八年级上册数学几何证明定理
八年级数学理科班讲义教学-几何证明
B CD AOB CE DA A CB ’ CA B C B ’ C 8、八年级数学理科班：直角三角形全等判定、性质姓名一、【直角三角形全等的特殊判定方法】知识要点：一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。
简记为HL 。
1、【定理证明】已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △A’B’C’中，∠C=∠C’=90°，AC=A’C’，AB=A’B’ 求证： Rt △ABC ≌Rt △A’B’C’2、【直角三角形全等判定方法梳理】如图，具有下列条件的Rt △ABC 和Rt △A’B’C’（其中∠C=∠C’=90°）是否全等？如果全等在（ ）里打“√”，并在“——”上填写判定三角形全等的理由，如果不全等，在（ ）里打“×”. （1）AC=A’C’，∠A=∠A’ （ ） _______ （2）AC=A’C’，BC=B’C’ （ ） _______ （3）AB=A’B’，BC=B’C’ （ ） _______ （4）∠A=∠A’，∠B=∠B’ （ ） ________3、【应用练习】 选择题1．下列说法正确的有（ ）① 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等② 两条边分别相等的两个直角三角形全等 ③ 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ④ 斜边相等的两个等腰直角三角形全等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知，如图，BD ⊥AC 于D,CE ⊥AB 于E,BD 与CE 相交于O ， 且BD=CE ，则图中全等的三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边 所对的角（ ）A ．相等B ．不相等C ．互余或相等D ．相等或互补4．如图，已知：∠A=∠D=90°,AB=CD,求证：AC=DBBC F E DABC FE D AB C F E D A5．如图，已知：AB=CD,AE ⊥BC,DF ⊥BC,BF=CE.求证：AB ∥CD6．如图，已知：AB=AE, ∠B=∠E=90°,AF 垂直平分CD,求证：BC=DE7．如图，已知：AD 平分∠BAC,DB ⊥AB,DF ⊥AC 于点F ，ED=CD,求证:AC=AE+2BE.8．已知：AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD=BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ， 求证：CE=DF二、直角三角形的性质 1、【定理】①直角三角形的两个锐角互余（显然） ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2、【定理证明】已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 的中线.求证：AB CD 21例1．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB与E，连接DE，取BC的中点M，DE的中点N，问：MN与DE有什么样的位置关系，并说明理由。
数学八年级上册勾股定理
数学八年级上册勾股定理一、勾股定理的内容1. 定理表述- 在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度为c，那么a^2+b^2=c^2。
- 例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，根据勾股定理，斜边c满足3^2+4^2=c^2，即9 + 16=c^2，c^2=25，所以c = 5。
2. 定理的证明- 赵爽弦图证明法- 赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形。
- 设直角三角形的两条直角边分别为a、b（b>a），斜边为c。
大正方形的面积可以表示为c^2，同时它又等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积。
- 四个直角三角形的面积为4×(1)/(2)ab = 2ab，中间小正方形的边长为b - a，其面积为(b - a)^2=b^2-2ab+a^2。
- 所以c^2=a^2+b^2。
- 毕达哥拉斯证法（拼图法）- 用四个全等的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）拼成一个以a + b为边长的正方形。
- 这个大正方形的面积为(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，同时它又等于四个直角三角形的面积加上中间边长为c的正方形的面积，即4×(1)/(2)ab+c^2=2ab +c^2。
- 所以a^2+b^2=c^2。
二、勾股定理的应用1. 已知直角三角形的两边求第三边- 当已知两条直角边求斜边时，直接使用c=√(a^2)+b^{2}。
例如，直角边a = 6，b = 8，则c=√(6^2)+8^{2}=√(36 + 64)=√(100)=10。
- 当已知一条直角边和斜边求另一条直角边时，使用a=√(c^2)-b^{2}（设c为斜边，b为已知直角边）。
例如，斜边c = 13，一条直角边b = 5，则a=√(13^2)-5^{2}=√(169 - 25)=√(144)=12。
2. 解决实际问题中的直角三角形问题- 例如，在一个长方形中，已知长为8米，宽为6米，求对角线的长度。
数学沪科版八年级(上册)第3课时三角形内角和定理及推论
度数是 90° .
A 60°
1 D
B
110° CE
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
∴∠C=∠1
∠2=∠4
F
E
∴∠A=∠2 又∵∠1+∠2+∠3=180° B
2
4
13 D
C
A
∴∠A+∠B+∠C=180°
F
2 13
D
E 4
C
三角形的一边与另一边的延长线组成的角， 叫做三角形的外角．
A
B
C
D
△ABC的外角∠ACD与它不相邻的内角 ∠ A、 ∠ B有怎样的关系？
A
B
C
D
证明： △ABC中 ∵∠A+∠B+∠ACB=180° （三角形内角和定理） ∠ACB+∠ACD=180°（平角定义） ∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换） A
（等量代换 ）
D
A E
=180°.
B
C
2. 补充完成下列证明：
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明 D是BC边上一点，过点D作
DE//AB，DF//AC，分别交AC，AB于
点E，F.
B
∵ DE//AB，（所作）
A
F
2 13
D
E 4
C
∴∠A=∠4
∠B=∠3
又∵DF//AC
A
B
C
D
推论3 三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和.
推论4 三角形的一个外角大于与它不相邻 的任何一个内角.
已知：如图，∠1、∠2、∠3是 △ABC的三个外角
初二数学几何知识点初中数学几何定理大全
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
14
中心对称定理
定理1：关于中心对称的两个图形是全等的
定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°
四、全等三角形判定
定理：全等三角形的对应边、对应角相等
边角边定理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
角边角定理(ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
推论(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
边边边定理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等
矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
12
菱形定理
菱形性质定理1：菱形的四条边都相等
菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷2
菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形
菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
13
正方形定理
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
16
中位线定理
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2S=L×h
17
相似三角形定理
相似三角形定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似
八年级数学上册几何定理的表达 与证明
八上数学定理的几何表达一、三角形的三边关系三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
几何表达式：在△ABC中，AB+AC＞BC;AB-AC＜BC;二、三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线。
几何表达式：（1）∵AH是ΔABC的高∴∠AHC=90°（垂直定义）(2) ∵∠AHC=90°∴AH是ΔABC的高（判定垂直）三、三角形的中线在三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.几何表达式：(1) ∵AD是三角形的中线∴BD = CD（性质）(2) ∵BD = CD∴AD是三角形的中线（判定）四、三角形的角平分线三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.几何表达式：（1）∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）(2) ∵∠BAD=∠CAD∴AD是∠BAC的平分线（角平分线判定）五、三角形的内角和与外角和（1）三角形的内角和180°；（2）直角三角形的两个锐角互余；（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
（1）在△ABC中，∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°（2）在Rt△ABC中，∵∠B=90°∴∠A+∠C=90°（3）∠ACD=∠A+∠B（4）∠ACD>∠A∠ACD>∠B六、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。
∵△ABC≌△DEF∴AB=DE, AC=DF, BC=EF∴∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F.七、全等三角形的判定1. 三边对应相等的两个三角形全等. 边边边（SSS）2. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 边角边（SAS）3. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 角边角（ASA）4. 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 角角边（AAS）5. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 斜边、直角边（HL）（1）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）（2）在△ABC和△DEF中AB＝DEAC＝DFBC＝EFAB＝DE∴△ABC≌△DEF（SAS）（3）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）（4）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（AAS）（5）在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）或在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）∠A＝∠D∠B＝∠EAB＝DE∠A＝∠DBC＝EF∠B＝∠EAC＝A′C′AB＝A′B′BC＝B′C′AB＝A′B′八、角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等。
初中数学几何定理大全
（ 2）N边形的内角和：（ n －2）× 180° .
（ 3）任意多边形的外角和都为 360°
28、平行四边形的性质：
（ 1）平行四边形的对边平行且相等；
（ 2）平行四边形的对角相等；
（ 3）平行四边形的对角线互相平分。
-可编辑修改 -
29、平行四边形的判定 : （ 1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （ 2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （ 3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （ 4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （ 5）对角线互相平分的四边形是平行四边形 . 30、矩形的性质： （ 1）具有平行四边形的所有性质 （ 2）矩形的四个角都是直角； （ 3）矩形的对角线相等且互相平分 . 31、矩形的判定： （ 1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （ 2）有三个角是直角的四边形是矩形 . （ 3）对角线相等的平行四边形是矩形。 32、菱形的性质： （ 1）具有平行四边形的所有性质 （ 2）菱形的四条边都相等； （ 3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分 一组对角 . 33、菱形的判定： （ 1）四条边相等的四边形是菱形 . （ 2）一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （ 3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 34、正方形的性质： （ 1）具有矩形、菱形的所有性质 （ 2）正方形的四个角都是直角； （ 3）正方形的四条边都相等； （ 4）正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条 对角线平分一组对角 . 35、正方形的判定：（证明既是矩形又是菱形） （ 1）有一个角是直角的菱形是正方形； （ 2）有一组邻边相等的矩形是正方形 . （ 3）对角线相等的菱形是正方形 （ 4）对角线互相垂直的矩形是正方形 36、等腰梯形的判定： （ 1）同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形； （ 2）两条对角线相等的梯形是等腰梯形 . 37、等腰梯形的性质： （ 1）等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等； （ 2）等腰梯形的两条对角线相等 . 38、梯形的中位线平行于梯形的两底边，并且等于两底和 的一半 . 四、相似形与全等形 39、全等多边形的对应边、对应角分别相等 . 40、全等三角形的判定： （ 1）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个 三角形全等（ SSS.） . （ 2）如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么 这两个三角形全等．（ SAS.） （ 3）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那 么这两个三角形全等 (ASA). （ 4）有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三 角形全等（ AAS.） （ 5）如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相 等，那么这两个直角三角形全等 . （ H.L. ） 41、相似三角形的性质：对应边、周长、对应线段的比均 等于相似比，面积比等于相似比的平方 42、相似三角形的判定：（类似于全等判定） （ 1）平行于三角形的一边的直线和其他两边相交所构成的 三角形与原三角形相似。 （ 2）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对 应相等，那么这两个三角形相似；
初中数学 如何证明勾股定理在平面直角坐标系中的几何意义
初中数学如何证明勾股定理在平面直角坐标系中的几何意义。
在平面直角坐标系中，我们可以使用几何方法证明勾股定理的几何意义。
以下是证明过程：假设我们有一个直角三角形ABC，其中∠C为直角，点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，点C的坐标为(x₃, y₃)。
根据直角三角形的性质，我们可以知道点A到点B的距离为AB，点B到点C的距离为BC，点A到点C的距离为AC。
根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式，我们可以得到：AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)BC = √((x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²)AC = √((x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²)我们要证明的是：AB² + BC² = AC²。
将上述三个式子代入上式，得到：(√((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²))² + (√((x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²))² = (√((x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²))²化简得到：(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)² = (x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²进一步化简得到：(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)² - (x₃ - x₁)² - (y₃ - y₁)² = 0我们可以将上式分成两部分进行证明：第一部分：(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² - (x₃ - x₁)² - (y₃ - y₁)² = 0将(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²展开得到：(x₂² - 2x₁x₂ + x₁²) + (y₂² - 2y₁y₂ + y₁²) - (x₃² - 2x₁x₃ + x₁²) - (y₃² - 2y₁y₃ + y₁²) = 0化简得到：x₂² + y₂² - x₃² - y₃² = 2x₁(x₃ - x₂) + 2y₁(y₃ - y₂)我们知道∠C为直角，所以直角三角形ABC中AB和BC垂直，即斜率之积为-1。
【初中数学++】定理与证明+课件+华东师大版八年级数学上册
13.1 命题、定理与证明
2.定理与证明
华师大版-数学-八年级上册
教学目标
1．理解和掌握定理的概念，了解证明(演绎推理)的概 念.【重点】 2．掌握证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的 几何知识证明一些简单的几何问题.【难点】 3.感受证明的必要性，培养说理有据，有条理地表达的 良好意识.
( √) ( √) (√)
探索新知
基本事实：数学中这些命题的正确性是人们在长期实践中 总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据， 即出发点.这样的真命题视为基本事实.
探索新知
例如下列的真命题作为基本事实： 1.两点确定一条直线； 2.两条之间，线段最短； 3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 5.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等， 那么这两条直线平行.
试一试：画一个钝角三角形试试看.
探索新知
思考：（3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边 形、七边形等的内角和，得到一个结论：n 边形的内角 和等于(n - 2)×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多 边形的内角和不满足这一规律？
实际上，这是一个正确的结论.
掌握新知
上面的几个例子说明了什么问题？ 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，通 过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实.
情境导入
试判断下列句子是否正确： （1）如果两个角பைடு நூலகம்对顶角，那么这两个角相等. （2）两直线平行，同位角相等. （3）同旁内角相等，两直线平行. （4）平行四边形的对角线相等. （5）直角都相等. （6）三角形的内角和等于180°. （7）等腰三角形的两个底角相等 .
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七年级常用几何证明的定理
1、对顶角相等
∵∵1与∵2互为对顶角
∵∵1＝∵2
2、垂直的定义
∵∵AOB＝90°
∵AB∵CD
∵AB∵CD
∵∵AOB＝90°
3、平行公理
平行于同一直线的两直线平行。
∵AB∥EF，CD∥EF
∴AB∥CD
4、同位角相等，两直线平行
∵∠1＝∠2
∴AB∥CD
5、内错角相等，两直线平行
∵∠1＝∠2
∴AB∥CD
6、同旁内角互补，两直线平行
∵∠1+∠2＝180O
∴AB∥CD
7、垂直于同一直线的两直线平行
∵a⊥c，b⊥c
∴a∥b
8、两直线平行，同位角相等
∵AB∥CD
∴∠1＝∠29、两直线平行，内错角相等
∵AB∥CD
∴∠1＝∠2
10、两直线平行，同旁内角互补
∵AB∥CD
∴∠1+∠2＝180°
11、余角的性质：同角或等角的余角相等
∵∠3与∠4互为对顶角
∴∠3＝∠4
∵∠1＋∠3＝90°
∠2＋∠4＝90°
∴∠1＝∠2
12、补角的性质：同角或等角的补角相等
∵∠AOB＋∠BOD＝180°
∠AOC＋∠COD＝180°
且∠BOD＝∠AOC
∴∠AOB＝∠COD
八年级常用几何证明的定理
1、三角形的角平分线
∵BD是△ABC的角平分线
∴∠ABD＝∠CBD=∠ABC
2、三角形的中线
∵BD是△ABC 的中线
∴AD＝BD＝AB
3、三角形的高线：
∵AD是△ABC的高
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
4、三角形三边的关系：
三角形两边之和大于第三边，两
边之差小于第三边。
如图：|AB－AC|<BC<AB＋AC
1
2
1
2
5、三角形内角和定理
（证明：用内角转化为平角）
在△ABC中：
∠A＋∠B＋∠C＝180°
6、直角三角形的两锐角互余
∵△ABC中，∠C＝90°
∴∠A＋∠B＝90°
7、有两个角互余的三角形是直角三
角形
∵∠A＋∠B＝90°
∴△ABC是直角三角形
8、三角形的一个外交等于和它不
相邻的两内角之和
∵∠ACD是△ABC的外角
∴∠ACD＝∠A＋∠B
9、多边形的内角和=180°×（n-2）
n边形每增加一条边，内角和的度数就增加180°
10、多边形的外角和等于360°
11、全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等
∵△ABC≌△DEF
∴AB=DE,BC=EF,AC=DF
∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠G（字母要对应）
12、全等三角形的判定定理：
13、角平分线的性质（角相等推出垂线段相等）角的平分线上的点到角的两边的
距离相等（用AAS证明）
∵OC是∠AOC的平分线
且PD⊥AO，PE⊥BO
∴PD＝PE
14、角平分线的判定（垂线段相等
推出角相等）
角的内部到角的两边的距离相等的
点在角平分线上（用HL证明）
∵ PD ⊥AO ，PE ⊥BO ，PD ＝PE ∴点P 在∠A0B 的平分线OC 上
15、垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（用SAS 证明） ∵L ⊥AB ，CA=CB ∴PA ＝PB
16、垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（用HL 证明） ∵PA ＝PB
∴点P 在AB 的垂直平分线L 上
17、对称坐标
点（x ,y ）关于x 轴对称的点的坐标为（x ，-y ） 点（x,y ）关于y 轴对称的点的坐标为（-x ，y ） 关于x 轴称，x 的坐标不变， 关于y 轴称，y 的坐标不变。
18、等腰三角形两个底角相等（等边对等角） ∵AB=AC ∴∠B=∠C
19、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）
中线推角平分线、高（用SSS 证明） ∵AB=AC ，BD=CD
∵∵BAD=∵CAD ，AD∵BC
角平分线推中线、高（用SAS 证明）
∵AB=AC ，∵BAD=∵CAD ∵ BD=CD ，AD∵BC
高推中线、角平分线（用HL 证明） ∵AB=AC ， AD∵BC
∵ BD=CD ，∵BAD=∵CAD
20、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） ∵∠B=∠C ∴AB=AC
20、等边三角形的三个内角相等，并且每一个角都等于60°
∵ △ABC 是等边三角形 ∴ ∠A =∠B =∠C =60°
21、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，三条对称轴交于一点，该点称为“中心”。
22、等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质。
23、等边三角形内心，重心，垂心，外心四心合一。
24、三个角都相等的三角形是等边三角形 ∵ ∵A= ∵ B= ∵ C
∵∵ABC 是等边三角形
25、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
∵ ∵A=60°, AB=BC
∵∵ABC是等边三角形
26、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
∵∠BAC = 90°，∠C＝30°
∴
AB=BC
27、同时加（减）公共边、公共角
∵AB=CD
∴AB+BC=CD+BC
∴AC=BC
∵∠1=∠2
∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD
∴∠BAD=∠CAE
28、三角形中边与角之间的不等关系
三角形中大边对大角。
三角形中大角对大边。
29、线段公理：两点之间，线段最短
垂线公理：垂线段最短
30、将军饮马问题六大模型
1. 如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
2.如图，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON 上作点A，B。
使△PAB的周长最小。
4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。
使四边形PAQB的周长最小。
5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
6.如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
造桥选址问题(旗形)：A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。
桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。
仿照上例，可以将点A沿与河垂直的方向平移两个河宽分别到到A1、A2，路径中两座桥的长度是固定的。
为了使路径最短，只要A2B最短。
连接A2B，交河流2河岸于N，在此处造桥MN；连接A1M，交河流1河岸于P，在此处造桥PQ。
所得路径AQPMNB最短。
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