九年级数学上册 第章 一元二次方程. 一元二次方程的解法 一元二次方程根与系数的关系备选
(贵州)RJ人教版 九年级数学 上册(教学设计 电子教案)第二十一章 一元二次方程(全单元教案 含反思)
（贵州）RJ人教版 九年级数学 上册（教学设计 电子教案）第二十一章 一元二次方程
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第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程
1．理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式．
2．会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题．
3．在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识．
一、情境导入
参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？
二、合作探究
探究点一：一元二次方程的概念
【类型一】一元二次方程的识别
下列选项中，是关于x的一元二次方程的是( )
A．x2＋1x2＝1 B．3x2－2xy－5y2＝0
C．(x－1)(x－2)＝3 D．ax2＋bx＋c＝0
解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a＝0时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A、B、D，故选C.
方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可．
【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数
关于x的方程(k＋1)x|k－1|＋kx＋1＝0是一元二次方程，则k的值为________．
解析：由题意得|k－1|＝2，k＋1≠0，∴k＝3或k＝－1，k≠－1. （贵州）RJ人教版 九年级数学 上册（教学设计 电子教案）第二十一章 一元二次方程
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∴k＝3.
方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系
设ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=-，x1.x2=.
证明：ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为x1,x2,
一元二次方程根与系数的关系的应用：
（一）已知方程，利用根与系数
1、不解方程，整体代换求含x1,x2的代数式的值
例1：设方程x2+3x+1=0的两根为x1,x2,求下列各式的值：
（1）x12+x22 （2）11x+21x （3）（x1-3）（x2-3）
（4）（x1-x2）2 （5）｜x1-x2｜
2、已知含x1,x2的代数式的值，求方程中待定字母系数的值
例2：（1）已知方程x2+kx+k=0有两个实数根，且两根的平方和为3，求k的值。
解：依题意：△≥0，x12+x22 =3
x12+x22 =（x1+x2）2-2x1.x2
-k2-2k=3 k2+2k-3=0
(k-1)(k+3)=0
k1=1 k2=-3
△= k2-4k，当k1=1时，△＜0，应舍去，当k2=-3时，△＞0，所以k=-3
当k=-3时，两根的平方和为3。
归纳小结：△≥0是实系数一元二次方程根与系数关系的前提。
（2）若方程2x2-mx-4=0的两个实数根x1,x2满足11x+21x=2，求m的值。
（3）已知方程x2-4x+6k=0有两个实数根的平方差为8，求k的值。
3、一元二次方程的特殊根及根的分布
（1）一元二次方程的特殊根
①若方程两根相等，则△＝0；
②若方程两根互为倒数，则x1.x2=1且△＞0；
③若方程两根互为相反数，则x1+x2=0，即b=0且△＞0；
④若方程两根绝对值相等，则△＝0或b=0且△＞0；
⑤若方程有一根为0，则c=0；
⑥若方程有一根为1，则a+b+c=0；
⑦若方程有一根为-1，则a-b+c=0；
九年级数学上册 一元二次方程 一元二次方程练习青岛版
1 4.1 一元二次方程
1. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是 （ ）
A. 2120xx B. 223xy
B. C. 22(1)0ax D. 12xy
2. 已知1是关于x的一元二次方程2(1)10mxx 的一个根 ，则m的值是（ ）
A．1 B. -1 C. 0 D. 无法确认
3. 地理兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组成员各赠送一件，全组共互赠了132件，如果全组有x名同学，则根据题意可以列出的方程是（ ）
A. (1)132xx B. (1)132xx
B. C. 2(1)132xx D. 2(1)132xx
4.若方程2(1)0mxmx是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A. 1m B. 0m C. 0m且1m D. 任意实数
5.目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系. 某校去年上半年发给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年．．．发放的资助金额的平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ）
A. 2438(1)389x B. 2389(1)438x
C. 389(12)438x D. 438(12)389x
6．只含有 个未知数的 次数是 的整式方程叫做一元二次方程。
7. 任何一个关于x的一元二次方程都可以化成 的形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中2ax、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数，a、b分别叫 系数和 系数.
一元二次方程根与系数关系(知识讲解)九年级数学上册基础知识讲与练
专题2.14 一元二次方程根与系数关系（知识讲解）
【学习目标】
掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.
【要点梳理】
一元二次方程的根与系数的关系
1.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2. 一元二次方程的根与系数的关系的应用
知识框图：1、求代数式的值2、求待定系数一元二次方程求根公式根与系数关系应用3、构造方程4、解特殊的二元二次方程组5、二次三项式的因式分解【典型例题】
类型一、由根与系数关系直接求值
1．已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：
（1）2211+xx （2）1211xx
【答案】（1）11；（2） －3．
【分析】
由一元二次方程的根与系数的关系可得12123,1xxxx；
（1）将所求式子变形为(x1＋x2)2－2x1x2 ，然后整体代入上面两个式子计算即可；
（2）将所求式子变形为1212xxxx，然后整体代入上面两个式子计算即可．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，
∵12123,1xxxx，
（1）2211+xx＝ (x1＋x2)2－2x1x2 ＝32－2×(－1)＝11； )0(02acbxax21xx，abxx21acxx21（2）12121211331xxxxxx．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握一元二次方程的两根之和与两根之积与系数的关系是解题关键．
举一反三：
九年级数学上册第二十一章一元二次方程知识点总结(超全)(带答案)
九年级数学上册第二十一章一元二次方程知识点总结(超全)
单选题
1、一元二次方程𝑥2
-8x
-1=0配方后可变形为（ ）
A．(𝑥+4)2
=17B．(𝑥+4)2
=15C．(𝑥−4)2
=17D．(𝑥−4)2
=15
答案：C
分析：先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
解：∵x2
-8x
-1=0，
∴x
2
-8x
=1，
∴x
2
-8x
+16=17，
∴（x
-4）
2
=17．
故选C．
小提示：本题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握当二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方是
关键．
2、关于x的方程𝑥2
+2(𝑚−1)𝑥+𝑚2
−𝑚=0有两个实数根𝛼，𝛽，且𝛼2
+𝛽2
=12，那么m
的值为（ ）
A．−1B．−4C．−4或1D．−1或4
答案：A
分析：通过根与系数之间的关系得到𝛼+𝛽=−2𝑚+2，𝛼𝛽=𝑚2
−𝑚，由𝛼2
+𝛽2
=(
𝛼+𝛽)2
−2𝛼𝛽可求出
m的值，通过方程有实数根可得到[
2(𝑚−1)]2
−4(
𝑚2
−𝑚)
≥0，从而得到m的取值范围，确定m的值．
解：∵方程𝑥2
+2(𝑚−1)𝑥+𝑚2
−𝑚=0有两个实数根𝛼，𝛽，
∴𝛼+𝛽=−2(
𝑚−1)
1=−2𝑚+2，
𝛼𝛽=𝑚2
−𝑚
1=𝑚2
−𝑚，
∵𝛼
2
+𝛽2
=(
𝛼+𝛽)2
−2𝛼𝛽，𝛼2
+𝛽2
=12
∴(
−2𝑚+2)
2
−2(
𝑚2
−𝑚)
=12，
整理得，𝑚2
−3𝑚−4=0，
解得，𝑚
1=−1，𝑚
2=4， 若使𝑥2
+2(𝑚−1)𝑥+𝑚2
−𝑚=0有实数根，则[
2(𝑚−1)]2
−4(
𝑚2
−𝑚)
≥0，
解得，𝑚≤1，
所以𝑚=−1，
故选：A．
小提示：本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件
是解题的关键．
3、关于x
的方程2𝑥2
−𝑚𝑥−3=0的根的情况是（ ）
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程练习新版新人教版
1 21．1 一元二次方程
基础题
知识点1 一元二次方程的定义及一般形式
1．(山西模拟)下列方程一定是一元二次方程的是( )
A．3x2＋2x－1＝0 B．5x2－6y－3＝0
C．ax2－x＋2＝0 D．3x2－2x－1＝0
2．关于x的方程ax2－3x＋3＝0是一元二次方程,则a的取值范围是( )
A．a＞0 B．a≠0
C．a＝1 D．a≥0
3．一个关于x的一元二次方程,它的二次项系数为2,一次项系数为3,常数项为－5,则这个一元二次方程是________________．
4．将下列方程化为一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)2y2＝8；
(2)2x2＋5＝4x；
(3)4x(x＋3)＝0；
知识点2 一元二次方程的根
5．下列是方程3x2＋x－2＝0的解的是( )
A．x＝－1 B．x＝1
C．x＝－2 D．x＝2
6．(甘孜中考)一元二次方程x2＋px－2＝0的一个根为2,则p的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
7．下表是某同学求代数式x2－x的值的情况,根据表格可知方程x2－x＝2的根是( )
x －2 －1 0 1 2 3 …
x2－x 6 2 0 0 2 6 …
A.x＝－1 B．x＝0
C．x＝2 D．x＝－1和x＝2
8．(兰州中考)若一元二次方程ax2－bx－2 015＝0有一根为x＝－1,则a＋b＝________．
9．下列数值是方程x2－x－2＝0的根的是________．
①－1； ②0； ③1； ④2.
知识点3 用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系
10．(黔西南中考)某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地,它的长比宽多11米,设场地的宽为x米,则可列方程为( )
A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程教案新版新人教版
1 《一元二次方程》
教学内容
一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．
教学目标
（一）知识与技能
了解一元二次方程的概念；一般式200axbxca（）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．
（二）过程与方法
通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．一元二次方程的一般形式及其有关概念．
（三）情感态度与价值观
解决一些概念性的题目．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
重难点
1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
2．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
教学过程
一、复习引入
学生活动：列方程．
问题（1）《九章算术》"勾股"章有一题："今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？"
大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？
如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为_______尺，根据题意，得________．
整理、化简，得：__________．
问题（2）如图，如果ACCBABAC，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．
如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．整理得：_________．
问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？
如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______． 2 整理，得：________．
老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．
二、探索新知
学生活动：请口答下面问题．
（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？
九年级上册数学人教版 一元二次方程的解法-配方法
1 第2讲 一元二次方程的解法(二)
----配方法
配方法：利用完全平方公式把一元二次方程转化成的形式，再利用直接开平方法解一元二次方程的方法叫做配方法.①当p＞0时，方程有两个不等的实数根，；②当p=0时，方程有两个相等的实数根=-n；③当p＜0时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根.
知识要点梳理:
完全平方公式：222)(2bababa 222)(2bababa
尝试解方程：x2－4x＋3＝0
我们把方程x2－4x＋3＝0变形为(x－2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
练一练 ：配方.填空：
（1）x2＋6x＋（ ）＝（x＋ ）2；
（2）x2－8x＋（ ）＝（x－ ）2；
（3）x2＋23x＋（ ）＝（x＋ ）2；
从这些练习中你发现了什么特点?
(1)________________________________________________
(2)________________________________________________
经典例题
例1. 用配方法解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0； （2）x2＋3x-1＝0.
解（1）移项，得x2－6x＝____.
方程左边配方，得x2－2·x·3＋_ _2＝7＋___，
即（____ __）2＝__ __.
所以 x－3＝_______.
原方程的解是x1＝_____，x2＝_____.
（2）移项，得x2＋3x＝1.
方程左边配方，得x2＋3x＋（ ）2＝1＋____，
即 ____________________
数学九年级上册一元二次方程知识点
数学九年级上册一元二次方程知识点
一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
以下是九年级上册一元二次方程的知识点：
1. 一元二次方程的解法：一元二次方程可以通过因式分解、配方法、公式法等多种方式求解。
2. 因式分解法：对于简单的二次方程，可以尝试因式分解来求解。如果能够将方程因式分解为两个一次因式相乘的形式，那么方程的解就是使得每个一次因式为零的数字。
3. 配方法：对于一些无法因式分解的二次方程，可以通过配方法来转化为一个完全平方的形式，然后再进行求解。
4. 一元二次方程的求根公式：一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的求根公式为x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。根据判别式Δ=b^2-4ac的正负数值，可以确定方程的解的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
5. 一元二次方程的图像：一元二次方程的图像是一个抛物线，其开口方向取决于二次项系数a的正负。当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)为方程的二次项。
6. 一元二次方程的根与系数的关系：一元二次方程的系数a、b、c和方程的根之间有一定的关系。设方程的两个根为x1和x2，则有x1 + x2 = -b/a和x1x2 = c/a。这种关系在解一元二次方程的过程中有时候会有用。
以上是九年级上册一元二次方程的主要知识点，希望对你有帮助！
一元二次方程教案(教案)一元二次方程的解法
第 1 页 共 19 页 一元二次方程教案(教案)一元二次方程的解法
第1篇第2篇第3篇第4篇第5篇更多顶部第一篇：配方法解一元二次方程的教案第二篇：一元二次方程复习教案(正式)第三篇：4.2.3一元二次方程的解法(教案)第四篇：教案一元二次方程的应用第五篇：一元二次方程根的分布教案更多相关范文第一篇：配方法解一元二次方程的教案
配方法解一元二次方程的教案
教学内容：本节内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册
第22章第2节第1课时。
一、教学目标
（一）知识目标
1、理解求解一元二次方程的实质。
2、掌握解一元二次方程的配方法。
（二）能力目标
1、体会数学的转化思想。
2、能根据配方法解一元二次方程的一般步骤解一元二次方程。
（三）情感态度及价值观
通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们学习数学的兴趣。 第 2 页 共 19 页 二、教学重点
配方法解一元二次方程的一般步骤
三、教学难点
具体用配方法的一般步骤解一元二次方程。
四、知识考点
运用配方法解一元二次方程。
五、教学过程
（一）复习引入
1、复习：
解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
2、引入：
二次根式的意义：若x2=a
(a为非负数），则x叫做a的平方根，即x=±√a
。实际上，x2 =a（a为非负数)就是关于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一元二次方程。
（二）新课探究
通过实际问题的解答，引出我们所要学习的知识点。通过问题吸引学生的注
意力，引发学生思考。
问题1： 第 3 页 共 19 页 一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2李林用这桶油漆刚好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
问题1重在引出用直接开平方法解一元二次方程。这一问题学生可通过“平方根的意义”的讲解过程具体的解答出来，