2017-2018学年石景山区初三一模数学试卷及答案

石景山区2018年初三统一练习暨毕业考试

数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．

一个． 1．下列各式计算正确的是

A ．2

3

5

25a a a += B ．2

3

a a a ?= C ．6

2

3

a a a ÷= D ．235()a a = 2．实数a ，

b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是

A ．0a b +=

B ．b a <

C ．b a <

D ．0ab > 3

4．下列博物院的标识中不是．．轴对称图形的是

5A 6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点C ，B ，E 在y 轴上， Rt △ABC 经过变化得到Rt △EDO ，若点B 的坐标为(01)，， OD =2，则这种变化可以是

A ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移5个单位长度

B ．△AB

C 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移5个单位长度 C ．△ABC 绕点O 顺时针旋转90°，再向左平移3个单位长度

D ．△ABC 绕点O 逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度

1

2

–1

–2

a

b

7．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图线段OA 和折线BCD 分别表示两车离甲地的距离y （单位：千米）与时间x （单位：小时）之间的函数关系．则下列说法正确的是 A ．两车同时到达乙地

B ．轿车在行驶过程中进行了提速

C ．货车出发3小时后，轿车追上货车

D ．两车在前80千米的速度相等

8．罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响 很大．下图是对某球员罚球训练时命中情况的统计：

下面三个推断：

① 当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以“罚球命中”的概率是0.822； ② 随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定 性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是0.812；

③ 由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是0.809，所以“罚球命中”的概率是0.809． 其中合理的是 A ．①

B ．②

C ．①③

D ．②③

二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．对于函数6

y x

=

，若2x >，则y 3（填“>”或“<”）． 10．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_______． 11．如果5x y +=，那么代数式22

1+

y x x y

x y ÷--()的值是_______．

12．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦， 已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马、大马各有多少匹．若设小马 有x 匹，大马有y 匹，依题意，可列方程组为____________．

13．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD AB ⊥于点E ，若⊙O 的半径是5，8CD =，则AE = ．

14． 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点， DE ∥BC ．若6AD =，2BD =， 3DE =，则BC = ．

15．某学校组织学生到首钢西十冬奥广场开展综合实践活动，数学小组的同学们在距奥组委

办公楼（原首钢老厂区的筒仓）20m 的点B 处，用高为0.8m 的测角仪测得筒仓顶点C 的仰角为63°，则筒仓CD 的高约为____________m ．

（精确到0.1m ，sin 630.89≈°，cos 630.45≈°，tan 63 1.96≈°）

16

（1）利用刻度尺在AOB ∠的两边OA ，OB （2）利用两个三角板，分别过点M ，N 画OM ，交点为P ； （3）画射线OP ．

则射线OP 为AOB ∠的平分线．

请写出小林的画法的依据 ． 三、解答题（本题共68分，第17、18题，每小题5分；第19题4

分；第20-23题，每小题5分；第24、25题，每小题6分；第26、27题，每小题7分；第28题8分）．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17．计算：0

12sin 455(3

---++°

第13题图 第14题图

B

18．解不等式组：3(1)456

22

x x x x +>++

???，．

19．问题:将菱形的面积五等分．

小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题． 如图，点O 是菱形ABCD 的对角线交点，5AB =，下面是小红将菱形ABCD 面积五等分的操作与证明思路，请补充完整.

（1）在AB 边上取点E ，使4AE =，连接OA ，OE ； （2）在BC 边上取点F ，使BF = ，连接OF ； （3）在CD 边上取点G ，使CG = ，连接OG ； （4）在DA 边上取点H ，使D H = ，连接OH ．

由于AE = ＋ = ＋ = ＋ = . 可证S △AOE ==EOFB FOGC GOHD S S S ==四边形四边形四边形S △HOA .

20．关于x 的一元二次方程2

(32)60mx m x +--=． （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）当m 为何整数时，此方程的两个根都为负整数．

O

H G F

E D

C

B A

21．如图，在四边形ABCD 中，90A BCD ∠=∠=°

，BC CD ==CE AD ⊥于点E ． （1）求证：AE CE =； （2）若tan 3D =，求AB 的长．

22．在平面直角坐标系xOy 中，函数a y x

=

（0x >）的图象与直线1l y x b =+：交于点

(3,2)A a -．

（1）求a ，b 的值；

（2）直线2l y x m =-+：与x 轴交于点B ，与直线1l 交于点C ，若S △ABC

6≥，求m 的取值范

围．

23．如图，AB 是⊙O 的直径，BE 是弦，点D 是弦BE 上一点，连接OD 并延长交⊙O 于点C ，连接BC ，过点D 作FD ⊥OC 交⊙O 的切线EF 于点F ．

（1）求证：1

2

CBE F ∠=∠；

（2）若⊙O

的半径是，点D 是OC 中点，15CBE ∠=°，求线段EF 的长．

24．某校诗词知识竞赛培训活动中，在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验，他们的10次成绩如下（单位：分）：

整理、分析过程如下，请补充完整．

25．如图，半圆O 的直径5cm AB =，点M 在AB 上且1cm AM =，点P 是半圆O 上的

动点，过点B 作BQ PM ⊥交PM （或PM 的延长线）于点Q .设cm PM x =，

cm BQ y =.（当点P 与点A 或点B 重合时，y 的值为0）

小石根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小石的探究过程，请补充完整：

（1

（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数

的图象；

（3）结合画出的函数图象，解决问题：

当BQ 与直径AB 所夹的锐角为60?时，PM 的长度约为 cm .

B

26．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线21G y mx =+：（0m ≠长度后得到抛物线2G ，点A 是抛物线2G 的顶点． （1）直接写出点A 的坐标；

（2）过点0（且平行于x 轴的直线l 与抛物线2G 交于B ，C 两点． ①当=90BAC ∠°时，求抛物线2G 的表达式；

②若60120BAC <∠<°°，直接写出m 的取值范围．

图1 备用图

28．对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心， AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B 的“确定圆”的示意图．．．

． （1）已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,3)， 则点A ，B 的“确定圆”的面积为_________；

（2）已知点A 的坐标为(0,0)，若直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点A ，B 的“确定圆”的面积为9π，求点B 的坐标；

（3）已知点A 在以(0)P m ，

为圆心，以1为半径的圆上，点B

在直线y x = 若要使所有点A ，B 的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m 的取值范围．

石景山区2018年初三统一练习暨毕业考试

数学试卷答案及评分参考

阅卷须知：

1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．

2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分.

3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数．

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．<．10．八．11．5． 12

．

100,

3100.

3

x y

x

y

+=

+=

?

?

?

??13．2．14．4．15．

40.0．

16．（1）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；

（2）全等三角形的对应角相等．

三、解答题（本题共68分，第17、18题，每小题5分；第19题4分；第20-23题，每

小题5分；第24、25题，每小题6分；第26、27题，每小题7分；第28题8分）．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17．解：原式=251

2

?-+-………………4分

4

=--………………5分18．解：原不等式组为

3(1)45,

6

2.

2

x x

x

x

+>+

+

<

?

?

?

??

解不等式①，得2

x<-．………………2分解不等式②，得2

x<．………………4分∴原不等式组的解集为<2

x-．………………5分19．解：3，2，1；………………2分EB、BF；FC、CG；GD、DH；HA.………………4分20．解：（1）∵24

b ac

?=-

2

(32)24

m m

=-+

2

(32)0

m

=+≥

①

②

图1

∴当0m ≠且23

m ≠-时,方程有两个不相等实数根. …………… 3分

（2）解方程，得： 12

x m =

,2

3x =-． …………… 4分 ∵m 为整数,且方程的两个根均为负整数, ∴1m =-或2m =-．

∴1m =-或2m =-时, 此方程的两个根都为负整数. …………… 5分 21．（1）证明：（法一）

过点B 作BH ⊥CE 于H ，如图1． ∵CE ⊥AD ，

∴∠BHC ＝∠CED ＝90°，190D ∠+∠=?． ∵∠BCD ＝90°， ∴1290∠+∠=?， ∴2D ∠=∠． 又BC ＝CD

∴BHC △≌CED △． ∴BH CE =．

∵BH ⊥CE ，CE ⊥AD ，∠A ＝90°， ∴四边形ABHE 是矩形， ∴AE BH =．

∴AE CE =． ………………3分 （法二）过点C 作CH ⊥AB 交AB 的延长线于H ．图略，证明略． （2）解： ∵四边形ABHE 是矩形， ∴AB HE =．

∵在Rt CED △中，tan 3CE D DE

==,

设,3DE x CE x ==，

∴CD ==． ∴2x =．

∴2DE =,6CE =． ………………4分 ∵2CH DE ==．

∴624AB HE ==-=． ………………5分

22．解：（1）∵函数()0a

y x x =>的图象过点()3,2A a -，

∴23

a a -=

，解得3a =． ………………1分

∵直线1l y x b =+：过点()3,1A ,

∴2b =-． ………………2分 （2）设直线2y x =-与x 轴交于点D ，则(2,0)D ， 直线y x m =-+与x 轴交于点(,0)B m ， 与直线y x b =+交于点22

(

,)22

m m C +-． ①当S △ABC =S △BCD +S △ABD =6时，如图1. 可得

211(2)(2)164

2

m m -+

-?=，

解得2m =-，8m =（舍）.

②当S △ABC =S △BCD -S △ABD =6时，如图2.

可得

21

1

(2)(2)1642

m m ---?=， 解得8m =，2m =-（舍）. 综上所述，当8m ≥或2m -≤时，S △ABC

6≥. ………………5分

23．（1）证明：连接OE 交DF 于点H ，

∵EF 是⊙O 的切线，OE 是⊙O 的半径， ∴OE ⊥EF . ∴190F ∠+∠=°. ∵FD ⊥OC ， ∴3290∠+∠=?. ∵12∠=∠，

∴3F ∠=∠. ………………1分 ∵132CBE ∠=∠，

∴12

CBE F ∠=

∠. ………………2分

（2）解：∵15CBE ∠=°，

∴3230F CBE ∠=∠=∠=°.

∵⊙O 的半径是D 是OC 中点， ∴OD =

在Rt ODH ?中，cos 3OD

OH

∠=

，

∴2OH =. ………………3分

∴2HE =. 在Rt FEH ?中，tan EH F EF

∠=

. ………………4分

∴6EF ==- ………………5分 24．解:（1） 0，1，4，5，0，0 ………………1分

（2） 14，84.5，81 ………………4分 （3）甲，理由：两人的平均数相同且甲的方差小于乙,说明甲成绩稳定; 两人的平均数相同且甲的极差小于乙,说明甲成绩变化范围小. （写出其中一条即可）

或：乙，理由：在90≤x ≤100的分数段中，乙的次数大于甲.

………………6分 （答案不唯一，理由须支撑推断结论）

25.解：（1）4； 0. ………………2分 （2）

………………4分

（3）1.1或3.7 . ………………6分 26．解:（1

）A

. ………………………………… 2分

（2）①设抛物线2G

的表达式为2(y m x =+

如图所示，由题意可得AD ==

∵=90BAC ∠°，AB AC =， ∴=45ABD ∠?.

∴BD AD ==

∴点B

的坐标为.

∵点B 在抛物线2G 上，

可得3

m =-

.

∴抛物线2G

的表达式为2(3

y x =-+，

即223

y x x =-

++ ………………… 5分

②m <<-

. ………………… 7分 27．（1）补全图形如图1. ………………… 1分

（2）①证明：

连接

∵线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ， ∴AQ AP =，90QAP ∠=°． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD AB =，90DAB ∠=°． ∴12∠=∠．

∴△ADQ ≌△ABP ． ………………… 3分 ∴DQ BP =，3Q ∠=∠．

∵在Rt QAP ?中，90Q QPA ∠+∠=°， ∴390BPD QPA ∠=∠+∠=°． ∵在Rt BPD ?中，2

2

2

DP BP BD +=， 又∵DQ BP =，2

2

2BD AB =，

∴2222DP DQ AB +=． ………………… 5分 ②BP AB =． ………………… 7分

28．解：（1）25π； ………………… 2分 （2）∵直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点,A B 的“确定圆”的面积 为9π，

∴⊙A 的半径3AB =且直线y x b =+与⊙A 相切于点B ，如图， ∴AB CD ⊥，45DCA ∠=°．

①当0b >时，则点B 在第二象限． 过点B 作BE x ⊥轴于点E ，

∵在Rt BEA ?中，45BAE ∠=°，3AB =， ∴2

BE AE ==．

∴22

B （． ②当0b <时，则点'B 在第四象限． 同理可得'

2

2

B ． 综上所述，点B 的坐标为

22-（或22

． ………………… 6分

（3）5m -≤或11m ≥． ………………… 8分