《全程复习方略》2016届高考数学(全国通用)教师用书配套课件：第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和
(2)(必修5P62T2改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若 则
S9 =______. S3
S6 1 , S3 2
【解析】S3,S6-S3,S9-S6成等比数列，则(S6-S3)2=S3·(S9-S6),
1 2 由 S6 1 知S6 1 S3，则 S3 =S3·(S9-S6)， 4 S9 3 3 所以 S9 S3， 所以 . S3 4 4 3 答案： 4
a bn
an
(2)和的性质:
①Sm+n=Sn+qnSm;
②若等比数列{an }共2k(k∈N*)项,则
S偶 S奇 q.
S3n-S2n 仍 ③公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,______
S3n-S2n 不一定构 成等比数列,其公比为qn,当公比为-1时,Sn,S2n-Sn,______ 成等比数列.
列.(
)
)
(5)如果数列{an}为等比数列,则数列{lnan}是等差数列.(
(6)数列{an}的通项公式是an
=an,则其前n项和为S
a(1 a n ) .( n= 1 a
)
【解析】(1)错误.根据等比数列的定义可知,把“常数”改为“同一 非零常数”后结论正确. (2)错误.q=0时{an}不是等比数列. (3)错误.G为a,b的等比中项⇒G2=ab; 反之不真,如a=0,b=0,G=0. (4)错误,如数列{an}为1,-1,1,-1,„, 则数列{bn}为0,0,0,0,„不是等比数列.
3.必用技法
核心总结
看一看
(1)常用方法:基本量运算中的消元法、待定系数法、整体代入法、等 比数列的四个判定方法. (2)数学思想:函数与方程、分类讨论、转化与化归. (3)记忆口诀:等差等比两数列,通项公式n项和.数列问题多变幻,方程 化归整体算.归纳思想非常好,编个程序好思考.一算二看三联想,猜测 证明不可少.
(5)错误.等比数列{an}中可能有小于零的项,而当an<0时lnan无意义. (6)错误.当a=1时结论不成立. 答案:(1)〓 (2)〓 (3)〓 (4)〓 (5)〓 (6)〓
2.教材改编
链接教材
练一练
(1)(必修5P53T1(2)改编)在等比数列{an}中，若a1<0,a2=18,a4=8,
(3)等比数列{an}的单调性:
a1 0, a1 0, ①满足 或 q 1 0 q 1 a1 0, a1 0, 时，{a }是_____ 递减 数列； ②满足 n 或 0 q 1 q 1 a1 0, ③当 时，{an}为___ 常 数列； q 1
b.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列，则{λ an},{|an|}, { 1 },
{an2},{an·bn}, { n } (λ ≠0)仍然是等比数列；
c.在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an,an+k,an+2k,an+3k,„为等比数列，公比为qk.
a n 1 {an}为等比数列⇔ a q (n∈N*,q为非零常数) n
公式表示
等比中项
如果a,G,b成等比数列,则G叫做a,b的等比中项,此时 G2=ab _____
(2)等比数列的通项公式:
n-1 a =a q n 1 若等比数列{an}的首项是a1,公比是q,则其通项公式为________
S3
2
2
3.真题小试
感悟考题试一试Fra bibliotek(1)(2014·北京高考)设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是 “{an}为递增数列”的( A.充分不必要条件 ) B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选D.当a1<0,q>1时,{an}是递减数列;
递增 数列； 时，{an}是_____
④当q<0时，{an}为摆动数列.
(4)其他性质:
①{an}为等比数列，若a1·a2·„·an=Tn,则 Tn , T2n , T3n ， „成等比数
Tn T2n
列； ②当数列{an}是各项都为正数的等比数列时，数列{lg an}是公差为 lg q的等差数列.
【小题快练】
1.思考辨析
静心思考
判一判
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数,则这个
数列是等比数列.(
)
)
(2)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.(
(3)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.(
)
(4)如果{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数
则公比q等于(
3 A. 2 2 B. 3
)
2 C. 3 2 2 D. 或 3 3
a1 27, a1 27, a q 18, 【解析】选C.方法一：由 1 3 解得 2 或 2 q , q . a q 8, 1 3 3 2 又a1<0，因此 q . 3 4 a 4 a1q 3 8 4 方法二：由已知得 即 q2 , q2 ， 9 a 2 a1q 18 9 a 又因为a1<0，a2=18>0，所以 q 2 0, 所以 q 2 . a1 3
第三节 等比数列及其前n项和
【知识梳理】
1.必会知识 教材回扣 填一填
(1)等比数列及其相关概念: 前面 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的_____ 等比数列 一项 同一个常数 _____的比都等于___________
公 比 常数 叫做等比数列的公比,常用字 等比数列定义中的_____ 母q(q≠0)表示
(n∈N*). (3)等比数列的前n项和公式: na1 ①当公比q=1时,Sn=___.
a1 (1 q n ) a1 a n q ②当公比q≠1时,Sn= = . 1 q 1 q
2.必备结论 教材提炼 记一记
等比数列的常见性质
(1)项的性质： ①an=amqn-m; ②am-kam+k=am2(m>k,m,k∈N*). a p·a q 2 a.若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an=______=a k ;
【全程复习方略】(陕西专用)高中数学 5.5数列的综合应用配套课件 北师大版
【即时应用】 (1)思考：银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？ 提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n， 则本利和an＝a(1+rn)，属于等差模型.复利公式——设本金为 a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1+r)n，属于等 比模型.
(2)小王每月除去所有日常开支，大约结余a元.小王决定采用 零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1 年(存12次)，到期取出本金和利息.假设一年期零存整取的月 利率为r，每期存款按单利计息.那么，小王存款到期利息为 ____元.
构建数列模型
翻译 作答
分析 转化
数学问题的解 运用数列知识求解 与数列有关的 数学问题
(2)数列应用题常见模型 ①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型 是等差模型，增加(或减少)的量就是公差. ②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时， 该模型是等比模型，这个固定的数就是公比. ③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固 定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an+1的递推关系，还 是前n项和Sn与前n+1项和Sn+1之间的递推关系.
4 (2n2 3n).
3
2
9
(3)当n≥2时，bn
1 a n1a n
1 ( 2 n 1)( 2 n 1)
3 33 3
9 ( 1 1 ), 2 2n 1 2n 1
又b1
3
9 2
(1
1), 3
Sn
b1
b2
bn
9 (1 1 1 1 1 1 )
《全程复习方略》2016届高考数学配套课件第一章集(精)
圭干nil ・晒理wsra am拦升金业主干回顾•目主时区三年21考高考指数：★★★★☆考纲［I•理解命题的慨念考悄2. 了解“若小则g”形式的命题的逆命题、否命题与逆否：命题•会分析㈣种命题的相4关系3•理解充分条件、必要条件与允要条件的倉义,0“了 1 •审点考许允分条件、必耍条件与命题亢假的判断考情2.题型以选抒题为主・涉及知识广泛.屈中低档题分析；(3)充要条件:若戸丸则P是q的允力条件,q是P的必要条件養P是q的允分不必要条件PW且q小Ip是q的必要不充分条件P * q且q=>PP是q的充要条件poq * P是q的既不充分也不必要条件pRq 且qRp12 •必备结论教材提炼记一记⑴四种命题中的等价关系:原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题・在四种形式的命题中真命题的个数只能是0或2或4.(2)等价转化法判断充分条件、必要条件:P是q的充分不必要条件,等价于「q是F的充分不必要条件.其他情况依次类推.圭千a H恻突・WSM 刑提粉业(3)用集合的关系判断充分条件、必要条件:p成立的对象构成的集合为A, q成立的对象构成的集合为BP是q的充分条件AGBp是q的必要条件BCAP是q的充分不必要条件AU BP是q的必要不充分条件 B U AP是q的充要条件A=B圭千砂H恻突・WSM 刑提粉业3 •必用技法核心总结看一看(1)常用方法:充分条件、必要条件的判断方法:定义法、集合法、等价转化法.(2)数学思想:化归与转化思想.(3)记忆口诀:真假能判是命题，条件结论很清楚.命题形式有四种，分成两双同真假.若P则q真命题,P是q充分条件,q是P必要条件，原逆皆真称充要.金干wsm ami升矗业【小题快练】1 •思考辨析静心思考判一判(1)语句x2-3x+2二0是命题.()(2) —个命题的逆命题与否命题，它们的真假没有关系.();⑶命题“如果P不成立，贝归不成立”等价于“如果q成立，则p成(4) “P是q的充分不必要条件”与“P的充分不必要条件是q”表达的意义相同.()金干wsm ami升矗业【解析】⑴错误•无法判断真假,故不是命题.(2)错误.一个命题的逆命題与否命题是互为逆否命題,它们的真假性相同.⑶正确•一个命题与其逆否命题等价.(4)错误・“p是q的充分不必要条件”即为“p=>q且q R P” , “P的充■分不必要条件是q”即为“q=>p且p qq”・答案：(1) x (2) x (3) J (4) x主干突确删摂M业2•教材改编链接教材练一练(1)(选修2-1P8T2C1)改编)命题“若a,b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为【解析】“a, b都是偶数”的否定为S,b不都是偶数，” “a+b是偶数”的否定为“a+b不是偶数”，故其逆否命题为“若a+b不是偶数，則a, b不和是偶数”・答案:若a+b不是偶数，则a, b不都是偶数主干usi n制突■wsra am摂升佯业⑵(选修2-lP10T3(2)改编)“(x-a) (x-b)=O" 条件.【解析】x=a=> (x-a) (x-b) =0,反之不一定成立■0”是“沪a”的必要不充分条件.答案:必要不充分是的，因此“ (x-a) (x-b)主干IUR WfiM 蒯提粉业3.真题小试感悟考题试一试A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件主干mi 翼刖突■am 提升作业【解题提示】验证充分性与必要性. 【解析】选D ・“a>b”推不出唧卅”， 创如,2>-3,但4<9; 唧卅2”也推不出U 例如,9>4,但-3<2・（1） （2014 •北京高考）设a, b 是实数，则“a 〉b”是唧肝”的（圭干warn flrnuM 业⑵（2014 •浙江高考）设四边形ABCD 的两条对角线为AC, BD,则“四边形ABCD 为菱形”是“AC 丄BD”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A ・“四边形ABCD 为菱形” => “AC 丄BD”，“AC 丄BD”推不C.充分必要条件出“四边形ABCD 为菱形”，所以“四边形ABCD 为菱形”是“AC 丄BD”「|的充分不必要条件.圭干ngu^« warn flrnuM 业⑶（2015 •焦作模拟）已知命题a :如果x 〈3,那么x<5;命题卩：如果 xM3,那么xM5;命题丫 ：如果x$5,那么xN3•关于这三个命题之间的关系•下列三种说法正确的是（）①命题a 是命题卩的否命题,且命题Y 是命题卩的逆命题;②命题a 是命题卩的逆命题,且命题Y 是命题卩的否命题; ③命题卩是命题a 的否命题,且命题丫是命题a 的逆否命题.B.②D. (D®③【解析】选A.本题考查命题的四种形式,逆命題是把原命题中的条件 和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是- 把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错课，【典例1】⑴已知命题“若函m (x)=e-mx 在(0,+8)上是增函数，则mWl”，则下列结论正确的是()A. 否命题是“若函数f(x)=enx 在(0,+8)上是减函数则m>l”是真B. 逆命题是“若W1,则函数f(x)=efx 在(0,+8)上是增函数”是假 命题金干HUB M 摂升佯业③正确，选A ・金干HUB M 摂升佯业典彼I 吏破•‘财互ai 区考点1四种命题及其真假判断0,J命题【解题提示】⑴先判断否命题，逆命题、逆否命题是否正确,再判断其真假・’⑵写出逆命题，利用原命题与逆否命题，逆命題与否命题等价来判断.主千突理删找时业电I 【规范解答】⑴选Df (x)呵-叫由f(x)在(0,+8)上是增函数知|厂(x) > 0,即fnVZ在x€ (0,+8)上恒成立，又M>1,从而m<l,则原命題是真命题•对于A,否命题写错，故A错;对于B,逆命题写对,但逆命題是真命題,故唏;对于C,逆否命题写错,故C错;对于D.逆否命题写对, 且为真命题,故选D. 八• ｛：蟲⑵选B.由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否命题也是真;壬庄・J 而它的逆命题为假,所以它的否命题亦为假,故选B. 期■主干 nil Wfim 主干 nil Wfim 【易错警示】解答本例题(1)有两点容易出错: (1)根据f (X )是增函数求错5的取值范围. ⑵把“f(X )是增函数”的否定错误地认为是“f(X )是减函数” 【规律方法】 1.书写否命题和逆否命题的关注点 词语 是 都是 都不是 等于 大于 否定 不是 不都是 至少一个是 不等于 不大于 .•(1) 一些常见词语及其否定表示:(2)构造否命题和逆否命题的方法、注意点:①方法:首先要把条件和结论分清楚，其次把其中的关键词搞清楚.〔②注意点:注意其中易混的关键词，如“都不是”和“不都是”，其中“都不是”是指的一个也不是，“不都是”指的是其中有些不是. 2.命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断.(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断.【变式训练】命题“若f(x)是奇函数,则f (-x)是奇函数”的否命是()A.若f (力是偶函数，则f (-X)是偶函数B.若f (x)不是奇函数，贝IJf(-x)不是奇函数C.若f (-X)是奇函数，则f (x)是奇函数D.若f Cx)不是奇函数，则f (x)不是奇函数H «KI «« WfiM tmsM 业【解析】选B.条件的否定是“f (x)不是奇函数”，结论的否定是• “f(-X )不是奇函数”，故该命題的否命题是“若f(x)不是奇函数，则［4 . r F j| B. 剖=-,则tana Hl 4 D.若tana Hl,则a =- 4 【解析】选C ・原命题的逆否命題是“若tan a 工1,则a#扌” 故选C.f(-x)不是奇函数刀•金干 IUPamsM 业 ■S )金干UHI mt 提升矗业2.关于命题"若抛物线y=ax 2+bx+c 的开口向下，贝0 {x | ax 2+bx+c<0} 高频考点 多维探究 H0”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论成立的是 A.都真 B.都假 C.否命题真 D.逆否命题真 【解析】选D.原命题为真命题，则其逆否命题为真命题. 考点2充分条件、必要条件的判断 知•考情 充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形 式出现，作为一个重要载体，考査的知识面很广，几乎涉及数学知识的 各个方面，如函数、不等式、三角函数、平面向量、解析几何、立体 几何等知识.±7110 it制窝・warn 测拦升矗业命题角度1:定义法判断充分条件、必要条件明•角度【典例2】（2014 •湖北高考）设U为全集,A, B是集合，则“存在集合C使得ACC,B或yC”是“AC1B二0” 的（）A.充分而不必要的条件D.既不充分也不必要的条件B.必要而不充分的条件C.充要条件【解題提示】考查集合与集合的关系、充分条件与必要条件的判断. 【规范解答】选C.依题意,若AGC,则CuC或内当BcCuC,可得A 0 B=0；若A D B-0,不妨令C・A,显然满足AGC, BGCyC,故满足条件的集合C是存在的.命题角度2:集合法判断充分条件、必要条件【典例3】(2014 •安徽高考)“x<0”是“ln(x+l)<0”的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件WfiM WHm业【解题提示】分清条件和结论，根据充分条件、必要条件的定义判断. 【解析】选B•由ln(x+l)<0,得0<x+l<l,即-l<x<0,由于{x|-l<x<0} u {x|x<0},故“x<0”是“ln(x+l)<0”的必要不充分条件.主手II帧St WfiM 拦时业命题角度3:等价转化法判断充分条件、必要条件，冷【典例4】(2013 •山东高考)给定两个命题p,q・若F是q的必要而不充分条件,则P是F的()A.充分而不必要条件砌|B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件主干BUS貝帧■wsra 提粉业【解題提示】借助原命题与逆否命題等价判断.【规范解答】选A•因为一＞p是q的必要不充分条件,则q斗「p但- q,其逆否命题为pn—^但“！R P,所以P是「q的充分不必要条件.金干am提升佯曲悟•技法充要条件的三种判断方法⑴定义法:根据P=>q, q=»P进行判断.⑵集合法:根据p, q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断•这个方法特别适合以否定形式给出的问「" 题，如“xyHl”是“心1或yHl”的何种条件，即可转化为判断“x=l且尸1”是"xy=r的何种条件.員輙■MM amsM 曲通• 一类1. (2014 •新课标全国卷U)函数f(x)在x=x°处导数存在，若P：f z (x o)=O;q:x=x o J^f(x)的极值点，则()A. p是q的充分必要条件B. P是q的充分条件,但不是q的必要条件C. p是q的必要条件,但不是q的充分条件D・P既不是q的充分条件,也不是q的必要条件主干IUR wsw amtiM曲【解析】选C・因为若〃(x°)・0,则X。
高中数学全程学习方略配套课件：2.3.1等差数列的前n项和(人教A版必修5)
故n=13时，Sn有最大值169.
……………………12分
【误区警示】对解答本题时易犯错误的具体分析如下：
1.在等差数列{an}中，已知a1=4，a6=6，则前6项和S6=（ ）
（A）70 （Ｂ）35 （Ｃ）30 （Ｄ）12
【解析】选Ｃ．S6＝（6 a1 a6）＝6＝（340．6）
2
2
2.等差数列{an}的前ｎ项和为Sn，若a3＋a17＝10，则
1 099 100
11=0 -110190. (
2
11 50
)
故此数列的前110项之和为-110.
方法二:数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差 数列,设其公差为D,前10项和为10S10+102 9·D=S100=10 D=-22,∴S110-S100=S10+(11-1)D =100+10×(-22)=-120.
②若共有2n+1项，则S2n+1=（2n+1）an+1； S偶-S奇=-an+1；S偶∶S奇=n∶（n+1）； ③“片段和”性质： 等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k-Sk， S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为k2d的等差数列.
【例2】Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10， 求S110. 【审题指导】题目给出等差数列{an}中的S10=100， S100=10，欲求S110，可由等差数列前n项和公式列出方程 组，求出a1和d，然后求出S110.或由等差数列“片段和”性 质Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为 k2d的等差数列求出公差，然后求出S110.
【全程复习方略】(浙江专用)高考数学 5.5数列的综合应用配套课件 文 新人教A版
答案：78ar
（3）有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病
毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这
样的病毒（假设病毒不繁殖），则细菌将病毒全部杀死至少需 要______秒钟. 【解析】设需要n秒钟， 则1+21+22+…+2n-1≥100,
n 1 3(1 3 ) = 3 2 2n 1 3n 2n 3n , 1 3
∴Tn=n×3n.
【反思·感悟】1.解答本题（1）时，列出关于a1,d的方程组
是关键，求解本题（2）时，求出bn是关键.
2.利用等比数列前n项和公式时，注意公比q的取值，同时对两 种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低 题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求解．
【即时应用】
(1)思考：银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？
提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则 本利和an＝a(1+rn)，属于等差模型.复利公式——设本金为a 元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1+r)n，属于等比 模型.
（2）小王每月除去所有日常开支，大约结余a元.小王决定采 用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存 期1年（存12次），到期取出本金和利息.假设一年期零存整取 的月利率为r，每期存款按单利计息.那么，小王存款到期利息 为______元. 【解析】由题意知，小王存款到期利息为
中的数学关系 翻译 作答
构建数列模型
分析 转化
数学问题的解
运用数列知识求解 与数列有关的
高中数学全程学习方略配套课件：2.5.2等比数列习题课(人教A版必修5)
由题意可知a6=0, 即1.016a0-(1+1.01+…+1.015)a=0, a= 11.0.016161又012因. 为lg1.016=6lg1.01≈0.025 8, 所以1.016≈1.061,a=1.061≈1012 800.
1.061 1
答：每月应支付1 800元.
方法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件
1.设等比数列的前三项依次为 3，3 3，6 3，则它的第四项是 （）
（A）1 （B）8 3 （C）9 3
（D）12 15
【解析】选A.a4=a3q=aa32
a1
6 3
3=31.
3
2.等比数列{an}中， a2=2, a5= 1 , 则公比q=（ ）
4
(A) 1
(B)-2
(C)2
(D) 1
2
2
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
【例】陈老师购买安居工程集资房一套需82 000元，一次性国家 财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，陈老师已有现金28 800 元，尚缺10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷.陈老师 从借贷后第二个月开始以一定金额分6个月付清，试问每月应支付 多少元？ （不满百元凑足百元，lg1.01≈0.004 3,lg1.061≈0.025 7, lg1.07≈0.029 4)
版高中全程复习方略配套课件：5.5数列求和及通项(苏教版·数学理)
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…………三年4考 高考指数:★★★★★
内容 等差数列 等比数列
要求
A
B
C
√
√
数列求和的常用方法 1.公式法与分组求和法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和
①等差数列的前n项和公式: S nn a1 2 an_ n_ a1_ _ _ n_ _ n_ 2_ _ 1_ _ d_ _ .
②等比数列的前n项和公式:
Sn naa111,aqnqq1__a_1 _11__q_q_n ___q1.
(2)分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和 的数列组成，则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减.
【即时应用】
(1) 1 1 2 21 4 38 1 1 02 1 1 0_ _ _ _ _ _. (2)若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1，则数列{an}的前n项和
答案:(1)12 (2)1
3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互 抵消，从而求得其和.
【即时应用】
(1)数列 2 14,4 16,6 18, ,2n21 n2, 的前n项和为____.
(2)已知数列{an}的通项公式是 an
1 , 若Sn=10,则 n n1
n=_________.
【解析】(1) 2n21 n21 2(21n2n12),
Sn
1 2
4
1 46
1 68
1 2n(2n
2)
1［( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )］
224 46
2n 2n 2
1 (1 1 ) 2 2 2n 2
【全程复习方略】(广东专用)高考数学 第五章 第二节 等差数列及其前n项和名师课件 理 新人教A版
2
2
2
(3)设公差为d，则(a1+2d)2=a1(a1+3d)，即
a12+4a1d+4d2=a12+3a1d，解得a1=-4d(舍去d=0).
S3 S2 a3
4d 2d
=2.
S5 S3 a4 a5 4d 3d 4d 4d
答案:2
【互动探究】本例题(2)中条件不变，则Sn=__________.
根据不同的已知选用两个求和公式，如已知首项和公差，则使
用公式Sn=na1+
nn
1
d
，若已知通项公式，则使用公式
2
Sn= n(a1 an ) ．
2
【变式备选】(2012·广州模拟)已知等差数列{an}中,
a5=1,a3=a2+2,则S11=________.
【解析】由a3=a2+2，得公差d=a3-a2=2.由a5=a1+4×2=1，得 a1=-7，所以S11=11×(-7)+ 1110 ×2=33.
3． 2 -1与 2 +1的等差中项是______.
【解析】 2 -1与 2 +1的等差中项为 ( 2 1) ( 2 1) 2 .
2
答案: 2
4．在等差数列{an}中，a5=10，a12=31，则该数列的通项公式 为_________.
【解析】∵a5=a1+4d,a12=a1+11d,
(5)错误．根据等差数列的前n项和公式，Sn=na1+ n n 1 d
2
= d n2+(a1- d )n，显然只有公差d≠0时才是n的常数项为0的二
2
2
次函数，否则不是(甚至也不是n的一次函数，即a1=d=0时)．
最新高中数学必修课件-高中数学全程学习方略配套课件：2.1.2数列的通项公式与递推公式(人教A版必修
【思考】
【点拨】
由递推公式写出数列的项 【名师指津】由递推公式写出数列的项的方法. (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部 分的关系，依次代入计算即可; (2)解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公 式整理成用前面的项表示后面的项的形式； (3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前 面的项的形式.
an n 1
且a1=1，利用累乘法求通项即可.
=g（a n n）的形式
a n1
【规范解答】
∵an=aann1·aann12··aa12·a1
n1·n2· ·1·11. n n1 2 n
∴an= 1 .
n
【典例】（12分）已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+
ln（1+ 1 ），写出该数列的前四项并求数列的通项公式.
a n1
用an= aann1·aann12·aann32· ·aa12·a1累乘. （2）使用累乘法或迭代法要运用函数的运动变化的观点，不断
地变换递推公式中的“下标”，直到可以用首项或前几项表示是
解题的关键.
【例】设{an}是首项为1的正项数列，且
a n1 an
n. n 1
求它的
通项公式.
【审题指导】由题目知 a n 1 符n 合.
）=2+ln2+3 ln
2
=2+ln3,
…………………3分
a4=a3+ln（1+1
3
）=2+ln3+4 ln
3
=2+ln4.
…………………4分
可猜想an=2+lnn（n∈N*）.
《全程复习方略》2016届高考数学(全国通用)教师用书配套课件：热点专题突破系列(三)数列的综合应用
【典例1】(2014·湖南高考)已知数列{an}满足a1=1,|an+1-an| =pn,n∈N*. (1)若{an}是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值. (2)若p= 1 ,且{a2n-1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项
2
公式.
【解题提示】(1)由{an}是递增数列,去掉绝对值号,求出前三项,再利 用a1,2a2,3a3成等差数列,得到关于p的方程即可求解. (2){a2n-1}是递增数列,{a2n}是递减数列,可以去掉绝对值号,再利用 叠加法求通项公式.
【变式训练】(2015·宁波模拟)已知数列{an}的首项a1= 3，
3a n ,n∈N*. 2a n 1 1 (1)求证：数列{ -1}为等比数列. an (2)记Sn= 1 1 1 ，若Sn＜100，求最大正整数n. a1 a 2 an
5
an+1=
(3)是否存在互不相等的正整数m,s,n，使m,s,n成等差数列， 且am-1，as-1,an-1成等比数列？如果存在，请给出证明；如果 不存在，请说明理由.
若Sn＜100，则n+1- 1n ＜100，
3
所以满足条件的最大正整数n为99.
(3)假设存在满足条件的m,s,n,则m+n=2s,(am-1)(an-1)=(as-1)2,
n 3 因为an= n , 3 2 n 3 3m 3s 所以 ( n 1)( m 1) ( s 1) 2 . 3 2 3 2 3 2
化简,得3m+3n=2·3s. 因为3m+3n≥2· 3mn =2·3s, 当且仅当m=n时等号成立,这与m,s,n互不相等矛盾,所以假设不成立, 即不存在满足条件的m,s,n.
【全程复习方略】(广西专用)高中数学 3.5数列的综合应用配套课件 理 新人教A版
利息都是变化的，本利和为y=a(1+r)x.
(3)产值模型 原来产值为N(基础数)，平均增长率为p，则对于时间x的总产 值是y=N(1+p)x.
(4)实际问题的分类
①涉及到增长要用到等差数列；
③列出实际问题的有关表达式，转化为等差或等比数列求解.
n
q
1 q
1 q
1 q
(3)数列与不等式的综合问题是高考考查的热点内容.通常有三
种考查方式：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数
列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有 关的不等式的证明问题.
(4)数列与解析几何的综合题 数列与解析几何的综合问题，尤其是与解析几何中的点列问题 更是高考的热点问题，解决点列问题的关键是充分利用解析几 何的有关性质、公式，建立数列的递推关系或通项公式，再利
(2)由题得
bn =3n-1,bn=an·3n-1=(2n+1)·3n-1, an
Tn=3+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1
3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)×3n-1+(2n+1)×3n
则-2Tn=3+2×3+2×32+…+2×3n-1-(2n+1)×3n
n 1 3(1 3 ) = 3 2 (2n 1) 3n 2n 3n , 1 3
∴Tn=n×3n.
【反思·感悟】1.解答本题(1)时，列出关于a1,d的方程组是
关键，求解本题(2)时，求出bn是关键.
2.利用等比数列前n项和公式时，注意公比q的取值，同时对等
差、等比数列的性质，要熟悉它们的推导过程，合理使用性质，