正比例函数的定义
物理中的正比例反比例函数关系
物理中的正比例反比例函数关系正比例函数和反比例函数是物理学中非常重要的概念，被广泛应用于各种物理学问题中。
正比例函数指的是两个变量之间存在着线性关系，而反比例函数则指的是两个变量之间存在着倒数的关系。
在物理学中，这些函数关系经常出现在各种实验测试和数据记录中，因此了解和理解这些函数关系是非常重要的。
一、正比例函数的定义正比例函数是指，存在两个变量之间的线性关系，即当一个变量的值增加时，另一个变量也随之增加，且两个变量在图表上形成一条直线。
具体地说，一个变量的值随着另一个变量的值增加而增加，且增加的幅度与另一个变量的值成比例。
当我们测量一个运动物体的速度时，如果我们将时间和速度作为两个变量绘制成图表，我们会发现，当时间增加时，速度也随之增加，并形成一条经过原点的直线。
这种关系就是正比例函数关系，表达式为：v = k*t，其中v表示速度，t表示时间，k是速度和时间的比例系数。
三、正比例函数和反比例函数的应用正比例函数和反比例函数在物理学中有广泛的应用，下面分别介绍一些常见的应用：（1）正比例函数的应用在机械学中，正比例函数关系最广泛地应用于速度和加速度之间的关系。
当一个物体的速度越快，它的加速度也会越大，它受到的阻力也会越大。
而这种关系可以用正比例函数来表示，表达式为：a = k*v，其中a表示加速度，v表示速度，k是加速度和速度的比例系数。
在空气中飞行的飞机所受到的空气阻力就是一个正比例函数关系。
电阻与电流的关系也可以用正比例函数来表示。
当电路中的电流增加时，电阻也会随之增加，这是因为电流的增加会导致电路中的热量增加，而热量又会引起电阻的增加。
这种关系可以用欧姆定律来表示，即R = V/I，其中R表示电阻，V表示电压，I表示电流。
压力和体积之间的关系也可以用反比例函数来表示。
根据波义尔定理，当温度不变时，气体的体积和压力呈反比例关系，即P1V1 = P2V2，其中P1和V1表示气体压力和体积的初始值，P2和V2表示气体压力和体积的末值。
正比例函数基本概念
正比例函数是一种基本的一次函数，其定义和基本概念如下：
1. 定义：
正比例函数是形如y = kx 的数学函数，其中k 是一个非零常数（即k ≠ 0），x 是自变量，y 是因变量。
当自变量x 变化时，因变量y 会按照与x 成固定比例的方式变化。
2. 特性：
- 函数图像：正比例函数的图像是经过原点（0,0）的一条直线，斜率为k。
- 方向与斜率：当k > 0 时，图像从左下方向右上方倾斜，表示随着x 增大，y 也相应增大；当k < 0 时，图像从左上方向右下方倾斜，表示随着x 增大，y 反而减小。
- 比例系数：k 称为比例系数或斜率，它反映了y 随着x 改变的增长速度或者减少速度。
3. 一次函数与正比例函数的关系：
所有一次函数都可以写成y = mx + b 的形式，其中m 是斜率，b 是截距。
如果b = 0，那么该一次函
数就简化为正比例函数的形式，即只含有斜率项没有截距项。
4. 性质：
- 在同一坐标系中，不同的正比例函数，它们的形状都是直线，但斜率不同，因此图像的位置和倾斜程度各不相同。
- 正比例函数具有线性增长或减少的特点，不涉及任何转折点或拐点。
- 当x 的值发生变化时，y 的变化与其成正比，具体比例关系由k 确定。
综上所述，正比例函数是最简单的一类函数之一，它直观地表达了两个变量之间按一定比例相互关联的关系。
正比例函数定义
正比例函数定义
正比例函数是一种经典的数学函数，也可以称为均衡函数。
顾名思义，它的特点就是关于自然变量的输入与输出之间的比值是定值。
它可以用于描述在两个量尺内自变量与因变量的变化，也可以用于描述两个量尺内物质的变化或者描述受力的影响。
第一类正比例函数是单变量正比函数，这种函数描述的是自变量与因变量之间正比的极限关系，即当函数值最大时，自变量则最大，而反之，函数值最小时，自变量则最小。
它主要用于描述物理量受某一变量影响的变化规律。
另一类正比例函数是多变量正比函数，这种函数描述的是自变量之间正比的关系，即当函数值最大时，自变量之间的比值也是定值，而反之，函数值最小时，自变量之间的比值则也会随之发生变化。
它主要用于描述物质的扩散及受力的传递。
正比例函数一般只与正向变量有关，也就是说，输入的量值大于零时，输出的函数值必定也大于零。
它有很多应用，比如在概率论中，常常利用它来描述概率之间的关系；在热学中，它常用来表示物质之间的定化魔热反应；在复杂问题或者人工全因型中，也可以用它来描述复杂问题的变化规律。
总之，正比例函数的定义及其应用十分重要，各种形式的正比函数可以用来描述各行各业的物理或者力学过程，在数学、自然科学中占有重要地位。
第12讲正比例函数(知识解读题型精讲随堂检测)(原卷版)
第12讲正比例函数知识点1：正比例函数的定义一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.知识点2：正比例函数图像和性质：待定系数法求正比例函数解析式1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式．2.确定正比例函数表达式的一般步骤：(1)设——设出函数表达式，如y＝kx(k≠0)；(2)代——把已知条件代入y＝kx中；(3)求——解方程求未知数k； (4)写——写出正比例函数的表达式【题型一：正比例函数的定义】【典例1】（2023春•永定区期末）下列函数中，是正比例函数的是（）A．B．C．y＝x2D．y＝2x﹣1（2023春•赣州期末）下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（）【变式11】A．y＝3x2B．C．D．y2＝3x【变式12】（2023春•洪江市期末）下列函数中，是正比例函数的是（）A．y＝2x﹣1B．C．D．y＝2x2+1【变式13】（2023春•朝阳区校级期中）下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（）A．正方形的面积S随边长x的变化而变化B．面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化C．正方形的周长C随着边长x的变化而变化L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t（单位：min）的变化而变化【典例2】（2023春•兴隆县期末）已知y＝（m+1）x|m|，若y是x的正比例函数，则m的值为（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．0【变式21】（2023春•南皮县月考）若函数y＝（k+1）x+b﹣2是正比例函数，则（）A．k≠﹣1，b＝﹣2B．k≠1，b＝﹣2C．k＝1，b＝﹣2D．k≠﹣1，b＝2【变式22】（2023春•永春县期末）若y＝x+b是正比例函数，则b的值是（）A．0B．﹣1C．1D．任意实数【变式23】（2023春•孝感期末）若函数y＝﹣2x m﹣2+n+1是正比例函数，则m+n （）A．3B．2C．1D．﹣1【题型二：判断正比例函数图像所在象限】【典例3】（2023春•朔州期末）正比例函数的图象经过（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【变式31】（2023春•凤庆县期末）正比例函数y＝﹣3x的图象经过（）象限．A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、四象限D．第二、三象限【变式32】（2023春•南岗区期末）在平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣4x 的图象经过（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限【题型三：正比例函数的性质】【典例4】（2023春•乐陵市期末）关于函数y＝2x，下列说法错误的是（）A．它是正比例函数B．图象经过（1，2）C．图象经过一、三象限D．当x＞0，y＜0【变式41】（2022秋•东胜区期末）关于函数y＝﹣3x，下列说法正确的是（）A．该函数的图象经过点（﹣3，1）B．是一次函数，但不是正比例函数C．该函数的图象经过第一、三象限D．随着x的增大，y反而减小【变式42】（2023•金山区二模）已知函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y 随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是（）A．（0.5，1）B．（2，1）C．（﹣2，4）D．（﹣2，﹣2）【变式43】（2022•临渭区二模）已知正比例函数y＝kx（k≠0），当自变量的值减小1时，函数y的值增大3，则k的值为（）A．B．C．3D．﹣3【题型四：判断正比例函数的比例系数大小】【典例5】（2022春•南城县校级月考）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx．将a，b，c按从小到大排列并用“＜”连接，正确的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b【变式51】（2022秋•渠县校级期中）三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【变式52】（2023秋•太仓市期末）如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【题型五：待定系数法求正比例函数解析式】【典例6】（2023春•鼓楼区校级期末）已知y与x成正比例，且当x＝2时，y ＝4．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若点（a，3）在这个函数图象上，求a的值．【变式61】（2023春•荆门期末）已知y与x成正比例，且x＝﹣2时y＝4，（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设点（a，﹣2）在这个函数的图象上，求a．【变式62】（2022秋•城关区期末）已知点（，1）在函数y＝（3m﹣1）x的图象上，（1）求m的值，（2）求这个函数的解析式．【变式63】（2022秋•江宁区校级月考）已知y＝y2﹣y1，其中y1与x成正比例，y2与x+2成正比例，当x＝﹣1时，y＝2，当x＝2时，y＝10．（1）求y与x的函数表达式；（2）当x取何值时，y的值为30？【题型六：正比例函数的图像性质综合】【典例7】（2021春•灵山县期末）（1）小青学习了函数后，对画函数的图象很感兴趣，她作函数y＝|x|的图象过程如下（请补充完整空格的部分）：当x≥0时，得y＝x，当x＜0时，得y＝﹣x，她在坐标系中画出了如图1的图象，所以函数y＝|x|的图象由两条构成；同理，她用类似的方法和过程作出函数y＝|x﹣1|的图象；（2）请你在图2的坐标系中作出y＝|x﹣1|的图象；（3）学习经验拓展：根据上述的过程获得的经验，请你画出函数y＝|x﹣1|+|x|的图象．【变式7】（2022秋•大兴区校级期末）探究活动：探究函数y＝|x|的图象与性质，下面是小左的探究过程，请补充完整．（1）下表见y与x的几组对应值．x…﹣3﹣2﹣10123…y…3m10123…直接写出m的值是．（2）如图．在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．请你先描出点（﹣2．m），然后画出该函数的图象．（3）观察图象，写出函数y＝|x|的一条性质：．1．（2023春•东城区校级期中）下列函数中，是正比例函数的是（）A．y＝2x B．y＝C．y＝x2D．y＝2x﹣1 2．（2023春•信都区期末）正比例函数y＝x的图象大致是（）A．B．C．D．3．（2023•凤凰县模拟）下列图象中，表示正比例函数图象的是（）A．B．C．D．4．（2023春•灵宝市期末）已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y＝﹣3x上的两点，且x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．以上都有可能5．（2023春•南宁期末）一次函数y＝2x的图象经过的象限是（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第二、三象限D．第一、二象限6．（2023春•廊坊期末）下列关于正比例函数y＝3x的说法中，正确的是（）A．当x＝3时，y＝1B．它的图象是一条过原点的直线C．y随x的增大而减小D．它的图象经过第二、四象限7．（2022春•道里区期末）已知函数y＝（k﹣3）x，y随x的增大而减小，则常数k的取值范围是（）A．k＞3B．k＜3C．k＜﹣3D．k＜0 8．（2022•碑林区校级模拟）若一个正比例函数的图象经过点（2，﹣3），则这个图象一定也经过点（）A．（﹣3，2）B．（，﹣1）C．（，﹣1）D．（﹣，1）9．（2021•芦淞区模拟）已知正比例函数y＝（m﹣1）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是（）A．m＜1B．m＞1C．m＜2D．m＞0 10．（2019•武功县一模）对于正比例函数y＝﹣2x，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（）A．B．C．2D．﹣2 11．（2023春•寻乌县期末）若函数y＝3x m﹣2是正比例函数，则m的值是．12．（2022春•青山区期末）已知函数y＝2x+m﹣1是正比例函数，则m＝．13．（2023•范县一模）写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式．14．（2021•包河区校级开学）已知正比例函数y＝kx，当﹣2≤x≤2时，函数有最大值3，则k的值为．15．（2022秋•宁波期末）已知y与x之间成正比例关系，且当x＝﹣1时，y＝3．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x＝2时，求y的值．16．（2023春•陵城区校级月考）已知y﹣2与3x﹣4成正比例函数关系，且当x ＝2时，y＝3．（1）写出y与x之间的函数解析式；（2）若点P（a，﹣3）在这个函数的图象上，求a的值；（3）若y的取值范围为﹣1≤y≤1，求x的取值范围．17．（2023春•西城区校级期中）函数问题：（1）作出y与x的函数y＝2|x|的图象；①自变量x的取值范围是；②列表并画出函数图象：x…﹣2﹣1012…y…4…③当自变量x的值从1增加到2时，则函数y的值增加了．（2）在一个变化的过程中，两个变量x与y之间可能是函数关系，也可能不是函数关系：下列各式中，y是x的函数的是．①x+y＝1；②|x+y|＝1；③xy＝1；④x2+y2＝1．。
19.2 正比例函数(原卷版)
C． D．
【变式2-5】在直角坐标系中，y随x的增大而减小的正比例函数y＝kx的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-6】（2022秋•丰顺县校级期末）在y＝k1x中，y随x的增大而减小，k1k2＜0，则在同一平面直角坐标系中，y＝k1x和y＝k2x的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
八年级下册数学《第十九章一次函数》
19.2正比例函数
◆正比例函数的概念：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
◆正比例函数反应的是两个变量之间的关系，是正比例关系.
【注意】判断一个函数是正比例函数：（1）所给等式是形如y＝kx的等式，自变量的指数只能是1.
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．b＞c＞a
【变式2-9】已知正比例函数y＝（m﹣1） 的图象在第二、四象限，求m的值．
【例题3】画出正比例函数y＝2x的图象．
解题技巧提炼
正比例函数的图象是一条经过原点的直线，因此可以用“两点法”画正比例函数的图象，所以经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．
A．y＝xB．y＝x+1C．y＝x2D．y
【变式1-2】（2022春•长安区校级期中）已知函数：①y＝2x﹣1；②y ；③y ；④y＝2x2，其中属于正比例函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】（2022秋•无为市月考）若y关于x的函数y＝（a﹣4）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第一、四象限D．第二、四象限
解题技巧提炼
本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，根据正比例函数的性质判断k的范围是解题的关键．
正比例 函数
正比例函数简介：正比例函数是数学中常见的一类函数，它们的图像是一条通过原点的直线。
本文将介绍正比例函数的定义、特点以及相关示例，以帮助读者更好地理解和应用正比例函数。
定义正比例函数是指一种函数关系，其中两个变量的比例保持不变。
设x和y是两个变量，若存在常数k使得对于任意的x，有y=kx成立，则称y是x的正比例函数。
k被称为比例系数。
通常用符号y ∝ x表示两者成比例的关系。
特点1.直线关系：正比例函数的图像是一条通过原点的直线。
这是因为当x为0时，y=k×0=0，因此原点(0,0)必然在图像上。
2.比例系数：比例系数k决定了直线的斜率。
斜率为正值时表示正相关关系，斜率为负值时则表示负相关关系。
斜率的绝对值越大，变化越快，反之则变化越慢。
3.例外情况：当比例系数k为0时，该函数不再成立。
因为此时代表变量无法通过相等的乘法关系相互联系。
示例以下是几个正比例函数的示例:示例1：函数表达式：y = 2xx | -2 | 0 | 3 | 5 |y | -4 | 0 | 6 | 10 |这个函数描述了一个正相关关系，且比例系数k为2。
当x增加1个单位时，y也增加2个单位。
以原点(0,0)为起点，连接所有的点就得到了一条通过原点的直线。
示例2：函数表达式：y = 0.5xx | -4 | 0 | 2 | 6 |y | -2 | 0 | 1 | 3 |这个函数仍然描述了一个正相关关系，但比例系数k为0.5。
即当x增加1个单位时，y增加0.5个单位。
通过连接所有的点，我们得到一条斜率较小的直线。
示例3：函数表达式：y = -3xx | -3 | 0 | 2 | 5 |y | 9 | 0 | -6 | -15 |这个例子展示了一个负相关关系，当x增加1个单位时，y减少3个单位。
我们可以通过连接所有的点得到一条斜率为负的直线。
应用正比例函数在实际生活中有许多应用。
例如：1.比例尺：地图上的比例尺可以用正比例函数来表示，其中地图上的距离与实际距离之间存在着直接成比例的关系。
15正比例函数(提高)知识讲解及其练习
正比例函数（提高）【学习目标】1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数y kx =的图象；2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题．【要点梳理】要点一、正比例函数的定义1、正比例函数的定义一般的，形如y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数.2、正比例函数的等价形式（1）、y 是x 的正比例函数；（2）、y kx =（k 为常数且k ≠0）；（3）、若y 与x 成正比例；（4）、k xy =（k 为常数且k ≠0）. 要点二、正比例函数的图象与性质正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y kx =.当k ＞0时，直线y kx =经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k ＜0时，直线y kx =经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小.要点三、待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数y kx =（k 为常数，k ≠0 ）中只有一个待定系数k ，故只要有一对x ，y 的值或一个非原点的点，就可以求得k 值.【典型例题】类型一、正比例函数的定义1、若函数22432m n y x m n -+=-+-是y 关于x 的正比例函数，求m 、n 的值.【思路点拨】正比例函数的一般式为(0)y kx k =≠，要特别注意定义满足0k ≠，x 的指数为1．【答案与解析】解：由题意，得221320m n m n -+=⎧⎨-=⎩ 解得 11.5m n =⎧⎨=⎩ ∴当1, 1.5m n ==时，y 是x 的正比例函数.【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）k 不等于零；（2）x 的指数是1.举一反三：【变式】（春•凉州区校级月考）x 、y 是变量，且函数y=（k+1）x |k|是正比例函数，求K 的值．【答案】解：根据正比例函数的定义可得：k+1≠0，|k|=1，解得；k=1．2、设有三个变量x 、y 、z ，其中y 是x 的正比例函数，z 是y 的正比例函数（1）求证：z 是x 的正比例函数；（2）如果z ＝1，x ＝4时，求出z 关于x 的函数关系式.【答案与解析】解：（1）由题意，设11(0)y k x k =≠，22(0)z k y k =≠，12,k k 为常数 12z k k x =∴120,0k k ≠≠ ∴120k k ≠且为常数∴z 是x 的正比例函数；12z k k x =∴12(0)k k ≠（2）当z ＝1，x ＝4时，代入12z k k x = ∴1214k k = ∴z 关于x 的函数关系式是14z x =. 【总结升华】在本题中，按照题意，比例系数要设为不同的12,k k ，不要都设为k ，产生混淆.举一反三：【变式】已知z m y =+，m 是常数，y 是x 的正比例函数，当x ＝2时，z ＝1；当x ＝3时，z ＝－1，求z 与x 的函数关系．【答案】解：由题意，y kx =，z m kx =+ ,∵x ＝2时，z ＝1；当x ＝3时，z ＝－1，∴1＝m ＋2k ，－1＝m ＋3k解得k ＝－2，m ＝5∴z ＝－2x ＋5.类型二、正比函数的图象和性质3、（•眉山）若函数y=（m ﹣1）x |m|是正比例函数，则该函数的图象经过第 象限．【思路点拨】根据正比例函数定义可得：|m|=1，且m ﹣1≠0，计算出m 的值，然后可得解析式，再根据正比例函数的性质可得答案．【答案与解析】解：由题意得：|m|=1，且m ﹣1≠0，解得：m=﹣1，函数解析式为y=﹣2x ，∵k=﹣2＜0，∴该函数的图象经过第二、四象限．【总结升华】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握形如y=kx （k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数；正比例函数y=kx （k 是常数，k≠0），当k ＞0时，直线y=kx 依次经过第三、一象限，从左向右上升，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，直线y=kx 依次经过第二、四象限，从左向右下降，y 随x 的增大而减小．举一反三：【变式】已知正比例函数()21y t x =-的图象上一点（1x ，1y ），且1x 1y ＜0，那么t 的取值范围是（ ）A. t ＜12 B ．t ＞12 C ．t ＜12或t ＞12 D ．不确定 【答案】A ；提示：因为1x 1y ＜0，所以该点的横、纵坐标异号，即图象经过二、四象限，则2t －1＜0，t ＜12． 类型三、正比例函数的应用4、已知正比例函数4y x =的图像上有一点P(x ,y )和一点A(6，0)，O 为坐标原点，且△PAO 的面积等于12，你能求出P 点坐标吗？【思路点拨】画出草图，可知三角形的底边长为|OA|＝6，高为P 点纵坐标的绝对值，利用面积等于12求解.【答案与解析】解：依题意：1122P S OA y =⋅⋅=∵O （0，0），A （6，0）∴OA ＝6 ∴4,44p P P y y y ===-∴或41,(1,4)P y x P ==当时，此时；41,(1,4)P y x P =-=---当时，此时P 1414-综上：点的坐标为（，）或（-，）【总结升华】求点的坐标需要求点到坐标轴的垂线段的长，利用面积即可求出垂线段的长.【巩固练习】一.选择题1．下列说法中，不正确的是（ ）．A ．在21y x =+中，y 是x 的正比例函数B ．在12y x =-中，y 是x 的正比例函数C ．在xy ＝3中，y 是1x 的正比例函数D ．正方形的边长与周长为正比例关系2. 1P （1x ，1y ），2P （2x ，2y ）是正比例函数y x =-图象上的两点，则下列判断正确的是（ ）A ．1y ＞2yB ．1y ＜2yC ．当1x ＜2x 时，1y ＞2yD ．当1x ＜2x 时，1y ＜2y3.（秋•松江区校级期中）在水管放水的过程中，放水的时间x （分）与流出的水量y （立方米）是两个变量．已知水管每分钟流出的水量是0.2立方米，放水的过程共持续10分钟，则y 关于x 的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（•丽水）在直角坐标系中，点M ，N 在同一个正比例函数图象上的是（ ）A ．M （2，﹣3），N （﹣4，6）B ．M （﹣2，3），N （4，6）C ．M （﹣2，﹣3），N （4，﹣6）D ．M （2，3），N （﹣4，6）5. 正比例函数2y k x =-（k ≠0），下列结论正确的是（ ）A ．y ＞0B ．y 随x 的增大而增大C ．y ＜0D ．y 随x 的增大而减小6. 已知正比例函数y kx =（k ≠0）的图象如图所示，则在下列选项中k 值可能是（ ）A.1B.2C.3D.4二.填空题7．（春•山西校级月考）已知y 与x+1成正比例，且x=1时，y=2．则x=﹣1时，y 的值是 ．8．如图所示，直线1l 、2l 、3l 的解析式分别为1y ax =，2y bx =，3y cx =，则a 、b 、c 三个数的大小关系是________．9. 若函数()239y a x a =-+-是正比例函数，则a ＝________，图象过第______象限.10. 已知函数（k 为常数）为正比例函数，则k ＝____．此函数图象经过第______象限；y 随x 的增大而__________．11.（春•晋江市期末）在正比例函数y=（k ﹣2）x 中，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是 ．12. 已知点A （1，－2），若A ，B 两点关于x 轴对称，则B 点的坐标为______,若点（3，n ）在函数2y x =-的图象上，则n ＝_______.三.解答题13. 已知5y +与34x +成正比例，当1x =时，2y =，（1）求y 与x 的函数关系式；（2）求当1x =-时的函数值；（3）如果y 的取值范围是05y ≤≤，求x 的取值范围。
正比例函数的定义
02
正比例函数的应用
物理应用
自由落体运动
在自由落体运动中，物体的速度 与时间成正比，即速度v=gt，其
中g是重力加速度。
弹簧伸长
在弹性限度内，弹簧的伸长量与作 用在其上的力成正比，即x=F/k， 其中F是力，k是弹簧的劲度系数。
电流与电压
在纯电阻电路中，电流与电压成正 比，即I=U/R，其中U是电压，R是 电阻。
数学应用
线性回归分析
函数单调性
在回归分析中，当自变量和因变量之 间存在线性关系时，可以使用正比例 函数进行拟合。
正比例函数在其定义域内是单调递增 或递减的，取决于其系数k的正负。
斜率计算
在平面坐标系中，直线的斜率等于其 上两点间纵坐标差与横坐标差之商， 即m=(y2-y1)/(x2-x1)，当x2=x1时， 斜率不存在。
04
正比例函数与其他函数的区别与 联系
与一次函数的区别与联系
一次函数的一般形式为 $y = ax + b$，其中 $a neq 0$，而正比例函数 是特殊的一次函数，形式为 $y = kx$，其中 $k neq 0$。正比例函数可 以看作是一次函数中 $b = 0$ 的特殊情况。
正比例函数和一次函数的图像都是直线，但正比例函数的图像过原点， 而一次函数的图像不过原点。
类比学习
通过与其他函数进行类比，找出正比例函数的特殊性质和一般规律。
解题技巧
掌握解题技巧，如代数运算、函数代换等，提高解题效率。
学习建议
1 2
注重基础
在学习正比例函数时，应注重基础知识的学习， 不要急于求成。
多做练习
通过大量的练习，加深对正比例函数的理解和掌 握。
3
及时复习
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3m-2 是正比例函数， （ 1 ）若 y =5 x 练习 1 则m= 。 2 m （2）若 y (m 2) x 3 是正比例函数， 已知函数是正比 则 m = -2 。
例函数你能得到 哪些隐含条件？
（3）若 y x 则m=
m2 3
(m 2) 是正比例函数， 2 。
（4）若一个正比例函数的比例系数是-5， 则它的解析式为（ y=-5x ）
垫江十中
初二数学备课组
函数的定义：
一般地，在一个变化过程中有两个 变量x与y，并且对于x的每一个确定的 值，y都有 唯一确定的值与其对应，那 么我们就说x是自变量 ，y是x的函数．
预习：书86—87页
问题： 1、正比例函数具有怎样 的固定形式？ 2、正比例函数的解析式 有什么要求？ 3、你会求正比例函数的 解析式？
一、设所求的正比例函数解析式。
二、把已知的自变量的值和对应的函数值代入 所设的解析式，得到以比例系数k为未知数的 方程，解这个方程求出比例系数k。 三、把k的值代入后写出解析式。
练习
已知△ABC的底边BC=8cm，当BC边上 的高线从小到大变化时，△ABC的面 积也随之变化。
（1）写出△ABC的面积 y(cm2) 与高线 x(cm) 的函数解析式，并指明它是什么函数； （2）当x=7时，求出y的值。
例2：已知y与x成正比例，当x=4时，y=8， 试求y与x的函数解析式
设函数解析式为：y=kx 解：
把x=4，y=8代入y=kx ∴k=2 ∴y与x的函数解析式为：y=2x
象这样先设出函数解析式，再根据条件 确定解析式中未知的系数，从而具体写出 这个式子的方法，叫做待定系数法.
待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
l 2 r
m 7 . 8V
h 0 .5 n
T 2t
认真观察以上出现的四个函数解析式，分 别说出哪些是函数、常数和自变量．
函数解析式 函数 常量 自变量 这些函数解析式都 这些函数解
l =2πr m =7.8V
h = 0.5n T = -2t
l m h T
2π
r V n t
是常数 与自变量的 析式有什么 乘积 的形式！ 共同点？
函数=常量×自变量
7.8 0.5 -2
y ＝ k
x
y kx
（1）k是常数，且k≠0
（2）自变量x的次数是1
练习1.下列式子，哪些表示y是x的正比例函 数？如果是，请你指出正比例系数k的值． x （1）y=-0.1x （2） y 2
是正比例函数， 正比例系数为-0.1
是正比例函数， 正比例系数为0.5
（3）y=2x2
不是正比例函数
（4）y2=4x
不是正比例函数
（5）y=-4x+3
不是正比例函数
（6）y=2(x－x2 )+2x2
是正比例函数，正比例系数为2
判定一个函数是否是正比例函数，要从化简后来判断！
例题
例1.已知函数
是正比例函数， 求m的值。
y (m 1) x
m2
解： m2 ∵函数 y (m 1) x 是正比例函数， ∴ m-1≠0 m2=1 即 m≠1 m=±1 ∴ m=-1
例3 已知y与x－1成正比例，x=8时，y=6， 写出y与x之间函数关
这节课你学到了什么？
1、正比例函数的概念。
2、用待定系数法求正 比例函数的解析式。
1、写出下列个题中的X和Y的关系式，并判 断Y是否是X的正比例函数？
（1）电报收费标准是每个字0.1元，电报费Y（元） 与字数X（个）之间的函数关系. （2）地面气温是28℃，如果每升高1km，气温下 降5摄氏度，则气温X（℃）与高度Y（km）的 关系. （3）圆面积Y（c㎡）与半径X（cm）的关系.