因式分解的规则与要点
初中因式分解的常用方法
初中因式分解的常见方法因式分解的概念与原则1、定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种恒等变换叫做因式分解，也叫作分解因式。
2、原则：（1）分解必须要彻底（即分解之后的因式均不能再做分解）；（2）结果最后只留下小括号；（3）结果的多项式是首项为正，为负时提出负号；（4）结果个因式的多项式为最简整式，还可以化简的要化简；（5）如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前；（6）相同因式的乘积写成幂的形式；（7）如无特殊要求，一般在有理数范围内分解。
如另有要求，在要求的范围内分解。
因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项法来分解；（4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解。
也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。
十字相乘试一试，分组分解要相对合适。
”因式分解的常用方法因式分解与整式乘法是互逆的运算，是学好代数的基础之一，希望同学给以足够的重视。
因式分解的每一步都必须是恒等变形，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
常见的方法有:①提取公因式法;②公式法;③提公因式法与公式法的综合运用。
在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提取公因式法，然后考虑公式法，对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等。
下面通过例题一一介绍。
一.提取公因式法(一)公因式是单项式的因式分解1.分解因式确定公因式的方法①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式);③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂.注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项.解:原式=一4m²n(m²一4m+7).(二)公因式是多项式的因式分解2.因式分解15b(2a一b)²+25(b一2a)²解:原式=15b(2a一b)²+25(2a一b)²=5(2a一b)²(3b+5)总结（口诀）：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。
因式分解
因式分解知识点一：因式分解的概念及注意事项因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；知识点二：因式分解基本方法方法一·提公因式法1、提公因式法分解因式的一般形式，如:ma+mb+mc=m（a+b+c）.这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的整式.2、提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.3、找公因式的一般步骤（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘积即为公因式.4、注意事项：多项式的公因式应是各项所共有的最高因式，公因式的系数原则上是不定的。
但对整系数的多项式，其公因式的系数一般取所有系数的最大公约数；对分数系数的多项式，其公因式的系数一般取所有分母的最小公倍数分之一；公因式的字母取各项共有的字母，各相同字母的指数取其次数最低的。
公因式可以是单项式也可以是多项式，有时要进行适当变形才能出现公因式。
题型展示：1、将下列各式分解因式： （1）y)2b(x -y)3a(x ++;（2）32)(18)(12n m n m -+-;（3）3)2(6)2(3x y y x ---;（4）22222)(83)(41p q ab q p b a ---; 2、下列分解因式结果正确的是( )A.)6)(2()2()2(6x x x x x +-=-+-B.)2(2223x x x x x x +=++C.)()()(2b a a b a ab b a a -=-+- D.)2(3632+=+x xn xn n x提高练习1、如果b －a =－6，ab =7，那么22ab b a -的值是( )A.42B.－42C.13D.－132、若4x 3－6x 2=2x 2(2x +k )，则k =________.3、2(a －b )3－4(b －a )2=2(a －b )2(________).4、36×29－12×33=________.5、分解因式(1)2)())((y x y x y x +--+(2))(4)(82x y b y x a ---6.计算与求值29×20.03+72×20.03+13×20.03－14×20.03.7、.先化简，再求值a (8－a )+b (a －8)－c (8－a )，其中a =1，b =21，c =21.8、已知812=-y x ，2=xy ，求43342y x y x -的值.方法二·公式法【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
因式分解知识点总结
因式分解知识点总结一、因式分解的概念。
1. 定义。
- 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
例如：x^2-4=(x + 2)(x - 2)，就是将多项式x^2-4因式分解为两个整式(x + 2)与(x - 2)的积的形式。
2. 与整式乘法的关系。
- 因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。
整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，如(a + b)(a - b)=a^2-b^2；而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘，如a^2-b^2=(a + b)(a - b)。
二、因式分解的方法。
1. 提公因式法。
- 公因式的确定。
- 系数：取各项系数的最大公因数。
例如，对于多项式6x^2+9x，系数6和9的最大公因数是3。
- 字母：取各项相同的字母。
在6x^2+9x中，相同的字母是x。
- 字母的指数：取相同字母的最低次幂。
对于6x^2+9x，x的最低次幂是1。
所以公因式是3x。
- 提公因式的步骤。
- 找出公因式。
- 用多项式除以公因式，得到另一个因式。
例如，6x^2+9x = 3x(2x+3)。
2. 公式法。
- 平方差公式。
- 公式：a^2-b^2=(a + b)(a - b)。
- 应用条件：多项式必须是两项式，并且这两项都能写成平方的形式，符号相反。
例如，9x^2-16y^2=(3x + 4y)(3x - 4y)，这里9x^2=(3x)^2，16y^2=(4y)^2。
- 完全平方公式。
- 公式：a^2+2ab + b^2=(a + b)^2，a^2-2ab + b^2=(a - b)^2。
- 应用条件：多项式是三项式，其中有两项能写成平方的形式，且这两项的符号相同，另一项是这两个数乘积的2倍。
例如，x^2+6x + 9=(x + 3)^2，这里x^2=x^2，9 = 3^2，6x=2× x×3。
3. 十字相乘法（拓展内容，人教版教材部分有涉及）- 对于二次三项式ax^2+bx + c(a≠0)，如果能找到两个数m和n，使得m + n=b 且mn = ac，那么ax^2+bx + c=(x + m)(x + n)。
因式分解最全方法归纳
因式分解最全方法归纳一、因式分解的概念与原则1、定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种恒等变换叫做因式分解，也叫作分解因式。
2、原则：（1）分解必须要彻底（即分解之后的因式均不能再做分解）；（2）结果最后只留下小括号；（3）结果的多项式是首项为正，为负时提出负号；（4）结果个因式的多项式为最简整式，还可以化简的要化简；（5）如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前；（6）相同因式的乘积写成幂的形式；（7）如无特殊要求，一般在有理数范围内分解。
如另有要求，在要求的范围内分解。
3、因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项法来分解；（4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解。
也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。
十字相乘试一试，分组分解要相对合适。
”二、因式分解的方法1、提取公因式公因式：一个多项式的多项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。
公因式可以是单项式，也可以是多项式。
确定公因式的方法：公因数的常数应取各项系数的最大公约数，多项式第一项为负的，要提出负号；字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的。
提取公因式：公因式作为一个因式，原式除以公因式的商作为另一个因式。
注意事项：（1）先确定公因式，一次把公因式全部提净；（2）提完公因式后，商的项数与原式相同，与公因式相同的项，其商为1 不可丢掉；（3）提取的公因式带负号时，多项式的各项要变号。
例1、分解因式：6a 2 b–9abc+3ab解：原式=3ab (2a-3c+1 )例2、分解因式：–12x 3 y 2 +4x 2 y 3解：原式=–4x 2 y 2 ( 3x–y)总结（口诀）：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。
【知识】因式分解知识点归纳
【关键字】知识因式分解知识点归纳总结一（一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就能够用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子：a2-b2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
（三）因式分解1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就能够得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就能够了。
（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就能够用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
因式分解知识点归纳
因式分解知识点归纳因式分解是代数中的重要概念和技巧，它在解方程、求根、化简表达式等方面都有广泛的应用。
以下是关于因式分解的知识点归纳：一、基本概念1.因式：在乘法中，参加运算的每个数或字母或含有字母的式子，称为因式。
2.因式分解：把一个多项式写成若干个因式相乘的形式，称为因式分解。
3.因数：若一个数a能够整除另一个数b，那么称a是b的因数，b 是a的倍数。
二、因式分解的原则1.分解的因式中只能有素数，即不能再分解。
2.同一因式在分解式中只能出现一次，不允许出现多个相同的因式。
三、因式分解的方法1.公因式法：把多项式中的公因式提出来，然后将剩余部分进行因式分解。
2.提取因式法：将多项式中的因式提取出来，然后将剩余部分进行因式分解。
3.平方差公式：对于两个完全平方差的多项式，可以利用平方差公式进行因式分解。
4.分组分解法：将多项式中的项进行分组，然后利用求和公式或平方差公式进行因式分解。
5.完全平方公式：对于一个完全平方的多项式，可以利用完全平方公式进行因式分解。
四、常用的因式分解公式1.两个平方差的因式分解公式：a²-b²=(a+b)(a-b)；a² + 2ab+ b² = (a + b)²；a² - 2ab + b² = (a - b)²。
2.完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²；a² - 2ab + b² = (a - b)²。
3.一次式的因式分解公式：ax + bx = x(a + b)；ax - bx = x(a - b)；ax + ay = a(x + y)；ax - ay = a(x - y)。
五、案例分析1.因式分解：将多项式因式分解为两个一次因式的乘积。
例如：x²-3x-10=(x-5)(x+2)。
2.提取公因式：将多项式中的公因式提取出来。
因式分解法知识点
因式分解法知识点一、知识概述《因式分解法》①基本定义：因式分解法呢，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
简单说，就像是把一个大的“数学组合体”拆成几个小“零件”相乘的样子。
比如说多项式$x^2 - 4$，把它变成$(x + 2)(x - 2)$，这就是因式分解。
②重要程度：在数学这个学科里，它可太重要了。
在解方程里经常要用，如果不会因式分解，很多方程都解不出来。
而且在分式运算、化简代数式等方面也是超级重要的。
就好比在一个建筑工程里，它是基础中的基础，要是不会，后面一系列高楼大厦（复杂的数学问题）都盖不起来。
③前置知识：那得先掌握整式乘法的知识，像单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式这些。
还得知道基本的代数式运算规则，加减乘除啥的。
比如说不知道乘法规则，怎么能知道怎么把一个多项式拆成乘法的形式呢？④应用价值：实际应用啊，就比如在物理计算里，如果要化简一个关于力或者速度的表达式，可能就用到因式分解把式子变简单去计算。
再比如安排人员分组计算的时候，若关系用式子表示出来，因式分解能帮助快速算出分组个数和每组人数的关系。
二、知识体系①知识图谱：在数学这个大乐园里，因式分解算是代数部分的一个重要“景点”。
它跟很多地方都有联系，像是解方程的桥上、分式化简的城堡旁。
②关联知识：跟整式、方程、分式、代数式求值都有关系啊。
就像在一个大家庭里，它和其他成员相互帮助，整式为它提供原材料，方程依靠它来破解答案，分式需要它梳理关系，代数式求值借助它来变身简化。
③重难点分析：- 掌握难度：说实话，这个对于初学者有点难。
因为有时候要观察多项式的特点，不是一眼就能看出来怎么分解的。
- 关键点：关键就在于对多项式的形式要特别敏感。
看到多项式得能想到它可能用哪种分解方法，比如看到平方差形式，就知道可以用平方差公式。
④考点分析：- 在考试中的重要性：考试里经常出现啊，特别是在代数部分的考试中。
不管是选择题、填空题还是解答题，都有可能露面。
因式分解知识点
因式分解知识点因式分解是数学中重要的基础知识之一。
它是指将一个多项式表示成若干个一次或多次幂的乘积的形式。
因式分解在数学中有广泛的应用，例如解方程、计算极限、构建数据模型等等。
本文旨在深入探讨因式分解的相关知识点。
一、基本概念1.1 多项式与因式：多项式是由常数、变量和幂次依次相乘所得的代数式，如$x^2+2x+1$。
因式是一种可以被一个数或一个代数式整除的代数式，如$x+1$是$x^2+2x+1$的因式。
1.2 因数与因式分解：在数学中，一个数$a$能够被另一个数$b$整除，即$a=bn$，则称$b$是$a$的因数。
因式分解是指将一个代数式写成各个因数的乘积的形式。
二、因式分解方法2.1 提公因式法：提公因式法是指先提取出多项式中的公因式，然后将公因式与剩余项相乘得到原多项式。
例如，$3x^3+6x^2=3x^2(x+2)$。
2.2 分组分解法：分组分解法是指将多项式中的项分成两组，使得每组之间可以找到一个公因式，然后将两组分别提取出公因式后合并得到原多项式。
例如，$x^2+2xy+y^2= (x+y)^2$。
2.3 短除法：短除法是将多项式中的项按某个因式进行除法运算后得到商式，将商式再按另一因式进行除法运算，直到多项式无法再做除法为止。
例如，$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$。
2.4 公式法：公式法是指利用一些基本公式对多项式进行因式分解。
例如，$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
三、应用3.1 解高次方程：因式分解可以方便地解决高次方程，如 $x^2-5x+6=0$可以因式分解为$(x-2)(x-3)=0$，从而得到解$x=2$和$x=3$。
3.2 计算极限：因式分解可以化简复杂的代数式，从而方便计算极限，如$\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x^3-27}{x^2-9}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x+3)(x-3)}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x^2+3x+9}{x+3}=12$。
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因式分解的规则与要点
因式分解是在代数学中常用的一种方法，通过将一个多项式表
达式拆分成多个因子的积，从而简化计算和解题过程。
以下是因式
分解的一些规则和要点：
1. 提取公因子
当一个多项式中的每一项都有一个公因子时，可以将该公因子
提取出来，并写在括号外面。
例如，对于表达式2x + 4y，可以提
取出公因子2，得到2(x + 2y)。
2. 分解差的平方
当一个多项式是两个项的平方差时，可以根据公式进行因式分解。
例如，对于表达式x^2 - y^2，可以因式分解为(x + y)(x - y)。
3. 分解平方和
当一个多项式是两个项的平方和时，可以根据公式进行因式分解。
例如，对于表达式x^2 + 2xy + y^2，可以因式分解为(x + y)^2。
4. 完全平方式
对于一个多项式的平方，可以根据公式进行因式分解。
例如，
对于表达式x^4 + 2x^2 + 1，可以因式分解为(x^2 + 1)^2。
5. 一次因式分解
如果一个多项式是一次多项式，即各项次数相同且因子相同，
可以进行一次因式分解。
例如，对于表达式x^3 + x^2 + x，可以因
式分解为x(x^2 + x + 1)。
6. 二次因式分解
如果一个多项式是二次多项式，即各项次数相同且因子相同，
可以进行二次因式分解。
例如，对于表达式x^4 + 2x^3 + x^2，可
以因式分解为x^2(x^2 + 2x + 1)。
7. 分解三角形
当一个多项式是三个项的乘积时，可以考虑是否存在某种连接，从而进行因式分解。
例如，对于表达式x^3 + x^2 - x - 1，可以因式
分解为(x^2 - 1)(x + 1)。
以上是因式分解的一些常用规则与要点，通过熟练掌握这些规则，可以更快地进行因式分解，并简化计算和解题过程。
希望本文档对您有所帮助！。