一元二次方程 (思维导图+资料)复习过程
一元二次方程(思维导图+资料)
1、 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程2、 经历探究将一般一元二次方程化成（)0()2≥=+n n m x 形式的过程，进一步理解配方法的意义3、 在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。
重点：使学生掌握配方法，解一元二次方程难点：把一元二次方程转化为的（x ＋m ）2= n （n ≥0）形式 二、知识准备1、 请说出完全平方公式。
（a ＋b ）2 = （a -b ）2=2、 用直接开平方法解下例方程：（1） （2）134)5(2=+-x （1）16442=+-x x （2）13425102=++-x x三、学习过程问题1、请你思考方程5)3(2=+x 与0462=++x x 有什么关系，如何解方程0462=++x x 呢？问题2、能否将方程0462=++x x 转化为（n m x =+2)的形式呢？由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（x ＋m ）2= n 的形式（其中m 、n 都是常数），如果n ≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
（1）2x －4x ＋3＝0. （2）x 2＋3x －1 = 0四、知识梳理问题1：配方法解一元二次方程的作用是什么？配方法时要注意什么？ 问题2、配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？达标检测一1、填空：（1）x 2+6x+ =(x+ )2；(2)x 2-2x+ =(x- )2；(3)x 2-5x+ =(x- )2；(4)x 2+x+ =(x+ )2；(5)x 2+px+ =(x+ )2；2、将方程x 2+2x-3=0化为(x+m)2=n 的形式为 ；3、用配方法解方程x 2+4x-2=0时，第一步是 ，第二步是 ，第三步是 ，解是 。
1、用配方法解一元二次方程x 2+8x+7=0，则方程可变形为（ ）A.(x-4)2=9B.(x+4)2=9C.(x-8)2=16D.(x+8)2=572、、已知方程x 2-5x+q=0可以配方成(x-25 )2=46的形式，则q 的值为（ ） A.46B.425C. 419D. -419 3、、已知方程x 2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q 的值是（ ）A.9B.7C.2D.-2 4、、用配方法解下列方程：（1）x 2-4x=5； （2）x 2-100x-101=0； （3）x 2+8x+9=0； （4）y 2+22y-4=0；5、试用配方法证明：代数式x 2+3x-23的值不小于-415。
一元二次方程思维导图
3
系数的影响
系数会影响方程的根的性质和形状。
一元二次方程在实际问题中的应用
抛物线形状
一元二次方程可以描述物体的抛 物线运动。
抛射问题
一元二次方程可以应用于抛射问 题，如炮弹的飞行轨迹。
经济增长
一元二次方程可以描述一些经济 模型和增长趋势。
一元二次方程的图像
抛物线图像
一元二次方程的图像是一个抛物线，可以通过调整系数来改变图像的形状和位置。
一元二次方程思维导图
欢迎来到一元二次方程思维导图的世界！在这个演示中，我们将探索一元二 次方程的定义、一般形式、解的性质、与系数的关系、实际应用、图像和解 的求法。
一元二次方程的定义
方程中最高次项的幂为二，且只有一个变量的方程称为一元二次方程。
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式为ax²+ bx + c = 0，其中a、b、c是实数，且a ≠ 0。
一元二次方程的解的性质
1 两个解
一元二次方程通常有两个 解，除非是一个解或无解 的特殊情况。
2 平方差公式
解可以通过使用平方差公 式来计算。
3 实根与虚根
一元二次方程的解可以是 实数根或复数根。
一元二次方程的根与系数的关系
1
系数和根的关系
一元二次方程的系数和根之间存在着特
判别式
2
定的数学关系。
方程的根可以通过判别式来确定。
顶点பைடு நூலகம்轴对称
抛物线的顶点和对称轴是方程中的重要特征。
焦点和准线
抛物线上的焦点和准线也是方程的关键属性。
一元二次方程的解的求法
1
因式分解
一元二次方程可以通过因式分解来求解。
《一元二次方程》的知识结构框架图
一、《一元二次方程》的知识结构框架图二、本章知识点概括1、相关概念（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程整式方程二次方程：一元二次方程，二元二次方程*（4）有理方程高次方程：分式方程2、降次——解一元二次方程（1）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是：①方程化为一般形式；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③化二次项系数为1；④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，从而原方程化为（mx+n）2=p的形式；⑤如果p≥0就能够用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。
（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．其方法为：先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当⊿＝b2－4ac≥0时，•将a、b、c代入求根公式x=a2ac 4bb2-±-（b2-4ac≥0）就得到方程的根．（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是：①通过移项将方程右边化为0；②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。
3、一元二次方程根的判别式（1）⊿＝b 2－4ac 叫一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式。
一元二次方程的思维导图
素养目标：
1.理解一元二次方程的概念．
2．掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，确定出二次项系数、一次项系数和常数项．
3．理解一元二次方程的根的意义.
教学重点：
掌握一元二次方程的概念、一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及一元二次方程的根等概念，并能用这些概念解决简单问题.
基本概念：
方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程（等式），叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．。
一元二次方程思维导图脑图
一元二次方程认识一元二次方程概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。
一般形式ax +2bx +c =0(a = 0)解满足方程的未知数的值就是方程的解常见题型：①通常需要判断“a”是否为零。
——a=0，b≠0，一次方程；a≠0，二次方程②已知方程的解是……，求方程中的其它参数——代入法……一元二次方程的求解①直接开平方法一般形式：x =2m (m ≥0)(x +n )=2m (m ≥0)例题： (x −2)=21x =11,x =23②因式分解法将一元二次方程进行因式分解，使其变成两个含有未知数的因式相乘的形式。
或解得，a (x −x )(x −1x )=20(x −x )(x −1x )=20x =x 或x =1x 2例题：x +25x +6=0(x +2)(x +3)=0x =1−2,x =2−3③配方法将一元二次方程的一般形式化为完全平方公式，再直接用开平方法求解。
步骤把常数项移到方程右边，把二次项系数化为1将方程两边都加上一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方用直接开平方法解出原方程的解④求根公式法一元二次方程的根根的判别式： Δ=b −24acΔ>0，方程有两个不相等的实数根Δ=0，方程有两个相等的实数根Δ<0，方程没有实数根根与系数的关系（韦达定理）x +1x =2−ab x ⋅x =12ac常见推论：…………x +12x =22(x +1x )−222x x 12(x −1x )=22(x +1x )−224x x 12x −13x =23……±x 11=x 21……正向题型：方程有没有根？怎么求整数根？逆向题型：根据方程根的情况，求其他参数（某字母的值或取值范围）讨论下根的正负性？证明下根与其他参数的关系？……一元二次方程的应用数字问题常见题型：①已知连续两个奇数/偶数/整数的积是多少，求这两个数。
②已知给出某两位数个位数、十位数的条件，求满足条件的两位数。
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一元二次方程(思维导图+资料)1、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程2、经历探究将一般一元二次方程化成（)0()2≥=+n n m x 形式的过程，进一步理解配方法的意义3、在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。
重点：使学生掌握配方法，解一元二次方程难点：把一元二次方程转化为的（x ＋m ）2= n （n ≥0）形式二、知识准备1、请说出完全平方公式。
（a ＋b ）2 = （a -b ）2 =2、用直接开平方法解下例方程：（1） （2）134)5(2=+-x （1）16442=+-x x （2）13425102=++-x x三、学习过程问题1、请你思考方程5)3(2=+x 与0462=++x x 有什么关系，如何解方程0462=++x x 呢？问题2、能否将方程0462=++x x 转化为（n m x =+2)的形式呢？由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（x ＋m ）2= n 的形式（其中m 、n 都是常数），如果n ≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
（1）2x －4x ＋3＝0. （2）x 2＋3x －1 = 0四、知识梳理问题1：配方法解一元二次方程的作用是什么？配方法时要注意什么？问题2、配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？达标检测一1、填空：（1）x 2+6x+ =(x+ )2；(2)x 2-2x+ =(x- )2；(3)x 2-5x+ =(x- )2；(4)x 2+x+ =(x+ )2；(5)x 2+px+ =(x+ )2；2、将方程x 2+2x-3=0化为(x+m)2=n 的形式为 ；3、用配方法解方程x 2+4x-2=0时，第一步是 ，第二步是 ，第三步是 ，解是 。
1、用配方法解一元二次方程x 2+8x+7=0，则方程可变形为（ ）A.(x-4)2=9B.(x+4)2=9C.(x-8)2=16D.(x+8)2=572、、已知方程x 2-5x+q=0可以配方成(x-25 )2=46的形式，则q 的值为（ ） A.46 B.425 C. 419 D. -419 3、、已知方程x 2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q 的值是（ ）A.9B.7C.2D.-24、、用配方法解下列方程：（1）x 2-4x=5； （2）x 2-100x-101=0；（3）x 2+8x+9=0； （4）y 2+22y-4=0；5、试用配方法证明：代数式x 2+3x-23的值不小于-415。
1、用配方法解下列方程：(1)x 2-6x-16=0； (2)x 2+3x-2=0；2、请你思考方程x 2-25x+1=0与方程2x 2-5x+2=0有什么关系？三、学习内容问题1、如何解方程2x 2-5x+2=0？ 01832=++x x -01432=++x x四、知识梳理问题1：对于二次项系数不为1的一元二次方程，用配方法求解时要注意什么？问题2、：用配方法解一元二次方程的步骤是什么？系数化一，移项，配方，开方，解一元二次方程1、填空：(1)x 2-31x+ =(x- )2, (2)2x 2-3x+ =2(x- )2. 2、用配方法解一元二次方程2x 2-5x-8=0的步骤中第一步是 。
3、方程2(x+4)2-10=0的根是 .4、用配方法解方程2x 2-4x+3=0，配方正确的是（ ）A.2x 2-4x+4=3+4B. 2x 2-4x+4=-3+4C.x 2-2x+1=23+1D. x 2-2x+1=-23+1 5、用配方法解下列方程：（1）04722=--t t ； （2）x x 6132=-1、用配方法解下列方程，配方错误的是（ ）A.x 2+2x-99=0化为(x+1)2=100B.t 2-7t-4=0化为(t-27)2=465 C.x 2+8x+9=0化为(x+4)2=25 D.3x 2-4x-2=0化为(x-32)2=910 2、a 2+b 2+2a-4b+5=(a+ )2+(b- )22、用配方法解下列方程：(1)2x 2+1=3x ； (2)3y 2-y-2=0；3、试用配方法证明：2x 2-x+3的值不小于823. 4、已知(a+b)2=17，ab=3.求(a-b)2的值.一、知识目标1、会用公式法解一元二次方程2、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b 2－4ac ≥03、在公式的推导过程中培养学生的符号感重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误二、知识准备1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？2、用配方法解下例方程（1）02722=--x x （2）05422=+-x x三、学习内容问题1：如何解一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）？回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：因为0a ≠，方程两边都除以a ，得 20b c x x a a++= 移项，得 2b c x x a a +=- 配方，得222)2()2(22ab ac a b x a b x +-=+••+ 即 2224()24b b ac x a a-+= 问题2、为什么在得出求根公式时有限制条件b 2－4ac ≥0？当240b ac -≥，且0a ≠时，2244b ac a -大于等于零吗？ 让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当240b ac -≥时，因为0a ≠，所以240a >，从而22404b ac a -≥ 到此，你能得出什么结论？让学生讨论、交流，从中得出结论，当240b ac -≥时，一般形式的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根为2b x a +=2b x a-=。
由以上研究的结果，得到了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式：2b x a-= （240b ac -≥） 这个公式说明方程的根是由方程的系数a 、b 、c 所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
例 6 解下列方程：⑴ x 2＋3x ＋2 = 0 ⑵ 2 x 2－7x = 4四、知识梳理引导学生总结：1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？举例说明。
3、若解一个一元二次方程时，b 2－4ac ＜0，请说明这个方程解的情况。
五、达标检测达标检测一1、把方程4-x 2=3x 化为ax 2+bx+c=0(a≠0)形式为 ，b 2-4ac= .2、方程x 2+x-1=0的根是 。
3、用公式法解方程2x 2+43x=22,其中求的b 2-4ac 的值是（ ）A.16B. ±4C. 32D.644、用公式法解方程x 2=-8x-15，其中b 2-4ac= ，方程的根是 .。
5、用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ）A.x 1.2=21214412-±B. x 1.2=21214412-±- C. x 1.2=21214412+± D. x 1.2=64814412-± 达标检测二1、把方程(2x-1)(x+3)=x 2+1化为ax 2 + bx + c = 0的形式，b 2-4ac= ，方程的根是 .2、方程042=-x x 的解为 ．3、方程(x-1)(x-3)=2的根是（ ）A. x 1=1,x 2=3B.x=2±23C.x=2±3D.x=-2±234、已知y=x 2-2x-3，当x= 时，y 的值是-35、用公式法解下列方程：（1）x 2-2x-8=0； （2）x 2+2x-4=0；（3）2x 2-3x-2=0； （4）3x(3x-2)+1=0.4、已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程210240x x -+=的一个根，求这个三角形的周长。
一、学习目标1、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用2、能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程重点：一元二次方程根与系数的关系难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值一、知识准备1、一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）当240-≥时，X1,2 =b ac2、解下例方程：（1）x2 -4x+4=0 （2）2x2 -3x -4=0 (3) x2+3x+5=0三、学习内容1、情境创设1、引导学生思考：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？⑴x2＋2x－8 = 0 ⑵x2 = 4x－4 ⑶x2－3x = －32、探索活动1、一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？例解下列方程：⑴x2＋x－1 = 0 ⑵x2－23x＋3 = 0 ⑶ 2x2－2x＋1 = 0分析：本题三个方程的解法都是用公式法来解，由公式法解一元二次方程的过程中先求出b2－4ac的值可以发现它的符号决定着方程的解。
3、你能得出什么结论？由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定：当b2－4ac＞0时，方程有当b2－4ac = 0时，方程有当b2－4ac ＜0时，方程我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的判别式。
4、若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到的值的符号呢？当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2－4ac当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac例题教学不解方程，判断下列方程根的情况：1、2260+=；x x+-=； 2、242x x3、x=+1x342-四、知识梳理请同学们议一议一元二次方程根与系数的关系五、达标检测达标检测一1、方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，所以方程的根的情况是 .2、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（）A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定3下列方程中，没有实数根的方程式（）A.x2=9B.4x2=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y2+6y+7=04、方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）A.b2-4ac＞0B. b2-4ac＜0C. b2-4ac≤0D. b2-4ac≥05、如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= .达标检测二1、方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定2、关于x的一元二次方程的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定3、关于x的方程x2+2k x+1=0有两个不相等的实数根，则k( )A.k＞-1B.k≥-1C.k＞1D.k≥04、已知方程x2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m，n的值可以是m= ,n= .5、若方程2610-+=有实数根，则k的范围是_____________________。