八年级数学上册几何定理的表达 与证明

八上数学定理的几何表达

一、三角形的三边关系

三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

几何表达式：

在△ABC中，

AB+AC＞BC;

AB-AC＜BC;

二、三角形的高线

从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线。

几何表达式：

（1）∵AH是ΔABC的高

∴∠AHC=90°（垂直定义）

(2) ∵∠AHC=90°

∴AH是ΔABC的高（判定垂直）

三、三角形的中线

在三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.

几何表达式：

(1) ∵AD是三角形的中线

∴BD = CD（性质）

(2) ∵BD = CD

∴AD是三角形的中线（判定）

四、三角形的角平分线

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.

几何表达式：

（1）∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）

(2) ∵∠BAD=∠CAD

∴AD是∠BAC的平分线（角平分线判定）

五、三角形的内角和与外角和

（1）三角形的内角和180°；

（2）直角三角形的两个锐角互余；

（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

（1）在△ABC中，

∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°

（2）在Rt△ABC中，

∵∠B=90°

∴∠A+∠C=90°

（3）∠ACD=∠A+∠B

（4）∠ACD>∠A

∠ACD>∠B

六、全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

∵△ABC≌△DEF

∴AB=DE, AC=DF, BC=EF

∴∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F.

七、全等三角形的判定

1. 三边对应相等的两个三角形全等. 边边边（SSS）

2. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 边角边（SAS）

3. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 角边角（ASA）

4. 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 角角边（AAS）

5. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 斜边、直角边（HL）（1）在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（SSS）

（2）在△ABC和△DEF中

AB＝DE

AC＝DF

BC＝EF

AB＝DE

∴△ABC≌△DEF（SAS）（3）在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（ASA）

（4）在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（AAS）

（5）在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中

∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）

或在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中

∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）∠A＝∠D

∠B＝∠E

AB＝DE

∠A＝∠D

BC＝EF

∠B＝∠E

AC＝A′C′

AB＝A′B′

BC＝B′C′

AB＝A′B′

八、角平分线的性质

角平分线上的点到角的两边的距离相等。

∵AD 是∠C AB的角平分线，

或∵∠DAC=∠DAB

DC⊥AC ，D B⊥AB

∴DC=DB

九、角平分线的判定

角的内部，到角两边的距离相等的点在角平分线上。

∵DC⊥AC ，DB⊥AB，

DC=DB

∴点D在∠CAB的角平分线上。

或∴∠DAC=∠DAB

内心：三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。

三角形的内心到三角形三边的距离相等。

十、线段的垂直平分线（中垂线）

（1）线段垂直平分线的定义

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线。∵PC是 AB的垂直平分线

∴AC=BC，∠ACP=∠ BCP=90°

（2）线段垂直平分线的性质

线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

∵PC是 AB的垂直平分线

∴PA=PB

（3）线段垂直平分线的判定

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

或∵AP=BP

∴点P 在AB的垂直平分线上。

方法一、利用线段垂直平分线的定义证明。垂直+中点平分

∵AC=BC，∠ACP=∠ BCP=90°

∴PC是AB的垂直平分线

方法二、利用等腰三角形三线合一性质证明。等腰三角形+垂直（或平分）∵PA=PB

∴△PAB是等腰三角形

∵PC⊥AB

∴AC=BC

∴PC垂直平分AB

方法三、利用两点确定一条直线证明。

∵PA=PB

∴点P在AB的垂直平分线上。

∵DA=DB

∴点D在AB的垂直平分线上。

∴PD垂直平分AB

例题：如图,已知:在三角形ABC中,角BAC的角平分线交BC于D,且DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:AD是EF的垂直平分线。

解：∵AD是△ABC的角平分线.

DE⊥AB,DF⊥AC,

∴DE=DF （角平分线上的点到角两边的距离相等。）

方法一、利用线段垂直平分线的定义证明。垂直+中点平分

解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，

∵∠AED=∠AFD=90°,

DE=DF（已证)

AD=AD(公共边)

∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).

∴ AE=AF(全等三角形的对应边相等).

在△AOE和△AOF中，

AE=AF(已证),

∠EAO=∠FAO(已知)，

AO=AO(公共边),

∴△AOE≌△AOF(SAS).

∴EO=FO,∠AOE=∠AOF(全等三角形的对应边,对应角相等).

∴∠AOE=∠AOF=90°