2020年沈阳市郊联体高二(上)期末数学试卷(文科)含答案解析

2020-2020学年辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知i是虚数单位，复数z满足z•i=1+i，则z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）抛物线x2=ay的准线方程为y=1，则a的值为（）A．B．﹣2 C．D．﹣43．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q4．（5分）过点（3，0）的直线与双曲线有唯一公共点，这样的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条5．（5分）《九章算术》有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第天也进一尺．以后每天减半．”假设墙厚16尺，现用程序框图描述该问题，则输出n=（）A．2 B．4 C．6 D．86．（5分）以下四个命题，其中正确的是（）A．由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀B．两个随机变量相关系越强，则相关系数的绝对值越接近于0C．在线性回归方程=0.2x+12中，当变量x每增加1个单位时，变量平均增加0.2个单位D．线性回归方程对应的直线=x+至少经过其样本数据点中的一个点．7．（5分）甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s，s分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有（）A．＞，s＜B．=，s＞C．=，s=D．=，s＜8．（5分）过点（2，﹣2）且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程是（）A．B．C．D．9．（5分）椭圆=1中，以点M（﹣1，2）为中点的弦所在的直线斜率为（）A．B．C．D．﹣10．（5分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点F2关于渐近线的对称点P恰好落在以F1为圆心、|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．3 B．C．2 D．11．（5分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．812．（5分）如图所示，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）双曲线的焦距为．14．（5分）有一个游戏，将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为、、、．15．（5分）已知点P为抛物线C：y2=4x上一点，记P到此抛物线准线l的距离为d1，点P到圆（x+2）2+（y+4）4=4上点的距离为d2，则d1+d2的最小值为．16．（5分）下列说法中①命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；②命题“若p，则q”的否命题为“若q，则p”；③若a＞b，则；④命题“”的否定为“∀x∈R，x2≠1”．正确说法的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题A：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题B：实数t使得不等式t2﹣3t﹣4＜0成立．（1）若命题A中的椭圆的离心率为，求实数t的值；（2）命题A是命题B的什么条件．18．（12分）某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布直方图如图所示．组号分组频数频率1[75，80）50.052[80，85）350.353[85，90）a b4[90，95）C d5[95，100）100.1（1）求a，b，c，d的值．（2）该校决定在成绩较好的3、4、5组用分层抽样抽取6名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？（3）在（2）的前提下，从抽到6名学生中再随机抽取2名被甲考官面试，求这2名学生来自同一组的概率．19．（12分）已知关于x的一次函数y=mx+n．（1）设集合P={﹣2，﹣1，1，2，3}和Q={﹣2，3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y=mx+n是增函数的概率；（2）实数m，n满足条件求函数y=mx+n的图象经过一、二、三象限的概率．20．（12分）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，准线与y轴的交点为Q，过点Q 的直线l，抛物线C相交于不同的A，B两点．（1）若，求直线l的方程；（2）若点F在以AB为直径的圆外部，求直线l的斜率的取值范围．21．（12分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率为，M，N分别是椭圆的上、下顶点，．（1）求椭圆E的方程；（2）若直线y=kx+m与椭圆E交于相异两点A，B，且满足直线MA，MB的斜率之积为，证明：直线AB恒过定点，并采定点的坐标．22．（12分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为（1）求圆C的直角坐标方程：（2）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|．2020-2020学年辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知i是虚数单位，复数z满足z•i=1+i，则z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：由z•i=1+i，得z=，故选：B．2．（5分）抛物线x2=ay的准线方程为y=1，则a的值为（）A．B．﹣2 C．D．﹣4【解答】解：根据题意，抛物线x2=ay的准线方程为y=1，则有﹣=1，解可得a=﹣4；故选：D．3．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【解答】解：命题p：∃x=0∈R，使x2﹣x+1≥0成立．故命题p为真命题；当a=1，b=﹣2时，a2＜b2成立，但a＜b不成立，故命题q为假命题，故命题p∧q，￢p∧q，￢p∧￢q均为假命题；命题p∧￢q为真命题，故选：B．4．（5分）过点（3，0）的直线与双曲线有唯一公共点，这样的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：根据题意，直线过点（3，0），设直线的方程为y=k（x﹣3），双曲线的方程为，即x2﹣4y2﹣4=0，则有x2﹣4k2（x﹣3）2﹣4=0，变形可得：（1﹣4k2）x2﹣24k2x﹣36k2=0，分析可得：当1﹣4k2=0，即k=±时，方程有1解，即直线与双曲线只有一个交点，当1﹣4k2≠0，即k≠±时，有△=（24k2）2﹣4（1﹣4k2）（﹣36k2）=144k2≥0，当k=0时，直线为x=0，与双曲线有2个交点，不符合题意；当k≠0时，方程有2个根，直线与双曲线有2个交点，不符合题意；则过点（3，0）与双曲线唯一公共点的直线有2条，故选：B5．（5分）《九章算术》有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第天也进一尺．以后每天减半．”假设墙厚16尺，现用程序框图描述该问题，则输出n=（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，a=1，n=1S=2不满足条件S≥16，执行循环体，a=，n=2，S=4+不满足条件S≥16，执行循环体，a=，n=4，S=8+不满足条件S≥16，执行循环体，a=，n=8，S=16+满足条件S≥16，退出循环，输出n的值为8．故选：D．6．（5分）以下四个命题，其中正确的是（）A．由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀B．两个随机变量相关系越强，则相关系数的绝对值越接近于0C．在线性回归方程=0.2x+12中，当变量x每增加1个单位时，变量平均增加0.2个单位D．线性回归方程对应的直线=x+至少经过其样本数据点中的一个点．【解答】解：对于A，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指“不出错的概率”，不是“数学成绩优秀，物理成绩就有99%的可能优秀”，∴A错误；对于B，根据随机变量的相关系数知，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，∴B正确；对于C，根据线性回归方程=0.2x+12中，当变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，C正确；对于D，线性回归方程对应的直线=x+可能不经过其样本数据点中的任何一个点，D错误．故选：C．7．（5分）甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s，s分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有（）A．＞，s＜B．=，s＞C．=，s=D．=，s＜【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲运动员成绩的平均数是=（9+14+15+15+16+21）=15，方差是=[（9﹣15）2+（14﹣15）2+2×（15﹣15）2+（16﹣15）2+（21﹣15）2]=；乙运动员成绩的平均数是=（8+13+15+15+17+22）=15，方差是=[（8﹣15）2+（13﹣15）2+2×（15﹣15）2+（17﹣15）2+（22﹣15）2]=；∴=，＜．故选：D，8．（5分）过点（2，﹣2）且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，要求双曲线与双曲线有共同渐近线，设其方程为：﹣y2=t，（t≠0）又由点（2，﹣2）在双曲线上，则有﹣（﹣2）2=t，解可得t=﹣2，则双曲线的方程为；故选：A．9．（5分）椭圆=1中，以点M（﹣1，2）为中点的弦所在的直线斜率为（）A．B．C．D．﹣【解答】解：设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆得，两式相减得，即，即，即，即，∴弦所在的直线的斜率为，故选：B10．（5分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点F2关于渐近线的对称点P恰好落在以F1为圆心、|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．3 B．C．2 D．【解答】解：由题意，设双曲线的方程为，F1（﹣c，0），F2（c，0），设一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为P，F2P与渐近线交于A，可得|PF2|=2b，A为F2P的中点，又O是F1F2的中点，∴OA∥F1P，则∠F1PF2为直角，由△MF1F2为直角三角形，由勾股定理得4c2=c2+4b2即有3c2=4（c2﹣a2），即为c2=4a2，即c=2a，则e==2．故选：C．11．（5分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，故选C．12．（5分）如图所示，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AE|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴=求得p=，因此抛物线方程为y2=3x．故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）双曲线的焦距为2．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则c==，则双曲线的焦距2c=2；故答案为：2．14．（5分）有一个游戏，将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为4、2、1、3．【解答】解：乙丙丁所说为假⇒甲拿4，甲乙所说为假⇒丙拿1，甲所说为假⇌乙拿2；故甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为4，2，1，3，故答案为：4，2，1，315．（5分）已知点P为抛物线C：y2=4x上一点，记P到此抛物线准线l的距离为d1，点P到圆（x+2）2+（y+4）4=4上点的距离为d2，则d1+d2的最小值为3．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），准线l：x=﹣1，设PK⊥准线l，垂足为K，由抛物线的定义可得|PF|=|PK|，圆（x+2）2+（y+4）4=4的圆心为M（﹣2，﹣4），半径为r=2，连接FM，当F，P，M三点共线，取得最小值．可得d1+d2的最小值为|FM|﹣r=﹣2=3．故答案为：3．16．（5分）下列说法中①命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；②命题“若p，则q”的否命题为“若q，则p”；③若a＞b，则；④命题“”的否定为“∀x∈R，x2≠1”．正确说法的序号是①④．【解答】解：①命题的逆否命题为若x=2且y=1，则x+y=3，为真命题，则原命题为真命题，故①正确，②题“若p，则q”的否命题为“若￢p，则￢q”，故②错误；③当a＞0，b＜0时，满足a＞b，则＞，即不成立；故③错误，④命题“”的否定为“∀x∈R，x2≠1”为真命题．故正确的是①④，故答案为：①④三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题A：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题B：实数t使得不等式t2﹣3t﹣4＜0成立．（1）若命题A中的椭圆的离心率为，求实数t的值；（2）命题A是命题B的什么条件．【解答】解：（1）由已知得：，解得：1＜t＜3，若椭圆离心率为，即e==，解得：t=2．（2）命题A成立的条件为1＜t＜3，由t2﹣3t﹣4＜0得﹣1＜t＜4，命题B成立的条件为﹣1＜t＜4，由此可得命题A是命题B的充分不必要条件．18．（12分）某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布直方图如图所示．组号分组频数频率1[75，80）50.052[80，85）350.353[85，90）a b4[90，95）C d5[95，100）100.1（1）求a，b，c，d的值．（2）该校决定在成绩较好的3、4、5组用分层抽样抽取6名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？（3）在（2）的前提下，从抽到6名学生中再随机抽取2名被甲考官面试，求这2名学生来自同一组的概率．【解答】解：（1）由题意得b=0.06×5=0.3，a=100×0.3=30，d=1﹣0.05﹣0.35﹣0.3﹣0.1=0.2，c=100×0.2=20．（2）三个组共有60人，∴第三组应抽6×人，第四组应抽6×人，第五组应抽6×人．（3）记第三组抽出的3人分别a，b，c，第四组抽出的2人分别d，e，第五组抽出的1人为f，从这6人中随机抽取2人，基本事件包含15个基本事件，分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）．其中2人来自同一组的情况有4种分别为：（a，b），（a，c），（b，c），（d，e），∴2人来自同一组的概率为p=．19．（12分）已知关于x的一次函数y=mx+n．（1）设集合P={﹣2，﹣1，1，2，3}和Q={﹣2，3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y=mx+n是增函数的概率；（2）实数m，n满足条件求函数y=mx+n的图象经过一、二、三象限的概率．【解答】解：（1）抽取的全部结果所构成的基本事件空间为：Ω={（﹣2，﹣2），（﹣2，3），（﹣1，﹣2），（﹣1，3），（1，﹣2），（1，3），（2，﹣2），（2，3），（3，﹣2），（3，3）}共10个基本事件（2分）设使函数为增函数的事件空间为A：则A={（1，﹣2），（1，3），（2，﹣2），（2，3），（3，﹣2），（3，3）}有6个基本事件（4分）所以，（6分）（2）m、n满足条件m+n﹣1≤0，﹣1≤m≤1，﹣1≤n≤1的区域如图所示：使函数图象过一、二、三象限的（m，n）为区域为第一象限的阴影部分∴所求事件的概率为．（12分）20．（12分）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，准线与y轴的交点为Q，过点Q 的直线l，抛物线C相交于不同的A，B两点．（1）若，求直线l的方程；（2）若点F在以AB为直径的圆外部，求直线l的斜率的取值范围．【解答】解：（1）由抛物线C：x2=4y，可得Q（0，﹣1），且直线l斜率存在，∴可设直线l：y=kx﹣1，由，得：x2﹣4kx+4=0，令△=16k2﹣16＞0，解得：k＜﹣1或k＞1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=4k，x1x2=4，∴|AB|==．∵|AB|=，∴k4﹣1=15，解得k=±2，∴直线l的方程为：y=±2x﹣1；（2）由（1）知，k＜﹣1或k＞1，x1+x2=4k，x1x2=4，∵点F在以AB为直径的圆外部，∴=x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1=，解得：k2＜2，即﹣．又k＜﹣1或k＞1，∴直线l的斜率的取值范围是（﹣，﹣1）∪（1，）．21．（12分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率为，M，N分别是椭圆的上、下顶点，．（1）求椭圆E的方程；（2）若直线y=kx+m与椭圆E交于相异两点A，B，且满足直线MA，MB的斜率之积为，证明：直线AB恒过定点，并采定点的坐标．【解答】（1）解：由题知F2（c，0），M（0，b），N（0，﹣b），可得，，∴，①由e=，得a=2c，②又a2﹣b2=c2，③由①②③联立解得：a2=4，b2=3，∴椭圆E的方程为；（2）证明：由椭圆E的方程得，上顶点M（0，），设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知，x1≠0，x2≠0．由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0．∴，，又，．由，得，即：，∴，化简得：．解得：或m=，结合x1≠0，x2≠0，可得m=．即直线AB恒过定点（0，2）．22．（12分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为（1）求圆C的直角坐标方程：（2）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|．【解答】解：（1）圆的极坐标方程：，转化为：．即：．（2）将直线的参数方程（t为参数）代入圆的直角坐标方程得：，所以：，（t1和t2为A、B的参数）．故：．。