2.2.3向量数乘运算教案
《2.2.3向量的数乘运算》作业设计方案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《向量的数乘运算》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本次作业，学生应能够：1. 理解向量的数乘运算的概念和意义；2. 掌握向量的数乘运算的几何意义和物理意义；3. 能够进行简单的向量数乘运算。
二、作业内容1. 理论题：（1）简述向量的数乘运算的概念和意义，并举例说明其应用；（2）解释向量的模、方向与数乘运算的关系；（3）证明数乘向量运算的几何意义。
2. 实践题：（1）画一个简单的向量图，标明向量A和向量B的方向；（2）求向量A与向量B的数乘结果，并解释其几何意义；（3）根据数乘向量运算的几何意义，解释以下物理现象：一物体在力F的作用下，沿力F的方向移动了一段距离，力F的数值不变，但物体的位移增加，请用向量语言解释这一现象。
三、作业要求1. 学生需独立完成作业，严禁抄袭；2. 理论题需用完整的句子回答，阐述清楚自己的观点；3. 实践题需画图并标注必要的文字说明；4. 作业应在规定时间内提交，我们将在课后进行批改和反馈。
四、作业评价1. 批改方式：教师根据学生提交的作业进行批改，给出分数和评语；2. 评价标准：作业的完整性和准确性是评价的主要依据；3. 分数比例：理论题和实践题各占50%的分数比例。
五、作业反馈1. 教师将在课后将作业反馈发给每一位学生，包括对作业的批改意见和解答；2. 学生应根据教师的反馈进行修正和改进，以便更好地理解和掌握向量的数乘运算。
具体作业内容如下：一、理论题：请用完整的句子回答以下问题：1. 向量的数乘运算是什么？它有哪些应用？2. 向量的模、方向与数乘运算的关系是什么？请举例说明。
3. 如何证明数乘向量运算的几何意义？请用图形说明。
二、实践题：请根据以下步骤完成作业：1. 画一个简单的向量图，标明向量A和向量B的方向（请使用铅笔和纸张完成）；2. 求向量A与向量B的数乘结果，并解释其几何意义（请使用彩色笔标注在图中）；3. 假设一个物体在力F的作用下，沿力F的方向移动了一段距离。
向量数乘运算及其几何意义教案
1 2.2.3向量数乘运算及其几何意义一.教学目标1.知识与技能: 通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理。
熟练 运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线 平行等问题。
2.过程与方法:理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是 否共线。
3.态度情感与价值观：通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能 力，合作释疑过程中合作交流的能力。
激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶 学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神。
二.教学重难点重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理。
难点：向量共线定理的探究及其应用。
三.教学过程（一）复习回顾问题1：向量加法的运算法则？问题2：向量减法的运算法则？（二）新课讲解1.向量数量积的定义【探究1】 已知非零向量a ，作出a a a ++和()()()a a a -+-+-，你能说出他们的几何意义 吗？问题1：相加后，和的长度和方向有什么变化？问题2：这些变化与哪些因素有关？练一练：P 90 第1题，第2题.22.向量数乘的运算律【探究2】 问题一：求作向量)2(3a 和a 6(a 为非零向量)，并进行比较。
问题二：已知向量a 、b ，求作向量)(2b a +和b a 22+，并进行比较。
类比实数乘法的运算律得向量数乘的运算律：对于任意向量a 、b 及任意实数λ、μ,恒有b a b a 2121)(λμλμμμλ±=±. 例5：计算(口答) (1) a 4)3(⨯-(2) a b a b a ---+)(2)(3(3) )23()32(c b a c b a +---+练一练：P 90 第5题.3、向量共线定理 【探究3】问题1：如果 a b λ=(0≠a ), 那么，向量a 与b 是否共线？问题2: b 与非零向量a 共线， 那么，a b λ= ？思考：1. a 为什么要是非零向量？ 2. b 可以是零向量吗？例6.已知任意两非零向量a 、b ，试作b a OA +=, b a OB 2+=，b a OC 3+=。
高中数学 必修四 2.2.3向量数乘运算教案
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
一、教学过程：
（一）复习：
已知非零向量 作出 + + 和( )+( )+( )
B
A
O
C
P
Q
M
N
= = + + =3
= =( )+( )+( )=3
讨论：13 与 方向相同且|3 |=3| |
23 与 方向相反且|3 |=3| |
（二）新课讲解：
1．实数与向量的积的定义：
，
2
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
4．向量共线定理：
定理：如果有一个实数 ，使 （ ），那么向量 与 是共线向量；反之，如果向量 与 （ ）是共线向量，那么有且只有一个实数 ，使得 ．
三、课堂练习：
课本例6，例7
教材P90面1、2、3题
教
学
小
结Hale Waihona Puke 1．掌握向量数乘运算的定义；
2．掌握向量数乘运算的运算律，并进行有关的计算；
1
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
一般地，实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：
（1） ；
（2）当 时， 的方向与 的方向相同；
当 时， 的方向与 的方向相反；
当 时， ．
2．实数与向量的积的运算律：
（1） （结合律）；
（2） （第一分配律）；
（3） （第二分配律）．
《2.2.3向量的数乘运算》作业设计方案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《向量的数乘运算》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本次作业的主要目标是巩固学生对向量数乘运算的理解，能够准确进行向量的数乘计算，并能够运用数乘运算解决简单的实际问题。
通过作业练习，提高学生的数学运算能力和逻辑思维能力。
二、作业内容1. 基础练习：（1）要求学生掌握向量数乘的定义及性质，完成一定量的填空题和选择题，用以检验学生对基础知识的掌握情况。
（2）布置数乘运算的简单计算题，包括向量的数乘结果计算、与标量相乘的向量运算等。
2. 理解运用：（1）设计几道应用题，让学生在具体问题中运用向量数乘运算的知识进行计算。
如力学的物理问题中涉及向量数乘的情况。
（2）结合实际问题，如物理中力的合成与分解，要求学生运用所学知识分析并解决相关问题。
3. 综合训练：（1）布置一些综合性的数乘运算题目，要求学生能够综合运用所学知识进行计算和推理。
（2）鼓励学生通过小组合作，共同探讨和解决一些较复杂的数乘运算问题。
三、作业要求1. 学生需在规定时间内独立完成作业，并保证答案的准确性和计算的规范性。
2. 学生在解题过程中应注重理解题意，明确每个步骤的目的和意义，避免盲目计算。
3. 学生在完成作业后应自行检查答案的准确性，并尝试用不同的方法进行验证。
4. 鼓励学生在解题过程中记录自己的思考过程和解题方法，以便于复习和总结。
四、作业评价1. 教师将根据学生的作业完成情况，对每位学生的作业进行批改和评价。
2. 评价标准包括答案的准确性、计算的规范性、解题思路的清晰度以及是否有创新性等。
3. 对于优秀作业，教师将在课堂上进行展示和表扬，并给予相应的奖励。
五、作业反馈1. 教师将根据作业批改情况，对学生在数乘运算中存在的问题进行总结和分析，并在课堂上进行讲解和指导。
2. 对于共性问题，教师将重点强调和讲解，帮助学生掌握正确的解题方法和思路。
3. 鼓励学生之间互相交流学习，分享解题经验和技巧，共同提高数学学习能力。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标本课时作业设计的目标是巩固学生对向量数乘运算的理解，掌握向量数乘的几何意义和代数运算法则，能够熟练运用向量数乘运算解决实际问题，提高学生的数学应用能力和逻辑思维能力。
向量的数乘运算教案
向量的数乘运算教案概述：本教案旨在拓展学生对向量的数乘运算的理解。
数乘运算是向量的最基本运算之一，能够将向量拉伸或缩小。
同理，也可以将向量反向或者使其朝向反方向。
教学目标：- 让学生了解向量的数乘运算是什么，以及它对向量的影响。
- 通过实践演练，让学生掌握如何进行向量的数乘运算。
- 让学生懂得如何应用向量的数乘运算解决实际问题。
课程内容：1. 什么是向量的数乘运算向量的数乘运算是指将一个向量乘以一个标量得到一个新的向量。
例如，将向量 a 与标量 k 相乘，可以得到一个新向量 b = ka ，该向量的大小是原向量大小的 k 倍，而且朝向与原来的向量一致（如果 k 不是负数的话）。
2. 向量的数乘运算的影响向量的数乘运算对向量的影响主要取决于乘数的正负。
- 如果乘数 k 为正数，那么新向量的大小会成为原向量大小的 k 倍，朝向保持不变。
- 如果乘数 k 为负数，那么新向量的大小会成为原向量大小的 k 倍，但方向会与原向量相反。
- 如果乘数 k 为零，得到的新向量大小为零向量，方向无意义。
3. 如何进行向量的数乘运算在计算时，只需要将向量中每个分量乘以标量即可。
例如，若将向量 a 与标量 k 相乘，得到的新向量分量分别为 kb1，kb2，kb3，其中b1、b2、b3 是原向量 a 的对应分量。
4. 实际应用向量的数乘运算在实际中有许多应用，例如：- 将向量的大小缩放，使其适应计算的要求。
- 控制物体的移动速度和旋转角度。
- 调节图像的亮度和对比度等。
5. 注意事项在进行向量的数乘运算时，需要注意以下几点：- 数乘运算只能用于向量之间，不能用于标量之间。
- 向量的朝向保持不变，乘数的正负影响朝向。
- 数乘运算的结果是一个向量，大小和方向都可能改变。
教学结论：通过本教案的学习，相信学生已经全面掌握了向量的数乘运算的原理和操作方法。
在实际应用中，希望学生能灵活运用向量的数乘运算解决问题，为今后的学习和工作打下坚实的基础。
《2.2.3向量的数乘运算》作业设计方案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《向量的数乘运算》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过数乘运算的练习，使学生能够熟练掌握向量的数乘运算规则，理解向量数乘的几何意义，并能够运用数乘运算解决实际问题。
通过作业的完成，提高学生的数学应用能力和逻辑思维能力。
二、作业内容1. 基础练习：（1）根据向量数乘的定义，完成一系列向量数乘的运算题目，包括已知向量和实数求数乘结果等。
（2）理解并掌握向量数乘的几何意义，通过数乘运算绘制出相应的几何图形，并解释数乘对图形的影响。
2. 综合应用：（1）运用向量数乘的知识，解决与速度、加速度、力等相关的实际问题，加深对向量数乘实际意义的理解。
（2）结合其他数学知识（如向量加法、减法等），完成一些综合性的向量运算题目。
3. 拓展提高：（1）设计一些具有一定难度的题目，如参数方程与向量数乘的结合等，供学有余力的学生挑战。
（2）引导学生进行小组合作，共同探讨向量数乘运算在实际生活中的应用，并形成小组报告。
三、作业要求1. 学生在完成作业时，应注重理解题意，明确题目要求，按照数学规则进行计算和推导。
2. 学生在进行数乘运算时，应注意实数与向量的乘法顺序，以及数乘运算的几何意义。
3. 综合应用题目的解答过程中，学生应结合实际生活情境，运用所学知识解决问题。
4. 拓展提高部分的题目和小组报告，应鼓励学生进行独立思考和合作探究，培养学生的创新能力和团队协作精神。
5. 作业完成后，学生应自行检查答案，确保计算的准确性和逻辑的严密性。
四、作业评价1. 教师将根据学生的作业完成情况，对每个学生的作业进行批改和评价。
2. 评价标准包括作业的正确性、计算的准确性、解题思路的清晰性以及创新点的多少等。
3. 对于优秀作业，教师将在课堂上进行展示和表扬，并给予一定的奖励。
4. 对于存在问题的作业，教师将指出错误之处，并给出改进建议和指导。
五、作业反馈1. 教师将根据学生的作业情况，对本次作业进行总结和反馈。
2. 反馈内容包括学生对知识点的掌握情况、解题思路的优缺点以及需要改进的地方等。
§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
b // a( a 0 ) 存在唯一实数，使b a
思考 (1)为什么规定 a 0 ? (2) 若 a 0 ,则情况会怎样?
当a 0, b 0时，显然a // b，但符合条件有无数多个
当a 0, b 0时，显然a // b，但符合条件不存在 综上所述， a必须是非零向量
a
3a 3a
6a
2 (3a) (2 3)a
一般地
2013-1-10
( a) ( )a
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 8
§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
4.已知非零向量 a , b ,试作出 2(a b) 和 2a 2b , 并进行比较. a a
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
16
§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课堂练习 <<教材>> P.90 书面作业 <<教材>> P.91 习题2.2 A组9.10 练习1.2.3.4.5.6
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
共起点
A
a
首
尾
尾首
B
a b
A
a+b
b a
C
b
a+b
B
O
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
3
§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
3、向量减法的三角形法则
口决：共起点，指被减 4、向量减法的平行四边形法则 共起点 b A A
a a a+b a
数学(2.2.3向量数乘运算及其几何意义)
运算规则
总结词
向量数乘运算的规则包括与标量乘法类似，但需要注意向量的方向性。
详细描述
向量数乘运算的规则与标量乘法类似，实数与向量的每个分量相乘，得到的结果仍为一个向量。但需要注意的是， 向量的方向性在数乘运算中会发生变化。当实数为正时，向量的方向保持不变；当实数为负时，向量的方向会反 向；当实数为零时，向量的长度为零，方向任意。
性质
总结词
向量数乘运算具有分配律和结合律。
详细描述
向量数乘运算具有分配律，即对于任意实数$k$和$l$， 以及任意向量$overset{longrightarrow}{a}$和 $overset{longrightarrow}{b}$，有$(k + l)overset{longrightarrow}{a} = koverset{longrightarrow}{a} + loverset{longrightarrow}{a}$。同时，向量数乘运算也 具有结合律，即对于任意实数$k$、$l$和向量 $overset{longrightarrow}{a}$、 $overset{longrightarrow}{b}$、 $overset{longrightarrow}{c}$，有 $(kl)overset{longrightarrow}{a} = k(loverset{longrightarrow}{a})$。
向量的长度和方向的变化
长度变化
标量数乘会导致向量的长度发生变化。设$k > 0$，则$koverset{longrightarrow}{a}$ 的长度是$overset{longrightarrow}{a}$长度的$|k|$倍；设$k < 0$，则
$koverset{longrightarrow}{a}$的长度是$overset{longrightarrow}{a}$长度的 $frac{1}{|k|}$倍。
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河北武中·宏达教育集团教师课时教案
备课人授课时间
课题 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课标要求要求学生掌握实数与向量的积的定义、数乘运算的三个运算律。
教学目标
知识目标理解向量共线的充要条件。
技能目标掌握实数与向量的积的定义
情感态度价值观掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算
重点向量数乘运算的意义及运算律，向量共线的条件。
难点向量共线的条件。
教学过程及方法
问题与情境及教师活动学生活动
一、教学过程：
（一）复习：
已知非零向量a
作出a
+a
+a
和(-a
)+(-a
)+(-a
)
OC=BC
AB
OA+
+=a
+a
+a
=3a
PN=MN
QM
PQ+
+=(-a
)+(-a
)+(-a
)=-3a
讨论：1︒3a
与a
方向相同且|3a
|=3|a
|
2︒-3a
与a
方向相反且|-3a
|=3|a
|
（二）新课讲解：
1．实数与向量的积的定义：
a
a
a
a
O A B
C
a
-a
-a
-a
-
N M Q P
的方向与a 的方向相同；当0λ= 时，0a λ=．实数与向量的积的运算律： （结合律）； a b λλ+a+b ）=（第二分配律）（－λ）a ＝－（λa ）＝λ（－λ（a －b ）＝λa ⨯4) a ＝－a ；
）原式＝3a ＋3b －2a ＋2b －a ＝
，使得b a λ=． 三、课堂练习：。