抽样推断概述
样本可能数目
举例计算抽样平均误差
• 设有4个工人，每人的日产量分别为40、50、 70、80，现随机抽选2人，求平均日产量， 用以代表4人总体的平均日产量。
• 总体平均日产量 • 总体标准差
40 50 70 80 X 60元 4
(X X )
N
2
1000 15.81元 4
不重复抽样
每次从总体中抽选一个单位后就不 再将其放回参加下一次的抽选。又 称不放回抽样. 总体单位数减少n，同一单位只可 能被抽中一次。
• 三、抽样误差
• 1、统计误差的种类 • 统计误差是指统计数据与客观实际数量之间的 差距。有两种情况： • （1）登记性误差。指在调查、整理过程中， 由于各种主观原因引起的误差。 • （2）代表性误差。指由于样本单位的结构情 况不足以代表总体所产生的误差。又分两种：
抽样推断
全及总体指标：
参数（未知量）
统计推断
样本总体指标：统
计量（已知量）
抽样推断的特点
按随机原则抽取样本单位
以样本的数量特征推断总体的数量特征
抽样推断产生抽样误差，但抽样误差可 以事先计算并控制
抽样推断的应用 （１）用于无法采用或不必采用全 面调 查的现象； （2）对全面调查的结果进行复核； （3）生产过程的质量控制； （4）对总体的假设进行检验。
• ①系统性误差。由于违反了抽样调查的随机 原则而产生的误差。 • ②随机性误差。由于遵守抽样的随机原则， 但可能抽到不同的样本而产生的误差。又分 两种： • 实际误差：某一样本指标与总体指标之间的 差异； • 平均误差：所有可能出现的样本指标与总体 指标的平均离差。
抽样平均误差
2 （ x X ）
设总体中 N 个总体单位某项标志的标志值分别 为 X1 , X 2 , X N ，其中具有某种属性的有 N1个 单位，不具有某种属性的有 N 0个单位，则 ⒈ 总体平均数（又叫总体均值）：
X
X
i 1
N
i
N
或X
X
i 1 m
m
i
fi
i 1
fi
⒉ 总体单位标志值的标准差：
2 1 N X i X 或 N i 1
序 号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
样本变量
x
40，40 40，50 40，70 40，80 50，40 50，50 50，70 50，80 70，40 70，50 70，70 70，80 80，40 80，50 80，70 80，80
样本平均 数 x
1
fi
i 1
m
X
m i 1
i
X
f
2
i
⒊ 总体单位标志值的方差：
1 N
2
X
N i 1
i
X 或
2
2
1
fi
i 1
m
X
m i 1
i
X
f
2
i
⒋ 总体成数：
N0 N1 P ,Q 1 P N N
⒌ 总体是非标志的标准差：
P P1 P PQ
抽样总体
n≥30称为大样本,n ＜30称为小样本.n/N称为抽样比. 例如：在100万户居民中，随机抽取1000户居民进行 家庭收支情况调查，其中的100万户居 民就是全及 总体，而被抽中的1000户居民则构成抽样总体。
全及指标 根据全及总体各个单位的标志值或
标志特征所计算的反映总体某种属 性的综合指标 ，又称总体参数。
1 1 2 s xi x 或s m n i 1
2 2
n
x f
m 2 i 1 i i
i
⒋ 样本成数：
n0 n1 p ,q 1 p n n
为 P 的 ⒌ 样本单位是非标志的标准差： 无偏估计
s p p1 p pq
40 45 55 60 45 50 60 65 55 60 70 75 60 65 75 80
平均数离差 离差平方和
[x X ]
-20 -15 -5 0 -15 -10 0 5 -5 0 10 15 0 5 15 20
[ x X ]2
400 225 25 0 225 100 0 25 25 0 100 225 0 25 225 400
⒈ 样本平均数（又叫样本均值）：
x
x
i 1
n
i
n
或x
x
i 1 m
m
i
fi
i 1
fi
为自由度 ⒉ 样本单位标志值的标准差：
1 s xi x 或s n i 1
2
n
1
为 的无偏估计
f
i 1
m
x x f
m 2 i 1 i i
i
⒊ 样本单位标志值的方差：
第一节 抽样推断概述
一、抽样推断
按照随机原则从总体中抽取一部分单位进行 观察，并依据所获得数据的处理结果，对总 体的数量特征做出具有一定可靠程度的估计 和判断，从而达到对总体的分布状况及其数 量特征认识的目的。 指样本单位的抽取不受主 观因素及其他系统性因素 的影响，每个总体单位都 有均等的被抽中机会
⒍ 样本单位是非标志的方差： 为 的 无偏估计
2 P
s p p1 p pq
2
抽样方法的分类
重复抽样
根据取样方式不同，可分为：
从总体N个单位中随机抽取一个样本容 量为n的样本，每次从总体中抽取一个， 并把结果登记下来，又放回总体中重新 参加下一次的抽选。又称放回抽样
总体单位数N不变，同一单位可能 多次被抽中。
抽样推断的一般步骤
设 计 抽 样 方 案
抽 取 样 本 单 位
收 集 样 本 数 据
计 算 样 本 统 计 量
推 断 总 体 参 数
二、抽样推断的基本概念 全及总体
又称总体或母体，是所要认识研究对 象的全体，它由具有某种共同性质或 特征的单位所组成。常用N表示全及 总体的单位数目。 又称样本或子样，是指从全及总体中 按照随机原则抽取的那部分个体的组 合。抽样总体的单位数称为样本容量， 通常用n表示。1＜n＜N 。
当P Q 0.5时， P 有最大值
⒍ 总体是非标志的方差：
P P1 P PQ
2
指根据抽样总体各个单位的标志值 抽样指标 或标志特征计算的综合指标，又被 称为统计量，它是随机变量。
设样本中 n 个样本单位某项标志的标志值 分别为 x1 , x2 , xn ，其中具有和不具有某 种属性的样本单位数目分别为 n1和 n0 个，则
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抽样推断
2 2
（三）成数的区间估计 • ☆总体成数P的置信度为100（1－）％的置信 区间为： 重复抽样：
( x z / 2 m p , x z / 2 m p )
不重复抽样： N n N n ( x z / 2 m p , x z / 2 m p ) N 1 N 1
三、样本容量的确定 （一）确定样本容量的意义 • ☆ 找出在规定误差范围内的最小样本容量， 这样确定的样本容量可以在保证满足误差要求 下使得调查费用最小。
2 NZ / 2 P (1 P ) n 2 N2p Z / 2 P (1 P )
第五节
一、假设检验基本概念
假设检验
（一）假设检验基本原理 假设检验的一般步骤： 第一步：确定原假设和备择假设； 第二步：明确检验统计量； 第三步：根据显著性水平，确定拒绝域； 第四步：计算检验统计量的数值； 第五步：给出判断结论。
第八章
抽样推断
第一节
抽样推断概述
一、抽样推断的概念及特点 • ☆抽样推断的概念： 按随机原则从总体中抽取一部分单位（称为样 本），根据样本的信息对总体的数量特征进行科学 估计与推断的方法称为抽样推断。 • ☆抽样推断的主要特点： 第一、按随机原则抽取调查单位 第二、根据部分推断总体 第三、抽样误差可以估计和控制，推断结果 具有一定的可靠性和准确性。
mx
r R 1
其中 为平均数的群间样本方差，即 x2
1 r ( xi x ) 2 r i 1
2 x
（2）成数的抽样平均误差为：
mp
2 p Rr
r
R 1
2 其中 p 为成数的群间样本方差，即
r 1 2 2 p ( pi p ) r i 1
（三）成数的区间估计 • ☆总体成数P的置信度为100（1－）％的置信 区间为： 重复抽样：
( x z / 2 m p , x z / 2 m p )
不重复抽样： N n N n ( x z / 2 m p , x z / 2 m p ) N 1 N 1
三、样本容量的确定 （一）确定样本容量的意义 • ☆ 找出在规定误差范围内的最小样本容量， 这样确定的样本容量可以在保证满足误差要求 下使得调查费用最小。
2 NZ / 2 P (1 P ) n 2 N2p Z / 2 P (1 P )
第五节
一、假设检验基本概念
假设检验
（一）假设检验基本原理 假设检验的一般步骤： 第一步：确定原假设和备择假设； 第二步：明确检验统计量； 第三步：根据显著性水平，确定拒绝域； 第四步：计算检验统计量的数值； 第五步：给出判断结论。
第八章
抽样推断
第一节
抽样推断概述
一、抽样推断的概念及特点 • ☆抽样推断的概念： 按随机原则从总体中抽取一部分单位（称为样 本），根据样本的信息对总体的数量特征进行科学 估计与推断的方法称为抽样推断。 • ☆抽样推断的主要特点： 第一、按随机原则抽取调查单位 第二、根据部分推断总体 第三、抽样误差可以估计和控制，推断结果 具有一定的可靠性和准确性。
mx
r R 1
其中 为平均数的群间样本方差，即 x2
1 r ( xi x ) 2 r i 1
2 x
（2）成数的抽样平均误差为：
mp
2 p Rr
r
R 1
2 其中 p 为成数的群间样本方差，即
r 1 2 2 p ( pi p ) r i 1
抽样推断syong专业知识讲座
计算出各样本旳均值，如下表。
样本平均数
概率
11.52
2.533.54
1/162/163/164/163/162/161/16
样本平均数旳均值或
抽样平均误差是全部样本指标与总体指标离差旳平均水平，所以有下列计算
0.7906件旳含义是，对于16个样本，不论抽到哪个样本平均来说误差为0.7906件。
二、抽样推断旳特点 1、抽样推断是非全方面调查。能够节省人力物力和财力，取得事半功倍旳效果。 2、抽样推断是按随机原则抽选调查单位。 3、抽样推断是用样本旳指标数值去推算总体旳指标数值。 4、抽样推断利用旳是概率原理。 5、抽样推断中产生旳误差能够事先计算并加以控制。
2.抽样平均误差旳计算
27
（2）样本成数旳抽样平均误差
抽样平均误差
【例】从10000名学生中抽查200名测得平均身高为1.65m，已知学生身高旳总体原则差σ=0.28。其中女生占全部学生旳比重30%。求学生平均身高和女生比重旳抽样平均误差。
抽样平均误差(举例)
解：已知N=10000,n=200, x =1.65m,σ = 0.28,p = 30%
(例题分析)
【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产旳一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量旳分布服从正态分布，且总体原则差为10克。试估计该批产品平均重量旳置信区间，置信水平为95%
§7.4 参数估计旳一般问题
估计量与估计值评价估计量旳原则点估计与区间估计
估计量：用于估计总体参数旳随机变量如样本均值，样本百分比、样本方差等例如: 样本均值就是总体均值 旳一种估计量参数用 表达，估计量用 表达估计值：估计参数时计算出来旳统计量旳详细值假如样本均值 x =80，则80就是旳估计值
第5章__抽样推断
抽样误差的影响因素
（1）总体各单位标志变异程度。 （2）样本容量的大小。 （3）抽样方法。 （4）抽样的组织形式。
四、抽样极限误差
含义：
抽样极限误差指在进行抽样估计时，根据研究对象的变 异程度和分析任务的要求所确定的样本指标与总体指标 之间可允许的最大误差范围。
计算方法：
它等于样本指标可允许变动的上限或下限与总体指标 之差的绝对值。
则：
x
n
10 1(公斤) 100
即:当根据样本学生的平均体重估计全部学生的平均 体重时,抽样平均误差为1公斤。
例题二解 已知： N 2000, n 400, x 4800, 300
则：
x
n
300 15(小时) 400
x
2 1 n
3002 1
400
13.42(小时)
n N
-20
400
-15
225
-5
25
0
0
-15
225
-10
100
0
0
5
25
-5
25
0
0
10
100
15
225
0
0
5
25
15
225
20
400
0
2000
样本平均数的平均数( x )
x
样本可能数目
960 16
60元
所以 (x) X
样抽样平均误差x
x (x)2
样本可能数目
2000 11.18元 16
四个工人工资分别为40、50、70、80元
抽样平均误差 x
n
15.81 11.18元 2
第七章 抽样推断
x x X x x
第七章 抽样推断
p p P p p
合适统计量 的估计值 合理的允 许误差 可接受的 置信度水平
t
概率度
5-40
• 区间估计的三要素 估计区间覆盖 总体参数真值 的概率 F(t)
• 区间估计的特点： • 不指出参数的确定数值，而是在一定的概 率保证程度下指出参数的可能范围。 • 估计的可靠程度可知，即为概率保证程度
X
区间估计的两个基本要求： 置信度 精确度
• 希望置信度尽可能大，精确度尽可能高。 • 但在样本容量n一定时，两者矛盾。
一般在给定的概率保证程度下，尽可能 提高估计的精度(通过降低标准误）。
第七章 抽样推断
抽样极限误差（精度） 与概率保证程度（可靠程度） 99.73%
95.45% 68.27%
3 x 2x x
抽样推断包括三方面的内容：
1、抽样。按照随机原则从总体中抽取部分调查 单位（样本）。
2、 构造统计量 。对样本资料进行加工计算， 获得既能反映样本特征又能用于推断总体的样本数 据。 3、推断。运用概率估计方法，以一定的可靠 性推断总体指标数值。
二、抽样推断的特点 1、按随机原则抽取样本单位 2、用部分推断总体 3、抽样推断的误差可以事先计算并加以控 制 4、运用概率估计方法
实际上就是对估计量可允许取的最高值或最 低值进行了限制
ˆ ˆ Biblioteka 例子• 要估计某乡粮食亩产，从8000亩粮食作物中，用不 重复抽样抽取400亩，求得平均亩产为450公斤。如 果确定抽样极限误差为5公斤，这就要求某乡粮食 亩产为450〒5公斤，即在445公斤到455公斤之间。
x
i 1 n
《统计学原理》第5章：抽样推断
σ
n )
抽样推断的基本原理
抽样推断的优良标准
设θ 为待估计的总体参数， θ为样本统计量，则 θ的优良标 准为： １若 E(θ ) =θ ，则称 θ为 θ 的无偏估计量（无偏性）
更有效的估计量（有效性） ２若σθ1 < σθ2，则称θ1为比θ2
３若 越大σθ 越小，则称 θ 为θ 的一致估计量（一 致性）
即中选成分相同但中选顺序不同的视为同一样本
抽样推断的一般问题
抽样组织方式
简单随机抽样 类型抽样 整群抽样 等距抽样 多阶段抽样 多重抽样
抽样推断的一般问题
样本可能数目
按照一定的抽样方法和组织方式,从总体N中抽取n个 单位构成样本,一共可以抽出的不同样本的数量,一般 用M表示. 考虑顺序的不重复抽样 考虑顺序的重复抽样 不考虑顺序的不重复抽样 不考虑顺序的重复抽样
抽样推断的一般问题
全及总体指标：参数 （未知量） 统计推断 样本总体指标：统计量 （已知量）
抽样推断的一般问题
抽样推断的特点 按随机原则抽取样本 运用概率论的理论和方法，用样本指标来推断 总体指标。 推断的误差可以事先计算和控制。
抽样推断的一般问题
抽样推断的应用 无法或 很难进行全面调查而又需要了解 其全面情况时 某些可以采用全面调查的社会经济现象， 也可采用抽样推断。 可用于生产过程的质量控制 进行假设检验
抽样推断的基本原理
抽样推断的优良标准——有效性 中位数的抽样分布
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 45 50 55 60 65 70 75
平均数的抽样 分布
E(x) =
E ( me ) =
e
σx <σm
抽样推断的基本原理
抽 样 与 抽 样 推断
(四)总体参数和样本统计量符号
总体指标符号 总体容量： N 总体平均数： X 总体成数： P 总体方差： 2 总体标准差： 样本指标符号 样本容量： n 样本平均数： x 样本成数： p 样本方差： S 2 样本标准差： S
第二节
抽样误差
一、抽样误差
（一）概念：抽样误差是指抽样估计值与被 估计总体的特征值之间的离差。即： 抽样误差（平均数）= 抽样误差（成 数） =
2）代表性误差：指在用样本数据进行推 断时所产生的随机误差。原因有： A. 抽取样本时没有遵循随机原则； B. 样本结构与总体结构的差异； C. 样本容量不足； 这类误差通常无法消除，但可以事先 控制或计算。
2. 根据是否带有倾向性，分为：
系统性误差（系统性登记误差、系统性代表误差） 非系统性误差（非系统性登记误差、非系统性代表误 差）. 1）系统性误差：登记时有意识地虚报、瞒报以及在选 择代表性单位时有意识地选大或小造成的，带有明显 的系统偏高或偏低倾向； 2.非系统性误差：由于技术的原因或客观的偶然性造成 的，不带有倾向性。相比而言，系统性误差危害更大。
(二)抽样推断的特征
1.抽样估计是由部分推断总体的一种认识方法。 2.抽样估计建立在随机取样的基础上。 3.抽样估计运用的是不确定的概率估计方法。 4.抽样估计的误差可以事先计算并加以控制。
（三）抽样推断的应用范围：
1.对无限总体不可能进行全面调查 2.总体范围过大，或过于分散，很难或不 必要进行全面调查 3.对于具有破坏性的质量检验不能进行全 面调查 4.限于人力、物力、财力不便进行全面调 查 5.对全面调查统计资料的质量进行检查和 修正
xi
xi X
x
i
X
2
《国民经济统计学概论》_第六章_抽样推断
总体未分组： 2 （X X )2 N
总体分组： 2 （X X )2 F F
总体成数的方差为 P(1 - P)
2.统计量，又称样本指标，反映样本特 征的统计指标
（1）样本平均数（ x ），样本各 单位数量标志值的平均数
未分组： x x
n
分组： x xf f
（2）样本成数（p） 是指样本中具有某一相同标志表现的单
要有四个：
（1）总体平均数（ X ）
总体各单位数量标志值的平均数
X
总体未分组情况下：X N
总体分组情况下：
XF
X
F
（2）总体成数（P）
是指总体中具有某一相同标志表现的单 位数占全部总体单位数的比重
多为交替指标
总体中具有相同标志表现的单位数用N1 表示
P N1 N
（3）总体方差和标准差 总体方差（σ2）
特点： 1.抽样方式组织简便，便于实施 2.在已知总体某些有关信息的情况下，
采用等距抽样能保证样本单位在总体中 均匀的分布，从而提高了样本对总体的 代表性，有利于降低抽样误差。
无关标志排队 有关标志排队
（三）类型抽样 首先把总体按某一标志分成若干个类型
组，使各组组内标志值比较接近，然后 分别在各组内按随机原则抽取样本单位。 特点：在于把分组法和随机抽样原则结 合起来。
i2ni
n
抽样成数的平均误差：
重置抽样：
p
P(1 P) n
不重置抽样：
第四节 抽样的组织形式及抽样方 案设计
一、抽样的组织形式 （一）简单随机抽样 从总体全部单位中直接按随机原则抽取
样本单位，使每个总体单位都有同等机 会被抽中
最基本形式
（1）直接抽选法 直接从调查对象中随机抽选。
总体分组： 2 （X X )2 F F
总体成数的方差为 P(1 - P)
2.统计量，又称样本指标，反映样本特 征的统计指标
（1）样本平均数（ x ），样本各 单位数量标志值的平均数
未分组： x x
n
分组： x xf f
（2）样本成数（p） 是指样本中具有某一相同标志表现的单
要有四个：
（1）总体平均数（ X ）
总体各单位数量标志值的平均数
X
总体未分组情况下：X N
总体分组情况下：
XF
X
F
（2）总体成数（P）
是指总体中具有某一相同标志表现的单 位数占全部总体单位数的比重
多为交替指标
总体中具有相同标志表现的单位数用N1 表示
P N1 N
（3）总体方差和标准差 总体方差（σ2）
特点： 1.抽样方式组织简便，便于实施 2.在已知总体某些有关信息的情况下，
采用等距抽样能保证样本单位在总体中 均匀的分布，从而提高了样本对总体的 代表性，有利于降低抽样误差。
无关标志排队 有关标志排队
（三）类型抽样 首先把总体按某一标志分成若干个类型
组，使各组组内标志值比较接近，然后 分别在各组内按随机原则抽取样本单位。 特点：在于把分组法和随机抽样原则结 合起来。
i2ni
n
抽样成数的平均误差：
重置抽样：
p
P(1 P) n
不重置抽样：
第四节 抽样的组织形式及抽样方 案设计
一、抽样的组织形式 （一）简单随机抽样 从总体全部单位中直接按随机原则抽取
样本单位，使每个总体单位都有同等机 会被抽中
最基本形式
（1）直接抽选法 直接从调查对象中随机抽选。
统计学第八章 抽样推断
②
和P的使用及使用条件
（1）σ2取最大值；（2）P取接近于0.5的值
（3）可以用样本 s或2 代p替；（4）可以用估计值或实验值代替。
计算例题：
在10000只电池中，随机抽检1%的产品进行检查，检查结果如下：
电流强度 （安培） 4－4.5 4.5－5 5－5.5 5.5－6 6－6.5 6.5－7
2
f
P 2N 0 1 P 2 N1
f
N
P2N0 1 P2 N1 P2Q 1 P2 P
N
N
P2Q Q2P PQP Q PQ P1 P
例（1）：已知某产品的合格率为95%，则其标准差为：
0.951 0.95 21.79%.
2、样本指标（统计量）
根据样本总体各单位的数量标志值或属性计算所得的指 标，称为样本指标。样本指标通常包括：
统计指标 抽样平均数 抽样成数 抽样平均数的标准差 抽样成数的标准差 抽样平均数的方差
抽样成数的方差
未分组资料
x x n
p n1 n
sx
xx 2
n
分组资料
x xf f
sx
x
2
x
f
f
sP p(1p)
s2
2
xx
x
n
sP2 p(1 p)
s2
2
xx f
x
f
四、抽样方法（P151）
（二）抽样极限误差的意义
（三）抽样极限误差的计算
平均数的抽样极限误差
Δx
t
μ x
成数的抽样极限误差
Δp
t
μ p
正态分布图示
68.27%
95.45%
99.73%
简述是抽样推断的概念及特点
简述是抽样推断的概念及特点
抽样推断是在根据随机原则从总体中抽取部分实际数据的基础上，运用数理统计方法，对总体某一现象的数量性作出具有一定可靠程度的估计判断。
抽样推断是在抽样调查的基础上进行的统计方法。
特点：
1、按随机的原则抽取样本。
2、在数量上，以样本推断总体。
3、抽样推断的误差可以事先计算和控制。
在很多情况下，只需抽取总体的一部分单位作为样本，通过分析样本的实际资料，来估计和推断总体的数量特征，以达到对现象总体的认识。
第6章抽样推断19619
1
e dx
(
x )2 22
2
x t 2
1 et2dt 1
（3）一般正态分布的标准化
若 X N , , 2
对其进行“标准化”变换，即令
Z X
则 Z N 0,1
2 、中心极限定理
一般意义： 无论随机变量服从何种分布，只要样本容量足够
大，都可以近似地看作是服从正态分布。中心极限 定理说明，大量相互独立的随机变量和的概率分布 是以正态分布为极限的。由于正态分布在概率论中 占有的中心地位，中心极限定理因此而得名。
(四)样本容量——指一个样本所包括的单位数。
(五)抽样比例——抽样比例是指在抽取样本时，所抽取的样 本单位数与总体单位数之比。
(六)样本个数——指从总体中可能抽取的最多的样本数量。
1、重复抽样： (1)考虑顺序： M = N n (2)不考虑顺序： M = (N + n- 1)! n!(N - 1)!
(一) 全及总体和抽样总体(总体和样本)
全及总体：所要调查观察的全部事物。
总体单位数用N表示。
抽样总体：抽取出来调查观察的单位。
抽样总体的单位数用n表示。 n ≥ 30 大样本 n < 30 小样本
(二) 抽样方法 1、重复抽样： 1
N
2、不重复抽样： 1 、 1 、 1 ...... 1 N N 1 N 2 N n
重复抽样和不重复抽样会产生三个差别： 抽取的样本数目不同 抽样误差的计算公式不同 抽样误差的大小不同
(三) 参数和统计量
（全及指标和抽样指标、总体指标和样本指标)
全及指标：全及总体的那些指标。 抽样指标：抽样总体的那些指标。
参数
研究总体中 的数量标志