南开大学数学文化-14若干数学典故中的数学文化-韩信点兵与中国剩余定理共77页

韩信点兵又称为中国剩余定理

簡介：韓信點兵又稱為中國剩餘定理，乃由於相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統御兵士多少，韓信答說，每3人一列餘1人、5人一列餘2人、7人一列餘4人、13人一列餘6人……。

劉邦茫然而不知其數。

韓信點兵是一個很有趣的猜數遊戲，隨便抓一把蠶豆粒，假若3個一數餘1粒，5個一數餘2粒，7個一數餘2粒，那麼所抓的蠶豆有多少粒?這類題目看起來是很難計算的，可是中國古時卻流傳著一種算法，它的名稱也很多，宋朝周密叫它「鬼谷算」，又名「隔牆算」；楊輝叫它「剪管術」；而比較通行的名稱是「韓信點兵」。

最初記述這類算法的是一本名叫「孫子算經」的書，後來在宋朝經過數學家秦九韶的推廣，又發現了一種算法，叫做「大衍求一術」，流傳到西洋以後，外國化稱它是「中國剩餘定理」，在數學史上是極有名的問題。

至於它的算法，在「孫子算經」上就已經有了說明：“凡三三數之剩一，則置七十；五五數之剩一，則置二十一；七七數之剩一，則置十五”，而且還流傳著這麼一首歌訣：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。

這就是韓信點兵的計算方法，《孫子算經》中給出了其中關鍵的步驟是：但在《孫子算經》中並沒有說明求乘數的方法，直到1247年宋代數學家秦九韶在《數書九章》中才給出具體求法：70是5與7最小公倍的2倍，21、15分別是3與7、3與5最小公倍數的1倍。

秦九韶稱這2、1、1的倍數為“乘率”，求出乘率，就可知乘數，意思是說：凡是用3個一數剩下的餘數，將它用70去乘（因為70是5與7的倍數，而又是以3去除餘1的），5個一數剩下的餘數，將它用21去乘（因為21是 3與 7的倍數，又是以5去除餘1的），7個一數剩下的餘數，將它用15去乘（因為15是3與5的倍數，又是以 7去除餘 1的），最後將70、5、15這些數加起來，若超過105，就再減掉105，所得的數便是原來的數了。

根據這個道理，你就可以很容易地把前面一個題目列成算式：1×70＋2×21＋2×15－105＝142－105＝37。

“韩信点兵法”和中国剩余定理

“韩信点兵法”和中国剩余定理中国古代数学有几项研究曾经远远领先于世界，被西方称为“中国剩余定理”的算法就是其中之一。

定理中蕴含的数学思想，在世界近代数学的很多分支中都可以找到其身影。

韩信是西汉时期的名将，同时也是中国历史上排得上号的著名军事家。

关于他有各种各样或真或假的传说，其中就有一个跟数学有很密切的关系。

据说有一次韩信率领1500人与楚军大战，楚军败退，汉军也伤亡四五百人。

韩信率军回营途中，军士又报告楚军来袭，韩信马上命令整队迎战。

他先按3人一排列队，多出2人；又按5人列队，多出3人；再按7人列队，多出2人。

于是他鼓舞士兵们说，我们一共有1073人，而楚军不足500人，我们一定能战胜楚军。

汉军士气大振，果然大败楚军。

这就是所谓“韩信点兵法”。

在这个故事中关于列队方式有各种不同的说法，但在数学上这都属于数论中的余数问题。

这类问题对于同余理论的发展有重要的推动作用。

中国数学家在余数问题上有很多世界领先的研究成果。

例如古代数学名著《孙子算经》里有一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。

问物几何？”翻译成数学语言就是：求正整数N，使N除以3余2，除以5余3，除以7余2。

如何求符合上述条件的正整数N呢？《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。

“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。

以二百一十减之，即得。

凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。

一百六以上，一百五减之，即得。

”这段文言读起来有点拗口，但如果读完本文下面的内容，再回头看就不难理解了，所以暂时先不解释。

《孙子算经》后的一千多年，十六世纪的数学家程大位在其所著的《算法统宗》里以歌谣的方式给出了这个问题的解法。

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得之。

在歌谣的前三句中，每句给出一组数，分别是(3,70)，(5,21)，(7,15)。

中国剩余定理与韩信点兵

中国剩余定理与韩信点兵例1：一个两位数，用它除58余2，除73余3，除85余1，这个两位数是多少？分析解答：用一个两位数除58余2，除73余3，除85余1，那么58-2=56，73-3=7 0，85-1=84能被这个两位数整除，这个两位数一定是56、70和84的公约数。

由可可见，56、70、84的两位数公约数是27=14，可见这个两位数是14。

例2：有一个数，除以3余数是1，除以4余数是3，这个数除以12余数是多少？分析解答：因为除以3余数是1的数是1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，…除以4余数是3的数是3，7，11，15，19，23，27，31…所以，同时符合除以3余数是1，除以4余数是3的数有7，19，31，…这些数除以12余数均为7。

例3：学习委员收买练习本的钱，她只记下四组各交的钱，第一组2.61元，第二组3.19元，第三组2.61元，第四组3.48元，又知道每本练习本价格都超过1角，全班共有_____人。

分析解答：根据题意得319-261=练习本单价第二、一组人数之差，348-319=练习本单价第四、二组人数之差。

即练习本单价第二、一组人数之差=58，练习本单价第四、二组人数之差=29，所以，练习本单价是58与29的公约数，这样，练习本的单价是29分，即0.29元。

因此，全班人数是[注]这里为了利用练习本单价是总价的公约数这一隐含条件，将小数化成整数来考虑，为解决问题提供了方便。

这里也可直接找261、319和348的公约数，但比较困难。

上述解法从一定意义上说是受了辗转相除法的启示。

拓展训练营：1、有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个。

这盒乒乓球至少有多少个?2、求被6除余4，被8除余6，被10除余8的最小整数。

3、一盒围棋子，三只三只数多二只，五只五只数多四只，七只七只数多六只，若此盒围棋子的个数在200到300之间，问有多少围棋子?4、求一数，使其被4除余2，被6除余4，被9除余8。

中国剩余定理

中国剩余定律2010-05-25 19:15:29| 分类：Algorithm | 标签：|字号大中小订阅在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立了卓绝的功劳。

据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从１至５报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。

这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，就是现在被称为“中国剩余定理”的一次同余式解法。

它是中国古代数学家的一项重大创造，在世界数学史上具有重要的地位。

最早提出并记叙这个数学问题的，是南北朝时期的数学著作《孙子算经》中的“物不知数”题目。

这道“物不知数”的题目是这样的：“今有一些物不知其数量。

如果三个三个地去数它，则最后还剩二个；如果五个五个地去数它，则最后还剩三个；如果七个七个地去数它，则最后也剩二个。

问：这些物一共有多少？”用简练的数学语言来表述就是：求这样一个数，使它被３除余２，被５除余３，被７除余２。

《孙子算经》给出了这道题目的解法和答案，用算式表示即为：用现代的数学术语来说，这幅“开方作法本源图”实际上是一个指数为正整数的二项式定理系数表。

稍懂代数的读者都知道：《孙子算经》实际上是给出了这类一次同余式组的一般解：其中70、21、15和105这四个数是关键，所以后来的数学家把这种解法编成了如下的一首诗歌以便于记诵：“三人同行七十（７０）稀，五树梅花二一（２１）枝。

七子团圆正半月（１５），除百零五（１０５）便得知。

”《孙子算经》的“物不知数”题虽然开创了一次同余式研究的先河，但由于题目比较简单，甚至用试猜的方法也能求得，所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。

第六章第一节韩信点兵与中国剩余定理

第六章游戏中的数学逻辑第一节韩信点兵与中国剩余定理一、“韩信点兵”和《孙子算经》1、“韩信点兵”的故事这里面有什么秘密呢？2、《孙子算经》中的题目我国古代数学名著《孙子算经》中，有“物不知数”的题目：今有物不知其数，三三数之剩2，五五数之剩3，七七数之剩2，问物几何？答案是23，那么，这个23 是如何求得的呢？二、问题的解答1、换个问题入手1）同类问题今有物不知其数，二二数之剩1，三三数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之剩8，问物几何？2）筛法启发我们想到，要解原问题，只要从上边筛选下的数中，继续挑出“用4 除余3”的数：11，23，⋯再挑“用5 除余4”的数，⋯一直筛选下去，舍得下功夫，就一定可得结果，并且看起来，解，还不是唯一的，可能有无穷多个解。

3）公倍数法那么，除了刚才的筛法外，还有没有巧妙的解法？我们考察上边两个方程的特点，发现，两个“带余除法”的式子，都是“余数比除数少1”。

于是想到，如果把被除数再加1，不是余数就为0 了吗？换句话说，不是就出现整除的情况了吗？于每个方程两边都加上1，成为。

这说明，x +1既是2 的倍数，又是3 的倍数，因此，它是2 与3的公倍数。

如果用[2，3]表示2 和3 的最小公倍数，那么，因为公倍数都是最小公倍数的倍数，就有：x +1 = k [2,3], k =1,2,3,4, ⋯。

注意到[2，3]=6，所以“只有前两个条件的简化题目”的解为即 x = 6k −1,k =1,2,3,4,…有无穷多个解，即 x = 5,11,17,23, … 与前一解法结果相同。

的。

三、中国剩余定理1221.32x n x x n =+⎧⎨=+⎩中的1212(1)13(1)x n x n +=+⎧⎨+=+⎩。

中国古代史上最完美和最值得骄傲的数学成果：中国剩余定理

中国古代史上最完美和最值得骄傲的数学成果：中国剩余定理导言：本文将介绍中国古代最完美和最值得骄傲的数学成果“中国剩余定理”，希望能有更多的读者和学生能重视我们国家的传统文化，并通过对中国剩余定理的了解和学习喜欢上数论。

在中外几乎每一本基础数论的教课书中，都会介绍一个被称之为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem）的知识。

在我的印象里，自己是在小学四五年级的时候接触到这个知识的，并知道如何去应用它，但要等到初中后才真正明白其原理。

中国剩余定理是中国古代史上最完美和最值得骄傲的数学成果，它是中国对世界数学思想史的重要贡献。

但很遗憾，现在的孩子大部分都已经不学这部分知识。

距我当年学习这部分内容已经近三十年了，我不知道我们的数学教育到底出了什么问题。

那么，今天我们就来了解和学习一下这个数论中的著名定理“中国剩余定理”。

第一部分：问题的起源中国剩余定理起源于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，因此又名“孙子剩余定理”。

《孙子算经》，中国南北朝数学著作，《算经十书》之一。

全书共分三卷：上卷详细的讨论了度量衡的单位和筹算的制度和方法；中卷主要是关于分数的应用题，包括面积、体积、等比数列等计算题，大致都在《九章》中论述的范围之内；下卷对后世的影响最为深远，如下卷第31题即著名的“鸡兔同笼”问题，后传至日本，被改为“鹤龟算”。

下卷第26题“物不知数”为后来的“大衍求一术”的起源，被看作是中国数学史上最有创造性的成就之一，称为“中国剩余定理”。

经考证，《孙子算经》的作者与《孙子兵法》的孙武并非同一人。

“中国剩余定理”在古代有“韩信点兵”、“鬼谷算”、“求一术”、“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”、“物不知数”、“孙子定理”之名，是数论中主要命题，它不仅在抽象代数理论中有相应的推广，也被应用到密码学、哥德尔不完全性定理的证明、快速傅里叶变换理论等。

首先，引述《孙子算经》中“物不知数”的原文：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三。

第三模块重点学习内容韩信点兵与中国剩余定理

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《孙子算经》中的题目孙子算经》
我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知数” 我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知数” 的题目：的题目：今有物不知其数，今有物不知其数，三三数之剩2 三三数之剩2，五五数之剩3 五五数之剩3，七七数之剩2 七七数之剩2，问物几何？问物几何？这里面又有什么秘密呢？题目给出的条件，这里面又有什么秘密呢？题目给出的条件，也仅仅是作除法时的余数余数。作除法时的余数。
0≤r<b
当余数r =0时整” 当余数 =0时，则 a=bq，称为 “a被b整除”，或“b ，被整除的另一种表达形式。 ” 的另一种表达形式。
所以，带余除法是通常除法的推广。所以，带余除法是通常除法的推广。
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回到求“用2除余1的数”的问题。回到求“ 除余1的数”的问题。设这样的数为x，这里x是被除设这样的数为，则 x = 2n1 + 1。这里是被除是除数，是商，是余数，数，2是除数， n1 是商，1是余数，且 0 ≤ 1 < 2 。就是“带余除法” x = 2n1 + 1(0 ≤ 1 < 2) 就是“带余除法”的式子. 当取组成上述数列
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所谓“带余除法” 是指整数的如下除法” 所谓“带余除法”，是指整数的如下 “除法”：整数
对任意给定被除数a，不为零的除数，对任意给定被除数，不为零的除数b，必唯一存在商 q和余数，使和余数r，和余数
a = bq + r ,
a 整除a”，这是通常除法“ 整除，这是通常除法b = q “
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,… 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,