24.2直角三角形的性质(华师大)

推进新课
任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，
并利用圆规比较中线与斜边的一半的长短，你
发现了什么？再画几个直角三角形试一试，你
的发现相同吗？
B
我们来验证一下！
D
A
C
已知：在RtΔABC中，∠ACB=900,CD是斜边AB上的中线
求证：CD= 1 AB 2
证明：延长CD到E，使DE=CD，连接AE，BE。
求证： ΔABC是直角三角形 证明：延长CD到E，使DE=CD
=
1
CE，
2
E
A
连接AE，BE。
2
D
∵CD是边AB上的中线，
∴AD=DB 又∵CD=DE，
∴四边形AEBC是平行四边形
又 CD 1 AB 2
∴CE=AB
B
C
∴四边形AEBC是矩形
（对角线相等的平行四边形是矩形）
∴∠ACB=90° ∴△ABC是直角三角形
❖ 一边上的中线等于这条边的一半的三角形是 直角三角形
几何语言：
A
在ΔABC中，CD是边AB上的中线，且
CD= AB。
D
C
1、已知Rt△ABC中，斜边AB=10cm，则斜边
上
5cm
2、的如中图线，的在长R为t△_A__B_C_中_ ，CD是斜边AB上的中
线，∠CDA=80°，则∠A=_5_0_°__ ∠B=4__0_°__
第24章
24.2 直角三角形的性质
华东师大版 九年级上册
学习目标
❖ 1 了解直角三角形的表示方法。
❖ 2 掌握直角三角形的性质3定理，能利用直角三角 形的性质3定理进行有关的计算和证明。
❖重点
❖ 直角三角形性质3及其推论的应用。
❖难点
❖ 直角三角形性质3及其推论的理解和推导。
新课导入
1、什么是直角三角形？
直角三角形的性质定理: ➢1. 在直角三角形中，两个角互余的三角形。 ➢2. 在直角三角形中，两直角边的平方和等于
斜边的平方（勾股定理） ➢3. 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边
的一半。 ➢4. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等
于斜边的一半。
有一个内角是直角的三角形叫直角三角形．
A
直角三角形可表示为：Rt△ABC
直
角
斜边
边
C
直角边
B
想一想：直角三角形的两个锐角有什么关系？ 三边之间有什么关系？
说一说
1. 在Rt△ABC中，两锐角的和∠A＋∠B=？ ∠A＋∠B=90°
2. 在△，如果∠A＋∠B= 90º，那么
△ABC是直角三角形吗？
B
C
3、如图，在△ABC中，BD、CE是高，M、N 分别是BC、ED的中点，试说明：MN⊥DE. 解：连结EM、DM.
∵BD、CE是高，M是BC中点， ∴在Rt△BCE和Rt△BCD中，
EM 1 BC， DM 1 BC， A
2
∴EM=DM.
2 ND E
又∵N是ED中点，
∴MN⊥ED
B
M
C
课堂小结
∴CE=AB
（___矩__形__的__对__角__线__相__等___________），∴CD=
1 2
AB。
定理3：直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半
几何语言： 在RtΔABC中， ∵CD是斜边AB上的中线，
❖ ∴CD= AB。A
D
C
B
一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
已知：在ΔABC中，CD是边AB上的中线，C且D 1 AB
B
是
3. 在Rt△ABC中，AB、AC、BC之间
有什么关系？
AB2=AC2+BC2 A
C
直角三角形的判定定理
➢1. 有两个角互余的三角形是直角三角形； ➢2. 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的
平方，那么这个三角形是直角三角形。
练习：(直接写出答案） 1）Rt△ABC中，∠C=90 ° ，∠B=28°，则 ∠A=__. 2） 若BC =AC+BC, 则△ABC是______三角形. 3）在△ABC中，∠A=90°， ∠B=3∠C， 求∠B，∠C的度数。
D
B
C
例 Rt△ABC中，∠ACB=90 ° ，∠A=30°，求证：
BC= 1 AB 2
证明： 作斜边上的中线CD，
则CD=AD=BD= 1 AB 2
（在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）
∵ ∠A=30°
A
∴ ∠B=60°
对此，你能得出
∴ △CDB是等边三角形 什么结论？
D
∴ BC=BD= 1 AB 2
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD=DB。
又∵CD=DE， ∴四边形AEBC是平行四边形 （对__角__线___互__相__平__分___的__四__边__形___是__平__行__四__）边形 ∵ ∠ACB=900
A E
D
B
C
∴四边形AEBC是矩形
（__有__一___个__角__是__直___角__的__平__行___四__边__形__是___矩__形__）