2019年高考课标卷专用(文科)数学精品课件：5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理
2019版高考数学(文科)：平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理
高考文数 ( 课标专用)
平面向量的概念及线性运算、平面向 量基本定理
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
1.(2018课标全国Ⅰ,7,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则
EB
=
(
)
A. 3
AB
-
1
AC
44
C. 3
AB
+
1
AC
4
4
B.1
AB
-3
AC
44
D. 1
AB
+
3
AC
4
4
答案 A 本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义.
∵E是AD的中点,∴ EA=-
1
AD ,
2
∴
EB
=
EA
+
AB
=-
1
AD+ AB ,
2
又知D为BC的中点,
∴
AD
=
1
(
AB
+
AC
),
2
因此
EB
=-
1
(
AB
+
AC
)+
AB
=
3
AB
-
1
AC
,故选A.
4
44
规律总结 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略: (1)考查向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合平行四边形法则. (2)求已知向量的和或差.一般共起点的向量求和用平行四边形法则;求差用三角形法则;求首 尾相连向量的和用三角形法则. (3)与三角形联系,求参数的值.求出向量的和或差与已知条件中的式子比较,然后求参数. (4)与平行四边形联系,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向 量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
2019届高考文科数学第一轮复习课件：平面向量(必修4)
0 与任一向量平行( 或共线) 两个向量只有相等或不相等,不能比较大小 0 的相反向量为 0
3.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 交换律: a+b= b+a ; 结合律: (a+b)+c=
加法
求两个向量和的运算
a+(b+c)
减法
求 a 与 b 的相反向量-b 的和的运算叫做 a 与 b 的差 |λ a|= |λ ||a| . 当λ >0 时,λ a 的方向与 a 的方向 相同;当λ <0 时 ,λ a 的方向与 a 的方向 相反;当λ =0 时,λ a= 0
数乘
求实数λ 与向量 a 的 积的运算
(λ μ )a ; λ (μ a)= (λ +μ )a= λ a+μ a ; λ (a+b)= λ a+λ b
4.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ ,使得 b=λ a 【重要结论】
A,B,C 三点共线 ,O 为 A,B,C 所在直线外任一点,则 OA = λ OB +μ OC 且λ +μ =1.
考点专项突破
易混易错辨析
知识梳理自测
【教材导读】 1.两个不同向量能比较大小吗? 提示:不能. 2.共线向量定理中为什么规定a≠0?
把散落的知识连起来
提示:若不规定a≠0,则λ可能不存在,也可能有无数个. 3.当a∥b,b∥c时,一定有a∥c吗? 提示:不一定.当b≠0时,有a∥c.当b=0时,a,c可以是任意向量,不一定共线.
知识梳理
1.向量的有关概念 (1)定义:既有 大小 又有 方向 的量叫做向量. (2)表示方法:①用字母表示:如a,b,c等;
高考数学专题复习《平面向量的概念及线性运算》PPT课件
向量
模等于 1
的向量
a
向量为±|a|
名称
相等的
向量
定 义
备 注
大小 相等 、方向 相同
的向量
两个向 如果两个 非零 向量的方向 相同或相反 ,则
量平行 称这两个向量平行.两个向量平行也称为两个向
两向量只有相等或不相
等,不能比较大小
规定零向量与任一向量
平行(共线)
(共线)
量共线
相反
给定一个向量,把与这个向量方向 相反 、大 零向量的相反向量仍是
.
,而且λa的方向如下:
,
(ⅱ)当λ=0或a=0时,λa= 0
.
实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.
(2)数乘向量的定义说明
如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a.
(3)数乘向量的几何意义
数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地,
一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积,即-a=(-1)a.
D.
3.(多选)(2020山东郓城第一中学高三模拟)若点G是△ABC的重心,BC边的
中点为D,则下列结论正确的是(
A.G 是△ABC 的三条中线的交点
B. + + =0
C. =2
D. =
)
答案 ABC
解析 对于 A,△ABC 三条中线的交点就是重心,故 A 正确;对于 B,根据平行四
(4)数乘向量的运算律
设λ,μ为实数,则λ(μa)=(λμ)a;
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a).
5.向量的运算律
一般地,对于实数λ与μ,以及向量a,有
(1)λ(μa)= (λμ)a ;(2)λa+μa= (λ+μ)a
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算课件理
解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C，又∵A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，可得A→B＝D→C.故“A→B＝ D→C”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件． ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同；又 b＝c，∴b， c 的长度相等且方向相同，∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．由 a＝b 可得|a|＝|b|且 a∥b；由|a|＝|b|且 a∥b 可得 a ＝b 或 a＝－b，故“|a|＝|b|且 a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是 必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.故填②③.
第十七页，共33页。
下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与向量C→D共线，则 A，B，C，D 四点共线； ④如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c； ⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
第五页，共33页。
2．向量的加法和减法
(1)向量的加法
①三角形法则：以第一个向量 a 的终点 A 为起点作第二个向量 b，
则以第一个向量 a 的起点 O 为________以第二个向量 b 的终点 B 为 ________的向量O→B就是 a 与 b 的________(如图 1)．
推广：A→1A2＋A→2A3＋…＋An→-1An＝____________.
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(1)( 2015·福建模拟 ) 在 △ABC
2019版高考数学第5章平面向量1第1讲平面向量的概念及线性运算教案
第1讲 平面向量的概念及线性运算了解向量的实际背景.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. 理解向量的几何表示.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 了解向量线性运算的性质及其几何意义. 了解平面向量的基本定理及其意义.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ． [说明] 三点共线的等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．( ) (2)AB →＋BC →＋CD →＝AD →.( )(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (5)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(6)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ； ③向量AB →与BA →相等．则所有正确命题的序号是( ) A ．① B ．③ C ．①③D ．①②解析：选 A.根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误．(教材习题改编)如图，▱ABCD 的对角线交于M ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示MD →为( )A. 12a ＋12b B. 12a －12b C ．－12a －12bD ．－12a ＋12b解析：选D.MD →＝12BD →＝12(b －a )＝－12a ＋12b ，故选D.已知平面内四点A ，B ，C ，D ，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为________．解析：依题意知点A ，B ，D 三点共线，于是有13＋λ＝1，λ＝23.答案：23平面向量的有关概念[典例引领]给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；其中真命题的序号是________．【解析】 ①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是错误的，|a |＝|b |，但a ，b 方向不确定，所以a ，b 不一定相等或相反．③是正确的，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形．④是错误的，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．【答案】 ③平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a ＝0时，无论λ为何值，λa ＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时，a 与b 可以是任意向量．平面向量的线性运算(高频考点)平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下两个命题角度： (1)用已知向量表示未知向量；(2)求参数的值．[典例引领]角度一 用已知向量表示未知向量如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → 【解析】 在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个靠近B 点的三等分点， 所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D. 【答案】 D角度二 求参数的值如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________．【解析】 因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1. 因为点M 为AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →， 又AM →＝λAB →＋μBC →， 所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.【答案】 23向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．[通关练习]1．化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( ) A. AB → B. DA → C. BC →D ．0解析：选D.因为AC →－BD →＋CD →－AB →＝AC →＋CD →＋DB →＋BA →＝0.2．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C .23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →解析：选A.因为2AC →＋CB →＝0，所以A 为BC 的中点，所以2OA →＝OC →＋OB →，所以OC →＝2OA →－OB →.3．已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．解析：因为D 为边BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PD →， 又PA →＋BP →＋CP →＝0， 所以PA →＝PB →＋PC →＝2PD →， 所以AP →＝－2PD →，与AP →＝λPD →比较，得λ＝－2. 答案：－2平面向量共线定理的应用[典例引领]设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．【解】 (1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →， 所以AB →，BD →共线，又它们有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， 所以k －λ＝λk －1＝0.所以k 2－1＝0. 所以k ＝±1.若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？ 解：因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ＜0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，k λ＝1，所以k ＝±1.又λ＜0，k ＝λ，所以k ＝－1. 故当k ＝－1时，两向量反向共线．[通关练习]1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，则向量a ＝2e 1－e 2与向量b ＝e 1＋λe 2(λ∈R )共线的充要条件是( ) A ．λ＝0 B ．λ＝－1 C ．λ＝－2D ．λ＝－12解析：选D.因为a ＝2e 1－e 2，b ＝e 1＋λe 2，e 1，e 2不共线， 因为a ，b 共线⇔b ＝12a ⇔b ＝e 1－12e 2⇔λ＝－12.2．经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 共线得，存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.答案：3求解向量共线问题的五个策略(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线． (3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程：A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t ∈R )．(5)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.易错防范(1)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点．(2)在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．1．下列各式中不能化简为PQ →的是( ) A. AB →＋(PA →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C. QC →－QP →＋CQ → D. PA →＋AB →－BQ →解析：选D.AB →＋(PA →＋BQ →)＝AB →＋BQ →＋PA →＝PA →＋AQ →＝PQ →； (AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →－QC →)＝PC →＋CQ →＝PQ →； QC →－QP →＋CQ →＝PC →＋CQ →＝PQ →； PA →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →， 显然由PB →－BQ →得不出PQ →， 所以不能化简为PQ →的式子是D.2．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相反 B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a | D ．|－λa |≥|λ|a解析：选B.对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．3．(2018·广东省五校协作体第一次诊断考试)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB →＝2DC →，则( )A.BD →＝AC →－32AB →B.BD →＝32AC →－AB →C.BD →＝12AC →－AB →D.BD →＝AC →－12AB →解析：选A.BD →＝BC →＋CD →＝BC →－DC →＝AC →－AB →－12AB →＝AC →－32AB →，选A.4．(2018·山东临沂模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( ) A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：选D.因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →.设AB →＝mAC →(m ≠0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m ，1＝m μ，所以λμ＝1，故选D.5．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )A ．aB ．bC ．cD ．0解析：选D .依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0. 6．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是________．解析：BC →＝AC →－AB →，当AB →，AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；当AB →，AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13；当AB →，AC →不共线时，3＜|BC →|＜13.综上可知3≤|BC →|≤13. 答案：[3，13]7．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)．解析：如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝ －a －b .答案：b －a －a －b8．(2018·豫西五校联考)若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________．解析：由题设知CM MB ＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ，则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14，从而AN AB ＝34，又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →，所以λ＝34.答案：349.在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →. 解：AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .10．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线； (2)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －k b ，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值． 解：(1)证明：由已知得，AB →＝OB →－OA →＝3a ＋b －2a ＋b ＝a ＋2b ，BC →＝OC →－OB →＝a －3b －3a －b ＝－2a －4b ， 故BC →＝－2AB →，又BC →与AB →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线． (2)AC →＝AB →＋BC →＝3a －2b ，CD →＝2a －k b .因为A 、C 、D 三点共线，所以AC →＝λCD →，即3a －2b ＝2λa －k λb ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，2＝k λ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，k ＝43. 综上，k 的值为43.1．(2018·广州市综合测试(一))设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2PA →，则△PAB 与△PBC 的面积的比值是( ) A.13 B.12 C.23D.34解析：选B.因为CP →＝2PA →，所以|CP →||PA →|＝21，又△PAB 在边PA 上的高与△PBC 在边PC 上的高相等，所以S △PAB S △PBC ＝|PA →||CP →|＝12.2．(2018·福建省普通高中质量检查)已知D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP →＝xAB →＋yAC →，则xy 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，49B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，14C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤29，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤29，14 解析：选D.由题意，知P ，B ，C 三点共线，则存在实数λ使PB →＝λBC →⎝ ⎛⎭⎪⎫－23≤λ≤－13，所以AB →－AP →＝λ(AC →－AB →)，所以AP →＝－λAC →＋(λ＋1)AB →，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－λx ＝λ＋1，所以x ＋y ＝1且13≤x ≤23，于是xy ＝x (1－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，所以当x ＝12时，xy 取得最大值14；当x ＝13或x ＝23时，xy 取得最小值29，所以xy 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤29，14，故选D. 3．给出下列四个命题：①若a ＋b 与a －b 是共线向量，则a 与b 也是共线向量； ②若|a |－|b |＝|a －b |，则a 与b 是共线向量； ③若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 是共线向量； ④若||a |－|b ||＝|a |＋|b |，则b 与任何向量都共线． 其中为真命题的有________(填上序号)．解析：由向量的平行四边形法则知道，若a ＋b 与a －b 是共线向量，则必有a 与b 也是共线向量．所以①是真命题；若|a |－|b |＝|a －b |，则a 与b 同向，或b 是零向量或a ，b 均为零向量，所以a 与b 是共线向量，所以②是真命题；若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 方向相反，或a ，b 中至少有一个零向量，所以a 与b 是共线向量，所以③是真命题；当a 是零向量，b 是非零向量时，||a |－|b ||＝|a |＋|b |成立，而b 不能与任何向量都共线，所以④是假命题．答案：①②③4．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________． 解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3， 所以AB →＝2DC →.因为点E 在线段CD 上， 所以DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． 因为AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，所以2μλ＝1，即μ＝λ2.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 5．如图，EF 是等腰梯形ABCD 的中位线，M ，N 是EF 上的两个三等分点，若AB →＝a ，BC →＝b ，AB →＝2DC →.(1)用a ，b 表示AM →； (2)证明A ，M ，C 三点共线．解：(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝a ＋b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝12a ＋b ，又E 为AD 中点， 所以AE →＝12AD →＝14a ＋12b ，因为EF 是梯形的中位线，且AB →＝2DC →， 所以EF →＝12(AB →＋DC →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12a ＝34a ，又M ，N 是EF 的三等分点，所以EM →＝13EF →＝14a ，所以AM →＝AE →＋EM →＝14a ＋12b ＋14a＝12a ＋12b . (2)证明：由(1)知MF →＝23EF →＝12a ，所以MC →＝MF →＋FC →＝12a ＋12b ＝AM →，又MC →与AM →有公共点M ，所以A ，M ，C 三点共线．6．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．求证：A ，P ，B 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.证明：充分性：若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)， 所以OP →－OB →＝m (OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →， 所以BP →与BA →共线．又因为BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线．必要性：若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →， 所以OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)． 又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.因为O ，A ，B 不共线，所以OA →，OB →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0.所以m ＋n ＝1.所以A ，P ，B 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.。
2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：5.1平面向量的概念及线性运算平面向量基本定理
第五章平面向量与解三角形§5.1平面向量的观点及线性运算、平面向量基本定理考纲解读浙江省五年高考统计考点考纲内容要求20132014 2015 2016 20171.认识向量的实质背景 .2.理解平面向量的观点 ,理解两个向量相等的含义 .理解、1.平面向量的 3.理解向量的几何表示 . 10,4 分15(文),线性运算及 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义 . 17,4 分8,5 分15,约 34 分几何意义 5.掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共分掌握线的含义 .6.认识向量线性运算的性质及其几何意义.1.理解平面向量的基本定理及其意义,会用平面向2.平面向量的量基本定理解决简单问题 .13(文),基本定理及 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 掌握7,5 分10,4 分4 分坐标表示 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.剖析解读 1.向量的线性运算及其几何意义、向量的坐标表示是高考的要点考察对象(例:2017 浙江 10 题 ).2.向量与其余知识交汇成为高考命题的趋向,向量与平面几何、分析几何、三角函数、解三角形等联合成为高考命题的亮点 .3.估计 2019 年高考取平面向量的线性运算会要点考察,复习时应加以重视.五年高考考点一平面向量的线性运算及几何意义1.(2017 课标全国Ⅱ文 ,4,5 分)设非零向量a,b 知足 |a+b|=|a-b|,则()A.a⊥bB.|a|=|b|C.a∥bD.|a|>|b|答案 A2.(2015 课标Ⅰ,7,5 分 )设 D 为△ABC 所在平面内一点, =3,则()A. =- +B. = -C. = +D. = -答案 A3.(2015 陕西 ,7,5 分)对随意愿量 a,b,以下关系式中的是 ( )A.|a ·b| ≤|a||b|B.|a-b| ≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b| 2D.(a+b) ·(a-b)=a 2-b2答案 B4.(2015 四川 ,7,5 分)设四边形 ABCD 为平行四边形 ,| |=6,| |=4. 若点 M,N 知足=3 ,=2,则·=()A.20B.15C.9D.6答案 C5.(2014 福建 ,8,5 分)在以下向量组中,能够把向量a=(3,2) 表示出来的是 ()A.e1=(0,0),e2 =(1,2)B.e1=(-1,2),e 2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e 2=(-2,3)答案 B6.(2017 天津文 ,14,5 分)在△ABC 中,∠ A=60°,AB=3,AC=2. 若=2, = λ-(λ ∈R),且·=-4, 则λ的值为.答案7.(2013 四川 ,12,5 分 )在平行四边形ABCD 中 ,对角线 AC 与 BD 交于点 O,+= λ,则λ=.答案 2教师用书专用 (8—10)8.(2013 辽宁 ,3,5 分)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为()A. B.C. D.答案 A9.(2014 课标Ⅰ,15,5 分)已知 A,B,C 为圆 O 上的三点 ,若 = ( + ),则与的夹角为.答案90°10.(2013 江苏 ,10,5 分 )设 D,E 分别是△ ABC 的边 AB,BC 上的点 ,AD= AB,BE= BC.若= λ1 + λ2 (λ1,λ2为实数 ),则λ 1+λ 2 的值为.答案考点二平面向量的基本定理及坐标表示1.(2017 课标全国Ⅲ理 ,12,5 分)在矩形 ABCD 中 ,AB=1,AD=2, 动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上 .若 = λ + μ ,则λ + μ的最大值为 ()A.3B.2C.D.2答案 A2.(2017 山东文 ,11,5 分)已知向量 a=(2,6),b=(-1, λ ).若 a∥b,则λ= .答案-33.(2015 江苏 ,6,5 分)已知向量 a=(2,1),b=(1,-2), 若 ma+nb=(9,-8)(m,n ∈ R),则 m-n 的值为.答案-34.(2014 北京 ,10,5 分 )已知向量 a,b 知足 |a|=1,b=(2,1), 且λa+b=0( λ ∈ R),则| λ |= .答案5.(2014 湖南 ,16,5 分 )在平面直角坐标系中,O 为原点 ,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点 D 知足 ||=1, 则|++| 的最大值是.答案+16.(2013 北京 ,13,5 分 )向量 a,b,c 在正方形网格中的地点如下图.若 c=λ a+μb(λ ,μ ∈ R),则 =.答案 4教师用书专用 (7—8)7.(2015 课标Ⅱ,13,5 分)设向量 a,b 不平行 ,向量λ a+b 与 a+2b 平行 ,则实数λ =.答案8.(2014 陕西 ,13,5 分 )设 0<θ < ,向量 a=(sin2 θ ,cosθ ),b=(cosθ ,1),若 a∥ b,则 tanθ =.答案三年模拟A 组 2016—2018 年模拟·基础题组考点一平面向量的线性运算及几何意义1.(2018 浙江杭州地域要点中学第一学期期中,10)△ ABC 中,已知∠C= ,||<||,=λ+(1- λ) (0< λ<1),则 || 取最小值时 ()A.| |>| |>| |B.| |>| |>| |C.| |>| |>| |D.| |>| |>| |答案 B2.(2017 浙江杭州质检 ,7)设 O 是△ ABC 的心里 ,AB=c,AC=b, 若= λ1 + λ2 ,则 ()A. =B. =C. =D. =答案 A3.(2016 浙江温州一模 ,14)已知△ABC 中 ,||=1,·=2, 点 P 为线段 BC 上的动点 ,动点 Q 知足=++ ,则·的最小值等于.答案-考点二平面向量的基本定理及坐标表示4.(2018 浙江“七彩阳光”结盟期中 ,6)已知两向量a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ),此中 0< β< α < ,则 |a+b|+|a-b|的取值范围是()A.(2,2 )B.(2,2)C.(2,4)D.(2,4)答案 A5.(2017 浙江名校 (衢州二中 )沟通卷五 ,16)在平面内 ,已知向量a=(1,3),b=(4,-3),c=(6,5), 若非负实数x,y,z 知足 x+y+z=1, 则向量p=xa+yb+zc的模的取值范围是.答案[,]B 组2016—2018 年模拟·提高题组一、选择题1.(2018 浙江高考模拟训练冲刺卷一,10)已知菱形ABCD 的边长为 2,∠BAD=120° .动点 P 在以 C 为圆心 ,1 为半径的圆上 ,且= λ+ μ,λ ,μ∈ R,则λ+ μ的最大值是 ()A. B.C.2D.3答案 D2.(2018 浙江镇海中学期中,9)在平面内 ,·=·=·=6, 动点 P,M 知足 ||=2,=,则|| 的最大值是()A.3B.4C.8D.16答案 B3.(2018 浙江名校协作体期初,10)设数列 {x n} 的各项都为正数且x1 =1. △ABC 内的点 P n(n ∈N * )均知足△ P n AB 与△P n AC 的面积比为 2∶1,若+ x n+1+(2x n +1)=0, 则 x 4的值为 ()A.15B.17C.29D.31答案 A4.(2017 浙江镇海中学模拟卷二,7)已知△ABC 的外心为 O,且知足∠ BAC=60°, =x+y( 此中 x≥ 1),则 x+4y 的最大值为()A.2B.C. D.5答案 A二、填空题5.(2018 浙江要点中学12 月联考 ,15)已知矩形 ABCD,AB=2,BC=1, 点 E 是 AB 的中点 ,点 P 是对角线 BD 上的动点 ,若=x+y,则·的最小值是,x+y 最大值是.答案1;56.(2017 浙江镇海中学模拟卷(六 ),16)已知向量 a,b,|a|=2,|b|=1,向量c=xa+2(1-x)b(x∈ R),若|c|取最小值时,向量m知足(a-m)·(c-m)=0, 则 |m| 的取值范围是.答案7.(2017 浙江镇海中学模拟卷五,16)在△ABC 中 ,∠ ACB 为钝角 ,CA=CB=1, 当 t∈ R 时 ,|-t| 有最小值 ,为,若=x+(1-x)(x∈ R),则|| 的最小值为.答案8.(2017 浙江杭州二模 (4 月),15)设 P 为△ ABC 所在平面上一点,且知足 3 +4=m(m>0). 若△ ABP 的面积为 8,则△ ABC 的面积为.答案14C 组 2016—2018 年模拟·方法题组方法 1 平面向量的线性运算的解题策略1.(2017 浙江金华十校调研,16)设单位向量a,b 的夹角为α ,且α∈,若对随意的 (x,y) ∈ {(x,y)||xa+yb|=1,x,y≥0},都有|x+2y|≤建立,则a· b的最小值为.答案方法 2平面向量的坐标运算的解题策略2.如下图 ,已知点 F(1,0),直线 l:x=-1,P 为平面上的动点,过 P 作直线 l 的垂线 ,垂足为点 Q,且·=·.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程 ;(2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A 、 B 两点 ,交直线 l 于点 M, 已知= λ1,= λ2,求λ1+ λ2的值 .分析(1)设点 P(x,y), 则 Q(-1,y),由·=·得(x+1,0)· (2,-y)=(x-1,y)· (-2,y),化简得轨迹 C 的方程为 y 2=4x. (2)设直线 AB 的方程为x=my+1(m ≠0),A(x 1,y1),B(x 2,y2),则 M.由消去 x 得 y2-4my-4=0,=(-4m) 2 +16>0, 故由= λ1,= λ2得y1+ =- λ1y 1,y2+=- λ2y 2,整理得λ 1=-1-,λ2=-1-,∴λ1+λ 2=-2-=-2-·=-2-·=0.。
2019届高考数学(文科新课标B)一轮复习课件5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理
2.(2015课标Ⅰ,2,5分,0.734)已知点A(0,1),B(3,2),向量A C =(-4,-3),则向量 B C= ( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)
答案 A 根据题意得A B =(3,1),∴ B =C A-C =(A-B4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A.
评析 本题考查了向量的坐标运算,运用了转化与化归的思想.
2.(2015陕西,8,5分)对任意平面向量a,b,下列关系式中 不恒的成是立( )
A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2
答案 B 设向量a,b的夹角为θ,因为a·b=|a||b|cos θ,所以|a·b|=|a||b||cos θ|≤|a||b|,A成立;由 运算律易知C,D成立.故选B.
3.(2015四川,2,5分)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x= ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 答案 B ∵a与b共线, ∴2×6=4x,∴x=3,故选B.
4.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|
A.
3 5
,
4 5
B.
4 5
,
3 5
C.
3 5
,
4 5
D.
4 5
,
3 5
答案 A ∵A(1,3),B(4,-1),
∴ A B=(3,-4),又∵| A|=B 5,
∴与 A B同向的单位向量为
A B=
|AB |
.故53 , 选54 A .
【2019版课标版】高考数学文科精品课件§5.1 平面向量的基本概念与线性运算
第五章平面向量命题探究解答过程答案:A解析:(解法一)如图,以A为原点,以AB,AD所在直线为x,y轴建立如图所示的坐标系,则A(0,0),B(1,0),D(0,2),C(1,2).动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上,设圆的半径为r,∵BC=2,CD=1,∴BD=√22+12=√5,∴12BC·CD=12BD·r,∴r=√5,∴圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=45,设点P的坐标为(2√55cosθ+1,2√55sinθ+2).∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(2√55cosθ+1,2√55sinθ+2)=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),∴2√55cosθ+1=λ,2√55sinθ+2=2μ,∴λ+μ=2√55cosθ+√55sinθ+2=sin(θ+φ)+2,其中tanφ=2.∵-1≤sin(θ+φ)≤1,∴1≤λ+μ≤3,故λ+μ的最大值为3,故选A.(解法二)分别以CB、CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系,则A(2,1),B(2,0),D(0,1).∵点P在以C为圆心且与BD相切的圆上,∴可设P(√5√5.则AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1),AD⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0),AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(√5-√5-1).又AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ=-√5sinθ+1,μ=-√5cosθ+1,∴λ+μ=2-√5sinθ-√5cosθ=2-sin(θ+φ),其中tanφ=12,∴(λ+μ)max=3§5.1平面向量的基本概念与线性运算考纲解读考点 内容解读 要求高考示例常考题型 预测热度1.平面向量的基本 概念与线性运算①了解向量的实际背景;②理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义; ③理解向量的几何表示;④掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义掌握2015课标Ⅰ,7; 2015陕西,7; 2013四川,12 选择题 填空题 ★★☆2.向量的共线问题 ①掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义;②了解向量线性运算的性质及其几何意义掌握2015课标Ⅱ,13; 2013陕西,3选择题 填空题★★☆分析解读 1.从“方向”与“大小”两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.3.向量共线的条件要结合向量数乘的意义去理解,并能灵活应用.4.向量的概念与运算是必考内容.5.本节在高考中主要考查平面向量的线性运算及其几何意义,分值约为5分,属中低档题.五年高考考点一 平面向量的基本概念与线性运算1.(2015课标Ⅰ,7,5分)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗B.AD⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AC ⃗⃗⃗⃗⃗答案 A2.(2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立····的是( )A.|a ·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a 2-b 2 答案 B3.(2013四川,12,5分)在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= . 答案 2考点二 向量的共线问题1.(2013陕西,3,5分)设a,b 为向量,则“|a ·b|=|a||b|”是“a ∥b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C2.(2015课标Ⅱ,13,5分)设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 答案 12三年模拟A 组 2016—2018年模拟·基础题组考点一 平面向量的基本概念与线性运算1.(2018辽宁葫芦岛期中,3)在△ABC 中,G 为重心,记a=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13a-23b B.13a+23b C.23a-13b D.23a+13b 答案 A2.(2017山西大学附中期中,6)如图,e 1,e 2为互相垂直的单位向量,则向量a+b+c 可表示为( )A.3e 1-2e 2B.-3e 1-3e 2C.3e 1+2e 2D.2e 1+3e 2答案 C3.(2017河北石家庄二中联考,7)M 是△ABC 所在平面内一点,23MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,D 为AC 中点,则|MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为( )A.12B.13C.1D.2答案 B4.(人教A 必4,二,2-2A,12,变式)已知△ABC 和点M 满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.若存在实数m,使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立,则m=( ) A.2B.3C.4D.5答案 B考点二 向量的共线问题5.(2016河南安阳二模,5)向量a=(2,-9),b=(-3,3),则与a-b 同向的单位向量为( ) A.(513,-1213) B.(-513,1213) C.(1213,-513) D.(-1213,513) 答案 A6.(2018北师大附中期中,13)已知向量a=(1,1),点A(3,0),点B 在直线y=2x 上,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥a,则点B 的坐标为 . 答案 (-3,-6)7.(2017江西九校12月联考,14)已知O 为坐标原点,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-1),且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案72B 组 2016—2018年模拟·提升题组(满分:25分 时间:20分钟)选择题(每小题5分,共25分)1.(2018辽宁丹东五校协作体联考,8)P 是△ABC 所在平面上的一点,满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若S △ABC =6,则△PAB 的面积为( )A.2B.3C.4D.8 答案 A2.(2017湖北宜昌一中月考,9)已知O 为△ABC 的外心,D,E 分别为AB,AC 的中点,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=16,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10√2.若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且32x+25y=25,则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=( )A.8B.10C.12D.14答案 B3.(2017安徽皖智教育月考,8)在矩形ABCD 中,AB=√5,BC=√3,P 为矩形内一点,且AP=√52,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R),则√5λ+√3μ的最大值为( ) A.√52B.√102C.3+√34D.√6+3√24答案 B4.(2016广东茂名二模,9)已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1)且a ∥b,若x,y 均为正数,则3x +2y的最小值是( ) A.24B.8C.83D.53答案 B5.(2016河南中原名校3月联考,8)如图,在直角梯形ABCD 中,AB=2AD=2DC,E 为BC 边上一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 为AE 的中点,则BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗D.-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗答案 CC 组 2016—2018年模拟·方法题组方法1 平面向量的线性运算技巧和数形结合的方法1.(2018吉林长春模拟,6)D 为三角形ABC 所在平面内一点,且AD⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则S △BCD S △ABD=( ) A.16B.13C.12D.23答案 B2.(2017安徽池州模拟,7)梯形ABCD 中,AB ∥CD,CD=2AB,AC 交BD 于O 点,过O 点的直线分别交AD 、BC 于E 、F 点,DE⃗⃗⃗⃗⃗ =m DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =n CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则12−m +12−n=( )A.2B.32C.1D.43答案 B3.(2016河南开封二模,14)已知平面向量a,b,c 满足|a|=|b|=|a-b|=|a+b-c|=1,则|c|的最大值M= . 答案 √3+1方法2 向量共线问题的解决方法4.(2018辽宁丹东五校协作体联考,4)向量a=(13,tanα),b=(cos α,1),且a ∥b,则cos 2α=( ) A.13B.-13C.79D.-79答案 C5.(2017湖北恩施月考,14)设e 1,e 2是两个不共线的向量,已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+tan α·e 2,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1-54e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-e 2,若A,B,D 三点共线,则2sinα-cosαsinα+cosα=.答案 06.(2016天津和平二模,11)在△ABC 中,过中线AD 的中点E 作一条直线分别交AB,AC 于M,N 两点,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x>0,y>0),则4x+y 的最小值为 . 答案 94。
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(2)求已知向量的和或差.一般共起点的向量求和用平行四边形法则;求差用三角形法则;求首
尾相连向量的和用三角形法则. (3)与三角形联系,求参数的值.求出向量的和或差与已知条件中的式子比较,然后求参数. (4)与平行四边形联系,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向
量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
2.(2017课标全国Ⅱ,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ( A.a⊥b B.|a|=|b|
)
C.a∥b
D.|a|>|b|
答案 A 本题考查向量的有关概念. 由|a+b|=|a-b|的几何意义知,以向量a、b为邻边的平行四边形为矩形,所以a⊥b.故选A. 一题多解 将|a+b|=|a-b|两边分别平方得|a|2+2a· b+|b|2=|a|2-2a· b+|b|2,即a· b=0,故a⊥b.故选A.
高考文数
( 课标专用)
§5.1
平面向量的概念及线性运算、平面向 量基本定理
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
EB = ( 1.(2018课标全国Ⅰ,7,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则
)
3 1 4 4 3 1 AB + C. AC 4 4
AD ,故选A. b)=
AB + AD = OA + AC ).②设O为△ABC的重心,则 知识拓展 ①在△ABC中,D为BC边的中点,则 (
OB + OC =0.
1 2
5.(2018课标全国Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(24.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则| PA + PB
m 3
4 2
B组
考点一
自主命题·省(区、市)卷题组
向量的线性运算及几何意义
(2014福建,10,5分)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任 意一点,则 OA + OB + OC + OD 等于 ( A. OM C.3 OM 答案 D
)
A. AD C. BC
2 1 D. BC 2
1 B. AD
答案 A
1 1 1 1 1 EB EB AB FC FC AC 设 =a, =b,则 =- b+a, =- a+b,从而 + = b a + a b = (a+ 2 2 2 2 2
答案 B ∵a与b共线, ∴2×6=4x,∴x=3,故选B.
2.(2015福建,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于 ( A.- 答案 A
3 2
)
B.-
5 3
C.
5 3
D.
3 2
3 2
c=a+kb=(1+k,2+k).由b⊥c,得b· c=0,即1+k+2+k=0,解得k=- .故选A.
AC =(x,y)-(0,1)=(x,y-1)=(-4,-3),解得x=-4,y=-2, 解法二:设C(x,y),则
BC =(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4). 故
4.(2014课标Ⅰ,6,5分,0.498)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则 EB + FC = (
3.(2015广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形, AB =(1,-2), AD =
AD · AC = ( (2,1),则
) D.2
A.5
B.4
C.3
答案 A ∵四边形ABCD是平行四边形,∴ = + =(3,-1), ∴ · AB AD AD AC AC =2×3+1×(-1)=5.
3.(2015课标Ⅰ,2,5分,0.734)已知点A(0,1),B(3,2),向量 BC = ( AC =(-4,-3),则向量
)
A.(-7,-4)
B.(7,4)
C.(-1,4)
D.(1,4)
答案 A 解法一:根据题意得 AB =(3,1),∴ AB =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A. BC = AC -
又知D为BC的中点, ∴ ( AB + AD = AC ),
1 3 1 因此 ( EB =- AB + AB = AB - AC )+ AC ,故选A.
1 2
4
4
4
规律总结 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略: (1)考查向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合平行四边形法则.
AB - AC A.
1 3 4 4 1 3 AB + D. AC 4 4
AB AC B. -
答案 A 本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义.
1 EA AD , ∵E是AD的中点,∴ =- 2 1 EA EB AB =- AB , AD + ∴ = + 2
.
2
1 2
1
解析 由题意得2a+b=(4,2),因为c=(1,λ),c∥(2a+b),所以4λ-2=0,解得λ= . 6.(2016课标全国Ⅱ,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m= 答案 -6 .
解析 因为a∥b,所以 = ,解得m=-6.
易错警示 容易把两个向量平行与垂直的条件混淆.
)
B.2 OM D.4 OM
OA + OA + OB + OB + OM +2 OM =4 OM .故选D. OC + OD =( OC )+( OD )=2
考点二
A.2
平面向量基本定理及向量的坐标运算
) C.4 D.6
1.(2015四川,2,5分)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x= ( B.3