北师大版数学九年级上册《认识一元二次方程》一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0)
特征：方程的左边按x的降幂排列，右边＝0
(1)都是整式方程 (2)只含有一个未知数 (3)未知数的最高次数是2
一元二次方程的项和各项系数
二次项
一次项系数
系数
a≠0 ax2+bx+c=0
二次项 一次项 常数项
一元二次方程一般形式：
2、有一个两位数,个位数字与十位数字之和等于6,而且这两个 数字的积等于这个两位数的 1/3,求这个两位数.
设:这个两位数的十位数字是x,
则个位数字是(6-x)
x(6-x)= 1/3(10x+6-x) 化成一般形式为: x2 -3x+2=0
根据题意得x的范围是:0 < x ≤ 6 列表
x
1 2 3 456
m,根据题意,可得方程：
(8-2x)(5 -2x) = 18.
整理, 得
2x2 13x 11 0
问题2 一个长为10m的梯子斜靠在墙上
，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.
如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底
端滑动多少米？
解:设梯子底端滑动x
1m
米,则由题意可得方程：
8m
(6+x)2+72=102，
解:要完成规定动作最多的时间是h=5时 即: 5=10+2.5t-5t2 化为一般形式2t2 -t-2= 0
列表
t
01 23
2t2 –t-2
列表
t
-2 -1 4 13 所以1< t< 2 1.1 1.2 1.3 1.4
2t2 –t-2 -0.68 -0.32 0.08 0.52
所以1.2< t< 1.3 答:他完成动作的时间最多不超过1.3秒
8-2x
x 化为一般形式
2x2 –13x+11=0
8cm
根据实际情况确定x大致的取值范围。
x可能小于0吗？ 不可能等于0,没有实际意义
x可能大于4吗？ x可能大于2.5吗？
那么x的范围是 0＜x＜2.5
用估计的方法求一元二次方 程的近似根。
有些实际问题在解决的时候，可根据实 际情况情况确定大概的取值范围，因此 我们可用逼近的方法求近似根。
(6) 2 5 xபைடு நூலகம்x2
分式方程
一元
一次
只含有一个未知数，并且未知数的最高次是1次 的整式方程叫一元一次方程。
问题1 一块四周镶有宽度相等的花边的地
毯如下图，它的长为8m，宽为5m．如果
地毯中央长方形图案的面积为18m2 ，则
花边多宽?
解：如果设花边的宽为 x m ,
那么地毯中央长方形图案的
长为 (8-2x) m,宽为 (5-2x)
x
1.1 1.2 1.3 1.4
x2 +12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76
所以x的整数部分是1，十分位是1
小试牛刀：
1.由方程ax2+bx+c=0(a≠0)可得下表，则
x的取值范围大约是( B )
x
5.23 5.24 5.25 5.26
ax2 +bx+c -0.03 -0.01 0.01 0.02
xm整理可得x：2 12x 15 0
?6m
问题3 学校图书馆去年年底有图书5 万册，预计到明年年底增加到7.2万册。 求这两年的年平均增长率。
• 解：设这两年的年平均增长率为x, • 去年底：5 • 今年底：5+5x＝5(1+x) • 明年底：5(1＋x)＋5(1＋x)x
＝5(1＋x)(1＋x) ＝5 (1＋x)2
1、一个长方形的周长为30厘米，面积为54厘米，设宽为x厘米。
(1)根据题意列方程。
(2)x可能小于0吗？说出理由.
x
(3)x可能大于15吗？说出理由.
15-x
(4)能否想一个办法求得长方形的长x?
解(1)设长方形的宽为x厘米,则长为(15-x)厘米.
x(15 -x)=54 (2) x表示长方形的实际宽,不可能小于0
0
-5
x2 3x 0 1
-3 0
2、将下列一元二次方程化为一般形式， 并分别指出它们的二次项系数、一次项系 数和常数项：
(1)3x2 x 2
(2)7x 3 2x2
(3)x(2x 1) 3x(x 2) 0
3x2-x-2=0 2x2-7x+3=0 x2-5x =0
(4)2x(x 1) 3(x 5) 4
• 根据题意得方程：5(1＋x)2＝7.2
整理,得：5x2 10x 2.2 0
观察这几个方程，有什么共同特征？
2x2 13x 11 0 x2 12x 15 0
5x2 10x 2.2 0
特征: (1) 都是整式方程 (2) 只含有一个未知数 (3) 未知数的最高次数是2
只含有一个未知数，并且未知数的最高 次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
ax2+bx+c=0（a≠0)
问：为什么二次项系数a不能为0？假 如a=0会出现什么情况？b、c能不能 为0？能不能同时为0？
判断下列方程中哪些是一元二次方程？
并说明理由
(1)3x 2 5x 3 不是 (2)5x2 x 7 是
(3)4x2 y 3 0 不是 (4)5x2 6 0 是
x2 -3x+2
00
2 6 12 20
当x =1 或 x=2时，x2 -3x+2=0
当x =1 时这个两位数是15 当x =2时这个两位数是24
3、一名跳水运动员进行10米跳台跳水训练,在正常的情况下,运 动员必须在距水面5米以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入 水姿势,否则就容易出现失误,假设运动员起跳后的运动时间t(s) 为和运动员距水面的高度h(m)满足关系: h=10+2.5t-5t2 , 那么 他最多有多长的时间完成规定的动作?
(5) x 2 4 是
(6) x 2 x2不是 x 1
(7)x 2 4 (x 2)2 不是
(8)ax2 bx c 0 (a、b、c为常数)不是
1、指出下列一元二次方程的二次项系数 、一次项系数和常数项：
方程
二次项 系数
一次项 系数
常数项
2x2 x 3 0 2
1
-3
3x2 5 0 3
《认识一元二次方程》一元 二次方程
北师大版数学九年级上册
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一元一次方程、二元一次方程、分式方程
(1)2＋3＝5 没有未知数，不是方程
(2)3x＋2 不是等式，不是方程
(3)5x＋3＝18 一元一次方程
(4)x-2y＝5 二元一次方程
(5)
3 x
1
2
不是等式，不是方程
问题2中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程 (x+6)2+72=102， 即 x2+12x-15=0
问:你能猜出梯子底端滑动的距离x(m) 的大致范围吗？
x的整数部分是几？十分位是几？
x
0 0.5 1 1.5 2
x2 +12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13
所以，1<x<1.5 进一步计算：
(3)不可能,因为长与宽的和是15, x可能大于15.
(4）如何估算长方形的长x? 化简x2 -15x+54=0 根据题意x的范围是 0<x<7.5 列表
x 15-x
x x2 -15x+54
1 2 3 45 6 7 40 28 18 10 4 0 -2
当x=6时， x2 -15x+54=0 答:长方形的宽为6厘米
在x范围内取整数值,分别代入方程，如果有
一个数能够使方程的左边等于0,则这个数就
是方程的一个解. 2x2 –13x+11=0 ( 0 ≤x≤2.5 )
列表
x
01 2
2x2 —13x+11 11 0 -7
当x=1时，2x2 –13x+11=0 ， 所以方程的解为x=1
若在x许可的范围内取整数值，没有一 个数能够使方程的左边等于0怎么办？
4、解方程
5、已知关于x的方程是一元二次方程，求m的值。
（m 1)x m 1 mx m2 1 0
• 分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x 的最高次数∣m∣+1＝2，
• 解之得，m=1或m=－1， • 又因二次项系数m＋1≠0， 即m≠－1， • 所以m=1。
温馨提示：注意陷井 二次项系数a≠0！
问题2 绿苑小区住宅设计，准备在每 两幢楼房之间，开辟面积为900平方米 的一块长方形绿地，并且长比宽多10米 ，那么绿地的长和宽各为多少？
A.5.23<x<5.24 B.5.24<x<5.25
C.5.25<x<5.26 D.5.24<x<5.26
x
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
5x2 -24x+28 17.25 9 3.25 0 -0.75 1 5.25
从上表中你能得出方程5x2 -24x+28的根是 几吗？如果能，写出方程的根，如果不能， 请写出方程根的取值范围
2x2-5x-11=0
温馨提示：某一项的系数包括它前 面的符号。
3、 关于x的方程ax2 -2bx＋a＝2x2 , 在什么 条件下此方程为一元二次方程？在什么条 件下此方程为一元一次方程？ 解：移项：ax2 -2bx+a-2x2 =0
合并同类项：(a-2)x2-2bx+a=0
所以，当a≠2时是一元二次方程；
北师大版初中九年级上册数学 《认识一元二次方程》一元二次方程PPT(第1课时)
90+2x
40+2x
本题涉及两个基本量：油画 的面积与整个挂图的面积．
利用长方形的面积公 式和油画面积与整个
解：(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40. 挂图面积之间的关系
列方程
总结
知3－讲
建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要 根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐 含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润 公式等)进行列方程．
知3－练
1 随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计， 2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年 均增长率为x，则下列方程中正确的是( ) A．20(1＋2x)＝28.8 B．28.8(1＋x)2＝20 C．20(1＋x2)＝28.8 D． 20＋(1＋2x)＋20(1＋x)2＝28.8
式方程；④未知数的最高次数是3；⑤整理后二次
项系 数为零．
总结
知1－讲
一元二次方程的识别方法： 整理前：①整式方程，②只含一个未知数； 整理后：未知数的最高次数是2.
知1－练
1 下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( )
A．ax2＋b1x＋c＝0
B．x2＋1－x2＝0
C．x2＋ x ＝2
D．x2－x－2＝0
知3－练
2 某公司今年销售一种产品，1月份获得利润10万元，由于产品畅
销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份 利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满 足的方程为( ) A．10(1＋x)2＝36.4 B．10＋10(1＋x)2＝36.4 C．10＋10(1＋x)＋10(1＋2x)＝36.4 D．10＋10(1＋x)＋10(1＋x)2＝36.4
北师大版初中九年级上册数学课件-《认识一元二次方程》一元二次方程PPT课件优选全文
-0.75
1
5.25
从上表中你能得出方程5x2 -24x+28的根是几吗？如果能，写出方程的根，如果不能，请写出方程根的取值范围
B
1、一个长方形的周长为30厘米，面积为54厘米，设宽为x厘米。
解(1)设长方形的宽为x厘米,则长为(15-x)厘米. x(15 -x)=54
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
特征：方程的左边按x的降幂排列，右边＝0
(1)都是整式方程 (2)只含有一个未知数 (3)未知数的最高次数是2
ax2+bx+c=0
二次项
一次项
常数项
二次项系数
一次项系数
a≠0
一元二次方程的项和各项系数
ax2+bx+c=0-7x+3=0
x2-5x =0
2x2-5x-11=0
温馨提示：某一项的系数包括它前面的符号。
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
解：移项：ax2 -2bx+a-2x2 =0
合并同类项：(a-2)x2-2bx+a=0
所以，当a≠2时是一元二次方程；
(2) x表示长方形的实际宽,不可能小于0
(3)不可能,因为长与宽的和是15, x可能大于15.
(1)根据题意列方程。 (2)x可能小于0吗？说出理由. (3)x可能大于15吗？说出理由. (4)能否想一个办法求得长方形的长x?
x
15-x
x
1
2
3
4
5
6
7
x2 -15x+54
40
认识一元二次方程 北师大版九年级数学上册
课堂练习
1. 下表是某同学求代数式x²－x的值的情况，根据表格可知方 程x²－x＝2的解是( D )
x x2－x
－2 －1 0 1 2 3 …
6
2 0026…
A. x＝－1 C. x＝2
B. x＝0 D. x1＝－1，x2＝2
课堂练习
2. 根据表格，选取一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一 个近似解取值范围（ C ）
解：设所求的宽度为 x m，根据 题意可列方程：
(8 - 2x) (5 - 2x) =18
新知讲解
x 满足方程（8-2x）（5-2x）=18．
（1）x 可能小于 0 吗？可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？说说 你的理由.
x 不可能小于 0，因为当x＜0时，不符合题意； 不可能大于4，因为当x＞4时，8-2x＜0，不符合题意； 不可能大于2.5，因为当x＞2.5时，5-2x＜0不符合题意.
2.1 认识一元二次方程
新知导入
1. 什么是一元二次方程？ 只含有一个未知数 x 的整式方程 1 ，并且都可以化成ax²+bx +c ＝0（a,b,c 为常数,a ≠ 0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
2. 把一元二次方程3x²+2x=5化成一元二次方程的一般形式， 并说出它的二次项、一次项系数和常数项．
1 ＜ x＜1.5
x²+12x -15=0
新知讲解
你还能进一步
缩小范围吗？ （3）你能猜出滑动距离 x（m）的大致范围吗？
x
x²+12x-15=0
1.1 -0.59
1.2 0.84
1.3 2.29
1.4 3.75
北师大版九年级数学上册《认识一元二次方程》课件
化成一般形式为: x2 -3x+2=0
根据题意得x的范围是:0 < x ≤ 6
x
12 3 456
x2 -3x+2
0 0 2 6 12 20
x =1 或 x=2 当x =1 时这个两位数是15
当x =2时这个两位数是24
练习：
解设苗圃的宽为x,则长为(x+2)根据题意得:
通过上表，你能确定方程2x2 –13x+11=-4的一个解吗？
方程2x2 –13x+11=-7的一个解呢？
一个长为10m的梯子斜靠在墙上， 梯子的顶端到地面的垂直距离为 8m，如果梯子的顶端下滑1m，那 么梯子的底端向右滑动多少米？
1.滑动前，梯子的底端距离墙 6 m 2.滑动过程中，梯子的长度有没有变？ 3.滑动后梯子的顶端距离地面 7 m
一名跳水运动员进行10米跳台跳水训练,在正常的情况 下,运动员必须在距水面5米以前完成规定的翻腾动作,并 且调整好入水姿势,否则就容易出现失误,假设运动员起 跳后的运动时间t(s)为和运动员距水面的高度h(m)满足 关系: h=10+2.5t-5t2 , 那么他最多有多长的时间完成规 定的动作?
解:要完成规定动作最多的时间是h=5时
1.下列x的值是方程3x2-8x-3=0的解的是（ ）
A、-1 B、0 C、3 D、5
2.已知一长方形的长比宽多2米，面积为8米2.
若设此长方形的长为x米，根据题意，可列
方程是
.它的解是（ ）
A、-2 B、0 C、1 D、4
有一根外带有塑料皮长为100m的电线，不知什 么原因中间有一处不通，现给你一只万用表 （能测量是否通）进行检查，你怎样快速地找 到这一断裂处？
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程《认识一元二次方程》教案1
2．1 认识一元二次方程教案 第1课时 一元二次方程1．了解一元二次方程的概念；(重点)2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)，能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式；(重点)3．能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型．(难点)一、情景导入一个面积为120m 2的矩形苗圃，它的长比宽多2m ，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为x m ，则长为(x ＋2)m. 根据题意，得x (x ＋2)＝120. 所列方程是否为一元一次方程？(这个方程便是即将学习的一元二次方程．) 二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念 【类型一】 判定一元二次方程下列方程中，是一元二次方程的是________(填入序号即可)． ①4y2－y ＝0；②2x 2－x －3＝0；③x21＝3； ④x 2＝2＋3x ；⑤x 3－x ＋4＝0；⑥t 2＝2； ⑦x 2＋3x －x 3＝0；⑧＝2.解析：由一元二次方程的定义知③⑤⑦⑧不是，答案为①②④⑥.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程．【类型二】 根据一元二次方程的概念求字母的值a 为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax 2－x ＝2x 2－ax －3；(2)(a －1)x |a |＋1＋2x －7＝0.解析：(1)将方程转化为一般形式，得(a －2)x 2＋(a －1)x ＋3＝0，所以当a －2≠0，即a ≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a |＋1＝2，且a －1≠0知，当a ＝－1时，原方程是一元二次方程．解：(1)当a ≠2时，方程ax 2－x ＝2x 2－ax －3为一元二次方程； (2)因为|a |＋1＝2，所以a ＝±1.当a ＝1时，a －1＝0，不合题意，舍去．所以当a ＝－1时，原方程为一元二次方程．方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．【类型三】 一元二次方程的一般形式把下列方程转化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：(1)x (x －2)＝4x 2－3x ；(2)3x2－2x ＋1＝2－x －1；(3)关于x 的方程mx 2－nx ＋mx ＋nx 2＝q －p (m ＋n ≠0)．解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母，去括号，移项，合并同类项”等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数项．解：(1)去括号，得x 2－2x ＝4x 2－3x .移项、合并同类项，得3x 2－x ＝0.二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为0；(2)去分母，得2x 2－3(x ＋1)＝3(－x －1)．去括号、移项、合并同类项，得2x 2＝0.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0；(3)移项、合并同类项，得(m ＋n )x 2＋(m －n )x ＋p －q ＝0.二次项系数为m ＋n ，一次项系数为m －n ，常数项为p －q .方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘－1，使二次项系数变为正数；(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx ，则b ＝0；若没有出现常数项c ，则c ＝0.探究点二：建立一元二次方程模型如图，现有一张长为19cm ，宽15cm 的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm 2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程．解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程．解：设需要剪去的小正方形边长为x cm ，则纸盒底面的长方形的长为(19－2x )cm ，宽为(15－2x )cm.根据题意，得(19－2x )(15－2x )＝81.整理，得x 2－17x ＋51＝0(x ＜215)．方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程．在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的取值范围．三、板书设计一元二次方程 项系数和一次项系数 常数项，a ，b 分别称为二次本课通过丰富的实例，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想．通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣.第2课时 一元二次方程的解及其估算1．经历一元二次方程的解或近似解的探索过程，增进对方程解的认识；(重点) 2．会用“夹逼法”估算方程的解，培养学生的估算意识和能力．(难点)一、情景导入在上一课时情境导入中，苗圃的宽满足方程x (x ＋2)＝120，你能求出该方程的解吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的解下列哪些数是方程x 2－6x ＋8＝0的根？ 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.解析：把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别代入方程x 2－6x ＋8＝0中，发现当x ＝2和x ＝4时，方程x 2－6x ＋8＝0成立，所以x ＝2，x ＝4是方程x 2－6x ＋8＝0的根．解：2，4是方程x 2－6x ＋8＝0的根．方法总结：(1)使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根．(2)判断一个数是否为某个一元二次方程的根，我们只需要将这个数当作未知数的值分别代入原方程的左右两边，看左右两边代数式的值是否相等，若相等，则这个数是一元二次方程的根；若不相等，则这个数不是一元二次方程的根．探究点二：估算一元二次方程的近似解请求出一元二次方程x 2－2x －1＝0的正数根(精确到0.1)．解析：先列表取值，初步确定正数根x 在哪两个整数之间，然后再用类似的方法逐步确定出x 的近似正数根．解：(1)列表，依次取x＝0，1，2，3，…由上表可发现，当2＜x＜3时，－1＜x－2x－1＜2；(2)由上表可发现，当2.4＜x＜2.5时，－0.04＜x－2x－1＜0.25；(3)取x＝2.45，则x2－2x－1≈0.1025.∴2.4＜x＜2.45，∴x≈2.4.方法总结：(1)利用列表法估算一元二次方程根的取值范围的步骤是：首先列表，利用未知数的取值，根据一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)分别计算ax2＋bx＋c的值，在表中找到使ax2＋bx＋c可能等于0的未知数的大致取值范围，然后再进一步在这个范围内取值，逐步缩小范围，直到所要求的精确度为止．(2)在估计一元二次方程根的取值范围时，当ax2＋bx＋c(a≠0)的值由正变负或由负变正时，x的取值范围很重要，因为只有在这个范围内，才能存在使ax2＋bx＋c＝0成立的x的值，即方程的根．三、板书设计一元二次方程的解的估算，采用“夹逼法”：(1)先根据实际问题确定其解的大致范围；(2)再通过列表，具体计算，进行两边“夹逼”，逐步获得其近似解．“估算”在求解实际生活中一些较为复杂的方程时应用广泛．在本节课中让学生体会用“夹逼”的思想解决一元二次方程的解或近似解的方法．教学设计上，强调自主学习，注重合作交流，在探究过程中获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新的能力.。
)北师大版九年级数学上册教案：2.1认识一元二次方程
-通过生活中的实际例子（如抛物线运动的物体高度问题）引导学生抽象出一元二次方程。
-通过图示和表格，帮助学生直观理解判别式与方程解的关系，如Δ > 0时的两个不等实数解，Δ = 0时的一个重根，Δ < 0时的无实数解。
-对于配方法，通过动画或实物操作，逐步展示配方的步骤，让学生能够直观感受配方法的过程。
1.培养学生运用数学语言描述现实问题的能力，通过实际问题抽象出一元二次方程，提高数学抽象素养。
2.培养学生运用逻辑推理分析问题、解决问题的能力，通过掌握一元二次方程的求解方法，增强逻辑推理素养。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，通过分析实际问题中的一元二次方程应用，提高数学建模素养。
4.培养学生合作交流、探索创新的能力，鼓励学生在学习过程中积极思考、互动讨论，发展数学探究素养。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0（a，b，c是常数，且a ≠ 0）的方程。它在数学和实际生活中有着广泛的应用，如求解物体的运动轨迹、计算最大面积等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例，如求解一个抛物线与直线交点的横坐标，这个案例展示了一元二次方程在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.一元二次方程的判别式：Δ 来自 b^2 - 4ac，以及判别式与方程解的关系。
4.一元二次方程的求解方法：直接开平方法、配方法、公式法等。
5.举例说明一元二次方程在实际问题中的应用。
本节课旨在帮助学生掌握一元二次方程的基本概念和求解方法，并理解其实际意义。
二、核心素养目标
认识一元二次方程(解析版)-九年级数学(北师大版)
第08讲认识一元二次方程1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义；2．会把一元二次方程化为一般形式．一、一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.二、一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．要点：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.三、一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.考点1：一元二次方程的概念例1．下列方程①x 2﹣5x ＝2022，②20ax bx c ++=，③2316x x +=，④2(2)(6)1x x x -+=+，一定是关于x 的一元二次方程的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．解：①x 2﹣5x ＝2022，是一元二次方程；②20ax bx c ++=，当a =0时不是一元二次方程；③2316x x +=，是一元二次方程；④()()2261x x x -+=+，整理后不含二次项，不是一元二次方程，所以，一定是关于x 的一元二次方程的是①③，共2个，故选：B【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx +c =0（a ≠0）．特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．例2．下列叙述正确的是（）A ．形如20ax bx c ++=的方程叫一元二次方程B ．方程2434x x +=不含有常数项C ．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为0D ．()230y -=是关于y 的一元二次方程【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式，形如20(a 0)++=≠ax bx c 的方程叫一元二次方程，可得答案．解：A ．形如20(a 0)++=≠ax bx c 的方程叫一元二次方程，故A 不符合题意；B ．方程2434x x +=的一般形式是24340x x +-=，常数项是4-，故B 不符合题意；C ．一元二次方程中，二次项系数不能为0，一次项系数及常数项可以为0，故C 不符合题意；D ．()230y -=是关于y 的一元二次方程，故D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程的一般形式是解题关键．例3．下列方程中，是一元二次方程的有（）个①25x x =；②()22360x --=；③21x =；④27(2)7x x x -=；⑤2120x x+-=．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义判断，应仅有一个未知数，且是最高次数为2的整式方程．①变形为250x x -=，是一元二次方程；②()22360x --=，整理变形为42063x x -+=，最高次数为4，不是一元二次方程；③21x =，变形为210x -=，是一元二次方程；④27(2)7x x x -=变形为140x =，不是一元二次方程；⑤2120x x+-=，是分式方程；故①③满足，共有2个一元二次方程故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程，一元二次方程应仅有一个未知数，且是最高次数为2的整式方程．例4．下面关于x 的方程中：①220ax x ++=；②()()223911x x --+=；③1x x x+=；④20x a -=（a 1x =-．一元二次方程的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解：①220ax x ++=，0a =时不是一元二次方程；②223(9)(1)1x x --+=是一元二次方程；③13x x +=是分式方程；④20(x a a -=为任意实数）是一元二次方程；1x =-，是根式方程，是无理方程，不是一元二次方程；综上所述，一元二次方程的个数是2个，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．考点2：一元二次方程的一般形式例5．把一元二次方程(1)(1)3x x x +-=化成一般形式，正确的是（）A ．2310x x --=B ．2310x x -+=C ．2310x x +-=D ．2310x x ++=【答案】A【解析】【分析】先把方程的左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为2310,x x --=从而可得答案．解：∵(1)(1)3x x x +-=，∴213,x x -=2310,x x \--=∴方程的一般形式为：2310,x x --=故选A【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式：()200++=≠ax bx c a ”是解本题的关键．例6．方程2x 2﹣5x ＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A ．2，5，4B ．2，﹣5，4C ．﹣2，﹣5，4D ．2，﹣5，﹣4【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的概念及一般形式即可判断，一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c =0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．解：∵方程2x 2﹣5x ＝4化成一般形式是2x 2﹣5x ﹣4＝0，∴二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为﹣4．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．例7．把2(2)43x x x x -=-化成一般形式为__________，二次项系数为__________，一次项系数为__________，常数项为__________．【答案】230x x -=31-0【解析】【分析】原式去括号、移项、合并同类项，写出二次项系数，一次项系数，常数项即可．解：2(2)43x x x x -=-，，去括号：22243x x x x -=-，移项合并同类项：230x x -=，∴二次项系数为：3；一次项系数为：1-，常数项为：0；故答案为：230x x -=；3；1-；0．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式为：20(a 0)++=≠ax bx c 是解题的关键．例8．把一元二次方程(()2210x x x +-=化成一般形式，正确的是（）A ．25440x x +=-B ．25440x x --=C ．25210x x -+=D ．25460x x -+=【答案】B【解析】【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式去括号，进而得出答案．解：(()2210x x x +-=，去括号得：x 2-5+4x 2-4x +1=0，整理得：5x 2-4x -4=0．故选：B ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确应用乘法公式是解题关键．考点3：根据一元二次方程的概念确定参数例9．已知（m －1）21m x+＋3x －5＝0是一元二次方程，则m ＝________．【答案】－1【解析】【分析】根据一元二次方程的定义m -1≠0，且212m +=，解答即可．∵（m －1）21m x +＋3x －5＝0是一元二次方程，∴m -1≠0，且212m +=，∴m -1≠0，且1,1m m ==-，∴1m =-，故答案为：-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数项的次数最高是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．例10．当m =___________时，方程(2150m m x mx --+=是一元二次方程．【解析】【分析】根据一元二次方程的定义解答．∵(2150m m x mx --+=是一元二次方程，∴212m -=且0m ≠，解得m =【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是20ax bx c ++=（且0a ≠）．特别要注意0a ≠的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．例11．关于x 的方程||1(1)50+--+=k k xx 是一元二次方程，则k =________．【答案】1-【解析】【分析】直接利用一元二次方程的定义得出最高次数为2，最高次项系数不为0进而求出即可．解： 关于x 的方程||1(1)50+--+=k k x x 是一元二次方程，1012k k ì-¹ï\í+=ïî①②由①得：1,≠k 由②得：1,k =±所以 1.k =-故答案为：1-【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数与系数是解题关键．例12．若方程22(2)(3)20m m x m x --+--=是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．【答案】2-【解析】【分析】根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高指数是2的整式方程,且二次项系数不等于0,即可进行求解,由题意得:22022m m -≠⎧⎨-=⎩解得:m =-2.故答案为：2-【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义.例13．如果关于x 的一元二次方程()223390m x x m -++-=，有一个解是0，那么m的值是（）A ．3B ．3-C ．3±D ．0或3-【答案】B【解析】【分析】把x =0代入方程（m -3）x 2+3x +m 2-9=0中，解关于m 的一元二次方程，注意m 的取值不能使原方程对二次项系数为0．解：把x =0代入方程（m -3）x 2+3x +m 2-9=0中，得m 2-9=0，解得m =-3或3，当m =3时，原方程二次项系数m -3=0，舍去，∴m =-3故选：B ．【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键.例14．要使方程()()2310a x b x c -+++=是关于x 的一元二次方程，则（）A ．a ≠0B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠﹣1D ．a ≠3且b ≠﹣1且c ≠0【答案】B【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a -3≠0，a ≠3．故选B ．【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c =0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．当a =0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b =0或c =0时，上面的方程在a ≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程．例15．关于x 的方程（m 2﹣4）x 2＋（m ﹣2）x ﹣2＝0，当m 满足______时，方程为一元二次方程，当m 满足______时，方程为一元一次方程．【答案】2m ≠±2m =-【解析】【分析】分别根据一元二次方程和一元一次方程的定义列式求解即可.解：由题意得：m 2﹣4≠0，解得：2m ≠±，即当2m ≠±时，方程为一元二次方程；由题意得：m 2﹣4＝0，且m ﹣2≠0，解得：m ＝﹣2，即当m ＝﹣2时，方程为一元一次方程．故答案为：2m ≠±；m ＝﹣2．【点睛】此题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程是通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程；一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．例16．关于x 的一元二次方程2(1)2||10m x x m -++-=，常数项为0，求m 的值．下面是小莉和小轩的解题过程：小莉：由题意，得||10m -=，所以1m =±．小轩：由题意，得||10m -=，且10m -≠，所以1m =-．其中解题过程正确的是（）A ．两人都正确B ．小轩正确，小莉不正确C ．小莉正确，小轩不正确D ．两人都不正确【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和绝对值的性质进行计算，然后即可得出答案．由题意，得||10m -=，且10m -≠，解得1m =-．故小轩正确，小莉不正确．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，得出关于m 的方程是解题关键．考点4：一元二次方程的解例17．若关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=有一个解为1x =-，则m 的值是（）A ．1B ．3C ．－3D ．4【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x =-1代入一元二次方程可得到关于m 的一元一次方程，然后解一元一次方程即可．解：把x =-1代入x 2-2x +m =0得1+2+m =0，解得m =-3．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．例18．若关于x 的一元二次方程22(3)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．12【答案】C【解析】【分析】将0x =代入22(3)10a x x a -++-=中，求出a 的值，再根据30a -≠，即可确定a 的值．将0x =代入22(3)10a x x a -++-=中210a -=解得1a =±∵这是关于x 的一元二次方程∴30a -≠解得3a ≠故1a =±故答案为：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程解得定义、一元二次方程的定义是解题的关键．例19．已知x 的方程x 2﹣4x +c ＝0的一个根，则c 的值为（）A ．2B ．C ．1D ．﹣1【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x ＝x 的方程x 2﹣4x +c ＝0，列出关于c 的新方程，通过解新方程来求c 的值．解：∵x 的方程x 2﹣4x +c ＝0的一个根，∴x 2﹣4x +c ＝0，∴（2﹣4（+c ＝0，解得c ＝1．故选：C ．【点睛】此题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解的定义．考点5：根据一元二次方程的解整体代换及相关变形例20．若m 是方程22310x x --=的一个根，则2462021m m -+的值为_____．【答案】2023【解析】【分析】由题意知22310m m --=，即2231m m -=，再将2462021m m -+整理并将2231m m -=整体代入计算求解即可．解：由题意知：22310m m --=，即2231m m -=，∴2462021m m -+()22232021m m =-+212021=⨯+=2023．故答案为：2023．【点睛】本题考查了一元二次方程的解及代数式的求值的知识，解题的关键在于理解一元二次方程的解的定义．例21．若关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=≠有一根为2022，则方程()()2115a x b x +++=-必有根为（）A ．2022B ．2020C ．2019D ．2021【答案】D【解析】【分析】设1t x =+，即()()2115a x b x +++=-可改写为250at bt ++=，由题意关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=≠有一根为2022x =，即250at bt ++=有一个根为2022t =，所以12022x +=，x =2021．由()()2115a x b x +++=-得到()()21150a x b x ++++=，对于一元二次方程()()2115a x b x +++=-，设1t x =+，所以250at bt ++=，而关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=≠有一根为2022x =，所以250at bt ++=有一个根为2022t =，则12022x +=，解得2021x =，所以一元二次方程()()2115a x b x +++=-有一根为2021x =．故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．例22．已知a 是方程2202210x x -+=的一个根，则22202220211a a a -++的值为（）．A ．12022B ．2022C ．2021D ．无法计算【答案】C【解析】【分析】先根据一元二次方程的解的定义，得到2202210a a -+=，然后将其变形得到a 2=2022a -1，a 2+1=2022a ，最后整体代入代数式求值即可．解：∵a 是关于x 的一元二次方程2202210x x -+=的一个根，∴2202210a a -+=，∴a 2=2022a -1，a 2+1=2022a ，∴原式=2022a -1-2021a +20222022a=a -1+1a =211a a +-=2022a a-1=2021，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，分式的运算，整体代入求代数式的值，关键是运用整体代入的思想．例23．关于x 的方程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m ，n ，且(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54，则a 的值为______．【答案】32/1.5【解析】【分析】根据方程根的定义得到223am bm -=，223an bn -=，然后把(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54变形后，利用整体代入，得到关于a 的一元二次方程，解方程后去掉不合题意的解即可．解：∵关于x 的方程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m ，n ，∴2230am bm --=，2230an bn --=∴223am bm -=，223an bn -=∵(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54，∴[2（am 2－2bm ＋a ）][3(an 2－2bn )－2a ]＝54∴2(3)(92)54a a +-=解得0a =或32a =∵ab ≠0∴a ，b 均为非零实数，∴32a =故答案为：32【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入的方法，熟练掌握整体代入的方法是解题的关键．考点6：试根法和利用整体未知数求解方程的解法例24．若方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）中，a ，b ，c 满足a +b +c =0和a ﹣b +c =0，则方程的根是（）A ．1，0B ．﹣1，0C ．1，﹣1D ．无法确定【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论．解：∵20(a 0)++=≠ax bx c ，把1x =代入得：0a b c ++=，即方程的一个解是1x =，把1x =-代入得：0a b c -+=，即方程的一个解是1x =-；故选：C ．【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．例25．关于x 的方程()2220k x kx +--=必有一个根为（）A ．x=1B ．x=-1C ．x=2D ．x=-2【答案】A【解析】【分析】分别把1x =，1-，2，2-代入()2220k x kx +--=中，利用一元二次方程的解，当k 为任意值时，则对应的x 的值一定为方程的解.解：A 、当1x =是，220k k +--=，所以方程()2220k x kx +--=必有一个根为1，所以A选项正确；B 、当1x =-时，220k k ++-=，所以当0k =时，方程()2220k x kx +--=有一个根为1-，所以B 选项错误；C 、当2x =时，48220k k +--=，所以当3k =时，方程()2220k x kx +--=有一个根为2，所以C 选项错误；D 、当2x =-时，48220k k ++-=，所以当1k =-时，方程()2220k x kx +--=有一个根为2-，所以D 选项错误.故选：A【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，将选项分别代入方程求解是解题的关键.例26．若关于x 的一元二次方程()2300ax bx a +-=≠有一个根为2021x =，则方程2(1)3a x bx b -+-=必有一根为（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【答案】D【解析】【分析】把2(1)3a x bx b -+-=化为：()()21130,a x b x -+--=再结合题意可得12021,x -=从而可得方程的解.解：2(1)3a x bx b -+-=可化为：()()21130,a xb x -+--=关于x 的一元二次方程()2300ax bx a +-=≠有一个根为2021x =，∴把1x -看作是整体未知数，则12021,x -=2022,x =即2(1)3a x bx b -+-=有一根为2022.x =故选D【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键.例27．如果a ，b ，k 均为整数，则满足下面等式()()218x a x b x kx ++=++的所有k的取值有()A ．2个B ．3个C ．6个D ．8个【答案】C【解析】【分析】先把等式左边展开，由对应相等得出a +b =k ，ab =18；再由a ，b ，k 均为整数，求出k 的值即可．解：∵（x+a ）（x+b ）=x 2+kx+18，∴x 2+（a+b ）x+ab=x 2+kx+18，∴a+b=k ，ab=18，∵a ，b ，k 均为整数，∴a=±1，b=±18，k=±19；a=±2，b=±9，k=±11；a=±3，b=±6，k=±9；故k 的值共有6个，故选C ．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，是基础知识要熟练掌握．例28．两个关于x 的一元二次方程2c 0ax bx ++=和2a 0cx bx ++=，其中a ，b ，c 是常数，且a c 0+=，如果2020x =是方程2c 0ax bx ++=的一个根，那么下列各数中，一定是方程2a 0cx bx ++=的根的是（）A ．±2020B ．12020-C ．-2020D ．1 2020【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．∵0a ≠，0c ≠，a+c=0∴1c a=-，∵ax 2+bx+c=0和cx 2+bx+a=0，∴20b c x x a a ++=，210c b x x a a ++=，∴210b x x a +-=，210b x x a--=，∵2020x =是方程20ax bx c ++=的一个根，∴2020x =是方程210b x x a+-=的一个根，∴2020x =-是方程210b x x a --=的一个根，即2020x =-是方程20cx bx a ++=的一个根故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念．考点7：复杂的一元二次方程的解的求值及其他问题例29．若关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）满足a ﹣b +c ＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a 2x 2﹣2021ax +1＝0（a ≠0）是“天宫”方程，求a 2+2022a +220211a a +﹣20211a a +的值是___．【答案】2023-【解析】【分析】利用新定义得到“天宫”方程的一个解为1x =-，则2202110a a ++=，然后利用整体代入的方法计算．解：∵关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）满足a ﹣b +c ＝0，∴“天宫”方程的一个解为1x =-，方程22202110(0)a x ax a -+=≠是“天宫”方程，2202110a a ∴++=，220211a a ∴+=-，212021a a +=-，220211a a +=-，∴2220212022120211a a a a a a ++-++2220212021120211a a a a a a a =+++-++2202112021a a a a a =-++---111a a =-+-+12a a=+-212a a+=-20212a a-=-20212=--2023=-．故答案为：2023-．【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决本题的关键．例30．若(),a b a b <是关于方程()()()10x m x n m n --+=<的两个实数根，则实数,,,a b m n 的大小关系是（）A ．a b m n<<<B ．m n a b <<<C ．a m n b <<<D ．m a b n<<<【答案】D【解析】【分析】利用a 是关于x 的一元二次方程（x-m ）（x-n ）+1=0的根得到（a-m ）（a-n ）=-1＜0，进而判断出m ＜a ＜n ，同理判断出m ＜b ＜n ，即可得出结论．解：∵a 是关于x 的一元二次方程（x-m ）（x-n ）+1=0的根，∴（a-m ）（a-n ）+1=0，∴（a-m ）（a-n ）=-1＜0，∵m ＜n ，∴m ＜a ＜n ，同理：m ＜b ＜n ，∵a ＜b ，∴m ＜a ＜b ＜n ．故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解的定义，不等式的性质，判断出（a-m ）（a-n ）＜0是解本题的关键．例31．设a 、b 是整数，方程x 2+ax +b =022a b ab +的值为（）A ．2B ．0C ．-2D ．-1【答案】C【解析】【分析】，再代入方程x 2+ax +b =0并整理，根据题意列出二元一次方程组并求解求得a 和b 的值，再代入计算即可．==1．∵方程x 2+ax +b =0，∴2+b =0．∴))2110a b +-+=．∴(()240a a b --+=．∵a 、b 是整数，∴20,40a a b -=⎧⎨-+=⎩．解得2,2a b =⎧⎨=-⎩．∴22a b ab +=()()222222+-⨯-=2-．故选：C ．【点睛】本题考查二次根式的化简，一元二次方程的解，二元一次方程组的应用，正确构造二元一次方程组是解题关键．考点8：一元二次方程的解的估算例32．根据表格估计方程x 2+2x =6其中一个解的近似值．x1.63 1.64 1.65 1.66…x 2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756…根据表格，求方程x 2+2x =6的一个解大约是______（精确到0．01）【答案】1.65【解析】【分析】先根据表中所给的数，再与6相减，然后所得的值进行比较，差值越小的越接近方程的解．解：6-5.9696=0.0304， 6.0225-6=0.0225，∵0.0304＞0.0225，∴6.0225比5.9696更逼近6，∴方程x 2+2x =6的一个解大约是1.65，故答案为：1.65．【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是找出表中与6最接近的数，算出差额，再比较，相差越小的数越比较接近．∴2320220m m +-=，且m ≠0，∴32320220m m m +-=，则有原式=322(32022)(32022)000m m m m m +--+-=-=，故选：B ．【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m 为2320220x x +-=得到2320220m m +-=是解答本题的关键．二、填空题4．（2019·四川资阳·统考中考真题）a 是方程224x x =+的一个根，则代数式242a a -的值是_______．【答案】8【分析】直接把a 的值代入得出224a a -=，进而将原式变形得出答案．【解析】解：∵a 是方程224x x =+的一个根，∴224a a -=，∴22422(2)248a a a a -=-=⨯=．故答案为8．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．5．（2018·湖北荆门·统考中考真题）已知x =2是关于x 的一元二次方程kx 2+（k 2﹣2）x +2k +4=0的一个根，则k 的值为_____．【答案】﹣3【分析】把x =2代入kx 2+（k 2﹣2）x +2k +4=0得4k +2k 2﹣4+2k +4=0，再解关于k 的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k 的值即可．【解析】把x =2代入kx 2+（k 2﹣2）x +2k +4=0得4k +2k 2﹣4+2k +4=0，整理得k 2+3k =0，解得k 1=0，k 2=﹣3，因为k ≠0，所以k 的值为﹣3．故答案为﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（）二、填空题11．若方程22--=-+的二次项系数是4，则方程的一次项系数是______，常数533x x x x项是_______．【答案】2-0【分析】先将方程化为一般形式，然后得出答案即可．18．若m 是关于x 的方程2202310x x -+=的根，则()()222023420235m m m m -+⋅--的值为______．【答案】18-【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2202310m m -+=，变形得220231m m -=-，然后整体代入的方法计算．【解析】解：根据题意得2202310m m -+=，所以220231m m -=-，所以()()222023420235m m m m -+⋅--()()1415=-+⨯--18=-．故答案为：18-．【点睛】本题考查一元二次方程的解以及整体代入思想，掌握整体代入思想是解题的关键．故答案为：±3．（2）解：∵（﹣3x2+6x﹣5）－（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+4x﹣8＝﹣2（x﹣1）2﹣6＜0，∴﹣3x2+6x﹣5＜﹣x2+2x+3，（﹣3x2+6x﹣5）*（﹣x2+2x+3）＝（﹣3x2+6x﹣5）﹣3（﹣x2+2x+3）＝﹣3x2+6x﹣5+3x2﹣6x﹣9＝﹣14，∵化简后的结果与x取值无关，∴不论x取何值，结果都应该等于﹣14，不可能等于40，∴小华说小明计算错误．【点睛】本题考查解一元二次方程的能力和新定义的应用，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．。
北师大版数学九年级上册 认识一元二次方程
第二章一元二次方程1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程的定义1.探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识.2.在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系.3.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.【教学重点】一元二次方程的概念.【教学难点】如何把实际问题转化为数学方程.一、情境导入,初步认识问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？你能设出未知数，列出相应的方程吗？【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫.二、思考探究，获取新知你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？（1）(100-2x)(50-2x)＝3600（2）（x+6）2+72=102【教学说明】分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2.【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程；一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.活动中教师应重点关注：(1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点；(2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义；(3)强调定义中体现的3个特征：①整式；②一元；③2次.【教学说明】让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的.三、运用新知，深化理解1.下列方程是一元二次方程的有_______.（1）x2+1/x-5=0 （2）x2-3xy+7=0（3）=4 （4）m3-2m+3=0x2-5=0 （6）ax2-bx=4（5）2解答：（5）2.已知方程（m+2）x2+（m+1）x-m=0，当m满足_______时，它是一元一次方程；当m满足_______时，它是一元二次方程.解析：当m+2=0，即m=-2时，方程是一元一次方程；当m+2≠0，即m≠-2时，方程是一元二次方程.解答：m=-2 m≠-23.一元二次方程（x+1）2-x=3（x2-2）化成一般形式是_______.解析：一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0），对照一般形式可先去括号，再移项，合并同类项，得2x2-x-7=0.解答：2x2－x－7=04.把方程-5x2+6x+3=0的二次项系数化为1，方程可变为（）A.x2+6/5x+3/5=0B.x2-6x-3=0C.x2-6/5x-3/5=0D.x2-6/5x+3/5=0解析：注意方程两边除以-5，另两项的符号同时发生变化.解答：C5.已知（m+3）x2-3mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是_______.解答：m≠-36.把方程(1-3x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项.解：原方程化为一般形式是：5x2+8x-2=0，其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是-2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的符号).7.关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程，m应满足什么条件？分析：先把这个方程化为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.解：由mx2-3x=x2-mx+2得到（m-1）x2+（m-3）x-2=0,所以m-1≠0，即m ≠1.所以关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程，m应满足m≠1.【教学说明】这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中3个特征的理解，进一步巩固学生对一元二次方程的基本概念的理解.四、师生互动、课堂小结本节课你学到了哪些内容和方法？【教学说明】小结反思中，不同学生有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，为每个学生创造数学活动中获得活动经验的机会.1.布置作业：教材“习题2.1”中第1、2题.2.完成练习册中相应练习.本节课是一元二次方程的第一课时，通过对本节课的学习，学生将掌握一元二次方程的定义、一般形式及有关概念，并学会利用方程解决实际问题.在教学过程中，注重重难点的体现.本节课内容对于学生整个中学阶段的数学学习有着重大的意义，能否学好关系到日后学习的成败，因此必须要让学生吃透内容并且能够真正消化.第2课时一元二次方程的根及近似解1.会进行简单的一元二次方程的试解.2.根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目.3.理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力.【教学重点】判定一个数是否是方程的根.【教学难点】会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义.一、情境导入，初步认识学生活动：请同学独立完成下列问题.问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？设梯子底端距墙为xm，那么，根据题意，可得方程为x2+82=102.整理，得x2-36=0.列表：问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为（x+2）m.根据题意，得x（x+2）=120.整理，得x2+2x-120=0.列表：【教学说明】通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围.二、思考探究，获取新知提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？（2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？（1）问题1中x=6是x2-36=0的解；问题2中，x=10是x2+2x-120=0老师点评：的解.（2）如果抛开实际问题，问题1中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解.为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根.回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是-6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也不满足题意.【教学说明】由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.三、运用新知，深化理解1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把它代入等式，看它是否能使等式两边相等即可.解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2014(a+b+c)的值.分析:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这一点同学们要深刻理解.3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0（2）3x2-6=0（3）x2-3x=0分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义来求解.4.x（x-1）=2的两根为（D）A.x1=0，x2=1B.x1=0，x2=-1C.x1=1，x2=2D.x1=-1，x2=25.方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（B）A.x1=b，x2=aB.x1=b，x2=1/aC.x1=a，x2=1/aD.x1=a2，x2=b26.如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1= 9 ，x2= -9 .7.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值.解：由已知，得a+b=-3，原式=（a+b）2=（-3）2=98.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根.解：由题意可知：a+c=b，a-b+c=0，把x=-1代入原方程，得ax2+bx+c=a×（-1）2+b×（-1）+c=a-b+c=0∴-1必是该方程的一个根.9.在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（21xx-）2-2×21xx-+1=0，令21xx-=y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法）解决小明给出的问题：求（x2-1）2+（x2-1）=0的根.解：设y=x2-1，则y2+y=0，y1=0，y2=-1，当x2-1=0时，x1=1，x2=-1；当x2-1=-1时，x3=x4=0.∴x1=1，x2=-1，x3=x4=0是原方程的根.【教学说明】让学生先独立完成，而后将不会的问题同各小组交流讨论得出结果.四、师生互动，课堂小结本节课应掌握：1.一元二次方程根的概念；2.一个数是否是一元二次方程的根的判断方法；3.求一元二次方程的根的方法.1.布置作业：教材“习题2.2”第1、2题.2.完成练习册中相应练习.本节课通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围，从而会进行简单的一元二次方程的解的计算.。
北师大版九年级数学上册 (认识一元二次方程)一元二次方程教学课件
9x2 + 12x + 4 = 4x2 - 24x + 36
一次项系数：36
5x2 + 36x - 32 = 0
常数项：-32
还有其他方法吗？
思考
你能设法估计问题一中四周未铺地毯部分的宽度 x (m) 吗？ 我们知道，x 满足方程 ( 8 - 2x )( 5 - 2x ) = 18. (1) x 可能小于 0 吗？可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？说说你的理由. x 小于 0 时，( 8 - 2x ) > 8，( 5 - 2x ) > 5，( 8 - 2x )( 5 - 2x ) > 40. 故不可能. x 大于 4 时，( 8 - 2x )小于0，不符合实际， x 大于 2.5 时， ( 5 - 2x ) 小于0，不符合实际. (2) 你能确定 x 的大致范围吗？ 0 < x < 2.5.
……
得左边的计算结果大于右边的计
求得近似解
算结果，那么方程的解就在这两 个值之间．
第二章 一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
情景导入
一个面积为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，苗圃的长 和宽各是多少？ 解：设苗圃的宽为x m，则长为(x＋2)m. 根据题意，得x(x＋2)＝120.
所列方程是否为一元一次方程？
例4 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别 指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3； 一次项是-8x,系数是-8； 常数项是-10.
随堂练习
北师大版九年级数学上册认识一元二次方程
度为 (x－4) 尺,长为 (x－2)
尺,依题意得方程：
x
(x－4)2＋ (x－
2)2＝ x2
即 x2－12 x ＋20 ＝x－0 4
勇于开始，才能找到成
功的数路 学化 x－2
4尺
这节课我学到了什么？ 我的收获是……
我还有……的疑惑
拓展 提升
１．根据题意，列出方程：
（１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一 边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平
方和等于后两个数的平方和吗？
一 般
勇于开始，才化能找到成
功的路
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依
次可表示为： x＋1 ， x＋2 ， x＋3 ， x＋4 ．
根据题意，可得方程：
x2 ＋ (x＋1)2 ＋ (x＋ 2)2 ＝(x＋3)2 ＋ (x＋4)2 .
合作ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ流：3分钟
x２+（x+1)２+(x+2)２=(x+3)２+(x+４)２即 x2 － 8x －20 = 0 .
(8 － 2x)(５ － ２x)=18;即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 .
（ x＋６）２＋７２＝１０２即 x2 ＋12 x －15 ＝0.
1.你能说出这些方程都具有哪些共同特点吗？
北师大版九年级数学上 册认识一元二次方程
2020/8/20
第二章 一元二次方程
2.1认识一元二次方程(1)
学习目标
• 1、经历由具体问题抽象出一元二次方程概念的过 程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的有效 模型；