正比例函数的概念

初中函数知识点总复习姓名正比例函数的概念一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。

正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。

正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b 中，若b＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。

正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）当K＞0时（一三象限），K越大，图像与y轴的距离越近。

函数值y随着自变量x的增大而增大．当K＜0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。

自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小．正比例函数的性质1.定义域：R（实数集）2.值域：R（实数集）3.奇偶性：奇函数4.单调性：当k>0时，图象位于象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当k<0时，图象位于象限，y随x的增大而减小（单调递减）。

5.周期性：不是周期函数。

6.对称轴：直线，无对称轴。

正比例函数解析式的求法设该正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），将已知点的坐标带入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。

另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y 值即可。

正比例函数的图像正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（x，kx）两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为0。

正比例函数图像的作法1.在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y值2.根据第一步求的x、y的值描出点3.做过第二步描出的点和原点的直线正比例函数的应用正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的。

比如斜率问题就取决于K值，当K越大，则该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然还有，y=kx 是y=k/x 的图像的对称轴。

①正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．①用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（一定）正比例关系可以用以下关系式表示：②正比例关系两种相关联的量的变化规律：对于比值为正数的,即y=kx(k>0),此时的y与x,同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？以上各种商都是一定的，那么被除数和除数．所表示的两种相关联的量，成正比例关系．注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例．例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比例关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系。

反比例函数的定义一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。

因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。

而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx-¹。

[编辑本段]反比例函数表达式y＝k／x 其中X是自变量，Y是X的函数y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x^-1y=k\x(k为常数(k≠0），x不等于0）反比例函数的自变量的取值范围①k ≠ 0; ②一般情况下, 自变量x 的取值范围是x ≠ 0 的一切实数; ③函数y 的取值范围也是一切非零实数.[编辑本段]反比例函数图象反比例函数的图象属于双曲线,曲线越来越接近X和Y轴但不会（K≠0）。

反比例函数性质1.当k>0时，图象分别位于象限；当k<0时，图象分别位于象限。

2.当k>0时.在同一个象限内，y随x的增大而；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而。

k>0时，函数在x<0上为函数、在x>0上同为函数；k<0时，函数在x<0上为函数、在x>0上同为函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|5. 反比例函数的图象既是对称图形，又是对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则b²+4k·m≥（不小于）0。

8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。

反比例函数的应用【例1】反比例函数的图象上有一点P（m, n）其坐标是关于t的一元二次方程t2-3t+k=0的两根，且P 到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式．【例2】直线与位于第二象限的双曲线相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作垂线，垂足分别为B、C，矩形ABOC的面积为6，求：（1）直线与双曲线的解析式；（2）点A、A1的坐标.一次函数【解释】函数的基本概念：一般地，在一个变化过程中，有两个变量X和Y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说X是自变量，y是x的函数。

表示为y＝Kx＋b（其中b 为任意常数,k不等于0），当b＝0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。

可表示为y=kx[编辑本段]基本定义变量：变化的量常量：不变的量自变量x和X的一次函数y有如下关系：y=kx+b （k为任意不为零常数，b为任意常数）当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。

如果有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。

x为自变量，y为因变量，k为常量，y是x的一次函数。

特别的，当b=0时，y是x的函数。

即：y=kx （k为常量，但K≠0）正比例函数图像经过。

定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。

函数性质1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b（k≠0) （k不等于0，且k，b为常数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的,坐标为(0,b).3 为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,Θ≠90°)形、取、象、交、减。

4.当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为函数，是特殊的一次函数.5.函数图像性质：当k相同，且b不相等，图像；当k不同，且b相等，图像；当k互为负倒数时，两直线垂直；当k，b都相同时，两条直线重合。

图像性质1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理]；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。

3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

4．k，b与函数图像所在象限：y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)：当k＞0时，直线必通过象限，y随x的增大而；当k＜0时，直线必通过象限，y随x的增大而。

y=kx+b时：当k>0,b>0, 这时此函数的图象经过象限。

当k>0,b<0, 这时此函数的图象经过象限。

当k<0,b>0, 这时此函数的图象经过象限。

当k<0,b<0, 这时此函数的图象经过象限。

当b＞0时，直线必通过象限；当b＜0时，直线必通过象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过象限，不会通过象限。

当k＜0时，直线只通过象限，不会通过象限。

4、特殊位置关系当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）解析式类型①[一般式]②[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③[点斜式]（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④) [两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：①所需条件较多（3个）；②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。

倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。

设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)常用公式1.求函数图像的k值：2.求与x轴平行线段的中点：3.求与y轴平行线段的中点：4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式两个一次函数y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式得到y=y0 则(x0,y0)即为y1=k1x+b1 与y2=k2x+b2 交点坐标6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母为0，则分子为0)x y+ + 在第一象限+ - 在第四象限- + 在第二象限- - 在第三象限8.若两条直线y1=k1x+b1‖y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b29.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-110.y=k（x-n）+b就是向平移n个单位y=k（x+n）+b就是向平移n个单位口诀：右减左加（对于y=kx+b来说，只改变k）y=kx+b+n就是向平移n个单位y=kx+b-n就是向平移n个单位口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）生活中的应用1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。

s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。

设水池中原有水量S。

g=S-ft。

3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b （k为任意正数）数学问题一、确定字母系数的取值范围例1 已知正比例函数，则当k<0时，y随x的增大而减小。