函数的概念及正比例函数
正比例函数及一次函数
，下列结论正确的是（ A. 函数图象必经过点（1，2） B．函数图象经过二、四象限 C． y 随 x 的增大而减小 D． y 随 x 的增大而增大
）
问题探究
如图所示，在同一直角坐标系中，正比例函数 y k1 x 、y k2 x、 y k3 x 、y k4 x的图象分别为 l1 、 l2 、 l3 、 l4 ，
待定系数法
待定系数法 y 正比例函数中只有一个待定系数 k ，故只要有一对 x ， 的值或一个非原点的点，就可以求得 k 值. 一次函数中有两个待定系数 k ，b ，需要两个独立条件 确定两个关于 k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两 y 的值. 对x ，
待定系数法
1、根据函数的图象，求函数的解析式．
22Biblioteka 一次函数的性质3.已知一次函数 y 2m 4 x 3 n ． n 是什么数时，y 随 x 的增大而增大； （1）当m 、 n 是什么数时，函数图象经过原点； （2）当 m 、 （3）若图象经过一、二、三象限，求 m 、 n 的取值范围.
一次函数的性质 4.函数 y kx k (k 0) 在直角坐标系中的图象可能是（
1、为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用 电收费标准，每月用电量(度)与应付电费(元)的关系 如图所示．根据图象求出与的函数关系式．
一次函数图像的应用
2.小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下 坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关 系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、 下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需 要的时间是( ) A.14分钟 B.17分钟 C.18分钟 D.20分钟
物理中的正比例反比例函数关系
物理中的正比例反比例函数关系正比例函数和反比例函数是物理学中非常重要的概念，被广泛应用于各种物理学问题中。
正比例函数指的是两个变量之间存在着线性关系，而反比例函数则指的是两个变量之间存在着倒数的关系。
在物理学中，这些函数关系经常出现在各种实验测试和数据记录中，因此了解和理解这些函数关系是非常重要的。
一、正比例函数的定义正比例函数是指，存在两个变量之间的线性关系，即当一个变量的值增加时，另一个变量也随之增加，且两个变量在图表上形成一条直线。
具体地说，一个变量的值随着另一个变量的值增加而增加，且增加的幅度与另一个变量的值成比例。
当我们测量一个运动物体的速度时，如果我们将时间和速度作为两个变量绘制成图表，我们会发现，当时间增加时，速度也随之增加，并形成一条经过原点的直线。
这种关系就是正比例函数关系，表达式为：v = k*t，其中v表示速度，t表示时间，k是速度和时间的比例系数。
三、正比例函数和反比例函数的应用正比例函数和反比例函数在物理学中有广泛的应用，下面分别介绍一些常见的应用：（1）正比例函数的应用在机械学中，正比例函数关系最广泛地应用于速度和加速度之间的关系。
当一个物体的速度越快，它的加速度也会越大，它受到的阻力也会越大。
而这种关系可以用正比例函数来表示，表达式为：a = k*v，其中a表示加速度，v表示速度，k是加速度和速度的比例系数。
在空气中飞行的飞机所受到的空气阻力就是一个正比例函数关系。
电阻与电流的关系也可以用正比例函数来表示。
当电路中的电流增加时，电阻也会随之增加，这是因为电流的增加会导致电路中的热量增加，而热量又会引起电阻的增加。
这种关系可以用欧姆定律来表示，即R = V/I，其中R表示电阻，V表示电压，I表示电流。
压力和体积之间的关系也可以用反比例函数来表示。
根据波义尔定理，当温度不变时，气体的体积和压力呈反比例关系，即P1V1 = P2V2，其中P1和V1表示气体压力和体积的初始值，P2和V2表示气体压力和体积的末值。
正比例函数基本概念
正比例函数是一种基本的一次函数，其定义和基本概念如下：
1. 定义：
正比例函数是形如y = kx 的数学函数，其中k 是一个非零常数（即k ≠ 0），x 是自变量，y 是因变量。
当自变量x 变化时，因变量y 会按照与x 成固定比例的方式变化。
2. 特性：
- 函数图像：正比例函数的图像是经过原点（0,0）的一条直线，斜率为k。
- 方向与斜率：当k > 0 时，图像从左下方向右上方倾斜，表示随着x 增大，y 也相应增大；当k < 0 时，图像从左上方向右下方倾斜，表示随着x 增大，y 反而减小。
- 比例系数：k 称为比例系数或斜率，它反映了y 随着x 改变的增长速度或者减少速度。
3. 一次函数与正比例函数的关系：
所有一次函数都可以写成y = mx + b 的形式，其中m 是斜率，b 是截距。
如果b = 0，那么该一次函
数就简化为正比例函数的形式，即只含有斜率项没有截距项。
4. 性质：
- 在同一坐标系中，不同的正比例函数，它们的形状都是直线，但斜率不同，因此图像的位置和倾斜程度各不相同。
- 正比例函数具有线性增长或减少的特点，不涉及任何转折点或拐点。
- 当x 的值发生变化时，y 的变化与其成正比，具体比例关系由k 确定。
综上所述，正比例函数是最简单的一类函数之一，它直观地表达了两个变量之间按一定比例相互关联的关系。
沪教版八年级数学第一学期18.1：函数的概念、正比例函数
第七讲 函数的概念、正比例函数函数的概念 一、知识点 1. 变量与常量在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫做常量. 2. 函数的定义在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果在x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，它们存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量。
3. 函数的定义域与函数值函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域. 如果y 是x 的函数，那么对于x 在定义域内取定的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x a =时的函数值.符号“()y f x =”表示y 是x 的函数，f 表示y 随x 变化而变化的规律. 二、例题讲解例1 物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系：G mg =，其中，m 表示质量，G 表示重力，9.8g =牛/千克，物体所受的重力G 是不是它的质量m 的函数？解：物体所受的重力G 随它的质量m 的变化而变化，由G mg =可知，这两个变量之间存在确定的依赖关系，所以物体所受的重力G 是它的质量m 的函数.例2 汽车的速度为50千米/时，写出汽车匀速运动时行驶的路程y （千米）关于时间x （时）的函数解析式及定义域.分析： 本题依据公式“路程=时间Ｘ速度”列出数量关系，因为时间为非负数，所以定义域为0x ≥. 解：函数解析式为50y x =，定义域为0x ≥. 例3 求下列函数的定义域：（1）23y x =+; （2）11y x =-； （3）y = 解：（1）对于整式23x +，无论x 取什么实数，它都有意义，所以函数23y x =+的定义域是一切实数；（2）对于分式11x -，当1x =时，它没有意义.所以函数11y x =-的定义域是1x ≠；（3，当12x ≥-时，它有意义，所以函数y = 域是12x ≥-.说明：求函数的定义域应该根据解析式的特征进行思考. 例4 已知()f x =12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 分析：函数与函数值是不同的概念.函数是指两个变量之间的某种关系，而函数值指的是当自变量取某一数值时，函数的一个对应值.求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，就是当12x =-时，求21y x =-+的值，只需要把12x =-代入后计算即可. 解：131322.241212f ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-==- ⎪⎝⎭⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭例5 等腰三角形的周长等于20cm ，请写出这个等腰三角形的底边长()x cm 和腰长()y cm 之间的解析式. 分析 根据周长的定义，得220x y +=，整理得20220,2xy x y -=-=， 即 1102y x =-+.函数解析式就是一个等式，求函数解析式时，有时可以利用一些现成的等式或公式，比如周长公式、面积公式等等.答案：1102y x =-+ 说明：1. 变量2x +是不是变量x 的函数？解： 对于代数式2x +，给定x 的一个值，可以求出这个代数式的一个值.所以2x +与x 有着确定的依赖关系，可以把变量2x +看做y .由函数的概念：在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果在x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的2. 对于“”中的“f ”怎样理解？答：记号“()f x ”表示“y 是x 的函数”，这个记号比较抽象，“f ”并不是表示一个变量，()f x 也不是表示“f ”与“x ”的积，而是指明在变化过程中的自变量为x ，用f 表示变量y 随着x 的变化而变化的规律；在同时研究几个函数时，应选用不同字母表示不同函数变量间相互依赖的变化规律，如()()g x h x 、等，以免引起混乱.三、 巩固练习1. 说出下列变化过程中，哪些量是常量，哪些量是变量，变量之间是函数关系吗？ （1）正方形的周长C 与它的边长a ；（2）银行一年定期存款的本金x 元与利息y 元； （3）等腰三角形顶角的度数x 与底角的度数y ； （4）长方形的宽一定时，其长与面积； （5）等腰三角形的底边长与面积；（6）关系式y x=中的y 与x .答案：（1）变量是周长C 与边长a ，是函数关系；（2）变量是本金x 元与利息y 元，是函数关系； （3）变量是顶角的度数x 与底角的度数y ，是函数关系；（4）变量是长方形的宽与面积，是函数关系； （5）变量是等腰三角形的底边长与面积，不是函数关系；（6）变量是y 与x ，不是函数关系. 2. 写出下列个函数的定义域；（1）2y x =-； （2）y =答案： 一切实数 答案：1x ≥- （3）234y x x =+-； （4）11y x =-；答案：一切实数 答案：1x ≠（5）1y x x =+； （6）y =答案：0x ≠ 答案：0x ≥≠且x 23. 在ABC 中，它的底边长是a ，底边上的高是h ，则三角形面积12S ah=，当a 为定长时，在此式子中（ A ）.A. S 、h 是变量，a 是常量B. ,,S h a 是变量，12是常量 C. ,a h 是变量，1,2S 是常量 D. S 是变量，1,,2a h是常量4. 下列函数中，自变量的取值范围是113x <<的是（ D ）.A.y =B.y =C.y = D.y = 5. 如果()f x =()3f =___6. 已知()234x f x x +=+，则()0f =___34____,f=____814_____. 7. 若12y x y -=+，则y 用x 的代数式表示为y =___211x x+-___.8. 设某种电报收费标准是每个字0.1元，写出电报费y （元）与字数x （个）之间的函数关系式，并求自变量x 的取值范围.答案：()0.10y x x x =≥且是整数 提高题1. 若函数2221x x y x --=-，则与函数值0y =对应的x 的值是（ D ）. A. 1x =-或2x =B. 1x =或2x =-C. 1x =-且2x =D. 2x = 2. 把一块边长为20厘米的正方形铁皮，四角各截去边长为x 厘米的小正方形后折成一个无盖盒子，则盒子的容积V （立方厘米）关于自变量x （厘米）的函数解析式为__()2202V x x =-__,定义域为_010x <<_. 3. 洗衣机在洗衣的过程中经历了进水、清洗、排水等过程.下图能反映洗衣机工作时的水量y （升）与时间x （分）之间关系的图像大致是（ C ）A.正比例函数 一、知识点1. 正比例函数的概念如果两个变量的每一组对应值的比值是一个非零常数，那么称两个变量成正比例.用数学符号语言记为yk x =或()0y kx k =≠.解析式形如()0y kx k =≠的函数叫做正比例函数，其中，常数k 叫做比例系数，正比例函数y kx =的定义域是一切实数.2. 正比例函数的图像和基本性质 XXX二、例题 例1 若函数()31m y m x -=-是正比例函数，则m =_________,函数的图像经过_________象限.分析 由正比例函数的解析式可知，31m -=，所以4m =.把4m =代入函数解析式，得3y x =，再由正比例函数的性质，得到它的图像经过第一、三象限. 解：4m =，图像经过第一、三象限. 例2 若y 与21x +成正比例，且函数图像经过点()3,1A -,求y 与x 的函数解析式. 分析 由y 与21x +成正比例，可以设()()210y k x k =+≠.再把点A 的坐标()3,1-代入函数解析式，即可求出k 的值，这种求函数解析式的方法叫做待定系数法.解:y 与21x +成正比例，∴ 设()()210y k x k =+≠.把点A()3,1-代入，得15k =-，()1215y x ∴=-+例3 已知点()11,x y 和()22,x y 在正比例函数()2y k x =-的图像上，当12x x >时，12y y <，那么k 的取值范围是多少？ 分析 由条件当12x x >时，12y y <，联系正比例函数的图像和性质，可知函数值y 随着x 的值增大而减小，即比例系数小于零.解 ：由题意，函数值y 的值随着x 的值增大而减小，0,2k k ∴<<例4 直角三角形的一条直角边是6，写出它的面积y 关于另一条直角边x 的函数关系式并画出这个函数的图像.解：由直角三角形的面积公式，得162x y ⨯=.()30y x x ∴=>说明：由于直角三角形的边长为正数，在画函数图像时要特别注意自变量x 的取值范围，因为定义域为X0x >，此时函数图像为一条射线，并且要除去端点.1. 如何理解正比例函数的性质：当0k >时，y 随着x 的值增大而逐渐增大，当0k <时，y 随着x 的值增大而逐渐减小？答：从解析式来看，当0k >时，若12x x <，由不等式的性质有12kx kx <，即12y y <；当0k <时，若12x x <由不等式的性质有12kx kx >，即12y y >;也可以结合正比例函数的图像去理解：当0k >时，从左往右看，直线上的点的横坐标从小到大逐渐变化，点的位置随着从低到高逐渐变化，说明此时函数值y 相应地从小到大逐渐变化.当0k <时类似.2. 学习函数的性质要掌握的一个重要数学思想是“数形结合”，学会利用函数的图像直观的研究函数的性质.三、 巩固练习 1. 填空：（1）如果正比例函数的图像过点（1，-2），那么它的解析式是_2y x =-__;函数的图像经过第__二、四__象限.（2）正比例函数2y x =-的图像上一点横坐标为2，纵坐标是__-4___, 函数值随x 的值增大而__减小___. （3）由图写直线PO 的解析式：___34y x =___. （4）某函数具有下列两条性质：① 它的图像是经过 原点（0,0）的一条直线；② y 的值随x 的值增大而增大.请你举出一个满足上述条件的函数：____2y x =_（答案不唯一）___. 2. 选择：（1）下列函数中，正比例函数的是（ B ）A.3y x =B. 32y x =- C.213x y += D. 2y x = （2）下列各点中，在直线2y x =上的点有（ A ）.A.21⎫-⎪⎪⎝⎭ B. (2,2 C. 5,10D. ()2,1-（3）函数y kx =的图像经过点（1,4），那么()2y k x=-的图像经过第（ B ）象限.P-3/2-20yXA. 一、三B. 二、四C. 一、二D. 三、四 3. 已知y 是x 的正比例函数，当2x =时，12y =（1）求y 与x 的函数解析式； （2）求当x =y 的值； （3）在直角坐标系内画出该函数的图像. 答案：（1）14y x =；（2）4y =；（3）略 4. 正比例函数2112y k x k ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的图像经过第二、四象限，求函数的解析式.答案：12y x =-5. 已知3y -与x 成正比例函数，且它的图像经过点（2,7） （1）求y 与x 的函数解析式； （2）求当4x =时，y 的值； （3）求当3y =-时，x 的值.答案：（1）23y x =+； （2）11； （3）-3 6. 如果28my mx -=是正比例函数，而且对于它的每一组非零的对应值(),x y ，有0xy <.求m 的值.答案：-37. 小明早上骑自行车离开家去学校，下图反映了小明离开家的距离y （米）与时间x （分）之间的关系.根据图像回答：（1） 小明家与学校的距离是___3000__米；（2） 小明骑自行车的平均速度是___200___米/分； （3） 写出小明汽车途中，离开家的距离y （米）与时间x （分）的函数关系式及定义域：___()200015y x x =≤≤提高题1. 正比例函数y kx =的图像上有一点A ，过点A 向x 轴作垂线，垂足为点B ，点B 的坐标为（2,0）.若三角形OAB 的面积为6，试求k 的值. 答案：3或-32. 已知正比例函数的自变量x 减小2时，对应的函数值增加4.求该正比例函数的解析式. 答案：2y x =-3. 已知点()()122,,1,A y B y -是正比例函数y kx =的图像上的两个点.若12y y >，试判断k 的取值范围. 答案：0k <家庭作业一、 填空题： 1. 若()21m y m x=+是正比例函数，则m =___1___.2. 已知函数()g x =，则()2g =___3___. 3. 在直角坐标系中，若点(),4M x -和点()3,N y 关于x 轴对称，则x y +=_7__.4. 如果正比例函数3xy =的图像过点()6,k ，那么k =___2___. 5. 已知矩形的周长为12，若矩形一边长为x ，面积为y ，则y 与x 的函数关系式及定义域是__()2606y x x x =-+<<___.6. 若等腰三角形顶角的度数为y ，底角的度数为x ，则y 与x 的函数关系式及定义域是__()1802090y x x =-<<___.7. 若等腰三角形的周长是20cm ，腰长与底边长分别是ycm 和xcm ，那么y 与x 的函数关系式为__102xy =-__,定义域为__010x <<__. 8. 若()25y a x b =+-+是正比例函数，且其图像恰为第二、四象限的角平分线，则a b +=__2__. 9. 若等腰梯形的周长为20cm ，上底长ycm ，底角为30，腰长xcm ，则y 与x 的函数关系式为__2102y x +=-__.10. 若y 成正比例，且当4x =时，3y =-则当32x =时，y =__-___. 二、选择题11. 若()2,P x y 是1P 关于y 轴的对称点，而点1P 在第三象限内，则（ A ）A. 0,0x y >>B. 0,0x y ><C. 0,0x y <<D. 0,0x y <> 12. 若点()111,P x y 与()222,P x y 在同一个正比例函数的图像上，则（ D ）A. 1212x x y y +=+；B. 1212x x y y -=-；C.1212y y x x =； D. 1221x y x y =. 13. 平面直角坐标系中有点()4,3A -,那么点A 到x 轴的距离是（ A ）A. 3 ;B. -3 ;C. 4 ;D. -4. 14. 点()11,A x y 与()11,B y y 之间的距离是（ A ）A. 11x y -；11y - ；C.D. 15. 下列问题中，两个变量成正比例的是（ D ） A. 三角形的面积一定，它的底边与底边上的高； B. 等边三角形的面积与它的高；C. 长方形的一边长确定，它的周长与另一边长；D. 商品的价格确定时，销售额与销售量；E. 点到横坐标的距离确定时，它的纵坐标与横坐标；F. 商品的价格确定时，利润与成本. 三、 简答题16. 求下列函数的定义域：（1）322612y x x x =--+； （2）y =；答案：一切实数 答案：72x ≥（3）6y x =-； （3）y =答案：126x x ≥-≠且 答案：143x <17. 已知()225f x x =-+，求()()5+13f f a f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭、、.答案：5539f ⎛⎫-=-⎪⎝⎭；()225f a a =-+；2243a a --+ 18. 已知正比例函数23y x =-. (1) 当x 取何值时，3y >-； (2) 当x 取何值时，3y =-； (3) 当x 取何值时，3y <-；(4) 画出图像，并结合图像说明理由. 答案：（1）()()999;2;3(4)222x x x <=>略 四、综合题已知函数()0y kx k =≠的图像与函数34y x =的图像关于y 轴对称，依照要求画图，并完成以下各 （1） 在函数34y x =的图像上取一点A （横坐标为4），点A 的坐标是__()4,3__;设点A 关于y 轴对称的点为A ’，那么A ’的坐标是__()4,3-__;（2） 过原点和点A ’画直线OA ’，它与直线34y x =关于y 轴对称吗？___对称____; （3） 如果在函数34y x =的图像上选取另一点B ，点B 关于y 轴对称的点B ’在直线OA ’上吗？ ________在_______;（4） 已知函数()0y kx k =≠的图像与函数34y x =的图像关于y 轴对称，那么k 的值是多少？ _____34y x =-____.x(分)。
正比例函数的概念
初中函数知识点总复习姓名正比例函数的概念一般地,两个变量x,y之间的关系式可以表示成形如y=kxk为常数,且k≠0的函数,那么y就叫做x的正比例函数;正比例函数属于一次函数,但一次函数却不一定是正比例函数;正比例函数是一次函数的特殊形式,即一次函数y=kx+b 中,若b＝0,即所谓“y轴上的截距”为零,则为正比例函数;正比例函数的关系式表示为：y=kxk 为比例系数当K＞0时一三象限,K越大,图像与y轴的距离越近;函数值y随着自变量x的增大而增大．当K＜0时二四象限,k越小,图像与y轴的距离越近;自变量x的值增大时,y的值则逐渐减小．正比例函数的性质1.定义域：R实数集2.值域：R实数集3.奇偶性：奇函数4.单调性：当k>0时,图象位于象限,y随x的增大而增大单调递增；当k<0时,图象位于象限,y随x的增大而减小单调递减;5.周期性：不是周期函数;6.对称轴：直线,无对称轴;正比例函数解析式的求法设该正比例函数的解析式为y=kxk≠0,将已知点的坐标带入上式得到k,即可求出正比例函数的解析式;另外,若求正比例函数与其它函数的交点坐标,则将两个已知的函数解析式联立成方程组,求出其x,y值即可;正比例函数的图像正比例函数的图像是经过坐标原点0,0和定点x,kx两点的一条直线,它的斜率是k,横、纵截距都为0; 正比例函数图像的作法1.在x允许的范围内取一个值,根据解析式求出y值2.根据第一步求的x、y的值描出点3.做过第二步描出的点和原点的直线正比例函数的应用正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的;比如斜率问题就取决于K值,当K越大,则该函数图像与x轴的夹角越大,反之亦然还有,y=kx 是y=k/x 的图像的对称轴;①正比例：两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量相对应的两个数的比值也就是商一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做成正比例关系．①用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的比值,一定正比例关系可以用以下关系式表示：②正比例关系两种相关联的量的变化规律：对于比值为正数的,即y=kxk>0,此时的y与x,同时扩大,同时缩小,比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定,所行的路程和所用的时间是否成正比例以上各种商都是一定的,那么被除数和除数．所表示的两种相关联的量,成正比例关系．注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量,虽然也是一种量,随着另一种的变化而变化,但它们相对应的两个数的比值不一定,它们就不能成正比例．例如：一个人的年龄和它的体重,就不能成正比例关系,正方形的边长和它的面积也不成正比例关系;反比例函数的定义一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x k为常数,k≠0的形式,那么称y是x的反比例函数;因为y=k/x是一个分式,所以自变量X的取值范围是X≠0;而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx-¹;编辑本段反比例函数表达式y＝k／x 其中X是自变量,Y是X的函数y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x^-1y=k\xk为常数k≠0,x不等于0反比例函数的自变量的取值范围①k ≠ 0; ②一般情况下, 自变量x 的取值范围是x ≠ 0 的一切实数; ③函数y 的取值范围也是一切非零实数.编辑本段反比例函数图象反比例函数的图象属于双曲线,曲线越来越接近X和Y轴但不会K≠0;反比例函数性质1.当k>0时,图象分别位于象限；当k<0时,图象分别位于象限;2.当k>0时.在同一个象限内,y随x的增大而；当k<0时,在同一个象限,y随x的增大而; k>0时,函数在x<0上为函数、在x>0上同为函数；k<0时,函数在x<0上为函数、在x>0上同为函数;定义域为x≠0；值域为y≠0;3.因为在y=k/xk≠0中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交;4. 在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2则S1＝S2=|K|5. 反比例函数的图象既是对称图形,又是对称图形,它有两条对称轴y=x y=-x即第一三,二四象限角平分线,对称中心是坐标原点;6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点m、n同号,那么A B两点关于原点对称;7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n,要使它们有公共交点,则b²+4k·m≥不小于0;8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴;反比例函数的应用例1反比例函数的图象上有一点Pm, n其坐标是关于t的一元二次方程t2-3t+k=0的两根,且P到原点的距离为根号13,求该反比例函数的解析式．例2直线与位于第二象限的双曲线相交于A、A1两点,过其中一点A向x、y轴作垂线,垂足分别为B、C,矩形ABOC的面积为6,求：1直线与双曲线的解析式；2点A、A1的坐标.一次函数解释函数的基本概念：一般地,在一个变化过程中,有两个变量X和Y,并且对于x每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说X是自变量,y是x的函数;表示为y＝Kx＋b其中b为任意常数,k不等于0,当b＝0时称y为x的正比例函数,正比例函数是一次函数中的特殊情况;可表示为y=kx编辑本段基本定义变量：变化的量常量：不变的量自变量x和X的一次函数y有如下关系：y=kx+b k为任意不为零常数,b为任意常数当x取一个值时,y有且只有一个值与x对应;如果有2个及以上个值与x对应时,就不是一次函数;x为自变量,y为因变量,k为常量,y是x的一次函数;特别的,当b=0时,y是x的函数;即：y=kx k为常量,但K≠0正比例函数图像经过;定义域：自变量的取值范围,自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合;函数性质的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k即：y=kx+bk≠0 k不等于0,且k,b为常数2.当x=0时,b为函数在y轴上的,坐标为0,b.3 为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanΘ角Θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,Θ≠90°形、取、象、交、减;4.当b=0时即y=kx,一次函数图像变为函数, 是特殊的一次函数.5.函数图像性质：当k相同,且b不相等,图像；当k不同,且b相等,图像；当k互为负倒数时,两直线垂直；当k,b都相同时,两条直线重合;图像性质1．作法与图形：通过如下3个步骤1列表2描点；一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理；3连线,可以作出一次函数的图像——一条直线;因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可;通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0,0与b2．性质：1在一次函数上的任意一点Px,y,都满足等式：y=kx+bk≠0;2一次函数与y轴交点的坐标总是0,b,与x轴总是交于-b/k,0正比例函数的图像都是过原点;3．函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系;4．k,b与函数图像所在象限：y=kx时即b等于0,y与x成正比例：当k＞0时,直线必通过象限,y随x的增大而；当k＜0时,直线必通过象限,y随x的增大而;y=kx+b时：当k>0,b>0, 这时此函数的图象经过象限;当k>0,b<0, 这时此函数的图象经过象限;当k<0,b>0, 这时此函数的图象经过象限;当k<0,b<0, 这时此函数的图象经过象限;当b＞0时,直线必通过象限；当b＜0时,直线必通过象限;特别地,当b=0时,直线通过原点O0,0表示的是正比例函数的图像;这时,当k＞0时,直线只通过象限,不会通过象限;当k＜0时,直线只通过象限,不会通过象限;4、特殊位置关系当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中K值即一次项系数相等当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数即两个K值的乘积为-1解析式类型①一般式②斜截式k为直线斜率,b为直线纵截距,正比例函数b=0③点斜式k为直线斜率,x1,y1为该直线所过的一个点④两点式x1,y1与x2,y2为直线上的两点⑤截距式a、b分别为直线在x、y轴上的截距解析式表达局限性：①所需条件较多3个；②、③不能表达没有斜率的直线平行于x轴的直线；④参数较多,计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线;倾斜角：x轴到直线的角直线与x轴正方向所成的角称为直线的倾斜角;设一直线的倾斜角为a,则该直线的斜率k=tga常用公式1.求函数图像的k值：2.求与x轴平行线段的中点：3.求与y轴平行线段的中点：4.求任意线段的长：√x1-x2^2+y1-y2^2 注：根号下x1-x2与y1-y2的平方和5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式两个一次函数y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式得到y=y0 则x0,y0即为y1=k1x+b1 与y2=k2x+b2 交点坐标6.求任意2点所连线段的中点坐标：x1+x2/2,y1+y2/27.求任意2点的连线的一次函数解析式：X-x1/x1-x2=Y-y1/y1-y2 其中分母为0,则分子为0x y+ + 在第一象限+ - 在第四象限- + 在第二象限- - 在第三象限8.若两条直线y1=k1x+b1‖y2=k2x+b2,那么k1=k2,b1≠b29.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2,那么k1×k2=-1=kx-n+b就是向平移n个单位y=kx+n+b就是向平移n个单位口诀：右减左加对于y=kx+b来说,只改变ky=kx+b+n就是向平移n个单位y=kx+b-n就是向平移n个单位口诀：上加下减对于y=kx+b来说,只改变b生活中的应用1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数;s=vt;2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数;设水池中原有水量S;g=S-ft;3.当弹簧原长度b未挂重物时的长度一定时,弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数,即y=kx+bk 为任意正数数学问题一、确定字母系数的取值范围例1 已知正比例函数,则当k<0时,y随x的增大而减小;二、比较x值或y值的大小例2. 已知点P1x1,y1、P2x2,y2是一次函数y=3x+4的图象上的两个点,且y1>y2,则x1与x2的大小关系是A. x1>x2B. x1<x2C. x1=x2D.无法确定三、判断函数图象的位置例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0,且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限典型例题例 1. 一个弹簧,不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长,伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3kg物体后,弹簧总长是,求弹簧总长是ycm与所挂物体质量xkg之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm,求自变量x的取值范围.例2 某学校需刻录一些电脑光盘,若到电脑公司刻录,每张需8元,若学校自刻,除租用刻录机120元外,每张还需成本4元,问这些光盘是到电脑公司刻录,还是学校自己刻费用较省例3 如果一次函数y=kx+b中x的取值范围是-2≤x≤6,相应的函数值的范围是-11≤y≤9.求此函数的的解析式;二次函数一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：1：y=ax^2;+bx+ca≠0,a、b、c为常数, 则称y为x的二次函数;顶点坐标2：顶点式：y=ax-h^2+k或y=ax+m^2+k 两个式子实质一样,但初中课本上都是第一个式子3：交点式与x轴：y=ax-x1x-x2重要概念：a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下;IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大;二次函数表达式的右边通常为二次三项式;x是自变量,y是x的二次函数x1,x2=-b±根号下b^2-4ac/2a 即一元二次方程求根公式求根的方法还有十字相乘法和配方法二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像,可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线;不同的二次函数图像如果所画图形准确无误,那么二次函数将是由一般式平移得到的;注意：草图要有1本身图像,旁边注名函数;2画出对称轴,并注明X=什么3与X轴交点坐标,与Y轴交点坐标,顶点坐标;抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形;对称轴为直线对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P;特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是轴即直线x=02.抛物线有一个顶点P,坐标为当-b/2a=0时,P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上;3.二次项系数a决定抛物线的当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口;|a|越大,则抛物线的开口越小;4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置;当a与b同号时即ab＞0,对称轴在y轴侧；因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号当a与b异号时即ab＜0,对称轴在y轴侧;因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时即ab＞0,对称轴在y轴左；当a与b异号时即ab＜0 ,对称轴在y轴右;5.常数项c决定抛物线与y轴交点;抛物线与y轴交于0,c6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时,抛物线与x轴有个交点;Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有个交点;Δ= b^2-4ac＜0时,抛物线与x轴;当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最值f-b/2a=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数,在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变当b=0时,抛物线的对称轴是轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=a x^2+ca≠07.特殊值的形式①当x=1时y=a+b+c②当x=-1时y=a-b+c③当x=2时y=4a+2b+c④当x=-2时y=4a-2b+c8.定义域：R值域：对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断①4ac-b^2/4a,正无穷；②t,正无穷奇偶性：偶函数周期性：无二次函数与一元二次方程特别地,二次函数以下称函数y=ax^2+bx+c,当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程以下称方程,即ax^2+bx+c=0此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根;函数与x轴交点的横坐标即为方程的根;1．二次函数y=ax^2;,y=ax-h^2;,y=ax-h^2+k,y=ax^2+bx+c各式中,a≠0的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式顶点坐标对称轴y=ax^2; 0,K x=0y=ax^2+K h,0 x=0y=ax-h^2; 0,0 x=hy=ax-h^2+k h,k x=hy=ax^2+bx+c -b/2a,4ac-b^2/4a x=-b/2a当h>0时,y=ax-h^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向平行移动个单位得到,当h<0时,则向平行移动个单位得到．当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2;向平行移动个单位,再向移动个单位,就可以得到y=ax-h^2+k的图象；当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2;向平行移动个单位,再向移动个单位可得到y=ax-h^2-k的图象；当h<0,k>0时,将抛物线向平行移动个单位,再向移动个单位可得到y=ax+h²+k的图象；当h<0,k<0时,将抛物线向平行移动个单位,再向移动个单位可得到y=ax-h²+k 的图象；在向上或向下.向左或向右平移抛物线时,可以简记为“上加下减,左加右减”;因此,研究抛物线y=ax^2+bx+ca≠0的图象,通过配方,将一般式化为y=ax-h^2;+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．2．抛物线y=ax^2+bx+ca≠0的图象：当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是-b/2a,4ac-b^2;/4a．3．抛物线y=ax^2+bx+ca≠0,若a>0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而增大．若a<0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而减小．4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：1图象与y轴一定相交,交点坐标为；2当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点Ax ,0和Bx ,0,其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0a≠0的两根．这两点间的距离AB=|x-x| =√△/∣a∣a绝对值分之根号下△另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×-b/2a－A |A为其中一点的横坐标当△=0．图象与x轴只有一个交点；当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0；当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0．5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0a<0,则当x= -b/2a时,y最小大值=4ac-b^2/4a．顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值．6．用待定系数法求二次函数的解析式1当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式：y=ax^2+bx+ca≠0．2当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大小值时,可设解析式为顶点式：y=ax-h^2+ka≠0．3当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式：y=ax-xx-xa≠0．。
正比例函数的概念
正比例函数的概念一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。
正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。
正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b 中，若b＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。
正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）当K＞0时（一三象限），K越大，图像与y轴的距离越近。
函数值y随着自变量x的增大而增大．当K＜0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。
自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小．[编辑本段]正比例函数的性质1.定义域：R（实数集）2.值域：R（实数集）3.奇偶性：奇函数4.单调性：当k>0时，图象位于第一、三象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当k<0时，图象位于第二、四象限，y随x的增大而减小（单调递减）。
5.周期性：不是周期函数。
6.对称轴：直线，无对称轴。
[编辑本段]正比例函数解析式的求法设该正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），将已知点的坐标带入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。
另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y值即可。
[编辑本段]正比例函数的图像正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（x，kx）两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为0。
[编辑本段]正比例函数图像的作法1.在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y值2.根据第一步求的x、y的值描出点3.做过第二步描出的点和原点的直线[编辑本段]正比例函数的应用正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的。
比如斜率问题就取决于K值，当K越大，则该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然还有，y=kx 是y=k/x 的图像的对称轴。
①正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．①用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（一定）正比例关系可以用以下关系式表示：②正比例关系两种相关联的量的变化规律：对于比值为正数的,即y=kx(k>0),此时的y与x,同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？以上各种商都是一定的，那么被除数和除数．所表示的两种相关联的量，成正比例关系．注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例．例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比例关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系。
正比例函数的图象和性质课件
们只相交于原点。
06
CHAPTER
03
正比例函数的性质
增减性
01
02
03
增减性
正比例函数在定义域内是 单调的，即随着x的增大 （或减小），y也相应增 大（或减小）。
增减性的判断
根据斜率k的正负来判断 。当k>0时，函数为增函 数；当k<0时，函数为减 函数。
增减性的应用
在解决实际问题时，可以 利用增减性判断函数的值 域或最值。
y=-3/x
提升练习题
01
总结词
深化理解与运用
02
03
04
题目1
已知某物体的速度v与时间t的 关系为v=kt，其中k为常数。 求该物体在t=3时的速度v。
题目2
画出函数y=0.5x和y=-0.2x的 图象，并比较它们的性质。
题目3
已知某物体的位移s与时间t的 关系为s=2t^2，求该物体在
t=5时的位移s。
斜率
1 2 3
斜率定义
正比例函数y=kx（k≠0）的斜率是k。
斜率与函数图像的关系
斜率决定了函数图像的形状和倾斜程度。当k>0 时，图像从左下到右上上升；当k<0时，图像从 左上到右下下降。
斜率的应用
在解决实际问题时，可以利用斜率判断函数的单 调性和变化趋势。
截距
截距定义
正比例函数y=kx（k≠0）的截距是0。
正比例函数的图象和性 质ppt课件
CONTENTS
目录
• 正比例函数的概念 • 正比例函数的图象 • 正比例函数的性质 • 正比例函数的应用 • 练习与思考
CHAPTER
01
正比例函数的概念
正比例函数的定义
正比例函数知识点总结初中
正比例函数知识点总结初中一、正比例函数的概念正比例函数是指函数的导数也是一个常数的函数，它的图象是一条通过原点的直线。
正比例函数的一般形式可以表示为y=kx，其中k是一个常数，称为比例系数。
当x增大时，y也随之增大，且它们之间的比值始终保持不变，这就是正比例函数的特点。
二、正比例函数的性质1. 正比例函数的图象是一条通过原点的直线，且斜率为k。
2. 正比例函数的导数恒为常数k。
3. 正比例函数与y轴平行，可以用y=kx表示。
4. 正比例函数的比例系数k决定了函数图象在坐标系中的倾斜程度和方向。
三、正比例函数的图象和性质分析1. 当k大于0时，正比例函数的图象向右上方倾斜；当k小于0时，图象向左下方倾斜。
2. 当k=0时，正比例函数的图象平行于x轴，函数的图象将是一条通过原点的水平直线。
3. 正比例函数的图象不会有拐点，因为它是一条直线。
四、正比例函数的应用1. 在现实生活中，许多问题可以用正比例函数来描述，比如速度和时间的关系、商品价格和数量的关系等。
2. 在数学学习中，正比例函数的性质可以帮助我们快速理解和求解一些数学问题。
3. 正比例函数也是其他函数的基础，通过研究与比例函数相似的函数，可以更好地理解其他类型的函数。
五、正比例函数的解题技巧1. 当给出一个问题时，首先要明确问题中涉及到的变量和它们之间的关系。
2. 根据问题中的已知条件，列出正比例函数的表达式，并通过图象或计算找出比例系数k。
3. 利用正比例函数的性质，解决问题。
4. 在实际问题中，要注意对函数图象的正确理解，避免出现计算错误。
六、常见错误及解决方法1. 误解正比例函数图象的性质，导致问题解法错误。
解决方法：加强对正比例函数图象特点的理解，多进行实例分析和练习。
2. 对正比例函数的比例系数k概念理解不清，导致计算错误。
解决方法：通过具体的实例及练习，加强对比例系数k的理解，掌握计算方法。
3. 在问题中容易混淆正比例函数和其他函数，导致问题解决错误。
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授课类型T - 函数的概念 C - 正比例函数的概念 C 正比例函数的图像与性质授课日期及时段 教学内容函数的概念知识要点一：常量和变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，而数值始终保持不变的量为常量.判断一个量是常量还是变量，需看两个方面：①看它是否在一个变化的过程中；②看它在这个变化过程中的取值情况。
知识要点二：定义在某个变化过程中有两个量x 和y ，如果在x 的允许范围内，变量y 随x 的变化而变化，它们之间存在确定的依么变 量y 叫做变量x 的函数，x 叫自变量，y 叫做因变量。
自变量与函数概念的形成过程：①一个变化过程；②两个变量；③一个量随另一个量的变化而变化。
若两个量满足上述三个条件，就说这两个量具有函数关系。
对于函数的关系，即两个变量的对应关系，有三种表示方法：（1）解析法（2）列表法（3）图象法表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式.知识要点三：定义域与函数值函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域。
求自变量的取值范围的两个依据是：（1）自变量取值范围是使函数解析式(即是函数表达式)有意义．（2）自变量取值范围要使实际问题有意义．对自变量x 在定义域内的每一个值，变量y 都有唯一确定的值与它对应。
在定义域内，取x=a 对应的y 值叫x=a 时的函数值。
有时把y 用()f x 来代替，所以x=a 时的函数值也可以用()f a 来表示。
如()()()()211,0,1,,12x f x f f f f a x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭求 理解函数概念把握三点：①一个变化过程，②两个变量，③一种对应关系。
判断两个量是否具有函数关系也以这三点为依据。
各类型函数的定义域（1）整式-----一切实数 （2）分式-----分母不为零（3）根式-------()()⎩⎨⎧≥被开方数为一切实数奇数根式被开方数偶数根式0（4）零指数-----底数≠01．汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y (千米)与行驶时间x 之间的函数关系是 。
2．圆的面积y (厘米2)与它的半径x 之间的函数关系是 。
函数的定义域：1、下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ）A ．y=2x 2中，x 取全体实数B ．y=11x +中，x 取x ≠-1的实数 C ．y=2x -中，x 取x ≥2的实数 D ．y=13x +中，x 取x ≥-3的实数 2、已知函数y=212x x -+中，当x=a 时的函数值为1，则a 的值是（ ） A ．-1 B ．1 C ．-3 D ．33、已知函数y = 2x －1x ＋2，当x=m 时的函数值为1，则m 的值为（ ） （A ） 1 （B ）3 （C ）－3 （D ）－14、函数y =x －2＋3－x 中自变量x 的取值范围是（ ）（A ）x ≥2 （B ）x ≤3 （C ）2≤x ≤3 （D ）x ≥3或x ≤21.写出下列函数关系式,并指出式中的自变量与因变量.（1）汽车油箱可贮油20kg,当汽车在公路上行驶时每小时耗油0.5kg,求t 小时后油箱剩油Q 与t 之间的关系（2）一项工程由若干个工人在30天内完成,求平均每个工人每天的工作量x 与工人人数n 之间的关系2求下列函数中自变量x 的取值范围，并求出3=x 时的函数值。
（1） y ＝2x 2＋7 （2）y ＝21+x （3） y = 2+x正比例函数的概念要点一：正比例函数的概念•一般地，形如y=kx （k•是常数，k•≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数。
注意：其中k•≠0，自变量x 的最高次幂为1.要点二：待定系数法先设出符合题意的解析式，再根据条件列出方程求出未知系数，从而写出这个式子的方法叫做待定系数法。
例1、下列函数中，是正比例函数的是( )(A) x y 3=(B) 4x y -= (C)93+=x y (D)22x y =例2、若x 、y 是变量，且函数2)1(k x k y +=是正比例函数，则k=_________．例3、已知y 与x 成正比例，且x=2时y=-6，则y=9时x=________．例4、若y 与21x +成正比例，且函数图像经过点()3,1A -．求y 与x 的函数解析式。
例5、正比例函数y kx =的图像上有一定A ，过点A 向x 轴作垂线，垂足为点B ，点B 的坐标为(2,0)，若OAB ∆的面积为6．试求正比例函数解析式．1、下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ）A ．y=4x+1B ．y=2x 2C ．y=-5xD ．y=x 2、若函数y=（2m+6）x 2+（1-m ）x 是正比例函数，则m 的值是（ ）A ．m=-3B ．m=1C ．m=3D ．m>-3；3、已知y-3与4x 成正比例，且当x =－2时y =－6，求当x =4时y 的值。
4、已知y -3与3x +成正比例，且当2x =时，5y =-．（1）求y与x的函数解析式；x=时，y的值；（2）当3y=时，x的值．（3）当7正比例函数的图像正比例函数解析式与图象特征之间的规律：正比例函数表达式y=kx （k≠0）k＞0 k＜0图 象性 质1.图象是经过原点与第一、三象限的直线；2.函数y 的值随x 的增大而增大． 1.图象是经过原点与第二、四象限的直线；2.函数y 的值随x 的增大而减少．1、正比例函数y=(m-1)x 的图象经过一、三象限，则m 的取值范围是 （ ）A.m=1B.m ＞1C.m ＜1D.m≥12.下列函数y=5x,y=-3x,y=1/2x,y=-1/3x 中，y 随x 的增大而减小的是________3. 函数y=(m-4)552--m m x 的图象是过一、三象限的一条直线，则 m =4、若正比例函数图象过点（1，2-），则该正比例函数的解析式是 .5、正比例函数图象经过P （－3，2）和（－m ，m －1），写出正比例函数解析式，并求出m 的值.一、填空题1．已知正比例函数图象上一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1︰2，则此函数解析式是 .2．若正比例函数图象过点（1，2-），则该正比例函数的解析式是 .3．若点A （a ,－3）在直线x y 3-=上，则a = .4．若函数y =(a-2)x +b+3是正比例函数，且过点（－1，3），则a= ,b= .二、在同一直角坐标平面内画出下列函数图象x y 2= x y 21=三、解答题 6、已知函数y =(a+2)x +(a 2-4),当a 为何值时，这个函数为正比例函数.7、正比例函数图象经过P （－3，2）和（－m ，m －1），写出正比例函数解析式，并求出m 的值.课后作业：（函数概念）1. 求下列函数中自变量x 的取值范围。
（1）y ＝3275-x （2） y =0)1(-x （3）y ＝91342-+x x2．小强在劳动课中要制作一个周长为80厘米的等腰三角形。
请你写出底边长y(cm)与一腰长x(cm)的函数关系式。
并写出自变量的取值范围。
3．甲乙两地相距250km ，某人骑自行车从甲地驶往乙地，每小时行驶14km/h ，t 小时后，停在途中休息，求剩余路程s 与行驶时间t 之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围。
(正比例函数)1．如果正方形边长为x ，那么它的周长y = .2．直角三角形中，一条直角边为4，另一条直角边为x ，则它的面积S = .3．已知y 与x 成正比例，且当x =－1时y =3，则y 与x 的函数关系式是 .4．在圆的周长S =2πr 中，常量是 ，变量是 .5．在y =x 41中，当x ＝12时，y = ，当y ＝12时，x = . 6．当k 时，函数y =kx －x 是正比例函数.7．以下各题成正比例关系的是………………………………………（ ）（A ） 圆的面积和它的半径（B ） 长方形的宽a 一定时，周长C 与宽b（C ） 行程问题中，当路程s 一定时，速度v 与时间t（D ） 行程问题中，当速度v 一定时，路程s 与时间t8．如果变量y 与变量x 成正比例，变量x 与变量z 成正比例，则（ ）(A) y 与z 成正比例 （B ）y 与z1成正比例 （C ）y 与z 2成正比例 （D ）y 与z 无函数关系 9、已知y －3与4x 成正比例，且当x =2时y =7，求当y =－5时x 的值.（正比例函数图象）1．y =2x 的图象经过 象限，y 随x 增大而 .2．x y 31-=的图象经过 象限，y 随x 增大而 .3．若函数y =(2k －4)x ，y 随x 增大而减小，则k 的取值范围是 .4．直线y =(2－m )x ，经过第一、三象限，则m 的取值范围是 .5．函数y =3x 、y =－2x 、y =4x 的共同点是……………………………………（ ） （A ）图象经过相同的象限 （B ）随着x 逐渐增大，y 值逐渐减小（C ）图象都经过原点 （D ）随着x 逐渐增大，y 值逐渐增大6．已知ab ﹤0，则函数x ab y =的图象经过…………………………………（ ） （A ）二、三象限 （B ）二、四象限 （C ）一、三象限 （D ）一、四象限7．正比例函数y =kx （k ≠0）的自变量增加1，函数值相应减少3，则k 的值为（ ）（A ）3 （B ）－3 （C ）31 （D ）－31 8、正比例函数y =(3k －1)x ，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围.9、已知正比例函数y =kx （k ≠0）的图象经过一、三象限，且经过P （k +2，2k +1），求k 的值.10、已知点A 坐标为（－6，0），点B(－1,a )在直线y =－3x 上，求△AOB 的面积.。