八年级上册数学-第1章第5课时k的几何意义
反比例函数中k的几何意义及应用.
反比例函数中k的几何意义及应用.例析反比例函数中k 的几何意义及应用陆智勇(云南省广南县篆角初级中学邮编：663312 电话：135********) 反比例函数中k 的几何意义就是反比例函数图象上的任意一点的横坐标与纵坐标的乘积都等于比例系数K 的值，如图①所示.过P 作x 轴、y 轴的垂线PA 、PB ，垂足为A 、B ，连结OP,则有（１）AOBP S 矩形=PA ·PB=|y|·|x|=|xy|=|k|；（２）K PA OA S S BOP AOP 2121=?==??.能灵活运用这两个结论解有关反比例函数的问题，会给解题带来很多方便。
现略举说明。
一、求交点坐标和面积例1如图②，已知反比例函数与xy 8-=一次函数2+-=x y 的图象交于Ａ、Ｂ两点。
（１）求Ａ，Ｂ两点的坐标；（２）求△ＡＯＢ的面积。
图②+-=-=.2,8)1(:x y x y 联立解??=-=-==.4,2;2,4y x y x 或解得).2,4(),4,2(--∴B A ).0,2(,2,0,2:)2(M x y x y ==+-=时当解法一二、比较面积的大小例2如图⑤，在χχ(1=y ＞0）的图像上有三点A,B,C,经过三点分别向χ轴引垂线，交χ轴于111,,C B A 三点，连接OA ，OB ，OC ，记△,1OAA △,1OBB △,1OCC 的面积分别为,,,321S S S 则有 ..642=+=+=∴OAM OMB AOB S S S .,D x BD C x AC 轴于轴于作⊥⊥,2,4==BD AC ,2222121=??=??=∴?BD OM S OMB .4422121=??=??=?AC OM S OMA ). 2,0(,2,0,2:)2(N y x x y ==+-=时当解法二图⑤.2=∴ON .,D y BD C y AC 轴于轴于作⊥⊥,4,2==BD AC ,4422 121=??=??=∴?BD ON S ONB.2222121=??=??=?AC ON S ONA .624=+=+=∴O NA O NB AO B S S SA.S 1 = S 2 = S 3B. S 1 < S 2 < S 3C. S 3 < S 1 < S 2D. S 1 > S 2 >S 3 解:由性质(1)得三、确定解析式例3如图⑥，反比例函数K xKy (=﹤0) 的图象经过点A （,3-m ），过A 作AB ⊥χ轴于点B ，.3=?AO B S （1）求K 和m 的值.(2)若过A 点的直线y=a χ+b 与χ轴交于点C ，且∠ACO=30, 求直线的解析式.解: (1)由性质(2)得,21K S AOB =∴.213K =.,,21||21,21||21,21||21321111A S S S k S k S k S OOC BOB AOA 故选即========.32=K ,图像在二、四象限又 .32-=∴K .32χ-=∴y 解析式为得代入，把（χ32)3-=-y m 图⑥(2)①连接，2AC 则在Rt △AB 2C 中，∵AB=2，∠A 2C O=30,.32,422==∴BC AC.322=-=∴BO BC OC ).0,32的坐标为（C ∴得）代入，（和（把b a y A C +=-χ23)0,32② 连接，1AC 则在Rt △AB 1C 中，∵AB=2，∠A 1C O=30,.32,411==∴BC AC.3311=+=∴BO BC OC ).0,331-∴的坐标为（C.133+-=∴χy 解析式为=+-=+.23,03)1(:b a b a 解??=-=.1,33b a 解方程组得.2=m得）代入，（和（把b a y A C +=--χ23)0,331四、求函数值例4两个反比例函数χχ6,3==y y 在第一象限内的图象如图⑦所示,2005321...,P P P P ，点在反比例函数χ6=y 的图象上，它们的横坐标分别是,...,2005321χχχχ，纵坐标分别是1，3，5，…,共2005个连续奇数, 2005321...,P P P P ，过点分别作y 轴的平行线，χ3=y 与的图象的交点依次),,(),,(),,(332222111y Q y Q y Q χχχ …, ),,(200520052005χχQ 则=2005y .解: 2005321...,P P P P ，点在反比例函数χ6=y 的图象上，它们的纵坐标分别取1,3,5…,4009时相应的横坐标分别=+-=+-.23,033b a b a ??==.3,33b a 解方程组得.333+=∴χy 解析式为图⑦图⑧为,40096,...,56,36,16),,(),,(),,(332222111y Q y Q y Q χχχ…, ),,(200520052005χχQ 函数的图象上，χ3=y 且这些点的横坐标分别与点2005321...,P P P P ，横坐标相同, 的点2005Q 横坐标是.40096所以的点2005Q 纵坐标是=2005y χ3=.24009400963= 五、确定K 的取值范围例5如图⑧所示，已知一次函数8+-=χy 和反比例函数χKy =(K ≠0)的图象在第一象限内有两个不同的公共点A 、B.(1)求实数K 的取值范围;(2)若△AOB 的面积S=24,求K 的值..082=+-k χχ依据题意得△=64-4K ＞0,∴K ＜16.设两公共点的坐标为).y ,(),y ,(2211χχB A 又1χ＞0, 2χ＞0,∴1χ+2χ=8＞0, 1χ2χ=K ＞0. ∴实数K 的取值范围为0＜K ＜16.(2)在y=-χ+8中，令χ=0，得y=8，∴OC=8.(4212112=?-?=-=χχOC OC S S S COA COB AOB 2χ-1χ) =.2446444)(421221=-=-+K χχχχ得消去联立解y Ky y ??=+-=.,8)1(:χχ∴.6464=-K ∴K=7.六、确定自变量χ的取值范围例6如图⑨是一次函数和b K y +=χ1和反比例函数χmy =2的图象，观察图象写出1y ＞2y 时，χ的取值范围 .解:由图⑨得y ＞2y ，χmy =2的图象在一、三象限，∴第三象限χ的取值范围为-2＜χ＜0.第一象限χ的取值范围为χ＞3.∴图象1y ＞2y 时，χ的取值范围为-2＜χ＜0或χ＞3. 七、求点的坐标例7如图⑩所示，正方形OABC 、正方形ADEF 的顶点A 、D 、C 在坐标轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在函数χ1=y （χ＞0）的图象上，则点E 的坐标是（）.的增大而增大，随χ1y .2的增大而增小随χy M ＞0 图⑨)215,215.(-+A )253,253.(-+B )215,215.(+-C )253,253.(+-D 解：连接OB ，则.1,12121==∴?=?=?AOB AB OA AB OA S连接OE ，则,12121?=?=?O DE OD S DE 设则,a AD DE == ,01,1)12=-+=+a a a a 即（=1a 解得.(215,2152舍去）--=-a .2512151,215+=-+=+=-=∴AD OA OD DE ∴点E 的坐标是).215,215(-+图⑩。
反比例函数中K的几何意义课件
k值决定了反比例函数图像的形状和 位置。
详细描述
在反比例函数y=k/x中，k值决定了图 像的形状和位置。当k>0时，图像出 现在第一象限和第三象限；当k<0时 ，图像出现在第二象限和第四象限。
k的正负与图像的位置
总结词
k的正负决定了图像所在的象限。
详细描述
当k>0时，图像分布在第一象限和第三象限；当k<0时，图像分布在第二象限和 第四象限。
拓展反比例函数的应用领域
随着科学技术的发展，反比例函数的应用领域也在不断扩大。未来我们可以尝试将反比例 函数应用于其他领域，如经济学、生物学等，以解决实际问题。
探索与其他数学知识的联系
反比例函数作为数学中的一个重要概念，与其他数学知识有着密切的联系。未来我们可以 进一步探索反比例函数与其他数学知识之间的联系，以促进数学学科的发展。
k值对反比例函数图像的影响
随着k值的增大或减小，反比例函数的图像会向内或
反比例函数在实际生活中有着广泛的应用，如电流与电阻、电容与电压
等物理量之间的关系可以用反比例函数来描述。
对反比例函数的研究展望
深入探究反比例函数的性质
尽管我们已经对反比例函数的性质有了一定的了解，但仍有许多未知的性质等待我们去发 现和研究。例如，反比例函数的极限行为、奇偶性等性质。
反比例函数的性质
反比例函数具有以下性质：当 x 增大时，y 值会减小；当 x 减小 时，y 值会增大。这是因为 xy =
k 的关系。
在图像上，反比例函数的两个分 支在 x 轴和 y 轴上分别趋于无穷
大和无穷小。
反比例函数在坐标系中的图像是 不闭合的，且无限接近于坐标轴
。
Part
02
K的几何意义
反比例函数比例系数k 的几何意义知识梳理：如图所示，过双曲线)0(k≠=k x y 上任一点),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN,垂足为M 、N ，所得矩形PMON 的面积S=PM ∙PN=|y|∙|x|.,y xk=∴||k S k xy ==，。
1.反比例函数图像上任意一点“对应的直角三角形的面积”S=12│k │2.反比例函数图像上任意一点“对应的矩形的面积”S=│k │这就说明，过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k|。
这是系数k 几何意义,明确了k 的几何意义，会给解题带来许多方便。
典例精析专题一 K 值与面积直接应用 例1：已知如图，A 是反比例函数ky x=错误！未找到引用源。
的图象上的一点，AB 丄x 轴于点B ，且△ABO 的面积是3，则k 的值是（ ）A 、3B 、﹣3C 、6D 、﹣6变式练习1：如图，点P 是反比例函数6y x=错误！未找到引用源。
图象上的一点，则矩形PEOF 的面积是 ．变式练习2： 如图：点A 在双曲线 y=kx 上，AB 丄x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB =2，则k= ．变式练习3：如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上:△ABP 的面积为2，则这个反比例函数的解析式为______________．变式练习4：如图反比例函数4y x=-的图象与直线13y x =-的交点为A ，B ，过点A 作y 轴的平行线与过点B 作x 轴的平行线相交于点C ，则ABC △的面积为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2变式练习5：如图，A 、B 为双曲线x12-y =上的点，AD ⊥x 轴于D,BC ⊥y 轴于点C ，则四边形ABCD 的面积为 。
A B Px y OA OBC xyOABxy:例2：如图1所示，直线l 与双曲线)0(ky >=k x交A 、B 两点，P 是AB 上的点，试比较⊿AOC 的面积S 1，⊿BOD 的面积S 2，⊿POE 的面积S 3的大小：。
k的几何意义
的面积为2，则k的值为 2
分析：
由性质⑴知，S⊿OAC=S⊿OBD= ， 由S正方形OCED= S⊿OAC+S⊿OBD+SOCED=4S⊿OBD
y2
C AE
得，k k 2 4 k ，
解得2，k2=2
2
o 图④
B Dx
探究2：如图，在x轴的正半轴上依次截
取 A反 P⊿ ⊿ 为 求于由=S⊿⊿1A32OO，1OA比OSSO，是，41PP11AA3PA3S，+P35例SPA5=7AA1214S=，241A3，A，S35A函2A+，，之+可112SS4A，1，13PS数，⊿间AA5分2233与=+O⊿S+4，2的y⊿别A，=S143S⊿P=，A2A关P34得4OAA2AA++421/P系S34，15A出PSx4S5=P，，24(52A3，A4，Sx5AP=+的A32≠分25AA，2S，S，05，值4，535别)，A得的⊿。并4作=直图A设Ax2角轴象4P其A3三的A相5面，3S垂角交，2积过线形于分点12与点别AS13，分可由 S析 知13n此=： ：S1nS=====可由41SSSS⊿O得⊿⊿⊿⊿性POOOO141PPPP出质AS23451AAAA5⑴：2345 15
y
0
x
y
0
x
设P(m, n)是双曲线 y k (k 0)上任意一点 x
(1)过P分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为A,B ,
则S矩形OAPB OA AP | m | • | n || k |(如图所示).
y
y
B
P(m,n)
oA
x
B
P(m,n)
oA
x
反比例函数中k的几何意义在解题中的运用
反比例函数中k 的几何意义在解题中的运用反比例函数中k 的几何意义，在解题中具有重要的意义.反比例函数与其他知识的关联运用，依旧离不开反比例函数中k 的几何意义.一、k 的几何意义过双曲线k y x=图像上任一点作坐标轴的垂线段，与原点构造的直角三角形面积等于2k . 例1 已知反比例函数6y x=在第一象限的图象如图所示，点A 在其图象上，点B 为x 轴正半轴上一点，连接AO 、AB ,且AO AB =，AOB S ∆为多少?解析 根据k 的几何意义，如图作AE x ⊥轴，垂足为E .所以32AOE k S ∆==.因为AO AB =，所以2326AOB AOE S S ∆∆==⨯=.练习 如图，在平面直角坐标系中，过点M (0,2)的直线l 与x 轴平行，且直线l 分别与反比例函数6(0)y x x =>和(0)k y x x =<的图象交于点P 、点Q .(1)求点P 的坐标;(2)若△POQ 的面积为8，求k 的值.解 因为点P 在双曲线6y x=上，过M (0,2)的直线l 与x 轴平行，所以点P 的纵坐标为y =2，则横坐标x =3.所以点P 的坐标为P (3,2)所以3MOP S ∆=.因为，所以8,3POQ MOP S S ∆∆==，所以10,10k k ==或10k =-.因为图象在第二象限，所以10k =-.二、k 的几何意义与线段比，面积比的知识关联例2 如图，反比例函数(0)k y k x=>的图象与矩形ABCO 的两边相交于,E F 两点，若E 是AB 的中点，2EFB S ∆=，求k 的值.解析 双曲线上存在点E 与点F ，根据k 的几何意义，连接O E 、OF ，有/2AOE COF S S k ∆∆==.又因为点E 是AB 的中点，所以(1/4)AOE AOCB S S ∆=矩形.可得;(1/4)COF AOCB S S ∆=矩形.所以点F 是CB 的中点.所以22AOE BEF S S ∆∆==⨯2=4.可得 28AOE k S ∆==.因为图象在第一象限，所以k =8.知识关联:此题用到k 的几何意义、线段比与面积比的知识关联.三、k 的几何意义与三角形相似知识的关联例3 如图，一次函数1y kx =-的图象与x 轴交于点A ，与反比例函数3(0)y x x =>的图象交于点B , BC 垂直x 轴于点C .若△ABC 的面积为1，求k 的值.解析 因为点B 在反比例函数3y x =图象上，得 1.5BOC S ∆=.由1ABC S ∆=，得0.5A O B S ∆=，得:1:2O A A C =.假设直线1y kx =-与y 轴交与点D ，则点D (－1,0),OD =1.BC //OD 得△ABC ～△ADO ，可得:::1:2OD BC OA AC ==.由OD =1得BC =2，把y =2代入3y x=得x =1. 5.所以点B 坐标为(1. 5,2).把x =1. 5,y =3代入1y kx =-中得k =8/3. 知识关联:此题用到k 的几何意义、三角形相似、线段比与面积比的知识关联.练习 如图，若双曲线/y k x =与边长为5的等边AOB ∆的边OA , AB 分别相交于C , D 两点，且OC =3BD ,求k 的值.解析 过点C 作CE x ⊥轴于点E ，过点D 作DF x ⊥轴于点F .因为AOB ∆为等边三角形，3OC BD =，可得OEC ∆～BFD ∆，所以:::3:1OC BD CE DF OE BF ===.又因为/2,:3:1C O E D O F S S k C E D F ∆∆===得:3:1OF OE =.设BF a =,则3,9OE a OF a ==.可得105OB a ==即1/2a =.在Rt DBF ∆中60B ∠=︒，可得DF =.2211()22228DOF S OF DF ∆=⋅===. 28DOF kS ∆==,所以4k =.图象在第一象限，所以4k =. 作为九年级复习阶段，做好知识间的关联学习，对构成学生的知识系统具有很好的作用.。
反比例函数中K的几何意义 上课ppt课件
别向x轴、y轴作垂线
⑴若P的坐标是（-1,3）则PM=__3__,PN=_1___
⑵若F的坐标是（0.5，-6），则FB=_6___,FA=_0_.5__
⑶若P的坐标是（x，y），则PM=__y__,PN=__x__ y
P
N
B
x
M0
平面直角坐标系内任意一点P(x,y)
.
AF
P到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值即是 y
1
1.理解并掌握反比例函数中 ∣K∣的几何意义； 2.能灵活运用∣K∣的几何 意义求图形面积； 3.能根据图形面积求出K值
2
概念回顾
定义
形如__y_＝__kx___(k≠0，k为常数)的函数叫 做反比例函数
关系式
防错 提醒
y k 或y＝kx－1或xy＝k(k≠0) x
(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数值y≠0
5 2
B
D
x
14
变式练习
y 6
已知：如图,反比例函数
与x一次函数
y=kx+1的图像交于A、B两点,点A的纵坐标是3.
（1）求这个一次函数的解析式 （2）求△AOB的面积.
解
:
(2)
y
6 x
,
y x 1.
解得xy
3,2或xy
2, 3.
A(2,3),B(3,2).
为什么？数缺形时少直觉， 形少数时难入微．
21
反比例函数 y kx上一点P（x0，y0），过点P 分别作PA⊥y轴，PB⊥X轴，垂足分别为A、
B，则矩形AOBP的面积为 k ；
且S△AOP= S△BOP = k
K的几何意义
反比例函数K的几何意义专题一．教学分析反比例函数知识看似简单，好像就只有定义，图像，性质，但在实际的中考中，它常与图形的面积交汇在一起，是中考的热点之一．本节内容在这一章中也占据着举足轻重的地位，是一次函数的延续和二次函数的基础，在初中函数的学习中起着承上启下的作用．﹙一﹚、教学目标1.知识目标；（1）、理解K的几何意义，会由已知条件求函数解析式和简单图形的面积（2）、熟练掌握反比例函数的图像和性质，灵活运用K的几何意义．2.能力目标；在教学过程中引导学生自主探索、思考及想象，经历探索K的几何意义的过程，发展学生分析归纳和概括的能力，3.情感目标；通过学习，培养学生积极参与和勇于探索的精神，科学的学习态度，同时通过多媒体演示激发学生学习的兴趣．﹙二﹚、教学重点：K的几何意义的探究与运用教学难点：灵活运用K的几何意义．﹙三﹚教学方法：自主探究、合作交流、讲练结合教学模式问题——探究——总结——应用﹙四﹚、教学准备：多媒体课件．二、考点分析：反比例函数是历年中考数学的一个重要考点章节，且多以大题的形式出现，常常结合三角形，四边形等相关知识综合考察．所以，应该引起广大学生的重视．反比例函数中k的几何意义也是其中一块很重要的知识章节，常在中考选择题，计算大题中进行考察．这类考题大多考点简单但方法灵活，目的在于考察学生的数学图形思维．本次专题目的在于让学生掌握反比例函数中k的几何意义这一知识要点，灵活利用这一知识点解决数学问题，并熟悉与反比例函数k几何意义的常见考察方式和解题思路．三、学情分析反比例函数的图象是学生中学阶段首次遇到的非线性函数的图象，而且反比例函数的图象还是不连续的断开的两支曲线，而学生的认知结构中仅有正比例、一次函数即所谓的线性函数的作图经验，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决问题的能力．四、授课内容：(一）：反比例函数与矩形面积这就说明，过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k|．这是系数k几何意义，明确了k的几何意义，会给解题带来许多方便．设计意图：利用多媒体直观展示图形的变化，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣．推广：反比例函数与三角形面积如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作P A⊥x轴于A点，PB⊥y 轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形P AO和三角形PBO的面积都是）．设计意图：两个题目让学生经历由特殊到一般，由猜想到归纳，教给学生考虑问题的方法，同时渗透了数形结合思想与分类讨论的数学思想 ． (二 ) 例题讲解千里之行 始于足下例题1.如图，点P 是反比例函数 图象上的一点，PD ⊥x 轴于D .则△POD 的面积为 .例2：如图所示，直线l 与双曲线)0(k y >=k x 交A 、B 两点，P 是AB 上的点，试比较⊿AOC 的面积S 1，⊿BOD 的面积S 2，⊿POE 的面积S 3的大小：设计意图：这几个题目为了及时掌握总结的知识点，加深印象，强化学生的数形结合能力.例3 如图，点A ，B 是双曲线 上的点，过点A 、B 两点分别向x 轴、y 轴作垂线，若S 阴影＝1，则S 1＋S 2＝例4. 在反比例函数2y x=（0x >）的图象上，有点1234P P P P ，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为123S S S ，，，则123S S S ++= ． 2y x=x y O P 1 P 2 P 3P 4 1 2 3 4设计意图：对面积类题目进行了一次升华，目的是使课堂面向全体学生，照顾优等生，提高分析能力．培养学生的表达能力和分析能力，树立合作学习的理念．趁热打铁，大显身手1. 已知点A是反比例函数上的点，过点A作AP⊥x轴于点P，已知△AOP的面积3，则k的值是（）A．6 B．－6 C．－3 D．32 3 4题设计意图：灵活运用k的几何意义解决面积类题目进行了一次升华，培养学生的表达能力和分析能力，树立合作学习的理念．(三) 根据中心对称解题的图象相交于A、C两点，AB⊥例题6．正比例函数y＝x与反比例函数y＝1xx轴于B，CD•⊥x轴于D，如图所示，则四边形ABCD的为_______．例题7设计意图：让学生感受知识间的联系，双曲线具有轴对称性，中心对称性，妙用其图像的对称性，有利于我们理清思路，快速解题，它是一个重要的解题技巧．五.中考题型精选设计意图：这个简单而有用的结论，较好的体现了数形结合．是解决反比例函数问题的有力的侗剧，因而备受各地中考命题人的关注和青睐，在中考中，反比例函数方面的考题多与一次函数，三角形，特殊四边形等知识综合来进行考查，常以中低难度的选择题，填空题的形式出现．六．课堂练习1 若A(m，n)是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，点B的坐标(3，2)，过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C；过点B作直线BD∥y轴交x轴于点D，交直线AC 于点E，当四边形OBEA的面积为6时，请判断线段AC与AE的大小关系，并说明理由．2、已知反比例函数y＝12/x与一次函数y＝kx－7的图象都经过点P(m，2)，函数y＝kx－7的图象交y轴于点Q.试求这个一次函数的解析式及△OPQ的面积．设计意图：检查学习效果，巩固所学知识，作业面向全体，照顾大多数，同时也要注意培养优等生，选拔数学人才，激励学生深入研究，给学生发展空间．七、课时总结：让学生谈谈本节课有哪些收获？设计意图：对本节课的内容进行一次系统回顾，进一步加深印象，巩固所学知识，加强学生的表达能力．八、作业布置●若A(m，n)是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，点B的坐标(3，2)，过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C；过点B作直线BD∥y轴交x轴于点D，交直线AC于点E，当四边形OBEA的面积为6时，请判断线段AC与AE的大小关系，并说明理由．●设计意图：检查学习效果，巩固所学知识，作业面向全体，照顾大多数，同时也要注意培养优等生，选拔数学人才，激励学生深入研究，给学生发展空间．●九板书设计●●●●●教学设计说明：●本节课的设计力求体现使学生“学会学习，为学生终身学习做准备”的理念，努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，并注意教师角色的转变，为学生创造一种宽松和谐、适合发展的学习环境，创设一种有利于思考、讨论、探索的学习氛围，根据学生的实际水平，选择恰当的教学起点和教学方法．由此我采用“问题——探究——总结——应用”的学科教学模式，把主动权充分的还给学生，让学生在自己已有经验的基础上提出问题，明确学习任务，教师引导学生观察、发现、猜想、操作、动手实践、自主探索、合作交流，寻找解决的办法并最终探求到真正的结果，从而体会到数学的奥妙与成功的快乐．。
一次函数K值几何意义
一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）中，k的意义
1、K值代数意义：小明说，在式子y=kx+b中，x每增加1，kx增加了k。
而如图所示的一次函数图象中，x从1变成2时，函数值从3变成5，增加了2，因此该一次函数中k 的值应该是2.你认为小明的说法有道理吗？说说你的认识。
首先，k值为2是正确的。
可以将（1，3）（2，5）分别代入y=kx+b，得：
然后，小明说的有道理。
按小明思路可以举实例说明，当x=1时，kx=k，当x=2时，kx=2k，当x=3时，kx=3k……x每增加1，kx增加了k。
我这样想，假设一次函数y=kx+b经过两点（x1，y1）（x1+1， y2），则y1=k x1+b，y2=k （x1+1）+b= k x1+b+k，y2－y1=k，所以x每增加1，y就增加了k。
y=kx+b的图象经过（1，3）（2，5），说明x增加1，y增加了2，所以k=2。
如上图，假设一次函数y=kx+b经过两点（x1，y1）（x1+1， y2），则y1=k x1+b，y2=k （x1+1）+b= k x1+b+k，y2－y1=k，而此时k为负数，所以x每增加1，y就增加了k，其实就是y减小了K绝对值。
2、K值几何意义：
在直角三角形ABC中，BC为x增加值，AC为y增加值，AC/BC得x每增加1，y增加的量，由上述过程可知，x每增加1，y就增加了k，所以AC/BC=k。
在直角三角形ABC中，BC为x增加值，AC为y减小值，AC/BC得x每增加1，y减小的量，由上述过程可知，x每增加1，y就减小了k的绝对值，所以AC/BC=k的绝对值。
综上所述，一次函数的K值几何意义：k的绝对值是直线与x轴所夹锐角的正切值。
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反比例函数的图象与性质（第5课时）
【学习目标】
1、反比例函数系数k 的几何意义。
2、进一步学习反比例函数的图象与性质，渗透数形结合思想。
【学习过程】 一、知识产生：
1、已知反比例函数y ＝k
x 的图象经过点(1，2)，则k 的值是_________。
2、已知函数x
k
y =（k ≠0）,当x ＝2时，y ＝4，则k ＝ 。
3、反比例函数5
y x
=-中，图象位于 ，在每个象限内，y 随x 的增大而 ，
4、点()11,x y 、()22,x y 在反比例函数k
y x
=的图象上，当120x x <<时，12y y <,则k 的取值可以
是___ _。
5、矩形的面积= 。
二、知识发展：
例1、如图，点P 在反比例函数的图象上，过P 点作PA ⊥x 轴于A 点，作PB ⊥y 轴于B 点，矩形OAPB 的面积为9，则该反比例函数的解析式为 .
例2．反比例函数x
k
y =的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果2=∆MON S ，求k 的值。
三、知识形成：
如图，对于反比例函数x
k
y =
（k≠0），在其图象上任取一点P ,过点P 分别作X 轴，Y 轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积S= . 四、知识应用：
1、如图1，已知点C 为反比例函数6
y x
=-
上的一点，过点C 向坐标轴引垂线，垂足分别为A 、B ，那么四边形AOBC 的面积为 ． 2、如图，直线y=mx 与双曲线y=
x
k
交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ∆=2，则k 的值是（ ）
A ．2
B 、m-2
C 、m
D 、4
3、如图，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是 双曲线3
y x
=
（0x >）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时， OAB △的面积将会
A ．逐渐增大
B ．不变
C ．逐渐减小
D ．先增大后减小
图
1
4、如图，在函数)0(≠=
k x
k
y 的图象上有三点A ，B ，C 过这三个点分别向x 轴、y 轴引垂 线，过每个点所引的两条垂线与x 轴，y 轴围成的矩形的面积分别是S1、S2、S3，则（ ） A 、 S1>S2>S3 B 、 S1<S2<S3 C 、 S1<S3<S2 D 、 S1=S2=S3 5、如图，已知A 点是反比例函数(0)k
y k x
=
≠的图象上一点，AB y ⊥轴于B ，且ABO △的面积为3，则k 的值为_____________.
6、如图，两个反比例函数4y x =
和2
y x
=在第一象限内的图象分别是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PA x ⊥轴于点A ，交2C 于点B ，则△POB 的面积为 四、知识拓展：
1、 如图，已知A 、B 是反比例函数
上的两点，BC ∥x 轴，交y 轴于C ，
动点P 从坐标原点O 出发，沿O →A →B →C 匀速运动，终点为C ，过运动路线上任意一点P 作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ，设四边形OMPN 的面积为S ，P 点运动的时间为t ， 则S 关于t 的函数图象大致是（ ）
2、如图，在函数
的图象上有点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n+1，点P 1的横坐标为2，
且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n+1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S 1、S 2、S 3…、S n ，则S 1= ，S n = ．（用含n 的代数式表示）
五、作业
1、如图，矩形ABOC 的面积为3，反比例函数k
y x
=
的图象过点A ，则k =（ ） A ．3 B ．5.1- C ．3- D ．
6-
2、如图，已知双曲线(0)k
y k x
=
<经过直角三角形OAB
斜边OA
的中点
D
，且与
直角边
AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为
A ．12
B ．9
C ．6
D ．4
B
1
C 2
C。