(完整版)高中常见数学模型案例
高二数学中常见的实际问题数学建模解析
高二数学中常见的实际问题数学建模解析数学建模是将数学方法和技巧应用于实际问题的过程，通过建立数学模型来解决问题。
在高二数学学习中，我们经常遇到一些实际问题，这些问题需要我们通过数学建模来解析和求解。
本文将介绍高二数学中常见的实际问题，并给出相应的数学建模解析。
一、汽车加速问题在实际生活中，我们经常会遇到汽车加速问题。
假设一个汽车从静止开始加速，我们希望得到汽车的加速度函数和速度函数。
解析：设汽车在时间t时刻的加速度为a(t)，速度为v(t)，位移为s(t)。
根据牛顿第二定律可以得到汽车的运动方程：m*a(t) = F(t)，其中m为汽车的质量，F(t)为汽车受到的合力。
通过解这个微分方程，我们可以得到汽车的加速度函数a(t)，再次积分得到速度函数v(t)和位移函数s(t)。
二、投影问题投影问题是高二数学中比较常见的一类实际问题。
给定一个物体的运动轨迹和初速度，我们希望求解物体的运动方程和运动性质。
解析：设物体的运动轨迹为y=f(x)，初速度为v0。
根据物体在x和y方向上的运动分量可以得到物体的运动方程：x(t) = v0 * t，y(t) = f(v0 * t)，其中t为时间。
通过对物体的运动方程进行微分和积分，我们可以求解出物体的速度、加速度、位移等运动性质，从而了解物体的运动规律。
三、最优化问题最优化问题是高二数学中的重要内容，也是实际生活中经常遇到的问题。
给定一个约束条件，我们希望求解出使某一目标函数值达到最小或最大的变量取值。
解析：设目标函数为f(x)，约束条件为g(x)=0。
对目标函数f(x)进行求导并令导数为零，可以解得使目标函数达到最小或最大的变量取值。
通过最优化问题的解析，我们可以确定最优解，并对实际问题进行优化设计。
四、概率问题概率问题在高二数学中也是常见的实际问题。
给定一些事件的概率和条件，我们希望求解出与事件相相关的概率或输赢的概率。
解析：根据事件的概率规律和条件概率可以得到事件的概率分布和相应的求解公式。
高中教育数学必修第二册湘教版《6.2 数学建模案例1 烧开水问题》教学课件
检验与改进 1．取旋钮39°的位置，烧一壶开水，记录所得实际用气量是不是 0.121 8 m3.如果基本吻合，就可以依此作结论了．如果相差太大，特 别是当用气量大于0.121 8 m3时，最小值点就肯定不是39°，说明上 述三组数据取得不好，可以换另外的点重新计算，然后再检验，直到
结果与实际比较接近就可以了． 实际上，如果我们取(18，0.130)，(36，0.122)，(54，0.139)，求出
评价与推广 该模型建立过程中的假设条件太强．该模型只考虑通过改变阀门位 置来达到节约燃气用量的目的，有一定的局限性，实际过程中也可以 考虑通过控制阀门大小，每次只烧半壶水，分两次完成烧水的方法来 实现节约燃气用量的目的．阀门位置改变时，燃气量的变化与阀门本 身设计也有关，而在该模型中没有讨论．
2．在选好的五个位置上，分别记录烧开一壶水所需的时间和所用的 燃气量，得到了几组实验数据，如下表：
位置项目
18° 36° 54° 72° 90°
开始时燃气 读表数/m3
9.080 8.958 8.819 8.670 8.498
水开时燃气 读表数/m3
9.210 9.080 8.958 8.819 8.670
1．给定燃气灶和一只水壶，选择燃气灶旋钮的五个位置(当然多选 一些更好，这里由于是粗略地寻找一个最佳位置，故只选择五个位置， 在要求精度较高的情况下，可以探究更多的位置)．因为关闭时，燃 气旋钮的位置为竖直方向，我们把这个位置定为0°，燃气开到最大 时，旋钮转了90°.为了方便计算，将0°～90°五等分，如图，分别 以18°，36°，54°，72°，90°来确定五个位置(其他位置选取方 法，同学们可以自己进行尝试)．
所需燃气量 /m3 0.130 0.122 0.139 0.149 0.172
高中数学建模案例精选
高中数学建模案例精选In the realm of high school mathematics, modeling serves as a bridge between theoretical concepts and practical applications. This approach encourages students to apply mathematical principles to real-world scenarios, fostering a deeper understanding of the subject. One such case study involves the optimization of a shipping route.在高中数学领域，建模是连接理论概念与实际应用的桥梁。
这种方法鼓励学生将数学原理应用于现实世界的场景中，从而加深对学科的理解。
其中一个案例研究就是优化运输路线。
Imagine a shipping company that needs to transport goods from point A to point B. The company has multiple routes to choose from, each with different costs and travel times. The objective is to find the most efficient route that minimizes overall cost while considering factors like fuel consumption, tolls, and the value of time.设想一家运输公司需要从点A运输货物到点B。
公司有多个路线可供选择，每条路线的成本和旅行时间都不同。
目标是找到最高效的路线，以最小化整体成本，同时考虑燃料消耗、过路费和时间的价值。
高中数学建模的教学案例
高中数学建模的教学案例高中数学建模是一门富有挑战性和创造性的学科，旨在培养学生的逻辑思维能力、问题解决能力以及数学建模的应用能力。
为了帮助学生更好地理解和应用数学建模，以下是一个教学案例，通过实际问题引导学生进行数学建模的步骤和方法。
案例背景：某小区的居民数逐年增加，导致小区配套的市政建设不足。
为了解决该问题，物业公司统计了小区每户居民的用水量，并希望通过数学建模来预测未来几年的整体用水量，以供决策参考。
1. 问题分析首先，学生需要分析问题的背景和目标。
他们可以思考以下几个问题：- 该问题的关键因素是什么？- 什么样的数据对解决问题有帮助？- 可以借助哪些数学方法和模型来解决问题？2. 数据收集学生需要搜集相关的数据，可以通过访谈物业公司负责人、查阅相关资料等方式获取所需数据。
在这个案例中，学生需要收集每年小区的居民数量和每户居民的用水量数据。
3. 数据处理和分析接下来，学生可以使用合适的数学方法和模型来处理和分析数据。
在这个案例中，学生可以使用线性回归模型来分析用水量和居民数量之间的关系。
他们可以通过计算回归方程，预测未来几年的整体用水量。
4. 模型建立和验证学生需要建立数学模型，并验证模型的有效性。
在这个案例中，学生可以以小区的居民数量作为自变量，以每户居民的用水量作为因变量，建立线性回归模型。
然后，他们可以将该模型应用于其他小区的数据，观察预测结果和实际结果的差异，以验证模型的准确性。
5. 结果与讨论最后，学生需要对结果进行总结和讨论。
他们可以回答以下问题：- 预测结果与实际情况是否一致？- 模型的优缺点是什么？- 如何改进模型的准确性和实用性？通过以上的教学案例，学生可以在实际问题中学习和应用数学建模的方法和步骤。
这种教学方法可以培养学生的实际应用能力和创造力，并提高他们对数学建模的兴趣和理解。
总结：高中数学建模的教学案例是一个有效的教学方法，可以提高学生的数学能力和创造力。
通过引导学生在实际问题中进行数学建模的步骤和方法，可以培养他们的问题解决和应用能力。
高中数学二轮复习关于三角函数解题中常用数学模型构造
二轮复习关于三角函数解题中常用数学模型构造构造数学模型是一种比较重要、灵活的思维方式，它没有固定的模式。
在解题中要想用好它，需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力。
应用好构造思想解题的关键有二：一是要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是弄清条件的本质特点和背景，以便重新进行逻辑组合。
常用的有构造命题、构造表达式、构造几何体等，本文拟就通过介绍几种解三角函数的具体问题，对构造的各种思维方式作一些探讨。
1 构造直角三角形例1 设x ∈[4π，2π]，求证：cscx -ctgx ≥2-1 思路分析：由2、1联想等腰直角三角形，不仿构造一个等腰直角三角形来研究。
作Rt ⊿ABC ，令∠Ｃ=900，AC=1，在ＡＣ上取一点D ，记∠ＣＤＢ＝x ，则ＢＤ＝cscx ，ＣＤ＝ctgx ，ＡＤ＝１-ctgx ，利用ＡＤ＋ＤＢ≥ＡＢ＝2，可得cscx -ctgx ≥2-1，等号仅在x ＝4π时成立。
2 构造单位圆例 2若0<β<α<2π，求证：α-β<tg α-tg β 思路分析：构造单位圆，借助三角函数线与三角函数式的关系，把数的比较转化为几何图形面积的比较。
作单位圆O ，AP 1=β，AP 2=α，∴ P 1P 2=α-β，AT 1=tg β，AT 2=tg α，S ⊿AT O =21tg α，S ⊿AP O =21tg β，由于S 扇形OAP=21α，S 扇形OAP =21β。
∴S 扇形OP P =21（α-β），S ⊿OT Ｔ=21tg α－21tg β。
则S ⊿OT Ｔ>S 扇形OP P即 21（α-β）<21（tg α－tg β） 所以 α-β<tg α-tg β3 构造函数表达式例3已知x 、y ∈[-4π，4π]，a ∈R ，且⎩⎨⎧=++=-+0cos sin 402sin 33a y y y a x x ，求cos （x+2y ）思路分析：由x 3+sinx 与2（4y 3+sinycosy ），这两部分形式完全类似，由此可构造函数形式。
【高中数学】函数模型及其应用
函数模型及其应用一、基础知识1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x幂函数模型y＝x n(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快.考点一二次函数、分段函数模型[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设每团人数为x，由题意得0<x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y ，0<x≤30，－10(x－30)，30<x≤75，即y，0<x≤30，200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社获利S元，则Sx－15000，0<x≤30，200x－10x2－15000，30<x≤75，即Sx－15000，0<x≤30，10(x－60)2＋21000，30<x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以当x＝60时，S取得最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．[解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)，0<x≤A，＋B(x－A)，x>A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m 319元若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )，0<x ≤5，＋12(x －5)，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000＋500003，所以当x ＝1003y min ＝500003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二指数函数、对数函数模型[典例]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解](1)由题图，设y 0≤t ≤1，a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由－a ＝4，得a ＝3.所以y 0≤t ≤1，－3，t >1.(2)由y ≥0.25≤t ≤1，t ≥0.253≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：选B设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg I为声强(单位：W/m2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝得Y＝10lg106＝60(分贝)．(2)当Y＝0时，由公式Y＝得0.∴I10－12＝1，即I＝10－12W/m2，则最低声强为10－12W/m2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4B．5.5C．8.5D．10解析：选C由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－＋1210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A ．13立方米B ．14立方米C ．15立方米D ．16立方米解析：选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝x ，0≤x ≤10，＋5(x －10)，x >10，即y x ，0≤x ≤10，x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是()A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得－kt ＝ln 0.01，＝ln 0.01，∴t ＝10.∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析＝k ＋b ，＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s2，t ∈[0，10]，t －150，t ∈(10，20]，t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．。
快解高中数学143模型
快解高中数学143模型数学模型在现实生活中扮演着重要的角色，能够帮助人们理解和解决各种实际问题。
在高中数学教学中，143模型被广泛地应用于各类数学题目的解决过程中。
本文将以实际案例为依据，通过快速解析高中数学143模型，帮助读者更好地理解和掌握该模型的应用。
案例一：图形的变换假设有一辆卡车，长为8m，宽为2m，高为3m，在运输过程中，将其放入一船箱中，该箱的尺寸为10m×3m×5m，问是否能够容纳？解析：这个问题可以转化为求箱子的体积是否大于卡车的体积。
我们可以先计算卡车的体积，即8m × 2m × 3m = 48m³。
接下来计算箱子的体积，即10m × 3m × 5m =150m³。
由此可知，箱子的体积大于卡车的体积，因此可以容纳卡车。
案例二：数列的求和已知数列{an}的通项公式为an = 3n² + 2n + 1，试求该数列的前n项和。
解析：对于此类数列，我们可以利用143模型中的求和公式来求解。
首先，我们要明确该数列的首项和公差，通过观察可以得知，a₁ = 6，d = 4。
接下来，我们可以利用求和公式Sₙ = (a₁ + aₙ) * n/2来计算前n项和。
将已知的数值代入公式中，得到Sₙ = (6 + (3n² + 2n + 1)) * n/2。
化简后，得到Sₙ = (3n³ + 5n² + 3n)/2。
案例三：函数的应用某人在市场上购买一个商品，它的价格随销量的增加而变动。
已知当销量为10时，该商品的价格为100元，当销量为30时，价格为200元。
问当销量为20时，商品的价格是多少？解析：这个问题可以通过函数的应用来解决。
假设动态函数f(x)表示商品的价格，其中x表示销量。
根据已知信息，我们可以列出两个点的坐标：(10, 100)和(30, 200)。
利用两点式求出直线的方程为f(x) = 6x - 40，其中x表示销量，f(x)表示价格。
(完整版)高中常见数学模型案例
高中常见数学模型案例中华人民共和国教育部2003年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出：数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。
”教材中常见模型有如下几种：一、函数模型用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。
函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变量，凡能找到它们之间的联系，并用数学形式表示出来，建立起一个函数关系(数学模型)，然后运用函数的有关知识去解决实际问题，这些都属于函数模型的范畴。
1、正比例、反比例函数问题例1:某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数x与按新价让利总额y 之间的函数关系是_____________ 。
分析：欲求货物数x与按新价让利总额y之间的函数关系式，关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。
若设新价为b,则售价为b( 1 -20%),因为原价为a,所以进价为a (1 - 25%)5 解：依题意，有b(1 0.2) a(1 0.25) b(1 0.2)0.25 化简得b a，所以45 ay 0.2bx a 0.2 x，即y x, x N4 42、一次函数问题例2:某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远处的B地，在B地停留1h后，再以50km/h 的速度返回A地，把汽车离开A地的路x ( km)表示为时间t ( h)的函数，并画出函数的图像。
分析：根据路程=速度X时间，可得出路程x和时间t得函数关系式x (t);同样，可列出v(t)的关系式。
(完整word版)高中数学的八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
八个幽默模型——搞定空间几何体的外接球与内切球种类一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的地址即可求出球半径）PPPPO 2ccccACbCba CbBCab AAaBBaBA图1图2 图3 图 4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2a 2b 2c 2 ，即 2R a 2 b 2 c 2 ，求出 R例 1 （1）已知各极点都在同一球面上的正四棱柱的高为4 ，体积为 16，则这个球的表面积是（C）A ． 16B． 20C． 24D ． 32（ 2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是9解：（ 1） V a 2 h 16 ， a 2， 4R 2 a 2 a 2h 24 416 24 ， S 24 ，选 C ；（ 2） 4R 23 3 3 9， S4 R 29（ 3）在正三棱锥 S ABC 中， M 、 N 分别是棱 SC 、BC 的中点，且 AM MN , 若侧棱 SA2 3 , 则正三棱锥 SABC 外接球的表面积是。
36解：引理： 正三棱锥的对棱互垂直 。
证明以下：如图（ 3）-1 ，取 AB , BC 的中点 D , E ，连接 AE, CD ， AE ,CD 交于 H ，连接 SH ，则 H 是底面正三角形 ABC 的中心， SH 平面 ABC ， SH AB ，AC BC ， AD BD ， CDAB ， AB 平面 SCD ，AB SC ，同理： BC SA ， ACSB ，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（ 3） -2 ，AM MN ， SB// MN ，SACAM SB ， AC SB ， SB 平面 SAC ，SB SA SB SC ，SB SA ， BC SA，，DHEB(3) 题-1SA 平面 SBC ，SA SC ，S故三棱锥 SABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，M(2R) 2( 23)2 ( 2 3)2( 2 3)2 36 ，即 4R 236 ，AC正三棱锥 S ABC 外接球的表面积是 36NB（ 4）在周围体S ABC 中，SA平面 ABC ，BAC120, SA AC2, AB1, 则该周围体的外接球的表面积为（D） A.11 B.71040 C. D .333（ 5）若是三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 6 、 4 、，那么它的外接球的表面积是（ 6）已知某几何体的三视图以下列图，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为解析：（ 4）在ABC 中，BC2AC2AB 22AB BC cos1207 ，BC7 ，ABC 的外接球直径为2r BC7 2 7，BAC33sin2(2R) 2( 2r ) 2SA2(27)2440， S40，选 D333（ 5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a, b, c（ a, b, c R），则ab12bc8，abc24 ，a3， b4， c 2 ，( 2R)2a2b2c229 ， S 4 R229 ，ac6（ 6）(2 )2a2b2c23， R233R， R24PV4R34333，3382A C种类二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）B1．题设：如图 5，PA平面 ABC解题步骤：第一步：将ABC 画在小圆面上， A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接 PD ，则 PD 必过球心 O ；PO第二步： O1为ABC 的外心，所以OO1平面 ABC ，算出小圆O1的半CA O1D径 O1D r （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得Ba b c1PA ；图 5 2r ）， OO1sin A sin B sin C2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2PA 2(2r )22R PA2(2r )2；2．题设： 如图 6，7，8， P 的射影是 ABC 的外心 三棱锥 P ABC 的三条侧棱相等三棱锥 PABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，极点 P 点也是圆锥的极点PPPPOOO OCCCCAO 1DAA O 1O 1O 1BABBB图 6 图 7-1图 7-2图 8PPPAAAO 2BCO 2CO 2DBDBOOO图8-1 图8-2 图8-3解题步骤：第一步：确定球心 O 的地址，取ABC 的外心 O 1 ，则 P,O, O 1 三点共线；第二步：先算出小圆 O 1 的半径 AO 1 r ，再算出棱锥的高 PO 1h （也是圆锥的高） ；第三步：勾股定理：OA 2O 1 A 2 O 1O 2R 2( h R) 2 r 2 ，解出 R方法二： 小圆直径参加构造大圆。
高中物理数学模型应用案例分享
高中物理数学模型应用案例分享概述在高中物理学习中，数学模型的应用十分重要。
通过运用数学方法和工具，我们可以解决一系列与物理相关的问题。
本文将分享一些高中物理领域常见的数学模型应用案例，展示它们的实际意义和解决问题的能力。
1. 简谐振动模型简谐振动是高中物理课程中经常涉及到的一个重要概念。
例如，弹簧振子、单摆等都可以使用简谐振动模型进行分析。
应用案例：弹簧振子考虑一个质量为m的弹簧振子，已知其劲度系数为k，并受到外力F(t)作用。
我们可以建立以下方程来描述其运动:m * x'' + k * x = F(t)其中x表示位移，x''表示加速度。
通过求解上述微分方程，我们可以确定该弹簧振子在外力作用下的运动规律。
2. 牛顿第二定律模型牛顿第二定律是经典力学中最基本也是最重要的定律之一。
它描述了一个物体所受合力在大小和方向上与物体的加速度成正比。
在高中物理学习中，我们经常利用牛顿第二定律建立力学模型。
应用案例：匀变速直线运动考虑一个沿直线运动的自由落体，已知其质量为m，受到重力作用。
根据牛顿第二定律，我们可以得到以下方程:m * a = -mg其中a表示加速度，g表示重力加速度。
通过求解上述方程，我们可以确定自由落体在重力作用下的运动规律。
3. 热传导模型热传导是研究物质内部温度分布和传播过程的一门学科，在高中物理学习中也有广泛应用。
应用案例：热扩散问题考虑一个长条形杆体，在不同端温度已知的情况下，我们希望推导出杆体内部温度分布。
通过应用热传导方程:∂T/∂t = k * ∂²T/∂x²其中T表示温度，t表示时间，k表示热扩散系数。
通过求解上述偏微分方程，并满足边界条件，可以得到杆体内部温度随时间的变化情况。
4. 电路模型在高中物理中，我们学习了许多关于电路的知识。
通过建立电路模型，我们可以分析电流、电势差、电阻等各种参数之间的关系。
应用案例：串联和并联电阻考虑一个由两个电阻R1和R2串联或并联组成的电路，已知电源提供的电压为V。
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高中常见数学模型案例
中华人民共和国教育部2003年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出：“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，“数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。
”教材中常见模型有如下几种:
一、函数模型
用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。
函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变量，凡能找到它们之间的联系，并用数学形式表示出来，建立起一个函数关系（数学模型），然后运用函数的有关知识去解决实际问题，这些都属于函数模型的范畴。
1、正比例、反比例函数问题
例1：某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是___________。
分析：欲求货物数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式，关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。
若设新价为b ，则售价为b （1－20%），因为原价为a ，所以进价为a （1－25％） 解：依题意，有25.0)2.01()25.01()2.01(⋅-=---b a b 化简得a b 45=，所以x a bx y ⋅⋅==2.0452.0，即+∈=N x x a y ,4
2、一次函数问题
例2：某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路x （km ）表示为时间t （h ）的函数，并画出函数的图像。
分析：根据路程＝速度×时间，可得出路程x 和时间t 得函数关系式x （t ）；同样，可列出v(t)的关系式。
要注意v(t)是一个矢量，从B 地返回时速度为负值，重点应注意如何画这两个函数的图像，要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。
解：汽车离开A 地的距离x km 与时间t h 之间的关系式是：⎪⎩
⎪⎨⎧∈--∈∈=]5.6,5.3(),5.3(50150]5.3,5.2(,150]5.2,0[,60t t t t t x ，图略。
速度vkm/h 与时间t h 的函数关系式是：⎪⎩
⎪⎨⎧∈-∈∈=)5.6,5.3[,50)5.3,5.2[,0)5.2,0[,60t t t v ，图略。
3、二次函数问题
例3：有L 米长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等小矩形组成的矩形，试问小矩形的长、宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并具体标出窗框面积的最大值。
解：设小矩形长为x ，宽为y ，则由图形条件可得：l y x x =++911π
∴x l y )11(9π+-=
要使窗所通过的光线最多，即要窗框面积最大，则：
)44(32)442(644])11([322622
222
2ππππππ+++-+-=+-+=+=l l x x lx x xy x s ∴当π
+=442l x 时，)44(9)22(9)11(πππ+-=+-=l x l y 即：π
-=2218y x 此时窗框面积S 有最大值)44(322m ax π+=l s 。
可见，一般的设自变量为x ，函数为y ，并用x 表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其它相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，也就是建立数学模型。
二、数列模型
数列模型有增长率问题和银行中的储蓄与贷款问题。
在高一年级教材中就有这类数学问题，下面以一个例题来分析银行中的数学建模问题。
例4：某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息，如果贷款10000元，两年还清，月利率为0.4575％，那么每月应还多少钱呢？
分析与假设：按照规定，偿还贷款既要偿还本金，还要支付利息。
在上述问题中，到贷款两年（即24个月）付清时，10000元贷款的本金与它的利息之和是多少呢？引导学生通过填表来回答：
通过对例子的分析，与学生交流使学生认识到：到期偿还贷款的含义即各月所付款连同到贷款付清时所生利息之和，等于贷款本金及到贷款付清时的利息之和，计算每月应付款额。
2423004575.110000004575.1004575.1⨯=+++x x x Λ
可以发现，上述等式是一个关于x 的一次方程，且等号左边括号内是一个首项为1，公比为1.004575的等比数列的前24项的和，于是：
2424
004575.110000004575
.11004575.11⨯=--⋅x 即2424004575.11)004575.11(004575.110000--⨯⨯=x 解之得91.440≈x
提出问题：如果采用上述分期付款方式贷款a 元，m 个月将款全部付清，月利率为r ，那么每月付款款额的计算公式是什么？
显然问题转化为建立关于x 的方程。
设采用分期付款方式贷a 元，m 个月将款全部付清，月利率为r ，每月付款x 元，那么： 把右边求和，得r
r x r a m m ]1)1[()1(-+=+， 所以：1
)1()1(-++=m m
r r ar x 万元。
三、初等概率模型
古典概率不仅要求基本实践的出现具有等可能性，而且要求样本空间为有限集，但实际问题中却经常会碰到无限样本空间的情形，对于无限样本空间的情形，常可转化为几何概率来解决。
例5：将n 个球随机地放入n 个盒子中去，求每个盒子恰有一个球的概率。
分析与求解：因为每一个球都可以放进n 个盒子中的任一个盒子，共有n 种不同的放法，n 个球放进n 个盒子就有n ×n ×…×n=n
n 种不同的放法，而每种放法就是样本空间中的一个元素，所以样本空间中元素的总数为n n 个。
现在来求每个盒子恰有一个球时，球的不同放法的种数。
第一个球可以放进n 个盒子之一，有n 种放法；第二个球只能放进余下的（n-1）个盒子之一，有（n-1）种放法，…，最后一个球只可以放进唯一余下的盒子，所以n 个球放进n 个盒子中要使每个盒子中都恰有一个球，共有!n 种不同的放法，因而所求得概率为： n n
n
A A P =)(。
几何概率所描述的随机试验满足：试验的样本空间是一个可度量的几何区域（这个区域可以是一维、二维甚至n 维）；试验中每个基本事件发生的可能性都一样，即样本点落入某一个可度量的子集A 的可能性与A 的几何测度成正比，而与A 的形状及位置无关。
如下面的例子“会面问题”是几何概率的典型例子。
例7：两位网友相约见面，约定在下午4:00到5:00之间在某一街角相会，他们约好当其中一人先到后，一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则离去，试问这两位朋友能相遇的概率为多少？（假定他们到达约定地点的时间是随机的，且都在约定的一小时内） 解：以x 、y 分别表示两人到达的时刻，则两人相遇必须满足下列条件：∣x －y ∣≤20，两人到达时刻的所有可能结果可用边长为60的正方形区域上的任意点（x ，y ）表示，该正方()()
()()122(1)11...11m m m a r x rx r x r x r x --+=+++++++++
形上的所有点的集合构成了样本空间。
如下图的阴影部分（满足不等式∣x －y ∣≤20的点的集合）表示“两人能相遇”这一事件的概率应等于图中阴影部分的面积与正方形的面积之比。
9536002000)(===大小
S S A P 。
通过这一段的研究，笔者有如下心得：
（1）在数学教学中和对学生数学学习的指导中，应重视介绍数学知识的来龙去脉。
（2）在数学教学和课外活动中，要鼓励支持学生“面对实际问题时，能主动尝试着以数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略”。
开阔学生的数学视野，使他们了解数学的应用价值。