切伦科夫线辐射的基本公式

切伦科夫线辐射的基本公式第 40 卷第 4 期Vol . 40 , No . 4 天文学报AC TA AS TRONOM ICA SIN ICA 1999 年 11 月 Nov. , 1999切伦科夫线辐射的基本公式刘当波靳光学尤峻汉施建荣( )上海交通大学应用物理系空间与天体物理研究所上海 200030在 80 年代初 ,尤峻汉和程富华从理论上证实 , 当相对论电子在稠密气体中运动摘要时 ,切伦科夫效应将产生宽的、轮廓明显不对称的原子或分子发射线 . 此后这一新的谱线发射机制被一系列实验所确证 . 尤峻汉等人又进一步给出了有关切伦科夫辐射的系列解析公式 ,但其有关谱轮廓和红移的结论只适用于极稠密的气体 . 由于这一线辐射机制在天体物理中的潜在重要性 ,在他们工作的基础上 ,进一步简化、推广、改进了原有的公式体系 ,并以天体物理学家熟悉的形式做出了更便于实际应用的表述 .关键词辐射机制 ,切伦科夫线辐射 ,谱轮廓 ,红移1 引言1 80 年代初 ,尤峻汉等从理论计算上证实 ,当具有各向同性速度分布的相对论电子穿过稠密气体介质时 ,切伦科夫效应产生的辐射将集中的原子、分子的本征频率近旁极窄的频段内 ,从而更象一条‘谱线’而不是连续谱发射. 此后 ,他们又给出了有关切伦科夫线2 辐射的解析公式 ,并对产生这一线辐射的物理机制作了详细的分析讨论. 这一全新的3 - 5 90 β原子、分子谱线发射机制已被徐克尊等实验所证实 . 他们以放射性同位素Sr 为射线源 , 以钠蒸汽和氧、溴等分子气体作介质 , 采用快符合电子学技术 , 在特定的切伦科夫辐射方向和偏振方向上找到了这种特殊的原子、分子发射线 , 确切无疑地证实了这种特殊的发射线的存在 . 文 [ 2 ]已指出 , 切伦科夫发射线并非严格意义上的原子、分子谱线 , 它有以 4 15 - 3 ( ) ( 下的一些特点: 1‚谱线?较宽对于 T ,10K 、N ,10cm 的稠密气体 , 计算得到的α) ( ) 切伦科夫 L y线宽 1 - 10 ! ; 2‚谱线?轮廓常有不对称性 , 对于稠密气体 , 谱线蓝边较( ) 陡 , 红边平坦下降 , 但对于稀薄气体 , 谱线轮廓对称性很好; 3‚谱线?峰值位臵并不精确- 3 ( νΔ) 位于本征频率处 , 而是略有红移通常 Z,10 , 称为‚切伦科夫红移?, 以示与其他 luc( ) 红移机制有别 ; 4对于定向电子束或速度有明显偏振特征.c 人们一直认为切伦科夫发射极微弱 , 其谱线发射系数 J 远小于相对的正常的谱线发s c s cscs ( ) 射系数自发跃迁J , J ν J , 而对于足够稀薄的光薄气体 , 出射强度比I/ I ? J / J ν 1 ,( ) 似乎切伦科夫线辐射无足轻重. 然而我们注意到 , 对于光学厚甚至对于连续谱光厚的稠密气体情况却非常不同 , 此时计算出射线强度应当同时考虑发射和吸收 . 对通常的自发跃1998 - 06 - 01 收到原稿 ,1999 - 07 - 01 收到修改稿( ) 迁线复合线及碰撞激发线与奇特的切伦科夫线 , 它们遇到的吸收机制极为不同. 自发跃s νν( ) ν迁线精确位于 =处 , 故其出射强度 I 将因很强的线吸收 k在处很大而大为减弱 , lu1 lu对切伦柯夫线则因‚切伦科夫红移?而处于略红移的位臵上 , 从而躲过了强的线吸收 ,c (νν) 因为 k >?0 . 因此 , 切伦科夫线出射强度 I只受到很小的连续谱光电吸收 k= k 1 lu2 bf(ν) 的影响 , 而k ν k . 这表示切伦科夫线光子可从稠密气体的深处逃逸出来 , 深度量级2 luc c (ν) 为L 11/ k µ 1/ k, 从而有可能造成大的出射强度 I. 换言之 , 稠密气体对于切伦科 2 1 luc s 夫线辐射显得非常‚透明?, 只要相对论电子足够丰富 , 最终有可能造成Iµ I .这一新型的谱线发射机制在高能天体物理中有潜在的重要性 , 特别是太阳耀斑、类星体与活动星系核这一类高能天体 , 由于存在丰富的相对论电子和稠密气体区 , 具备了产生切伦科夫线辐射的充分条件. 尤峻汉、程福臻等人曾试图用此说明活动星系核与类星体宽( ) 线的一系列奇特的观测特征 , 并取得初步的成功 , 例如 : 1 说明谱线的反常强度比问题[ 6 ] (α) ( )H强度比; 2 类星体的低价电离线和高价特别是很陡的巴尔末减缩 , 反常的L y/ β[ 7 ] ( ) 电离线之间的微小红移差; 3低价电离线和高价电离线对中央功率源连续谱耀斑响[ 8 - 9 ] 应上的不同的时延现象.特别指出 , 近年类星体与活动星系核的研究进展 , 包括观测和理论模型 ,都更加有利于切伦科夫线发射对宽发射线有重要贡献这一多年来的定性推测. 基于这一认识 , 我们对文 [ 2 ]给出的系统公式逐一重新审查 , 作出进一步的简化、推广和改进 , 并以天体物理学家熟悉的实用形式表述出来 . 我们注意到 , 文 [ 2 ]的公式仅是针对氢原子切伦科夫线的 , 本文将其推广 , 使其可使用于计算其他多电子原子或离子的切伦科夫谱线 , 并将原文公式中的( ) 波长一律改用频率或光子能量表示 , 以使适用于 X 射线天文学. 本文还对原文中有关切伦科夫红移和切伦科夫谱线出射强度这两个重要公式作出推广和简化 . 文 [ 2 ]的红移公式只适用于高密度气体 , 本文将给出普遍的红移公式及其在高、低密度极限下的简化形式 , 使其更具实用性. 最后 , 我们指出文 [ 2 ]对谱线轮廓不对称的结论也有局限性 , 只适用于高密度气体 . 本文完成了在不同气体密度下切伦科夫谱线轮廓的计算 , 发现从高密度到低密度时 , 轮廓的不对称性将越来越小 , 最终恢复为对称轮廓 .2 基本公式() 在以下公式中 , 一律采用厘米?克?秒 cgs基本单位制 .κ2 . 1 折射率 n和消光系数ν ν计算切伦科夫辐射的核心是计算气体介质的折射率n, 这一点很容易从产生切伦科νν夫辐射的必要条件 V ?c/ n上定性的看出 , 若介质在某频率位臵上折射率 n越大 , 则ν ν切伦科夫辐射的条件越容易满足 , 该频率的辐射也就越强. 因此欲求切伦科夫辐射谱 , 应ννν首先计算折射率n对频率的关系即色散曲线 n,. 对于气体介质 , n,曲线的计算ν ννν较容易进行 . 由于是在紧邻频率附近计算折射率 , 故需采用严格的洛仑兹公式 , 即 : lu2 n - 1 π ν 4 α( ) 1 = N,23 n + 2 νκ其中 n= n- i k为气体复折射率 , 实部 n即气体折射率 , 虚部为气体的消光系数. N ν ν ν ν ν天文学报40 卷384__α( α) 是气体数密度 ,是气体中单个原子的极化率即原子极化公式 P = E中系数. 若原子( ) αα布居在各可能能级之上能级 a 的密度计为 N , 则上式中 N应代以 ?N , 按量子力 a aa a[ 8 ] 学理论中得到的能态 a 的原子极化率公式:2 f e ab ( )α(ω) 2 = a 2 2 ? m (ωω) Γ ω + ia ?b - ab abΓ求和对所有可能量子态 b 进行. 式中 , e , m 是电子电荷与质量 , f 和分别是频率为ab ab ν( ) ( ) 的原子本征发射线的振子强度和量子阻尼系数 . 将 2式代入 1式 , 即得 :ab2 f eab α αN ( )N =3 =Na aa2 ???2 π2mπ(νν) Γ νa 2- + i aa ?b ab ab(ω ωων由于我们只在一条指定本征频率近旁 1, 脚标 u , l 分别表示与本征频率 lulu lu( ) ) 相应的原子上、下能级求折射率n, 故 3 式的求和中只需保留最大的两项 , 从而简化ν为 :α αα)( N1 4 N + N , llu uul其中2 f 1 e ab α( )= 5 lu2 2 π 2m π(νν) Γ ν 2- + ilu lu αν只需将该式中脚标 u , l 对调 , 即得 . 本文以下将用脚标 u 、l 分别代表与本征频率相 ul lu( ) 应的原子上、下两能级 , 所以 f 和 f 就分别对应于能级对 l , u 的吸收振子强度和发射 luul振子强度 , 两者以关系式 gf = - gf 互相关联 , 而吸收振子强度 f 可用u ?l 的自发 l lu u ullu 跃迁系数 A 表示 : ul3 m c ( )f 6 , A = luul 2 22 πν8eg lu l[ 8 ] ΓΓ而量子阻尼系数也可用系数 A 表示. 是上下能级 u , l 上的寿命, 故有 : luullu- 1 - 1 ΓΓΓt + t ( )= + == A + A .7 lul u li uj l u ?? ( )( )i < l j < u( ) 利用上述关系 , 方程 1成为 :2 n - 1 ν b ( )8 ,= 2 z+ i g n + 2 ν其中3 N N luc 2 ν? A g b - , lu ul u 2 gg πu12 l2 2 π(νν) Z ?2- , luνΓg ?. lu( ) κ 由 8式即可求得气体折射率 n和消光系数分别为:ν ν2 2 2 2 1/ 2 ( ) nA + 9 b g + A / 2 B , =ν 2 2 2 1/ 2 2 κ) ( )( 9 = A + 9 b g - A / ν 2 B , 式中2 ( ) ( ) A ? z + 2 bz - b+ g,2 2 ( ) B ? z - b+ g.2( ) νν 9式中即所求 n ,色散曲线公式 , 由它可完成数值计算 , 但本文感兴趣的是1νν( ) νν近邻的计算 , 所以将 9式化简为 1附近的解析公式 , 令 : lulu ν ν- Δν lu y ??, 10 ( ) νν lu l uννy 表示相对频率位移 , 由于只关心 1近邻的计算 , 有y ν 1 , 故 y 成为理论分析中一个 lu( ) λν( ) ( ) ( ) ν 很方便的无量纲小量例如用 y 作级数展开, 将 = c/ =1 - y 代入 9式及 8式 ,lu并保留小量 y 的最低阶 , 即得 :3 N N lu2 c ν( )A g b = -, 11 lu ul u 2 gπg 12 ul2 νπz = 4y , luνΓg = , lulu可见 b , g , z 三者中 , 只有 z 与相对频率位移 y 有关. 由于切伦科夫线发射并不精确位于νν( νν =位臵 , 而是略有红移 , 相对频率位移 y 不会无限小 y ?0 , 实际上在 y = 0 , 即 =lulu) 处 , 切伦科夫发射已消失, 因此在 y 的有效值范围内 , 总有 :( )g ν z , b ν z . 1215 8 - 1 ανΓ例如对氢的 L y线, l = 1 , u = 2 ,= 2 . 466 ×10Hz , = 6 . 25 ×10s , f = 0 . 4162 12 12 12 - 7 - 4 ( ) ( ) Δλ代入 11式可见只要 y ?10 相当于?2 ×10 ! , 必有g ν z . 有在通常物理条件 17 - 3 - 6 ( 下 , 我们总可认为N ν N , N 1 N , 所以尽管 N 1 N 可高达 10cm , 若y ?10 相 2 1 1 1 - 3 Δλ) 当于?1 . 1 ×10 ! , b ν z 仍然成立 . 更小的密度将给出 y 更低的下限值. 对其他发射( ) 线可类推 . 因此严格公式 9中 , 只需近似保留两个小量 g/ z 和 b/ z 的第一阶 , 从而简化为 :b 2 1 1 3 - n ν , z3 b g κ)( 13 1. ν 2 z z( ) κ将 11式代入上式 , 即得折射率 n和消光系数的简化近似公式: ν ν3 N N c lu2 -4 - 1 νn -1 = A g - y , ν lu ul u3 g gπ16 ul 3 N N ulc -5 - 2 νκΓ( )- y .14 = A g ν lu lu ul u4 gπg 128 ul2 - 1 ( ) ( ) 从 14式我们可以看到 , n- 1? y , 而我们将从下文看到 , 切伦科夫谱发射系数近似νc2 c - 1 - 2 ( ) κ按 J ? n- 1变化 , 所以 J ? y , 而线吸收却按 ? y 变化. 因此 , 吸收系数比发射νν ν νν系数随相对频率位移下降更快 , 从而在邻近频域会有‚净?的切伦科夫发射产生. lu( ) ( ) 我们在此强调由 3式到 14式的推导都有局限性 , 仅适用于由氢原子或类氢原子+ + 25 ( ) Na , He Fe 组成的气体 . 但不难将公式推广到适用于多电子复杂原子组成的气体 ,( ) α只需认为 2式其实代表一个在能级 a 上的单电子对复杂原子的极化率的贡献即可 . 因天文学报40 卷386( ) ( ) ( ) ν此 , 对给定的某多电子复杂原子的频率为的指定的一条发射线 , 1、2、3式中的量 luα( αα) ( ) N应当用 N S + S 来代替. 即 4式中的llu uulα αα)( αα) ( N1 15 N S + S ,N + N ] llu uul llu uul( ) ( ) 其中 N 为复杂原子例如铁的数密度 . S 或 S 则表示该复杂原子的相应的下能 l u ( ) 级 l 或上能级 u 的实际电子填充数. 如果用 g和 g分别表示能级 l 和能级 u 的电子简 l u并度. 则显然有 S ?g, 以及 S ?g. l l u u( ) ( ) ( ) 由 1式和 15式 , 以及关系式 gf = - gf 可见 , 假如上、下能级 l , u 都已被电l lu u ulκα子填满 , 形成闭壳层 , 即 S = g, S = g, 则有 N= 0 , 故得 n= n-i = 1 . νν ν l l u uν换言之 , 对于多电子原子 , 频率为的切伦科夫发射线可以产生的条件是相应的上 lu( ) ( ) 下能级 l , u没有被电子填满 , 即要求 S < g, 以及 S = g. 此时 , 前面 8式中的参量 zl l u uαα( αα) 和 g 不必改写 , 而参量 b 则由于代换 N + N ] N S + S 而成为llu uul llu uul3 S S lc u2 ν( )b ? A g N -16 , lu ul u 2 ggπ 12 ul( ) 故对于由多电子原子组成的气体介质 , 14式的推广形式为3 S S lu2 c -4 - 1 νn-1 = - y , A gNν luul u 3 g gπ16 lu 3 S Sulc - 5 - 2 νκΓ( )- y .17 = A gN ν lu lu ul u 4 ggπ 128 lu ( ) ( ) ( ) 本文以下各公式 , 即 20- 50式 , 都是针对由氢或类氢原子组成的简单气体介质列出的. 这不仅简单 , 也出于对天体物理实际情况的考虑 , 即氢为宇宙等离子体中丰度最( ) ( ) 高元素. 氢原子气体是讨论最多的气体 , 然而 , 20- 50式列出的公式很容易推广到复( ) 杂的多电子原子气体例如铁蒸汽. 只需将这些公式作如下代换即可 : N S N S uull] N ( ) 18 - - . gggg uull最后指出 , 在 X 射线天文学中 , 总是用光εννλ子能量 = h代替频率或波长. 但这一代换不会影响本文公式的使用性 , 因为本文中各( ) 量对频率或波长的依赖关系是体现在各量( ) 对无量纲小量 y 的关系上 . 而 10式中定义的y 显然可以写成λ λνν- - Δν Δε Δλ lulu y ?= = - .= - = λνε λν lulu lu lulu( )192 ν 计算 n ,的曲线如图 1 气体色散曲线ν2 n ννκν,和气体消光系数,曲线所示 ,旁ννlu ( ) 边很窄的波段上图中阴影区域 , 吸收系数 ( ) ( )图 1 气体色散曲线实线和气体消光系数虚线( ) Fig. 1 Dispersio n curve solid lineand extinctio n k= 0 , 故切伦科夫辐射在与自然跃迁线相比略ν( ) curve dash lineof gas 偏红移的位臵出射 . 由于频段很窄 , 看上去更像线发射而不像连续谱 , 故被称为‚切伦科夫发射线?.2 . 2 切伦科夫谱发射系数及谱线极限宽度2 νβ已知色散曲线 n,即可导出切伦科夫出射谱形. 一个速度为 = V / c 的相对论电ν2 2 1 πβ 4 e1 - ννν (ννν) d, 子在频率间隔 ,+ dPd= 内的切伦科夫辐射谱功率为ν 2 2 βc n ν(γγγ) γ) γ(γ (若相对论电子在能量间隔 ,+ d中数密度为 N d为洛仑兹因子 , 代表电子γν) (ννν) (γ) 无量纲能量值, 这些电子在频率间隔 ,+ dN dPd. 中贡献的发射功率共为ν( ) 对于各向同性相对论电子速度分布而言这是常有的天体物理环境, 切伦科夫辐射确定的角分布会被电子速度的各向同性分布所补偿 , 因此单位体积中沿单位立体角切伦科夫谱发射系数应当为 :2γ γ 2 2 1 πe 1 c 1 -(γ) γν ν (γ) βγ ν νJ N dP d= v dN d( ) 20 d= d,22 ν ν βnπ??4c γ γ ν 1 1- 2 γβγγβ其中 ,是相对论电子能谱上下限 . 对于相对论电子 , 总有µ 1 ,1 , 故有 + 111 2 11 -2 - 2 βγ( ( ) ) γ ,11 - . 注意到实际有效发射频段上n,1 见 14式, 因此: ν2 γ γ 2 2 1 2 - 2 2 - 2 1 - ( ) ( γ) (γ) γ ( γ) n- 1 - N d1 n - 1 - N , ν c ν c e β ?ν γ1 1 γ 2 (γ) γγ ( ) 其中 N ?? N d是相对论电子密度 ,是相对论电子的典型能量值特征能量, e c γ 1 γ - 2 - 2 2 γγ) γγ( 其定义是?N d= N .c e γ 1所以 :2 πe c 2 - 2 ν ν( γ) ν ( )J dN n- 1 - d.21 1 ν ν ec cc c - 1 νννν将换成 y , 由 J d= J dy 以及 dy =d, 得: ν y lu2 πc e2 2 - 2 J ν( γ) ( )d y = N n- 1 - dy .22 elu ν c y c 2 - 2 ( ) γ( ) 令 22式中 n- 1 - = 0 , 并代入 14式 , 即可导出切伦科夫线的极限宽度: c ν3 Δν N N limluc2 -4 2 νγ( ) = γ23 y= = A g- ,C 0clulimul uc 3ν gπg16 lu lu其中常数3 N N luc -4 ν( )C?A23 g - . lu ul u 0 3 gπg 16ul( ) ( ) ( ) 将 14, 22式代入 21式 , 则最终得到切伦科夫谱发射系数的解析表示 :c - 1 - 1 ( ) J ( )dy = CN y -ydy ,24 y 1 e lim其中 2 2 N N euc l- 2 ν? Ag - . C lu ul u 12 g gπ16 luc c - 1 显然 , 当 y = y时 , J = 0 , 但对小的频率位移, y ν y , 则近似有 J d y? y , 即随相 limy lim y 对频率位移按反比方式缓慢下降 , 从而在实际有效辐射频率范围内y ν y, 我们可对 lim ( ) 24式采用一个良好的近似 :天文学报40 卷388c - 1 ( ) ( )J dy = C N y dy . y ν y 25 y 1 e lim( ) 从 23式可见 , 切伦科夫线辐射与自发跃迁谱线有一重要区别 :切伦科夫线辐射的发N N lu射系数并不决定于上能级粒子布居数 N , 而是由上下能级粒子布居数差-决 u ggl u定 . 通常条件下 , 总有N ν N , 故近似而言 , 切伦科夫发射正比于下能级布居数 N . 这意 u l l味着 , 只要有足够多相对论电子穿过此低温气体 , 甚至在很低气体温度下 , 也能产生切伦科夫线发射 .c ( ν谱发射系数与频率关系 J ,即不考虑气体吸收 y) 时切伦科夫发射线原始轮廓, 由图 2 切伦科夫线谱发c 射系数 J 、吸收系数 k 及光厚情况下 , 切伦科夫发射ν νc 线的表面出射强度 I之曲线最上方第一条曲线表示. ν( ) ( ) 严格的数学计算采用 9和 20式 . 但若略去无关紧要( ) ( ) Δν的波段即 ?0, 则用近似公式 24 计算已经足够好 .2 .3 气体的吸收系数c c 对于光学厚气体 , 出射强度 I是由发射 J 和吸收ν νννk竞争结果决定 , 因此还必须考虑气体在 1附近ν lu 的吸收. 对于没有尘埃的简单情况 , 在可见光波段 , 在νν1近旁对切伦科夫发射线强度有重要影响的吸收只lu有两种 : 其一是线吸收 k , 它只发生在原子谱线紧 1( ) 邻 ; 其二是光致电离吸收 k简称光电吸收, 它虽是一 2νν种连续谱吸收 , 但对的切伦科夫谱线的吸收很重 1lu( 要 , 特别对稠密气体 , 不可略去相比之下 , 在光学波段和 X 射线波段 , 另一种连续谱吸收 - 自由 - 自由吸收) k就非常弱, kν k?k , 可不考虑. 故总吸收系数是 ff ff 2 bf( )26 k = k + k = k + k , 1 2 1 bf 图 2 切伦科夫线谱发射系数ππ4 4() ( ) a、吸收系数 b以及光厚情况κνν( 1 - k 可根据熟知的分子光学公式k = =ν 1 1 lu c c ()下的表面出射强度 c π 4( κ) ν κ ) () 计算 , 利用 14式并只保留小量 y 的最y1 Fig. 2 Coefficient s of emissio n aand ν νlu c ( ) abso rptio n bof Cerenkov lines. The co 低阶 , 即得 : rrespo nding surface intensit y is shown in 2 N N l uc - 4- 2 - 2 () c. when it is optically t hick . νΓy y ,k = A g- = C 1 2 lu lu ul u3 gg πu32 l( )27 其中2 N N ulc - 4 νΓA g - . C= lu lu ul u 23 gg πu32 l- 2 由此可知线共振吸收 k? y , 随相对频率位移 y 很陡地下降 . 12 N ggN cl ul u( ) Φ(ν) 也可由熟知的线吸收共振吸收公式 k=1 - A 独立推导出1 ulul 2 g g Nνπu l 8l( ) (ν) Φ27式 , 只要取轮廓因子为 Lo rentz 形式即可 : ul2 ΓΓπ/ 4 luluΦ(ν)= 1 . ul 2 2 2 2 (ν ν ) (Γ π) π(ν ν ) - + / 44- lu lu luσ光电吸收系数 k?k 为 k= ?N . 求和包括了原子所有的激发态能级 s , 只要这 2 bf 2 ss sνν 些激发态的电离能 I 小于光子能量 h, I ?h. 注意天体物理等离子体中氢丰度最高 , 即s s0 ( 最重要的吸收原子是氢原子 H, 在计算 k时 , 只需考虑氢吸收就足够了详细计算也至 229- 3 - 5 ) ν( ) σ多计及氦. 氢原子光致电离截面为= 2 . 8 ×10s 对激发态能级 s, 因此 : s- 5 29- 30 s ,( )νN 28 k = 2 . 8 ×10 2 lu H ? ss ?p其中求和部分为氢原子的最低光致电离能级主量子数.- 2 ( ) ( ) 比较 27式和 28式可见 , 线吸收 k? y , 随相对频率位移的增加快速减少 , 从而 1ν只在紧邻处非常窄的波段内有效 . 而光电吸收 k 几乎与相对频率位移无关 , 近似常 lu2量 . 因此可知 , 产生‚切伦科夫红移?的原因是线吸收. 图 2 中第二条曲线表示了吸收系数ν k= k + k随频率的变化.ν 1 2c c 2 . 4 切伦科夫出射谱强度 I( I) , 谱线轮廓ν yc 将已求出的发射系数 J 和气体吸收系数 k 代入辐射转移方程, ν νcc (ν) (ν)II, x ν, x νd( )29 S-, = ν 22 τd νn νn νc2 τ其中光深 = kL , 源函数 S?J / nk. 对于厚 L 的均匀平面平行发光层气体 , 出射谱ν νν ν νν强度为 :c Jν c 2 τ - kL - ν ν( ()I) ( ) = nS1 -e = 1 - e . 30 ν ν νk νc c ( 在光学薄时, kL ν 1 , 有 I1 J L . 但光学厚情况切伦科夫线辐射才更为重要我们可证νν ν) 明 , 只有光学厚时 , 切伦科夫线发射才是重要的, 而且像类星体、太阳耀斑区这些高能天( ) 体的宽发射线区气体常为稠密气体区 , 更近光厚情况kL µ 1. 当光学厚时, kL µ 1 , 故νν( ) 30简化成c c ( )I31 J/ k, 1 ν ννc J ( ) ( ) ( ) Δνν, k= k+ k 已由 24, 27和 28式给出. 这些解析公式中用 y = / 做变量 , 因而ν ν 1 2 lu( ) ( ) 光厚公式 31式对均匀层表示为 :c - 1 - 1 ( J CN y - y y 1 e limc ( )32 I= = , y - 2 + k k C y + k 122 22 ( ) ( ) ( ) γ( ) 式中 k 由 28式给出 , C、C见 24、27式 . y= C, 其中 C 由 23式给出. c 0 2 1 2 lim 0c ( ) 从 32式可以看出 , 对于光学厚气体 , 切伦科夫出射强度I与气体密度几乎无关 ! yc ( ) 原因是发射 J 和吸收 k = k + k 都正比于密度 N 见 C , C , k 的表达式. y y 1 2 1 2 2 为了方便 , 现将有关的系数重列如下 :天文学报40 卷3903 N N N N luluc -4 28- 4 νAν=5 . 43 ×10A g - g - , C= lu ul ulu ul u 0 3 ggg πg 16 uull 2 2 N N N N luulc e - 2 - 2 ννAC= g - = 1 .31 ×A g - , lu ul u lu ul u 21 ggggπ 16 lluu2 N N N N u c llu- 4 17- 4 νΓνΓ A= 9 . 05 ×10A g - - , C=g luul u lu lu ul u lu 2 3 ggπgg32 uu ll- 5 29- 30 ( )S .ν33 k= 2 . 80 ×10 N 2 lu H ? ss ?pN N ul1 -但在通常物理条件下 , 至少对低能级 , 总有N µ N µ N , 或N µ N . 因此 1 2 3 1 u ggul 0 N Hp - 5 - 5 0 0 ( 这里只保留光致电离求和中氢原子最低N / g, 以及 ?N S 1 R N p , R? ll Hp H p 0 s s ?p N H ) ( ) 激发态对光致电离的贡献. 由 33式简化为g u28- 4 νC5 . 43 ×10A N R , 1 0 lu ul l g lg u- 2 νC1 . 31 ×A N R , 1 1 lu ul l g lg u17- 4 Γ νC9 . 05 ×10A N R , 1 2 lu ul lu l g l- 5 29- 3 0 ( )ν .34 p k 1 2 . 80 ×10N Rlu H p 2( ) 34式中( ) R ?N / N 代表有关的原子离子下能级 l 上的原子相对布居数 , N 是该气体 l l( ) ( ) 中品种原子离子的数密度 , 并且总有 R 1 即绝大部分该品种原子处于基态, 以及 1l. R µ R µ R 1 2 3c c ( ) ν最后 , 为了便于和观测比较 , 将 22 式中的 I换成以频率为变量 , 利用 Idy = y yc νId即可换算: ν1 c c ( )=35 I I . ν y ν lu( ) ( ) ( ) 利用 32、34、35式计算的光学厚情况下切伦科夫谱线轮廓见图2 中最下方曲线c( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ν I,曲线. 请注意 , 尽管导出 32式时 , 利用了解析公式 14、24、27. 这些公式只νc - 1 ( 在条件g ν z , b ν z 下成立 , 并且相对波长位移 y 不能无限小否则 J ? y ??, k ? y 1 - 2 ) ( ) y ??都发散 , 显然不合理, 然而导出的公式 32却可安全地推广到 y ?0 而不发散 ,c c ( ) 特别 y = 0 时有 I= 0 , 因此强度公式在整个切伦科夫线发射波段0 , y上都适用 . y limc ν从图 2 下方 I,曲线可见 , 切伦科夫发射线较宽 , 轮廓不对称 , 并且谱线峰不在ννν=精确位臵上 , 发生了微小的‚切伦科夫红移?. lu上面的强度公式是对均匀平行平面发光体层导出的 , 不适用于非均匀气体 . 对不均匀( ) ( ) 气体 , 辐射转移方程 29的解不再是 30, 而应为c c τ ( ) L Iν J ν ν τ - ν τ= ed. ν2 2 ? n kn 0 ν νν( ) 由于在切伦科夫线发射的有效波长范围中 y 不趋向于 0, 实际气体折射率很接近1 , n11 , 故上式简化成νc τ ( ) L ν J ν c τ - ν τ I( )=e 36 d.ν ν ?k ν0c( ) ( 由于气体介质不均匀 , 因子 J / k 不能提到积分号之外因为该比值随位移值 s 而ν νc 0 0( ) ( ) ) 变化, J ? N ? N x , k 1 k ? N = N x . ν l l ν 2 H H( ) 将 36式重新整理 , 即为L x ( ) c c -kx′d x′ν ?0 ( )( ) = Jx e( )IL d x . 37 νν? 0( ) ( ) 如果该品种原子离子实际只分布于区间 x , x 中 , x′=x - x < L , 其中 1 2 2 1 c ( ) ( ) ( ) J x ?0 , kx ?0 , 则 37式应写为ννx x 2( ) c c - kx′d x′ν ?0 ( ) I( ) ( )L d x . = Jx e38 νν? x 1c ( ) ( ) 此为不均匀情况下的出射强度公式 , 只要知道了沿途各点 x 的 J x 、k x , 即可由ν ν 数值计算完成此积分 . 但是在某些情况下 , 半定量估值已足够好 , 我们可用一类似均匀层( ) ( ) 公式的简化公式代换 37或 38, 即x 2 c ( ) J x d x ν ? x1 c c ( )I= J/ k=39 . ν νν x2 ( ) kx dxν ? x12 . 5 切伦科夫红移ν( ) 切伦科夫发射并不精确位于本征频率处 , 此微小的‚切伦科夫红移?可利用 32式luc d I y 对 y 求导得到 , 由 = 0 , 求得此红移为 : d y1 1 c ( )40 Δ= . Z? y = t - 1 - 1 -2 - 2 - 2 - 4 γγy C +C y+ k / C+ k/ C 0 c0 clim 2 22 2lim( ) 为了保证切伦科夫辐射的有效性 , 要求气体稠密 , 对连系谱光厚详细的讨论略. 如( ( ) ( ) C/ k 由 27和 28式已知 C/ k 与气体密果气体密度高到使切伦科夫线宽y µ 2 2 2 2 li m) ( ) ( ) 度无关 , 但 y ? N . 则由 34式和 40式可得简化的红移公式 li m( ) 当y µ C/ k : l i m 2 2g u- 1 c- 6- 1 5νΔδΓ A( )Z R R p, ? y 141 C/ k = 1 . 80 ×10 2 2 lu ul ul l p t g l0 + 0 ) δ( δ其中 ?N / N , 注意当氢电离度很小 , 即 f ?N / N 1 0 时 , 41才代式中定义的 HH Hreal ( ) δδ表该品种原子或离子的丰度 , 否则此处的可能显著大于真实丰度?N / N , 因为 H0 ( ) 对高电离气体 , 很有可能N / N ν 1 . 显见 41y 所在频率处恰有 k= k, 在式给出的HH t 1 2 νν紧邻频段 , 有kµ k, 可见紧邻频域很强的线吸收造成了切伦科夫线的红移 . 从 lu1 2 lu( ) 41式我们可以看出 , 稠密气体切伦科夫线的红移与气体密度 N 无关 ,只和气体温度 T 、0 (νΓ) ‚丰度?N / N 以及原子参量 , A ,有关. H lu ul lu( ) C/ k, 此时 40式简化为‚稀薄?气体红移公式 :另一极限气体很‚稀薄?,使y ν 2 2 li m天文学报40 卷392y limc ( )Δ42 Z? y 1 .t 2( ) y由 18式给定. limcr ν 可见对一条特定切伦科夫发射线 , 气体的‚稠密?与‚稀薄?可以用临界密度N 来 luC 2cr 确定 , 由临界等式yν可定义气体临界密度 N : lim k 2 - 1/ 2 g -2 7/ 2 - 1/ 2 1/ 2ucr - 1/ 21/ 2 5/ 2 - 35) δ( )N R ,γ ν Γ ( 43 = 3 .30 ×10 A pR l p c lu ul ul g l0 δ其中 ?N / N . Hcr cr ( ) 简言之 , 当N µ N , 应采用简化红移公式 36, 反之 , 当N νN , 采用第二个近似红cr cr ( ) ( ) ( ) 移公式 42. 不管N µ N 和N ν N , 两个简化公式 41和 42都是对连续谱光学厚情cr τ( ) 况下导出的,= k + k L µ 1 . 这里说的‚稀薄?, 即N ν N , 对连续谱辐射仍为光厚. ν 1 bf cr( ( ) ) 在N ν N 的‚稀薄?情况下 , 不只切伦科夫红移值变小见 42式, 而且谱线轮廓变得对称 .cr 图 2 下方的曲线表示的恰是N µ N情况下氢的切伦科夫谱线轮廓和红移值 , 这时cr 的确是高频端陡 , 低频端平坦下降 , 轮廓明显不对称. 但对于N ν N情况 , 由谱强度公式( ) 30计算的轮廓具有很好的对称性 , 即轮廓的不对称并非切伦科夫曲线的普遍特征 , 只是高密度情况下的结果 .c 2 . 6 切伦科夫谱线总强度 I(τ( ) ) ( ) 对光厚= k + kL µ 1情况下的均匀平行平面层的谱强度 30式积分 :1 2y lim c c ( )44 I= I d y ,y ? 0c 即得一条切伦科夫发射线总强度 I:( )arct g X c 2 I( ))( - 2 1 - = Y ln 1 + X 45 , XN Ck e 12其中参量 Y ? , N 是相对论电子数密度 , X ? y, 而 C、C、C和k 由公式e lim 0 1 2 2 2 k C2 2( ) ( ) 34式给出 , y由 23式给出. limky2limcr( ) N µ N , 总强度公式可以大为简化 , 此时 X ? 对于很稠密的气体y1 µ lim y C 2tcr( ( ) 1 参见 N 的定义以及稠密气体近似红移公式 41, 故总强度公式简化为 :y C 1lim2 c 2 Y { ln X - 1} (1 1)( ). ergs/ cm. sec. st r I46 N ln e Cy 3 t( ) 将 34式代入上式 , 即得 :ygR uulim2 c 5 - 30δ()( )νln ergs/ cm. sec. st r 47 I1 4 . 67 ×10A p N , lu ule gR y llt0 ( ) δδ其中 ?N / N 代表该品种原子离子丰度 , 讨论氢原子谱线时 , 取 = 1 . Hk 2cr在N ν N 的‚稀薄?气体极限下 , 出射强度公式也可以大为简化 , 此时 X ? y lim C 2( ) ν 1 , 故 45式简化为 :CN 1 2e2 c 1 X Y = Iy( ) . 48 lim 2 C 2代入 C、k, 即 : 2 22 - 1 2 c - 19νΓI( )1 7 . 24 ×10 yN , 49 e lu lu lim或为 :2 g u22 2 4 c 39- 6- 1 20νΓδγ)( 2 . 13 ×10A R N N . 50 1 Ilu lu ul l H c e g l参考文献1 尤峻汉 ,程富华. 物理学报 ,1980 ,29 :927 - 9352 Yo u J H , Cheng F H , Cheng F Z. Phys Rev , 1986 ,A34 :3015 - 30223 Xu K Z , Yang B X , Xi F Y. Phys L et t , 1981 ,A86 :24 - 34Xu K Z , Yang B X , Xi F Y. Phys Rev , 1988 ,A33 :2912 - 2919 45 Xu K Z , Yang B X , Xi F Y. Phys Rev , 1981 ,A40 :5411 - 54246 Cando n E , Odishow E. Handboo k of Physics , Mc Graw2Hill , New Yo r k ,19587 Cheng F H , Yo u J H , Yan M . Ap J , 1990 ,358 :18 - 288 Netzer H , Blandfold R D. Active Galactic Nuclei , Sp ringer , Berlin , 1990薛随健 ,程福臻. 天文学进展 ,1995 ,13 :75 - 86 9THE BASIC FO RM UL AE OF CERENKO V L I NE RAD IATIO NL IU Dang2Bo J IN Guang2Xue SH I J ian2Ro ng YOU J un2Han( )I nst i t ute of S pace Physics a n d A st rop hysics , S ha n ghai J i aoton g U ni versi t y , S ha n ghai 200030 ABSTRACT Early in 1980 , Yo u and Cheng argued t hat , w hen relativistic elect ro ns move t hro ugh a dense gas , t he Cerenkov effect will p ro duce peculiar emissio n lines. They p resented a series of fo r mulae to describe t his new line radiatio n . Then an elegant experimental co nfir matio n has been perfo r med by Xu et al . Owing to t he potential impo rtance of t his radiatio n mechanism in ast rop hysics , t he aut ho rs of t his paper t ry to examine and imp rove t he p revio us fo r mula system in a fo r m , w hich is mo re co nvenient fo r ast rop hysicalapplicatio ns. In particular , t he extended fo r mulae may be applied to ot her species of ato ms and/ o r io ns rat her t han hydrogen as inp revio us papers , and used in calculatio ns fo r t he no nunifo r m plane2parallel slabs of t he emissive gas.Key words radiatio n mechanism , Cerenkov radiatio n , spect ral line p rofile , red shif t。