第一章微分方程概论-第一章微分方程概论

需要的性能。当然也会有助于进行关于解的其 他研究。因此，在微分方程发展的古典时期， 数学家们曾经把主要目标放在求通解上。但是 后来却发现大多数微分方程都求不出通解，而 物理和力学上所提出的微分方程问题又大都是 要求满足某种指定条件的特殊解，即所谓定解 问题的解。这就迫使人们改变原来的想法，而 把定解问题的研究提到重要的地位。
内画出微分方程 dy y 的向量场和几条 dx
积分曲线。
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用Maple软件绘制
这样一个事实对于求解微分方程（1.2.1） 是非常重要的。因为当方程（1.2.1）不可 解时，就可以根据向量场的走向来求近似的 积分曲线，同时还可以根据向量场本身的性 质来研究解的性质，而不必求出微分方程的 解。这正是近似解法和定性理论的基础。
定理1.2.1 曲线C为微分方程（1.2.1）积分曲 线的充分必要条件是：在C上任意一点，C的 切线与（1.2.1）所确定的向量场在该点的向 量相重合。C在每一点均与向量场的向量相 切。
证明 必要性。设C为（1.2.1）的积分曲线，
且其方程为 y x，则函数 y x
为微分方程（1.2.1）的一个解，于是，在其定义
ds v t , dv a t
dt
dt
d 2s dt 2
ds dt
k2s
f
sin t
v m dv v2 dm
d2y dx2
w H
1
dy dx
2
d2
d2w
dx2
EJ (x)
dx2
q(x)
(1.1.1) (1.1.2) (1.1.3)
(1.1.4) (1.1.5)
2u 2u 2u x2 y2 z2 0
等于函数 f x, y 在这点上的值。假设在区域 D内的每一点，都画上以 f x, y在这点的值为
斜率，并且一律指向增加方向的有向线段，我 们就说在区域D上做出了一个由方程（1.2.1）
确定的方向场。这个方向场称为由微分方程 （1.2.1）所确定的向量场。
方程（1.2.1）的一个解 y x 从几何上看
得到方程向量场和几条积分曲线（如图1.2.3b）。
图1.2.3a
图1.2.3b
*** 常微分方程发展简史与著名科学家简介
一、 微分方程发展的几个关键时期
奠基时期微分方程差不多是和微积分同
时产生的，当牛顿和莱布尼兹奠定微积分的基 本思想的同时，他们也就正式提出了微分方程 的概念。
牛顿
莱布尼兹
第一发展时期 从17世纪末到18世纪，
雅各布第一 ·伯努利 约翰.伯努利
丹尼尔.伯努利
莱昂哈德·欧拉
约瑟夫·路易斯·拉格朗日
第二发展时期对18、19世纪建立起来的
多数微分方程数学家们求显式解的努力往往归
于失败。特别是Liouville在1841年证明了大多 数微分方程不能用初等积分方法求解。这种情 促使他们转向证明解的存在性，这也是微分方 程发展史上的一个重要转折点。最先考虑微分 方程解的存在性问题的数学家是柯西，18世纪 20年代，他给出了常微分方程的第一个存在性 定理。柯西给微积分学注入了严格的要素，同 时也为微分方程的理论奠定了一个基石——解 的存在性和唯一性定理。
区间上有 x f x, x. 上式左端为C在点 x, x 的切线的斜率，
右段恰为方程（1.2.1）的方向场在同一点
x, x 的向量的斜率。从而，C在点 x, x
的切线与方向场在该点的方向重合。又因为上式 为恒等式，这说明上述说法在整个曲线C上成立。
充分性。设有曲线C，其方程为 y x
这个时期的另一个崭新的方向，也可以说是 微分方程发展史上的又一个转折点，就是定 性理论，它是由庞加莱独创的。庞加莱由对
三体问题的研究而引导到常微分方程定性理论 的创立。
柯西
刘维尔
庞加莱 李亚普诺夫
庞加莱关于在奇点附近积分曲线随时间变 化的定性研究，在1892年以后被俄国数学 家李亚普诺夫发展到高维一般情形而形成 专门的“运动稳定性”分支，他提出的李亚 普诺夫函数和李亚普诺夫指数概念意义极 为重要。李亚普诺夫的工作使微分方程的 发展呈现出一个全新的局面。
yn a1 x yn1 a2 x yn2 L an1 x y' an x y f (x)
设I是一个区间，函数 x在I上有定义，而
且有直到n阶导数，如果对任意 x I ，有
F(x, x,' x,'' x,L n x) 0（1.1.14）
或
n x f ( x,' x,'' x,L n1 x) 0 （1.1.15）
Cauchy和Weierstrss就是采用了这种观点， 差不多在同一时期，在很一般的条件下，解决 了当时常微分方程论中的一个基本问题----初值 问题解的存在与唯一性。
现在，常微分方程已经成为对一些运动过
程、运动规律进行描述研究的必要途径，其 重要性在于它是各种精确自然科学、社会科 学中表述基本定律和各种问题的根本工具之 一，自然界的许多运动现象，例如宏观的地 球围绕太阳周期运动，微观的原子中的原子 核和中子的运动等都可以用微分方程来描叙。 微分方程从它诞生起即日益成为人类认识并 进而改造自然、社会的有力工具，成为数学 科学联系实际的主要途径之一。用微分方程 的知识研究自然现象（如物理现象、生物现 象）是现代数学科学研究中很重要的方法之 一。
*** 微分方程论简介
常微分方程理论，作为数学的一个重要 分支，所研究的问题是多种多样的。不言而 喻，求出微分方程的解是微分方程论的首要 问题之一。
如前所述，如果能找出微分方程通解的形式， 就有可能适当地选定其中的任意常数，获得 所需要的特殊解。就有可能通过这种表达式， 讨论解对某些参数（这些参数在应用上往往 表征某些物理特征）的依赖性，从而适当地 选取这些参数，使得对应的解具有所
或
yn f (x, y, y' , y'' ,L yn1 ) （0 1.1.13）
其中 f 是它所依赖的n+1个变量的已知函数。 这种已经就最高阶导数解出的微分方程称为 正规型微分方程。有时也称形如（1.1.12）的 方程为隐式微分方程。
如果待定函数和它的各阶导数都独立地 以一次的形式出现在方程的各项中，则这 种微分方程称为线性的，正规型n阶线性常 微分方程的一般形式为
(1.1.11)
等各种形式。 容易看出上述微分方程中（1.1.1）--（1.1.5）
是常微分方程；而（1.1.6）--（1.1.11）是偏 微分方程。
微分方程的阶: 微分方程中待定函数的最高 阶导数的阶数，称为微分方程的阶。 n阶常微分方程的一般形式为
F (x, y, y', y'',L yn ) 0 (1.1.12)
的向量场的图形和几条积分曲线的图形。
解 取区域为以原点为中心的矩形
D x, y x 2, y 2
利用下列Maple命令 ➢DEtools[dfieldplot] ([diff(y(x),x)
=x^2-y(x)],y(x),x=-2..2,y=-2..2, dirgrid=[9,9],arrows=LINE, axes=NORMAL); 得到方程向量场的示意图 （图1.2.3a）；
在其上任意一点 x, x ，它的切线方向
都与微分方程（1.2.1）的方向场的方向重合， 则切线与向量的斜率应该相等。
于是，在 y x 有定义的区间上，有
恒等式 x f x, x.
这个等式说明 y x 是微分方程
（1.2.1）的解。从而C是积分曲线。
例 1.2.2 画出微分方程 dy x2 y dx
微分方程在物理学、化学、生物科学、工程科 学以及社会科学中有着广泛应用，有些学科的
基本方程就是微分方程或方程组，如动力学的 基本方程就是牛顿第二定律：
F ma m& x&
笛卡尔方法论原理的本旨是寻求发现真理的一 般方法，他称自己设想的一般方法为“通用数 学”，其思想：任何问题⇒数学问题⇒代数问题 ⇒方程求解。 在物理学中常见的微分方程有：
北京邮电大学理学院 郭玉翠
*** 2016年2月
基本内容
第一章 微分方程概论 第二章 微分方程模型 第三章 初等积分方法 第四章 基本定理 第五章 线性微分方程理论和解法 第六章 定性理论与稳定型简介 第七章 首次积分法与一阶偏微分方 程
课程要求与成绩评定
学期成绩：由平时作业、出勤，期中，期末和创新奖 励综合评定。 平时作业、考勤占20%； 期中：15%； 鼓励同学对新知识的探究和解决困难问题的兴趣， 5%的成绩用来奖励对新知识的探究和解决困难问 题。具体形式：讲课上内容、困难问题求解、实际 问题建模等。 期末：60%。
成立，则称是微分方程（1.1.12）（1.1.13）
的解。在坐标平面内 x 代表的曲线称为积
分曲线。 一般地，微分方程的解是通过积分得到的，
积分一次出现一个任意常数。微分方程解中独 立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同时， 称这种解为微分方程的通解或一般解：
y x,C1,C2,L ,Cn （1.1.16）
众多科学家，包括伯努利（家族）、欧拉、 高斯、拉格朗日和拉普拉斯等，把微分方程 的研究结合于当时许多重大的实际力学问题。 在这个时期，数学家们发明了所有求解一阶 方程的初等方法；找到了二 阶常系数线性齐
次方程的解法；并用参数变易法解出了一般 二 阶变系数非齐次常微分方程；在18世纪 末，常微分方程已成为有自己的目标和方向 的新数学分支，成为当时工程技术、物理、 力学等学科的基本工具之一。
十九世纪末期，由庞卡莱和李雅普诺夫分
别创立的常微分方程的定性理论和稳定性 理论，代表了当时非线性力学的最新方法。
进入二十世纪，在众多应用数学家
的共同努力下，常微分方程定性理论的发 展更加拓广了它的应用范围，并深入到机 械、电讯、核能、火箭、人造卫星、生物、 医学及若干社会学科（如人口理论、经济 预测等）的各个领域。现在微分方程已成 为当今数学中最具有活力的分支之一。