《电动力学第三版》chapter7_4切伦科夫辐射
《电动力学第三版》chapter4_7高斯光束
距腰部远处, 当 z k02 时, /2,因此在讨论
远处等相面时可略去 项. 远处等相面方程为
z x2 y2 常数 2z
1
由于当 z2>>x2＋y2时,
1x2z2y2
2
1x2 y2 2z2
等相面方程可写为
1
z1
x2 y2 z2
2
常数
或
r x2y2z2 常数
因此,在远处波阵面变为以腰部中点为球心的球面. 波 阵面从腰部的平面逐渐过渡到远处的球面形状 .
在远处(z >>k02)
z 2z
k0
波束的发散角由tan=/z
确定, 由上式得
2 k 0
注意当0愈小时,发散角愈大. 因此如果要求有良好 的聚焦(0小) ,则发散角必须足够大; 如果要求有良好的 定向(小) ,则宽度0不能太小.
例：0=1000时 , =(103/) rad.
偏离轴向的波矢横向分量为 kk ,满足 k =(1). 这
表示波的空间分布宽度与波矢横向宽度之间的关系 ,是波动现象 的一个普遍关系. 只有无限宽度的平面波才具有完全确定的波矢 , 任何有限宽度的射束都没有完全确定的波矢 .
以上我们分析了一种最简单的波模. 射束还可以有其他波模. 有些波模的径向分布不是简单高斯函数 ,另一些波模不具有轴 对称性. 这些波模的特点都是在横截面上含有一些波节(场强为 零之点) ,因而在横截面上光强显示出明暗相间的图样. 正如在 波导中的一般波动诗歌中波模的叠加一样,一般射束也可以分解 为各种波模的叠加. 具体情况系下产生的射束的形状由激发条 件决定.
g u0
1
2i kA
z
电动力学第三版答案
电动力学第三版答案第一章：静电学1.1 静电场静电场是由电荷所产生的场，它是一种无时间变化的电磁场。
静电场的性质可以通过电场强度、电势和电荷分布来描述。
电场强度表示单位正电荷所受到的力，并且是一个向量量。
在任意一点的电场强度可以通过库仑定律计算。
电势是单位正电荷所具有的势能，它是一个标量量。
电势可以通过电势差来定义，电势差是两点之间的电势差别。
1.2 电场的高斯定律电场的高斯定律是描述电场在闭合曲面上的通量与该闭合曲面内的电荷有关系的定律。
它可以通过以下公式表示：\[ \oint \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} \, ds =\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} \]其中，\(\mathbf{E}\) 是电场强度，\(\mathbf{n}\) 是曲面上的单位法向量，\(ds\) 是曲面上的微元面积，\(Q_{\text{enc}}\) 是闭合曲面内的总电荷，\(\varepsilon_0\) 是真空电容率。
1.3 电势电势是单位正电荷所具有的势能，它是一个标量量。
它可以通过电势差来定义，电势差是两点之间的电势差别。
电势可以通过以下公式计算：\[ V = - \int \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} \]其中，\(V\) 是电势，\(\mathbf{E}\) 是电场强度，\(d\mathbf{l}\) 是路径上的微元长度。
1.4 静电场中的导体在静电场中，导体内部的电场强度为零。
当导体受到外部电场作用时，其表面会产生等效于外部电场的电荷分布，这种现象被称为静电感应。
静电感应可以通过以下公式来计算表面电荷密度：\[ \sigma = \mathbf{n} \cdot \mathbf{E} \]其中，\(\sigma\) 是表面电荷密度，\(\mathbf{n}\) 是表面法向量，\(\mathbf{E}\) 是外部电场强度。
电动力学高教第三版5精品课件(2024)
康普顿散射与经典电磁理论的差异
经典电磁理论认为光是一种波动现象，而康普顿散射实验表明光具有粒子性。这种差异促进了量子力学 的发展，并推动了现代物理学的进步。
26
电动力学的发展历史及重 要人物
电动力学与经典物理学的 关系
电动力学在现代科技中的 应用
4
电磁场基本概念
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01
电磁场的基本性质
02 电磁场的描述方式：电场强度、磁感应强 度
03
电磁场的源：电荷与电流
04
电磁场的能量与动量
5
矢量分析与场论初步
标量与矢量场
矢量及其运算
01
梯度、散度与旋度的定义及
电场强度的叠加原
理
多个点电荷在空间中某点产生的 电场强度是各个点电荷单独存在 时在该点产生的电场强度的矢量 和。
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电势与电势差
电势
描述电场中某点的电势能高低，是标量，具 有相对性。通常选择无穷远处为电势零点。
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电势差
两点间电势的差值，等于将单位正电荷从一点移动 到另一点时电场力所做的功。
黑体辐射的应用
黑体辐射在热力学、光谱学等领域有广泛应用，如测量温度、分析物 质成分等。
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康普顿散射实验及意义
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康普顿散射实验
康普顿散射实验是指X射线或伽马射线与物质中的电子发生碰撞，导致射线方向改变并伴随能量损失的过程。该实验 证实了光子的粒子性。
康普顿散射的意义
电动力学七四(切伦柯夫辐射)
电场、磁场与电荷的关系
总结词
电荷在电场中受到力的作用，表现为电场力；电荷在磁场中受到洛伦兹力的作用，表现为磁场力。
详细描述
电荷在电场中会受到电场力的作用，这是由库仑定律描述的。电场力的大小与电荷的电量成正比，与 电场强度的方向和大小有关。当电荷在磁场中运动时，也会受到洛伦兹力的作用。洛伦兹力的大小与 电荷的运动速度、电荷的电量以及磁感应强度有关。
03
CATALOGUE
切伦柯夫辐射的产生机制
切伦柯夫辐射的原理
切伦柯夫辐射是一种特殊的光学现象，当高能带电粒子在介 质中以大于介质中的光速传播时，会在传播方向上产生一个 与粒子速度方向呈90度角的辐射场。
这个辐射场的强度与带电粒子的速度和能量成正比，并且具 有明显的偏振特性。
产生切伦柯夫辐射的条件
当带电粒子在人体内穿过时，它们会 与组织发生相互作用并产生切伦柯夫 辐射，这种辐射可以被探测器捕获并 用于生成图像。
在医学影像技术中，切伦柯夫辐射可 用于X射线和CT成像等技术的辅助诊 断。
切伦柯夫辐射在探测高能物理现象中的应用
01
高能物理现象是研究物质基本结构和性质的重要领域，而切伦 柯夫辐射在其中发挥了重要作用。
研究切伦柯夫辐射在物质探测、安全检查等领域的应用，探索其在未来探测科技发展中的 价值。
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电动力学七四(切伦 柯夫辐射)
目录
• 切伦柯夫辐射简介 • 电动力学的基本理论 • 切伦柯夫辐射的产生机制 • 切伦柯夫辐射的应用研究 • 未来研究方向与展望
01
CATALOGUE
切伦柯夫辐射简介
定义与特性
定义
切伦柯夫辐射是一种由于介质中的粒 子在电磁场中运动，产生次波在介质 中传播的现象。
电动力学 第七章
对（7.3.2）式积分
t
t2
1
[S n] dt
ret
T
T2
1
t [S n] dt . t
(7.3.3)
由此可见，[ S n]ret 是t时刻在场点垂直n方向 单位面积上接受的功率， [ S n] t 则是运动电
t
荷在t′时刻沿n方向单位面积发射的功率.
13
同理得
β 1 β 1 Β A ) n ( ) [n Ε ]ret . t ( 4 0c RK cK t RK c e
(7.2.8)
（7.2.7）与（7.2.8）式就是任意运动点电荷激发的 电磁场.只要给定点电荷的运动方程re(t′)，则可由 这两个场的公式及推迟条件（7.1.7），得到她的 电磁场E(r,t)和B(r,t).
10
由 t t R(t) c t r re (t) c
1 1 t , 1 n β K t n . t cK
(7.2.3)
将（7.2.3）代人（7.2.2）式，得到算符运算公式
1 , t K t n . t cK t
e n [n β] β Ε (r , t ) 3 4 0 c K R ret 1 Β(r, t ) [n Ε ]ret . c
17
沿R方向的能流分量
[ S n]ret 1
0
[(Ε Β ) n]ret
所以，运动电荷在t′时刻辐射到立体角dΩ内的 功率应为
t 2 dP ( t ) ( S n) R dΩ （S n）KR 2 dΩ. (7.3.4) t
电动力学第七章7-5 带电粒子的电磁场辐射
4.介质的色散 入射电磁波的电场 E E0eit
电场作用下介质 的电极化强度
P
Nex
Ne2 m
02
1
2
i
E
P e0E, r0,r 1 e
0
介质电容率
Ne2 m
02
1
2
i
实部ε’r对ω的依赖关 系称为色散,虚部ε’’r
引起电磁波的吸收。
r
1
1
Ne2
0m
02 2 02 2 2 2 2
四、“经典”原子的辐射模型
“经典”原子的最简单形式是单一电子在某一频率下振荡。这个
振荡可以是线性简谐运动,作用在电子上的恢复力是与电子离开原
子中心的位移成正比, 则电子的运动方程为
m
d2x dt 2
x
0
解为
x x0ei0t (7.5.12)
由辐射振荡所损失的功率将引起
简谐振动的阻尼
0
m 12
受激吸收：低能级E1的原子受到外来光子(能 量 h E2 E1 )的刺激作用,完全吸收光 子的能量而跃迁到高能级E2的过程
发射是瞬间完成的
• 光子波包
二、周期运动带电粒子的辐射
• 电荷和电磁场的作用是相互的,电荷激发 电磁波,电磁波对电荷有反作用。
• 先讨论已知电荷的周期运动方程,由电荷 加速度计算出辐射电磁场
Fs
ie203x0 6 0c3
ei0t
e202 6 0c3
dx dt
(7.5.14)
m
d2 dt
x
2
m
dx dt
m02 x
0
e202 6 0mc3
x x0et e2 i0t (7.5.17)
电动力学第七章
电动力学A 刘克新第七章运动电荷的电磁场本章主要内容§1.李纳-维谢尔势§2.运动电荷的电磁场§3. 运动电荷辐射的频谱分析§4. 切伦科夫辐射§5. 带电粒子电磁场对粒子本身的反作用§2.运动电荷的电磁场运动电荷电磁场推导加速运动电荷的辐射直线加速运动电荷的辐射圆周运动电荷的辐射－同步辐射其中θ为与之间的夹角。
时类似电偶极辐射。
时，当θ较小时，速迅变小，功率增大,辐射向前倾斜（见图）辐射极大值方向由确定。
,0ββββ×=()()()()222225523200'sin 161cos 161e n n dP t e d c c n βυθπεβθπεβ××==Ω−−⋅ n β1β 1β→()1cos βθ−()()23'sin 01cos dP t d d d d d θθθβθ⎛⎞==⎜⎟Ω−⎝⎠()12max1cos 115103arc βθββ→⎡⎤=+−⎯⎯⎯→⎢⎥⎣⎦直线运动电荷（带电粒子）的辐射为粒子在时间τ内的速度改变量，设与夹角为θ则此时与ω无关当时，相因子迅速振荡，积分值趋于0，υΔn υΔ 222330sin 16dW e d d c υθωπε=ΔΩ ()222016dW e d c c υωτωπε⎛⎞Δ=⎜⎟⎝⎠ dW d ω1ωτ i t e ω0dW d ω=150 MeV Electron Linac and 3.5GeV Booster & Storage Ring User operation scheduled on Spring 2009§4 Cerenkov辐射在真空中匀速运动的带电粒子不辐射能量。
但在介质中，如果带电粒子的速度超过光在这种介质中传播的速度，也会产生辐射。
当带电粒子通过介质时，在它的电磁场的作用下，在其经过的每一点周围引起原子、分子的电荷运动状态发生改变，因此产生辐射。
电动力学第三版题解
r ex r ∂ ∇ × A(u ) = r∂x Ax (u )
r ey ∂ r ∂y Ay (u )
r ez r r r r r r ∂ ∂ A A ∂ ∂Ax r A ∂ A ∂ A r r ∂ y y x z z =( − )e x + ( − )e y + ( − )e z = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z y z z x x y r Az (u )
S
若 S → ∞, 则 ( xj ) ⋅ dS = 0, ( j 同理
(
r ∂ρ ) ∂t
∫
r
r
r
S
= 0)
y
= ∫ j y dV ' , (
r ∂ρ ) z = ∫ j z dV ' ∂t
即
r r r dP = ∫ j ( x ' , t )dV ' V dt
r r r r r m ×R m⋅R r 的旋度等于标量 ϕ = 的梯 6. 若 m 是常矢量 证明除 R 0 点以外 矢量 A = R3 R3
首先 算符 ∇ 是一个微分算符 其具有对其后所有表达式起微分的作用 对于本题
v v ∇ 将作用于 A和B
又 ∇ 是一个矢量算符 因此 具有矢量的所有性质
利用公式 c × ( a × b ) = a ⋅ (c ⋅ b ) − (c ⋅ a )b 可得上式 后两项是 ∇ 作用于 B
v
v
v
v v v
v v v
而 dl φ = (φ i dl x + φ j dl y + φ k dl z )
l l
∫
r
∫
-3-
电动力学习题解答
第一章
电磁现象的普遍规律
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图示仅在一定的频率范围内满足 () >c2/v2，因此，切连科
夫辐射的频谱只包含这一频段. 由于 cosc ＝c/v. 不同频率 的电磁波的辐射角亦略有不同. 用滤波器选择一定的频带，
可以得到确定的c值，因而测定辐射角c 就可以定出粒子的
速度v.
现在切连科夫辐射广泛应用于粒子计数器中，它的优点 是只记录大于一定速度的粒子，因而避免了低速粒子的干扰， 而且可以准确测量出粒子的运动速度.
e dx
i
1n vc
co
s
xq
2
q
把其中一个因子变为函数. 由于有这个函数因子，
(1/v)(n/c)cos只能取值=0，因此，另一个因子可写
为
ei0dxq
dxq
e
i 1nc
v c
o x sqdxq22π δ vcnco s dxq
最后一个因子是粒子所走的无穷大路程. 这无穷大的出现也是
切连科夫 辐射的物 理机制
设在介质内粒子做匀速运动，速度v超过介质内 的光速c/n（n为折射率）. 在粒子路径附近，介 质的分子电流受到扰动，因而产生次波.
设粒子在时刻t1, t2,… 依次经过M1, M2,…点, 在时 刻t到达M点. 在同一时刻t, M1处产生的次波已经 到达半径为M1P的球面上.
《电动力学第三版》chapter7_4切伦 科夫辐射
§7.4 切连科夫辐射
真空中：匀速运动带电粒子不产生辐射电磁场.
介质中：带电粒子在介质内运动时，介质内产生 诱导电流，由这些诱导电流激发次波，当带电粒 子的速度超过介质内的光速时，这些次波与原来 粒子的电磁场互相干涉，可以形成辐射电磁场. 这种辐射称为切连科夫(Cerenkov)辐射.
2 n 2 2
c2
2
A
n2 c2
t
2
2A
t 2
J
和 J是自由电荷密
度和自由电流密度，
即运动带电粒子的电
荷密度和电流密度.
设粒子以匀速作直线运动，它的电荷密度和电 流密度为
(x,t)qδ[xxq(t)]
J(x,t)qvδ[xxq(t)]
由于辐射，带电粒子的能量逐渐损耗，因而速度 亦逐渐降低. 但是由减速引起的效应是不大的，因 此，下面我们假设粒子作匀速运动.
用频谱分析方法求解
A x 8π2 q0c2eR ikR ei t 'n ce rx e v (t)'dt'
er为辐射方向单位矢量.
又 v 设 ( t) v d 沿 'tx '轴 d x q ,t, 'e r x 方 与 q /v v 的 ,得 向 夹 ,则 e rx q 角 x q c为 o ,
若v>c/n，则粒子路径上各
点所产生的次波在时刻t都
在一个锥体之内. 在锥面
上，各次波互相叠加，形
成一个波面，因而产生向
锥面法线方向传播的辐射
电磁波. 辐射方向与粒子
运动方向的夹角c由下式
M 1P n ct t1 , M 1 M vt t1 确定:
cosc
c nv
由于切连科夫辐射是运动带电粒子与介质 内的束缚电荷和诱导电流所产生的集体效应， 而在宏观现象中，介质内束缚电荷和诱导电流
时，折射率n1，因此辐射频谱在高频下截断，辐 射场不会在一个尖锐的辐射角下变为无穷大，而是 分布于有一定宽度的辐射角内.
用 S e r E (H ) 1 / 2 B ( c H / n ) B 2 , 可
dW4π0c3R2
dΩ n
2 B
把B代入上式，出现函数的平方. 可以把它作如 下处理. |B2含有因子
式中的积分是一个函数.
ei 1 vn cco sxqdxq2π δvcnco s
因此
B 4iπ n 0c3qeR ikR sinδ v cnco s
由函数的性质可见
B0,
若cos c
nv
如果粒子的运动速度v<c/n，则对所有 值， cos <c/nv，因此在这情形下没有辐射.
A x 8π2q0c2eR ikR ei 1 vn cco x sqdx q
k=(/c)n为介质中波数.
磁场的傅里叶变换为
B ik A i cne rA
因 e r与 为 A 的夹 ,所 角 以 为
B 8π i2n0c3 qeR ikR sin ei 1 vn cc
dx o x sq q
分布产生的宏观效应可以归结为电容率 和磁 导率，因此在研究切连科夫辐射时，可以对 介质作宏观描述，即用 和 两参量来描述介
质.
为简单起见，先假设和是不依赖于频率的常
量，并设= 0，因而介质内的光速为c/n＝c(r)1/2， 其中n为介质的折射率，r为相对电容率. 当n为常数
时
1
c2
()v2
() c2 / v2
函数因子表示只有在cos=c/nv方向上才有辐射. 单
位路程单位频率间隔的辐射能量为
dW
dL
q22n 8π20c3
1nc2v22
δncosdΩ
v c
q2
4π0c2
1nc2v22
()c2/v2
在后面我们将研究介质 的色散理论，导出函数
若粒子运动速度v>c/n，在cos =c/nv方向上,
B变为无穷大，因此在这方向上出现辐射电磁场. 无穷大的出现是我们作了简化假设的结果.
上面我们假设折射率n是与无关的常数，结果 得到有一个确定的辐射角c，满足cosc =c/nv，在这
单一辐射角下电磁场变为无穷大.
事实上，介质的n是与有关的函数，当很大
我们作了简化假设的结果. 事实上，粒子在介质中只走过有限
的路程. 当路程L>>辐射波长时，以上的计算仍然近似适用，
但 dxq 应代为L. 粒子走过单位路程时的单位频率间隔辐射
能量角分布为
ddΩWdL8qπ2202cn3
s
in2δncos
v c
8qπ2202cn31nc2v22δv cncos
如果考虑折射率对频率的依赖关系，