不等式恒成立问题的基本类型及常用解法
关于不等式恒成立问题的几种求解方法
关于不等式恒成立问题的几种求解方法不等式恒成立问题，在高中数学中较为常见。
这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
不等式恒成立问题在解题过程中有以下几种求解方法：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④数形结合型。
下面我们一起来探讨其中一些典型的问题一、一次函数型——利用单调性求解例1、若不等式对满足的所有实数m都成立，求x的取值范围。
若对该不等式移项变形，转化为含参数m的关于x的一元二次不等式，再根据对称轴和区间位置关系求对应的二次函数的最小值，利用最小值大于零求解。
这样得分好几种情况讨论,这思路应该说从理论上是可行的，不过运算量不小。
能不能找出不需要讨论的方法解决此问题呢？若将不等式右边移到左边，然后将新得到的不等式左边看做关于m的一次函数，借助一次函数的图像直线（其实是线段）在m轴上方只需要线段的两个端点在上方即可。
分析：在不等式中出现了两个字母：x及m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。
显然可将m视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于m的一次函数大于0恒成立的问题。
解：原不等式转化为(1-x2)m+2x-1>0在|m|2时恒成立,设f(m)= (1-x2)m+2x-1,则f(m)在[-2,2]上恒大于0，故有：此类题本质上是利用了一次函数在区间[a，b]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在m轴上方（或下方）即可。
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图）可得上述结论等价于ⅰ），或ⅱ）可合并成同理，若在[m,n]内恒有f(x)0恒成立；f(x)3;若改为：,构造函数，画出图象，得a<3利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围。
恒成立能成立问题总结(详细)
恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。
这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。
感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。
在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。
一、函数法（一）构造一次函数 利用一次函数的图象或单调性来解决 对于一次函数],[),0()(n m x k b kx x f ∈≠+=有：例1 若不等式m mx x ->-212对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范 围。
解析：将不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，构造一次型函数：)12()1()(2---=x m x m g原命题等价于对满足22≤≤-m 的m ，使0)(<m g 恒成立。
由函数图象是一条线段，知应⎪⎩⎪⎨⎧<---<----⇔⎩⎨⎧<<-0)12()1(20)12()1(20)2(0)2(22x x x x g g解得231271+<<+-x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。
小结：解题的关键是将看来是解关于x 的不等式问题转化为以m 为变量，x 为参数的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。
练习:(1)若不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围。
（2）对于40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，求x 的取值范围。
（答案：或）（二）构造二次函数 利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。
对于二次函数)0(0)(2≠>++=a c bx ax x f 有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a（3）当0>a 时，若],[0)(βα在>x f 上恒成立⇔若],[0)(βα在<x f 上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f（4）当0<a 时，若],[0)(βα在>x f 上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f若],[0)(βα在<x f 上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a ba b f a b 或或 例2若关于x 的二次不等式：01)1(2<-+-+a x a ax 的解集为R ，求a 的取值范围.解：由题意知，要使原不等式的解集为R ，即对一切实数x 原不等式都成立。
不等式恒成立问题的十种解法
一、判别式法若能把所给不等式转化为某个一元二次不等式，并且该一元二次不等式是对于一切实数x都恒成立，则可优先考虑判别式法．例l 设不等式，对于一切实数x都恒成立，求实数m的取值范围．解：因为所以原不等式可变为：因为该不等式对一切实数x都成立，必有整理得说明：若所给的区间并非一切实数时，切记不能使用判别式法．二、三角换元法通过适当的三角换元，把所给问题转化为含有的形式，再利用正弦函数的有界性来求出它的最值，从而使问题得到解决．例2 已知实数x、y满足时恒成立，则实数d的取值范围是( ))]，则y的最大值为，要使x+y+d≥O恒成立，必须有d大于等于y的最大值，即d≥，故选择答案(A)．三、分离参数对于含有参数的不等式，若能把所求的参数分离出来，应优先考虑实行参数分离，然后再在不等式的另一边进行其它变换，如使用均值不等式，或通过函数的单调性来求出它的最值，最后再通过参数与这个最值的关系来使问题得到解决．例3 对于任意恒成立，求实数m的取值范围．四、图象法如果所给不等式能够化为一边是我们熟悉的函数，那么我们可以通过它的图象，结合函数的单调性来求出它在所给区间上的最值，从而使问题得到解决．例4 若关于x的不等式对任意x∈[0，1]恒成立，则m的取值范围是( )(A)m≤一3 (B)m≥一3 (C)一3≤m≤0 (D)m≥一4解：考察函数的图象，当x∈[0，1]时，其函数的值域为y∈[一3，0]，若使不等式对任意x∈[0，1]恒成立，则m必须小于等于它的最小值3，即m≤一3，故选择答案(A)．五、变更主元法主元的选择要因题而异，在有些问题中一旦克服心理定势，标新立异地另选主元，那么问题的解决就会有峰回路转、柳暗花明的效果．例5 对于任意a∈[一l，1]，函数的函数值恒为正数，则实数x的取值范围是( ) (A) (B) (C)分析：由a的取值范围恒成立，可采用分类讨论去寻找 x 的的取值范围，但是这是比较麻烦的，再看a 的取值范围已经知道了,变a为主元，x为参数，反其道而行之．六、几何法含有绝对值的不等式，可利用绝对值的几何意义这一直观使问题加以解决．例6 若不等式恒成立，求实数d的取值范围．解：设由绝对值的几何意义可知，d表示数轴上的点到实数l、4所对应两点距离的和，所以d≥3，要使恒成立，必须有a于等于d的最小值，即a≤3．七、均值不等式法运用均值不等式求出所给代数式的最值，然后再用所给的值与这个最值进行比较．例7 (第l1届希望杯试题)设a>b>c，恒成立，则自然数n的最大值为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5八、数学归纳法当不等式中含有自然数凡时，应优先考虑用数学归纳法来探求．由上可得：存在最大的自然数m=13．使不意大于等于2的自然数n都恒成立．九、放缩法把所给不等式进行适当的放缩，从而使问题得到解决．对所有的正整数恒成立．十、二项式定理展开法当不等式中含有所给数的凡次方时，可试着考虑使用二项式定理，通过二项式定理的展开式有选择地选取几项进行放缩，从而使问题得到解决．例l0 求证．对于任意大于等于2的自然数不等式恒成立．。
基本不等式的恒成立问题
基本不等式的恒成立问题一、基本不等式1. 基本不等式的形式- 对于正实数a，b，有a + b≥2√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。
- 变形形式：ab≤((a + b)/(2))^2。
2. 基本不等式成立的条件- a>0，b>0。
二、基本不等式恒成立问题的常见类型及解法1. 类型一：求参数的取值范围使得不等式恒成立- 例1：已知x>0，y>0，若x + y+ (1)/(x)+(1)/(y)≥ m恒成立，求m的取值范围。
- 解析：- 因为x>0，y>0，根据基本不等式x+(1)/(x)≥2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时等号成立；同理y+(1)/(y)≥2，当且仅当y = 1时等号成立。
- 所以x + y+(1)/(x)+(1)/(y)=(x+(1)/(x))+(y+(1)/(y))≥2 + 2=4。
- 因为x + y+(1)/(x)+(1)/(y)≥ m恒成立，所以m≤4。
2. 类型二：已知不等式恒成立，求代数式的最值- 例2：若对于任意x>0，(x)/(x^2)+3x + 1≤ a恒成立，求a的最小值。
- 解析：- 因为x>0，则(x)/(x^2)+3x + 1=(1)/(x+frac{1){x}+3}。
- 根据基本不等式x+(1)/(x)≥2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时等号成立。
- 所以x+(1)/(x)+3≥2 + 3=5，则0<(1)/(x+frac{1){x}+3}≤(1)/(5)，即0<(x)/(x^2)+3x + 1≤(1)/(5)。
- 因为(x)/(x^2)+3x + 1≤ a恒成立，所以a≥(1)/(5)，a的最小值为(1)/(5)。
3. 类型三：含有多个变量的基本不等式恒成立问题- 例3：已知x,y∈ R^+，若2x + y = 1，且(1)/(x)+(a)/(y)≥8恒成立，求正实数a 的值。
微专题不等式恒成立问题常见类型及解法
恒成立问题常见类型及解法恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：（1）一次函数型；（2）二次函数型；（3）变量分离型；（4）利用函数的性质求解；（5）直接根据函数的图象求解；（6）反证法求解。
一、一次函数型给定一次函数()==+y f x kx b (k ≠0),若()=y f x 在[m,n]内恒有()f x >0，则根据函数的图象（线段）可得①0()0>⎧⎨>⎩k f m 或②0()0<⎧⎨>⎩k f n ，也可合并成f (m)0f (n)0>⎧⎨>⎩，同理，若在[,]m n 内恒有()0<f x ，则有f (m)0f (n)0<⎧⎨<⎩.典例1.若不等式2x -1>()21-m x 对一切[]2,2∈-m 都成立，求实数x 的取值范围。
【解析】令f (m)＝（21-x ）m －2x ＋1，则上述问题即可转化为关于m 的一次函数=y ()f m 在区间[-2，2]内函数值小于0恒成立的问题。
考察区间端点，只要(2)(2)-⎧⎨⎩＜0，＜0f x f 即x的取值范围是（12，12）. 二、二次函数型若二次函数2(0,)=++≠∈y ax bx ca x R 的函数值大于（或小于）0恒成立，则有a 00>⎧⎨∆<⎩（或00a ì<ïïíïD <ïî），若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及二次函数的图象求解。
典例2关于x 的方程9x +(4+a )3x +4=0恒有解，求a 的取值范围。
【解析】方法1（利用韦达定理）设3x=t,则t>0.那么原方程有解即方程t 2+(4+a )t+4=0有正根。
1212Δ0(4)040≥⎧⎪∴+=-+>⎨⎪=>⎩g x x a x x ，即2(4a)160a 4⎧+-≥⎨<-⎩，a 0a 8a 4≥≤-⎧∴⎨<-⎩或，解得a ≤-8.方法2（利用根与系数的分布知识）即要求t 2+(4+a )t+4=0有正根。
不等式恒成立问题的三类常见解法
不等式恒成立问题的三类常见解法作者：仲一鸣来源：《中学教学参考·理科版》2012年第01期不等式恒成立问题主要可分成两类：第一类为不含参数的不等式恒成立问题；第二类为含有1个（或多个）参数的不等式恒成立问题.对于第一类问题，实际上就是证明这个不等式，本文不再赘述；对于第二类，其基本解题思想是将问题转化为函数的最值问题，常见的基本解法有以下三种.一、参数分离，间接求最值【例1】（2008，江苏）设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈［-1,1］，均有f(x)≥0成立，则实数a的值为 .解：（1）若x=0，则a∈R.（2）若x∈(0,1］，a≥1x2-1x3,令g(x)=1x2-1x3，则g′(x)=3(1-2x)x4，即g(x)在x∈(0,12］上单调递增，在x∈［12,1］上单调递减，所以g(x)max=g(12)=4，所以a≥4.（3）若x∈［-1,0），a≤1x2-1x3，由（2）得g(x)在［-1,0）上单调递增，所以g(x)min=g(-1)=4，所以a≤4.综上，a=4.二、参数不分离，直接求最值【例2】 (2007，辽宁) 已知f(x)=x3-9x2+24x(x∈R)，若对于任意m∈［-26,6］，恒有f(x)≥x3-mx-11成立，试求实数x的取值范围.解：由题，f(x)-(x3-mx-11)≥0对任意的m∈［-26,6］恒成立，即xm+(-9x2+24x+11)≥0对m∈［-26,6］恒成立，不妨令g(m)=xm+(-9x2+24x+11), 则任意m∈［-26,6］,g(m)≥0g(m)min≥0g(6)≥0,g(-26)≥0x∈［-13,1］.本题注意点有两处：（1）对自变量和参数的辨别.笔者认为在实际操作中，一般对“哪个字母”恒成立，“哪个字母”即为自变量；求“哪个字母”的范围，“哪个字母”即为参数.（2）对于参数，在本题中存在高次方，故不易参数分离，因此采用移项直接求关于m的一次函数（或常值函数）的最小值.【例3】（2008,天津）已知函数f(x)=x+ax+b(a,b∈R),若对于任意的a∈［12，2］，不等式f（x）≤10在［14,1］上恒成立，求b的取值范围.解：由函数f(x)图像易得f(x)max=max｛f(14),f(1)｝，故本题等价于对任意的a∈［12,2］，都有f(14)≤10，f(1)≤10恒成立，即b≤394-4a，b≤9-a对任意的a∈［12,2］成立b≤74，b≤7b≤74.在此题中，恒成立针对不同的自变量进行了多次嵌套，解决的手法是由内而外逐层分析：在内层，视“x”为自变量，采用直接求最值法；在外层，视“a”为自变量，采用参数分离间接求最值法.【例4】已知二次函数f(x)=x2+ax+1-a，若x∈［-2,2］，则f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.解：由f(x)=x2+ax+1-a≥0对任意x∈［-2,2］恒成立，故f(0)=1-a≥0，即a≤1.又f(x)=(x+a2)2-a24-a+1，对称轴x=-a2∈［-12,+∞），故（1）对称轴x=-a2∈［-12,2］，即a∈［-4,1］，y min=f(-a2)≥0a∈［-2-22,-2+22］，即a∈［-4,-2+22］；（2）对称轴x=-a2∈(2,+∞)即，即a∈(-∞，-４),y min=f(2)≥0a∈［-5,+∞)，即a∈［-5,-4).综上所述，a∈［-5,-2+22］.无论是参数分离还是参数不分离，都不可避免地需要分类讨论，那么就尽可能减少分类讨论的步骤.这里借助赋值法得到f(0)=1-a≥0，即a≤1，从而缩小了参数a的范围，减少了直接求最值所需讨论的次数.三、数形结合【例5】（2009，上海）已知0≤x≤1时，不等式sinπx2≥kx恒成立，则实数k 的取值范围是 .图1解：由sinπ2≥kx对0≤x≤1恒成立，即函数f(x)=sinπx2的图像在x∈［0,1］这一部分始终在函数g(x)=kx的上方（如图1所示），故k≤1.【例6】（2008，浙江）若a＞0,b＞0，且当x≥0，y≥0，x+y≤1时，恒有ax+b y≤1，则以a、b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积为 .图2解：令S1为x≥0,y≥0,x+y≤1所表示的区域；令S2为ax+by≤1所表示的区域，由题,当x≥0,y≥0,x+y≤1.时，恒有ax+by≤1，故易得1a≥1,1b≥10＜a≤1,0＜b≤1,故P(a,b)所形成的平面区域的面积为1.上述两例均是从几何角度来处理不等式恒成立问题.一般而言，f(x)≥g(x)对x∈［a,b］恒成立可以从图形的角度理解为y=f(x)的图像在x∈［a,b］部分始终在y=g(x)的上方.含有参数的不等式恒成立问题是与函数最值相关的重要问题，解题中要注意方法的灵活运用，对于无须分类讨论便可实现参数分离的，应首选“参数分离”，除此之外，直接求最值以及数形结合也是不错的选择.参考文献［1］谢广喜. 与参变元、主变元有关的几个问题的讨论［J］.中学数学教学参考（上旬），2009(1-2) .［2］张勇赴.“构造函数法”求解不等式恒成立问题［J］.中学数学教学参考（上旬），2009( 6) .(责任编辑金铃）。
高一不等式恒成立问题3种基本方法
高一不等式恒成立问题3种基本方法文章标题：探讨高一不等式恒成立问题的三种基本方法在高中数学学习中，不等式恒成立问题是一个很常见的题型。
学生们通常需要掌握多种方法来解决这类问题，而这些方法通常可以分为三种基本类型。
本文将会详细介绍这三种基本方法，帮助读者全面理解这一数学概念。
1. 方法一：代数法我们来介绍代数法。
这种方法是在不等式两边进行代数变换，使得不等式变成一个容易解决的形式。
代数法通常包括加减变形、乘除变形以及平方去根等技巧。
以不等式ax+b>0为例，我们可以通过移项得到ax>-b，然后再除以a的正负来确定不等式的方向，从而得到不等式的解集。
代数法在解决不等式恒成立问题中应用广泛，能够快速简便地找到解的范围和规律。
2. 方法二：图像法我们介绍图像法。
图像法是通过绘制不等式所代表函数的图像，来直观地找出不等式恒成立的区间。
对于一元一次不等式ax+b>0，我们可以画出函数y=ax+b的图像，从而通过观察图像的上升或下降趋势来确定不等式的解集。
图像法能够帮助我们更直观地理解不等式的性质和范围，提高我们的思维逻辑和空间想象能力。
3. 方法三：参数法我们介绍参数法。
参数法是通过引入一个或多个参数，将不等式转化为一个有参数的等式问题，进而进行求解。
参数法的典型应用包括辅助角法、二次函数法等。
以不等式ax²+bx+c>0为例，我们可以引入Δ=b²-4ac，然后根据Δ的正负来确定不等式的解集。
参数法在解决不等式问题中能够简化问题的复杂度，将不等式的求解转化为参数的求解，从而提高解题的效率和准确度。
总结回顾通过对以上三种基本方法的介绍，我们可以发现它们各有特点，应用范围和解题思路有所不同。
代数法能够利用代数变形快速求解不等式问题，图像法能够帮助我们直观地理解不等式的性质，而参数法则能够将问题转化为参数的求解，提高解题的效率。
个人观点和理解在实际解题中，我们应该根据具体情况灵活选用这三种方法，结合题目的特点和自身的掌握程度来选择合适的解题方法。
恒成立问题常见类型及解法
恒成立问题常见类型及解法重庆清华中学 张忠在近年高考试题中，常见条件中出现“恒”、“都”、“总”、“永远”、“一切”等关键词的试题，我们习惯上称之为恒成立问题。
对此类题，许多学生常常一筹莫展，但如果了解它的题型，选择合适的对策，解决问题就会游刃有余。
高中数学中的恒成立问题，总体上分为两种典型类型：等式的恒成立和不等式的恒成立。
一、等式的恒成立问题（恒等问题）【例】 是否存在常数a 、b 、c 使得等式：122311122222··…++++=+++n n n n an bn c ()()()对一切自然数n 都成立？证明你的结论。
(一). 利用多项式恒等定理，建立方程组求参数多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于a 的任意一个取值，都有f (a )g (a )；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
解法一：因为3222)1(n n n n n ++=+所以12231222··…++++n n ()=++++++++++++=++++++=+++()()()()()()()()()1232121212131211411231110222333222………n n n n n n n n n n n n n n显然当a b c ===31110，，时等式对一切自然数n 都成立。
(二). 待定系数法和数学归纳法对策：先用待定系数法探求a 、b 、c 的值，再利用数学归纳法证明等式对一切自然数n 都成立。
解法二：令n=1，n=2，n=3可得，解得。
以下用数学归纳法证明：等式1·22+2·32+…+n(n+1)=(3n 2+11n+10)对一切自然数n 都成立(证略)。
(三)、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)((f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T ，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。
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不等式恒成立问题基本类型及常用解法类型1：设f(x)=ax+bf(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔ ⎩⎨⎧0)(0)(φφn f m ff(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎩⎨⎧0)(0)(ππn f m f .例1. 设y=(log 2x)2+(t-2)log 2x-t+1,若t 在[-2,2]上变化，y 恒取正值，求实数x 的取值范围。
解：设f(t)=y=(log 2x-1)t+(log 2x)2-2log 2x+1， t ∈[-2,2] 问题转化为：f(t)＞0对t ∈[-2,2]恒成立 ⇔⎩⎨⎧-0)2(0)2(φφf f⇔⎪⎩⎪⎨⎧-=-01)(log 03log 4)(log 22222φφx x x⇒0＜x ＜21或x ＞8。
故实数x 的取值范围是（0，21）∪（8，+∞）。
例2. 对于 -1≤a ≤1,求使不等式(21)ax x +2<(21)12-+a x 恒成立的x 的取值范围。
解：原不等式等价于x 2+ax<2x+a -1在a ∈[-1,1]上恒成立.设f(a)=(x -1)a+x 2-2x+1,则f(a)是a 的一次函数或常数函数， 要使f(a)>0在a ∈[-1,1]上恒成立,则须满足⎩⎨⎧-0)1(0)1(φφf f ⇔⎪⎩⎪⎨⎧+--023022φφx x x x ⇒x>2或x<0 故实数的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).类型2：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)f(x) ＞0在x ∈R 上恒成立⇔a ＞0 且△＜0;f(x) ＜0在x ∈R 上恒成立⇔a ＜0 且△＜0. 说明：①.只适用于一元二次不等式②.若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论.例3.不等式3642222++++x x mmx x ＜1对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。
解：由4x 2+6x+3=(2x+23)2+43＞0,对一切实数x 恒成立，从而，原不等式等价于 2x 2+2mx+m ＜4x 2+6x+3, (x ∈R)即：2x 2+(6-2m)x+(3-m)＞0对一切实数x 恒成立。
则 △=（6-2m ）2-8(3-m)＜0 解得：1＜m ＜3故实数m 的取值范围是（1，3）。
类型3：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) （1） 当a ＞0时① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2φm f m a b 或⎪⎩⎪⎨⎧∆-o n a b m πππ2或⎪⎩⎪⎨⎧≥-0)(2φn f n ab⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2φm f m ab 或△＜0或⎪⎩⎪⎨⎧≥-)(2φn f n a b. ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎩⎨⎧0)(0)(ππn f m f .（2） 当a ＜0时① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔ ⎩⎨⎧0)(0)(φφn f m f ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2πm f m a b 或⎪⎩⎪⎨⎧∆-o n a b m πππ2或⎪⎩⎪⎨⎧≥-0)(2πn f n ab⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2πm f m ab 或△＜0或⎪⎩⎪⎨⎧≥-)(2πn f n a b. 说明：只适用于一元二次不等式.类型4：a ＞f(x) 恒成立对x ∈D 恒成立⇔a ＞f(x)m ax ，a ＜f(x)对x ∈D 恒成立⇔ a ＜f(x)m in .说明：①. f(x) 可以是任意函数②.这种思路是：首先是---分离变量，其次用---极端值原理。
把问题转化为求函数的最值，若f(x)不存在最值，可求出f(x)的范围，问题同样可以解出。
例4.（2000.上海）已知f(x)=xax x ++22 ＞0在x ∈[)+∞,1上恒成立，求实数a 的取值范围。
分析1：当x ∈[)+∞,1时，f(x) ＞0恒成立，等价于x 2+2x+a ＞0恒成立,只需求出g(x)= x 2+2x+a 在[)+∞,1上的最小值，使最小值大于0即可求出实数a 的取值范围。
解法1：∵ f(x)=xax x ++22 ＞0对 x ∈[)+∞,1恒成立⇔ x 2+2x+a ＞0对 x ∈[)+∞,1恒成立。
设g(x)= x 2+2x+a x ∈[)+∞,1问题转化为：g(x)m in ＞0g(x)= x 2+2x+a=(x+1)2+a-1, x ∈[)+∞,1∴g(x)在[)+∞,1上是增函数。
∴g(x)m in =g(1)=3+a∴ 3+a ＞0 ⇔ a ＞-3即所求实数a 的取值范围为a ＞-3。
分析2 ：分离变量，转化为a ＞f(x)或a ＜f(x)恒成立问题， 然后利用极端值原理：a ＞f(x) 恒成立⇔a ＞f(x)m axa ＜f(x) 恒成立⇔ a ＜f(x)m in .解法2：∵ f(x)=xax x ++22 ＞0对 x ∈[)+∞,1恒成立⇔ x 2+2x+a ＞0 对x ∈[)+∞,1恒成立。
⇔ a ＞-（x 2+2x ）对x ∈[)+∞,1恒成立。
设ϕ(x)= -（x 2+2x ） x ∈[)+∞,1问题转化为：a ＞ϕ(x)m axϕ(x)= -（x 2+2x ）=-(x+1)2+1 x ∈[)+∞,1∴ϕ(x)在[)+∞,1上是减函数。
∴ ϕ(x)m ax = ϕ(1)=-3∴ a ＞-3即所求实数a 的取值范围为a ＞-3。
例5.已知x ∈(]1,∞-时,不等式1+2x+(a-a 2).4x＞0恒成立，求实数a 的取值范围。
分析：要求a 的取值范围，如何构造关于a 的不等式是关键，利用分离变量的方法可达到目的。
解：设2x =t, ∵x ∈(]1,∞-,∴t ∈(]2,0 原不等式可化为：a-a 2＞21tt --. 要使上式对t ∈(]2,0恒成立，只需： a-a 2＞（21tt --）m ax . t ∈(]2,0 21tt --=-(211+t )2+41由⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,211t ∴（21t t --）m ax=-43∴a-a 2＞-43即：4a 2-4a -3＜0 从而 -21＜a ＜23 类型5：①.f(x)＞g(x) 对任意x ∈D 恒成立②. f (x 1)＞g(x 2) 对任意x 1、x 2∈D 恒成立 例6 已知f(x)=-x 3+ax,其中a ∈R ，g(x)=-21x 23，且f(x)＜g(x)在x ∈(]1,0上恒成立，求实数a 的取值范围。
分析：有的同学把“f(x)＜g(x)在x ∈(]1,0上恒成立”转化为：“当x ∈(]1,0时，f(x)m ax ＜g （x ）m in ,”然后求出a 的取值范围。
这种方法对吗？我们先来看一个例子，如图，当 x ∈[0，1] 时，f(x)m ax =0， g （x ）m in = -21，并不满足 f(x)m ax ＜ g （x ）m in显然这种转化方式是不对的。
错在哪里呢？原因在于用分离变量方法得到的不等式一边是参数，另一边是x 的函数关系式。
而此题解法中的不等式，两边都是关于x 的函数关系式，所以上面这种转化方式是错的。
正确的方法是先分离变量，再利用极端值原理。
解：f(x)＜g(x)在x ∈(]1,0上恒成立1g(x)=-x+f(x)=-2x 2⇔ -x 3+ax+21x 23＜0 对x ∈(]1,0恒成立⇔ a ＜x 2-21x 21对x ∈(]1,0恒成立设h(x)= x 2-21x 21x ∈(]1,0问题转化为：a ＜h(x)m inh /(x)=2x-x41=()()xx x x 4124.12++-由h /(x)=0，得x=41 当x ∈ ⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0时 h ’(x) ＜0，h(x)在⎪⎭⎫⎝⎛41,0递减。
当x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛1,41 时 h ’(x) ＞0，h(x)在⎥⎦⎤ ⎝⎛1,41 递减。
∴ h(x) 在x= 41时取最小值，h(x) m in =163-∴a ＜163-例7.已知两个函数f(x)=8x 2+16x-k,g(x)=2x 3+5x 2+4x,其中k ∈R（1） 若对任意的x ∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立，求k 的取值范围； （2） 若对任意的x 21,x ∈[-3,3],都有f(x 1)≤g(x 2)，求k 的取值范围。
方法：①.“f(x)＞g(x) 对任意x ∈D 恒成立”可通过分离变量，极端值原理可求得。
②.“ f (x 1)＞g(x 2) 对任意x 1、x 2∈D 恒成立” ⇔ f(x)m in ＞max )(x g。