南开大学2019年数学分析试题真题
2019年南开大学数学试点班自主招生考试题
南开大学数学试点班自主招生考试题（A 卷）总分：200分 考试时间：2014-2-16 8:30-11:30一．填空题（每小题7分，共70分）1．若单位向量a r ，b r 满足|23|a b -=r r |32|a b +=r r ．2．若非零复数z 满足2||(1)0z z i z +⋅+-=，则复数z 的实部为 ．3．无重复数字（不含0）且4与5不相邻的五位数共有 个．4．在三棱锥P ABC -中，底面为边长为3的正三角形，且3PA =，4PB =，5PC =，则三棱锥 P ABC -的体积P ABC V -= ．5．在△ABC 中，A 为钝角，以下结论正确的是 ．①sin cos B C <；②sin sin sin A B C <+；③tan tan 2B C +<；④sin sin B C +<6．已知函数()f x 为周期为3的奇函数，且(1)0f =，则()f x 在区间[0,3)上至少有 个零点．7．过双曲线221169x y -=焦点(,0)(0)F c c >的直线()(0)y k x c k =-<交双曲线的两条准线于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆恰过原点O ，则k = ．8．已知,(0,1)x y ∈，且37,5x y x y ++均为整数，则这样的(,)x y 共有 对．9．在区间(0,)+∞上，若方程2ln x x x a-=有唯一解，则a 的值为 ． 10．已知,,x y z 均为正数，且12xyz =，2222x y z ++≤，则444x y z ++的最大值为 ． 二．解答题（第1-2题，每题15分，第3-7题，每题20分，共130分）1．设,m n 为正整数，且m n <．证明：对于任意连续n 个正整数，总存在两个不同的正整数的乘积为mn 的倍数．2．设P 为曲线222521x xy y -+=上的动点，求点P 到原点距离的最小值．3．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：对任意的,x y ，均有()()f x y f xy +=．证明：()f x 在(0,)+∞上恒为常数．4．设,(0,)2x y π∈，且tan tan 3x y ⋅≥．证明：cos cos 2x y +≥．5．设n Z ∈，且2n ≥，(0,1](1,2,,)i a i n ∈=L ，证明：1111111n n nn i i i i i i i i i a a n a a a ====⋅≥⋅⋅++∑∑∑∏． 6．已知1(0,1)a ∈，212n n n a a a n+=+，证明：存在0M >，使得对任意的正整数n ，有n a M <． 7．设集合A 的元素个数为n ，证明：存在集合A 的一个子集B ，满足：B 的元素个数大于3n ，且对任意的,x y B ∈，均有x y B +∉．。
985院校数学系2019年考研数学分析高等代数试题及部分解答
15 武汉大学
39
15.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
16 华中科大 2012 年数学分析试题解析
40
17 武汉大学 2018 年数学分析试题解析
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6 浙江大学
16
6.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
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7 华中科技大学
18
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7.2 2019 年高等代数真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13 大连理工大学
35
13.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
14 电子科技大学
37
14.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5 天津大学
13
5.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2019年南开大学数学试点班自主招生考试题解析
分别是：1，1.5，2，3，4，4.5，5．
【结论】若 是定义在R上的以T为周期的奇函数，则 ．
7．过双曲线 焦点 的直线 交双曲线的两条准线于 、 两点，且以 为直径的圆恰过原点 ，则 ．
【答案】
【解析】易知两准线方程为 ，则 ， ，依题意知 ，则 ，又 ，解得 ．
取 ， ， ③×；
由①知 ，④√．
6．已知函数 为周期为3的奇函数，且 ，则 在区间 上至少有个零点．
【答案】4
【解析】易知 ；
；
．
所以， 在区间 上至少有0，1， ，2四个零点．
【备注】本题源于2005年福建理科高考试题第12题：
是定义在R上的以3为周期的奇函数，且 ，则方程 在区间 内解的个数的最小值是A．2B．3C．4D．5
8．已知 ，且 均为整数，则这样的 共有对．
【答案】31
【解析】令 ，则 ，
由 得 ，
作出上述不等式组表示的区域（蓝色区域），
问题转化为求该区域内整点的个数．
由图可知，该区域内整点共有31个（如图所示）．
9．在区间 上，若方程 有唯一解，则 的值为．
【答案】1
【解析】 ，
令 ，
则 ，由 得 ．
当 时， ；当 时， ．所以 ．
3．定义在 上的函数 满足：对任意的 ，均有 ．证明： 在 上恒为常数．
【解析】容易看到函数 有周期1，对 ，可取正整数 满足：
那么可取到 使得：
， ．
由此可知 对 均成立．
（注：以上参考宋庆老师的解法）
4．设 ，且 ．证明： ．
【解析】令 ， ，则问题转化为：
已知 ， ，证明： ．
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4 南开大学
10
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4.2 2019 年高等代数真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
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19 浙江大学 2016 年数学分析试题解析
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20 吉林大学 2015 年数学分析试题解析
58
21 中国科大 2015 年数学分析试题解析
64
22 中国科大 2014 年数学分析试题解析
68
23 厦门大学 2014 年数学分析试题解析
70
24 浙江大学 2012 年高等代数试题解析
74
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2019年天津市高考数学试卷理科解析版
•棱锥的体积公式V=-Sh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.
3
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={-1,1,2,3,5}, B ={2,3,4}, C ={xR|1,x 3}，则(A「|C)UB=()
A.①B.「2,3?C.「1,2,3?D.S2,3,4?
再根据题意求解.
(
10.2x是展开式中的常数项为
I
【答案】28
【解析】
【分析】
根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r的值，再求出其常数项。
【详解】
8x
由
故所求的常数项为
【点睛】二项式中含有负号时，要把负号与其后面的字母看作一个整体，计算中要特别注意符号。
11.已知四棱锥的底面是边长为J2的正方形，侧棱长均为J5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱
5
所以
因为AD//BC,BAD=30，所以CBE=30,因为AE二BE，所以•BAE=30,
乂
y-
A.2B.3C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
画出可行域，用截距模型求最值。
【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。
目标函数的几何意义是直线V =4X-z在y轴上的截距，
故目标函数在点A处取得最大值。
「
由
X —
所以Zmax= V（一1）"5。
【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围•即：一画，二移，三求.
2019年数学考研数学分析各名校考研真题及答案
考研数学分析真题集目录 南开大学 北京大学 清华大学浙江大学华中科技大学一、,,0N ∃>∀ε当N n >时，ε<>∀m a N m ,证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列}{k n a ，a a kn k =∞→lim ，所以，ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n二 、,,0N ∃>∀ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>∃>∀δε当1'''δ<-x x 时，ε<-)''()'(x f x f对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x xε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>∃>∀δε2'''δ<-x x 时ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},m in{21δδδ=即可。
三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('<x f 所以)(x f 递减，又2))((''21))((')()(a x f a x a f a f x f -+-+=ξ，所以-∞=+∞→)(lim x f x ，且0)(>a f ，所以)(x f 必有零点，又)(x f 递减，所以有且仅有一个零点。
南开数学专业考研真题
南开数学专业考研真题南开数学专业考研真题数学作为一门古老而又深奥的学科，一直以来都备受人们的关注和研究。
而南开大学作为我国著名的综合性大学之一，其数学专业一直以来都备受瞩目。
在考研的过程中，南开数学专业的真题也成为了考生们备考的重要参考资料。
南开大学数学专业考研真题的出现，不仅可以帮助考生了解考试的形式和内容，还能够帮助考生提前感受到考试的难度和压力，从而更好地进行备考和应对考试。
南开数学专业考研真题涵盖了数学专业各个领域的知识点和题型，包括高等数学、线性代数、概率统计、数学分析等。
通过解答这些真题，考生可以了解到自己在各个知识点上的掌握情况，发现自己的不足之处，并有针对性地进行复习和提高。
在解答南开数学专业考研真题的过程中，考生需要不断地思考和分析题目，运用所学的数学知识进行推导和证明。
这不仅考验了考生的数学基础知识，还考察了考生的解题能力和逻辑思维能力。
通过不断地解答真题，考生可以提高自己的解题速度和准确性，培养自己的数学思维能力。
除了解答南开数学专业考研真题，考生还可以通过参加模拟考试来检验自己的备考情况。
模拟考试可以帮助考生熟悉考试的时间分配和答题技巧，提高自己在考试中的应对能力。
通过不断地进行模拟考试，考生可以逐渐适应考试的紧张氛围和时间压力，提高自己的应试能力。
南开数学专业考研真题的解答过程中，考生还可以结合教材和参考书籍进行学习和查漏补缺。
通过对教材和参考书籍的深入学习，考生可以更加全面地掌握数学知识，提高自己的理解和应用能力。
同时，考生还可以通过参加数学专业的学术讲座和研讨会等活动，与其他考生交流学习，拓宽自己的数学视野。
在备考过程中，考生还应注重培养自己的解题思路和方法。
数学解题不仅仅是机械地运用公式和定理，更需要考生具备灵活的思维和创新的能力。
通过不断地解答南开数学专业考研真题，考生可以培养自己的解题思路和方法，提高自己的解题能力和创新意识。
总之，南开数学专业考研真题对于考生备考和应对考试具有重要的意义。
南开大学数学分析
南开大学2000年硕士研究生入学考试1.设222222()sin 0(,)00x y xy x y x yf x y x y +⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩，证明(,)f x y 在点(0,0)处连续但不可微2.设()f u 具有连续的导数，且{}2lim ()0,(,)|,,0(0)u f u A D x y x y R x y R →+∞=>=+≤≥>1） 证明lim ()u f u →+∞=+∞2） 求22()R DI f x y dxdy =+⎰⎰3） 求2limR R I R→+∞3.（1）叙述()f x 于区间I 一致连续的定义（2）设(),()f x g x 都于区间I 一致连续且有界，证明()()()F x f x g x =也于上I 一致连续 4.设函数列{}()f x 于区间I 上一致收敛于()f x ，且存在数列{}n a 使得x I ∈当是，总有 (),(1,2...)n f x a n ≤=，证明()f x 于I 上有界5，设10(1,2...),nn n kk a n S a=≥==∑，证明（1） 若1n n na S =∑收敛，则1n n a =∑也收敛（2） 如果 ?>1，1n n na S =∑收敛，问1n n a =∑是否必收敛？说明理由6.设(,)f x t 于[],;,a c d +∞连续，(,)af x t dx +∞⎰于(],c d 一致收敛，证明(,)af x d dx +∞⎰收敛南开大学2001年硕士研究生入学考试1. 计算三重积分22()x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰，其中Ω为由曲面22x y z +=与平面4z =为界面的区域2. 计算220sin x xy dx xdy yπ⎰⎰3. 计算2222()yx I y dx dy xyx y=--++⎰，c 为椭圆22194xy+=，方向为正4. 设{}n a 为一数列，满足lim ,0n n na a a →∞=>（1） 证明1n n a ∞=∑收敛（2） 能否确定1n n a ∞=∑的敛散性？说明理由5．设()f x 于[),a +∞可导，且'()0f x c ≥>（c 为常数），证明 （1）lim ()n f x →∞=+∞（2）()f x 于[),a +∞必有最小值6.设()f x 于[)0,+∞有定义，对任意实数,()A a f x >于[]0,A 可积，且lim ()0n f x →∞=，证明01lim()0x f x dt x+∞→∞=⎰7.设0,0x y ≤≤+∞<<+∞时(,)f x y 连续且有界，证明 （1）对任意正数0,(,)xyxef x y dx δ+∞-⎰，于(),δ+∞一致收敛（2）0()(,)xyF y xef x y dx +∞-=⎰于()0,+∞连续（3）问0(,)xyxef x y dx +∞-⎰于()0,+∞是否必不一致收敛？说明理由南开大学2002年硕士研究生入学考试1.计算三重积分Ω⎰⎰⎰，其中Ω为由222x y z +=及2z =所围成2. 设s 为抛物面22x y z +=位于0,1z z ==之间的部分，取外侧，求222sxydydz y dzdx x dxdy --⎰⎰3. 设1n n a nα∞=∑收敛，βα>，证明1n n a nβ∞=∑收敛4. 设{}()n f x 于()00,,0x x δδδ-+>内一致收敛，且0lim ()(1,2,...)n n x x f x a n →==证明{}n a 收敛5. 设()f x 于区间I 一致连续，(1,2,...)n x I n ∈=且{}n x 收敛，证明{}()n f x 也收敛 问若将()f x 于区间I 一致连续改为()f x 于I 连续，上述结论是否仍成立？说明理由6. 设()f x 于[),a +∞（a 为实数）连续，且()0,lim ()0x f x f x →+∞≥=，证明()f x 于[),a +∞有最大值，问()f x 于[),a +∞是否比有最小值？说明理由7. 证明0()xyf y xedx ∞-=⎰于()0,+∞连续问()f x 于[),a +∞是否比有最小值？说明理由南开大学2003年硕士研究生入学考试1. 设(,,)w f x y x y x =+-，其中(,,)f x y z 有二阶连续偏导数，求xy u2. 设数列{}n a 非负单增且lim n n a a →∞=证明112lim ()nn n n nn a a a a →∞+++=3．设2ln(1)0()00x x x f x x α⎧->=⎨≤⎩试确定α的取值范围，使()f x 分别满足（1） 极限0lim ()x f x +→存在（2） ()f x 在0x =连续 （3） ()f x 在0x =可导3. 设()f x 在(),-∞+∞连续，证明积分22()()Lf x y xdx ydy ++⎰与积分路径无关5. 设()f x 在[],a b 上可导，()02a b f +=且'()f x M <，证明2()b zf x dx ≤⎰Ｍ（b-a ）４6. 设{}n a 单减而且收敛于0.1sin n n a n ∞=∑发散（1）证明级数1sin n n a n ∞=∑收敛（2）证明lim 1n n nu v →∞=其中11(sin sin ),(sin sin )nnn kk n kk k k u ak a k u ak a k ===+=-∑∑7. 设1sin ()txxF t edx x +∞-=⎰证明（1）1sin txx edx x+∞-⎰在[)0,+∞一致收敛（2） ()F t 在[)0,+∞连续8. 命{}()n f x 是[],a b 上定义的函数列，满足（1） 对[]{}00,,()n x a b f x ∈任意是一个有界数列（2） 对任意0ε>，存在一个0δ>，当[],,x y a b ∈且x y δ-<时，对一切自然数n,有()()n n f x f y ε-<求证存在一个子序列{}()n f x 在[],a b 上一致收敛南开大学2004年硕士研究生入学考试1. 设()f x 在点a 的一个邻域中有定义，'()0,()0f a f a ≠=，求1()lim ()x ax af x f a -→⎛⎫ ⎪⎝⎭2. 设(,)f u v 所有二阶偏导数都连续，(,)y z f xy x=，求2z x y∂∂∂3. 证明不等式 12l n (1)1(0)1xx x x x+<+>+ 4. 计算二重积分2222221ln()x y x y x y dxdy +≤+⎰⎰5. 计算第二型线积分22()2Lx y dx xydy --⎰其中L 是从(0,1)A 沿sin x y x=到(,0)B π的一段曲线6.证明级数11n nα∞=∑在0α>时收敛，在0α≤时发散7. 设()f x 在[),a +∞上可微且有界，证明存在一个数列{}[),n x a ⊂+∞，使得l i m n n x →∞=-∞且'lim ()0n n f x →∞=8. 设{}()n f x 是[],a b 上的连续函数序列，且存在常数0M >，使得对任何n N ∈和任何[],x a b ∈，有()n f x M <（1） 证明对任何n N ∈，{}12()min (),(),,()n n F x f x f x f x = 在[],a b 上连续 （2） 举一个例子使{}()inf ()n n NF x f x ∈=在[],a b 上不连续（3） 若{}()inf ()n n NF x f x ∈=在[],a b 上连续，则{}()n F x 在[],a b 上不一致收敛于()F x ，其中{}12()min (),(),,()n n F x f x f x f x =9. 设()f x 在(),a b 上有定义且对任何()12,,x x a b ∈和任何[]0,1λ∈，有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-<+-（1） 证明()f x 在(),a b 内处处有右导数'()()()lim x f x x f x f x x++∆→+∆-=∆且'()f x +是(),a b 上的单增函数（2）'()f x +在(),a b 内至多只有可数个间断点南开大学2005年硕士研究生入学考试1. 计算二重积分2DI xydxdy =⎰⎰ 其中{}2(,)|1D x y R x y =∈+≤2. 设()u u x =为由方程组(,,)(,,)0(,,)0u f x y z g x y z h x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩确定的隐函数，求du dx3.求极限lim n →∞+4. 求证0sin ()t f x dx x t+∞=+⎰在()0,+∞上连续5. 判断级数1111(1)1!2!!n e n ∞=⎡⎤-++++⎢⎥⎣⎦∑ 的敛散性 6. 设函数()f x 在[]1,1-上连续可导且(0)0f =（1） 求证11()n xf n n∞=∑在[]1,1-上一致收敛 （2） 设11()()n xS x f n n∞==∑，求证()S x 在[]1,1-上连续可导 7. 设(,),(,)P x y Q x y 在全平面2R 上有连续的偏导数，并且对任何一个圆周C ，有(,)(,)0CP x y d x Q x y d y +=⎰求证Q P xy∂∂=∂∂8. 设()f x 在[]0,a 上两次可导，''(0)(0)()0,()1f f f a f a ====，并且对任何[]0,x a ∈，有"()1f x ≤，设,02(),2a x x g x a a x x a⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩（1） 求证'()()f x g x ≤（2） 求证()00,x a ∈存在，使得'00()()f x g x < （3） 求证0a > 9.设()f x 和()g x 在区间(),a b 内有定义，且对任何()0,,x x a b ∈，有00()()()()f x f xg x x x -≥-（1）求证()f x 在(),a b 内连续南开大学2006年硕士研究生入学考试.1.求极限24sin()limt t tx dx t→⎰2.设122221211112111n nn n n nx x x u xxxx x x ---=，试证1(1)2nii iu n n x u x =∂-=∂∑3.设()f x 在[]0,2上有界可积，20()0f x dx =⎰求证存在[]0,1a ∈使得1()0a af x dx +=⎰4.若幂级数nnn ax∞=∑在()1,1-内收敛于()f x ，设()01,1n x ≠∈-满足l i m 0()0,nn n x f x n →∞===和，则()0f x =对所有()1,1x ∈-5.设函数()f x 在(),-∞∞有任意阶导数，且导数函数列()()n f x 在(),-∞∞一致收敛于(),(0)1x ϕϕ=，求证()xx e ϕ= 6.设(,,)f x y z 在球{}222(,,)|1x y z x y z ++≤上连续令{}{}2222222()(,,)|,()(,,)|,0B r x y z x y z r S r x y z x y z rr =++≤=++=>求证()()(,,)(,,),(0,1)B r S r d f x y z dxdydz f x y z dS r dr=∈⎰⎰⎰⎰⎰7.设(,,)f x y z 在全空间上具有连续的偏导数，且关于x,y,,z 都是1周期的，即对任意点（x,y,,z ）成立(1,,)(,1,)(,,1)(,,)f x y z f x y z f x y z f x y z +=+=+=则对任意实数,,αβγ，有f f f dxdydz xyz αβγΩ⎡⎤∂∂∂++=⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎰⎰⎰ 这里[][][]0,10,10,1Ω=⨯⨯是单立方体8.设A 为三阶实对称方阵，定义函数(,,)(,,)x h x y z x y z A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求证(,,)h x y z 在条件2221y z ++=下的最大值为矩阵A 的最大特征值9.（1）设0n a ≠数列满足0,n a n →→∞，定义集合{|,}i p ka k Z i N =∈∈,Z 为整数集，N 为自然数集，求证对任何实数b ，存在数列k b p ∈使得lim k k b b →∞=（2）试证一个非常数的周期连续函数必有最小正周期10.设()x ϕ是(),-∞∞定义的周期连续函数，周期为1，且1()0x dx ϕ=⎰，令10()xn a e x dx ϕ=⎰，对任意自然数n ，求证级数21nn a ∞=∑收敛南开大学2007年硕士研究生入学考试1.填空 （1）111lim ()122n n n n→∞+++++（2）1sin te tdt t+∞--⎰（3）函数22(,)212f x y x xy y =++在闭区域{}222(,)|425D x y R x y =∈+≤的最小值 （4）设{}222(,)|1,0,0D x y R x y x y =∈+≤≥≥，则二重积分D⎰⎰（5）设{}3222(,,)|1,n n n S x y z R x y z n N =∈++=∈，则下面曲面积分333()Sx y z dS ++⎰⎰的值（6）设L 为单位圆221x y +=的方向，则下曲线积分[]22(sin cos )(sin )yLex x y x dx y x xcox dy xy++-+⎰的值是2.设()f x 函数在[)0+∞，上连续，(0)0f <，并且'()2f x >对0x >成立，求证方程(0)0f =在区间(0)0,2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭中有且仅有一根3.设()f x 在[]0,1上连续，求证121lim (()()(1)())nn n f f f n nn→+∞--++-4.若正项级数1n n a ∞=∑收敛，求证（1）1p n n a ∞=∑收敛，1p >（2）1n n∞=∑收敛，,2k N k ∈≥5.求证含参变量广义积分2txtedx +∞-⎰在关于[)0,t ∈+∞的任何有界闭子区间上一致收敛6.设()f x 在区间()0,+∞连续有界，且(1)()f x f x +≠对所有0x >成立，求证 ()l i m ()(1)0n f nf n →+∞--=7.设{}:1n x R x Ω=∈<，函数()u x 在Ω内二阶连续可微，在Ω上连续，且在Ω内满足0u bu ∆-=，其中221ni ix =∂∆=∂∑为Laplace 算子，0b >为常数，设对任意边界上的点x ∈∂Ω有()0u x >，证明：对任意x ∈Ω，有()0u x >南开大学2008年硕士研究生入学考试一．计算题1．()[]x x x +-∞→1ln lim 22．()()∑∞=-+-1121n n n n3．求()x f ，已知()()()1''+-=x fx x f4． 5．()[][]{}1,1,2,0,-∈∈=y x y x D ，求⎰⎰-DdS y x二．61+=+n n x x ，61-≥x ，求n x x ∞→lim三．()[]b a C x f ,∈，[]b a x ,∈∀，[]b a y ,∈∃，使()()x f y f 21≤，证明[]b a ,∈∃ξ，()0=ξf四．()x f 在[)+∞,a 一致连续且广义几分()⎰+∞adx x f 收敛，证()0lim=+∞→x f x五．()∑-=nxnex f ，证：（1）()x f 在()+∞,0收敛但不一致（2）()x f 在()+∞,0无穷次可导六．()1ln -=n n a f a ，()()x mf x f≤'，10<<m ，证∑--1n n a a 收敛 七．x yu =，x v =，y xz +=ω，0222=+∂∂+∂∂y x zx zx ，求()v u ,ω八．求222a az y x =++分az z y x 2222=++成两部分体积之比。
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f (x) dx = 0，证明： ∫
0 1
∫
0
1
∫ |f (x)| dx ·
0
1
|f ′ (x)|dx < 2
f 2 (x)dx
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2 2 2 S
(√
) √ 2 2 ,− ,0 ， 动点 P 在曲面 x2 +2y 2 +3z 2 = 1， 2 2
求方向导数
∂f |(P ) 的最大值. ∂l
∞ ∑ xn √ 五.(20 分) 求幂级数 的收敛区间. n n! n=1
六.(15 分) 证明广义积分
∫
0
பைடு நூலகம்+∞
sin x dx 2x + 3 sin x
南开大学 2019 年数学分析试题真题
(考试时间：2018 年 12 月 23 日上午 8:30-11:30) (16 数学 − 胡八一) 微信公众号：数学的情怀 & 数专考研小 K 真题 考试形式: 闭卷
一.(15 分) 求极限
n→∞
考试时间: 180 分钟
[ lim ] 1 −n ln (n + 1) − ln n
∞ ∑ n=1
收敛. 七.(20 分) 设 fn (x) 是区间 I 上的函数 (n = 1, 2, · · · )，且
2 fn (x) 在区间 I 上逐点收敛和函数在 I 上有
∞ ∑ 1 fn (x) 在区间 I 上一致收敛. 界，试证：当 p ∈ ( , ∞) 时，函数项级数 2 np n=1
八.(15 分) 已知 α, β 均为正实数，且 max {α, β } > 1，试证： ∫ x 1 lim dt = 0 α x→+∞ 1 x + tβ ∫ 九.(15 分) 设函数 f (x) 在 [0, 1] 上连续可微且不恒等于 0，且
满分: 150 分
二.(15 分) 若 a > 0, 求 x2 + y 2 = a(z − 1)2 与平面 z = 0 所围成图形的立体体积. ∫∫ 三.(20 分) 求曲面积分 y 2 z dxdy + xz dy dz + x2 y dxdz ， 其中 S 是由曲面 z = x2 + y 2 与曲面 x2 + y 2 = 1 以及三坐标面在第一象限所围立体的外侧. 四.(20 分) 设函数 f (x, y, z ) = 2x +2xy +2y −3z ，l =