抽样技术-分层随机抽样概述
2-1-3分层抽样4
1 L yst = ∑ Wh yh (或 = ∑ N h yh ) 或 N h =1 h =1 ~ 的无偏估计可选为： 总体总和 Y 的无偏估计可选为：
L
(4.2)
% yst = N ⋅ yst = N ⋅ ∑ Wh yh = ∑ N h yh
h =1 h =1
L
L
(4.3)
的方差为： 估计量 y st 的方差为： L Var ( yst ) = Var ( ∑ Wh yh ) 由于各个小盒子的抽样过程是相互独立的，故各个 yh相互 由于各个小盒子的抽样过程是相互独立的， 独立，由独立随机变量之和的方差计算公式， 独立，由独立随机变量之和的方差计算公式，有
含义 的层权 抽样比 总体均值 样本均值
记号 公式
Yh
yh
2 Sh
2 sh
∑Y
i =1
Nh
hi
= N hYh
∑y
i =1
nh
hi
= nh yh
(Yhi − Yh )2 ∑
i =1
Nh
( yhi − yh )2 ∑
i =1
nh
Nh −1
nh − 1
代表的 第 h 层的 第 h 层的 第 h 层的 第 h 层的 含义 总体总量 样本总量 总体方差 样本方差
h=1 i =1 L
h =1
L
(4.5)
(4.5)式两端各除以 －1)，假如各层的单元数 N h都很大，当 式两端各除以(N－ ， 都很大， 式两端各除以 近似认为： 近似认为： N h ≈ N h − 1 ≈ N h = W (4.6) h
N −1
N −1
N
因此直接来自总体的简单随机抽样平均数的方差大约为： 因此直接来自总体的简单随机抽样平均数的方差大约为： L 1 1 L 2 2 Var ( y ) = ( − ) ∑ Wh Sh + ∑ Wh (Yh − Y ) (4.7) n N h =1 h =1 (4.7)式花括弧内第一项为各个小盒子方差的加权和，而第二 式花括弧内第一项为各个小盒子方差的加权和， 式花括弧内第一项为各个小盒子方差的加权和 项则表示了各小盒子之间的差异平方和。比较(4.4)和(4.7)， 项则表示了各小盒子之间的差异平方和。比较 和 ， 那么易见(4.4)式变为 若取 nh n = Wh ，那么易见 式变为 1 1 L 2 Var ( yst ) = ( − )∑ Wh S h n N h =1
抽样技术分层随机抽样
抽样技术：分层随机抽样引言在数据分析中，抽样是一种常见的技术，用于从总体中选择一部分样本进行研究和分析。
抽样的目的是获得对总体的准确、可靠的估计，同时降低研究成本和时间。
然而，在实际应用中，总体往往是复杂多样的，包含不同属性或特征的子群体。
这时，分层随机抽样就是一种有效的抽样技术，可以提高抽样的精确性和代表性。
本文将介绍分层随机抽样的概念、步骤和应用。
什么是分层随机抽样?分层随机抽样是一种按照总体的分层结构进行抽样的方法。
总体根据某种特征或属性被划分为若干层，然后从每一层中随机选择一部分样本，构成最终的样本集。
这种抽样方法能够充分考虑总体内部的差异，保证样本对总体的代表性和准确性。
分层随机抽样的步骤分层随机抽样一般包括以下几个步骤：步骤1：总体划分层首先，需要根据某种特征或属性将总体划分为若干层。
层与层之间应具有较大的差异，而层内部的差异应尽可能小。
步骤2：确定每层的样本量和抽样比例根据抽样的目标和总体的特点，可以确定每一层的样本量。
通常情况下，样本量应当足够大，以获得准确的统计结果。
同时，需要确定每一层的抽样比例，比例应考虑到层内部的差异和样本数量。
步骤3：随机抽样在每一层内，根据抽样比例，从层内随机选择样本。
随机抽样可以保证样本的无偏性和代表性。
步骤4：组成样本集将每一层内抽取的样本进行组合，形成最终的样本集。
样本集应能够反映总体的属性和特征。
分层随机抽样的优点相比于简单随机抽样和系统抽样，分层随机抽样具有以下优点：提高估计的精确性分层随机抽样可以将总体划分为若干个层，然后分别从每一层抽取样本。
这样做有助于充分考虑总体内部的差异，提高估计的精确性。
降低误差由于分层随机抽样将样本分布在不同层中，可以降低抽样误差和估计误差，从而提高研究结论的可靠性。
保证样本的代表性分层随机抽样能够从每一层中抽取样本，使样本更具代表性。
这样可以在不损失总体属性和特征的情况下，降低样本的偏差。
分层随机抽样的应用分层随机抽样在社会调查、市场研究、医学研究等领域有着广泛的应用。
抽样调查-3分层随机抽样
V (Yˆst ) N 2V (Yˆst )
L
V (Yˆh )
h1
样
N 2 L Wh2V (Yˆh ) L N h2V (Yˆh )
h1
h1
调
2
对分层随机抽样，Yˆ st
=Ny st
是Y的无偏
估计。
查
V (Yˆst )
N 2V (Yˆst )
L h1
N h2V (Yˆh )
L h1
不漏”的L个子总体，即每个单元必属于且层（stratum）。
N N1 N2 NL
N {Y1,Y2 ,,YN }
Nh {Yh1 ,Yh2 ,,YhNi } h 1,2,, L
2020/7/27
2
定义3.2 3.3 分层随机抽样
抽
分层抽样又称为类型抽样或分类抽样，即抽样
查
三、总体比例的估计
Chap 3 分层随机抽样
抽
3.1 定义与符号
3.2 简单估计量及其性质
样
3.3 比率估计及其性质
调
3.4 回归估计及其性质
3.5 各层样本量的分配
3.6 总样本量的确定
查
3.7 其它相关问题
§3.1 定义与符号
抽 一、定义与符号
（一）定义
样
定义3.1 层（类）：
调
如果一个包含N个基本单元的总体可以分成“不重
N
2 h
1 fh nh
S
2 h
L
3分层随机抽样：v(Yˆst ) Nh2v( yh ) h1
2020/7/27
L h1
N
2 h
1 fh nh
sh2
11
抽
▪ 例3.1 调查某地区的居民奶制品年消费支出， 样 以居民户为抽样单元，根据经济及收入水
第四章分层随机抽样
第四章分层随机抽样第一节分层随机抽样概述分层抽样也叫做类型抽样，它是实际工作中最常用的抽样技术之一。
分层抽样是在抽样之前，先将总体按一定标志划分为若干个层（组），后在各层内分别独立地进行抽样。
由此所抽得的样本称之为分层样本。
各层所抽的样本也是互相独立的。
如果每层中的抽样都是简单随机的，则这种抽样就叫做分层随机抽样。
由此所得到的样本称做分层随机样本。
从以上概念可以看出，分层抽样的实质是在各层间作全面调查，而在各层内作抽样调查。
因此，分层抽样的误差只与各层内的差异有关，而同各层间的差异无关。
所以，为了能有效地降低抽样误差，提高抽样效果，在分层时应遵循“尽可能使层内差异小，而使层间差异大”的原则，同时要使分层的结果既无重复又无遗漏。
进行分层抽样时应注意：①层内抽样设计的选择；②分层变量的选择；③各层样本量的分配；④层数；⑤层的分界。
以前只重视③，近年来，④和⑤引起了越来越多的关注。
同简单随机抽样相比，分层抽样具有以下特点：①分层抽样能够充分地利用关于总体的各种已知信息进行分层，因此抽样的效果一般比简单随机抽样要好。
但当对总体缺乏较多的了解时，则无法分层或不能保证分层的效果。
②在分层抽样中，总体的方差一般可以分解为层间方差和层内方差两部分。
由于分层抽样的误差只与层内差异有关，而与层间差异无关，因此，分层抽样可以提高估计量的精度。
③由于分层抽样是在每层内独立地进行抽样，因此，使得分层样本能够比简单随机样本更加均匀地分布于总体之内，所以其代表性也更好些。
④分层抽样的随机性具体体现在层内各单元的抽取过程之中，也即在各层内部的每一个单元都有相同的机会被抽中，而在层与层之间则是相互独立的。
⑤分层抽样适合于调查标志在各单元的数量分布差异较大的总体。
因为对这样的总体进行合理的分层后可将其差异较多地转化为层间差异，从而使层内差异大大减弱。
⑥分层抽样中除了可以推断总体参数外，还可以推断各不同层的数量特征，并进一步作对比分析，从而满足不同方面的需要，也能帮助人们对总体作更全面、更深入的了解。
抽样技术第4章分层抽样
4.7 事后分层
在实际当中，有时进行事先分层会存在 一定的困难。 1.各层的抽样框无法得到。 2.几个变量都适合于分层，而要进行事先的 多重交叉分层存在一定困难。 3.总体规模太大，事先分层太费事等。 在这种情况下，就可以考虑采用事后分层 技术。
事后分层的具体实施办法是：先采用简
单随机抽样的方法从总体中抽取一个样本
第四章 分层抽样
4.1 什么是分层抽样
在例2.4中我们用简单随机抽样估计每 个郡的平均农场面积。我们提到，即使我 们认真细致地产生了一个随机样本，还是 有一些地区被过分代表，而另一些则根本 没有代表。例4.1用分层抽样保持分层变量 在样本中的均衡，从而使得总体得到全面 的估计。
使用分层抽样的理由： 1.我们要防止得到一个很差的样本。
分层抽样比例
如我们在2.3中所观察到的一样，比例是取
值为0到1之间的一个变量的均值，为了得
到比例的推断，我们用等式（4.1）—
（4.5），其中
，
，
则有
估计总体单元的总数有一个特别相似的性质：
因此，总体单元的总数估计量是每层总数估
计量之和 。类似有
。
例4.3 美国团体学习委员会（ACLS）用分层随 机抽样在七门学科中选取ACLS中的团体研究出版 物格局和属于这些团体的学者使用电脑和图书馆 的情况。数据见表4.2.
单元数。这样第h层中第j个单元入样的概率
为
。因此，抽样权重只是抽样概率
的倒数：
（4.8）
抽样权重之和等于总体容量N，每个抽样单 元代表一特定数量的总体单元。因此，整 个样本代表整个总体。这个定义可以用于 检验权重变量是否正确：如果样本权重之 和是其它的数，而不是N，那么肯定有某个 地方出错了。 总体总数的估计量可以写成以下形式：
分层抽样
分层抽样————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ分层抽样抽样技术作为现代统计学科体系的重要组成部分，被广泛运用到社会实践当中。
自从1８9５年挪威首任中央统计局局长凯尔在伯尔尼第五届国际统计学会会议上提出所谓“代表性调查”的抽样方法以来,经过1０0多年的理论探讨和时间积累,抽样理论更加科学，抽样技术日臻完善。
抽样又称取样。
其原理是从研究的全部样品中抽取一部分样品单位。
从被抽取样品单位的分析、研究结果来估计和推断全部样品特性，是科学实验、质量检验、社会调查普遍采用的一种经济有效的工作和研究方法。
基本的抽样技术包括简单随机抽样,系统抽样，分层抽样,多阶段抽样等。
在实际的抽样调查中我们常常会根据调查成本，调查规模等结合运用各种抽样方法进行实践。
分层抽样是通过对总体单位进行分类,即分成若干子总体，子总体之间比较相似,使每一个字总体的方差变小，这样只需要在子总体中抽取少量样本单位,就能很好地代表子总体的特征，从而提高对整个总体估计的精度。
分层抽样需要事先知道各层权重,但在现实情况下有些资料无法提前预知。
这时我们可以先从总体中抽取一个大的初始样本，从而获得有关的辅助信息,然后再从初始样本中抽取一个字样本,这种方法就是双重抽样。
其定义为,当简单性状与复杂性状存在关系时可用抽取简单性状来间接估计复杂性状的抽样方法。
结合分层抽样的双重抽样方法即为分层的双重抽样。
分层抽样,的主要特点就是可以提高估计精度,它不但能对总体进行估计。
同时可以对各层子总体进行估计。
如此便于实际中抽样的组织和实施。
下面我们就分层抽样方法展开讨论,运用实例分析进行比较。
一、分层抽样的原理简介在抽样之前,先将总体N 个单位划分成Ｌ个互不重复的子总体,每个子总体成为层,他们的大小分别为L N N N N ...,,,321，这L 层构成整个总体(1lh N Nh ==∑)。
04-第四章_分层随机抽样
思考：
y st =
1 L å nh y h 可以作为总体均值 Y 的无偏估计量吗？ n h =1
而总体总量 Y 的估计直接采用各层总量估计的总和：
ˆ ˆ = åY Y st h
h =1
L
ˆ = N Y h ，则 如果每个 Y h h ˆ = åY ˆ = å N Y h = N å W Y h = N Y st Y st h h h
且由于各层的抽样是相互独立的，因此
Ù L Ù L Ù
Ù
V (Y st ) = V (å Wh Y h ) = å W V (Y h )
h =1 L h =1 2 h
ˆ ) = V (å Y ˆ ) = å V (Y ˆ) V (Y st h h
h =1 h =1
L
（2）对于分层随机抽样 对于分层随机抽样，由简单随机抽样简单估计量的性质，不难得到相 应简单估计的性质。 先给出结论：
过程如下：
ˆst ) = E ( N Y st ) = NE (Y st ) = NE ( y ) = N Y = Y E (Y st
Ù
Ù
6
ˆ ) = V ( N Y st ) V (Y st = N 2V (Y st ) = N 2V (å Wh y h )
h =1 L Ù
Ù
= N 2 å Wh2V ( y h )
h =1 L
L
= N 2 å Wh2
h =1
2 Sh n (1 - h ) nh Nh
2 L ˆ ) = N 2 å W 2 sh (1 - nh ) v(Y st h nh Nh h =1
注意到
1 nh s = ( yhi - y h )2 å nh - 1 i =1
第三章分层随机抽样
第三章分层随机抽样
§3.1 引言
§3.2 估计量
§3.3 样本量在各层的分配§3.4 样本量的确定
附录一
附录二
§3.1 引言⏹定义与特点➢定义
➢特点
※分层抽样的抽样效率高(即分层抽样的估计精度高)。
①层抽样估计量的方差只与层内方差有关，与层间方
差无关。
通过分层，尽可能降低层内差异，使层间差异增大，从而提高估计精度。
②从直观的角度来看，分层抽样可以使样本在总体中
分布比较均匀。
※分层抽样不仅可以对总体指标进行推算，也可以对各层指标进行推算。
▪使用场合
符号说明
§3.2 估计量
⏹总体均值的估计➢简单估计量的定义
➢简单估计量的性质
⏹总体总量的估计➢简单估计量的定义
➢简单估计量的性质
⏹总体比例的估计➢简单估计量的定义
➢估计量的性质
§3.3 样本量在各层的分配 比例分配
➢比例分配下总体均值估计
➢比例分配下总体总值估计
➢比例分配下总体比例估计
最优分配
➢Neyman(内曼)分配
▪考虑估计总体比例P的情形
§3.4 样本量的确定 影响样本量的因素
➢估计总体均值的情形
➢总体参数为P的情形。
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19
W1
N1 N
200 2850
0.07018
f1
n1 N1
10 200
0.05
1 n1
y1 n1 i1 y1i 39.5
s12
1 n1 1
n1 i 1
y1i y1 2 1624.722
同理，求得： y2 105
s22 2166.667
y3 165
2020/3/10
17
性质3：对于分层随机抽样， 的一个无偏估计为：
V Yˆ
v Yˆ
L
N
2 h
v
yh
h1
L h1
N
2 h
1 fh nh
s
2 h
2020/3/10
18
例3.1
调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样 单元，根据经济及收入水平将居民户划分为4层，每层 按简单随机抽样抽取10户，调查获得如下数据（单位： 元），要估计该地区居民奶制品年消费总支出及其 95%的置信区间。
Wh
Nh N 第 h 层的
层权
fh
nh Nh
第 h 层的
抽样比
Yh
1 Nh
Nh
Yhi
i 1
第 h 层的
总体均值
yh
1 nh
nh i1 yhi
第 h 层的
样本均值
6
记号
Yh
yh
S
2 h
s h2
公式
Nh
Yhi NhYh
i 1
代表的含 义
第 h 层的
总体总量
nh
yhi nh yh
i 1
第 h 层的
样本总量
Nh
(Yhi Yh )2
i 1
Nh 1
第 h 层的
总体方差
nh
( yhi yh )2
i 1
nh 1
第 h 层的
样本方差
2020/3/10
7
第二节 简单估计量及其性质
一、对总体均值的估计 分层样本，总体均值 的估计
分层随机样本，总体均值 的简单估计 Y
h1
nh
f
h
)
(S
2 yh
R2Sx2h
2RhSyhSxh )
2020/3/10
30
分别比估计与联合比估计的比较
由于 V ( yRC ) V ( yRS )
L Wh2 (1
h1
nh
fh )
(R2
Rh2 )Sx2h
2(R
Rh )hSyhSxh
\\\
2020/3/10
5
三、符号
所有总体参数的估计量都采用下标“st”以示区别
：
记号
h
i
Nh
nh
Yhi
y hi
下标 代表的含义
下标 第 h 层的 第 h 层的 第 h 层第 i 个 第 h 层第 i 个
"第 h 层" "层内单位号" 单位总数 样本数 总体单元的取值 样本单元取值
记号
公式
代表的含 义
2020/3/10
抽样技术-分层随机抽样 概述
第一节 概述
2020/3/10
2
2020/3/10
3
定 义 3.3 分 层 随 机 抽 样 （ stratified random sampling）：如果每层中的抽样都是独立地按照 简单随机抽样进行的，那么这样的分层抽样称为分 层随机抽样，所得的样本称为分层随机样本 （stratified random sample）。
h1
h1
估计量的方差
L
WhYh
h1
1 N
L
N hYh
h1
1 N
L
Yh
h1
Y N
Y
由于各V层Yˆ是st 独 V立抽L 取Wh的Yˆh， 因此L W上h2式V 第Yˆh二项2 中L 的L 协Wh方W差kC全ov Yˆh ,Yˆk
nh
E( yRS ) Y
MSE( yRS ) V ( yRS )
2020/3/10
L Wh2 (1
h1
nh
fh
)
(S
2 yh
Rh2Sx2h
2RhhSyhSxh )
27
证明
n 根据比估计量的性质，当 比较大时，有 h
E( yRh ) Yh
MSE(
yRh )
V
( yRh )
层 居民户
总数
1
2
1
200
10
40
2
400
50 130
3
750 180 260
4
1500
50
35
样本户奶制品年消费支出
3
4
5
6
7
8
9
10
0 110
15
10
40
80
90
0
60
80 100
55 160
85 160 170
110
0 140
60 200 180 300 220
15
0
20
30
25
10
30
25
2020/3/10
或
Rh R
2)当
(分R 别R比h ) 估0 计，的即精Rh度 与R 联V (，y合RC )比V估(yR计S ) 的hL1 精Wh2(度1nh 是fh ) 一(R 样 Rh的)2 S。x2h 0
分3）别当比估(R 计 R的h ) 精0度且不低h 于R联2R合h SS比xyhh 估 R计SSxy的hh 精度，。这意味着分
h1
h1
h 1
2020/3/10
V ( yRS )
L Wh2 (1
h1
nh
fh
)
(S
2 yh
Rh2Sx2h
2Rh hSyhSx2h8)
联合比估计
Y
Y
2020/3/10
29
E( yRC ) Y
MSE( yRC ) V ( yRC )
L Wh2 (1
对于分层随机抽样，各层独立进行简单随机抽样，由第二章性质3,得
的
无偏估计为：
因此， 的一个无偏估计为：
v yh
1 fh nh
Vyh
s
2 h
V yst
v yst
L
Wห้องสมุดไป่ตู้2v yh
h1
L h1
Wh2
1
f nh
h
s
2 h
2020/3/10
14
二、对总体总量的估计
L Wh2 (1
h1
nh
f
h
)
(
R
Rh
)2
S
2 xh
2(R Rh ) (hSyhSxh
Rh
S
2 xh
)
L Wh2 (1
h1
nh
f
h
)
(
R
Rh
)
(
R
Rh
)S
2 xh
2(hS yhSxh
Rh
S
2 xh
)
2020/3/10
31
1）当 (R Rh ) 0，即(R Rh )Sx2h 2(hSyhSxh RhSx2h ) 0
Yst
L WhYh
h1
1 N
L N hYh
h1
Y
L
1L
y st
Wh yh
h1
N
Nh yh
h1
2020/3/10
8
估计量的性质
性质1&2：对于一般
无偏估计h（ 1,2, , L
Yst 的方差为：
的
分层抽样
），Y则st
，Y 是如果Y的h 无是Y偏h 估计的。
S
2 h
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11
证明性质3：
对于分层随机抽样，各层独立进行简单随机抽样， 对每一层有
因此，由性质1，有
Eyh Yh
Eyst Y L
由第二章性质2，得
V yst Wh2V yh h1
因此
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Vyh
1 fh nh
S
2 h
总体总量 的估计为：
Y 如果得到的是分层随机样本，则总体总量的简单估计为：
Yˆ NYˆst
L
Yˆh
h1
Y Nyst
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15
2.估计量的性质
性质1：对于一般的分层抽样，如果 是 的无偏估计，则 是 的无偏估计。 的方差为：
Yst
Y
Yˆ Y
Yˆ
V Yˆ
L
V pst Wh2V ph
h1
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22
性质2：对于分层随机抽样， 是 的无偏估计，
V
ph
N h nh PhQh Nh 1 nh
pst P
Nh 1 Nh
因而 pst的方差为：