2016年高考理科圆锥曲线大题

2016年高考理科圆锥曲线大题1. （新课标Ⅰ理数）设圆222150xy x ++-=的圆心为A ，直线l 过点1,0B （）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C D ，两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程； （II ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于,M N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于,P Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.2. （新课标Ⅱ理数）已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x轴上，A 是E 的左顶点，斜率为()0k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.(I)当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积； (II)当2AM AN =时，求k 的取值范围.3.（新课标Ⅲ理数）已知抛物线C：22的焦点为y xF，平行于x轴的两条直线12,l l分别交C于A B，两点，交C的准线于P Q，两点.（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR FQP；（II）若PQF△的面积是ABF△的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.4. （2016年北京理数）已知椭圆C ：22221x y a b+=a b 0>>（）3，A a,0,（）()B 0,b ，O 00（，），OAB△的面积为1.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N 。

求证：AN BM g 为定值。

5. （2016年江苏理数）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆:M 221214600x y x y +--+=及其上一点(24)A ，(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；(2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B C 、两点，且BC OA =,求直线l 的方程；(3) 设点,0T t （）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=u u r u u r u u u r,求实数t 的取值范围。

6. （2016年山东理数）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞ 3抛物线E ：22xy=的焦点F 是C 的一个顶点。

（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A B ，，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ，PDM∆的面积为2S ，求12SS 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.7.（2016年上海理数）双曲线2221(0)yx bb-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B、两点。

（1）若l 的倾斜角为2π，1F AB ∆是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设3b =l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r ，求l 的斜率.8. （2016年四川理数）已知椭圆()222210x y E a b a b+=>>：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点.T（I ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（II ）设O 是坐标原点，直线'l 平行于,OT 与椭圆E 交于不同的两点A B 、，且与直线l 交于点.P 证明：存在常数λ，使得2PT PA PBλ=g ，并求λ的值.9. （2016年天津理数）设椭圆13222=+y a x )3(＞a 的右焦点为F ，右顶点为A .已知FAeOA OF 311=+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. 学.科.网（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若HF BF ⊥，且MOA ∠≤MAO ∠，求直线l 的斜率的取值范 围.10. （2016年浙江理数）如图，设椭圆2221(1)x y a a+=>（Ⅰ）求直线1y kx =+被椭圆截得到的弦长（用a,k 表示）（Ⅱ）若任意以点(0,1)A 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆离心率的取值范围.答案1. 因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠， 所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+. 又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为： 13422=+y x （0≠y ）.（Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k.则3482221+=+k k x x ，341242221+-=k k x x . 所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN .过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x ky ，A 到m 的距离为122+k ，所以1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积341112||||212++==k PQ MN S .可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83).当l 与x 轴垂直时，其方程为1=x ，3||=MN ，8||=PQ ，四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.2. 【答案】(Ⅰ)14449；(Ⅱ))32,2.【解析】试题分析：(Ⅰ)先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ∆的面积；(Ⅱ)设()11,M x y ，，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用k 表示||AN ，再由2AM AN =求k .试题解析：(I)设()11,M x y ，则由题意知1y>，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120yy -=.解得0y =或127y =，所以1127y=.因此AMN ∆的面积AMNS∆11212144227749=⨯⨯⨯=.(II)由题意3t >，0k >，(),0A t .将直线AM的方程()y k x t =+代入2213x y t +=得()222223230tk xt tk x t k t +++-=g .由(221233t k tx t tk -⋅=+得)21233t tk x tk -=+，故()221621t k AM x tk +=+=由题设，直线AN 的方程为(1y x t k=-，故同理可得()261k t k AN +==，由2AM AN =得22233k tkkt=++，即()()32321kt k k -=-.当32k = 因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332132022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩322k <<.因此k 的取值范围是)32,2.3. 解：由题设)0,21(F .设by la y l ==:,:21，则0≠ab ，且22111(,),(,),(,),(,),(,)222222a b a b A a B b P a Q b R +---.记过BA ,两点的直线为l ，则l 的方程为)(2=++-ab y b a x . .....3分（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=.所以FQ AR ∥. ......5分（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b SPQF ABF-=--=-=∆∆.由题设可得221211ba x ab -=--，所以01=x （舍去），11=x .设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DEABk k=可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y.当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分4.解：（Ⅰ）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a .所以椭圆C 的方程为1422=+y x .（Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1,0(),0,2(B A ， 设),(0y x P ，则442020=+y x.当0≠x时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y .令0=x ，得2200--=x y yM.从而221100-+=-=x y yBM M.直线PB 的方程为1100+-=x x y y .令0=y ，得100--=y x xN.从而12200-+=-=y x xAN N.所以221120-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x4=.当0=x时，1-=y，,2,2==AN BM所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.5. 解：圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M(6，7)，半径为5,.（1）由圆心N 在直线x=6上，可设()06,N y .因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切， 所以007y<<，于是圆N 的半径为0y ，从而075yy -=+，解得01y=.因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y=2x+m ，即2x-y+m=0， 则圆心M 到直线l 的距离267555mm d ⨯-++==因为222425,BC OA ==+=而222,2BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()252555m +=+，解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)设()()1122,,Q ,.P x y x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ+=u u r u u r u u u r,所以212124x x ty y =+-⎧⎨=+⎩……① 因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.xy -+-= …….②将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上， 从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦有公共点， 所以()()2255463755,t -≤+-+-≤+⎡⎤⎣⎦ 解得22212221t -≤+因此，实数t 的取值范围是2221,2221⎡-+⎣.6. （Ⅰ）由题意知2322=-a b a ，可得：b a 2=.因为抛物线E 的焦点为)21,0(F ，所以21,1==b a ， 所以椭圆C 的方程为1422=+y x .（Ⅱ）（i ）设)0)(2,(2>m m m P ，由yx 22=可得xy=/，所以直线l 的斜率为m ， 因此直线l 的方程为)(22m x m m y -=-，即22m mx y -=.设),(),,(),,(02211y x D y x B y x A ，联立方程222241m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得014)14(4322=-+-+m x m x m ， 由0>∆，得2025025m m<<+<<+或且1442321+=+m m x x ，因此142223210+=+=m m x x x ,将其代入22m mx y -=得)14(2220+-=m m y ，因为m xy4100-=，所以直线OD 方程为x m y 41-=. 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=mx x m y 41，得点M 的纵坐标为M 14y =-，即点M 在定直线41-=y 上. （ii ）由（i ）知直线l 方程为22m mx y -=，令0=x 得22m y -=，所以)2,0(2m G -， 又21(,),(0,),22m P m F D ))14(2,142(2223+-+m m m m ，所以)1(41||2121+==m m m GF S， )14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S ，所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S ，令122+=mt ，则211)1)(12(2221++-=+-=t tt t t SS，当211=t ，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时22=m ，满足0>∆， 所以点P 的坐标为)41,22(，因此12SS 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(.7. 由题意，()2F ,0c ，21c b +，()22241yb c b A=-=，因为1F ∆AB 是等边三角形，所以23c A=，即()24413b b +=，解得22b=．故双曲线的渐近线方程为2y x=．（2）由已知，()1F 2,0-，()2F 2,0．设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠．由()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()222234430kx k x k --++=．因为l 与双曲线交于两点，所以230k-≠，且()23610k ∆=+>．设AB 的中点为(),x y MM M ．由()11F F 0A +B ⋅AB =u u u r u u u r u u u r 即1F 0M⋅AB =u u u u r u u u r ，知1F M ⊥AB ，故1F 1kk M⋅=-．而2122223x x k x k M +==-，()2623k yk x k MM =-=-，1F 2323kkk M=-， 所以23123k k k ⋅=--，得235k=，故l 的斜率为155±．8. （I ）由已知，2a b=，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=.有方程组22221,23,x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得22312(182)0xx b -+-=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ， 此时方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=.点T 坐标为（2,1）.（II ）由已知可设直线l ' 的方程为1(0)2y x m m =+≠， 有方程组123y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，，可得22321.3m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以P 点坐标为（222,133m m-+ ），2289PTm =.设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ， .由方程组2216312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，， 可得2234(412)0xmx m ++-=.②方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得3232m <<.由②得212124412=,33m m x x x x -+-=.所以221112252(2)(1)3323m m m PA x y x =--++-=-- ，同理25223m PB x =--，所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m mx x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+2109m =.故存在常数45λ=，使得2PTPA PBλ=⋅.9. 【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞Y【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由113||||||c OF OA FA +=，得113()cc a a a c +=-，再利用2223a cb -==，可解得21c=，24a=（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即M 再OA 中垂线上，1Mx =，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据HF BF ⊥，列等量关系解出直线斜率.取值范围试题解析：（1）解：设(,0)F c ，由113||||||cOF OA FA +=，即113()cc a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223ac b -==，所以21c =，因此24a=，所以椭圆的方程为22143x y +=.（2）（Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B By xB ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k.解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k k y B .由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(Hy H ，有),1(Hy FH -=，)3412,3449(222++-=k k k k .由HFBF ⊥，得=⋅，所以034123449222=+++-k ky k k H，解得kk y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M My xM ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M .在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(MMMM yx y x +≤+-，化简得1≥Mx，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k .所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞Y .10. （I ）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ，由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 ()2222120a k xa kx ++=， 故10x =，222221a kx a k =-+．因此22212222111a k k x k a kAP =+-=++（II ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足QAP =A ．记直线AP ，Q A 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，2k >，12k k ≠．由（I ）知，2211121a k k +AP =2222221Q a k k +A =，故22221122122121a k k a k k ++=，所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．由于12kk ≠，1k ，2k>得()2222221212120k k a a k k +++-=， 因此()222212111112a a k k ⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ①因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是()22121a a +->，所以2a >因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为12a <≤由21c a e a a-==得，所求离心率的取值范围为202e <≤．。