1.4 .1充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
5 4
，所
以m≥58，即实数m的取值范围是{ m|m≥58}.
(备选题)已知p：x2＋x－6＝0，q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分
条件，求m的值．
解：解x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3.解mx＋1＝0(m≠0)得x＝－m1 .令A
＝{2，－3}，B＝
－m1
，因为q是p的充分条件，所以B⊆A.当－
1 m
＝2
时，m＝－12；当－m1 ＝－3时，m＝31.所以m＝－12或m＝13.
题型深度探究
题型1◆充分条件的判断 典例1 设x∈R，则使x>3.14成立的一个充分条件是( C ) A．x>3 B．x<3 C．x>4 D．x<4
解析：因为x>4⇒x>3.14，所以x>3.14的一个充分条件是x>4.
典例2 判断下列各题中，p是否是q的充分条件．
(1)p：a∈Q，q：a∈R；(2)p：a<b，q：
3－m 2
≥
3＋m 2
，解得m≤0，此时A⊆B，符合题意；②若A≠∅，即
3－m 2
<3＋2 m，解得m>0，要使A⊆B，应有33－ ＋22 mm≥ ≤03， ，
解
m>0，
得0<m≤3.综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}．
利用充分条件或必要条件求参数的思路 根据充分条件或必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转 化，再根据充分条件或必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的 两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
判断下列各题中，p是否是q的充分条件． (1)p：x2＝y2，q：x＝y；(2)p：整数a能被4整除，q：整数a的个位数 字为偶数； (3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
新人教版高中数学必修一1.4.1充分条件与必要条件
学习目标
1.理解充分条件和必要条件的含义. 2.会判断两个条件间的充分必要关系.
思考？
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些 是假命题？ 1.若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形 是菱形； 2.若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； 3.若x２-４x＋３＝０，则x＝１； 4.若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b．
（5）若ab=0，则a=0 ；
（6）若方程ax2+bx+c=0( a 0)有两个不等的实数解， 则 b2-4ac>0．
充分条件必要条件的判定
1.如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的__充__要_条件，
记为__p_⇔_q_.
2．如果p⇏q且q⇏p，则p是q的__既_不_充__分_也_不_必__要条件． 3．如果p⇒q且q⇏p，则称p是q的_充__分_不__必_要_条件． 4．如果p⇏q且q⇒p，则称p是q的__必_要__不_充__分__条件.
或“p与q等价”． (3)p⇔q，有条件p时，q一定成立，无条件p时，q
一定不成立.
课 堂 练 习2
1.对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是( ) A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 [答案] B
是( )
A．x＝－1 2
C．x＝5
B．x＝－1 D．x＝0
[答案] B
[解析] 本题考查了两向量垂直的坐标运算．
∵a＝(2x＋1,2)，b＝(2,1)，a⊥b，
∴a·b＝(2x＋1,2)·(2,1)＝2(2x＋1)＋2＝0，即x＝－1.
1.4.1充分条件与必要条件
1
∠1+ ∠3=180o .
②//的必要条件：
∠1= ∠2， ∠1= ∠4 .
∠1+ ∠3=180o .
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三、充分条件、必要条件与集合的关系
(1)若 ⇒ ,
则是的充分条件 . ∈ ⇒ ∈
分条件.
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例1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的
充分条件？
(4)若 = ，则 = ；
(5)若 = ，则 = ；
(6)若, 都是无理数，则为无理数 .
解：(4)由于 − = , 但− ≠ , ⇏ ，所以不是的
充分条件.
命题的结论
3
二、充分条件与必要条件
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可
以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作
⇒
此时，如果q不
并且说
成立，则p一定
是的充分条件(sufficient condition)
不成立.所以，
是的必要条件(necessary condition) q对于p成立而
必要条件？
(4)若 = ，则 = ；
(5)若 = ，则 = ；
(6)若为无理数 ，则, 都是无理数.
解：(4)显然, ⇒ ，所以是的必要条件.
(5) × = × , 但 ≠ ， ⇏ ，所以不是的必
要条件.
作 者 ： 湛 江 市第五 中学钟 景荣
(5)由等式的性质知， ⇒ ，所以是的充分条件.
(6)设 = = 都是无理数,但 × = 是有理数,
⇏ ,所以不是的充分条件.
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第一章 1.4.1 充分条件与必要条件
§1.4充分条件与必要条件1．4.1充分条件与必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题．知识点充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒q p⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件思考1若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？答案不唯一．例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2”“x>3”或“2<x<3”等．思考2p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？答案相同，都是p⇒q.思考3以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p 的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？答案等价．1．若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的________条件．答案必要解析因为两个三角形全等，所以这两个三角形相似，即q⇒p，所以p是q的必要条件．2．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．答案充分解析因为A⊆B，所以x∈A⇒x∈B，所以“x∈A”是“x∈B”的充分条件．3．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件．答案必要解析∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p，∴p是q的必要条件．4．p：a＝0，q：ab＝0，则p是q的________条件．答案充分解析因为当a＝0时，一定有ab＝0成立，即p⇒q，所以p是q的充分条件．一、充分条件的判断例1指出下列哪些命题中p是q的充分条件？(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB；(2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0；(3)已知x∈R，p：x>1，q：x>2.解(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件．(2)由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件．(3)方法一由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件．方法二设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，所以B⊆A，所以p不是q的充分条件．反思感悟充分条件的判断方法(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件．跟踪训练1“x>2”是“x2>4”的________条件．答案充分解析x>2⇒x2>4，故x>2是x2>4的充分条件．二、必要条件的判断例2指出下列哪些命题中q是p的必要条件？(1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(2)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(3)p：a>b，q：ac>bc.解(1)因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件．(2)因为p⇒q，所以q是p的必要条件．(3)因为p⇏q，所以q不是p的必要条件．(学生)反思感悟必要条件的判断方法(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件．(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件．跟踪训练2指出下列哪些命题中q是p的必要条件？(1)p：∠A和∠B是对顶角，q：∠A＝∠B；(2)p：|x|>2，q：x>2.解(1)因为对顶角相等，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．(2)因为当|x|>2时，x>2或x<－2，所以p⇏q，所以q不是p的必要条件．三、充分条件与必要条件的应用例3已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．解p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}．q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为p⇒q，所以A⊆B，所以⎩⎨⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0⇒－23≤a <0，所以a 的取值范围是－23≤a <0.(教师) 延伸探究将本例中条件p 改为“实数x 满足a <x <3a ，其中a >0”，若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围．解 p ：a <x <3a ，即集合A ＝{x |a <x <3a }． q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为q ⇒p ，所以B ⊆A ，所以⎩⎨⎧3a >3，a <－2，a >0⇒a ∈∅.反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．跟踪训练3 已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 －1≤a ≤5解析 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.1．若p 是q 的充分条件，则q 是p 的( ) A ．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．既是充分条件又是必要条件答案 B解析因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．2．“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的()A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件又是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件答案 B解析因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件．3．使x>3成立的一个充分条件是()A．x>4 B．x>0C．x>2 D．x<2答案 A解析只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3.4．已知命题p：a是末位是0的整数，q：a能被5整除，则p是q的________条件；q是p 的________条件．(用“充分”“必要”填空)答案充分必要解析因为p⇒q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件．5．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．答案a≤1解析因为x>1⇒x>a，所以a≤1.1．知识清单：(1)充分条件、必要条件的概念．(2)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(3)充分条件、必要条件的判断．(4)充分条件与必要条件的应用．2．方法归纳：等价转化．3．常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值．1．(多选)使ab>0成立的充分条件是()A．a>0，b>0 B．a＋b>0C．a<0，b<0 D．a>1，b>1答案ACD解析因为a>0，b>0⇒ab>0；a<0，b<0⇒ab>0；a>1，b>1⇒ab>0，所以选项ACD都是使ab>0成立的充分条件．2．使x>1成立的一个必要条件是()A．x>0 B．x>3C．x>2 D．x<2答案 A解析只有x>1⇒x>0，其他选项均不可由x>1推出．3．下列命题中，p是q的充分条件的是()A．p：ab≠0，q：a≠0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：a>b答案 A解析根据充分条件的概念逐一判断．只有ab≠0⇒a≠0.4．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．既是充分条件又是必要条件答案 A解析∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，即a＝3⇒A⊆B，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分条件．5．(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是()A．p：a是无理数，q：a2是无理数B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等C．p：x>2，q：x≥1D．p：a>b，q：ac2>bc2答案BC解析A中，a＝2是无理数，a2＝2是有理数，所以p不是q的充分条件；B中，因为等腰梯形的对角线相等，所以p是q的充分条件；C中，x>2⇒x≥1，所以p是q的充分条件；D中，当c＝0时ac2＝bc2，所以p不是q的充分条件．6．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)．答案必要充分解析由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．7．下列说法不正确的是________．(只填序号)①“x>5”是“x>4”的充分条件；②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；③“－2<x<2”是“x<2”的充分条件．答案②解析②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确．8．条件p：2－x>0，条件q：x<a，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________．答案{a|a≥2}解析p：x<2，若p是q的充分条件，则p⇒q，即p对应集合是q对应集合的子集，故a≥2. 9．指出下列命题中，p是q的什么条件？(1)p ：x 2＝2x ＋1，q ：x ＝2x ＋1； (2)p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＋b ＝0；(3)p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0. 解 (1)∵x 2＝2x ＋1⇏x ＝2x ＋1，x ＝2x ＋1⇒x 2＝2x ＋1，∴p 是q 的必要条件．(2)∵a 2＋b 2＝0⇒a ＝b ＝0⇒a ＋b ＝0，a ＋b ＝0⇏a 2＋b 2＝0，∴p 是q 的充分条件． (3)∵(x －1)2＋(y －2)2＝0⇒x ＝1且y ＝2⇒(x －1)·(y －2)＝0， 而(x －1)(y －2)＝0⇏ (x －1)2＋(y －2)2＝0，∴p 是q 的充分条件．10．已知p ：－1<x <3，若－a <x －1<a 是p 的一个必要条件，求使a >b 恒成立的实数b 的取值范围．解 由于p ：－1<x <3，又由－a <x －1<a ，得1－a <x <1＋a ， 依题意，得{x |－1<x <3}⊆{x |1－a <x <1＋a }，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤－1，1＋a ≥3，解得a ≥2，则使a >b 恒成立的实数b 的取值范围是{b |b <2}．11．设x ，y 是两个实数，命题：“x ，y 中至少有一个数大于1”的充分条件是( ) A ．x ＋y ＝2 B ．x ＋y >2 C ．x 2＋y 2>2 D ．xy >1答案 B解析 对于选项A ，当x ＝1，y ＝1时，满足x ＋y ＝2，但命题不成立；对于选项C ，D ，当x ＝－2，y ＝－3时，满足x 2＋y 2>2，xy >1，但命题不成立，也不符合题意．12．集合A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |－a <x －b <a }．若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( ) A ．{b |－2≤b <0} B ．{b |0<b ≤2} C ．{b |－2<b <2} D ．{b |－2≤b ≤2}答案 C解析 A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |－a <x －b <a }＝{x |b －a <x <b ＋a }． 因为“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1，即－2<b<2.13．设命题p：k>5，b<5，命题q：一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x 轴于正半轴，则p是q的________条件；q是p的________条件．(用“充分”“必要”填空) 答案充分必要解析当k>5，b<5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的图象如图所示，此时一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件．14．已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a.若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为________．答案{a|a≤－9}解析∵q：x<1＋a或x>1－a，∴a≤0.∵p是q的必要条件，∴q⇒p，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a≤－2，1－a≥10，a≤0，解得a≤－9.15．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么()A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件答案 A解析因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇏丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇏丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．16．(1)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的充分条件？ (2)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的必要条件？ 解 (1)欲使2x ＋m <0是x <－1或x >3的充分条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊆{x |x <－1或x >3}， 即只需－m2≤－1，所以m ≥2.故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的充分条件．(2)欲使2x ＋m <0是x <－1或x >3的必要条件，则只要{x |x <－1或x >3}⊆⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2， 这是不可能的．故不存在实数m ，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的必要条件．。
1.4.1 充分条件与必要条件
1.4充分条件与必要条件1.4.1充分条件与必要条件课标要求素养要求1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.通过对必要条件、充分条件的学习和理解，体会必要条件、充分条件等常用逻辑用语在数学表达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理素养与数学抽象素养.新知探究某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯.这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示.问题(1)A开关闭合时B灯一定亮吗？(2)B灯亮时A开关一定闭合吗？提示(1)一定亮.(2)不一定，还可能是C开关闭合.1.充分条件与必要条件区分概念中充分条件与必要条件的推出符号的箭头方向(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p q，此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.2.判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.拓展深化[微判断]1.若p是q的充分条件，则p是唯一的.(×)提示不是唯一的，使结论成立的条件有多个.2.“若q，则p”是真命题，则p是q的必要条件.(√)3.“x＝3”是“x2＝9”的充分条件.(√)4.“ab>0”是“a>0，b>0”的必要条件.(√)[微训练]1.“x>2”是“x>3”的________条件(填“充分”或“必要”).答案必要2.“a＝b”是“ac＝bc”的______条件(填“充分”或“必要”).答案充分[微思考]你能将下面的性质定理写成“若p，则q”的形式，并用必要条件的语言表述吗？(1)平行四边形的对角线相互平分；(2)菱形的对角线互相垂直.提示(1)“平行四边形的对角线相互平分”可表述为“若平面四边形为平行四边形，则它的对角线相互平分”，所以“对角线相互平分”是“平面四边形是平行四边形”的必要条件.(2)“菱形的对角线互相垂直”可表述为“若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直”，所以“对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件.题型一命题真假的判断【例1】判断下列命题的真假：(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；(2)若x∈N，则x3>x2成立；(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆.解(1)假命题.反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命题.反例：当x＝0时，x3>x2不成立.(3)真命题.∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根.(4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆.规律方法要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.【训练1】下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平面内，四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________.解析①④是真命题，②平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形.答案①④题型二充分条件、必要条件的判断【例2】给出下列四组命题：(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(4)p：a>b，q：ac>bc.试分别指出p是q的什么条件.解(1)∵两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，∴p是q的必要条件但不是充分条件.(2)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q，而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q p.∴p是q的充分条件但不是必要条件.(3)∵p⇒q且q⇒p，∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件.(4)∵p q，且q p，∴p是q的既不是充分条件，也不是必要条件.规律方法一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p.【训练2】指出下列哪些命题中p是q的充分条件？(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB.(2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0.解 (1)在△ABC 中，由大角对大边知，∠B >∠C ⇒AC >AB ，所以p 是q 的充分条件.(2)由x ＝1⇒(x －1)(x －2)＝0， 故p 是q 的充分条件.故(1)(2)命题中p 是q 的充分条件.题型三 根据必要条件(充分条件)求参数的范围【例3】 (1)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________.(2)已知p ：a ≤x ≤a ＋1，q ：0<x <4，若p 是q 的充分条件但不是必要条件，则a 的取值范围是________.解析 (1)因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.(2)令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |0<x <4}. ∵p 是q 的充分条件但不是必要条件，∴M N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3. 答案 (1){a |－1≤a ≤5} (2){a |0<a <3}规律方法 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.【训练3】 (1)若“x <m ”是“x >2或x <1”的充分条件但不是必要条件，求m 的取值范围.(2)已知p ：x <－3或x >1，q ：x >a ，且q 是p 的充分条件但不是必要条件，求a 的取值范围.解(1)由已知条件知{x|x<m}{x|x>2或x<1}.∴m≤1.∴m的取值范围是{m|m≤1}.(2)由已知条件得{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.∴a的取值范围是{a|a≥1}.一、素养落地1.通过学习充分条件与必要条件的概念提升数学抽象素养，通过判断充分条件与必要条件及其应用培养逻辑推理素养.2.充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接利用定义进行判断.(2)利用集合间的包含关系进行判断.3.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，注意转化与化归思想的应用.二、素养训练1.若p：a∈M∪N，q：a∈M，则p是q的()A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.既是充分条件，也是必要条件D.既不是充分条件，也不是必要条件解析由a∈M∪N a∈M，但a∈M⇒a∈M∪N，即p q，但q⇒p.答案 B2.“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的()A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.既不是充分条件，也不是必要条件D.既是充分条件，也是必要条件 解析 ∵－2<x <1x >1或x <－1，且x >1或x <－1－2<x <1，∴“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不是充分条件，也不是必要条件. 答案 C3.下列命题中，p 是q 的充分条件的是( ) A.p ：ab ≠0，q ：a ≠0B.p ：a 2＋b 2≥0，q ：a ≥0且b ≥0C.p ：x 2>1，q ：x >1D.p ：a >b ，q ：a >b解析 根据充分条件的概念逐一判断. 答案 A4.若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的( ) A.充分条件 B.必要条件C.既不是充分条件，也不是必要条件D.无法判断解析 当a ＝1时，|a |＝1成立，但|a |＝1时，a ＝±1，所以a ＝1不一定成立. ∴“a ＝1”是“|a |＝1”的充分条件. 答案 A5.若“x >m ”是“x >3或x <1”的充分条件但不是必要条件，求m 的取值范围. 解 由已知条件，知{x |x >m }{x |x >3或x <1}.∴m ≥3.∴m 的取值范围是[3，＋∞). 三、审题答题示范(一) 利用充分条件(必要条件)求参数范围【典型示例】 (12分)已知条件p ：x <1－a 或x >1＋a ①和条件q ：x <12或x >1②，求使p 是q 的充分条件但不是必要条件③的最小正整数a ④. 联想解题看到①转化成集合形式. 看到②转化成集合形式.看到③想到需转化为条件p 与条件q 对应集合间的包含关系，然后建立关于a 的不等式组求解.看到④想到求出的是a 的一个范围，然后在此基础上求出最小正整数a . 满分示范解 依题意a ＞0.由条件p ：x <1－a 或x >1＋a ， 可设M ＝{x |x <1－a 或x >1＋a }，1分由条件q ：x <12或x >1，可设N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <12或x >1.2分 要使p 是q 的充分条件但不是必要条件，则M N ，应有⎩⎨⎧1－a ≤12，1＋a ＞1或⎩⎨⎧1－a ＜12，1＋a ≥1，解得a ≥12.10分令a ＝1，则M ＝{x |x <0或x >2}N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <12或x >1.即p ⇒q ，反之不成立. ∴a ＝1.12分 满分心得解本题的关键是条件“p 是q 的充分条件但不是必要条件”的转化，利用两个解集间的包含关系建立不等关系求解.基础达标一、选择题1.使x>3成立的一个充分条件是()A.x>4B.x>0C.x>2D.x<2解析只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3.答案 A2.下列语句是命题的是()A.今天天气真好啊！B.你怎么又没交作业？C.x>2D.方程x2＋2x＋3＝0无实根解析A是一个感叹句，不能判断真假，所以不是命题；B是问句，不能判断真假，不是命题；C不知道x的值是多少，所以不能判断真假，不是命题；D是真命题.答案 D3.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.既是充分条件，也是必要条件D.既不是充分条件，也不是必要条件解析x≥2且y≥2可以推出x2＋y2≥4，但x＝1且y＝3满足x2＋y2≥4但不满足x≥2且y≥2，故选A.答案 A4.设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分条件但不是必要条件是()A.x＋y＝2B.x＋y>2C.x2＋y2>2D.xy>1解析对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意.答案 B5.下列说法正确的是()A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B.语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D.“x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题解析命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误；语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以选项B错误；选项C错误，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；选项D正确.答案 D二、填空题6.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件.解析若“四边形ABCD为菱形”，则“对角线AC⊥BD”成立；而若“对角线AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD不一定为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件但不是必要条件.答案充分条件但不是必要7.下列说法不正确的是________(填序号).①“x>5”是“x>4”的充分条件；②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；③“－2<x<2”是“x<2”的充分条件.解析②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确.答案②8.下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以作为|x|<1的一个充分条件的所有序号为____________________.解析由于|x|<1即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意. 答案②③④三、解答题9.判断下列语句中哪些是命题，是真命题还是假命题：(1)末位是0的整数能被5整除；(2)平行四边形的对角线相等且互相平分；(3)对顶角相等；(4)二次函数的图象一定开口向上吗？解(1)是命题，真命题；(2)是命题，假命题.因为平行四边形的对角线不一定相等；(3)是命题，真命题；(4)不是命题，因为该语句不是陈述句.10.下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1.解(1)∵a＋b＝0a2＋b2＝0，a2＋b2＝0⇒a＋b＝0.∴p是q的必要条件但不是充分条件.(2)∵四边形的对角线相等四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线相等.∴p是q的必要条件但不是充分条件.(3)∵x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，∴p是q的充分条件，也是必要条件.能力提升11.已知集合A＝{x∈R|－1<x<3}，B＝{x∈R|－1<x<m＋1}，若x∈B成立的一个充分条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )A.{m |m ≥2}B.{m |m ≤2}C.{m |m >2}D.{m |－2<m <2}解析 因为x ∈B 成立的一个充分条件是x ∈A ，所以A ⊆B ，所以3≤m ＋1，即m ≥2. 答案 A12. 是否存在实数p ，使4x ＋p <0是x >2或x <－1的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；否则，说明理由.解 令A ＝{x |x >2或x <－1}.由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－p 4. 当B ⊆A 时，即－p 4≤－1，即p ≥4，此时x <－p 4≤－1⇒x >2或x <－1，∴当p ≥4时，4x ＋p <0是x >2或x <－1的充分条件.创新猜想13.(多选题)有以下说法，其中正确的为( )A.“m 是有理数”是“m 是实数”的充分条件B.“x ∈A ∩B ”是“x ∈A ”的必要条件C.“x 2－2x －3＝0”是“x ＝3”的必要条件D.“x >3”是“x 2>4”的充分条件解析 因为m 是有理数⇒m 是实数，但m 是实数D ⇒/m 是有理数，因此“m 是有理数”是“m 是实数”的充分条件；x ∈A ∩B ⇒x ∈A ，但x ∈AD ⇒/x ∈A ∩B ，因此“x ∈A ∩B ”是“x ∈A ”的充分条件；因为x ＝3⇒x 2－2x －3＝0，但x 2－2x －3＝0⇒x ＝3或x ＝－1，因此“x 2－2x －3＝0”是“x ＝3”的必要条件；因为x >3⇒x 2>4，但x 2>4⇒x >2或x <－2，因此“x >3”是“x 2>4”的充分条件.故选ACD.答案 ACD14.(多选题)下列式子：①－2<x<2；②－2≤x≤2；③0<x<2；④－2<x<0.其中，可以是x2<4的一个必要条件的是()A.①B.②C.③D.④解析∵x2<4，∴－2<x<2，∴①②是x2<4的必要条件.答案AB。
人教版高中数学新教材必修第一册课件：1.4.1 充分条件与必要条件
（3）“xy > 0”是“ |x+y|=|x|+|y|”的 充分
条件。
（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除”
的 充分 条件。
课本第20页第1题
讲
课
人
：
邢
启
强
课本第20页第2题
13
本节考试常考什么？
【充分条件，必要条件，充要条件的判断】
【题1·定义法】判断下列各题中p是q的什么条件？
q是p的必要条件(necessary condition).
讲
课
人
：
邢
启
强
定义:“如果若p则q” 为假命题是指由条件
q 此时，
p不能推出结论q，记作 p
我们说p不是q的充分条件，q不是p的必
要条件.
6
学习新知
如何正确理解充分条件与必要条件
1、充分条件的特征是：
当p成立时，必有q成立，
但当p不成立时，未必有q不成立。
①p: − 3 = 0，q: − 2 − 3 = 0；
【解】因为 − 3 = 0 ⇒ − 2 − 3 ，但 − 2 − 3 ⇏ − 3 = 0，
所以p是q的充分不必要条件；
②p:两个三角形相似，q:两个三角形全等；
【解】因为相似不一定全等，但全等一定相似，即p⇏q，q⇒p，
练习： 判断下列命题的真假：
讲
课
人
：
邢
启
强
（1）x=2是x2 –4x+4=0的必要条件； 真命题：
真命题。 12
（2）ab≠0是a≠0的充分条件。
应用新知
用符号“充分”或“必要”填空：
（1）“0<x <5”是“ x – 2 <3”的充分
1.4.1充分条件与必要条件
（4）所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件
是足以保证的；所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．
（三）充分条件与必要条件的判断
例1.(1)下列命题中，p是q的充分条件的是________．
①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；
q的必要条件．
[答案]
（2）
（二）充分条件与必要条件
【做一做】
用“充分条件”或“必要条件”填空：
（1）
______________；
（2）四边形的对角线互相垂直是四边形为菱形的________.
[答案]
充分条件 必要条件
（三）充分条件与必要条件的判断
【类题通法】
充分、必要条件的判断方法
(1) 定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．
1.4.1 充分条件与必要条件
（一）新知导入
探索交流，解决问题
【问题1】 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
(1) 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
(2) 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等．
(3)
(4) 若平面内两条直线a 和 b均垂直于直线l,则
设 A＝{x|x 满足条件 p}，B＝{x|x 满足条件 q}
A⊆B
p 是 q 的充分条件；q 是 p 的必要条件
B⊆A
q 是 p 的充分条件；p 是 q 的必要条件
（三）充分条件与必要条件的判断
【巩固练习1】
指出下列各组命题中，p是q的什么条件：
1.4.1.充分条件与必要条件
【习练·破】 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p
的必要条件? (1)若a是1的平方根,则a=1. (2)若4x2-mx+9是完全平方式,则m=12. (3)若a是无理数,则a是无限小数. (4)若a与b互为相反数,则a与b的绝对值相等.
2.x,y∈R,下列各式中哪个是“xy≠0”的必要条
件? ( )
A.x+y=0
B.x2+y2>0
C.x-y=0
D.x3+y3≠0
3.在平面内,下列是“四边形是矩形”的充分条件的 是( ) A.四边形是平行四边形且对角线相等 B.四边形两组对边相等 C.四边形的对角线互相平分 D.四边形的对角线垂直
1.4 充分条件与必要条件 1.4.1 充分条件与必要条件
1.充分条件与必要条件
命题 真假
推出 关系
条件 关系
“若p,则q”是真命 题
p⇒q
p是q的充分条件 q是p的必要条件
“若p,则q”是假命 题p⇒qp不是来自的充分条件 q不是p的必要条件
【思考】 在逻辑推理中,p⇒q能表达成哪几种说法? 提示:以下5种说法: ①“若p,则q”为真命题;②p是q的充分条件;③q是p 的必要条件;④q的充分条件是p;⑤p的必要条件是q.
(5)在△ABC中,若A>B,则BC>AC.
(6)已知a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0.
【类题·通】 充分条件的两种判断方法
(1)定义法:
(2)命题判断方法: 如果命题:“若p,则q”是真命题,则p是q的充分条件; 如果命题:“若p,则q”是假命题,则p不是q的充分条件.
【习练·破】 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q
1.4.1充分条件与必要条件-人教A版(2021)高中数学必修第一册同步讲义
第一章集合与常用逻辑用语1.4．1充分条件与必要条件【课程标准】1、理解充分条件、必要条件的概念，并会判断．2、可以通过已知关系探讨参数取值范围．【知识要点归纳】1．命题（1）概念：能够判断真假的陈述句（2）命题举例2．充分条件与必要条件首先将命题改写成“若p，则q”的形式．【经典例题】()()()()()(]()()()()22123114(2)(3)035--1--16=1=178p x Z q x R p x q x p x q x p a a q a p x q x p x q x p x y q xy ∈∈>>∈∞∈∞：，：；：是矩形，：是正方形；：，：；：－－＝，：＝；：，，：，；：，：；：、是无理数，：是无理数；若四边形是菱形，则这个四边形的对角线相互垂直。
例2已知p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0.若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．例3 是否存在实数p ，使得x 2－x －2>0的一个充分条件是4x ＋p <0，若存在，求出p 的取值范围，否则，说明理由．【当堂检测】1． 已知2:{|230}p A x x x =--，:{|||3}q B x x m =->，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．2．已知全集U R =，若集合{|24}A x x =-<<，{|0}B x x m =-<．（1）当3m =，求()U A B ；（2）若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数m 的取值范围．3．设集合2{|280}A x x x =+-<，22{|430}B x x ax a =-+=．（1）若x A ∈是x B ∈的必要条件，求实数a 的取值范围；4．已知集合2{|230}A x x x =--，22{|290}B x x mx m =-+-<，m R ∈．（1）若3m =，求A B ；（2）命题:P x A ∈，命题:Q x B ∈，若P 是Q 的充分条件，求实数m 的取值范围．当堂检测答案1．已知2:{|230}p A x x x =--，:{|||3}q B x x m =->，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【分析】先求出2:{|230}p A x x x =--，:{|||3}q B x x m =->，的集合范围，由p 是q 的充分条件，得A B ⊆，即可求得实数m 的取值范围．【解答】解：由题意得{|13}A x x =-，{|3B x x m =<-或3}x m >+，因为p 是q 的充分条件，所以A B ⊆，所以33m ->或31m +<-，解得6m >或4m <-，故实数m 的取值范围是(-∞，4)(6-⋃，)+∞．【点评】本题考查了充分必要条件的判断，考查了集合子集等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．2．已知全集U R =，若集合{|24}A x x =-<<，{|0}B x x m =-<．（1）当3m =，求()U A B ；（2）若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数m 的取值范围．【分析】（1）根据集合的基本运算，求A B ．（2）利用x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，即可求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）当3m =，{|30}{|3}B x x x x =-<=<，则{|3}U B x x =，则(){|34}U A B x x =<；（2）{|}B x x m =<，x A ∈是x B ∈的充分条件，4m ∴，故实数m 的取值范围为[4，)+∞．【点评】本题主要考查不等式的解法以及集合的基本运算，充分条件和必要条件的应用．综合性较强．3．设集合2{|280}A x x x =+-<，22{|430}B x x ax a =-+=．（1）若x A ∈是x B ∈的必要条件，求实数a 的取值范围；【分析】（1）化简集合A 、B ，由x A ∈是x B ∈的必要条件，得B A ⊆，即可求得实数a 的取值范围．（2）由A B ≠∅成立，得到实数a 的关系式，即可求得实数a 的取值范围．【解答】解：集合2{|280}{|42}A x x x x x =+-<=-<<，22{|430}{|()(3)0}{|B x x ax a x x a x a x x a =-+==--===，3}x a =，（1）若x A ∈是x B ∈的必要条件，则424243233a B A a a -<<⎧⊆∴⇒-<<⎨-<<⎩， 故实数a 的取值范围是4(3-，2)3． （2）假设存在a 使A B ≠∅成立，则42a -<<或432a -<<，42a ∴-<<， 故存在实数a ，使A B ≠∅成立，实数a 的取值范围是(4,2)-．【点评】本题考查了集合运算及集合之间的关系，属于基础题．4．已知集合2{|230}A x x x =--，22{|290}B x x mx m =-+-<，m R ∈．（1）若3m =，求A B ；（2）命题:P x A ∈，命题:Q x B ∈，若P 是Q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【分析】（1）若3m =，求出集合A ，B 即可求得A B ；（2）根据P 是Q 的充分条件得到A B ⊆，建立不等式关系即可得到结论．【解答】解：（1）2{|230}{|13}A x x x x x =--=-，22{|290}{|33}B x x mx m x m x m =-+-<=-<<+，若3m =，则{|06}B x x =<<，则{|03}A B x x =<；（2）若P 是Q 的充分条件，则A B ⊆，即3133m m --⎧⎨+⎩，解得解得02m ． 【点评】本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的判断，求出集合的等价条件是解决本题的关键，属于基础题．。
1.4.1+充分条件与必要条件课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
不是的子集
×
q 不是 p 的充分条件，即p不是q的必要条件
不必要
p是q的充分不必要条件
作者编号：32101
即
(3)若一元二次方程 2 + + = 0有两个不相等的实数根，则 < 0；
逆命题：若 < 0，则一元二次方程 2 + + = 0有两个不相等的实数根.
若x=1，则x 2 =1
真命题
2.命题的常见形式：“若p，则q”
其中“p”叫做命题的条件，“q”叫做命题的结论。
作者编号：32101
新知探究
新课讲授
1.一般地，“若p，则q”为真命题
指：由“p”可ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ推出“q”
记作：p⟹ q
并且说，p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件
以上两种不同的说法是对同一推导关系的表达
(3)若一元二次方程 2 + + = 0有两个不相等的实数根，则 < 0；
(4)若x＞y，则x2＞y2.
作者编号：32101
思考：下列“若，则”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的
解析 选项AC中，p都是q的充要条件.
选项B中，p是q的充分不必要条件.
选项D中，p是q的充分不必要条件.
作者编号：32101
练3.若“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要条件，则a的取值范围是( B )
A.{a|a≥3}
B.{a|a≤-1}
C.{a|-1≤a≤3}