《向量的数乘运算及其几何意义》教学设计
《向量数乘运算及其几何意义》教学设计说明
一、教学目标1.知识与技能:通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理。
熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。
2.过程与方法:理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
3.态度情感与价值观：通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。
激发学生学习数学的兴趣和积极性，冶学生的情感，培养学生实事的科学态度，勇于创新的精神。
二、教学重难点重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理。
难点：向量共线定理的探究及其应用。
三、课型：新授课四、教法：探究释疑和多媒体辅助教学的方法五、教具：多媒体及课件辅助教学六、教学过程（一）引入1.复习向量的加法、减法，（温故而知新），采用提问的形式。
问题1：向量加法的运算法则？ 问题2：向量减法的几何意义？ 学生回答完毕后，教师通过多媒体上的图像让学生更直观感受。
向量的加法：三角形法则（首尾相连）和平行四边形法则（共起点）。
向量的减法：=，= 则 -=。
（共起点，连终点，b →-b a b →+b a b b a AB C →+b a a a A BC D a A B O方向指向被减数）。
2.问题情境 ：一质点从点O 出发做匀速直线运动，若经过1s 的位移对应的向量用a 表示，那么在同方向上经过3s 的位移所对应的向量可用 来表示。
这是何种运算的结果？启发学生发现：这些公式都是实数与向量间的关系3.【探究1】 已知非零向量a ，作出a a a ++和)()(-+-，你能说处他们的几何意义吗？问题1：相加后，和的长度和方向有什么变化？问题2：这些变化与哪些因素有关？ 生：a 3与a 方向相同且生：a 2-与a 方向相反且师：非常好！教师通过多媒体，看长度和方向的图像变化形式。
（二）新课讲解1.实数与向量的积的定义请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数λ与向量的积？启发学生从以下角度思考：λ是向量？长度？方向？根据学生总结，让学生看大屏幕。
最新人教版高中数学必修42.2.3 向量数乘运算及其几何意义教学设计
223 向量数乘运算及其几何意义一、教分析向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化与加法、减法统称为向量的三大线性运算教时从加法入手引入数乘运算充分展现了数知识之间的内在联系实数与向量的乘积仍然是一个向量既有大小也有方向特别是方向与已知向量是共线向量进而引出共线向量定理共线向量定理是本章节中重要的内容应用相当广泛且容易出错尤其是定理的前提条件向量a是非零向量共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质且与后续的知识有着紧密的联系二、教目标1、知识与技能：通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；掌握共线向量的充要条件。
2、过程与方法：由几个向量的和得出向量数乘运算的含义，从特殊到一般，经历向量数乘概念的形成，探究共线向量的充要条件，培养生类比归纳的能力。
3、情感态度与价值观：初步体会实数与向量的乘积的含义及其几何意义，形成归纳、猜想与论证的能力。
三、重点难点教重点1实数与向量积的意义2实数与向量积的运算律3两个向量共线的等价条件及其运用教难点对向量共线的等价条件的理解运用四、教设想[]（一）导入新课思路1前面两节课我们一起习了向量加减法运算这一节我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广在代数运算中a+a+a=3a故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算思路2一物体做匀速直线运动一秒钟的位移对应的向量为a那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课（二）推进新课、新知探究、提出问题①已知非零向量a试一试作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)②你能对你的探究结果作出解释并说明它们的几何意义吗?③引入向量数乘运算后你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？活动引导生回顾相关知识并猜想结果对于运算律的验证点拨生通过作图进行通过生的动手作图让生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义教师要引导生特别注意0·a=0而不是0·a=0这个零向量是一个特殊的向量它似乎很不起眼但又处处存在稍不注意就会出错所以要引导生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系实数与向量可以求积但是不能进行加、减运算比如λ+aλ-a都无法进行向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似只是数乘运算的分配律有两种不同的形式(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb数乘运算的关键是等式两边向量的模相等方向相同判断两个向量是否平行(共线)实际上就是看能否找出一个实数使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量一定要切实理解两向量共线的条件它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段对问题①生通过作图1可发现OC=OA+AB+BC=a+a+a类似数的乘法可把a+a+a记作3a即OC=3a显然3a的方向与a的方向相同3a的长度是a的长度的3倍即|3a|=3|a|同样由图1可知图1PN=MN+=(-a)+(-a)+(-a)PQ+QM即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a)显然3(-a)的方向与a的方向相反3(-a)的长度是a的长度的3倍这样3(-a)=-3a对问题②上述过程推广后即为实数与向量的积我们规定实数λ与向量a的积是一个向量这种运算叫做向量的数乘记作λa它的长度与方向规定如下(1)|λa|=|λ||a|;(2)当λ>0时λa的方向与a的方向相同;当λ<0时λa的方向与a的方向相反由(1)可知λ=0时λa=0根据实数与向量的积的定义我们可以验证下面的运算律实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb特别地我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)λ(a-b)=λa-λb对问题③向量共线的等价条件是如果a(a≠0)与b共线那么有且只有一个实数λ使b=λa推证过程教师可引导生自己完成推证过程如下对于向量a(a≠0)、b如果有一个实数λ使b=λa那么由向量数乘的定义知a与b共线反过已知向量a与b共线a≠0且向量b的长度是向量a的长度的μ倍即|b|=μ|a|那么当a与b同方向时有b=μa;当a与b反方向时有b=-μa关于向量共线的条件教师要点拨生做进一步深层探究让生思考若去掉a≠0这一条件上述条件成立吗?其目的是通过0与任意向量的平行加深对向量共线的等价条件的认识在判断两个非零向量是否共线时只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可与这两个向量的长度无关在没有指明非零向量的情况下共线向量可能有以下几种情况(1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)同向且模相等;(4)同向且模不等;(5)反向且模相等;(6)反向且模不等讨论结果①数与向量的积仍是一个向量向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定大小由|λ|·|a|确定②它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小③向量的平行与直线的平行是不同的直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点;而向量的平行既包含没有交点的情况又包含两个向量在同一条直线上的情形（三）应用示例思路1例1 计算(1)(-3)×4a ; (2)3(a +b )-2(a -b )-a ; (3)(2a +3b -c )-(3a -2b +c )活动本例是数乘运算的简单应用可让生自己完成要求生熟练运用向量数乘运算的运算律教中点拨生不能将本题看作字母的代数运算可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义使生明确向量数乘运算的特点同时向生点出向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量a 、b 以及任意实数λ、μ1、μ2恒有λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b解(1)原式=(-3×4)a =-12a ; (2)原式=3a +3b -2a +2b -a =5b ; (3)原式=2a +3b -c -3a +2b -c =-a +5b -2c点评运用向量运算的运算律解决向量的数乘其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项” 变式训练若3+2n =a -3n =b 其中ab 是已知向量求n解因3+2n =a ① -3n =b ② 3×②得3-9n =3b ③ ①-③得11n =a -3b∴n =111a -113b ④ 将④代入②有=b +3n =113a +112b点评此题可把已知条件看作向量、n 的方程通过方程组的求解获得、n 在此题求解过程中利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致图2例2 如图2已知任意两个非零向量a 、b 试作OA =a +b OB =a +2b OC =a +3b 你能判断A 、B 、三点之间的位置关系吗?为什么?活动本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法这是判断三点共线常用的方法教中可以先引导生作图通过观察图形得到AB 三点共线的猜想再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线本题只要引导生理清思路具体过程可由生自己完成另外本题是一个很好的与信息技术整合的题材教中可以通过计算机作图进行动态演示揭示向量a 、b 变化过程中A 、B 、三点始终在同一条直线上的规律图3解如图3分别作向量OA 、OC 、OB 过点A 、作直线A 观察发现不论向量a 、b 怎样变化点B 始终在直线AC 上猜想A 、B 、三点共线事实上因为AB =OB -OA =a +2b -(a +b )=b 而AC =OC -OA =a +3b -(a +b )=2b于是AC =2AB所以A 、B 、三点共线[]点评关于三点共线问题生接触较多这里是用向量证明三点共线方法是必须先证明两个向量共线并且有公共点教师引导生解完后进行反思体会向量证法的新颖独特例3 如图4 ABD 的两条对角线相交于点M 且AB =a AD =b 你能用a 、b 表示MC 、、MB 、MA 和MD 吗?图4活动本例的解答要用到平行四边形的性质另外用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤教中可以给生明确指出这一点解在ABD 中∵AC =AB +AD =a +b DB =AB -AD =a -b 又∵平行四边形的两条对角线互相平分 ∴MA =21-AC =21-(a +b )=21-a -21bMB =21DB =21(a -b )=21a -21bMC =21AC =21a +21bMD =MB -=-21DB =-21a +21b点评结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则将两个向量的和或差表示出这是解决这类几何题的关键思路2例1 凸四边形ABD 的边AD 、B 的中点分别为E 、F 求证EF =21(AB +DC ) 活动教师引导生探究能否构造三角形使EF 作为三角形中位线借助于三角形中位线定理解决或创造相同起点以建立向量间关系鼓励生多角度观察思考问题图5解方法一过点在平面内作CG =AB 则四边形ABG 是平行四边形 故F 为AG 中点(如图5) ∴EF 是△ADG 的中位线 ∴EF21DG∴EF =21DG 而DG =DC +CG =DC +AB []∴EF =21(AB +DC )方法二如图6连接EB 、E 则有EB =EA +AB EC =ED +DC图6又∵E 是AD 之中点 ∴有EA +ED =0 即有EB +EC =AB +DC以EB 与EC 为邻边作EBG 则由F 是B 之中点可得F 也是EG 之中点 ∴EF =21EG =21(EB +EC )=21(AB +DC ) 点评向量的运算主要从以下几个方面加强练习(1)加强数形结合思想的训练画出草图帮助解决问题;(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习做到准确熟练运用例2 已知OA 和OB 是不共线向量AP =t AB (t∈R )试用OA 、OB 表示OP活动教师引导生思考由AP =t AB (t∈R )知A 、B 、P 三点共线而OP =OA +AP 然后以AB 表示AP 进而建立OA OB 的联系本题可让生自己解决教师适时点拨解OP =OA +AP =OA +t·AB =OA +t·(OB -OA )=(1-t)·OA +t·OB 点评灵活运用向量共线的条件若令1-t=t=n 则OP =·OA +n·OB +n=1 变式训练1设两个不共线的向量e 1、e 2若向量a =2e 1-3e 2向量b =2e 1+3e 2向量c =2e 1-9e 2问是否存在这样的实数λ、μ使向量d =λa +μb 与向量c 共线？解d =λ(2e 1-3e 2)+μ(2e 1+3e 2)=(2λ+2μ)e 1+(3μ-3λ)e 2要使d 与c 共线则存在实数使d =c即(2λ+2μ)e 1+(3μ-3λ)e 2=2e 1-9e 2 由2λ+2μ=2及3μ-3λ=-9得λ=-2μ故存在这样的实数λ和μ只要λ=-2μ就能使d 与c 共线 2(2007浙江高考)7 若非零向量a 、b 满足|a +b |=|b |则( )A|2a |>|2a +b | B|2a |<|2a +b | |2b |>|a +2b | D|2b |<|a +2b | 答案3(2007全国高考)5 在△A B 中已知D 是AB 边上一点若AD =2DB CD =31CA +λCB 则λ等于( )A32 B 31 -31 D-32 答案A（四）课堂小结1让生回顾本节习的数知识向量的数乘运算法则向量的数乘运算律向量共线的条件体会本节习中用到的思想方法特殊到一般归纳、猜想、类比分类讨论等价转化2向量及其运算与数及其运算可以类比这种类比是我们提高思想性的有效手段在今后的习中应予以充分的重视它是我们习中伟大的引路人 []（五）作业 [+++++]。
〖2021年整理〗《向量的数乘运算及其几何意义》优秀教案
向量数乘运算及其几何意义
名师：卓忠越
一、教学目标
（一）核心素养
通过这节课学习，掌握向量数乘运算，理解其几何意义及向量共线定理，培养学生自主探究知识形成的过程的能力、合作释疑过程中合作交流的能力激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感,培养学生实事求是的科学态度、勇于创新的精神
（4）判断下列向量 与 是否共线：
① ；②
答案：① ∥ ；② ∥ ；
解析：【知识点】共线向量定理
【数学思想】数形结合
【解题过程】① ，所以 ∥ ；② ，所以 ∥ ；
点拨：根据两向量的数量关系，判定两向量是否共线
二课堂设计
1．知识回顾
（1）向量加减法的运算法则
（2）向量加法的运算律
① ；②
（3）向量加减法的几何表示
①
②
③
2．问题探究
探究一通过实例，理解向量数乘定义及其几何意义
●活动①类比定义向量数乘
我们已经学习了向量的加法，请同学们作出 和 向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？
的长度是的长度的3倍，其方向与的方向相同， 的长度是长度的3倍，其方向与的方向相反
类比小学算术中 的乘法定义，类比规定：实数与向量的积就是，它还是一个向量，我们把这种运算叫做向量的数乘
【设计意图】通过由特殊到一般，探索发现共线向量基本定理，再用定义加以证明，符合科学探索发现的一般规律
●活动②巩固理解，尝试应用
判断三点之间的位置关系，主要看这三点是否共线由于两点确定一条直线，如果能够判断第三点在这条直线上，那么就可以判断这三点共线因此，借助共线向量基本定理，可以帮助我们判定三点是否共线
实数与向量的积是一个向量，记作它的长度和方向规定如下：
向量数乘运算及其几何意义 说课稿 教案 教学设计
向量数乘运算及其几何意义向量的数乘运算,其实是加法运算的推广及简化,与加法、减法统称为向量的三大线性运算。
教学时从110米跨栏比赛抽象出物理背景，引入数乘运算,充分展现了向量数乘运算的现实意义。
实数与向量的乘积,仍然是一个向量,既有大小,也有方向。
特别是方向与已知向量是共线向量,进而引出共线向量定理。
共线向量定理是本章节中重要的内容,应用相当广泛,且容易出错。
尤其是定理的前提条件:向量a是非零向量。
共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质,且与后续的知识有着紧密的联系。
向量数乘运算及其几何意义、运算律，共线向量定理。
经历向量数乘运算定义及其几何意义的探究过程，体会类比、归纳、由特体会类比、归纳推理方法在本节课中的作用。
在用向量方法研究三点共线教学的过程中渗透数形结合的思想方法。
感受平面向量方法在研究平面几何问题中的作用,进一步提高学习向量知,培养学生的创新能力向量数乘运算及其几何意义、运算律、共线向量定理。
◆向量数乘定义由学生类比实数乘法得到，通过学生自主验证运算律与教师几何画板演示相结合的方法突破教学重点。
【教学难点】共线向量定理及其应用。
◆通过学生思考、讨论、交流、变式训练、总结等环节突破共线向量定理及其应用这一教学难点。
|||||a a λλ=；与a 的方向相同；a λ的方向与a 的方向相反；0a λ=。
教师引导，9a 与3a -实例的基础定义并探究其几何意义。
探究向量数乘运算的运算律： )()a a μλμ=；a b λλ+a+b ）=。
向量线性运算律)yb =xa yb λλ±新知应用例1 计算:(1)(-3)×4a；(2)3(a b+)-2(a b-)-a;(3)(23a b c+-)-(32a b c-+)。
教师利用几何画板动态演示3(a b+)-2(a b-)-a的几何意义学生交流、讨论，教师点评。
教师演示学生观察、感知。
通过利用微信背景，调解课堂气氛,创设利于学生学习的氛围。
(完整word版)2.2.3向量数乘运算及其几何意义(教学设计)
SCH 高中数学(南极数学)同步教学设计(人教 A 版必修4第二章)•'•I 入（pa ）I=I （入 2）I1223向量数乘运算及其几何意义(教学设计)一、知识与能力：1理解掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行有关计算。
2、 理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
3、 通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能 力。
二、 过程与方法：1. 经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程； 2 •体会数形结合的数学思想方法 . 三、 情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题. 教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件. 教学难点：向量共线的充要条件. 一、复习回顾，新课导入探究：已知非零向量a ,作出a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a),并说明它类似数的乘法，把 a+a+a 记作3a ,显然3a 的方向与a 的方向 倍，即即 |3a|=3|a|.同样，(-a)+( -a)+( -a)=3( -a)，显然3(-a)的方向与a 的方向相反, 由学生作图，归纳几何意义，教师补充完善，引出本节课所学的内容。
、师生互动，新课讲解 1.定义：实数 与向量a 的积是一个向量，称为向量的数乘，记作a ，它的长度与方向规定如下: (1) I a|=||| a| ;(2) 当>0时，a 的方向与向量a 的方向相同；当 <0时，a 的方向与a 的方向相反. 2. 特别地，当 =0或a=0时，a=0 ;当=-1时，(-1) a=-a ，就是a 的相反向量. 3.实数与向量的积的运算律设、为实数，那么 (1)( a)=( ) a ;(结合律)(2) ( + )a= a+ a ;(第一分配律) (3)(a+b)= a+ b.(第二分配律)结合律证明：如果入=0,尸0, a =0至少有一个成立，则①式成立 们的几何意义•相同，3a 的长度是a 的33(-a)的长度是a 的3倍，这样3(-a)=-3a.如果入0，卩0, a 0有：|入(旧)1=1入II旧1=1入II川a I1(入2 a|=入训a I=I入II训a I解：(1)原式=(-3 4) a=-12a;2解：(1)原式=(-3 4) a=-12a;3如果入、卩同号，则①式两端向量的方向都与 a 同向； 如果入、卩异号，则①式两端向量的方向都与a 反向。
向量数乘运算及其几何意义教案
1 2.2.3向量数乘运算及其几何意义一.教学目标1.知识与技能: 通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理。
熟练 运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线 平行等问题。
2.过程与方法:理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是 否共线。
3.态度情感与价值观：通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能 力，合作释疑过程中合作交流的能力。
激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶 学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神。
二.教学重难点重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理。
难点：向量共线定理的探究及其应用。
三.教学过程（一）复习回顾问题1：向量加法的运算法则？问题2：向量减法的运算法则？（二）新课讲解1.向量数量积的定义【探究1】 已知非零向量a ，作出a a a ++和()()()a a a -+-+-，你能说出他们的几何意义 吗？问题1：相加后，和的长度和方向有什么变化？问题2：这些变化与哪些因素有关？练一练：P 90 第1题，第2题.22.向量数乘的运算律【探究2】 问题一：求作向量)2(3a 和a 6(a 为非零向量)，并进行比较。
问题二：已知向量a 、b ，求作向量)(2b a +和b a 22+，并进行比较。
类比实数乘法的运算律得向量数乘的运算律：对于任意向量a 、b 及任意实数λ、μ,恒有b a b a 2121)(λμλμμμλ±=±. 例5：计算(口答) (1) a 4)3(⨯-(2) a b a b a ---+)(2)(3(3) )23()32(c b a c b a +---+练一练：P 90 第5题.3、向量共线定理 【探究3】问题1：如果 a b λ=(0≠a ), 那么，向量a 与b 是否共线？问题2: b 与非零向量a 共线， 那么，a b λ= ？思考：1. a 为什么要是非零向量？ 2. b 可以是零向量吗？例6.已知任意两非零向量a 、b ，试作b a OA +=, b a OB 2+=，b a OC 3+=。
向量数乘运算及其几何意义教案
向量数乘运算及其几何意义教案教学目标：1. 理解向量数乘的概念及其运算规则。
2. 掌握向量数乘的几何意义。
3. 能够运用向量数乘解决实际问题。
教学重点：1. 向量数乘的概念及其运算规则。
2. 向量数乘的几何意义。
教学难点：1. 向量数乘的运算规则。
2. 向量数乘的几何意义的理解。
教学准备：1. 向量知识的基础。
2. 数乘知识的基础。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入向量的概念，复习向量的基本运算。
2. 引入数乘的概念，复习数乘的基本运算。
二、向量数乘的概念及其运算规则（10分钟）1. 介绍向量数乘的概念：将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
2. 讲解向量数乘的运算规则：对于两个向量a和b，以及一个实数c，有ca = (ca1, ca2)，其中a1和a2分别是向量a的两个分量。
三、向量数乘的几何意义（10分钟）1. 介绍向量数乘的几何意义：将一个向量进行数乘，相当于将这个向量按比例放大或缩小。
2. 讲解向量数乘的几何意义：如果将一个向量进行正数数乘，这个向量的大小会放大，方向不变；如果将一个向量进行负数数乘，这个向量的大小会缩小，方向不变。
四、向量数乘的运算性质（10分钟）1. 介绍向量数乘的运算性质：向量数乘满足交换律、结合律和分配律。
2. 讲解向量数乘的运算性质：交换律：ca = ac；结合律：(ca)b = ca(b)；分配律：c(a + b) = ca + cb。
五、向量数乘的应用（10分钟）1. 介绍向量数乘在实际问题中的应用：如在物理学中，力的大小和方向可以通过向量数乘来表示；在工程学中，向量数乘可以用来计算物体的位移等。
2. 讲解向量数乘在实际问题中的应用：通过举例，说明如何运用向量数乘解决实际问题。
教学反思：本节课通过讲解和实例演示，使学生掌握了向量数乘的概念及其运算规则，理解了向量数乘的几何意义，并能运用向量数乘解决实际问题。
在教学过程中，注意引导学生主动参与，通过讲解和实际例子的结合，使学生更好地理解和掌握向量数乘的知识。
数学：向量数乘运算及其几何意义教案新人教A必修
２．２．３ 向量数乘运算及其几何意义（１）教学目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、数乘运算的三个运算律，理解向量 共线的充要条件。
教学重点：向量数乘运算的意义及运算律，向量共线的条件。
教学难点：向量共线的条件。
教学过程一、复习提问什么叫共线向量？向量的加法、减法的定义、运算法则（三角形法则、平行四边形法则）。
二、新课１．引入新课：已知非零向量a 作出a +a +a 和（a ）+（a ）+（a ）OC =BC AB OA ++=a +a +a =３aPN =MN QM PQ ++=（a ）+（a ）+（a ）=３a讨论：１３a 与a 方向相同且|３a |=３|a | ２３a 与a 方向相反且|３a |=３|a |２．从而提出课题：实数与向量的积实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa１|λa |=|λ||a | ２λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =0a a a a OA B C a - a -a -a -N M Q P３、运算定律：结合律：λ（μa ）=（λμ）a １第一分配律：（λ+μ）a =λa +μa ２第二分配律：λ（a +b）=λa +λb３特别地，（—λ）a ＝—（λa ）＝λ（—a ）λ（a —b）＝λa —λb４、例题例５、计算：（１）（—３）⨯４a ；（２）３（a ＋b）—２（a —b）—a ；（３）（２a ＋３b—c）—（３a —２b＋c）。
解：（１）原式＝（—３⨯４）a ＝—１２a ；（２）原式＝３a ＋３b—２a ＋２b—a ＝５b；（３）原式＝２a ＋３b—c—３a ＋２b—c＝—a ＋５b—２c。
对于向量a （a ≠0）、b，如果有一个实数λ，使b＝λa ，由向量的数乘定义知， 与b共线。
a反过来，向量a （a ≠0）与b共线，且向量b的长度是向量a 的μ倍，即|b|＝μ|a|，那么当a 与b同方向时，有b＝μa ，当a与b反方向时，有b＝—μa。
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2.2.3 《向量的数乘运算及几何意义》教学设计
温江二中 何汝兵
一、教材分析：
向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.但是引进向量，而不研究它的运算，则向量只是起到一个路标的作用；向量只有引进运算后才显得威力无穷.本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意义；本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义.
向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线
向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线l 就可以用点A 和某个向量a
表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提
条件：向量a
是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.
二、学情分析：
学生在已经学习了近一学期的高中课程内容后，在思想和思维模式上已经适应了高中的课程和高中的教学方式。
学生能适应自主探究、师生互动的学习方式，动手操作能力强，勇于创新，敢于发表自己的见解。
只要教师创设情境合理，精心设计问题串，循序渐进层层深入，学生能很快地构建起新的数学知识，教师只要作必要的归纳，就会帮助学生上升到理性认识的层面。
同时为了更熟练地掌握知识和应用知识，需加强学生的课堂练习。
三、教学目标：
1、知识与技能
通过经历探究数乘运算法则及其几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量积的运算律。
2、过程与方法
通过师生互动理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行。
3、情感态度与价值观
通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用。
四、教学重难点
教学重点：
1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义； 2．熟练地掌握和运用实数与向量积的运算律； 3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线。
教学难点：对向量共线的等价条件的理解以及运用。
五、教具选取
三角板、投影仪、多媒体辅助教学。
六、教学基本流程
教学环节教学内容教师活动学生活
动
设计意图
复习回顾向量的加法、向量的减法教师提问学生回
答
复习回顾，引发新
知
引入新课已知非零向量a，作出a+a+a和
（a
-）+（a
-）+（a
-）
想一想：它们的大
小和方向有什么
变化？
学生作
图，观
察并思
考
认识和理解向量
数乘的几何意义
必须从几何直观
入手，即通过让学
生自己作图，以及
独立观察、思考，
让学生对向量的
伸缩有一个初步
的感性认识，进而
为下一步对向量
的数乘的定义及
其几何意义的理
性认识作好铺垫。
新课讲解实数与向量的积的定义：
一般地，实数λ与向量a的积
是一个向量，记作a
λ，它的长度
与方向规定如下：
（1）||||||
a a
λλ
=；
（2）当0
λ>时，a
λ的方向与a
的方向相同；
当0
λ<时，a
λ的方向与
a的方向相反；
当0
λ=时，0
a
λ=．
问题1：请大家根
据上述问题并作
一下类比，看看怎
样定义实数与向
量的积？
小组合
作交
流，学
生单独
作答
通过引出向量的
数乘的定义，让学
生体会从特殊到
一般的思想方法
问题2：你能说明
它的几何意义
吗？
小组合
作交
流，学
生单独
作答
从从直观入手，从
具体开始，逐步抽
象。
通过师生互
动，得到向量数乘
的几何意义是把
向量a沿a的方
向或反方向伸长
或缩短λ倍。
a b λλ+a+b ）=（第二分配律）．
)(3c a ---练一练教材
是否共线
与试判断，已知，、如图例AE AC BC DE AB AD .332==
引导学生思考
学生思
考作答
共线向量定理的应用一：判断两向量是否共线
的位置关系。
三点、、试判断，已知，变式一：如图E C A .33BC DE AB AD ==
引导学生思考
学生思
考作答
共线向量定理的应用二：判断三点共线
DE
BC C E AB AD //.A 3A 3求证：，已知
，变式二：如图== 引导学生思考
学生思考作答
共线向量定理的应用三：判断直线平行
例 3.如图，已知任意两个向量,
,b a
试作出.
3,2,b a OC b a OB b a OA
+=+=+=你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？
引导学生思考 学生思考作答
这道例题是先让学生猜想，再证明；利用向量共线证明点共线，具体方法是先证明向量共线，再证明向量有公共点；进而引出利用向量共线证明直线平行.
例4.如图，
ABCD 的两条对角线相交于点M ，且
b AD a AB ==,，你能用b a
,表
示ND MC MB MA ,,,吗？
引导学生思考
学生思考作答
综合运用向量的加、减、数乘等向量的线性运算.
使学生明确：有了向量的线性运算，平面中的点、线段（直线）就可以得到向量表示，这是利用向量解决几何问题的重要步骤.
课堂小结
一、① a
λ的定义及运算律；
② 向量共线定理)0(
≠a ，⇔=a b
λ 向量a 与b 共线.
二、 定理的应用：
（1） 证明向量共线；
引导学生体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般，归纳，猜想，类比，分类讨论，等价转化.
1.知识性内容的总结，可以把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质.
2.运用数学方法，创新素质的小结能让学
八、板书设计。