2011-6.4同余关系
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初等数论同
推论：m个整数成为模的一个完全剩余系的充 分与必要条件是:两两对模m不同余。
注:一组数成为模m的完系的充要条件是
(1)个数=m
(2)两两关于模m不同余
常见模m的完全剩余系(简称完系） 0,1,2,…m-1做模m的最小非负完全剩余系； 当m是双数时，
或
当是m单数时，
,
叫做模m的绝对最小完全剩余系
定理1：设m是正整数，(a,m)=1,b是任意整数。
性质7
d|(a,b),(d,m)=1 则
证： 因为
，(d,m)=1 ，所以有
性质8 若
则 (a,m)=(b,m)
证：由已知a=b+mt,故 (a,m)|a, (a,m)|m,
有(a,m)|b,所以有 (a,m)|(b,m),
同理可证(b,m)|(a,m), 即(a,m)=(b,m).
性质9 若
则
证：由已知
即奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能 被11整除的数能被11整除.
规律(7)的证明 证： 一般地有 两边同乘 有并对n+1个式子相加得
即有7|a的充要条件是 7| 对模11和13同理可证。 注：这里用的是1000进制。
例1:1234567891011…2005 除以3的余数是多少.
解:因为一个数除以3的余数,即其各位数字和 除以3 的余数.所以所求余数
若x通过模m的一个完系，则ax+b也通过模m 的完系，即若a0,a1…am-1是模m的完系，则 aa0+b,aa1+b…aam-1+b也是模m的完系。
证：首先因x通过模m的一个完系，所以ax+b
有m个数，若
, 则有
这与x通过m的完系矛盾，所以ax+b中任意两 个数不同余，即ax+b也通过模m的完系。
注:一组数成为模m的完系的充要条件是
(1)个数=m
(2)两两关于模m不同余
常见模m的完全剩余系(简称完系） 0,1,2,…m-1做模m的最小非负完全剩余系； 当m是双数时，
或
当是m单数时，
,
叫做模m的绝对最小完全剩余系
定理1：设m是正整数，(a,m)=1,b是任意整数。
性质7
d|(a,b),(d,m)=1 则
证： 因为
，(d,m)=1 ，所以有
性质8 若
则 (a,m)=(b,m)
证：由已知a=b+mt,故 (a,m)|a, (a,m)|m,
有(a,m)|b,所以有 (a,m)|(b,m),
同理可证(b,m)|(a,m), 即(a,m)=(b,m).
性质9 若
则
证：由已知
即奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能 被11整除的数能被11整除.
规律(7)的证明 证： 一般地有 两边同乘 有并对n+1个式子相加得
即有7|a的充要条件是 7| 对模11和13同理可证。 注：这里用的是1000进制。
例1:1234567891011…2005 除以3的余数是多少.
解:因为一个数除以3的余数,即其各位数字和 除以3 的余数.所以所求余数
若x通过模m的一个完系，则ax+b也通过模m 的完系，即若a0,a1…am-1是模m的完系，则 aa0+b,aa1+b…aam-1+b也是模m的完系。
证：首先因x通过模m的一个完系，所以ax+b
有m个数，若
, 则有
这与x通过m的完系矛盾，所以ax+b中任意两 个数不同余，即ax+b也通过模m的完系。
第二章同余与同余式
可见S中的数可分成(p-3)/2对, 每一对数a和b, 满
足 abl(mod p), 故得2·3…(p-2) (mod p), 即可得
(p-1)! -1 (mod p).
定理 (威尔逊定理) p为素数 iff (p-l)!-1(mod p).
充分性: 若(p-1)! = -l (mod p), 则 p为素数.
解： 2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年 7个平年，即有“366×2+365×7”天。 ∵ 366×2≡2×2≡4（mod 7）， 365×7≡1×7≡0（mod 7）， ∴366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7） 答：2010年的国庆节是星期五。
同余的应用举例
的弃九数与其模9的余数相等。
利用这种方法可以验算较大整数的加法、减法、乘 法运算的结果是否正确，也可验算除法，但需转化 成乘法。
弃九法
例1 验算 851+346=1198．
解： 先分别求出两个加数的弃九数与和的弃九数．
851、346的弃九数分别是5，4，1198的弃九数1． 两个加数的弃九数相加得4+5=9，弃掉9后是0，而题 目中和的弃九数是1，可以说这道题一定错误。 注：利用弃九法检验运算的结果是否正确时，
同余的应用1：国际图书标准(ISBN编码) ISBN是international standard of book number 的缩写，即国 际标准图书编号。ISBN是国际通用的图书或独立的出版物(除定期出版 的期刊)代码。出版社可以通过ISBN清晰地辨认所有非期刊书籍。一个 ISBN只有一个或一份相应的出版物与之对应。新版本如果在原来旧版 的基础上没有内容上太大的变动，在出版时也不会得到新的ISBN号码。 当平装本改为精装本出版时，原来相应的ISBN号码也应当收回。 国际标准图书编号问世后，很快得到推广，主要是因为它对出版 商、书商的工作有很大的益处，体现在:国际标准书号是机读的编码， 从图书的生产到发行、销售始终如一，对图书的发行系统起了很大的 作用;它的引入使图书的定购、库存控制、账目和输出过程等任何图书 业的分支程序都简化了;国际标准书号也对图书馆和文献中心的订购、 采选、编目和流通程序都有促进作用;ISBN系统的引入也服务于书目信 息的流动和使用，而且为一个国家的图书生产提供经济的书目控 制;ISBN对图书市场更有效率，它能确定国际上出版的任何图书及其出 版社。在书业中习惯称ISBN为库藏码(Stock Number)，就是因为其被 普遍应用于书库管理。
足 abl(mod p), 故得2·3…(p-2) (mod p), 即可得
(p-1)! -1 (mod p).
定理 (威尔逊定理) p为素数 iff (p-l)!-1(mod p).
充分性: 若(p-1)! = -l (mod p), 则 p为素数.
解： 2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年 7个平年，即有“366×2+365×7”天。 ∵ 366×2≡2×2≡4（mod 7）， 365×7≡1×7≡0（mod 7）， ∴366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7） 答：2010年的国庆节是星期五。
同余的应用举例
的弃九数与其模9的余数相等。
利用这种方法可以验算较大整数的加法、减法、乘 法运算的结果是否正确，也可验算除法，但需转化 成乘法。
弃九法
例1 验算 851+346=1198．
解： 先分别求出两个加数的弃九数与和的弃九数．
851、346的弃九数分别是5，4，1198的弃九数1． 两个加数的弃九数相加得4+5=9，弃掉9后是0，而题 目中和的弃九数是1，可以说这道题一定错误。 注：利用弃九法检验运算的结果是否正确时，
同余的应用1：国际图书标准(ISBN编码) ISBN是international standard of book number 的缩写，即国 际标准图书编号。ISBN是国际通用的图书或独立的出版物(除定期出版 的期刊)代码。出版社可以通过ISBN清晰地辨认所有非期刊书籍。一个 ISBN只有一个或一份相应的出版物与之对应。新版本如果在原来旧版 的基础上没有内容上太大的变动，在出版时也不会得到新的ISBN号码。 当平装本改为精装本出版时，原来相应的ISBN号码也应当收回。 国际标准图书编号问世后，很快得到推广，主要是因为它对出版 商、书商的工作有很大的益处，体现在:国际标准书号是机读的编码， 从图书的生产到发行、销售始终如一，对图书的发行系统起了很大的 作用;它的引入使图书的定购、库存控制、账目和输出过程等任何图书 业的分支程序都简化了;国际标准书号也对图书馆和文献中心的订购、 采选、编目和流通程序都有促进作用;ISBN系统的引入也服务于书目信 息的流动和使用，而且为一个国家的图书生产提供经济的书目控 制;ISBN对图书市场更有效率，它能确定国际上出版的任何图书及其出 版社。在书业中习惯称ISBN为库藏码(Stock Number)，就是因为其被 普遍应用于书库管理。
§3同余课件详解
证：由已知得：a1d b1d(modm),由定理1得 m (a1d b1d ),从而m (a1 b1)。所以，a1 b1(modm)
注意：若没有(d , m) 1的条件，不能成立！
反例：取m 4,a 6,b 10,d 2, 有6 10(mod 4),但3 5(mod 4)不能成立.
2021/3/24
数学与财经学院
2
中学数学竞赛
1、今天是星期一，再过100天是星期几？ 再过1010 天呢？
2、3145×92653=2910 93995的横线处漏写了一个 数字，你能以最快的办法补出吗？
3、13511，13903，14589被自然数m除所得余数 相同，问m最大值是多少？
4、你知道777 的个位数是多少吗？
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9
6. a b (mod m)，k > 0，kN ，则 1）ak bk (mod mk)；
2) a b (mod m), 其中d | a, d | b, d | m
dd
d
证：a b(mod m) m|a b mk|k(a b)
ak bk(mod mk).
证：a b(mod m) m|a b d|a b a b(modd ).
9. 若a b (mod m) ，则 (a, m) = (b, m)； 证：a mq1 r (a,m) (m,r), 同理，b mq2 r (b,m) (m,r).
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11
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3
§3.1 同余的概念及其基本性质
一、同余 1.定义1 给定正整数m，如果用m去除任意的
两个整数a与b所得的余数相同，则称a与b对
注意：若没有(d , m) 1的条件，不能成立！
反例：取m 4,a 6,b 10,d 2, 有6 10(mod 4),但3 5(mod 4)不能成立.
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中学数学竞赛
1、今天是星期一，再过100天是星期几？ 再过1010 天呢？
2、3145×92653=2910 93995的横线处漏写了一个 数字，你能以最快的办法补出吗？
3、13511，13903，14589被自然数m除所得余数 相同，问m最大值是多少？
4、你知道777 的个位数是多少吗？
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9
6. a b (mod m)，k > 0，kN ，则 1）ak bk (mod mk)；
2) a b (mod m), 其中d | a, d | b, d | m
dd
d
证：a b(mod m) m|a b mk|k(a b)
ak bk(mod mk).
证：a b(mod m) m|a b d|a b a b(modd ).
9. 若a b (mod m) ，则 (a, m) = (b, m)； 证：a mq1 r (a,m) (m,r), 同理，b mq2 r (b,m) (m,r).
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§3.1 同余的概念及其基本性质
一、同余 1.定义1 给定正整数m，如果用m去除任意的
两个整数a与b所得的余数相同，则称a与b对
第2章 同余
2.1同余的概念及一次同余式
证明 1 自反性,显然m|a-a ,故a≡a(mod m); 2 对称性 如果a≡b(mod m); 即m|a-b ,从而 m|b-a 因此, b≡a(mod m); 3 传递性 如果a≡b(mod m); b≡c(mod m); 则m|a-b,m|b-c 从而,m|(a-b+b-c), 也就是 m|a-c ,及a≡c(mod m);
2.2剩余类及完全剩余系
定理3 若a0,a1,…,am-1是模m的一完全剩余系,a和c是任意 二整数且(a,m)=1, 则aa0+c, aa1+c, …,aam-1+c也 是模m的一完全剩余系. 证明:由定理2,只需证明当a0,a1,…,am-1是模m的一 完全剩余系时, aa0+c, aa1+c, …,aam-1+c两两模m 不同余就可以了 采用反正法,假设,存在ai和ak(i≠k),使得 aai+c≡ aak+c(modm) ⇒m|a(ai-ak) , 又(a,m)=1 从而 m|ai-ak ,即ai和ak同余,矛盾
背包公钥密码（续）
加密过程 取正整数u,m，使得a1+a2 +…+an-1 +an <m, (u,m)=1,u,m作为密钥，只有接收方知道； bi ≡ uai (mod m). b1 , b2 … bn为公钥 （ m1, m2, L, mn ）为明文 s=a1x1 + a2x2 + L + anxn
2.2剩余类及完全剩余系
定义1 给定正整数m，对于任意整数a，称集 合 Ca = { c；a ≡ c (mod m)，c∈Z }是模m的一 个剩余类。 一个剩余类中的任一数叫做该类 的剩余或者代表元。若r0，r1,…, rm-1是m个整 数,并且其中任何两个数都不在剩余类里,则 r0，r1,…, rm-1 称为模m的一个完全剩余 从定义可以看出,模m的剩余类有m个 C0, C1,…, Cm-1,
2.同余的性质-人教A版选修4-6初等数论初步教案
同余的性质-人教A版选修4-6 初等数论初步教案教学目标1.了解同余的定义和常见性质2.能够通过同余的性质简化计算3.能够应用同余的性质解决实际问题教学重点1.同余的定义和性质2.同余的应用教学难点1.同余的性质证明2.同余的应用题目解题教学过程导入同学们在学习取模运算时，一定还记得取模运算的定义：对于任意整数a、b和正整数n，称a与b模n同余，当且仅当n|(a-b)，记作a≡b(mod n)。
这个定义中的“≡”是同余符号，n称为模数。
换句话说，a与b模n同余，表示a和b除以n所得的余数相同。
了解同余的性质同余具有如下性质：1.自反性：a≡a(mod n)，即任意整数a在模n下与自己同余。
2.对称性：若a≡b(mod n)，则必有b≡a(mod n)，即两个整数在模n下同余，互相转换不影响同余关系。
3.传递性：若a≡b(mod n)，b≡c(mod n)，则必有a≡c(mod n)，即若两个整数在模n下同余，而它与另一个整数又同余，则三个整数在模n下同余。
4.加法性：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a+c≡b+d(mod n)，即两个同余的整数相加或相减，其结果也与模数取模后同余。
5.乘法性：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则ac≡bd(mod n)，即两个同余的整数相乘，其结果与模数取模后同余。
应用同余的性质同余简化计算同余关系具有加减乘除的性质，可以通过同余简化计算或判断两个数是否同余。
例如：1.计算3^2019的个位数由于3^4≡1(mod 10)，因此32019≡33(mod 10)，即32019的个位数等于33=27的个位数2。
2.判断134和53是否同余由于13≡3(mod 5)，因此134≡34(mod 5)，即134和34在模5下同余。
而5^3≡0(m od 5)，因此134和53不在模5下同余。
同余判定同余关系可用于判断整数是否能整除，或整数的奇偶性等。
小学奥数―同余问题
04
同余问题的应用实例
数字问题
数字的整除问题
密码学中的同余问题
计算机算法中的同余问题
数字的余数问题
图形问题
棋盘问题：在棋盘上利用同余原理解决相关问题，如象棋、围棋等棋局的胜负判断
图形问题：同余问题在几何图形中的应用，如计算图形的面积、周长等
拼图问题：利用同余原理解决拼图问题，如拼凑出指定的图形
03
同余问题的解题方法
枚举法
定义：通过一一列举所有可能的情况来解决问题的方法
适用范围：适用于问题较简单、答案个数较少的情况
解题步骤：逐一列举所有可能的情况，并逐一验证每种情况是否符合题目的要求，从而找到符合条件的答案
注意事项：列举时要注意全面、不遗漏，同时要善于总结规律，提高解题效率
代数法
定义：通过代数运算和等式性质解决同余问题的方法
计算机科学：同余定理在计算机科学中的应用，如模运算和取模运算
物理学：同余定理在物理学中的应用，如量子力学和相对论
05
同余问题的练习题及解析
同余问题的练习题
题目：从1至100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？
题目：在黑板上写有一串数：1、2、3、…、2011、2012，任意擦去几个数，写上被擦去的几个数的和被11除所得的余数（如：擦去8、9、10、11、12，因为(8+9+10+11+12)/11=4…6），如：写上6，这样操作下去，一直到黑板上只剩下一个数，则这个数是多少？
同余问题的应用：同余问题在数论、代数、组合数学等领域有广泛的应用。
同余问题的基本性质：同余问题具有一些基本性质，如模运算的消去律、模运算的交换律和结合律等。
同余问题的解题方法：解决同余问题的方法包括利用同余式的性质进行变形、利用模的性质进行推导、利用代数方程的解法等。
数论中的同余关系与应用
数论中的同余关系与应用数论是数学的一个重要分支，研究整数及其性质。
其中，同余关系是数论中的一个重要概念，它在密码学、模运算等领域中有着广泛的应用。
同余关系是指两个数除以同一个数所得的余数相等。
设a、b为整数，m为正整数，则a与b对模m同余，记作a≡b (mod m)。
简单来说，如果两个数除以同一个数所得的余数相等，那么它们满足同余关系。
例如，10除以4和14除以4的余数都为2，所以10≡14 (mod 4)。
同余关系在数论中有许多重要的性质。
首先，同余关系是一种等价关系，满足自反性、对称性和传递性。
即对于任意整数a，有a≡a (mod m)，对于任意整数a、b，若a≡b (mod m)，则b≡a (mod m)，对于任意整数a、b、c，若a≡b (mod m)且b≡c (mod m)，则a≡c (mod m)。
其次，同余关系还满足加法与乘法的性质。
即对于任意整数a1、a2、b1、b2，若a1≡b1 (mod m)且a2≡b2 (mod m)，则a1+a2≡b1+b2 (mod m)，a1a2≡b1b2 (mod m)。
同余关系在密码学中有着广泛的应用。
其中一个重要的应用是在信息加密中的模运算。
模运算是指将一个数除以另一个数后得到的余数。
在密码学中，常常用模运算来对信息进行加密和解密。
通过选择合适的模数和密钥，可以实现信息的安全传输。
同时，同余关系还应用于素数的判断。
素数是指只能被1和自身整除的正整数。
利用同余关系可以判断一个数是否为素数。
若n为一个正整数，若对于任意小于n的整数a，a的n次方减去a除以n所得的余数等于0，即a^n ≡ a (mod n)，则n有可能是一个素数。
除了密码学和素数判断，同余关系还有许多其他的应用。
例如，在日历计算中，可以利用7的同余关系来确定星期几；在校园卡计算机系统中，可以利用同余关系来进行余额判断和消费记录查询；在电子电路中，可以利用同余关系来确定电压与电流之间的关系。
人教版A版高中数学选修4-6同余的概念
例3与例4的比较:
⑴a+km≡b (modm)并非理所当然地就有 b≡ a +km (modm) ,仅当关系满足自反律时才能成立。
⑵前者根据同余的定义证明的,而后者是应用定理 3.1证明的。
同余的性质
1.同余的基本性质: 在数学中, 具有自反律, 对称律, 传递
律的关系称之为等价关系。同余关系就是一种等价关系。也 就是说,由同余的定义可以得到。
同余的概念
定义 假定两个整数a,b对于正整数m，有
a＝mq1+r1 ,( 0≤r1<m )， b＝mq2+r2，( 0≤r2<m )，
并且
r1 ＝ r2 ,
那么我们就称a 与b 对(关)于模m同余,用符号表示为
a ≡ b (modm)或a ≡ b (m).
假定上面的r1 ≠ r2, 我们就说两个整数a 与b关于模 m不同余,用符号 a ≡ b (modm)或a ≡ b (m)表示。 例如,31 ≡ 9(mod11),31 ≡ 9(mod10)。
a的对于模m的最小非负剩余
注意：例1(1)的结果说明每一整数a恰与0， 1，…，m－1中的一个数对于模m同余。 通常称余数r (0≤r<m)为a的对于模m的最 小非负剩余．而0，1，…，m－1则称为 模m的最小非负剩余系。
例1(2)的结果是我们以后利用同余知 识解决求余数问题的依据。
例2 求证；如果a ≡ b (modm) ，那么 a+km≡b(modm)，这里k为整数。
例5 求证 若a≡b(modm)，则(a, m)=(b, m)．
证明 因为a ≡ b (modm)，所以m|(a－b)。 即存在 整数q，使得a＝mq+b ，设d1是a，m的公约数，则 d1|a ，d1| m，又因为 b= a－mq，所以d1| b；
⑴a+km≡b (modm)并非理所当然地就有 b≡ a +km (modm) ,仅当关系满足自反律时才能成立。
⑵前者根据同余的定义证明的,而后者是应用定理 3.1证明的。
同余的性质
1.同余的基本性质: 在数学中, 具有自反律, 对称律, 传递
律的关系称之为等价关系。同余关系就是一种等价关系。也 就是说,由同余的定义可以得到。
同余的概念
定义 假定两个整数a,b对于正整数m，有
a＝mq1+r1 ,( 0≤r1<m )， b＝mq2+r2，( 0≤r2<m )，
并且
r1 ＝ r2 ,
那么我们就称a 与b 对(关)于模m同余,用符号表示为
a ≡ b (modm)或a ≡ b (m).
假定上面的r1 ≠ r2, 我们就说两个整数a 与b关于模 m不同余,用符号 a ≡ b (modm)或a ≡ b (m)表示。 例如,31 ≡ 9(mod11),31 ≡ 9(mod10)。
a的对于模m的最小非负剩余
注意：例1(1)的结果说明每一整数a恰与0， 1，…，m－1中的一个数对于模m同余。 通常称余数r (0≤r<m)为a的对于模m的最 小非负剩余．而0，1，…，m－1则称为 模m的最小非负剩余系。
例1(2)的结果是我们以后利用同余知 识解决求余数问题的依据。
例2 求证；如果a ≡ b (modm) ，那么 a+km≡b(modm)，这里k为整数。
例5 求证 若a≡b(modm)，则(a, m)=(b, m)．
证明 因为a ≡ b (modm)，所以m|(a－b)。 即存在 整数q，使得a＝mq+b ，设d1是a，m的公约数，则 d1|a ，d1| m，又因为 b= a－mq，所以d1| b；
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6.4同余关系 6.4同余关系
是从A到 的同态映射 的同态映射， 又g是从 到A’的同态映射，所以有 是从
△’g(a)=g(△a)= △’g(b)=g(△b)
故△a~ △b，这说明 在运算△下是可保持的。 在运算△ ，这说明~在运算 下是可保持的。 (ii)若a~b且c~d,且有 若 且有g(a)=g(b),g(c)=g(d),所以 且 且有 所以 g(a)*’g(c)=g(b)*’g(d),又因 是从 到A’的同态映射， 又因g是从 的同态映射， 又因 是从A到 的同态映射 所以有g(a)*’g(c)=g(a*c)=g(b)*’g(d)=g(b*d) 所以有 这说明等价关系~在运算 下是可保持的。 故a*c~b*d,这说明等价关系 在运算 下是可保持的。 这说明等价关系 在运算*下是可保持的 可得， 是代数系统 上的同余关系。 是代数系统A上的同余关系 由(i)(ii)可得，~是代数系统 上的同余关系。 可得
△a -△b=(a+b)(a-b)=(a+b)*n*k，即△a≡ △b
整数m
2011-12-1
yuliang@
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6.4同余关系 6.4同余关系
代数系统上的同余关系： 代数系统上的同余关系：
是一个代数系统， 是载体 是载体S上的 设A=<S,*, △>是一个代数系统，~是载体 上的 是一个代数系统 等价关系，若~在A上的所有运算下都是可保持 等价关系， 在 上的所有运算下都是可保持 为代数系统A上的同余关系 的，则称~为代数系统 上的同余关系。 则称 为代数系统 上的同余关系。
2011-12-1
yuliang@
1
6.4同余关系 6.4同余关系
a b
△a △b △c △d a*c b*d
a b
c d
△’[a]=[△a] △’[c]=[△c]
c dLeabharlann [a]*’[c]=[a*c]
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6.4同余关系 6.4同余关系
运算上的同余关系： 运算上的同余关系：等价关系在运算下的可保
持性是指参与运算的对应元素， 持性是指参与运算的对应元素，如果在同一个等价 类中，则运算后所得的结果也必在同一个等价类中。 类中，则运算后所得的结果也必在同一个等价类中。
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6.4同余关系 6.4同余关系
例题1】 【例题 】
是整数集合I上的普通加法运算 设+是整数集合 上的普通加法运算，~是I上的模 是整数集合 上的普通加法运算， 是 上的模 k (k∈I+)相等关系，问~在运算 上是否是 上的 相等关系， 在运算+上是否是 相等关系 在运算 上是否是I上的 同余关系？ 同余关系？ 分析：任意 和 有 分析：任意a,b和c,d有： a≡b(mod k) 其实就是 其实就是a-b=n*k c≡d(mod k) 其实就是c-d=m*k 其实就是 那么(a+c)-(b+d)=(m+n)*k，即(a+c) ≡(b+d)(mod k) ， 那么
△ ~
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a1 a4 a3
a2 a3 a2
a3 a4 a1
a4 a2 a3
a5 a1 a5
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6.5小结 6.5小结
商代数：由等价关系R可以得到代数系统 可以得到代数系统A的载体 商代数：由等价关系 可以得到代数系统 的载体
的一个划分，以这个划分为新的载体， 的一个划分，以这个划分为新的载体，按照原运算 的规则建立等价类之间新的运算，这样得到的代数 的规则建立等价类之间新的运算， 系统是原代数系统的商代数。 系统是原代数系统的商代数。
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6.5商代数 6.5商代数
商代数定义: 商代数定义 设A=<S,*, △,k>是一个代数系 是一个代数系 上的同余关系， 关于 关于~的商代数 统，~是A上的同余关系，A关于 的商代数 是 上的同余关系 A/~=<S/~,*’, △’,[k]>。其中 。
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6.4同余关系 6.4同余关系
『定理』 定理』
是从代数系统A=<S,*, △,k>到A’=<S’,*’, 设g是从代数系统 是从代数系统 到
△’,k’>的一个同态映射，如果在 上定义二元关 的一个同态映射， 的一个同态映射 如果在A上定义二元关
系R为:<a,b>∈R 当且仅当 为 ∈ g(a)=g(b) 那么， 是 上的一个同余关系 上的一个同余关系。 那么， R是A上的一个同余关系。 证明： 若 证明：(i)若a~b,则g(a)=g(b), △’g(a) = △’g(b)。 则 。
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6.5商代数 6.5商代数
例题】 【例题】
代数系统A=<S, △,~>，其中 代数系统 ，其中S={a1,a2,a3,a4,a5},一 一 元运算△ 由下表所示的运算表定义。 元运算△和~由下表所示的运算表定义。又S上 由下表所示的运算表定义 上 的等价关系R产生的 上的划分 的等价关系 产生的S上的划分 产生的 л= {{a1,a3},{a2,a5},{a4}} (a)证明：R是A上的同余关系。 证明： 是 上的同余关系 上的同余关系。 证明 (b)给出 给出A/R。 给出 。
6.4同余关系 6.4同余关系
同余的定义
运算上的同余关系： 运算上的同余关系：设A=<S,*,△>是一个代数 是一个代数 系统，~是载体 上的等价关系，任取 是载体S上的等价关系 系统， 是载体 上的等价关系，任取a,b,c∈S。 。 (1)当a~b时，若△a~△b,则等价关系 在一元运算 当 则等价关系~在一元运算 时 则等价关系 是关于运算△ △下是可保持的，称~是关于运算△同余关系。 下是可保持的， 是关于运算 同余关系。 (2)当a~b和c~d时，若有 当 和 时 若有a*c~b*d，则等价关系 在 ，则等价关系~在 二元运算*下是可保持的， 是关于运算*同余 二元运算 下是可保持的，称~是关于运算 同余 下是可保持的 是关于运算 关系。 关系。
△’[a]=[△a] [a]*’[b]=[a*b]
注意： 是集合的集合 即等价类的集合， 是集合的集合， 注意：S/~是集合的集合，即等价类的集合，
形如： 形如：{[a], [b], …} *’, △’是集合之间的运算 是集合之间的运算 [k]是代数常元的集合 是代数常元的集合
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6.4同余关系 6.4同余关系
例题2】 【例题 】
上的一元运算， 设△是集合I上的一元运算，任取 ∈I, △a=a2,~ 是集合 上的一元运算 任取a 是I上的模 (k∈I)相等关系，问~在运算△是否 上的模k 相等关系， 在运算△ 上的模 相等关系 在运算 上的同余关系？ 是否是代数系统 是否是代数系统A＝ 是I上的同余关系？ ~是否是代数系统 ＝ 上的同余关系 <I,+,△>上A的同余关系？ △ 上 的同余关系 的同余关系？ 分析： 就相当于(a-b)=n*k 分析：a≡b(mod k) 就相当于
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代数系统上的同余关系：等价关系R如果在一 代数系统上的同余关系：等价关系 如果在一
个代数系统中的所有运算下都是可保持的， 个代数系统中的所有运算下都是可保持的，则R是 是 A上的同余关系。同余关系使得元素所在的等价类 上的同余关系。 上的同余关系 在运算上可以作为一个整体来看待。 在运算上可以作为一个整体来看待。