第四章分层随机抽样
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04-第四章_分层随机抽样
L
下面讨论估计量的期望与方差。 （1）对于一般分层抽样
ˆ ）也 对于一般的分层抽样，若 Y h 是 Y h 的无偏估计量，则 Y st （或 Y st
是 Y （或 Y ）的无偏估计：
Ù
Ù
E (Y st ) = å Wh E (Y h ) = Y
h =1
Ù
L
Ù
ˆst ) = NE (Y st ) = N Y = Y E (Y
L
2 L Sh S2 - å Wh2 h nh h =1 Nh
=å
简便公式
2 L Wh2 Sh W S2 -å h h nh N h =1 h =1
V ( y st ) = V (å Wh y h )
h =1
L
= å Wh2V ( y h )
h =1 L
L
= å Wh2
h =1
Sh2 (1 - f h ) nh
åN
h =1
L
h
=N。
Wh =
Nh 称为层权，它也是已知的。 N
以 Yhi 表示第 h 层总体的第 i 个单元的指标值，以 yhi 表示第 h 层样本的 第 i 个单元的指标值。
Yh =
1 Nh 1 nh
åY
i =1 nh i =1
Nh
hi
表示第 h 层的总体均值，
yh =
åy
hi
表示第 h 层的样本均值（其中 nh 是第 h 层的样本量） ，
h =1 h =1 h =1 L L Ù L Ù Ù
Ù
3
（2）对于分层随机抽样
Ù
特别对于分层随机抽样，Y h 一般均取为简单估计：层样本均值 y h ，因 此 Y 的简单估计为：
2-1-3分层抽样4
1 L yst = ∑ Wh yh (或 = ∑ N h yh ) 或 N h =1 h =1 ~ 的无偏估计可选为： 总体总和 Y 的无偏估计可选为：
L
(4.2)
% yst = N ⋅ yst = N ⋅ ∑ Wh yh = ∑ N h yh
h =1 h =1
L
L
(4.3)
的方差为： 估计量 y st 的方差为： L Var ( yst ) = Var ( ∑ Wh yh ) 由于各个小盒子的抽样过程是相互独立的，故各个 yh相互 由于各个小盒子的抽样过程是相互独立的， 独立，由独立随机变量之和的方差计算公式， 独立，由独立随机变量之和的方差计算公式，有
含义 的层权 抽样比 总体均值 样本均值
记号 公式
Yh
yh
2 Sh
2 sh
∑Y
i =1
Nh
hi
= N hYh
∑y
i =1
nh
hi
= nh yh
(Yhi − Yh )2 ∑
i =1
Nh
( yhi − yh )2 ∑
i =1
nh
Nh −1
nh − 1
代表的 第 h 层的 第 h 层的 第 h 层的 第 h 层的 含义 总体总量 样本总量 总体方差 样本方差
h=1 i =1 L
h =1
L
(4.5)
(4.5)式两端各除以 －1)，假如各层的单元数 N h都很大，当 式两端各除以(N－ ， 都很大， 式两端各除以 近似认为： 近似认为： N h ≈ N h − 1 ≈ N h = W (4.6) h
N −1
N −1
N
因此直接来自总体的简单随机抽样平均数的方差大约为： 因此直接来自总体的简单随机抽样平均数的方差大约为： L 1 1 L 2 2 Var ( y ) = ( − ) ∑ Wh Sh + ∑ Wh (Yh − Y ) (4.7) n N h =1 h =1 (4.7)式花括弧内第一项为各个小盒子方差的加权和，而第二 式花括弧内第一项为各个小盒子方差的加权和， 式花括弧内第一项为各个小盒子方差的加权和 项则表示了各小盒子之间的差异平方和。比较(4.4)和(4.7)， 项则表示了各小盒子之间的差异平方和。比较 和 ， 那么易见(4.4)式变为 若取 nh n = Wh ，那么易见 式变为 1 1 L 2 Var ( yst ) = ( − )∑ Wh S h n N h =1
分层随机抽样
抽样均按简单随机抽样进行，求全市年 平均户收入的估计及其 90%的置信区间。
解： 计算层权： W1=N1/N=0.137, W2=N2/N=0.863。 (1) y st W1 y1 W2 y 2 0.137 15180 0.863 9856 10585.39
(2)求v( y st )
6 第 h 层抽样比为：
nh fh Nh
第二节 简单估计量及其性质
一、对总体均值与总量的估计
（一）对总体均值与总量的估计 1 对一般分层抽样：
ˆ WY ˆ, Y hh st
h 1 L
ˆ Y ˆ Y st h
h 1
L
ˆ , 则： ˆ NY 如果每个Y h h h ˆ ˆ Y NY
s( y st ) v( y st ) 142.312 1 90%, 1.645 全市年户均收入Y 的90%的置信区间为 10585.39 1.645 142.312，即： [10351.29元， 10819.49元]
二、对总体比例（成数） 的估计
1 成数 P 或总数 A 的估计: 层比例 Ph=Ah/Nh , Qh=1－Ph 层样本比例 ph=ah/nh , qh=1－ph Ah 与 ah 是第 h 层总体及样本中具有 所研究特征的单元数。
st st
2 对一般的分层抽样：
ˆ 是Y 的无偏估计， 若Y h h ˆ (Y ˆ )也是Y (Y )的无偏估计： 则Y
st st
由于各层的抽样是相互独立的，因此： ˆ ) V( W Y ˆ ) W 2V (Y ˆ) V (Y h h h st
h 1 h 1 L L
ˆ ) V (Y ˆ) V (Y st h
第4章__抽样调查
4.1.3抽样误差的确定
❖1）抽样误差的概念
❖2）影响抽样平均误差的因素
1、全及总体标志变异程度 2、样本容量 3、抽样组织方式 4、抽样方法
❖3）降低调查误差的途径
1、提高样本的代表性
2、注重样本量的控制
3、提高抽样设计的效率 4、重视抽样方案的审评
5、努力降低调查员的误差 6、努力调查被调查者的误差
❖ （4）如果这一地区街对面从第一号开始都没有住户，在第一号对面的街区转 一圈，并遵循右手法则。（即按顺时针方向在街区转一圈。）试着沿路线每 隔两户访问一户。
❖ （5）在起始门牌号对面邻近的街区绕过一圈后，如果你没有完成所需的访问， 就按顺时针方向到下一个街区访问。
❖ （6）如果第三个街区的住户数不够完成你的任务，就再做几个街区直到要求 的户数完成为止；这些区要按顺时针方向绕原有的街区来找。
❖5）简单随机抽样方式的优缺点
随机抽样方式的优点
方法简单直观，当总体名单完整时，可直接从中随机抽取样本。由于 抽取概率相同，计算抽样误差及对总体指标加以推断比较方便。
随机抽样方式的缺点
尽管简单随机抽样在理论上是最符合随机原则的，但是在实际应用中 有一定的局限性。第一，采用简单随机抽样，一般需对总体各单位加以 编码，而实际市场调查活动中所需调查总体往往是十分庞大的，单位非 常多，逐一编码几乎是不可能的；第二，对于某些事物无法使用简单随 机抽样，如对连续不断产生的大量产品进行质量检验，就不能对全部产 品进行编号抽样；第三，当总体的标志变异程度较大时，简单随机抽样 的代表性就不如经过分组后再抽样的代表性高；第四，由于抽出样本单 位较为分散，所以调查人力、物力、费用消耗较大。
2）抽样调查的特征
❖（1）抽取样本的客观性 ❖（2）抽样调查可以比较准确地推断总体
分层抽样要求
将相近的单位归为一层，且每一层必有若干 单位抽中，所以，避免了样本明显偏高或偏 低情况。
比较定额抽样，与分层抽样有何区别？
①分类②确定每类抽选比例③主观抽样
第四章 分层抽样
2．分层抽样不仅能对总体指标进行推算， 而且能对各层指标进行推算。
有时调查的目的不仅要推算总体指标，可能 还要推算各层的指标。
第四章 分层抽样
在不重复抽样下，根据前一章公式可知
2 xi
1
fi
（第 i层单位数占总体
单位数的比重）
则：
Xˆ
K
Wi xi
第四章 分层抽样
二、分层抽样简单估计的抽样标准误
如果我们对总体方差 进2 行分解，可得
2
2 i
2 P
即
总体方差=平均层内方差+层间方差
我们知道，纯随机抽样的抽样误差，是按总体 方差计算的，对于分层抽样，由于对各层而言 是全面调查，故层间不存在抽样误差问题。所 以，其抽样方差等于平均层内方差。
二、使用场合与分层原则
第四章 分层抽样
根据分层抽样的特点，分层除了可以提供子总 体指标和便于调查的组织实施外，通常，使用分 层抽样的主要目的是为了提高估计的精度。为充 分利用分层抽样的特点，在一项抽样调查项目中 ，往往反复使用分层抽样方法。
在对层进行具体划分时，通常考虑如下原则：
1．层内单元具有相同性质。
通常按调查对象的不同类型进行划分。这时， 分层抽样能够对每一类的目标量进行估计。
第四章 分层抽样
2．使层间单元的差异尽可能大。从而达到提 高抽样估计精度的目的。
3．既按类型又按层内单元标志值相近的原则 进行多重分层，同时达到实现估计层值以及提 高估计精度的目的。
比较定额抽样，与分层抽样有何区别？
①分类②确定每类抽选比例③主观抽样
第四章 分层抽样
2．分层抽样不仅能对总体指标进行推算， 而且能对各层指标进行推算。
有时调查的目的不仅要推算总体指标，可能 还要推算各层的指标。
第四章 分层抽样
在不重复抽样下，根据前一章公式可知
2 xi
1
fi
（第 i层单位数占总体
单位数的比重）
则：
Xˆ
K
Wi xi
第四章 分层抽样
二、分层抽样简单估计的抽样标准误
如果我们对总体方差 进2 行分解，可得
2
2 i
2 P
即
总体方差=平均层内方差+层间方差
我们知道，纯随机抽样的抽样误差，是按总体 方差计算的，对于分层抽样，由于对各层而言 是全面调查，故层间不存在抽样误差问题。所 以，其抽样方差等于平均层内方差。
二、使用场合与分层原则
第四章 分层抽样
根据分层抽样的特点，分层除了可以提供子总 体指标和便于调查的组织实施外，通常，使用分 层抽样的主要目的是为了提高估计的精度。为充 分利用分层抽样的特点，在一项抽样调查项目中 ，往往反复使用分层抽样方法。
在对层进行具体划分时，通常考虑如下原则：
1．层内单元具有相同性质。
通常按调查对象的不同类型进行划分。这时， 分层抽样能够对每一类的目标量进行估计。
第四章 分层抽样
2．使层间单元的差异尽可能大。从而达到提 高抽样估计精度的目的。
3．既按类型又按层内单元标志值相近的原则 进行多重分层，同时达到实现估计层值以及提 高估计精度的目的。
分层抽样
L
ˆ) Wh 2V (Y h
h 1
性质2 对于分层随机抽样， Yst 是 Y 的无偏估计， Yst 的方差为： L L 1 fh 2 2 V yst Wh V yh Wh2 Sh
h 1 h 1
nh
2 2 2 L L W S W S 1 1 2 ( )Wh2 S h h h h h Nh nh N h 1 nh h 1 h 1 L
L
h 1
y st . ˆ Rc x st
对于分层随机抽样的联合比估计，若总样本量
n
比较大，则有 E ( y RC ) Y
MSE ( y RC ) V ( y RC ) Wh2 (1 f h ) 2 2 ( S yh R 2 S xh 2 R h S yh S xh ) nh h 1
i 1
nh
第h层总体方差
2 1 S Yhi Yh N h 1 i 1 2 h
Nh
nh 1 2 第h层样本方差： s 2 yhi yh h nh 1 i 1
简单估计量
一、总体均值的估计
在分层抽样中，对总体均值 Y 的估计是通过对各层的 Y h 的估计，按层权 W 加权平均得到的。公式为：
L
ˆ ) MSE (YRS ) V (Y RS
L
2 Nh (1 f h ) 2 2 2 ( S yh Rh S xh 2 Rh h S yh S xh ) nh h 1
2 2 S yh , S xh , h , Rh 分别为第h层指标Y和X的方差、相关系数以
及比率估计量。
证明：当 nh
比较大时，有
E ( y Rh ) Yh
分层抽样
２ ３
４００ ７５０
４ １５００
５０
３５
１５
０
20
３０
２５
１０
３０
２５
解: N = 200+400+750+1500=2580 nh =10( h=1,2,3,4) 各层的层权及抽样比为：
N1 200 W1 0.07018 N 2850 N 400 W2 2 0.14035 N 2850 N 750 W3 3 0.26316 N 2850 N 4 1500 W4 0.52632 N 2850
三、符号说明
关于第h层的记号如下：
第二节 估计量
一．总体均值的估计 (一)简单估计量的定义 对于分层样本,对总体均值Y 的估计是通过对各层的Yh 的估计, 按层权 Wh 加权平均得到的。 公式为:
1 ˆ ˆ Yst WhYh N h 1
L
ˆ N Y hh
h 1
L
如果得到的是分层随机样本,则总体均值 Y 的简单估 计为:
f1 n1 10 0.05 N1 200
n2 10 f2 0.025 N2 400 f3 f4 n3 10 0.013 3 N3 750 n4 10 0.006 7 N4 150 0
各层样本均值及样本方差为：
1 y1 y1i 39.5 n1 i 1 y2 105 y3 165 y4 24
y 15180 300 9856 250 / 550 1)简单估计量的定义 总体比例P的估计为:
L
pst Wh ph
h 1
(二)估计量的性质 如果定义 1, 第i个单元具有所考虑的特征 Yi , 其他 i=1,2 … N 0
第四章 抽样技术
• (五)多阶段抽样
– 含义：multistage sampling-----即先抽大的调 查单元，在大单元中抽小单元，再在小单元 中抽更小的单元。如：我国的城市职工家计 调查，采用三阶段抽样，先城市-基层单位调查户。
第四章 抽样技术
– 应用：在复杂、大规模的市场调查中。
• (六)抽样技术的选用原则
• (四)常用术语
– 1.总体(population)与样本(sample) – 2.总体指标和样本指标
• 总体指标-------反映总体数量特征的指标，有总 体平均数µ，总体比例P, 总体方差 σ 2
第四章 抽样技术
– 样本指标------又称样本估计量或统计量，用 以估计和推断相应总体指标的综合指标，有 样本平均数 x ,样本比例p ,样本方差S2。
第四章 抽样技术
• 成数------分总体成数与样本成数 • 含义------总体中具有某种特征的单位占全部单 位的比例，称总体成数(总体比例) • 如：产品的合格率，市场占有率等。 • 样本成数的抽样分布
– 当从总体中抽出一个容量为n的样本时，样本中具有 某种特征的单位数x服从二项分布，即有x~B(n, π),且 有E(x)=n π V(x)=n π(1- π). – 因而样本比例p=x/n也服从二项分布，且有： – E(p)=E(x/n)= π – V(p)=V(x/n)=1/n π(1- π)
第四章 抽样技术
第四章 抽样技术
第四章 抽样技术
本章要点
• 1.抽样调查的含义、特点与程序； • 2.随机抽样技术的类型及其各自的特点、 方法； • 3.非随机抽样技术的类型及其各自的特 点、方法； • 4.抽样误差的含义及其计算方法 。
第四章 抽样技术
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解： yst W1 y1 W2 y2
23560 15180 148420 9856 10585.39
171980
171980
3、分层随机抽样中，总体比例P的简单估计 设Ph的简单估计为ph，则
L
Wh 2
h1
•1 fh nh
Sh2
L
Wh 2
h1
•1 fh nh
•
Nh Nh 1
PhQh
10
层 居民
户总 数
1
样本户奶制品年消费支出 23456789
1 200 10 40 0 110 15 10 40 80 90 0 2 400 50 130 60 80 100 55 160 85 160 170 3 750 180 260 110 0 140 60 200 180 300 220 4 1500 50 35 15 0 20 30 25 10 30 25
4627
42
45岁以上
5366
50
总计
35050
320
试估计总体中会计算机者占的比例。
样本中会使 用计算机的
人数
24 12
22
11
4
解：
5
(1) pst Wh ph 0.2286
h1
(2)v( pst )
5
Wh2 (1
h1
fh)
ph (1 ph ) nh 1
0.000534
(3)P置信度为95%的置信区间为：
Vmin ( yst )
L Wh2Sh2
n h1
h
L Wh2Sh2 h1 N
L
( WhSh
h1
L
ch )( WhSh / h1
n
ch )
L
Wh Sh2
h1 N
特例：Neyman分配：
指每层抽取一个单元费用相同（ch c, h 1,, L）时的最优分配。
nh
n
Wh S h
L
, h 1,2,, L
L
6.45, n3 n
W3 s3
L
23.53
Wh sh
Wh sh
h 1
h 1
n4 n
W4 s4
L
7.23
Wh sh
h 1
各层样本量为3、6、24、7。
4.4 样本总量的确定
1.在分层随机抽样中，影响样本总量n的因素： （1）只讨论对总体参数的精度要求； （2）样本量的分配形式。 2.在估计总体均值时，若精度要求给定，样本总量n的确定公式：
u1 2
s
(
y
st
)
2.总体总和Y的估计：
Yˆ
L
Yˆh
L
NhYˆh L
Nh yh
h1
h1
h1
方差V（Yˆ）
L
V（Yˆh）
h1
L h1
N h 2V（yh）
L h1
Nh2
1 fh nh
Sh2
例4.２：调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元， 根据经济及收入水平将居民户分为４层，每层按简单随机抽样抽 取１０户，调查数据如下，估计该地区居民奶制品年消费总支出 及估计的标准差。表：样本户奶制品年消费支出
4.1.2分层抽样的适用场合： （1）不仅需要估计总体参数，也需要估计各层
参数。 （2）便于管理，按现成的地理分布或行政划分
来分层。 （3）希望样本中能包含各个部分，以增加代表
性。 （4）把一个内部差异很大的总体分成几个内部
比较相似的子总体（层）进行分层抽样，可以 提高估计量的精度。如果有极端值，也可以把 它们分离出来形成一层。
解：
y1 39.5
各层样本均值及方差为：y2 105 y3 165
y4 24
s12 1624.722 s22 2166.667 s32 8205.556 s42 193.333
L
(1)Yˆ Nh yh h 1
200 39.5 400 105 750 165 1500 24
sh2
1 nh 1
nh
（yhi
i 1
yh）2
一、分层抽样中
若对任一层，假设为第h层，都有Yˆh NYˆh，
L
Y Yh
h1
(1)Yˆ L Yˆh L NhYˆh
h1
h1
方差V（Yˆ）
L
V（Yˆh）
L
N h 2V（Yˆh）
h1
h1
L
(2)Yˆst
Yˆh
h1
N
L h1
Nh N
Yˆh
Wh S h
h1
在Neyman分配下,Yˆ的方差达到最小值Vm（in yst）：
Vm（in yst）
1（ n
h
Wh
S
）2
h
1 N
Wh 2 S h 2
h
例.在例4.3中，样本量仍为n=550。
城镇居民23560户，农村居民148420户。
城镇居民与农村居民的年收入的标准差分别为 S1=3000元,S2=2500元。 对城镇居民与农村居民抽样平均每户的费用比 为1：2，
2166.667 6.5330
W3s3
750 2850
8205.556 23.8380
1500 W4s4 2850 193.333 7.3181
L
Whsh 40.51775 h 1
n1 n
W1s1
L
Wh sh
40 2.8286 2.79 40.51775
h1
n2 n
W2 s2
试求城镇与农村两层比例分配与最优分配的 样本量。
又若不考虑费用因素，那么最优分配的结果 如何？
例3.２：调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元， 根据经济及收入水平将居民户分为４层，每层按简单随机抽样抽 取１０户，调查数据如下，估计该地区居民奶制品年消费总支出 及估计的标准差。表：样本户奶制品年消费支出
209650
(2)Yˆ的方差V (Yˆ)的估计：
v(Yˆ )
v(Nyst )
L h 1
Nh2
•
1
f nh
h
sh
2
5.39 108
s(Yˆ) v(Yˆ) 23208
（3）该地区居民奶制品年消费总支出的置信度为95%的置信区间为
Yˆ
u1 2
s(Yˆ ), Yˆ
u1 2
s(Yˆ )
164162，255138
h1 N
对给定的n
，估计量的方差为
h
V
L h1
Wh
2
1
f nh
h
Sh2
L h1
Wh
2
(
1 nh
1 Nh
)
Sh
2
L Wh2Sh2 L WhSh2
n h1
h
h1 N
(
L h1
WhSh nh
2 L
)(
h 1
2
Chnh )
在最优分配中，Yˆ的方差达到最小值Vmin ( yst )：
yhi
y
1 f
n
l
Wh S h2
h1
1 n
f
l
S
2 w
,
其中S
2 w
Wh S h2为各层方差按层权的加权平均。
h1
例：假设某公司欲估计某类产品的用户的每年平均支出。企划人员 拟就整个潜在用户的名单，共8000户。
层
每层中的潜在用户
少用 中等 多用 总和
2000 4000 2000 N=8000
例4.3：某市进行家庭收入调查，分城镇居民及农村居 民两部分抽样，在全部城镇居民23560户中随机抽取 300户，在全部农村居民148420户中随机抽取250户， 调查结果是城镇年平均户收入为15180元，标准差为 2972元；农村年平均户收入为9856元，标准差为 2546元。求全市年平均户收入的置信度为90%的置信 区间。
L WhYˆh
h1
方差V（Yˆst） L Wh2V (Yˆh ) h1
分层随机抽样, 则Yˆh的简单估计为yh
1.Y的无偏简单估计Yˆst为：yst L WhYˆh L Wh yh ,Yˆst记为yst
h1
h1
Y 的置信度为1 的置信区间为：
yst
u1 s( yst ), 2
yst
3
3
sw2 Whsh2 Wh phqh
h 1
h 1
48107 0.27 0.73 12419 0.18 0.82 6875 0.17 0.83
67401
67401
67401
0.182
s( pst )
v( pst )
1 f n
sw2
1 1500 67401 0.182 0.011 1500
L
C c0 chnh h1
1.比例分配：指按各层层权（各层单元数占总体单元数的比例）进行
分配。
nh n
Nh N
Wh
fh
nh Nh
n N
f
L
则：y prop Wh yh
h1
L h1
Nh N
•1 nh
nh i 1
yhi
L h1
nh n
•1 nh
nh i 1
yhi
1 n
L h1
nh i 1
每个县的户数 Nh
48107 12419 6875 N=67401
每个县被抽出 的户数nh
1071 276 153
n=1500
每个县的样本收 视率 ph
0.27 0.18 0.17