2：用手指头将一本书平衡地摆方在空间某一位置，至少需要几个手指头？ 师：请同学拿出书本感受一下，并分小组讨论作答。
生：三个手指头师：请问这三个手指头有什么位置要求吗？ 生：不共线师：很好，如果我们把三个小手指头看成是三个点，那么我们又会得出什么结论呢？ 生：不共线的三点确定一个平面。
高中数学必修2苏教版配套课件：1.2.1 平面的基本性质
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2
．
公
理
1.(1)
文
字
语
言
：
如
果
____________________________________________ ，那么 一条直线上的两点在一个平面内
___________________________________________ ． 这条直线上所有的点都在这个平面内 (2)符号语言：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α______ l⊂α． 3．公理2.(1)文字语言：如果两个平面有一个公共点 __________，那
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么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是
________________________ 经过这个公共点的一条直线． (2)符号语言：P∈α，P∈β__________________ ． α∩β＝l，P∈l
4 ．公理 3.(1) 文字语言：经过 __________________ 不在同一条直线上 的三 点，__________ 有且只有 一个平面． (2) 符 号 语 言 ： A∈l ， B∈l ， Cl __________________________________ ． 三点A、B、C确定唯一平面α 一条直线和这条直线外的一点 ，有且 5．推论1：经过____________________________
题型2
点共线问题
例2 正方体ABCDA1B1C1D1中，对角线A1C与平面 BDC1交于点O，AC、BD交于点M，求证：点C1、O、 M三点共线．
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分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同
在两个相交平面内即可．
证明：如下图所示，A1A∥C1C确定平面A1C.
高中数学 1.2.1平面的基本性质(1)教案 苏教版必修2
1.2.1 平面的基本性质（1）
教学目标：
1. 初步理解平面的概念；
2. 了解平面的基本性质（公理1，2，3）；
3. 能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；
4. 能运用平面的基本性质解决一些简单的问题．
教材分析及教材内容的定位：
教材首先从生活中的草原、湖面等抽象出平面的描述性概念．教学中要让学生认识到平面是没有厚薄的，是无限延展的．进而阐述平面的基本性质即公理，它们是研究立体几何的理论基础，是今后推理论证的出发点和依据．教学中应重视文字语言、图形语言和符号语言的相互转换．
教学重点：
平面的基本性质．
教学难点：
正确使用图形语言、符号语言表示平面的基本性质.
教学方法：
实验、探究、发现
教学过程：
一、问题情境
投影
立体几何平面几何
现实生活中有哪些事物能够给我们以平面的形象，它们的共同特征主要有哪些？
二、学生活动
思考、联想列举出诸如平静的水面、广阔的平原、光滑的桌面、黑板面等等平面的形象．进而归纳出它们的共同特征是平坦的、与厚薄无关．
三、建构数学
符号表示: AB
B α
α
⇒⊂⎬
∈⎭
思考：公理1的作用是什么？
它是判定直线在平面内的依据，同时说明了平面的无限延展性(因为直线是向无穷远处延伸的).
实验2：
αβ=且
l
P
可以帮助我们解决哪些几何问题？
）判断两个平面是否相交；（2）判定点是否在直线上，证明点共线问题。
高中数学1.2.1平面的基本性质精品课件苏教版必修
解：依据公理 2，应找出平面 D′EF 和平面 ABCD 的两个公共点．如图所示，延长 D′E 交 DA 的延长线于点 M，延长 D′F 交 DC 的延长 线于点 N，则 M、N 就是平面 D′EF 与平面 ABCD 的两个公共点，直线 MN 就是两个平面 的交线．
2.如图， 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， E、 F、 G、H、M、N 分别为正方体相应棱的中点，求 证：E、F、G、H、M、N 这六点共面．
面相交时，把空间分成四部分，平行时把空
间分成三部分．
2.“线段AB在平面α内，直线AB不全在平面α
内”这一说法是否正确，为什么？ 提示：不正确．
∵线段AB在平面α内，
∴线段AB上的所有点都在平面α内， ∴线段AB上的A、B两点一定在平面α内， ∴直线AB在平面α内．(公理1)
做一做
3.下列命题中，不正确的是________(填序号)． ①平面是无限延展的；
设两腰EG、FH相交于一点T.
∵EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD， ∴T∈平面ABC，且T∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD＝AC，
∴T∈AC. ∴直线EG、FH、AC相交于一点T.
备选例题
1.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F分别是
棱AA′、CC′的中点，试画出平面D′EF与平面 ABCD的交线．
第1章
立体几何初步
1．2 点、线、面之间的位置关系 1．2.1 平面的基本性质
学习导航
学习目标 1.了解平面的概念，体会平面的基 本属性，会用图形与字母表示平面；
2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之
间的位置关系； 3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个
公理和三个推论，理解三个公
高中数学第1章立体几何初步1.2.1平面的基本性质讲义苏教版必修2
1.2.1 平面的基本性质1．平面的概念及表示(1)平面的概念平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有厚薄，是无限延展的．(2)平面的表示方法①图形表示平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图所示)．②字母表示平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等．(3)点、线、面位置关系的符号表示(1)平面的基本性质①公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫A ∈αB ∈α⇒AB α．②公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫P ∈αP ∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l ．③公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面． (2)公理3的推论①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． ②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． ③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．1．如果直线a 平面α，直线b 平面α，M ∈a ，N ∈b ，且M ∈l ，N ∈l ，那么下列说法正确的是( )A ．l αB ．l αC ．l ∩α＝MD ．l ∩α＝NA [∵M ∈a ，N ∈b ，a α，b α，∴M ∈α，N ∈α.而M ，N 确定直线l ，根据公理1可知l α.故选A.] 2．下列说法正确的是( ) A ．三点可以确定一个平面B ．一条直线和一个点可以确定一个平面C ．四边形是平面图形D ．两条相交直线可以确定一个平面D [A 错误，不共线的三点可以确定一个平面． B 错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面． C 错误，四边形不一定是平面图形． D 正确，两条相交直线可以确定一个平面．] 3．如图所示，用符号可表达为________．α∩β＝m ，n α且m ∩n ＝A [由题图可知平面α与平面β相交于直线m ，且直线n 在平面α内，且与直线m 相交于点A ，故用符号可表示为：α∩β＝m ，n α且m ∩n ＝A .]①②(2)用符号语言表示语句：“平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC”，并画出图形．思路探究：根据点、线、面之间位置关系及符号表示相互转化．[解](1)①α∩β＝l，mα，nβ，l∩n＝P，l∥m.②α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∩b∩c＝O，a∩γ＝O.(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.图形表示：1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“”表示，直线与平面的位置关系只能用“”或“”表示．3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．1．根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．(1) (2)图(1)可以用几何符号表示为________________．图(2)可以用几何符号表示为________________．[答案](1)α∩β＝AB，aα，bβ，a∥AB，b∥AB，a∥b(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，Al，Bl思路探究：法一：a，b确定一个平面→l在平面内→a，c，l共面→a，b，c，l共面法二：a，b确定一个平面→b，c确定另一个平面→两平面重合[证明]如图．法一：∵a∥b，∴a，b确定平面α.又∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴l上有两点A，B在α内，即直线lα.∴a，b，l共面．同理，a，c，l共面，即c也在a，l确定的平面内．故a，b，c，l共面．法二：∵a∥b，∴过a，b确定平面α，又∵A∈a，B∈b，∴ABα，即lα.又∵b∥c，∴过b，c确定平面β，而B∈b，C∈c，∴BCβ，即lβ.∴b，lα，b，lβ，而b∩l＝B，∴α与β重合，故a，b，c，l共面．在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．确定一个平面的方法有：①直线和直线外一点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面；③两条相交直线确定一个平面．(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．2．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．[解] 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：∵l 1∩l 2＝A ，∴l 1，l 2确定一个平面α. ∵l 2∩l 3＝B ，∴l 2，l 3确定一个平面β. ∵A ∈l 2，l 2α，∴A ∈α. ∵A ∈l 2，l 2∈β，∴A ∈β.同理可证B ∈α，B ∈β，C ∈α，C ∈β.∴不共线的三个点A ，B ，C 既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l 1，l 2，l 3在同一平面内．1．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？[提示] 由下边的图可知它们不是相交于一点，而是相交于一条直线．2．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．试问CE ，D 1F ，DA 三线是否交于一点？为什么？[提示] 交于一点．证明：如图所示，连结EF ，D 1C ，A 1B . ∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点， ∴EF 12A 1B .又∵A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥D 1C ， ∴E ，F ，D 1，C 四点共面， 且EF ＝12D 1C ，∴D 1F 与CE 相交于点P . 又D 1F 平面A 1D 1DA ，CE 平面ABCD .∴P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点． 又平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ， 根据公理3，可得P ∈DA ， 即CE ，D 1F ，DA 相交于一点．【例3】 如图所示，在四面体ABCD 中，E ，G 分别为BC ，AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3，求证：EF ，GH ，BD 交于一点．思路探究：先证明GH 和EF 共面且交于一点O ，然后说明O 是平面ABD 和平面BCD 的公共点，而平面ABD 和平面BCD 相交于直线BD ，根据公理2，两平面相交，有且只有一条交线．因此点O 在交线上，即点O 在直线BD 上．从而证明了直线EF ，GH ，BD 都过点O .[证明] ∵E ，G 分别为BC ，AB 的中点， ∴GE ∥AC ，GE ＝12AC .又DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3， ∴FH ∥AC ，FH ＝25AC .∴FH ∥GE ，FH ≠GE .∴四边形EFHG 是一个梯形，GH 和EF 交于一点O . ∵O 在平面ABD 内，又在平面BCD 内， ∴O 在这两平面的交线上．而这两个平面的交线是BD ，且交线只有这一条， ∴点O 在直线BD 上． ∴EF ，GH ，BD 交于一点．证明点共线、线共点的关键是构造相交平面后，证明点在相交平面的交线上，即由公理2完成证明，即先说明两直线共面交于一点，然后说明该点在两个平面内，从而该点又在这两个平面的交线上．3．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，R 分别在棱AB ，BB 1，CC 1上，且DP ，RQ 相交于点O .求证：O ，B ，C 三点共线．[证明] 如图，可知平面AC ∩平面BC 1＝BC .⎭⎬⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫QR 平面BC 1，O ∈RQ⇒O ∈平面BC 1⎭⎪⎬⎪⎫DP 平面AC ，O ∈DP⇒O ∈平面AC⇒O 为平面BC 1与平面AC 的公共点 又∵平面AC ∩平面BC 1＝BC ，∴O ∈BC ， 即O ，B ，C 三点共线．1．本节课的重点是理解平面的概念，会画一个平面并会表示平面，会用符号语言表示空间点、直线、平面之间的位置关系．难点是掌握三个公理并会简单应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)理解平面的概念及空间图形画法要求．(2)文字语言、符号语言、图形语言的转换方法．(3)证明点、线共面的方法．(4)证明点共线、线共点的方法．3．本节课的易错点是平面基本性质运用中忽略重要条件．1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述不正确的个数( )①A∈a，aα⇒Aα；②A∈a，a∈α⇒A∈α；③Aa，aα⇒Aα；④A∈a，aα⇒Aα.A．1 B．2C．3 D．4D[①不正确，如a∩α＝A；②不正确，“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，Aa，aα，但A∈α；④不正确，“Aα”表述错误．]2.如图所示，点A∈α，Bα，Cα，则平面ABC与平面α的交点的个数是______个．无数[因为如果两个平面有一个公共点，那么它们必然相交，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线，所以平面ABC与平面α的交点有无数个．]3．空间三条直线a，b，c，若它们两两平行，则最多能确定平面的个数为________个．3[当三条直线不共面时确定平面个数最多，为3个．]4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并说明理由．[解]设AC∩BD＝M，C1D∩CD1＝N，连结MN，则平面ACD1∩平面BDC1＝MN，如图．理由如下：∵点M∈平面ACD1，点N平面ACD1，所以MN平面ACD1.同理，MN平面BDC1，∴平面ACD1∩平面BDC1＝MN，即MN是平面ACD1与平面BDC1的交线．。
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1.2.1 平面的基本性质（1）
教学目标：
1. 初步理解平面的概念；
2. 了解平面的基本性质（公理1，2，3）；
3. 能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；
4. 能运用平面的基本性质解决一些简单的问题．
教材分析及教材内容的定位：
教材首先从生活中的草原、湖面等抽象出平面的描述性概念．教学中要让学生认识到平面是没有厚薄的，是无限延展的．进而阐述平面的基本性质即公理，它们是研究立体几何的理论基础，是今后推理论证的出发点和依据．教学中应重视文字语言、图形语言和符号语言的相互转换．
教学重点：
平面的基本性质．
教学难点：
正确使用图形语言、符号语言表示平面的基本性质.
教学方法：
实验、探究、发现
教学过程：
一、问题情境
投影
立体几何平面几何
现实生活中有哪些事物能够给我们以平面的形象，它们的共同特征主要有哪些？
二、学生活动
思考、联想列举出诸如平静的水面、广阔的平原、光滑的桌面、黑板面等等平面的形象．进而归纳出它们的共同特征是平坦的、与厚薄无关．
三、建构数学
符号表示: AB
B α
α
⇒⊂⎬
∈⎭
思考：公理1的作用是什么？
它是判定直线在平面内的依据，同时说明了平面的无限延展性(因为直线是向无穷远处延伸的).
实验2：。