回归模型中的贝叶斯分析
贝叶斯线性回归
贝叶斯线性回归贝叶斯线性回归（Bayesian Linear Regression）关于参数估计在很多机器学习或数据挖掘问题中，我们所⾯对的只有数据，但数据中潜在的概率密度函数是不知道的，概率密度分布需要我们从数据中估计出来。
想要确定数据对应的概率分布，就需要确定两个东西：概率密度函数的形式和概率密度函数的参数。
有时可能知道的是概率密度函数的形式(⾼斯、瑞利等等)，但是不知道具体的参数，例如均值或者⽅差；还有的时候可能不知道概率密度的类型，但是知道⼀些估计的参数，⽐如均值和⽅差。
关于上⾯提到的需要确定的两个东西：概率密度函数的形式和参数，⾄少在机器学习的教课书上，我所看到的情况都是：给了⼀堆数据，然后假设其概率密度函数的形式为⾼斯分布，或者是混合⾼斯分布，那么，剩下的事情就是对⾼斯分布的参数，µ 和σ2进⾏估计。
所以，参数估计，便成了极其最重要的问题。
其实，常⽤的参数估计⽅法有：极⼤似然估计、最⼤后验估计、贝叶斯估计、最⼤熵估计、混合模型估计。
极⼤似然估计这⾥先以⼀个分类问题来说明⼀般参数估计⾯对的数据形式。
考虑⼀个M类的问题，特征向量服从p(x|),i=1,2...,M 分布。
这是现实情况中最常见的⼀种数据存在形式，数据集合X是由M个类别的数据⼦集,m=1,2...,M 组成的，第m类别的数据⼦集对应的概率密度函数是p(x|)。
前⾯已经介绍过了，想要确定数据的概率分布，需要知道概率密度函数的形式和参数，这⾥⾸先做⼀个基本假设：概率分布的形式已知，⽐如假设每个类别的数据都满⾜⾼斯分布，那么，似然函数就可以以参数θi 的形式表⽰，如果是⾼斯分布，则参数为µi和，即θi=(µi)。
为了强调概率分布p(x|ωi)和θi有关，将对应的概率密度函数记为p(x|ωi;θi)，这种记法属于频率概率学派的记法。
这⾥的极⼤似然估计对应于⼀个类条件概率密度函数。
在概率论中⼀直有两⼤学派，分别是频率学派和贝叶斯学派。
贝叶斯信息准则 rmse
贝叶斯信息准则 rmse
贝叶斯信息准则（Bayesian Information Criterion, BIC）是一种用于模型选择的统计量，常用于评估模型的拟合程度和复杂度。
BIC通过平衡模型的拟合优度和参数的数量，提供了一种可靠的方式来选择最佳的模型。
在使用BIC进行模型选择时，我们通常会比较不同模型的BIC值。
BIC的计算公式为BIC = n * ln(RMSE) + k * ln(n)，其中n是样本量，RMSE是模型的均方根误差，k是模型的参数个数。
BIC值越小，说明模型的拟合优度越好。
使用BIC可以避免过拟合问题。
过拟合是指模型过于复杂，过度拟合了训练数据，但在新数据上的预测效果却很差。
BIC考虑了模型的复杂度，并对参数个数给予了惩罚，因此可以有效地避免过拟合的发生。
BIC在实际应用中具有广泛的用途。
例如，在回归分析中，我们可以使用BIC来选择最佳的回归模型。
在聚类分析中，BIC可以帮助我们确定最佳的聚类数目。
在时间序列分析中，BIC可以用来选择最合适的模型来预测未来的值。
贝叶斯信息准则是一种重要的模型选择工具，可以帮助我们评估模型的拟合程度和复杂度。
通过使用BIC，我们可以选择最佳的模型，并避免过拟合问题的发生。
无论是在科学研究还是实际应用中，BIC
都发挥着重要的作用。
基于贝叶斯估计的诊断试验ROC曲线回归模型
由不完全 回归模 型分 析可知 ， 除 ： 其余 各参 数 外
差别 均 有 统 计 学 意 义 （ ＜ ． ５ 。其 中后 验 均 数 ６ Ｐ ００ ） ｝ ０
即（
一
者分 别测量 了经 临床确认 需 要抗 凝治 疗 的 １７例 和需 ５ 要溶栓 治疗 的 １８例 患者 的肺 动 脉 收 缩 压 等 指标 ， ７ 见 表 ２和表 ３ 。经检 验肺 动 脉收 缩压 数 据 不服 从 正 态分 布， 本分 析采用 Ｂ ｘＣ ｘ数 据变 换 。 ｏ —ｏ
量 的情况进 行分 析 。 本文 拟 阐明一种基 于 贝叶斯估 计 的连续 型随机 变
不 完全模 型 （ 包含交 互效应 ） 不 （ Ｘ） ＋ Ｄ ＋ Ｄ， ＝０ 则 相应 的 Ｒ Ｃ 曲线 方程 Ｏ ｑｐ ｛ ＋ （ ）＝ 中－（ ） １ｐ ｝
式 中 ，ｌ １ ／ ．） ｏ ， ＝ ／ ＂， ｏ ｘ＝（ ｘ一－ ｘ ／ － １０ 由此计 算 ｔ ｏ ０ ｏ
ｌ
估计 参数 循环 Ｐ次
不完全回 归模型
完全回 归模型
估计 参数
不完全回 归模型
完全回 归模型
ｆｒｉｎ１ Ｐ ｔ ｏ（ ： ） ｉ
ｂｔ［］ ｎｒ ０ １０ ６ ；设定参数先验取无信息先验 Ｎ（ １。 ｅ ｉ ～ｄｏｍ（，．Ｅ－ ） ａ ０，０ ）
ｆｒｉｎ１Ｋ） ｏ（ ： ｛ ｉ
“ 无病” ， ）则任意截断点 ｔ 处的灵敏度 ｑ为 Ｆ ｔ （ｌ １ Ｄ＝ ，
ｘ ）＝１一 ｔＤ ＝１ ｘ） 相应 的 （ Ｆ（ ｌ ， ， １一特 异度 ） Ｐ为 Ｆ＝
『 （， 厂 ， Ｉ，，）Ｏ － Ｊ ） ｏ 】 Ｘｄ ｏ ｇ （ －， Ｄ ｄ
品检中常用的数学模型分析
品检中常用的数学模型分析在品质控制中，数学模型是评估和分析产品或过程的质量的重要工具之一。
数学模型可以帮助品质控制人员了解产品或过程中的潜在问题，并为制定改进措施提供依据。
本文将介绍品质控制中常用的数学模型分析方法，包括统计过程控制、回归分析、方差分析和贝叶斯网络分析。
统计过程控制（SPC）是品质控制中最常用的数学模型分析方法之一。
它通过收集和分析产品或过程的数据，确定其稳定性和可靠性。
SPC通常使用控制图来监控过程的变化。
控制图是一种图形化工具，可以帮助品质控制人员识别出过程中的特殊原因变异，并及时采取相应的措施进行调整。
常见的控制图包括X-Bar图、R 图和P图等。
X-Bar图用于监控过程的平均值，R图用于监控过程的变异性，而P 图则用于监控过程的不良率。
通过分析控制图上的点的分布情况，品质控制人员可以判断过程是否处于控制状态，进而采取相应的控制措施。
回归分析是一种用于研究变量之间关系的数学模型分析方法。
在品质控制中，回归分析可以帮助确定影响产品质量的因素，并建立预测模型。
通过收集产品或过程的数据并进行回归分析，可以找到与产品质量相关的变量，并建立预测模型，从而预测产品或过程的质量状况。
回归分析可以采用线性回归、非线性回归或多元回归等方法进行。
通常，品质控制人员会选择最合适的回归模型，并通过相关系数和回归系数等指标评估模型的拟合度和预测准确性。
方差分析（ANOVA）是一种用于比较多个样本均值是否相等的数学模型分析方法。
在品质控制中，方差分析可以用于确定不同因素对产品质量产生的影响，并找出最重要的因素。
方差分析基于平方和、均方和和F值等统计指标来评估样本均值的差异性。
通过进行方差分析，品质控制人员可以确定最佳因素组合，从而优化产品的质量。
方差分析还可以用于分析不同分组之间的差异，进一步确定改进策略。
贝叶斯网络是一种用于建立概率推断模型的数学模型分析方法。
在品质控制中，贝叶斯网络可以用于分析不同因素之间的依赖关系，并预测产品或过程的质量。
一元线性回归模型的贝叶斯分析推导过程
一元线性回归模型的贝叶斯分析推导过程在贝叶斯统计学中应用更多的是贝叶斯公式的密度函数形式. 一般情况下, 设θ为未知参数( 或向量) , 它的先验密度记为π(θ),x为观测量,当获得观测量x后, θ的后验密度由bayesian公式得出:πθx=f(x|θ)π(θ)f xθπ(θ)dθΘ其中:f(x|θ)为给定时样本概率密度函数, 也称似然函数;Θ为参数空间; π(θ|x)为获得试验样本之后对θ的新认识, 称为后验密度. 以π(θ|x)作为统计推断的出发点, 这就是贝叶斯统计方法。
在没有先验信息的情况下，采用均匀分布作为先验分布密度，这种确定先验分布的原则成为贝叶斯假设。
用“∝”表示成比例，贝叶斯假设可表示为π（θ）∝常数。
一元线性回归模型：y i=β1+β2x i+ε,i=1,2,…,n其中: x i表示自变量的第 i个观测值; y i表示在自变量x i下因变量的第 i 个观测值; β1, β2是未知参数. 这里假定ε服从正态分布N(0,σ2), 且相互独立, β1, β2, σ2之间也相互独立。
极大似然估计：极大似然函数为：L(β1,β2,σ )=121nexp −12y i−β1−β2x i2ni=1写成矩阵形式：Y=y1⋯y n T,X=x1⋯x n T,β= β1,β2Lβ=12πσ21exp −12σ2(Y−Xβ)2两边同时取对数为：LnL β =−n 4σ2(Y −Xβ)2Ln (2πσ2)对β求导并令其等于0：−2X T Y −2X T Xβ=0所以有：β=（X T X ）−1X T Y即：β 1=y −β 2x β 2= (x i −x )(y i −y )n i =1 (x i−x )2n i =1从而可以看出，在一元线性回归模型中，极大似然估计同最小二乘估计的结果是相同的，从而说明了极大似然估计在一元线性回归模型参数估计的中的适用性。
贝叶斯估计：考虑无信息先验分布下的贝叶斯估计. 参数 β1,β2，σ的先验分布分别为：π β1 ∝1，π β2 ∝1，π σ ∝1利用贝叶斯假设, 则参数 β1,β2，σ的先验分布为π β1，β2，σ ∝1/σ由极大似然估计给出的估计结果可以得到：()()()222121211*********ˆˆˆˆ11E E 111(,)(cov(,))11[()]()2ˆn n i i i i i i n n T i i T T n y x E y x n n ER E y y tr y y n n n tr I x x x x n trI n n n nσββββσσσ====-=⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭===-=--=∑∑∑∑所以可知不是σ 2的无偏估计，但是nn−2σ2就是σ 2的无偏估计了，其无偏估计量为：E (σ 无)=S 2=n n −2∗1n(y i −β1−β 2x i )2ni =1由()()()()221212112211ˆˆˆˆnnii i i i ii i y x y x x x ββββββββ==⎡⎤-------⎦-⎣=∑∑ 令121122ˆˆˆˆ,,i i i iA x xB y xC ββββββ---===- 整理得： ()22221211(222)nnii i i y x A B C AB AC BC ββ==--++--+=∑∑()()1211ˆˆ*ˆi i y x AB ββββ-=-- 将β 1=y −β 2x 代入，并两边同时求和得：()()()()12112212111121221222212221**ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ]ˆ[0ˆn nniii i i i i n i i i i i i i AB y x y y x x y x y y y y x y yy y x x xy x x x x y x x ββββββββββββββββββββββ=====---=-+--+=--+-+-+-+--=∑∑∑∑同理，可得AC =0.()()()()()()()()()22221211221122112211111222211211211(2)22122(2)()2()(ˆˆˆˆˆˆˆˆ)ˆˆnni i i i nnnnni ii ii i i i i nni ii i i i y x A B C BC x x x x i in S n x x x x y x ββββββββββββββββββ=========--+++=-++-=-+-+=-+----∴∑∑∑∑∑∑--+∑∑所以似然函数可以写为： 1212221211(2)()22(,,),nexp n S L C ββσββπσσ⎛⎫⎧⎫--+⎨⎬ ⎪⎝⎩=⎭⎭其中()()()12222112112112()()2((ˆˆ)ˆˆ,)nni ii i i i C n x x x x ββββββββ===-++---∑∑根据贝叶斯定理, 参数12(,,)ββσ12(,,)ββσ的后验分布密度与似然函数12(,,)L ββσ和先验分布密度12(,,)πββσ的乘积成正比, 因此参数12(,,)ββσ的联合后验分布密度函数为2212121212111[(2)(,,|,)(()],,)(,,2),n exp n S x y C L πββσββσπββσββσσ+∝⎧⎫--+⎨⎩∝⎬⎭ 此时，令1/2212[(2)(),]n S C u ββ-+=然后，对上式进行对σ在R +的谨防，得到模型系数12(,)ββ的后验边缘分布密度函数1212112222/21(,|,),11[(2)()]2[(2)),(]n n Rx y exp n S C d n S C πββββσβσβσ++⎧⎫--+∝⎨⎬+∝-⎩⎭⎰式( 3)最后一项是自由度为( n- 2) , 位置参数为(β 1,β 2), 精度矩阵为(X T X )/S 2的二元t 分布密度函数的核, 其中X T =1⋯2x 1⋯x 2所以, 给定 x , y , 参数(β1,β2)服从二元 t 分布, 其后验边缘分布密度函数具体可写为()()/2(2)/221/212122(2)[/2]|()/|1,|,1(,)(2)/2(2)n n T n n X X S x y C n n S πββββπ---⎡⎤-Γ=+⎢⎥Γ--⎣⎦根据二元 t 分布的性质, 参数(β1,β2)的后验期望为E β1 x ,y =β 1, E β2 x ,y =β2, 因此, 在二次损失函数下 β1,β2的贝叶斯估计为 β 1=y −β 2x β 2= (x i −x )(y i −y )n i =1 (x i−x )2n i =1。
GJR-CAViaR模型的贝叶斯分位数回归——基于Gibbs抽样的MCMC算法实现
GJR-CAViaR模型的贝叶斯分位数回归——基于Gibbs抽样的MCMC算法实现张颖;傅强【摘要】本文将基于Gibbs抽样的MCMC算法引入GJR-CAViaR模型,实现模型的贝叶斯推断.G JR-CAViaR模型是含有递归形式的分位数回归方程,尚未有文献提出如何对其进行贝叶斯分析和MCMC估计.本文首先利用不对称拉普拉斯分布建立GJR-CAViaR模型的似然函数,并通过引入标准指数分布和标准正态分布的混合分布得到不对称拉普拉斯分布的参数解析的条件分布,然后讨论模型的Gibbs抽样过程以及算法实现.对上证综指日收益率数据建立GJR-CAViaR模型,并得到模型参数的贝叶斯估计值.在马尔科夫链收敛的前提下,发现中国证券市场VaR具有自回归性质,且呈现收益对风险的不对称特征.这一特征不会受到样本容量大小及置信水平的影响.【期刊名称】《中央财经大学学报》【年(卷),期】2017(000)007【总页数】9页(P87-95)【关键词】GJR-CVAiaR;Gibbs抽样;不对称拉普拉斯分布;贝叶斯分位数回归【作者】张颖;傅强【作者单位】西北政法大学经济学院;中央财经大学财经研究院【正文语种】中文【中图分类】F011一、引言目前,常用的分位数回归模型的估计方法分为两类。
一类是直接进行优化求解,如单纯形法和内点法。
另一类是借助于贝叶斯原理进行参数估计。
直接优化求解属于频率学派的范畴,是传统的经典统计学方法。
经典估计方法将参数视为固定常数,然后利用最小二乘或极大似然等方法计算参数的估计值,得到参数的渐近分布和统计性质,并进行假设检验。
贝叶斯学派与经典统计法在参数估计的原理上存在不同。
贝叶斯学派将待估参数视为随机变量,利用贝叶斯原理和观测样本得到参数的后验分布。
在无法得到参数后验分布的具体表达形式时,采用重复抽样技术解决参数的估计问题。
因此,相对于传统统计对样本量的敏感,贝叶斯统计在小样本情形下也能得到可靠的参数信息。
贝叶斯岭回归算法
贝叶斯岭回归算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：贝叶斯岭回归（Bayesian Ridge Regression）是一种用于进行回归分析的统计模型。
它是在贝叶斯框架下推导出来的一种回归算法，结合了岭回归和贝叶斯回归的优点，能够克服传统线性回归模型中存在的过拟合等问题。
贝叶斯岭回归的本质是在回归过程中引入了一个正则化项，通过对模型参数的先验分布进行建模，可以有效控制模型的复杂度，从而提高模型的泛化能力。
贝叶斯岭回归的核心思想是基于贝叶斯定理，通过期望最大化的方法来估计模型参数。
具体来说，贝叶斯岭回归假设模型参数服从某种概率分布，一般是高斯分布，然后通过最大化后验概率来估计参数。
在构建模型之前，需要设定一些先验分布的超参数，通常选择一个较为宽泛的先验分布，使得模型更具有鲁棒性。
与传统的岭回归相比，贝叶斯岭回归的一个重要优势是能够提供参数的置信区间。
传统的岭回归只能得到点估计的参数值，而贝叶斯岭回归可以得到参数的后验分布，从而可以计算得到参数的置信区间。
这对于统计推断和模型评估非常有帮助，可以帮助我们更好地了解参数的不确定性。
贝叶斯岭回归算法在实际应用中有着广泛的应用。
比如在金融领域，可以通过贝叶斯岭回归来建立股票价格预测模型，从而帮助投资者做出更明智的投资决策；在医学领域，可以利用贝叶斯岭回归来分析疾病的风险因素；在工程领域，可以利用贝叶斯岭回归来建立可靠的预测模型等等。
值得注意的是，贝叶斯岭回归在计算上相对复杂，需要进行概率推断，因此对于大规模数据集和高维特征空间来说，计算成本可能会较高。
模型的性能也会受到先验分布的选择和超参数的设定的影响，在实际应用中需要仔细调参和评估模型。
贝叶斯岭回归算法是一种强大的回归分析方法，可以有效地提高模型的泛化能力，并且能够提供参数的置信区间，对于一些需要进行统计推断的应用场景具有较高的价值。
在实际应用中，可以根据具体问题的特点选择合适的先验分布和超参数，从而得到更好的模型表现。
贝叶斯结构时间序列模型回归因子相关系数为0
贝叶斯结构时间序列模型回归因子相关系数为0在贝叶斯结构时间序列（BSTS）模型中，如果回归因子的相关系数为0，这可能意味着该回归因子与目标变量之间没有线性关系，或者该回归因子在模型中的贡献非常小，接近于无影响。
首先，要理解相关系数为0的含义。
在统计学中，相关系数用于衡量两个变量之间的线性关系强度和方向。
相关系数的取值范围在-1到1之间，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示无相关。
在BSTS模型中，回归因子是用来解释目标变量变化的自变量。
如果某个回归因子的相关系数为0，这可能意味着以下几点：该回归因子与目标变量之间不存在线性关系。
这可能是因为它们之间的关系是非线性的，或者它们之间根本就没有关系。
该回归因子在模型中的贡献非常小。
即使它与目标变量之间存在一定的关系，但这种关系非常微弱，以至于在模型中几乎可以忽略不计。
数据可能存在异常值或噪声。
这可能导致相关系数的计算受到干扰，使得相关系数接近0。
针对这种情况，可以采取以下措施：检查数据的质量和可靠性。
确保数据没有异常值或噪声，以确保相关系数的准确计算。
尝试引入其他可能的回归因子。
如果某个回归因子的相关系数为0，可以尝试引入其他与目标变量可能有关的自变量，以更好地解释目标变量的变化。
考虑非线性关系。
如果怀疑目标变量与回归因子之间存在非线性关系，可以尝试引入非线性项或使用非线性模型进行建模。
重新评估模型的适用性。
如果多个回归因子的相关系数都接近0，可能需要重新评估BSTS模型是否适用于当前的数据和问题。
也许其他类型的模型或方法可能更适合。
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Ｔｈｅ Ｂａｙｅｓｉａｎ ｉｎｆｅｒｅｎｃｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｂｏｕｔ ｓｉｎｇｌｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｅｘｐｌｏｒｅｄ，ａｎｄ ｔｈｅｎ ｆｌｏｗｉｎｇ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ ｔｏ ｂｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ａｓ
ｗｅｌｌ ａｓ．Ｔｈｅ Ｂａｙｅｓｉａｎ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｌｅｎｔ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅｉｒ
一些学者认为，经典统计对一些统计问题的提法不妥，包括估计中的置信区 间和假设检验。在经典理论中，参数是固定的常数，不具备随机性，因而不能谈 论参数属于某区间的概率，只能理解为这～区间盖住该参数的概率，然而人们最
２
硕士学位论文
回归模型中的贝叶斯分析
关心的恰好是参数位于该区间的概率有多大，经典估计理论对于这一问题的提法 并不令人满意。而贝叶斯方法恰好不存在上述问题，因为在贝叶斯理论体系中， 参数本身是随机变量，其本身就具有统计分布。
１．１．３贝叶斯推断的பைடு நூலகம்本观点
贝叶斯公式 贝叶斯公式的离散形式
设４，４，…，４是互不相容的事件，每个事件发生的概率Ｐ（４）均已知，对于
事件曰’有口ｃⅡ４，且在事件４发生Ｊ｜＝ｉ鸵ＥＴ口发生的概率Ｐ（圳４）已知，则
在事件口发生情况下尸，（４４发Ｉ口生）的；概１１率量譬上掣ｆ；１，２，…，七 Ｚ尸（４）Ｐ（曰ＩＡｊ） 贝叶斯公式的随机变量形式 设随机变量ｘ，Ｙ的联合分布密度是
研究了在无信息先验分布下，一元多重模型向量参数的贝叶斯估计理论，证 明了他们的后验分布为多元ｔ分布，并分别给出了其参数各分量的贝叶斯后验区 间估计。分别研究了在参数向量服从多元正态分布条件下，以及参数向量服从多 元正态分布、标准差服从倒ｒ分布条件下，一元多重模型系数的贝叶斯估计，给 出了它的贝叶斯决策解。在多元模型中，研究了系数参数矩阵服从矩阵正态先验 分布下的贝叶斯推断方法，证明了其后验分布仍服从正态分布，并给出了贝叶斯 决策解。将对模型的研究从简单推广到复杂也是本文的一个特点。
的联合后验分布和样本－，算：，…，吒的分布，于是由贝叶斯公式可以求得口对
ｍ‰…㈡一嚣羔瑞 薯，Ｘ２，…，％的条件分布密度，也就是目的后验分布密度＾（日ｌｘａ，Ｘ２，…，‘），即
再利用其后验密度＾ｐＩｘａ，Ｘ：，…，‘）对口作出推断，因此贝叶斯统计推断的
一般模式也可以概括成
先验分布＋样本信息一 后验分布
ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ ｎｏｒｍａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ．
【Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ】
ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ
ｍｕｌｔｉ—ｓｔａｒｉｓｔｉｃｓ，Ｂａｙｅｓｉａｎ
ａｎａｌｙｓｉｓ，ｐｏｓｔｅｒｉｏｒ
Ｉｌ
硕上学位论文
第１章 引言
回归模型中的贝叶斯分析
１．１贝叶斯统计学
本节主要内容是介绍贝叶斯统计学历史发展，基本观点及方法特点，比较贝 叶斯方法和经典方法的差异，并概括了现代贝叶斯理论研究与应用的基本情况。
【关键词】 多元统计，贝叶斯分析，后验估计
Ｔｉｔｌｅ：Ｂａｙｅｓｉａｎ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｎ Ｒｅｇｒｓｓｉｏｎ Ｍｏｄｅｌ
Ｍａｊｏｒ：Ｍｕｔｉ—Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ ａｎｄ Ｅｃｏｎｏｍｉｃ Ａｎａｌｙｓｉｓ
Ｎａｍｅ：Ｘｕ Ｙｕａｎ
Ｓｕｐｅｒｖｉｓｏｒ：Ｈｅ Ｙｕａｎｊｉａｎｇ
ＡＢＳＴＲＡＣＴ
ｐ（ｘｌ，工：，…，‘；∞看成是葺，工：，…，Ｘｎ对目的条件密度，记为 Ｐ（毛，ｘ：，…，‘１０）
３
硕＿Ｉ＿＿学位论文
回归模型中的贝叶斯分析
或简为ｐ（ｘＩ们
再设法确定０的先验分布筇（们，这往往根据以往对参数０的知识来确定，因
而也是比较困难和容易引起争议的一步。
然后利用条件分布密度ｐ－１０）和先验分布玎（∞，可以求出ＸＩ，Ｘ２，…，‘和０
贝叶斯学派则认为，先验分布反映了在做试验前我们关于未知参数的知识， 在获得样本带来的信息后，人们对这个认识有了改变，其结果就反映在后验分布 中，或者说，后验分布综合了先验分布的信息和样本的信息。由此可以看出，频 率学派的统计推断是“从无到有”的过程，在试验前，关于未知参数的情形是一 无所知，而试验后则有所了解，但对了解多少并无普遍地表述方法，在实践中有 赖于所使用的统计量的针对性；贝叶斯推断则不然，它是一个“从有到有”的过 程，且结果清楚自然，符合人们的思维习惯，根据所获得的信息修正以前的看法， 因此。贝叶斯推断方法更类似于人的学习过程。
Ｄｆ－｛ｙ，，ｑ一，）－｛ｙ。，咒－１．一，Ｙｌ，Ｄ０１
故有
ｐ（ｑ ＩＤ，一，）。厶。ｐ（以Ｉｏ，一ｑ一－归（包一。ＩＤ，一。）
其中，ｑ一。ＥＲ“，Ｆ（·）是分布函数。因为 ｐ（Ｍ Ｉ口一。）ｐ（ｑ ｌ皿）一ｙ（只１只，ｑ一，）ｐ（ｑ ｌ Ｄｆ一。）
从而由先验概率可以求得后验概率
两个学派在具体的推断理念也有差异。统计学奠基人Ｆｉｓｈｅｒ把统计学的任务 概括为三个问题，即选定模型，确定统计量和决定统计量的分布。根据Ｆｉｓｈｅｒ 的观点，信息包含在样本中，但样本为数众多，因此需用少数几个统计量把信息 集中起来，而抽样分布则决定了统计量的全部性质，频率派基本上是按照这种思 路来处理统计推断问题的。
硕士学位论文
回归模型中的贝叶斯分析
派的推导和解释；因此，贝叶斯理论和方法不断丰富和发展起来。对此，我国的 陈希孺，茆诗松等学者也指出，贝叶斯学派已经成为统计学中～个很有影响、不 可忽视的学派。
１．１．２贝叶斯统计学方法的特点及与经典统计的比较
经典统计，即频率学派，在进行统计推断时，依据两类信息，～是模型信息， 即统计总体服从某种概率分布，这是制定统计方法的基础；另一个是样本信息， 即观察和试验的结果。贝叶斯统计除了运用以上两类信息外，还需利用另外一类 信息，即总体分布中未知参数的分布信息。由于这类信息是在进行试验以前就有 的，故一般称为先验信息。贝叶斯统计要求这类信息能以未知参数的一个概率分 布来表示，这个概率分布就称为先验分布。所以贝叶斯统计在做统计推断时，既 考虑客观信息，也考虑主观信息。
１．１．１贝叶斯统计学历史发展概述
统计学有贝叶斯统计和经典统计两大学派，这两个学派之间长期存在争论， 至今也没有定论。这两个学派之间的争论构成了现代数理统计学发展过程的一个 大特色，无论如何，这场争论对现代数理统计学的发展起到了积极的促进作用。
贝叶斯理论源于英国学者贝叶斯（ＲｅｖｅｒｅｎｄＴｏｍａｓＢａｙｅｓ）于１７６３年在皇家 学会学报上发表的论文，后来鉴于他的奠基性的工作，英国的统计杂志 Ｂｉｏｍｅｔｒｉｋａ在１９５８年重新全文刊登了他的论文【ｌ】。他在论文中提出了从二项 分布的观测值出发对其参数进行概率推断地方法，后称之为贝叶斯定理，并且被 推广到二项分布以外的应用之中以及任何的统计分布。
而经典统计的最大不足在于其推断过程中过于着眼于当前数据，忽视了历史 经验、人们已有的知识和认识，以及人们的主观能动性：统计推断的精度主要取 决于样本大小，这对于小样本的情况，往往是很困难甚至是无能为力的。例如在 军事尖端武器的可靠性评定中，相同条件下的试验往往不超过１０个，有时只有 两三个试验，就必须作出决策了。
中山大学 硕士学位论文 回归模型中的贝叶斯分析 姓名：徐远 申请学位级别：硕士 专业：概率论与数理统计 指导教师：何远江
20040528
论文题目：回归模型中的贝叶斯分析
专业：概率论与数理统计
硕士生：徐远
指导教师：何远江教授
摘要
本文主要研究了线性模型回归分析中的参数的贝叶斯推断方法，包括简单的 一元模型，并推广到多重和多元的情形，探讨了分别在扩散无信息先验分布和多 元正态以及矩阵正态先验分布等条件下，参数的贝叶斯估计理论，给出了其贝叶 斯决策解，而在决策理论中单参数，向量和矩阵参数平方损失函数形式下，贝叶 斯决策解和贝叶斯后验风险决策解是等价的。
ｐ（ｘ，Ｙ）一ｐ（ｘ）ｐ（ｙＩｚ）
其中，ｐ（工）是ｘ的边缘分布密度，Ｐ｛ＹＩ工）表示当ｘ—ｘ时，ｖｘＣｘ的条件
密度，于是ｘ对Ｙ的条件密度可表为
类似地，有
ｇ（ｚ¨两Ｐ｛币ｘ）ｐ而（ｙ Ｉ面ｘ）
咖㈦一需粉
其中ｑ（Ｙ１是ｙ的边缘分布密度。
由贝叶斯公式可以看出贝叶斯方法处理问题的一般过程，即首先将未知参数 看成随机变量，记它为口，于是当ｐ已知时，样本ｔ，ｘ：，…，Ｘｎ的联合密度
ｐｏｓｔｅｒｉｏｒ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ａｒｅ ｉｎ ｔ ｏｒ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｔ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｗｈｅｎ ｔｈｅｙ ｐｒｉｏｒ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ａｒｅ ｎｏｎ—ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ．Ａｎｄ Ｔｈｅ Ｂａｙｅｓｉａｎ ａｎａｌｙｓｉｓ