小学奥数：1-3-3 循环小数计算.教师版
循环小数公式
循环小数公式循环小数是数学中一个挺有趣的概念，咱今天就来好好聊聊循环小数的公式。
先说说啥是循环小数。
比如说，1÷3 算出来是0.3333……，这后面的 3 一直没完没了，像这样小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，就是循环小数啦。
那循环小数的公式是啥呢？咱先来看个简单的例子。
比如把 1÷3 写成循环小数，就是 0.3（3 循环），那这要怎么表示成公式呢？我们可以这样写：设这个循环小数是 x ，那x = 0.3333……，10x =3.3333……，用 10x - x ，也就是3.3333…… - 0.3333……，得到 9x = 3 ，所以 x = 1/3 。
其实啊，这就是循环小数化成分数的一个基本方法。
再比如说 0.12（12 循环），设x = 0.121212……，100x = 12.121212……，100x - x = 99x = 12 ，所以 x = 12/99 = 4/33 。
我想起之前教过的一个小朋友，他对循环小数那叫一个头疼。
有一次做作业，遇到一道把循环小数 0.27（27 循环）化成分数的题，他愣是想了半天没整明白。
我就坐在他旁边，一点点引导他。
我问他：“咱们假设这个数是 x ，那 100x 是多少呀？”他眨巴着眼睛，一脸迷茫。
我就耐心地给他解释：“你看啊，100 个 0.27 不就是27.2727……嘛。
”他好像有点开窍了，接着我又带着他做减法，算出 99x 等于 27 ，最后得出x 等于27/99 ，约分一下就是3/11 。
他弄明白后，那高兴的样子，眼睛都亮了。
在实际应用中，循环小数的公式也很有用哦。
比如说在一些工程计算或者科学实验中，需要把测量得到的循环小数转化为精确的分数形式，才能进行更准确的计算和分析。
总之，循环小数的公式虽然看起来有点复杂，但只要多练习，多琢磨，就能轻松掌握啦。
就像那个小朋友，后来遇到循环小数的题，都能做得又快又准。
循环小数的计算
循环小数的计算循环小数是一类特殊的无理数，它们的小数部分会循环地重复出现。
在计算循环小数时，我们需要关注到循环节的长度和开始位置。
下面将具体讨论循环小数的计算方法。
一个循环小数可以用有限个正整数表示，其中有限个正整数称为不循环部分，整个循环节称为循环部分。
我们以一个例子来说明循环小数的计算方法。
假设我们要计算 1/3 的循环小数表示。
首先，我们可以将 1/3转化为十进制小数：1 ÷ 3 = 0.3333...。
我们发现小数部分 0.3333... 是一个无限循环的小数，循环节是3。
循环节的长度是 1，即只有一个数字在重复。
开始位置是第一位小数。
下面我们将具体介绍循环小数的计算方法。
1. 设定除法初始状态：将被除数放在除号的上方，除数放在除号的下方。
2. 开始计算商的整数部分：用被除数的整数部分除以除数，并将商的整数部分写在商的下方。
3. 计算商的小数部分：将被除数的小数部分（若有）乘以10，并将结果放在除法算式的右边。
将结果的整数部分作为商的下一位小数，并将结果的小数部分再次乘以10。
4. 检查是否出现循环节：如果商的小数部分与之前的某一次计算的结果相同，则说明出现了循环节，此时计算可以终止。
循环节的长度即为计算过程中出现重复的次数。
5. 循环节开始位置的确定：在商的小数部分中，从循环节的第一个数字开始，直到循环节重复出现前的最后一个数字，称为不循环部分。
循环节的剩余部分即为循环部分。
通过上述计算方法，我们可以得到循环小数的表示。
对于循环小数的计算，可以利用手算、计算器或者编程语言进行处理。
在实际应用中，循环小数的计算对于无理数近似值的表示以及数学问题的解决都有重要的意义。
循环小数的性质也是数论中的热门研究方向之一。
总之，循环小数的计算方法主要包括将除法转化为十进制小数、计算商的整数部分和小数部分、检查是否出现循环节以及确定循环节的开始位置。
对于循环小数的计算，我们可以运用手算、计算器或编程语言等方法来求解。
(小学奥数)循环小数计算
循環小數與分數的互化，循環小數之間簡單的加、減運算，涉及循環小數與分數的主要利用運算定律進行簡算的問題．1.17的“秘密”10.1428577••=，20.2857147••=，30.4285717••=,…, 60.8571427••= 2.推導以下算式⑴10.19=；1240.129933==；123410.123999333==；12340.12349999=；⑵121110.129090-==；12312370.123900300-==；123412311110.123490009000-==；⑶ 1234126110.123499004950-==；123411370.123499901110-==以0.1234為例，推導1234126110.123499004950-==．設0.1234A =，將等式兩邊都乘以100，得：10012.34A =； 再將原等式兩邊都乘以10000，得：100001234.34A =， 兩式相減得：10000100123412A A -=-，所以12341261199004950A -==． 3.循環小數化分數結論純循環小數混循環小數分迴圈節中的數字所組循環小數去掉小數點後的數字所知識點撥教學目標循環小數的計算子 成的數 組成的數與不迴圈部分數字所組成的數的差分母n 個9，其中n 等於迴圈節所含的數字個數按迴圈位數添9，不迴圈位數添0，組成分母，其中9在0的左側·0.9a a =； ··0.99ab ab =； ··10.09910990ab abab =⨯=； ··0.990abc a abc -=，……模組一、循環小數的認識【例 1】 在小數l.80524102007上加兩個迴圈點，能得到的最小的循環小數是_______(注：西元2007年10月24日北京時間18時05分，我國第一顆月球探測衛星“嫦娥一號”由“長征三號甲”運載火箭在西昌衛星發射中心升空，編寫此題是為了紀念這個值得中國人民驕傲的時刻。
小学奥数 5-1-3-3 数阵图(三).教师版
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数阵图与数论【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有 种可能的取值．【考点】数阵图与数论 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题 【解析】 设顶点分别为A 、B 、C 、D 、E ，有45+A +B +C +D +E =55，所以A +B +C +D +E =10，所以A 、B 、C 、D 、E 分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a 1，公差为d .利用求和公式5（a 1＋a 1+4d ）2=55， 得a 1+2d =11，故大于等于0+1+5=6，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d 分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0.【答案】2种可能例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【例 2】将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．【考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空【解析】根据题意可知1的两边只能是3与7；2的两边只能是6与9；3的两边只能是1、5或8；4的两边只能是7与9．可以先将3—1—7--写出来，接下来7的后面只能是4，4的后面只能是9，9的后面只能是2，2的后面只能是6，可得：3—1—7—4—9—2—6--，还剩下5和8两个数．由于6814+=是7的倍数，所以接下来应该是5，这样可得：3—1—7—4—9—2—6—5—8—3．检验可知这样的填法符合题意．【答案】3—1—7—4—9—2—6—5—8—3【例 3】在下面8个圆圈中分别填数字l，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n(n≤8)。
1-3-3 循环小数计算.学生版
循环小数的计算教学目标循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．知识点拨1.17的“秘密”10.1428577∙∙=，20.2857147∙∙=，30.4285717∙∙=,…,60.8571427∙∙=2.推导以下算式⑴10.19=；1240.129933==；123410.123999333==；12340.12349999=；⑵121110.129090-==；12312370.123900300-==；123412311110.123490009000-==；⑶1234126110.123499004950-==；123411370.123499901110-==以0.1234为例，推导1234126110.123499004950-==．设0.1234A =，将等式两边都乘以100，得：10012.34A =；再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34A =，两式相减得：10000100123412A A -=-，所以12341261199004950A -==．3.循环小数化分数结论纯循环小数混循环小数分子循环节中的数字所组成的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差分母n 个9，其中n 等于循环节所含的数字个数按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的左侧·0.9a a =；··0.99ab ab =；··10.09910990ab ab ab =⨯=；··0.990abc a abc -=，……例题精讲模块一、循环小数的认识【例1】在小数l.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是_______(注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。
五年级小学数学奥数举一反三数学思维拓展训练教师
【小试牛刀】
练习1：求500到1000所有连续自然数的全部数字之和。 练习2：求200到800所有连续自然数的全部数字之和。
小学数学 五年级 数学思维拓展训练
第五讲 数列中的计数问题（2 ）
第五讲 数列中的计数问题（2）
【例题】在1～500的连续自然数中，一共有多少个数字“1”？
练习2：同A步、教B材两视地频相距24千米。甲、乙二人同时从A地出发去B地，甲步行每小时行5千米， 乙骑自行车行到B地后立即按原路返回，经3小时在途中与甲相遇，乙骑自行车每小时行多少 千米？
小学数学 五年级 数学思维拓展训练
第十讲 追及问题
第十讲 追及问题
【例题】甲、乙两车同时从A地出发去B地，甲车平均每小时行40千米，乙车平均每小时行35千米，途 中甲车停车3小时，结果甲车比乙车迟到1小时到达B地，A、B两地之间的距离是多少千米？
练习2：有两块同样长的布料，第一块用去6.5米，第二块用去0.9米，剩下的布料，第二块的 长是第一块的3倍，两块布料原来各有多长？
小学数学 五年级 数学思维拓展训练
第十二讲 定义新运算
第十二讲 定义新运算
【例题】设a、b都表示数，规定a※b＝(a＋b)×(a－b) ①求6※3的值。 ②求9※(3※2)的值。 ③运算“※”有交换律吗？有结合律吗？
小学数学 五年级 数学思维拓展训练
第三讲 周期性问题（3）
第三讲 周期性问题（3）
【例题】
的个位数字是几？
【小试牛刀】
练习1： 求
的个位数字是几？
练习2：1×2×3×……×2011的个位数字是几？
小学数学 五年级 数学思维拓展训练
第四讲 数列中的计数问题（1 ）
小学奥数教师版-1-3-3 循环小数计算
【考点】循环小数的认识
【难度】3 星
【题型】计算
【关键词】小希望杯，4 年级
【解析】0.6+0.06+0.006+……= 0.6 = 6 2 =2002÷3003 93
【答案】 3003
【例 4】 下面有四个算式：
..
..
①0.6+0.133 0.733;
②0.625= 5 ； 8
③
5 14
+
3 2
2 0.625= 5 是正确的； 8
3 两个分数相加应该先进行通分，而非分子、分母分别相加，本算式通过 3 ﹥ 1 即可判断出其不正确； 22
4 3 3 × 4 1 = 24 × 21 = 72 =14 2 ，所以④不正确。 7 57 5 5 5
那么其中正确的算式是②和④，正确答案为 B。 【答案】 B
【巩固】（2009 年学而思杯 4 年级第 6 题） 6 7 所得的小数，小数点后的第 2009 位数字是
．
【考点】循环小数的认识
【难度】3 星
【题型】计算
【解析】 6 0.857142857142 …… 6 个数一循环， 2009 6 334 ……5，是 4 7
【答案】4
【例 3】 写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立：0.6+0.06+0.006+……=2002÷______ 。
此一定是 0.1998 ，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字 8，因此一定是 0.1998 ．其后添加
的循环点必定使得小数点后第五位出现 9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循
环节中在 9 后一定还是 9，所以最大的循环小数是 0.1998 ，而次大数为 0.1998 ，于是得到不等式：
【小学奥数题库系统】1-3-2 多位数计算.教师版
⋅ ⋅ ⋅ 800 ⋅ ⋅ ⋅ 0 − 88 ⋅ ⋅ ⋅ 8) ÷ 3 = 88 ⋅ ⋅ ⋅ 8711 ⋅ ⋅ ⋅ 12 ÷ =( 88 = 3 296 ⋅ ⋅ ⋅ 296 ⋅ ⋅ ⋅ 037 2957 037 04
1-3-2.多位数计算.题库
教师版Biblioteka page 1 of 8原式 = 88 ⋅ ⋅ ⋅ 8 × 99 ⋅⋅⋅9 ÷ 3 = 88 ⋅ ⋅ ⋅8× ⋅ ⋅ ⋅ 0 -1） ÷= 3 （88 ⋅ ⋅ ⋅ 800 ⋅ ⋅ ⋅ 0 - 88 ⋅ ⋅ ⋅ 8） ÷3 （1 00
2008个 9 2008个 9 2007 个 9 2007个0
原式 = 99 9800 01+199 9 = 100 0
2007 个 9 2007个0 2008个 9 4016 个 0
方法二： 观察一下你会发现， 两个乘数都非常大， 不便直接相乘， 其中 999 很接近 1 000 ， 于是我们采用添项凑整，简化运算。 原式 =（ = 99 ⋅ ⋅ ⋅ 9 00 ⋅ ⋅ ⋅ 0 − 99 ⋅ ⋅ ⋅ 9 + 100 ⋅ ⋅ ⋅ 0 + 99 ⋅⋅⋅9 100 0 −1 × 99 9 + 100 0 + 99 9 ）
【题型】计算
2 2 999 9 2 ＝ × 1000 0 − 1 2 × 222 222 2 × 222 2＝ × × 222 9 1998个9 1998个 2 9 1998个0 1998个 2 1998个 2 1998个 2 1 1 444 4 000 0 − 444 4 1000 0 − 1 4 ＝ × × 444 ＝ × 9 1998个 4 1998个0 9 1998个0 1998个 4 1998个 4 1 ＝ × 444 43555 56 、 9 1997 个 4 1997 个 5
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循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．
1.1
7的“秘密” 10.1428577∙∙=，20.2857147∙∙=，30.4285717∙∙=,…, 60.8571427
∙∙= 2.推导以下算式 ⑴10.19=
；1240.129933==；123410.123999333==；12340.12349999=； ⑵121110.129090-==；12312370.123900300-==；123412311110.123490009000-==； ⑶ 1234126110.123499004950-==；123411370.123499901110
-== 以0.1234为例，推导1234126110.123499004950
-==． 设0.1234A =，将等式两边都乘以100，得：10012.34A =；
再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34A =，
两式相减得：10000100123412A A -=-，所以12341261199004950A -==． 3.循环小数化分数结论
0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990
ab =⨯=； 0.990abc =，……
例题精讲 知识点拨
教学目标
循环小数的计算
模块一、循环小数的认识
【例 1】 在小数l.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是_______(注：公元2007年
10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火
箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。
)
【考点】循环小数的认识 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，1试
【解析】 因为要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为0，再看0后面一位上的数字，有05、
02、00、07，00最小，所以得到的最小循环小数为l.80524102007∙∙
【答案】l.80524102007∙∙
【巩固】 给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.1998>0.1998>0.1998>0.1998
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字1的小数，因
此一定是0.1998∙∙，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字8，因此一定是0.1998∙．其后添加
的循环点必定使得小数点后第五位出现9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循
环节中在9后一定还是9，所以最大的循环小数是0.1998∙∙，而次大数为0.1998∙∙
，于是得到不等式：0.19980.19980.19980.1998∙∙∙∙∙∙∙>>>
【答案】0.19980.19980.19980.1998∙∙∙∙∙∙∙>>>
【例 2】 真分数7
a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少?
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 1=0.1428577， 27=0.285714，37=0.428571，47=0.571428，57=0.714285， 67=0.857142．因此，真分数7
a 化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以.=0.8571427a ，即6a =． 【答案】6a =
【巩固】 真分数7
a 化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是9039，则a 是多少？ 【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 我们知道形如7
a 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组 成，只是各个数字的位置不同而已，那么9039就应该由若干个完整的142857+++++和一个不
完整142857+++++组成。
()903912457833421÷+++++=，而21276=-，所以最后一
个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4，2时才符合要求，显然，这种情况下
完整的循环节为“857142”，因此这个分数应该为67
，所以6a =。
【答案】6a =
【巩固】 真分数7
a 化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7，则a 是多少？ 【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 我们知道形如7
a 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由6位数字组成，200963345÷=，因此只需判断当a 为几时满足循环节第5位数是7，经逐一检验得3a =。
【答案】3a =
【巩固】（2009年学而思杯4年级第6题）67
÷所得的小数，小数点后的第2009位数字是．【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算
【解析】6
0.857142857142
7
=……6个数一循环，20096334
÷=……5，是4
【答案】4
【例 3】写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立：0.6+0.06+0.006+……=2002÷______ 。
【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算
【关键词】小希望杯，4年级
【解析】0.6+0.06+0.006+……=0.6=62
93
==2002÷3003
【答案】3003
【例 4】下面有四个算式：
①0.6+0.
.... 1330.733;
=
②0.625=5
8
；
③
5
14
+
3
2
=
35
142
+
+
=
8
16
=
1
2
；
④33
7
×4
1
5
=14
2
5
；
其中正确的算式是（）.
（A）①和②(B) ②和④(C) ②和③(D) ①和④【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】选择【关键词】华杯赛，初赛
【解析】对题中的四个算式依次进行检验：
①0.6+0.133=0.6+0.133133=0.733133，所以①不正确；
②0.625=5
8
是正确的；
③两个分数相加应该先进行通分，而非分子、分母分别相加，本算式通过3
2
﹥
1
2
即可判断出其不正确；
④
3
3
7
×
1
4
5
=
24
7
×
21
5
=
72
5
=
2
14
5
，所以④不正确。
那么其中正确的算式是②和④，正确答案为B。
【答案】B
【例 5】在混合循环小数2.718281的某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新产生的循环小数尽可能大，请写出新的循环小数。
【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】小数点后第7位应尽可能大，因此应将圈点点在8上，新的循环小数是2.718281。
【答案】2.718281
【例 6】将1
2
化成小数等于0.5，是个有限小数；将
1
11
化成小数等于0.090…，简记为0.09，是纯循环小
数；将1
6
化成小数等于0.1666……，简记为0.16，是混循环小数。
现在将2004个分数
1
2
，
1
3
，
1 4，…，
1
2005
化成小数，问：其中纯循环小数有多少个？
【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算。