分类讨论思想的简单应用
中考数学压轴题的常见类型与解题思路
2021年3期210中考数学压轴题的常见类型与解题思路熊良斌（湖北省武汉市旭光学校，湖北 武汉 430074）一、分类讨论思想数学知识之间存在着紧密联系，知识与知识间形成一个知识网络体系或知识框架，在复习教学中教师应把相应的知识章节看作一个整体，帮学生理顺知识体系，让学生能够理解相互之间依存关系所在。
以几何知识为例，初中数学教学中，几何知识涵盖了诸多图形知识，且在中考压轴题中较为常见，在探究数学几何问题中，依托分类讨论思想，不仅可以改善薄弱分析环节，也是帮助学生多视角、多维度感知几何图形知识的真知灼见，帮助学生提高压轴题解题效率。
例如：已知一个直角三角形的边长为4和6，求另一边。
从表面看，这道例题较为简单，但诸多学生考虑的不够全面，在这道题中没有交代这两边是斜边长还是直角边长。
如基于这两种情况进行探究解题：一是斜边长为6，直角边长为4：二是直角边长为4、6。
基于数学本质而论，分类讨论思想是一种较为高效的数学思想。
二、符号化和化归思想符号化是初中数学代数中的重要思想方法，初中数学教师在代数教学中应重视培养符号化思想，在教学过程中，应首先让学生认识到引进字母的意义。
以“有理数”教学为例，教师可以通过两个不同意义的数来说明“+”与“-”所表示的两个相反量的意义。
化归思想更多的是一种解决问题的策略，在数学问题的解决上有非常重要的意义和作用。
化归思想即把一个复杂的数学问题通过有效地化解和归纳转化为几个简单问题，从而更轻松简单地解答出答案。
初中数学教师在应用题教学中，可以让学生首先掌握纵向化归和横向化归两种思路，让学生明白纵向化归即将问题整体看作一些互相关联的分问题组，找到问题关键思路，逐个击破，而横向化归思路偏向是将问题划分成相互独立的小问题，独立解决，让问题简单化提高解题效率。
三、辩证思想众所周知，辩证思想广泛运用于不同的学科领域当中，是学术知识探讨和学术问题解决的一个基本思想方法。
中国古代“祸福相倚”的故事传说，就充分体现了对立统一转化的辩证思想。
导函数隐零点问题的解题策略
５６
张忠潮（浙江省吉安县孝丰高级中学）
在利用导数法研究函数性质时，对函数求导后，若ｆ′（ｘ
）＝０是超越形式，我们无法利用目前所学知
识求出导函数零点，但零点是存在的，我们称之为隐零点。本文对此类问题提出几种解题策略，共读者参考。
１
分离函数
例１ 已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｎ ｘｘ＋１＋
１
ｘ。证明：当
ｘ＞
１且ｘ≠１时，ｆ（ｘ）＞ｌｎ ｘｘ－１。
证明：当ｘ＞１时，欲证ｆ（ｘ）＞ｌｎ ｘｘ－１，即证ｘ（
ｘ－
１）ｌｎ ｘ＋ｘ２－１＞ｘ（ｘ＋１）ｌｎ ｘ，即证２ｌｎ ｘ－ｘ＋１ｘ＜
０，令ｇ（ｘ）＝２ｌｎ ｘ－ｘ＋１ｘ，ｇ′（ｘ）＝－（ｘ－１）２ｘ２＜０，所
以函数ｙ＝ｇ（ｘ）在（１，＋∞）上单调递减，所以ｇ
（ｘ）
＜ｇ
（１）＝０，得证。
点评：解题中若直接构造函数ｇ（ｘ）
＝ｌｎ ｘｘ＋１＋
１ｘ－ｌｎ
ｘ
ｘ－１
，求导后无法直接求出导函数零点，究其原
因是函数式中含有ｌｎ ｘ的组合形式，因此在求导之前应先将不等式进行等价变形，将ｌｎ ｘ分离出来，可顺利求出导函数的零点，进而求出函数的最值，使不等式得证。
２
分离变量
例２ 已知函数ｆ（ｘ）＝ｋｘ，ｇ（ｘ）＝
ｌｎ
ｘ
ｘ，若不等
式ｆ（ｘ）≥ｇ
（ｘ）在区间（０，＋∞）恒成立，求实数ｋ的
取值范围。
解：由题意ｘ∈
（０，＋∞）时，ｋｘ≥ｌｎ ｘｘ，则
ｋ≥
ｌｎ ｘｘ２，令ｈ（ｘ）＝ｌｎ ｘｘ２，所以ｈ′（ｘ）＝１－２ｌｎ
ｘ
ｘ３，令
ｈ′（ｘ）＝０，得ｘ槡＝ｅ，当ｘ∈（０，槡ｅ）时，ｈ′（ｘ）＞０，ｈ（ｘ）
递增；当ｘ∈
（槡ｅ，＋∞），ｈ′（ｘ）＜０，ｈ（ｘ）递减。
则ｘ槡＝ｅ时，［ｈ（ｘ）］ｍａｘ＝ｈ（槡ｅ）＝１２ｅ，则ｋ≥
１
２ｅ。
点评：先分离变量，再构造函数，不需要分类讨论，简单、直接，从而简化解题过程。
３
变更主元
例３
已知
ａ＞０
，函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２－ｘ，ｇ（ｘ）＝ｌｎ ｘ。
（１）若ａ＝１２，求函数ｙ＝ｆ（ｘ）－２ｇ（ｘ）的极值；（２）是否存在实数ａ，使得ｆ（ｘ）≥ｇ（ａｘ）对任意
正数ｘ恒成立？若存在，求出实数ａ的取值集合；若不存在，请说明理由。解：（１）略；
高中数学论文800字三篇
高中数学论文800字三篇第一篇：论数学中的变换思想在解题中的应用摘要变换思想在高中数学解题中具有重要作用，本文通过具体例题分析，探讨了变换思想在函数、几何和代数等领域中的应用，旨在提高学生解决数学问题的能力。
关键词变换思想，解题方法，数学问题，高中教育1. 引言在高中数学教学中，变换思想是一种重要的解题方法。
通过对问题进行合理的变换，可以将复杂问题转化为简单问题，从而提高解题效率。
本文将从函数、几何和代数三个方面，分析变换思想在高中数学解题中的应用。
2. 变换思想在函数解题中的应用函数是高中数学的重要内容之一。
在解决函数问题时，变换思想可以有效地将问题简化。
例如，在求解函数的极值问题时，可以通过换元法将函数转化为简单的一次函数或二次函数，进而求解。
3. 变换思想在几何解题中的应用几何问题是高中数学中的另一个重要部分。
变换思想在几何解题中的应用也十分广泛。
例如，在解决几何证明问题时，可以通过添加辅助线、变换图形位置或形状等方式，将问题转化为已知几何定理或公式，从而简化问题。
4. 变换思想在代数解题中的应用代数问题是高中数学的另一个重要内容。
在解决代数问题时，变换思想同样可以发挥重要作用。
例如，在求解方程组时，可以通过变换方程组的形式，将其转化为已知解法形式的方程组，从而简化问题。
5. 结论变换思想在高中数学解题中具有重要作用。
通过运用变换思想，可以将复杂问题转化为简单问题，提高解题效率。
因此，在日常研究中，学生应加强对变换思想的研究和应用，提高自己的数学解题能力。
第二篇：论高中数学中的分类讨论思想在解题中的应用摘要分类讨论思想是高中数学解题中常用的一种方法。
本文通过对具体例题的分析，探讨了分类讨论思想在数列、函数、几何等领域的应用，以期提高学生解决数学问题的能力。
关键词分类讨论，解题方法，数学问题，高中教育1. 引言在高中数学教学中，分类讨论思想是一种重要的解题方法。
通过对问题进行合理的分类讨论，可以将复杂问题转化为简单问题，从而提高解题效率。
分类思想在小学数学教学中的渗透.doc-雕庄中心小学
分类思想在小学数学教学中的渗透常州市雕庄中心小学张文莉分类通常是指一种揭示概念外延的逻辑方法，也就是以比较为基础，按照事物间性质的异同，将相同性质的对象归入一类，不同性质的对象归入不同类别的过程。
分类也成为划分。
分类思想方法是一般的科学思想方法，也是小学数学中常用的最基本的思想方法。
经历分类过程、应用分类方法有助于学生更好地建立认知结构，有助于他们全面地、有逻辑地进行思考。
在小学阶段开展数学分类思想方法教学能够有效提升学生的思维能力，使得学生们的思想变得更加缜密，用全面的眼光看待和对待数学知识学习。
小学阶段学生往往比较粗心，他们在数学知识的学习过程中非常容易出现遗漏和考虑不周的情况，而分类思想方法可以帮助学生形成全面而完善的思维习惯，在解决和处理问题考虑得更加全面，为他们未来的学习创造良好条件。
一、数学教学中自觉融合分类思想小学数学作为小学生的启蒙学科，正确教学方法的运用有利于学生在以后数学中顺利学习。
这就要求数学教师在数学教学中自觉的融合分类思想，只有对分类思想方法的渗透保持着敏感性和自觉性，并清楚它对应于哪个知识点，同时分类思想方法可以通过哪些知识点体现，并且针对不同年级不同内容设计不同的目标。
这样才能使学生养成良好的思维惯式。
教学对长方形、正方形、圆、三角形和平行四边形的认识，教学中教师可以引导学生在充分感知的基础上对材料进行分类甄别，根据某一标准将不同类别的材料区分开来，把具有内在一致性、有联系的材料归为一类，并思考为什么这样分类，每一类物体有什么相同点。
教师在教学过程中要引导学生对材料进行辨析，沟通材料与材料间的区别和联系，抽取图形的本质属性。
[例1]二年级下册角的初步认识谈话：老师带来了一些图形，我们取出其中的一部分。
提问：仔细观察，这些图有什么特点？你能把这些图形按一定的标准进行分类吗？一边分一边说一说你是按什么标准分的？组织交流呈现两种不同的分法。
要求：这两种不同的分法你能看懂吗？和同桌说一说。
高中数学思想方法8篇
高中数学思想方法8篇高中数学思想方法精选8篇高中数学思想方法1第一：函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法（2）从具体出发，选取适当的分类标准（3）划分只是手段，分类研究才是目的（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的`转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点高中数学思想方法21、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。
初中数学中的主要数学思想方法讲解
初中数学中的主要数学思想方法初中数学中蕴含的数学思想很多，其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等．(1) 转化思想．转化思想就是人们将需要解决的问题，通过演绎、归纳等转化手段，归结为另一种相对容易解决或已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决．转化思想体现在数学解题过程中就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现．具体而言，代数式中加法与减法的转化，乘法与除法的转化，用换元法解方程，在几何中添加辅助线，将四边形的问题转化为三角形的问题，将一些角转化为圆周角并利用圆的知识解决问题等等都体现了转化思想．在初中数学中，转化思想运用的最为广泛．(2) 数形结合思想．数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而，在某种程度上可以说数学研究是围绕着数与形展开的．初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式，初中数学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式．数形结合思想的实质是将抽象的数学语言（“数” ) 与直观的图象(“ 形“ ) 结合起来，数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，实现代数与几何之间的相互转化．数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．“数无形时不直观，形无数时难入微．”数形结合是研究数学、解决数学问题的重要思想，在初中数学中有着广泛应用．譬如，在初中数学中，通过数轴将数与点对应，通过直角坐标系将函数与图象对应均体现了数形结合思想的应用．再比如，用数形结合的思想学习相反数、绝对值等概念，学习有理数大小比较的法则，研究函数的性质等，从形象思维过渡到抽象思维，从而显著降低了学习难度．(3) 分类讨论思想．分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同的种类．分类是以比较为基础的，它有助于揭示数学对象之间的内在联系与规律，有助于学生总结归纳数学知识、解决数学问题．譬如，初中数学从整体上看分为代数、几何、概率统计等几大版块，并分别采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现．具体而言，实数的分类，方程的分类、三角形的分类、函数的分类、统计量的分类等等，都是分类思想的具体体现．分类思想在初中数学中有大量运用，从初中数学内容的组织与展开到数学概念的界定与划分再到数学问题的分析与解决都大量运用着分类思想．(4) 函数与方程思想．函数与方程思想就是用函数的观点和方法分析问题、解决问题．函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的具体反映．函数与方程思想的本质是变量之间的对应，即用变化的观点和函数的形式将所研究的数量关系表示出来，然后用函数的性质进行研究，从而使问题获得解决．如果函数的形式用解析式的方式表示，那么就可以将函数解析式看作方程，并通过解方程和对方程的研究使问题得到解决，这就是方程思想．譬如初中数学中大量涉及一次函数、反比例函数、二次函数等内容的数学问题都要用到函数与方程思想来解决．由于函数思想与方程思想的内容和形式相一致，因而往往将其并称为函数与方程思想，并将二者结合学习与运用．除上述几种主要的数学思想之外，初中数学中还有集合思想、对应思想、符号化思想、公理化思想等．初中数学主要包括如下基本的数学方法：（ 1 ）几种重要的科学思维方法：比较与分类、观察与尝试、分析与综合、概括与抽象、特殊与一般、归纳与类比等；（ 2 ）几种重要的推理方法：完全归纳法、综合法、分析法、反证法、演绎法等；（ 3 ）几种常用的求解方法：待定系数法、数学建模法、配方法、消元法、换元法、构造法、坐标法、参数法等．1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
分式中的数学思想及方法
分式中的数学思想及方法作者：贾芸芸来源：《初中生世界·八年级》2015年第06期数学思想是数学中的“软件”，若能正确地把握它，并把它落实到学习和应用数学的活动中，就相当于找到了打开智慧之门的钥匙，对开发智力，学会学习并形成正确的价值观具有十分重要的作用. 分式一章中蕴藏了大量的数学思想方法，如数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想、整体思想、类比思想、方程思想、辩证思想等；常用的方法有：分类法、类比法、待定系数法、消元法、配方法、换元法、图像法、观察法、验证法、列表法、构造法、综合法等. 下面就“分式”一章中所体现的数学思想方法作简单回顾.一、类比思想类比是指在不同的对象之间，根据它们某些方面的相似之处进行比较，通过联想和预测推出在其他方面也可以相似，从而去建立猜想和发现规律的方法. 通过类比可以发现新旧知识的异同点，利用已有知识来研究新知识. 分式这一章中，类比思想一直贯穿始终，分式的概念，分式的基本性质，分式的通分、约分、最简分式，分式加减、乘除、乘方运算及混合运算，都是直接通过与分数类比，通过实例，观察异同点，总结归纳出来的. 分式方程的解法及应用也可以类比一元一次方程.二、转化思想转化是一种重要的数学思想，应用非常广泛. 转化思想是将陌生的或不易解决的问题，设法通过某种手段转化为我们熟悉的或已经解决的或易于解决的问题，从而使原问题获得解决的一种思想方法. 这样不但有利于培养创新思维能力，同时也降低了对新知识理解的难度，一举多得.本章很多地方都体现了转化思想. 如异分母分式加减法转化为同分母分式的加减法；分式除法转化为分式乘法；分式方程转化为整式方程.1. 分式有无意义或分式值为零时的转化例1 （1）（2014·广西贺州）分式有意义，则x的取值范围是_______.（2）（2014·毕节）若分式的值为零，则x的值为_______.（3）（2013·钦州）当x=_______时，分式无意义.【分析】这三道题是将有关分式问题转化成方程的问题来解决. 第（1）题，如果分式有意义，则分母不为零，可先列方程x-1=0，解得x=1，所以当x≠1时分式有意义；第（2）题当分式的值为0时，则分子等于0且分母不等于0，解得x=-1. 所以当x=-1时的值为0；第（3）题，当分式无意义时，则分母为0，即x-2=0，解得x=2.2. 异分母分式加减时的转化例2 （2014·广西玉林）先化简，再求值：-，其中x=-1.【分析】异分母分式相加减时，通过通分转化成同分母分式再进行加减.解：原式=-==，当x=-1时，原式==.3. 分式的除法的转化例3 （2014·江苏扬州）化简：-÷.【分析】分式除以分式时，把除式的分子分母颠倒位置后，与被除式相乘，从而转化为分式的乘法.解：原式=-·=-=.4. 分式方程的转化例4 （2014·山东聊城）解方程：+=-1.【分析】解分式方程的基本思想是转化，即把分式方程的分母去掉，使分式方程转化成整式方程，就可用解整式方程的方法来求解，所以在学习过程中要树立“转化”的数学思想. 解分式方程一定要注意验根. 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.解：去分母得：-（x+2）2+16=4-x2 （这一步就是转化思想的具体应用），去括号得：-x2-4x-4+16=4-x2，解得：x=2，经检验x=2是增根，原方程无解.三、数学方法和数学建模思想本章的数学方法有分解因式、通分、约分、去分母等等. 在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，然后通过数学模型去解决实际问题. 分式方程就是一个重要的模型. 经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的建模思想，对培养利用方程模型解决实际问题具有重要意义.例5 （2014·云南）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3 000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5 000元购进第二批这种盒装花. 已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元. 求第一批盒装花每盒的进价是多少元？【分析】设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是，第二批进的数量是，再根据等量关系“第二批进的数量=第一批进的数量×2”可得方程.解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则2×=，解得x=30.经检验，x=30是原方程的根.答：第一批盒装花每盒的进价是30元.【点评】本题考查了分式方程的应用. 注意，分式方程需要验根，这是易错的地方.四、整体思想整体思想就是对问题一一求解比较困难时，把注意力和着眼点放在要解决的问题的整体结构上，认真分析题意，从全局出发，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理，使问题得到简洁巧妙解答的一种方法.例6 （2014·江苏泰州）先化简，再求值：1-÷-，其中x满足x2-x-1=0.【分析】化简原式可以得到，要求的值，则要求出x的值，可现阶段又没有学过如何解这个方程，那怎么办呢？联想整体思想，看看条件，易得x2=x+1，即将x+1看作一个整体，代入求值即可.解：原式=·-=·-=x-=.∵x2-x-1=0，∴x2=x+1，则原式=1.例7 （2014·山东济宁）已知x+y=xy，求代数式+-（1-x）（1-y）的值.【分析】考点：分式的化简求值. 首先将所求代数式展开化简，然后整体代入即可求值.解：∵x+y=xy，∴+-（1-x）（1-y）=-（1-x-y+xy）=-1+x+y-xy=1-1+0=0.【点评】在思考数学问题时，不能只着眼于它的局部特征，而整体思想是把联系紧密的几个量作为一个整体来进行运算的数学思想，运用这种思想可以将复杂问题简单化，达到简捷解题、出奇制胜的效果. 一般地，运用整体思想的方法有整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑和整体构造等.五、分类讨论思想分类讨论思想是在对一个复杂问题出现的情况进行全面分析思考的基础上，将其转化为几个简单的子问题，进而在既不重复也不遗漏的情况下处理和解决问题的思想方法.例8 若分式的值为负数，试确定x的取值范围.【分析】分式的值为负数，即分式的分子2-x与分母1+x的符号相反.解：∵0，1+x1+x>0.解得xx2，x>-1. ∴x2，【分析】对于不确定因素的问题，我们需要分类进行讨论，本题中不能直接确定分子分母的符号，我们就应该分类讨论，分类讨论时要不重复也不遗漏.数学思想方法是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能的关键. 只有掌握数学思想方法，才能真正领悟到数学的真谛，解题才能得心应手.跟踪练习1. （2014·江苏泰州）已知a2+3ab+b2=0（a≠0，b≠0），则代数式+的值等于_____.2. （2014·四川凉山）先化简，再求值：÷a+2-，其中a2+3a-1=0.3. （2014·新疆）解分式方程：+=1.参考答案1. -3.2. 解：原式=÷=·=，当a2+3a-1=0，即a2+3a=1时，原式=.3. 解：方程两边都乘（x+3）（x-3），得3+x（x+3）=x2-9，3+x2+3x=x2-9，3x=-12，解得x=-4.检验：把x=-4代入（x+3）（x-3）≠0，∴x=-4是原分式方程的解.（作者单位：江苏省淮安外国语学校）。
数学思想数学论文3篇
数学思想数学论文3篇一、遵循认知规律，渗透数学思想和方法提炼“方法”，完善“思想”。
数学思想有很多种，一道题目也可能有多种数学思想、方法来解决。
除了老师的概括、分析，学生自身对数学方法、思想的揣摩、提炼能力更为重要。
教师在数学教学中要有意识地培养学生自主学习的能力，不断完善数学思想，提炼数学方法，找到属于自己的解题思路，提高自身数学能力。
二、数学思想和数学方法的具体应用1.分类讨论思想分类讨论思想即是在数学对象不能进行统一研究时，就需要针对对象属性的相同和不同点，进行分类讨论，逐一分析和解决的数学思想。
分类讨论数学思想是初中数学基本方法之一，广泛存在于各个知识点中，把握和运用好分类讨论思想可以使知识体系条理化，解题思路更加清晰。
例1.解方程|x+2|+|3-x|=5。
[分析]绝对值问题，一定要考虑到绝对值符号内对象的正负号。
这里有两个绝对值，那就必须进行分类讨论。
首先|x+2|对应x＜-2x=-2x＞-xxxxxxxxx2，|3-x|对应x＜3x=3x ＞xxxxxxxxx3，解：当x＜-2时，原方程无解；当-2≤x≤3时，原方程恒成立；当x ＞3时，原方程无解。
综上所述，原方程的解满足-2≤x≤3的任实数。
看似复杂，但其实分类讨论后，思路很清晰，很容易做出答案，由此可见分类讨论思想对解题很有帮助。
2.数形结合思想数学结合思想把数学关系、数学文字与直观的几何图形相结合，“以形助数”“以数解形”，综合抽象思维和形象思维，使得问题简单化、具体化，容易找到解题突破点优化解题途径的思想。
把握数形结合思想不仅能提高分析问题、解决问题的能力，还能通过数形变化提高学生数学思维能力，提高数学素养。
例2.若关于x的不等式0≤x2+mx+2≤1的解集仅有一个元素，求m的值。
[分析]如图：作出y=1和y=x2+mx+2的图像。
由图形的直观性质不难看出，这个交点只能在直线上，即y=1y=x2+mx+x2只有一解,则求得：△=m2-4×1=0→m=±2。
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分类讨论思想的简单应用
分类讨论思想是一种逻辑思维方式，能够让人更好地分析问题并作出决策。
它可以将问题分成几个部分，每部分再进行详细的分析，最终得出结论。
分类讨论思想的应用范围很广，可以用于学术研究、商业决策、政策制定等方面。
下面将从三个方面简单介绍分类讨论思想的应用。
一、学术研究
分类讨论思想在学术研究领域中有着广泛的应用。
例如，在社会学研究中，可以针对一个社会问题，将其分解为不同的因素进行研究。
比如，针对城市失业问题，可以将其分解为教育背景、职业技能、经济结构等因素，并对每个因素进行详细分析，最终找到解决问题的方法。
同时，分类讨论思想也可以用于文献综述。
在进行文献综述时，可以将研究问题分成不同的方向，然后对每个方向的文献进行详细的分析，最终得出综合结论。
二、商业决策
分类讨论思想在商业决策方面也有着广泛的应用。
例如，在市场调研中，可以将受访者分为不同的群体，例如性别、年龄、收入等因素。
然后，对每个群体的需求进行研究，最终确定产品的定位和销售策略。
另外，在进行市场推广时，可以将推广渠道分为不同的类型，例如电视广告、网络广告、户外广告等。
然后，对每个推广渠道的成效进行分析，最终确定最适合的推广方式。
三、政策制定
另外，在制定教育政策时，可以将教育体系分成不同的层次，例如幼儿教育、小学教育、中学教育、高等教育等。
然后，对每个层次的教育进行研究，最终确定最适合的政策。
综上所述，分类讨论思想是一种有效的逻辑思维方式，具有广泛的应用范围。
无论在学术研究、商业决策、政策制定等领域，都可以运用分类讨论思想来解决问题。