高中数学竞赛讲座 08几何变换
几何变换与不变性
变换与不变性的应用场景
图形设计：通过几何变换实现创意设计，保持图形的不变性以保持美观。
机器人定位：通过几何变换实现机器人定位，利用不变性确保定位精度。
自动驾驶：通过几何变换实现车辆的自主导航，利用不变性确保行驶安全。 虚拟现实：通过几何变换实现虚拟场景的生成，利用不变性保证虚拟场景 的真实感。
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汇报人：XX
变换公式：通过矩阵乘法实现几何变换，变换前后的坐标关系可以表示为一个线性方程组。
变换类型：平移、旋转、缩放等几何变换都可以用矩阵表示，不同变换类型的矩阵具有不同的 形式。
不变性：在几何变换过程中，一些性质保持不变，如距离、角度等，这些不变性质可以通过特 定的矩阵表示。
变换的性质
变换的定义：将图形从一个位置或方向移动到另一个位置或方向的过 程 变换的分类：平移、旋转、缩放、镜像等
三维重建：利用多 视角图像中的不变 性特征，进行三维 场景的重建，获取 物体的形状和空间 位置信息。
机器学习与人工智能
几何不变性在机 器学习中的重要 性，如特征提取、 图像识别等
人工智能领域中 几何不变性的应 用，如自动驾驶、 机器人导航等
深度学习如何利 用几何不变性进 行模型训练和优 化
几何不变性在增 强学习中的应用， 如策略优化、决 策制定等
变换的性质：保持图形之间的相对位置和形状不变
变换的应用：在几何学、物理学、工程学等领域中广泛使用
02
几何不变性的概念
定义与分类
几何不变性的定义：指图形经过变换后，其形状和大小保持不变的性质。 分类：根据变换方式的不同，几何不变性可以分为仿射不变性和相似不变性。 仿射不变性：图形经过仿射变换后，其形状和大小保持不变，但方向和角度可能发生变化。 相似不变性：图形经过相似变换后，其形状和大小保持不变，方向和角度也不发生变化。
几何变换的性质与应用
几何变换的性质与应用几何变换是数学中一个重要的概念，它描述了平面上的图形在空间中的移动、旋转、翻转和缩放等操作。
几何变换不仅在数学中有着重要的地位，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
本文将从几何变换的性质和应用两个方面进行论述，以帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用几何变换。
一、几何变换的性质1. 平移变换平移变换是指将图形沿着某个方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。
平移变换具有以下性质：（1）平移变换保持图形的对称性。
例如，一个正方形经过平移变换后仍然是一个正方形，只是位置发生了改变。
（2）平移变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为平移变换只是将图形整体移动，不改变其内部结构。
2. 旋转变换旋转变换是指将图形围绕某个点旋转一定的角度，而不改变其形状和大小。
旋转变换具有以下性质：（1）旋转变换保持图形的对称性。
例如，一个等边三角形经过旋转变换后仍然是一个等边三角形，只是方向发生了改变。
（2）旋转变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为旋转变换只是改变了图形的方向，不改变其内部结构。
3. 翻转变换翻转变换是指将图形关于某条直线对称，使得图形的每个点与直线上的对应点距离相等。
翻转变换具有以下性质：（1）翻转变换保持图形的对称性。
例如，一个长方形经过翻转变换后仍然是一个长方形，只是关于直线对称。
（2）翻转变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为翻转变换只是改变了图形的方向，不改变其内部结构。
二、几何变换的应用几何变换在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 地图导航地图导航是几何变换的典型应用之一。
通过将地图上的道路网络进行平移、旋转和缩放等变换，可以实现实时导航功能。
例如，当我们需要找到某个地点时，导航系统会根据我们的位置和目的地进行几何变换，将最佳路径显示在地图上。
2. 图像处理图像处理中的几何变换可以改变图像的大小、旋转角度和镜像等。
例如，当我们需要将一张图像进行放大或缩小时，就可以利用缩放变换实现。
数学奥赛平面几何
《竞赛数学解题研究》之平面几何专题一、平面几何中的一些重要定理：1、梅涅劳斯定理：设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则D 、E 、F 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EACEFC BF DB AD 。
2、塞瓦定理：设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则AF 、BE 、CD 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EACEFC BF DB AD 。
3、托勒密定理：四边形ABCD 内接于圆的充要条件是CD BC CD AB BD AC ⋅+⋅=⋅4、西摩松定理：设P 是ABC ∆外接圆上任一点，过P 向ABC ∆的三边分别作垂线，设垂足为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。
5、斯德瓦特定理：设P 是ABC ∆的边BC 边上的任一点，则BC PC BP AP BC AB PC AC BP ⋅⋅+⋅=⋅+⋅2226、共角定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个角相等或互补（不妨设A=A '）则 C A B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆7、共边定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个边相等，则CA B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆举例说明：1、设M 、N 分别是正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE 上的点，且AM:AC=CN:CE=k,如果BMN 三点共线，试求k 。
（IMO23,1982）2、在四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆、ABC ∆的面积之比为3：4：1，点M 、N 分别 是AC 、CD 上的点，且AM:AC=CN:CD, 并且BMN 三点共线，求证：M 、N 分别是AC 、 CD 的中点。
高中解析几何知识点
高中解析几何知识点几何是数学里的一个重要概念，它用于描述和分析物体形状、大小、空间变化和构成之间的关系。
以下是高中的几何知识点：一、几何变换几何变换是几何学中的重要概念，它指的是将一个物体变换为另一个物体的数学过程。
几何变换可以分为平移、旋转、缩放和镜像。
1、平移：平移又称平移变换，指的是把物体从一个位置移动到另一个位置的变换，其主要特征是保持物体的形状和大小不变。
2、旋转：旋转又称旋转变换，指把物体沿某一轴线（中心轴）顺时针或逆时针方向旋转一定角度的变换。
3、缩放：缩放又称缩放变换，指的是以某一点为原点，把物体沿着某一方向大小缩放的变换。
4、镜像：镜像又称对称变换，指以某一条对称轴为轴心，把物体以这条轴对称的变换。
二、平面图形平面图形是指在平面上的图形，也就是说，这些图形的点的集合都在同一个平面上。
平面图形可以分为点、直线、圆和多边形。
1、点：点是位于平面上的某一个位置，每一个点都有它特定的坐标，这些坐标可以用来定义它的位置。
2、直线：直线是指在平面上两点之间的连线，即连贯的点之间的线段。
3、圆：圆是指平面上一线段的终点经过一定半径长度所围成的圆形图形。
4、多边形：多边形是指由一条或多条直线构成的几何图形，它是由若干点构成的封闭空间图形，多边形最少为三角形，最多为正多边形。
三、立体图形立体图形也叫“立体几何”，它是在三维空间中描述和分析物体体积、大小和空间变化的科学。
立体图形可以分为正多面体、圆柱体、圆锥体和几何体。
1、正多面体：正多面体是一种五边以上的多面体，它由一个正方形和多个三角形相组合而成。
2、圆柱体：圆柱体是由一个圆的底面和高的空心柱子组成的几何体，它可以分为侧面圆柱体和上下面圆柱体。
3、圆锥体：圆锥体是由圆的底面和另一端的圆弧组成的几何体，它的形状像杯子一样，也叫“尖圆锥”或“圆台”。
4、几何体：几何体指形状有一定规则的三维物体，它有一个或多个空间坐标，分别可以表示它在空间中的特征。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学解析几何与几何变换
高中数学解析几何与几何变换高中数学是学生们在数学学科中的一个重要环节，解析几何与几何变换作为数学的一个分支，是高中数学复习中的重点内容之一。
本文将从解析几何的基本概念、几何变换的类型以及解析几何与几何变换的应用等方面进行详细介绍。
一、解析几何的基本概念解析几何是通过运用代数的方法研究几何问题的一门学科。
它将几何问题转化为代数问题，利用坐标系进行分析与研究。
在解析几何中，平面直角坐标系和空间直角坐标系是常用的坐标系，它们分别对应二维和三维空间。
1. 平面直角坐标系平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴构成，用来描述平面内的点的位置。
其中，水平的坐标轴称为x轴，垂直的坐标轴称为y轴。
一个平面点的位置可以由它在x轴和y轴上的坐标确定。
2. 空间直角坐标系空间直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴构成，用来描述空间中物体的位置。
其中，水平的坐标轴称为x轴，垂直的坐标轴称为y轴，垂直于平面的坐标轴称为z轴。
一个空间点的位置可以由它在x轴、y轴和z轴上的坐标确定。
二、几何变换的类型几何变换是指在平面或空间中，根据一定的规则对图形或物体进行变换的方法。
常见的几何变换包括平移、旋转、对称和放缩等。
1. 平移平移是指保持图形形状不变，仅仅改变图形位置的变换。
在平面中，平移可以沿着x轴平移、沿着y轴平移或者沿着任意方向平移。
在空间中，同样可以沿着坐标轴进行平移变换。
2. 旋转旋转是指以一个固定的点为中心，围绕这个点旋转一定角度，保持图形形状和大小不变的变换。
在平面直角坐标系中，旋转可以沿着原点旋转或者沿着其他点进行旋转。
在空间直角坐标系中，同样可以围绕某一点进行旋转。
3. 对称对称是指图形通过某一直线、平面或点作为轴进行镜像变换的方法。
常见的对称包括关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。
在空间中，对称也可以围绕平面进行。
4. 放缩放缩是指通过改变图形的大小而不改变形状的变换方法。
放缩可以放大或缩小图形，放缩的比例可以是实数。
数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义(完整版)
完全四边形与Miquel点
垂足三角形与等角共轭
反演与配极，调和四边形
射影几何
复数法及重心坐标方法
例题和习题
1．四边形ABCD中，AB=BC，DE⊥AB，CD⊥BC，EF⊥BC，且。求证： 2EF=DE+DC。（10081902.gsp）
2．已知相交两圆O和O'交于A、B两点，且O'恰在圆O上，P为圆O的AO'B弧 段上任意一点。∠APB的平分线交圆O'于Q点。求证：PQ2=PA×PB。 （10092401-1. gsp）
（09022301.gsp）
31．已知半圆圆心为O，直径为AB，一直线交半圆于C、D，交AB延长线于 P，设M是△AOC与△BOD外接圆除O点外的另一交点。求证： OM⊥MP。（10091001.gsp）
32．凸四边形ABCD内接于圆O，两组对边所在直线分别交于点E、F，对角 线AC、BD交于G，作GH⊥EF于H，圆O的弦MN经过G点。求证：GH 与圆O交点恰是△HMN的内心。（10092103-2.gsp）
实用标准文档高中平面几何学习要点几何问题的转化ptolemy定理及应用几何变换及相似理论位似及其应用完全四边形与miquel垂足三角形与等角共轭反演与配极调和四边形射影几何复数法及重心坐标方法例题和习题1
高中平面几何
学习要点
几何问题的转化
叶中豪圆幂与根轴Biblioteka P’tolemy定理及应用
几何变换及相似理论
位似及其应用
53．已知：AD是高，O、H是外心和垂心，过D作OD垂线，交AC 于E。求证：∠DHE=∠C。（09022202.gsp）
54．△ABC中，AD为边BC上的中线，E、F、G分别为AB、AC、AD上
几何形的变换
几何形的变换几何形的变换是指通过平移、旋转、翻转和放缩等操作，使得原有的几何形状发生变化。
这些变换可以用来探索几何美学、解决几何问题以及创造出各种奇妙的图案。
一、平移变换平移变换是指将几何形状沿着一个方向移动一定的距离，而形状和大小保持不变。
在平面几何中，平移只有一个参数，即平移向量的大小和方向。
平移变换可以用于构造对称图形，移动点的位置以及改变空间内的物体位置。
例如，我们可以通过平移变换在平面上构造一个正方形。
首先，选择一个点作为正方形的顶点，将这个点平移到正方形的另一个顶点位置，然后将这个新位置的点再次平移，如此重复直到构成正方形的四个顶点。
二、旋转变换旋转变换是指绕一个固定点按照一定的角度将几何形状旋转。
旋转变换可以是顺时针或逆时针方向，可以是一个完整的圆周旋转，也可以是一个部分角度的旋转。
旋转变换常用于制作对称图形、解决几何问题以及在计算机图形学中进行三维模型的旋转操作。
例如，在制作花纹图案时，可以通过旋转一个花朵的形状重复堆叠得到整个图案。
三、翻转变换翻转变换是指将几何形状绕一个固定的线对称翻转，使得形状按照对称轴左右对称。
翻转变换有水平翻转和垂直翻转两种形式。
翻转变换常用于制作对称图形、解决几何问题以及进行三维模型的对称操作。
例如，在制作字母、数字或者其他具有对称特点的图形时，可以通过水平或垂直翻转得到完整的图形。
四、放缩变换放缩变换是指按照一定的比例因子调整几何形状的大小。
放缩变换可以是增大或缩小形状的尺寸，比例因子可以是一个常数或者一个向量。
放缩变换常用于调整图像的大小、制作图形的透视效果以及在几何问题中进行比例关系的推导。
例如，在绘制地图时，可以通过放缩变换将地球的三维形状映射到平面上，从而得到精确的地理信息。
综上所述，几何形的变换是通过平移、旋转、翻转和放缩等操作使得形状发生变化的过程。
这些变换可以应用于各个领域，包括几何美学、几何问题的解决以及计算机图形学等。
通过灵活运用几何形的变换，我们能够创造出丰富多样的图案和形状，带来视觉上的享受和数学上的挑战。
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竞赛专题讲座08
－几何变换
【竞赛知识点拨】
一、平移变换
1．定义设是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X变到X‘，使得=，则T叫做沿有向线段的平移变换。
记为X X’，图形F F‘ 。
2．主要性质在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。
两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。
二、轴对称变换
1．定义设l是一条给定的直线，S是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X’，使得X与X‘关于直线l对称，则S叫做以l为对称轴的轴对称变
换。
记为X X’，图形F F‘ 。
2．主要性质在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。
三、旋转变换
1．定义设α是一个定角，O是一个定点，R是平面上的一个变换，它把点O 仍变到O（不动点），而把平面图形F上任一点X变到X’，使得OX‘=OX，且
∠XOX’=α，则R叫做绕中心O，旋转角为α的旋转变换。
记为X X‘，
图形F F’ 。
其中α<0时，表示∠XOX‘的始边OX到终边OX’的旋转方向为顺时针方向；α>0时，为逆时针方向。
2．主要性质在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。
四、位似变换
1．定义设O是一个定点，H是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X
变到X‘，使得=k·，则H叫
做以O为位似中心，k为位似比的位似
变换。
记为X X’，图形
F F‘ 。
其中k>0时，X’在射线OX上，此时的位似变换叫做外位似；k<0时, X‘在射线OX 的反向延长线上，此时的位似变换叫做内位似。
2．主要性质在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心。
【竞赛例题剖析】
【例1】P是平行四边形ABCD内一点，且∠PAB=∠PCB。
求证：∠PBA=∠PDA。
【分析】作变换△ABP△DCP’，
则△ABP≌△DCP‘，∠1=∠5，∠3=∠6。
由PP’AD BC，ADPP‘、PP’CB都是平行四边形，知∠2=∠8，∠4=∠7。
由已知∠1=∠2，得∠5=∠8。
∴P、D、P‘、C四点共圆。
故∠6=∠7，即∠3=∠4。
【例2】“风平三角形”中，AA’=BB‘=CC’=2，∠AOB‘=∠BOC’=60°。
求证：Ｓ△AOB‘+Ｓ△BOC’+Ｓ
△COA‘<。
【分析】作变换△A’OC△AQR‘，△BOC’△B‘PR’‘，则R’、
R‘’重合，记为R。
P、R、Q共线，O、A、Q共线，O、B‘、P共线，△OPQ为等边三角形。
∴Ｓ△AOB’+Ｓ△BOC‘+Ｓ△COA’<Ｓ△OPQ=
【例3】在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。
【分析】取AC、BD的中点E、F，令AC A‘C’，则A‘BC’D是一个符合条件的平行四边形。
延长AF、CC‘交于G。
∵E是AC的中点且EF∥CC’，FC‘∥EC，∴F、C’分别为AG、CG的中点。
∴AD+BC=BG+BC≥2BC‘=A’D+BC‘。
同理可得AB+DC≥A’B+DC‘。
故当四边形为平行四边形时，周长最小。
【评注】当已知条件分散，尤其是相等的条件分散，而又不容易找出证明途径，或题目中有平行条件时，将图形的某一部分施行平移变换，常常十分凑效。
【例4】P是⊙O的弦AB 的中点，过P点引⊙O的两弦CD、EF，连结DE交AB于M，连结CF交AB于N。
求证：MP=NP。
（蝴蝶定理）
【分析】设GH为过P的直径，F F’F，显然‘∈⊙O。
又P∈GH，∴PF’=PF。
∵PF PF‘，PA PB，∴∠FPN=∠F’PM，PF=PF‘。
又FF’⊥GH，AN⊥GH，∴FF‘∥AB。
∴∠F’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’
=∠EFF‘+∠EDF’=180°，∴P、M、D、F‘四点共圆。
∴∠PF’M=∠PDE=∠PFN。
∴△PFN≌△PF‘M，PN=PM。
【评注】一般结论为：已知半径为R的⊙O内一弦AB上的一点P，过P作两条相交弦CD、EF，连CF、ED交AB于M、N，已知OP=r，P到AB中点的距离为a，则。
（解析法证明：利用二次曲线系知识）
【例5】⊙O是给定锐角∠ACB内一个定圆，试在⊙O及射线CA、CB上各求一点P、Q、R，使得△PQR的周长为最小。
【分析】在圆O上任取一点P0，令P0P1，P0P2，连结P1P2分别交CA、CB于Q1、R1。
显然△P0Q1R1是在取定P0的情况下周长最小的三角形。
设P0P1交CA于E，P0P2交CB于F，则P0Q1 +Q1R1 +R1P0= P1P2=2EF。
∵E、C、F、P0四点共圆，CP0是该圆直径，由正弦定理，EF=CP0sin∠ECF。
∴当CP0取最小值时，EF为最小，从而△P0Q1R1的周长为最小，于是有作法：
连结OC，交圆周于P，令P P1，P P2，连结P1P2分别交CA、CB于Q、R。
则P、Q、R为所求。
【例6】
△ABC中，∠A≥90°，AD⊥BC于D，△PQR是它的任一内接三角形。
求证：
PQ+QR+RP>2AD。
【分析】设P P’，P P‘’。
则RP=RP‘，PQ=P’‘Q，
AP=AP’=AP‘’。
∴PQ+QR+RP= P‘’Q+QR+RP‘。
又∠A≥90°，∴∠P’AP+∠P‘’AP=2∠A≥180°，A点在线段P‘P’‘上或在凸四边形P’RQP‘’的内部。
∴P‘’Q+QR+RP‘>AP’+AP‘’=2AP>2AD。
∴PQ+QR+RP>2AD。
【评注】如果题设中有角平分线、垂线，或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形，可以将图形或其部分进行轴对称变换。
此外，也可以适当选择对称轴将一些线段的位置变更，以便于比较它们之间的大小。
【例7】以△ABC的边AB、AC 为斜边分别向外作等腰直角三角形APB、AQC，M是BC的中点。
求证：MP=MQ，MP⊥MQ。
【分析】延长BP到E，使PE=BP，延长CQ到F，使QF=CQ，则△BAE、△CAF都是等腰三角形。
显然：E B，C F，∴EC=BF，EC⊥BF。
而PM EC，MQ BF，∴MP=MQ，MP⊥MQ。
【例8】已知O是
△ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°；P是△ABC内任一点，求证：
PA+PB+PC≥OA+OB+OC。
（O为费马点）
【分析】将C C‘，O O’， P P‘，连结OO’、PP‘。
则△B OO’、△B PP‘都是正三角形。
∴OO’=OB，PP‘ =PB。
显然△BO’C‘≌△BOC，△BP’C‘≌△BPC。
由于∠BO’C‘=∠BOC=120°=180°-∠BO’O，∴A、O、O‘、C’四点共线。
∴AP+PP‘+P’C‘≥AC’=AO+OO‘+O’C‘，即PA+PB+PC≥OA+OB+OC。
【例9】⊙O与△ABC的三边BC、CA、AB分别交于点A1、A2、B1、B2、C1、C2，过上述六点分别作所在边的垂线a1、a2、b1、b2、，设a1、b2、c1三线相交于一点D。
求证：a2、b1、c2三线也相交于一点。
【分析】∵a1、a2关于圆心O成中心对称，
∴a1a2。
同理，b1b2，c1c2。
∴a1、b2、c1的公共点D在变换R（O，180°）下的像D’也是像a2、b1、c2的公共点，即a2、b1、c2三线也相交于一点。
【例10】AD是△ABC的外接圆O的直径，过D作⊙O的切线交BC于P，连结并延长PO分别交AB、AC于M、N。
求证：OM=ON。
【分析】设O O‘，N N’，而M B，
∵M、O、N三点共线，∴B、O‘、N’三点共线，且。
取BC中点G，连结OG、O‘G、DG、DB。
∵∠OGP=∠ODP=90°，∴P、D、G、O四点共圆。
∴∠ODG=∠OPG，而由MN∥BN’有∠OPG=∠O‘BG，
∴∠ODG=∠O’BG，∴O‘、B、D、G四点共圆。
∴∠O’GB=∠O‘DB。
而∠O’DB=∠ACB，∴∠O‘GB=∠AC B，O’G∥AC，而G是BC的中点，∴O‘是BN’的中点，O‘B= O’ N‘，
∴OM=ON。