平面直角坐标系中的全等三角形(供参考)
专题：平面直角坐标系与全等三角形
专题：平面直角坐标系与全等1、如图1，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴与G，连OB、OC．（1）判断△AOG的形状，并予以证明；（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO；（3）在（2）的条件下，如图2，点M为OA上一点，且∠ACM=45°，BM交y轴于P，若点B 的坐标为（3，1），求点M的坐标．2、平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点A（0，m），点C（n，0），且m、n满足．（1）求点A、C的坐标；（2）如图1，点D为第一象限内一动点，连CD、BD、OD，∠ODB=90°，试探究线段CD、OD、BD之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图2，点F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，当F在线段OA 上运动时（不与O、A重合），的值是否变化？若变化，求出变化的范围；若不变，求出其值．3、已知点A与点C为x轴上关于y轴对称的两点，点B为y轴负半轴上一点．（1）如图1，点E在BA延长线，连接EC交y轴于点D，若BE=8，EC=6，CB=4，求△ADE的周长；（2）如图2，点G为第四象限内一点，BG=BA，连接GC并延长交y轴于F，试探究∠ABG 与∠FCA之间有和数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，A（-3，0），B（0，-4），点E（-6，4）在射线BA上，以BC为边向下构成等边△BCM，以EC为边向上构造等腰△CNE，其中CN=EN，∠CNE=120°，连接AN，MN，求证:5、如图，A(O,4),B(-2,O),C(2,O),CM⊥AB,ON⊥AC，垂足分别为M、N．(1)求证：CM+CN=AB;(2)过O点作直线EF交AC于E，BF与AC相交于P点，若AE+BF=AB，问PE与PF存在怎样关系并证明．图①图②6、如图，△AOB和△ACD是等边三角形，其中AB⊥x轴于E点，点E坐标为(3，0)，点C(5，0).(1)如图①，求BD的长；(2)如图②，设BD交x轴于F点，求证：∠OFA=∠DFA;(3)如图③，若点P为OB上一个动点（不与0、B重合），PM⊥OA于M，PN⊥AB于N.当P在OB上运动时，下列两个结论：①PM+PN的值不变；②PM-PN的值不变．其中只有一个是正确的，请找出这个结论，并求出其值.图①图② 图③7、如图，已知B（-1，O），D(O，2)，经过点C(3，0)的直线EC交直线BD于A，交y轴于E，使AD=AE．(1)求证：AB=AC；(2)△ABC沿x轴方向平行移动时，AB交y轴于D，直线DF交AC延长线于F，交x轴于G且BD=CF，求证：OG长度不变．图①图②。
2020最新名校课堂小专题4：构造全等三角形的常用方法
小专题4：构造全等三角形的常用方法方法1 利用“角平分线”构造全等三角形模型构建已知点P是MON⊥于⊥于点A，可以过点P作PB ON ∠平分线上一点，若PA OM点B，则PB PA=.1.感知：如图，AD平分18090，，，易知：.∠∠+∠=︒∠=︒=BAC B C B DB DC探究：如图，AD平分18090∠∠+∠=︒∠<︒，，，求证：BAC ABD ACD ABD=.DB DC模型构建若AOP BOP=，∠=∠，且点A是射线OM上任意一点，可以在ON上截取OB OA 连接PB，构造OPB OPA≌.∆∆2.如图，//∠，点E在AD上，求证：AB CD，BE平分ABC∠，CE平分BCD=+.BC AB CD方法2 利用截长补短法构造全等三角形方法指导截长补短法的具体做法：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种方法适用于证明线段的和差、倍、分等题目.3.问题背景：如图，在四边形ABCD中，12090AB AD BAD B ADC=∠=︒∠=∠=︒，，.点E，F分别是BC，CD上的点，且60EAF︒∠=.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.（1）小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG BE=，连接AG.先证明ABE ADG∆∆≌，再证明AEF AGF∆∆≌，可得出结论，他的结论应是______; （2）如图，若在四边形ABCD中，180AB AD B D=∠+∠=︒，.E，F分别是BC，CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，上述结论是否仍然成立？并说明理由.方法3 利用“倍长中线法”构造全等三角形方法指导将中线延长一倍，然后利用“SAS”判定三角形全等.4.如图，AB AE AB AE AD AC AD AC=⊥=⊥，，，，点M为BC的中点，求证：2DE AM=.方法4 利用“三垂直”构造全等三角形模型构建如图，若AB AC AB AC，，则可过斜边的两端点B，C向过A点的直线作垂线=⊥构造ABD CAE≌.在平面直角坐标系中，过顶点A的直线常为x轴或y轴.∆∆5.已知在△ABC中，90，，将△ABC放在平面直角坐标系中，如BAC AB AC∠=︒=图所示.（1）如图，若A（1，0），B（0，3），求C点坐标；（2）如图，若A（1，3），B（10-，），求C点坐标；（3）如图3，若B（40，），求A点坐标.-，），C（01-参考答案1.证明：过点D 作DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥交AC 的延长线于点F . AD 平分90BAC DE AB DF AC DE DF F DEB ∠⊥⊥∴=∠=∠=︒，，，，. 180180EBD ACD ACD FCD EBD FCD ∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠，，.在△DFC 和△DEB 中,,,,F DEB FCD EBD DF DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩DFC DEB ∴∆∆≌（AAS ）.DC DB ∴=.2.证明：在BC 上截取BF AB =，连接EF . BE 平分ABC ∠，CE BCD ∠平分，ABE FBE FCE DCE ∴∠=∠∠=∠，.在△ABE 和△FBE 中，,,,AB FB ABE FBE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE FBE ∴∆∆≌（SAS ），A BFE ∴∠=∠.//180.180AB CD A D BFE D ∴∠+∠=︒∴∠+∠=︒，. 180BFE CFE CFE D ∠+∠=︒∴∠=∠，.在△FCE 和△DCE 中，,,,CFE D FCE DCE CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩FCE DCE ∴∆∆≌（AAS ）..CF CD BC BF CF AB CD ∴=∴=+=+.3.解：（1）EF BE FD =+（2）EF BE FD =+仍然成立.理由：延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，180180B ADC ADC ADG B ADG ∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠，，.在△ABE 和△ADG 中，,,,BE DG B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE ADG ∴∆∆≌（SAS ）.AE AG BAE DAG ∴=∠=∠，.12EAF BAD ∠=∠， GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠.在△AEF 和△AGF 中，,,,AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AEF AGF ∴∆∆≌（SAS ）.EF FG ∴=.FG DG DF BE DF EF BE DF =+=+∴=+，.4.证明：延长AM 至N ，使MN AM =，连接BN .点M 为BC 的中点，BM CM ∴=.在△AMC 和△NMB 中，,,,AM NM CMA BMN CM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AMC NMB ∴∆∆≌（SAS ）.AC BN AD C NBM ∴==∠=∠，.180ABN ABC NBM ABC C BAC EAD ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=∠.在△ABN 和△EAD 中，,,,AB EA ABN EAD BN AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABN EAD ∴∆∆≌（SAS ）.2DE NA AM ∴==.5.解：（1）过点C 作CD x ⊥轴，垂足为D .则90CAD ACD ∠+∠=︒. 9090.BAC BAO CAD BAO ACD ∠=︒∴∠+∠=︒∴∠=∠，.在△ABO 和△CAD 中，,,,AOB CDA BAO ACD AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABO CAD ∴∆∆≌（AAS ）.BO AD OA CD ∴==，.A （1，0），B （0，3）1 3.31OA OB AD CD ∴====，，，. 4.OD OA AD ∴=+=∴C （4，1）.（2）过点A 作AD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE AD ⊥，垂足为E .同（1）可证ACE BAD AE BD CE AD ∆∆∴==≌，，.A （1，3），B （10-，），2 3.3 1.BD AD CE DE AD AE ∴==∴==-=∴，，C （4，1）.（3）过点A AD x AE y ⊥⊥作轴，轴，垂足分别为D ，E .同（1）可证BAD CAE ∆∆≌，CE BD AE AD OE ∴===，. B （40-，），C （01-，），4 1.OB OC ∴==， 3.AE OB BD OB CE OB OC OE AE ∴=-=-=-+=-（）333(,)222AE A ∴=⋅∴-。
三角形全等模型详细专题 初中数学
全等三角形中辅助线的添加主要内容：复习三角形全等的判定定理，通过三角形全等证明图形中线段和角度的关系。
（位置关系和数量关系）学习目标：通过学习三角形全等的判定，探索三角形全等的条件，能够培养比较完整、清晰的思维逻辑能力并进行基础的推理论证能力。
学习重点：灵活应用三角形中线段的性质与三角形的判定定理证明综合性的题目。
学习难点：能够从结论出发，联系已知，找出解决问题的关键点，同时能够挖掘出图中的隐含条件而且能够将未知转化为已知来解决问题（基本的全等模型与常见辅助线）。
一、知识精讲1.三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或者“SSS”。
（三角形具有稳定性）2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。
3.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。
4.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。
5.在直角三角形中，一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写为“HL”。
6.易错点：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等这个结论是不正确的。
EDFCBADCB A二、典型例题： 考点一倍长中线法：当遇到中线时，通常延长中线一倍，采用补短的方法，构造三角形全等条件：△ABC 中AD 是BC 边中线方法一： 延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE 方式 方法二：间接倍长，作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E 连接BE方法三： 延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CN【例题1】 已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.【例题2】如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.【变式训练】1、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.【练习题】1、已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE．求证：AF=BC+FC．2、如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且AE=AF。
一次函数和全等三角形
一次函数和全等三角形一次函数是指函数的最高次数为1的函数，即表达式为y = ax + b的函数形式，其中a和b为常数。
一次函数在代数学中有着重要的应用，也是数学中最基础的函数类型之一全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形，它们的对应边长和对应角度都相等。
全等三角形是几何学中的重要概念之一，它可以帮助我们解决很多与三角形相关的问题。
在很多数学问题中，我们可以运用一次函数和全等三角形的概念来求解。
下面将结合具体的例子来说明一次函数和全等三角形的应用。
首先，我们来看一个关于一次函数的问题：假设一个人的学费每年增加1000元，第一年学费为5000元，问经过n年后，这个人的学费是多少？这个问题可以用一次函数来解决。
设第n年的学费为f(n)，由题意可知f(1)=5000，且每年增加1000元，即f(n)=1000n+b。
我们只需要找出b的值即可。
将已知条件带入到一次函数的表达式中，可以得到5000=1000×1+b，从而得出b=4000。
所以，经过n年后的学费可以表示为f(n)=1000n+4000。
接下来，我们来看一个关于全等三角形的问题：在平面直角坐标系中，已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(4,6)，C(8,4)，求与三角形ABC全等的三角形的顶点坐标。
要求与三角形ABC全等的三角形，意味着对应的边长和角度都相等。
所以我们可以将两个三角形的对应边长和角度进行比较来求解。
首先，我们可以计算出三角形ABC的边长和角度。
由于ABC是直角三角形，我们可以通过勾股定理求得三条边的长度。
AB=√((4-1)²+(6-2)²)=√(9+16)=√25=5BC=√((8-4)²+(4-6)²)=√(16+4)=√20=2√5AC=√((8-1)²+(4-2)²)=√(49+4)=√53接下来，我们需要找到与ABC的对应边长相等的三条边，同时保持相应的位置关系不变。
2023年中考数学重难点训练——全等三角形的应用
2023年中考数学重难点训练——全等三角形的应用一、综合题1．如图①，C 、F 分别为线段AD 上的两个动点，BC ⊥AD ，垂足为C ，EF ⊥AD ，垂足为F ，且AB==DE ，AF=CD ，点G 是AD 与BE 的交点.（1）求证∶ BG=EG;（2）当C 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由.2．在平面直角坐标系中，已知点()03A ，、()60B ，，点A 关于x 轴对称点为F ，连接BF ，作DAK BAO ∠=∠，连接DO 交BF 延长线于点C ．（1）①直接写出点F 的坐标 ▲ ；②证明：AOD ≌FOC ；（2）动点P 从F 出发，以每秒1个单位长度的速度沿F O B --运动，到B 点停止运动；动点Q 从B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿B O F --，到F 停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止运动．过点P 作PG CD ⊥于点G ，过点Q 作QH CD ⊥于点H ，问：当P 点运动多少时间时，POG 与QOH 全等？3．（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角 ACB ∆ 的直角顶点 C 在原点，将其绕着点 O 旋转，若顶点 A 恰好落在点 ()1,2 处．则①OA 的长为 ；②点 B 的坐标为 （直接写结果）（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰直角 如图放置，直角顶点 ()1,0C - ，点 ()0,4A ，试求直线 AB 的函数表达式．（3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点 ()4,3B ，过点 作 BA y ⊥ 轴，垂足为点 ，作 BC x ⊥ 轴，垂足为点 ,C P 是线段 BC 上的一个动点，点 Q 是直线 26y x =- 上一动点．问是否存在以点 P 为直角顶点的等腰直角 APQ ∆ ，若存在，请直接写出此时 点的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，AB=16cm ，BC=12cm ，D 为AB 的中点．若点P 在线段BC 上以4cm/s 的速度由B 向C 运动，同时，点Q 在线段CA 上以a(cm/s)的速度由C 向A 运动，设运动的时间为t(s)(0≤t≤3)（1）用关于t 的代数式表示PC 的长度。
专题19 全等三角形(原卷版)
专题19全等三角形【考查题型】【知识要点】知识点1全等三角形及其性质全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形。
全等图形的性质：①形状相同。
②大小相等。
③对应边相等、对应角相等。
④周长、面积相等。
全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
【补充】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。
书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上。
全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。
变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
考查题型一全等三角形的性质典例1．（2021·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，ABC DEC ≌△△，点A 和点D 是对应顶点，点B 和点E 是对应顶点，过点A 作AF CD ⊥，垂足为点F ，若65BCE ∠=︒，则CAF ∠的度数为（）A ．30︒B ．25︒C ．35︒D ．65︒变式1-1．（2020·山东淄博·中考真题）如图，若△ABC ≌△ADE ，则下列结论中一定成立的是（）A ．AC ＝DEB ．∠BAD ＝∠CAEC ．AB ＝AED ．∠ABC ＝∠AED变式1-2．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在ABC ∆中，AB AC <，将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE V ，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ．下列结论：①AFE DFC △△；②DA 平分BDE ∠；③CDF BAD ∠=∠，其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③变式1-3．（2020·天津·中考真题）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，使点B 的对应点E 恰好落在边AC 上，点A 的对应点为D ，延长DE 交AB 于点F ，则下列结论一定正确的是（）A ．AC DE =B ．BC EF =C ．AEFD ∠=∠D ．AB DF⊥变式1-4．（2020·湖南怀化·中考真题）如图，在ABC 和ADC △中，AB AD =，BC DC =，130B ︒∠=，则D ∠________º．知识点2：全等三角形的判定（重点）一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等、周长、面积相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等【备注】判定两个三角形全等必须有一组边对应相等。
1期末复习(平面直角坐标系、等腰三角形、全等三角形)
期末专题复习（直角坐标系）一、概念复习1、直角坐标系：横轴（x 轴）、纵轴（y 轴）、原点。
直角坐标系的平面叫直角坐标平面。
2、点的坐标：点P 对应的有序数对叫点的坐标，P （a,b ）a 叫横坐标，b 叫纵坐标。
3、平面直角坐标系把平面分成四个象限：x 轴、y 轴不属于任何象限。
第一象限（＋，＋）、第二象限（－，＋）、第三象限（－，－）、第四象限（＋，－） 4、经过点P （a ，b ）且垂直于x 轴（或平行于y 轴）的直线表示为：直线x = a 经过点P （a ，b ）且垂直于y 轴（或平行于x 轴）的直线表示为：直线y = b 5、平行于坐标轴的直线上的两点间的距离：平行于x 轴的直线上的两点A （x 1，y ）、B （x 2，y ）的距离是 21x x AB -= 平行于x 轴的直线上的两点C （x ，y 1）、D （x ，y 2）的距离是 21y y CD -= 6、点P （a ，b ）沿着坐标轴（沿与x 轴或y 轴）平行的某一方向平移m （m>0）个单位 则；向右平移所对应的点的坐标为（a+ m ，b ）； 向左平移所对应的点的坐标为（a- m ，b ） 向上平移所对应的点的坐标为（a ，b+ m ）；向下平移所对应的点的坐标为（a ，b- m ） 7、对称点的坐标特征 直角坐标平面内有点M （a ，b ） 与点M （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标是（a ，- b ） 与点M （a ，b ）关于 y 轴对称的点的坐标是（- a ，b ） 与点M （a ，b ）关于原点对称的点的坐标是（- a ，- b ）二、典型例题1、点A （-3，2）向左平移4个单位到B ，则B 点的坐标是___________2、点N （3，-4）沿x 轴翻折与M 重合，那么点M 的坐标是___________3、将点Q （10，2）绕原点O 旋转180°后落到P 处，则P 点的坐标是___________4、直角坐标平面内，点A （-2，3）向____平移______个单位后就和点B （2，3）重合5、点P 在第三象限，且点P 到x 轴和到y 轴的距离都是3，则点P 坐标是_______________6、如果点M （3a-1,5+b ）与点（b -2，a ）关于原点对称，则a=_______,b=__________7、在x 轴上有A 、B 两点，AB =10，若点A 的坐标是（2，0），那么点B 的坐标是___________ 8、在直角坐标平面内，设点P （x,y ）,若xy>0,则点P 在_________象限。
人教八年级数学上册《全等三角形》、《轴对称》知识要点归纳
第十一章《全等三角形》知识要点归纳一、知识网络二、基础知识梳理 1、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；（3）全等三角形周长、面积相等。
2、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理A B C D E F 中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DEAB DEF(SSS) ABC ∆∆∴≌ A B C D EF中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EF BC E B DE AB DEF(SAS) ABC ∆∆∴≌ AB CDE F中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠E B DE AB D A（4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
注意：①全等三角形问题中，找准对应点，对应边，对应角。
（突出对应） ②题中已知平移、翻折、旋转相当已知全等；③判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
④要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
⑤要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
其中：一般三角形有四 种判定方法 。
直角三角形有五 种判定方法。
3、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上DEF(ASA)ABC ∆∆∴≌ A B C DE F中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF BC E B D A DEF(AAS)ABC ∆∆∴≌ A C BEFD中和在DEF Rt ABC Rt ∆∆⎩⎨⎧==DF AC DE AB )HL (DEF Rt ABC Rt ∆∆∴ ≌ ·ADP COB角平分线的性质）平分PD(PC OAPD OB PC AOB OP =∴⊥⊥∠ ·ADP CBAOB∠∠=∠∴=⊥⊥平分或：角平分线的判定）OP BOP(AOP PD PC OA PD OB PC注：①性质与判定都是由三个条件推出一个结论，要正确应用； ②会用尺规做一个角的平分线，依据为“边边边”。
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平面直角坐标系中的全等三角形
一、典例精析
例1如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,A(3,0)B(2,2), 以O,A,C 为顶点的三角形与△OAB 全等(C,B 不重合),则满足 条件的C 的坐标可以是 。
例2在平面直角坐标系中，已知点A(4,0),B(0,3)，若有一个直角三角形与Rt △ABO 全等，且它们有一条公共边，请写出这个三角形未知顶点的坐标（要有过程）
例3如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △AOB 的斜边OB 在x 轴上，直线 43-=x y 经
过等腰Rt △AOB 的直角顶点A ，交y 轴于C 点，双曲线 也经过A 点．(1) 求点A
的坐标和k 的值；(2)若点P 为x 轴上一动点．在双曲线上是否存在一点Q ，使得△P A 是 点A 为直角顶点的等腰三角形．若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
二、课堂练习
1．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l 1、l 2、l 3、l 4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h 1、h 2、h 3（h 1＞0，h 2＞0，h 3＞0）． A
●
●
B O ●
A
B O P
C y
x
A
B O P y
x 备用图 x k y =
（1）求证：h 1＝h 3；
（2）设正方形ABCD 的面积为S ，求证：S ＝(
h 1＋h 2)2＋h 12；
（3）若 3
2
h 1＋h 2＝1，当h 1变化时，说明正方形ABCD 的面积为S 随h 1的变化情况．
2．定义：对于抛物线y=ax2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），若b2=ac ，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y=2x2-2x+2是黄金抛物线．
（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；
（2）若抛物线y=ax2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x 轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；
（3）将（2）中的黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位 ①直接写出平移后的新抛物线的解析式；
②设①中的新抛物线与y 轴交于点A ，对称轴与x 轴交于点B ，动点Q 在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P ，使以点P 、Q 、B 为顶点的三角形与△AOB 全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由图中画出新抛物线的示意图计
三、课外作业
1、如图，平面直角坐标系中，OB 在x 轴上， ∠ABO ＝90°点A 的坐标为(1，2)． A
D
B
h 1 h 2 h 3
l 1 l 2 l 3 l 4
A y
将△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，点O 的对应点 C 恰好落在双曲线y ＝ k
x
(x ＞0)上，则k ＝（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
2．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （-1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax-2经过点B ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
3． 在平面直角坐标系XOY 中，直线1l 过点()0,1A 且与y 轴平行，直线2l 过点()2,0B 且与x
轴平行，直线1l 与直线2l 相交于点P 。
点E 为直线2l 上一点，反比例函数x
k
y （k ＞0）的图像过点E 与直线1l 相交于点F 。
⑴若点E 与点P 重合，求k 的值；
⑵连接OE 、OF 、EF 。
若k ＞2，且△OEF 的面积为△PEF 的面积的2倍，求E 点的坐标； ⑶是否存在点E 及y 轴上的点M ，使得以点M 、E 、F 为顶点的三角形与△PEF 全等？若存在，求E 点坐标；若不存在，请说明理由。