离散数学考试大纲
离散数学期末复习
离散数学内容总结大纲第一篇 数理逻辑第1章 命题逻辑求命题公式的主析取范式及主合取范式例 求()()p r q p ∨⌝∧∨的主析取范式及主合取范式。
例 求(P →Q)∧R 的主析取范式及主合取范式。
例 求命题公式R Q P ∨∧)(的主析取范式和主合取范式。
例 求公式A =(p →⌝q )→r 的主析取范式与主合取范式。
例 求()r q p →→的主析取范式。
判断公式类型例 用等值演算法判断公式q ∧⌝ (p →q )的类型例 判断下列命题公式的类型（永真式、永假式、可满足式），方法不限。
(1)(2)证明例 证明：()()()r q r p r q p →∧→⇔→∨ 例 证明：r q p r q p →∧⇔→→)()( 例 推证：⌝Q ∧(P →Q)⇒⌝P例 前提：q p s q r p ∨→→,,，结论：s r ∨。
该结论是否有效？请说明原因。
在命题逻辑中构造下面推理的证明：例 如果小张守第一垒并且小李向B 队投球，则A 队获胜。
或者A 队未获胜，或者A 队成为联赛的第一名。
小张守第一垒。
A 队没有成为联赛的第一名。
因此小李没有向B 队投球。
解：先将简单命题符号化。
P：小张守第一垒；Q：小李向B队投球；R：A队取胜；S：A 队成为联赛第一名。
前提：(P∧Q)→R，R∨S，P，S结论：Q证明：(1) R∨S 前提引入(2) S 前提引入(3) R (1)(2)析取三段论(4) (P∧Q)→R 前提引入(5) (P∧Q) (3)(4)拒取式(6) P∨Q (5)置换(7) P 前提引入(8) Q (6)(7)析取三段论例一个公安人员审查一件盗窃案，已知下列事实：（1）甲或乙盗窃了录像机；（2）若甲盗窃了录像机，则作案时间不能发生在午夜前；（3）若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭；（4）若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜前；（5）午夜时屋里灯光灭了。
根据以上事实，推断谁是盗窃犯。
（在命题逻辑中构造推理证明。
离散数学大纲
离散数学教学大纲第一部分大纲说明一.课程的性质与任务《离散数学》是现代数学的一个重要分支，也是计算机计算机科学与技术一级学科及其相关专业必修的基础理论的核心课程。
它是学习后续专业课程不可缺少的数学工具。
该课程结合计算机学科的特点，主要研究离散量结构及相互关系，其研究对象一般是有限个或可数个元素，因此《离散数学》充分描述了计算机学科离散性的特点。
它是一门理论性较强，应用性较广的课程。
掌握集合论、数理逻辑、图论、整数、群、环、域、格、布尔代数以及语言与有限自动机等离散数学的基本概念和基本原理，为学习计算机专业各后续课程做好必要的知识准备。
并通过这些知识的学习进一步提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，为从事计算机相关的理论研究与应用提供必要的描述工具和理论基础。
二《离散数学》的特点作为计算机科学与技术一级学科的一门课程，《离散数学》有与其他课程相同相似的地方，当然也有它自身的特点：1、义与定理多。
《离散数学》是建立在大量定义之上的逻辑推理学科，因此对概念的理解是我们学习这门课程的核心。
在学习这些概念的基础上，要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理与性质。
2、法性强。
《离散数学》的许多证明题中，方法性是非常强的，如果知道题的证明方法，很容易就可以证出来，反之则事倍功半。
所以在学习该课程中要善于总结，勤于思考，这也是培养分析问题解决问题抽象思维能力的一个过程。
三与其他相关课程的关系先修课程：高等数学（包括数学分析、线性代数）后续课程：数据结构、数据库、编译原理等四课程的主要内容与基本要求本课程分为九部分：集合论基础、命题逻辑、谓词逻辑、图与网络、数论基础、群与环、多项式与有限域、格与布尔代数以及语言和有限自动机。
（一）集合论基础：在整个《离散数学》的知识体系中，集合论处于基础的地位，对于其所包含知识的掌握程度，直接关系到是否能学好图论和抽象代数问题。
本章主要讲述集合、关系和映射。
1. 掌握集合、子集、超集、空集、幂集、集合族的概念。
离散数学教学大纲(本科)
《离散数学》课程教学大纲一、《离散数学》课程说明课程英文名称：Discrete mathematics课程类型：考试课课程性质：专业技术基础课总学时： 72学时适用对象：计算机科学与技术专业本科生先修课程：高等数学线性代数（一）课程简介离散数学，是现代数学的一个重要分支，是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素。
《离散数学》内容主要包括:集合、映射与运算，关系，命题逻辑，谓词逻辑，代数结构，图论，以及几类特殊的图和组合计数.通过该课程可以培养学生的抽象思维和慎密的概括能力，是计算机专业的必修课。
（二）课程性质、目的和任务《离散数学》课程是为计算机科学与技术专业的学生开设的一门专业基础课程。
随着计算机科学的发展和计算机应用领域的日益广泛，迫切需要适当的数学工具来解决计算机科学各个领域中提出的有关离散量的理论问题，离散数学就是适应这种需要而建立的，它综合了计算机科学中所用到的研究离散量的各个数学课题，并进行系统、全面的论述，从而为研究计算机科学及相关学科提供了有利的理论基础和工具。
是学习后续专业课程不可缺少的数学工具，如：高级语言、数据结构、编译原理、操作系统、可计算性理论、人工智能、形式语言与自动机、信息管理与检索以及开关理论等，离散数学也是研究自动控制、管理科学、电子工程等的重要工具。
教学的目的是进一步提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，为从事计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。
并为后续课程的学习打下良好的基础。
（三）与其他课程的联系除要求学生具有矩阵和矩阵运算方面的一些知识外，离散数学基本上是一门体系独立自行封闭的基础数学课程，但由于它内容抽象，理论性较强，因此它需要学生先期有较好的数学思维的训练。
最好将此课程安排在高等数学和线性代数课程之后。
本课程为“数据结构”、“数据库原理”、“操作系统”、“编译原理”、“人工智能”等许多其它专业基础课奠定必要的数学基础。
离散数学课程教学大纲
《离散数学》课程教学大纲四川广播电视大学计算机教研室责任教师孙继荣第一部分大纲说明一、课程的性质与任务《离散数学》是中央电大数学与应用数学专业本科与计算机应用专业计算机信息管理方向必修的专业基础课程。
它是学习后续专业课程不可缺少的数学工具。
该课程结合计算机学科的特点，主要研究离散量结构及相互关系，是一门理论性较强，应用性较广的课程。
掌握集合论、数理逻辑和图论等离散数学的基本概念和基本原理，为学习计算机专业各后续课程做好必要的知识准备。
进一步提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，为从事计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。
二、与其他相关课程的关系先修课程：高等数学、线性代数。
后续课程：数据结构、数据库、操作系统、计算机网络等。
三、课程的教学内容和教学要求本课程分为四个部分：集合论、数理逻辑、代数系统以及图论，主要是要求学生掌握离散数学（集合论、数理逻辑和图论）的有关基本概念，对基本原理及基本运算的应用。
第一章集合主要内容：集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集；集合的交、并、差、补等运算及运算律和文氏图；序偶与笛卡儿积。
重点：集合概念、集合的运算、集合恒等式的证明、笛卡儿积。
第二章二元关系主要内容：关系、关系矩阵和关系图；复合关系和逆关系；关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）；关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）；等价关系和等价类；偏序关系与哈斯图、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界；函数及其性质（单射、满射、双射）；复合函数与反函数；重点：关系概念及其性质、等价关系和偏序关系，函数。
第三章命题逻辑主要内容：命题与联结词（否定、合取、析取、蕴涵、等价）；复合命题；命题公式与解释，真值表，公式分类（恒真、恒假、可满足），公式的等价；析取范式（）合取范式，极大（小）项、主析取（合取）范式；公式类别的判别方法（真值表、等值演算法和主析取（合取）范式法）；公式的蕴涵与逻辑结果；形式演绎。
《离散数学》教学大纲
《离散数学》教学大纲（Discrete Mathematics）适用专业：电子信息类课程类别：学科基础课课程学时：48课程学分：3.0先修课程：高等数学、线性代数等一、课程简介离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程，是计算机科学与技术的支撑学科。
它在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能与机器人、数据库、网络、计算机图形学、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
通过离散数学的学习，不但可以掌握离散结构的描述工具和处理方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。
二、教学目的与任务离散数学是一门培养学生缜密思维、严格推理，具有综合归纳分析能力的课程。
通过本课程的学习，使学生有一定的严格逻辑推理与抽象思维能力，掌握离散量的处理及运算技能，能够将离散数学应用到解决计算机技术中的实际问题中。
不仅能为学生奠定计算机科学的专业基础，并且能为将后续课程的学习及将来开发软、硬件技术及研究、应用提供有力的工具。
三、课程内容第1章命题逻辑的基本概念1.1命题与联结词1.2命题公式及其赋值第2章命题逻辑等值演算2.1等值式2.2析取范式与合取范式* 2.3联结词的完备集* 2.4可满足性问题与消解法第3章命题逻辑的推理理论3.1推理的形式结构3.2自然推理系统P3.3消解证明法第4章一阶逻辑基本概念4.1一阶逻辑命题符号化4.2一阶逻辑公式及其解释第5章一阶逻辑等值演算与推理5.1一阶逻辑等值式与置换规则5.2一阶逻辑前束范式* 5.3一阶逻辑的推理理论第6章集合代数6.1集合的基本概念6.2集合的运算6.3有穷集的计数6.4集合恒等式第7章二元关系7.1有序对与笛卡儿积7.2二元关系7.3关系的运算7.4关系的性质7.5关系的闭包7.6等价关系与划分7.7偏序关系第8章函数8.1函数的定义与性质8.2函数的复合与反函数* 8.3双射函数与集合的基数* 8.4一个电话系统的描述实例第14章图的基本概念14.1图14.2通路与回路14.3图的连通性14.4图的矩阵表示* 14.5图的运算第15章欧拉图与哈密顿图15.1欧拉图15.2哈密顿图15.3最短路问题、中国邮递员问题与货郎担问题第16章树16.1无向树及其性质16.2生成树16.3根树及其应用三、课程学时分配、教学内容与教学基本要求四、教学方法与教学手段说明该课程教学方式主要有：课堂教学、交互学习、课后作业。
考试大纲格式.doc
2020年硕士研究生入学考试大纲考试科目名称：离散数学考试时间：120分钟，满分：100分一、考试要求1．掌握命题逻辑和谓词逻辑中的基本概念、基本定理和证明方法。
了解数理逻辑在计算机科学与技术和人工智能中的应用。
2．掌握集合、关系及函数中的基本概念、基本定理和证明方法。
了解集合与关系、函数在计算机科学与技术中的应用。
3．掌握群、环、域和格中的基本概念、基本定理和证明方法。
了解群、环、域及布尔代数在计算机科学与技术中的应用。
4．掌握图、赋权图、欧拉图、哈密顿图、二部图、平面图和树中的基本概念、基本定理和证明方法。
理解图论在计算机科学与技术和人工智能中的应用。
5．能够运用离散数学的知识和技能进行问题的分析与求解，即能对问题进行抽象建模，能熟练使用高级语言（C或C++或MATLAB等）进行模型的具体实现（编程）。
二、考试内容1．集合与计数（1）集合的概念及表示（2）特殊集合（子集合、幂集合、补集合）（3）集合的运算（4）计数问题①基本计数原理②排列与组合③容斥原理（5）集合的应用2．关系（1）关系的概念及表示①序偶与笛卡尔积②关系的定义③关系的表示（2）关系的性质（3）关系的运算①基本运算②复合运算③逆运算④幂运算⑤闭包运算⑥关系性质运算的封闭性（4）特殊关系①等价关系②相容关系③偏序关系（5）关系的应用3．函数（1）函数的概念（2）函数的运算（3）函数的应用4．命题逻辑（1）命题逻辑的基本概念（2）命题逻辑公式①命题公式及解释②命题公式的分类③命题公式的等值式④命题公式的范式（3）命题逻辑推理①推理的基本概念②简单证明推理③构造证明推理（4）命题逻辑的应用5．谓词逻辑（1）谓词逻辑的基本概念①个体词②谓词③函词④量词（2）谓词逻辑公式①谓词逻辑公式及解释②谓词逻辑公式的分类③谓词逻辑公式的等值式④谓词逻辑公式的范式（3）谓词逻辑推理（4）谓词逻辑的应用6．代数系统（1）代数系统的基本概念（2）代数系统的性质（3）相互联系的的代数系统①同构代数系统②同态代数系统③商代数系统7．典型代数系统（1）半群和群①半群的定义及性质②群的定义及性质③特殊群④群的应用（2）环和域①环的定义及性质②域的定义及性质③域的应用（3）格和布尔代数①格的定义及性质②特殊格③布尔代数的概念及性质④格的应用8．图（1）图的概念与表示①基本概念②图的连通性③图的操作④图的表示（2）赋权图①赋权图的定义②最短通路问题（3）欧拉图①欧拉图的定义②欧拉图的判定③中国邮路问题（4）哈密顿图①哈密顿图的定义②哈密顿图的判定③货郎担问题（5）二部图①二部图的定义②二部图的判定③匹配问题（6）平面图①平面图的定义②平面图的判定③图的着色问题9．树（1）无向树①基本概念②生成树③最小生成树问题（2）有向树①基本概念②根树③二叉树④最优树问题三、参考书目1. 离散数学. 古天龙、常亮编著. 北京：清华大学出版社.2012.72. 离散数学（第2版）.屈婉玲、耿素云、张立昂编著. 北京：高等教育出版社. 2015.33. 离散数学教程. 王元元等编著. 北京：高等教育出版社.2010.7。
离散数学（同等学力加试）
离散数学（同等学⼒加试）⼤连海事⼤学硕⼠研究⽣⼊学考试⼤纲考试科⽬：离散数学试卷满分及考试时间：试卷满分为100分，考试时间为180分钟。
⼀、命题逻辑考试内容命题，连接词的真值，重⾔式/⽭盾式/可满⾜式，代⼊规则与替换规则，等价与蕴含，对偶式与对偶原理，连接词的最⼩功能完备集，范式与主范式，命题逻辑的推理规则法考试要求1．理解命题的概念，理解连接词的真值（特别是单条件连接词的真值）。
2．简要了解重⾔式/⽭盾式/可满⾜式，以及代⼊规则与替换规则。
3．掌握等价式和蕴含式的的推导，掌握常见的基本等价式和基本蕴含式。
4．简要了解对偶式的概念与对偶原理的公式。
5．了解连接词的最⼩功能完备集。
6．掌握范式的概念，特别是主范式的概念，会求命题公式的主析取范式和主合取范式，并能表⽰成 m i和ΠM j的形式。
7．重点掌握推理规则法的证明题。
⼆、谓词逻辑谓词，量词与全总个体域与特性谓词，谓词公式，⾃由变元与约束变元，谓词公式的等价式与蕴含式，谓词逻辑的推理规则法考试要求1．理解谓词的概念，会使⽤谓词和量词对⼀个问题符号化，特别要理解符号化时默认个体域是全总个体域时的处理。
2．简要了解什么是⾃由变元与约束变元。
3．掌握谓词公式的等价推导和蕴含推导（重点是⼀元量词公式的量词转换律，量词辖域扩⼤收缩律和量词分配律）4．重点掌握谓词逻辑的推理规则法的证明题三、集合集合的基本概念和基本定理，集合的运算，容斥原理，笛卡尔积考试要求1．理解空集、全集、幂集的概念的理解，会熟练求幂集。
掌握集合相等的判定定理、空集的属性定理以及幂集计数定理。
2．掌握集合的基本运算和常见的集合等式，会做集合等式的证明推导。
3．了解容斥原理，会做简单的利⽤容斥原理的计算问题。
4．掌握笛卡尔积的概念及其性质，笛卡尔积元素计数公式。
四、⼆元关系关系的概念及其性质，关系图与关系矩阵，关系的运算，等价关系与划分，偏序关系考试要求1．理解关系的概念，集合上能建⽴有多少种不同的⼆元关系的计算2．从定义、关系图、关系矩阵三个⾓度理解关系的5个性质（⾃反、反⾃反、对称、反对称和传递性）3．掌握关系的的合成运算、逆运算和闭包运算（⾃反闭包、对称闭包、传递闭包）4．掌握划分、等价关系、等价类的概念，理解⾮空集合X上的等价关系与X的划分是⼀⼀对应的。
离散数学教学大纲全文优选
最新精选全文完整版（可编辑修改）《离散数学》教学大纲一、课程概述1. 课程研究对象和研究内容离散数学是计算机各专业的主干课之一，本课程的目的是使学生懂得怎样在一个通用的层面上，利用离散结构去描述和理解计算机科学的基本问题和一般的求解方法。
训练学生在符号处理层面上基于离散性思维的构造性思想。
在计算机科学中不仅要证明解的唯一性，而更重要的是将解构造出来和证明构造的有效性。
构造性是计算机科学的最基本的思维，构造的根据是一类问题的离散结构。
通过本课程的学习，使学生能了解和掌握构造性思维方法；在开发和利用计算机系统过程中，在最通用层面上利用离散结构去塑造和设计计算机系统；对计算机系统中出现的问题能在符号层面上认识和寻找解决的办法；并能使用有效的数学工具和逻辑工具。
离散数学的整个教学就是围绕着“能满足构造性思维的离散结构是什么？”通过本门课程的学习，使学生从两个方面牢固认识、理解和掌握离散结构：一种是由事物和事物的性质和关系（用谓词公式表示）来确定的离散结构，并能用形式符号的方法和等价的图形方法来描述；另一种是以关于事物的生成操作（在符号层面用代数运算表示）来确定的离散结构。
2. 课程在整个课程体系中的地位《离散数学》是计算机专业的必修课。
《离散数学》的先行课是《线性代数》。
二、课程目标1．知道《离散数学》这门学科的性质、地位和独立价值。
知道这门学科的研究范围、基本框架、研究方法、学科进展。
2．理解各种离散结构的基本思想、构造方法、主要概念和性质。
3．熟练掌握各种基本公式（如等值公式）、基本方法（如推理方法）和计算、证明过程及抽象方法，培养对数学模型问题的分析能力以及对数学方法的应用能力。
4．了解离散数学在计算机中各分支的一些应用。
三、课程内容和要求这门学科的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次。
这四个层次的一般涵义表述如下：知道———是指对这门学科和教学现象的认知。
理解———是指对这门学科涉及到的概念、原理、策略与技术的说明和解释，能提示所涉及到的教学现象演变过程的特征、形成原因以及教学要素之间的相互关系。
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离散数学考试大纲
1 命题演算基础
1．1 命题与联结词
①命题②联结词③合式公式④命题的符号化
1.2 真假性
①解释②等价公式③联结词的完备集④对偶式和内否式。
1.3 范式及其应用
①范式②主范式
2 命题演算的推理理论
2.1 命题演算的公理系统
①公理系统的组成部分②公理系统的推理过程
2.2 命题演算的假设推理系统
①假设推理系统的组成②假设推理系统的推理过程
2.3 命题演算的归结推理法
①归结证明过程②归结证明方法
3 谓词演算基础
3.1 谓词和个体
①个体②谓词③语句的符号化
3.2 函数和量词
①函数项②量词
3.4 永真性和可满足性
①真假性②同真假性③永真性和可满足性④范式
4 谓词演算的推理理论
4.1 谓词演算的永真公理系统
①公理系统的组成部分②公理系统的推理过程
4.2 谓词演算的假设推理系统
①假设推理系统的组成及证明方法②定理的推导过程
4.3 谓词演算的归结系统
①置换②归结反演系统③霍恩子句逻辑程序
5递归函数论
5.1 数论函数和数论谓词
5.2 函数的构造
6 集合
6．1 集合的基本概念
①集合；②子集合；③空集合；④集合的相等。
6．2 集合的基本运算
①集合的运算；②集合的交；③集合的并；④集合的差；⑤集合的对称差；⑥集合的广义交；
⑦集合的广义并；⑧幂集合。
6．3 全集和集合的补
①全集；②集合的补；③德·摩根定律。
6．4 自然数与自然数集
①自然数；②自然数集；③数学归纳法；④集合的归纳定义。
6．5 包含与排斥原理
①有限集；②包含与排斥原理。
7 关系
7．1 集合的笛卡尔积集
①有序对；②集合的笛卡尔积集；③有序n(n≥2)元组；④n重(n≥2)笛卡尔积集。
7．2 二元关系的基本概念
①二元关系；②二元关系的表示；③二元关系的图形表示；④二元关系的矩表示；⑤二元关系的运算；⑥二元关系的复合运算；⑦二元关系的逆关系。
7．3 二元关系的性质
①二元关系的性质；②自反的二元关系；③反自反的二元关系；④对称的二元关系；⑤反对称的二元关系；⑥传递的二元关系。
7．4 二元关系的闭包运算
①二元关系的闭包运算；②自反闭包；③对称闭包；④传递闭包。
7．5 等价关系与集合的划分
①等价关系；②等价类；③集合的划分；④商集合。
7．6 偏序关系和格
①偏序关系；②偏序集；③极大元；④极小元；⑤最大元；⑥最小元；⑦最小上界；⑧最大下界；⑨可比；⑩覆盖；⑾有序集；⑿良序集；⒀格。
8 函数与集合的势
8．1 函数的基本概念
①函数（映射）；②定义域；③陪域；④值域；⑤象集；⑥原象集；⑦单射函数；⑧满射函数；⑨双射函数。
8．2 函数的复合与可逆函数
①函数的复合；②左可逆函数；③右可逆函数；④可逆函数。
8．3 无限集
①集合的势；②无限集；③集合的势相等；④可数无限集；⑤不可数无限集；⑥集合势大小的比较。
9 图论
9．1 图的基本概念
①有向图；②无向图；③顶点集；④边集；⑤自环；⑥孤立点；⑦多重边；⑧简单图；⑨完全图；⑩关联；⑾邻接；⑿图的同构；⒀子图；⒁生成子图；⒂补图；⒃图的顶点度数（次数）；⒄图的顶点度数和与边数关系。
9．2 图中的通路、图的连通性与图的矩阵表示
①图中的通路；②简单通路；③初等通路；④回路；⑤简单回路；⑥初等回路（圈）；⑦连通图；⑧有向连通图；⑨有向单侧连通图；⑩有向强连通图；⑾图的邻接矩阵；⑿图的关联矩阵；⒀图的可达矩阵。
9．3 带权图与带权图中最短通路
①带权图；②带权图的最短通路；③狄克斯瑞（Dijkstra）算法。
9．4 欧拉图
①欧拉图；②欧拉通路；③欧拉回路；④欧拉定理。
9．5 哈密尔顿图与货郎担问题
①哈密尔顿通路；②哈密尔顿回路（圈）；③哈密尔顿图；④哈密尔顿图的必要条件；⑤哈密尔顿图的充分条件；⑥货郎担问题；⑦最邻近算法。
9．6 二部图
①二部图（偶图）；②二部图的充要条件；③二部图的匹配；④二部图的极大匹配；⑤二部
图的完美匹配。
9．7 平面图
①平面图；②平面图的欧拉定理；③平面图的必要条件；④平面图的区域着色。
10 树
10．1 树的基本概念
①树；②树中顶点与边关系公式；③树的等价定义。
10．2 连通图的生成树与带权图的最小生成树
①连通图的生成树；②割集；③割集与生成树的关系；④带权图最小生成树的算法。
10．3 有序树
①有向树；②根树；③有序树；④有序n (n≥2)分树；⑤正则有序n (n≥2) 分树。
10．4 前缀码和最优二分树
①前缀码；②带权图的最优二分树；③霍夫曼（Huffman）算法。
11 群和环
11．1 代数运算的基本概念
①二元运算；②封闭的二元运算；③可结合的二元运算；④可交换的二元运算；⑤n元运算11．2 代数系统和半群
①代数系统；②左么元；③右么元；④么元；⑤半群；⑥含么半群（独异点）；⑦半群的同态；⑧子半群；⑨子含么半群。
11．3 群的基本概念
①左逆元；②右逆元；③逆元；④群；⑤有限群；⑥交换群；⑦群同态；⑧群同构；⑨群中元素的阶。
11．4 变换群和置换群
①变换含么半群；②变换群；③置换群；④n个文字对称群。
11．5 循环群
①循环群。
11．6 子群、群的子集生成的群
①子群。
11．7 子群的陪集
①子群的陪集；②子群在群中的指数；③群中拉格朗日定理。
11．8 正规子群、商群、群同态
①正规子群；②商群；③群的同态基本定理。
主要参考教材：朱保平,叶有培,张琨.离散数学.北京：北京理工大学出版社，2006。