昆明理工大学线性代数试卷
2012-2013年理工线性代数考试A卷问题详解
《线性代数》考试A 卷答案及评分标准教课程类别必修N ］选修［］2012-2013学年第一学期线性代数（理科）试题 师考试方式填授课教师开卷［］闭卷N ］ 写 考试时间2013年1月日 姓 名试卷类别（A 、B 、・・•）［A ］共8页1.已知 A,〃均为三阶矩阵，且 A = （a"』），B = （a,0,5），及|A| = 2, \B\ = 3 ,则 \A + 2B\= 72 ・•设A,B 均为三阶矩阵,且|A| = 4, \B\ = -2 , A*为矩阵A 的伴随矩阵，则行列式(3B)F8= --------- •273 •设矩阵A = \ 2:E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足B4 = B + 2E ，则矩阵2 丿4•设矩阵A 满足宀―0,则（「科=扣+ 2E ） 5 •齐次线性方程组］2X 1+X 2 + X 3=0只有0解，则&应满足的条件是kx 2 + 3X 3 = 06 •设向量组a = (1,0,1几戸=(2,J = (一 1,1,-4)7 线性相关，则/c = _L得分评阅人填空题（共10小题，每小题2分，共20分）7•设3阶矩阵A的特征值互不相同，若行列式|4| = 0,则矩阵A的秩为2 . 8•设3阶矩阵A的特征值1,2,2,则行列式|4A" — E卜_J_・9・二次型/（兀[,兀2宀）=斗+2旺兀2+2玮的规形是 X +必-必・10 •当f满足Ovf <1时,二次型/（X],兀2,勺）=£ + X； +埒+ 2tx x x2为正定二次型。
二、选择题（共10小题，每小题2分，共20分）（A）丿・=3,=5,此项为正（B） / = 此项为负（C） j = 5,k=3,此项为正（D）以上全不对2•若三阶行列式D的第三行的元素依次为X 2、3 ,它们的余子式分别为2、3、4 , 则行列式P=（ C ）（A） -8 （B）・20 （C） 8 （D） 203・已知向量组內,勺,再线性相关，色，函，函线性无关，则：（A ）（A）冏必能由02，。
理工大学线性代数考试试卷及参考答案(A)
考试时间：年月日
课程名称：线性代数适用专业年级：
考生学号：考生姓名：
………………………………………………………………………………………………………
一、单项选择（20分＝4分 5）：来自1．（ ） ,( ) ,
( ) , ( ) ．
2．设 为同阶方阵，则（）成立
（ ） ,( ) ,
５．二次型 ，当满足（）时，是正定二次型．
( ) ； （ ） ； （ ） ； （ ） ．
二、填空题（20分＝4分 ）：
6． ，则 _______．
7．设 为四阶方阵，若 ＝ ，则其伴随矩阵 的行列式 =_______．
8．若 ，当 _______时， 2．
9．设 ，其中 ，则 ________．
10．设 为正定矩阵，则 _______．
( ) , ( ) ．
3．设 为 矩阵，齐次线性方程组 仅有零解的充分必要条件是 的（）．
( )列向量组线性无关，（ ）列向量组线性相关，
（ ）行向量组线性无关，（ ）行向量组线性相关．
4．向量 线性无关，而 线性相关，则（）。
( ) 必可由 线性表出，（ ） 必不可由 线性表出，
（ ） 必可由 线性表出，（ ） 必不可由 线性表出．
七、解答题(6分)：
16．解：设 则有
， 的特征值为 2’
对应于 的特征向量可以计算得： 单位化得 1’
对应于 的特征向量可以计算得： 单位化得 1’
作正交变化 得到 ，由正交变化得刚性知面积为 。2’
七、解答题(6分)：
16．求曲线 所围成的图形的面积。
2005级线性代数期末考试参考答案（A卷）
一、单项选择（20分＝4分 5）：
昆明理工大学线性代数试卷
昆明理工大学 2015级 试卷( A 卷 )考试科目： 线性代数 考试日期： 命题教师：集体命题 一、 填空题（每小题4分，共40分）1. 已知A 为3阶方阵，且2A =-，则12A -= ；2．已知200300020,030002003A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- =- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1=-A B ； 3. 已知1121A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A 的伴随矩阵*A = ；4. 设向量123(2,1,1),(0,1,0),(1,2,)T T T t ααα= = =线性相关，则 t =；5. 如果n 维向量组含有1n +个向量，则该向量组的线性关系为__________；6. 设A 为34⨯阶的矩阵，且A 的行向量组线性无关，则()A r =__________；7. 已知n 元非齐次线性方程组Ax=b 有唯一解，则()A,b =r _________；8. 设A 为正交矩阵，且0A <，则A =__________；9. 设1010005t t ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭为正定矩阵，则t 的取值范围是 ；10.设112 -，，是3阶方阵A 的特征值，则23A E -= .11（8分）、计算4阶行列式 40123210342403110D -=---.12（14分）、已知向量组A ： 123421234,1,3,52012αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）求向量组A 的秩；（2）求一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示.13（8分）、已知12325221,3134343A =B = ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 求矩阵X 使得AX B =.14（12分）、设线性方程组123123123+ 11x x x aax x x x x ax +=⎧⎪++=⎨++=⎪⎩，证明：（1）当1a ≠时方程组有唯一解，并求唯一解； (2) 当1a =时方程组有无穷多解，并求通解.15(4分)、设向量组123,,ααα线性相关，向量组234,,ααα线性无关. 证明向量1α可由23,αα线性表示.。
完整版)线性代数试卷及答案
完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。
A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。
11；(C) -1；(D)。
(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。
(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
昆明理工大学 线性代数 第4章 习题册答案
1习题4.1（线性方程组解的结构）一、下列齐次线性方程组是否有非零解？分析：n 阶方阵A ，AX=0有非零解0()A R A n ⇔=⇔<；仅有零解0()A R A n ⇔≠⇔=（1）123412341234123442020372031260x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--+=⎪⎨++-=⎪⎪--+=⎩ ；解：11421112317213126A ----=---213241311420054045402168r r r r r r ---=-------21054054544544004016821682168r r -=---=-=-≠--------仅有零解。
（2）12451234123453020426340x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-=⎨⎪-++-=⎩ .分析：n 元齐次线性方程组有非零解()R A n ⇔≤；仅有零解()R A n ⇔= 解：()35R A n ≤<=，有非零解（即有无穷多解）。
二、求齐次线性方程组12341234123420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩的一个基础解系。
解：322112314123512110121101201036130004000010051015000400000r r r r r r r r r A --------=--→-→--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以原方程组等价于1243200x x x x +-=⎧⎨=⎩（24,x x 可取任意实数）原方程组的通解为1122134220x k k x k xx k =-+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩（12,k k R ∈）2改写为11221211123422222101000000001x k k k k x k k x k k x x k k -+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（12,k k R ∈）因此齐次线性方程组的基础解系为1221100001ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，三、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1，η2，η3是它的三个解向量，且()12345Tη=，()231234Tηη=+, 求该方程组的通解。
昆明理工大学线性代数模拟 试卷1
2011-2012线性代数期末模拟试卷(一)一、判断（每小题1分，共10分）1、若.,,O B O A O AB =≠=则必有且（ ）2、222()AB A B =必成立. （ ）3、齐次线性方程组0m n A x ⨯=只有零解⇔()R A n =.（ ）4、A, B 均可逆，则AB 可逆. （ ）5、设A ，B ，C ，D 都是n 阶方阵，且ABCD=E, 则一定有CDAB=E. ( )6、5级排列41253是一个奇排列.（ ）7、A 为任意的m n ⨯矩阵, 则A T A, AA T 都是对称矩阵.（ ）8、对向量1234,,,αααα都线性无关，则123,,ααα线性无关. ( )9、A 为n 阶方阵，k 为常数，则||||kA k A =. ( )10、n 矩阵A 有n 个互不相同的特征值，则A 相似于对角矩阵. ( )二、填空题（每小题2分，共20分）1、设 1 0 00 2 00 0 3A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= .2、设2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为二阶单位阵，且满足2BA B E =+则B = .3、设34004-30000200022A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则2A = . 4、方阵A 满足220A A E --=，则1A -= . 5、若矩阵A 与B 等价，且()3R A =，则()R B = .6、已知向量组()11,2,1α=- ，()22,0,t α= ，()30,4,5α=- 的秩为2，则t = .7、向量空间V 的维数为m ，则V 中任意1m +个向量121,,...,m ααα+必线性 . 8、设四元非齐次线性方程组AX b = 的系数矩阵A 的秩为3，且已知它的两个解为12(1,1,2,1)T ηη-=- ，则对应齐次方程0AX = 的通解为X = .9、两向量()()121,6,,0,1,3t αα==-正交的条件是t = .10、已知三阶方阵A 的特征值为1,2,3,则3257A A A -+= .三、单项选择（每题1分，共10分）1..若=---=322212332313323122211211333231232221131211,1a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 则( ). )A ( 1- ； )B ( 2 ； )C ( 1 ； )D ( 0.2．设A 为n m ⨯矩阵，且n m <，则一定有( )．()();)B (;)A (n A R m A R ==()().)D (;)C (m A R n A R m ≤≤≤ 3. 下列结论错误的是( ) ． )A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合;)B ( 若向量321,,ααα线性无关，则21,αα线性无关；)C ( n 阶方阵A 与对角阵相似是A 有n 个不同的特征值的必要条件;)D ( 若方程组O Ax =有非零解，则b Ax =有无穷多解.4. 设矩阵n m A ⨯的秩n m A R <=)(，下述结论中正确的是 .)(A A 的任意m 个列向量必线性无关； )(B A 的任意一个m 阶子式不等于零；)(C 齐次线性方程组Ax b =只有零解； )(D 非齐次线性方程组0Ax =必有无穷多解.5. n 阶矩阵C B A ,,满足,E ABC =则下列各式中成立的是 .)(A E BCA D E BAC C E CBA B E ACB ====)(;)(;)(;6．设矩阵142242A ab a ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦2 12 的秩为2，则 （A ）0,0==b a ； （B ）0,0≠=b a ； （C ）0,0=≠b a ； （D ）0,0≠≠b a .7. B A ,均为n 阶方阵，则下列结论中 成立．（A ）,0=AB 则,O A =或O B =； （B ） ,0=AB 则,0=A 或0=B ；（C ）,O AB =则,O A =或O B =； （D ）,O AB ≠则,0≠A 或0≠B ．四*、（10分）1、求行列式1222222222322224A =的值.2*、(10分)设向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)t ααα=-==--，问：（1）参数t 取何值时，123,,ααα线性相关？ （2）t 取何值时123,,ααα线性无关？求出一个极大无关组。
线性代数本A卷及答案
昆明理工大学高等教育试卷（ 2009 /2010 学年 上 学期）线性代数（A ）专业年级： 学号： 姓名：试卷说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．行列式543432321的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-12．设n 阶方阵A ，B ，C 满足ABC=E ，则必有（ ） A ．ACB=E B ．CBA=E C ．BAC=ED ．BCA=E3．设n 阶方阵A 中有n 2-n 个以上元素为零，则A 的值（ ） A ．大于零 B ．等于零 C ．小于零D ．不能确定4．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-α=-α=-1x x 2x x x x 133221 有解的充分必要条件是α=（ ）A ．-1B ．-31C ．31 D ．15．设A 为m×n 矩阵，则非齐次线性方程组Ax=b 有惟一解的充分必要条件是（ ） A ．m=nB ．Ax=0只有零解C ．向量b 可由A 的列向量组线性表出D ．A 的列向量组线性无关，而增广矩阵A 的列向量组线性相关6．设A 为3阶矩阵，A 的特征值为0，1，2，那么齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含解向量的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．37．下列二次型中为规范形的是（ ）A ．-2221y y - B ．-2221y y + C ．-2321y y -D ．232221y 5y 3y ++8．已知A 是n 阶实对称矩阵，A 2=A ，秩（A ）=n ，则x T Ax 是（ ） A ．正定二次型 B ．负定二次型 C ．半正定二次型D ．不定二次型二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。
大学线性代数试题及答案
线性代数（试卷一）一、 填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC=，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 _________5. 设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_____________。
6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1230120011A ，则=*A 7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()T k 11=α与()T 121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤ Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A)Ａ．8 Ｂ．8- Ｃ．34Ｄ．34- 3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ 4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
c)(A *kA)(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。
线代第一章测试题及答案
线代第一章测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项不是线性代数的研究对象？A. 向量空间B. 线性方程组C. 矩阵D. 微分方程答案：D2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行（或列）的最大数目D. 矩阵的元素个数答案：C3. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 奇异矩阵D. 任意矩阵答案：B4. 向量空间的基是指：A. 空间中的任意一组向量B. 空间中的一组线性无关的向量C. 空间中的一组线性相关的向量D. 空间中的一组正交向量答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的元素个数称为矩阵的______。
答案：阶数2. 如果一个矩阵的行向量组线性无关，则该矩阵是______矩阵。
答案：满秩3. 向量空间中，一组向量如果满足线性组合的系数全为零，则称这组向量是______的。
答案：线性无关4. 一个n阶方阵的行列式等于______。
答案：0三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述什么是线性方程组的解。
答案：线性方程组的解是指满足方程组中所有方程的未知数的取值。
2. 请解释什么是矩阵的转置。
答案：矩阵的转置是指将矩阵的行向量变成列向量，列向量变成行向量，即交换矩阵的行和列。
四、计算题（每题15分，共40分）1. 计算矩阵A的行列式，其中A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]。
答案：\[ \text{det}(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \]2. 已知矩阵B = \[\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2\end{bmatrix}\]，求B的逆矩阵。
答案：\[ B^{-1} = \frac{1}{(2)(2) - (1)(4)} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -0.5 \\-2 & 1 \end{bmatrix} \]。
昆明理工大学线性代数考试试题集及答案
《线性代数 B 》 2010～ 2011 学年第一 学期课程试卷 A一、填空11 1 12 345 12.1.=49 16 25 827641252． 设 A 、B 为 4阶方阵，且 | A 13 B81，则|AB | 1/2.| 2 ,3. 给定矩阵 A ，且 AE 可逆, 满足 ABEA 2B ,则B AE.1 0 01 0 04．设 A0 1 1 ，则 A 121 .0 12115．已知1,2, 3 线性相关 ,3不能由 1,2 线性表示，则1,2 线性 相关．116．设 12 ,2t ,32 ，且 1,2,3 线性相关， 则 t8．3611 2 37.设A 是43矩阵,且 R(A)2 ， B0 1 0 则R(AB) __2___3 12．设三阶方阵 A 的每行元素之和均为零， 又R(A) 2 ，则齐次线性方程组AxO 的通解为81 k 1 ( kR ).113 0 19. 向量组11的一个最大线性无关组为1, 22 ,3 1,4 1 1131,2,4.10. 设 A 为 n 阶方阵 , Ax0 有非零解 , 则 A 必有一个特征值为0.二、单项选择x3 1x2 y 4z2 1.. 若 y0 21 , 则30 2 ( A )z21121(A)1 ； (B )2 ； (C )1 ；(D) 0.2．设 A , B , C 均为二阶方阵， ABAC ，则当 (C ) 时，可以推出 B C ．1 0 1 1 0 1 1 1 (A) A;(B)A; (C) A; (D) A.1 011 13. 下列结论正确的是 ( A ) ．( A )1,2,,s 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合 ;(B ) 若向量1,2,3 线性相关，则 1 , 2 线性相关；(C ) 若 n 阶方阵 A 与对角阵相似，则 A 有 n 个不同的特征值 ;( D ) 若方程组 AxO 有非零解，则 Axb 有无穷多解 .14 4. 已知, 3 是四元方程组 Ax2， 241 ,2b 的三个解，其中 R( A)3,13 3，444则以下不是方程组Axb 的通解为 ( D ) .21 11 123 1 0 2 ;0 2 0 2 ;( D ) k2 2 ( A ) k2 3 ( B ) k; ( C ) k2 1 .1 3 1 344242245. 设向量组1 ,2,3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（B ）( A ) 12,23,31;( B ) 1,2 ,31;(C )1,2,213 2 ;( D )2,3,223.．若 n 阶矩阵 A , B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（A）6( A ) A 与B 相似;(B) A B ，但|A B| 0;(C )AB ;(D) A 与 B 不一定相似，但 | A | |B |.7. 设 Ap11 p1, Ap22 p2 , 且12 , 则以下结论正确的是（ B ） .( A ) p1p2不一定是A的一个特征向量;( B )p1p2一定不是A的一个特征向量 ;(C ) p1p2一定是A的一个特征向量 ;( D )p1p2为零向量 .x 1x 2x 41,三、 k 为何值时 ,线性方程组x 1 2 x2x 3 2 x 4 3 ,有解，并在有解时求通解 . x 1x 2x 3x4 6 ,x 2x4k1101111011解 :1212301112A11160010510101k0101k1101111011011120111200105001050010k 20 0 00k 3当 k3时，方程组有解，1000401013A010，0500000x 1440 x 2 3 x 4，（12分）通解为 X3k1 x 3550 x 4x 401a0b四、已知矩阵 A010的特征值之和为1，特征值之积为 1 ．b00(1) 求a , b( b0) 的值；(2)求可逆矩阵 P 和对角阵，使得 P 1. APa101001解a0, b 1.A010, 21b10001E A010(21 )1, 3 1 .1 ) (121010110101当121时， E A000000,p11, p20101000011011011当31时，EA020010, p301010001 0111取 P10011有P AP0111a 11a1a1五、计算 D n a 2 a 21 a 2.a n a n a n1111 n a 2a21a2解 D r1r n a i（1)i1a n a n a n1c2c1100 n a210（ a i1)c ni1c1a n01 n（ a i 1 )(1) n 1i1六、设 A 为3阶矩阵， 1 ,2为 A 的分别属于特征值1,1特征向量，向量 3 满足A32 3，证明（ 1）1 ,2,3线性无关；（）令P1,2,3，求1.2P AP证明 k 11k2 2k 33O (1)，A ( k 1 1 k 22k 33)O即 k1 1k 22k 3 (23)O (2) (2)-(1)2 k 11k3 2O因为1,2 线性无关，k 1k 30 ,代入（ 1），得 k 22O ,2O , k 2 01,2,3 线性无关1 0（2）P 1AP0 1 1 01《线性代数 B 》 2010～ 2011 学年第 一 学期课程试卷 B一、填空1 2 3 61. 设2 2 2 2 又 是 aij 的代数余子式 则A42A 43 A 44 =0| A | | ( a ij )4 4 |1 0 7, A ij, A 41234182 设 A 、B 为 3阶方阵，且 | A|2, 3 B181 ，则|A1B| 1/6 .3. 设 A 为方阵 ,满足 A20,则 A1AE.A 2 E21 1 01 31 04．设 A130，则A 1 1 1 0.2 215．向量组 1 , 2 ,3 ,1 线性相 关．6．设 A 是 mn 矩阵 , R ( A )r ,则齐次线性方程组 Ax O 有非零解的充分必要条件是r n1 2 37.设A 是43矩阵,且 R(A)2 ， B0 1 0 则R(AB) __2___3128．设三阶方阵 A 的每行元素之和均为 3，则 A 有特征值3 .1 319. 向量组11 3 的一个最大线性无关组为1 ,2.1, 2,35 8 911710．属于方阵 A 的不同特征值的特征向量一定 线性无关.二、单项选择a11a 12 a 13 a11a 12a 21a221.. 若 a21a 22a 231 , 则a 13a 23a31a32 a33a12 a22(A)1；(B )2 ； (C)1；2．设 A 为 m n 矩阵，且 m n ，则一定有 ( D ) ．(A)RAm ;(B)R A n ; (C ) m R An ;(D) RAm .3. 下列结论错误的是 ( D ) ．a31a 32a 33(A).a32(D) 0.( A )1, 2 ,,s 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合 ;(B ) 若向量 1,2 ,3 线性无关，则1,2 线性无关；(C )n 阶方阵 A 与对角阵相似是 A 有 n 个不同的特征值的必要条件;( D ) 若方程组 Ax O 有非零解，则Axb 有无穷多解 .4. 设矩阵 A m n 的秩 R ( A ) mn ，下述结论中正确的是D.( A ) A 的任意 m 个列向量必线性无关； ( B ) A 的任意一个 m 阶子式不等于零；(C ) 齐次线性方程组Ax0 只有零解；( D ) 非齐次线性方程组Axb 必有无穷多解 .5. n 阶矩阵 A , B , C 满足 ABCE , 则下列各式中成立的是D.( A ) ACBE ;( B )CBA E ;(C )BACE ;( D )BCAE1．设矩阵 Aab4 2 的秩为 2，则 C624a 2（ A ） a0 , b0 ； （ B ） a 0 , b 0 ； （ C ） a0 , b 0 ； （ D ） a0 , b 0 .7. A , B 均为 n 阶方阵，则下列结论中 B 成立．（ ） AB 0 , 则 A O , 或 B O ；（ ） 0 ,则A0, 或B0 ；AB AB（C）AB O,则A O,或B O ；（D）AB O,则 A0,或 B 0．三、 k 为何值时，线性方程组有解．并在有解时求通解．x1x2x 3x 4x 51,3 x1 2 x2x 3x4 3 x 50 ,x 2 2 x 3 2 x 4 6 x 5k .111111解 A32113001226k11111111111101226301226301226k00000k 3当 k3时， R( A)R(B )2 5 , 所以有依赖于 3 个独立参数的无穷多解．10115201226300000k3x1x 3x4 5 x52x 2 2 x 3 2 x 4 6 x53得 x 3x 3x 4x 4x 5x 511522263x c11c20c300(c1 , c2 , c3R ).01000000101四、已知矩阵A010 ,求可逆矩阵P 与对角阵,使得 P 1. AP101101解E A010( 1 )(2),10 , 21, 3 2 ，101进一步可求得相应的特征向量为101p10 , p21, p30。
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昆明理工大学2015级试卷( A卷)
考试科目：线性代数考试日期：2016.6.21 命题教师：集体命题
一、 填空题（每小题4分，共40分）
1. 已知A 为3阶方阵，且2A =-，则1
2A -= ；
2．已知200300020,030002003A B ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=- =- ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则1=-A B ； 3. 已知1121A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A 的伴随矩阵*
A = ；
4. 设向量123(2,1,1),(0,1,0),(1,2,)T T T t ααα= = =线性相关，则 t =
；
5. 如果n 维向量组含有1n +个向量，则该向量组的线性关系为
__________；
6. 设A 为34⨯阶的矩阵，且A 的行向量组线性无关，则
()A r =__________；
7. 已知n 元非齐次线性方程组
Ax=b 有唯一解，则()A,b =r _________；
8. 设A 为正交矩阵，且0A
<，则A =__________；
9. 设1010005t t ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
为正定矩阵，则t 的取值范围是 ；
10.设112 -，
，是3阶方阵A 的特征值，则23A E -= .
二、计算题（共30分）
11（8分）、计算4阶行列式 40
1232
1
34240
3110
D -=
---.
12（14分）、已知向量组A ： 123421234,1,3,52012αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
（1）求向量组A 的秩；（2）求一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示.
13（8分）、已知12325221,3134343A =B = ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
. 求矩阵X 使得AX B =.
三、 证明题（共16分）
14（12分）、设线性方程组
123
123
123
+
1
1 x x x a ax x x
x x ax
+=⎧
⎪
++=
⎨
++=
⎪⎩
，
证明：（1）当1
a≠时方程组有唯一解，并求唯一解；
(2) 当1
a=时方程组有无穷多解，并求通解.
15(4分)、设向量组
123
,,
ααα线性相关，向量组
234
,,
ααα线性无关. 证明
向量
1
α可由
23
,
αα线性表示.
四、综合应用题（共14分）
16（14分）、已知对称矩阵
202
040
205
-
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
-⎝⎭
A=，
试求：(1) A的特征值及其对应的特征向量；
(2) 正交矩阵P使得1
P AP
-为对角矩阵.。