离散数学--第3讲-同余关系和商代数复习进程
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离散数学关系-PPT
离散数学关系
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
返回第5、3节目录
五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
返回第5、3节目录
六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
返回总目录
一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
离散数学 第3讲 同余关系和商代数
定理1：等价关系～关于二元运算*是一个同余关系当且仅当对 任意a、b、c、d∈S, a～b和c～d 时有ac～bd。
证明： 必要性： 设～是关于运算*的同余关系,并对任意a、b、c、d∈S,假设 a～b和c～d。a～b蕴含着ac～bc,而c～d蕴含着bc～bd。根据～ 的传递性, 得出ac～bd。 充分性： ～是一等价关系, 假设对任意a、b、c、d∈S,当a～b和c～d 时,ac～bd。因为c～c,故如果a～b,那么ac～bc。类似地,ca～cb。
一、同余关系
同余关系定义: 设R为代数A=<S, *, △>的载体S上的等价关系, 如果在代 数运算*下仍能保持, 则称R是关于运算*的同余关系。
a b
a*c b*c
a b
c
△a △b
一、同余关系
例1：给定代数A=<I, ·>，I：整数集合，运算· 为普通乘法运算，R为I
上的模k相等(k∈I+)关系, 即xRy当且仅当x≡y(mod k)，现在证明R是 关于运算· 的同余关系。
由定理2可以看出，一 个同态可以诱导出一 个同余关系； 反过来， 可以证明一个同余关 系也可以导出一个同 态。
∵h为同态 ∴ h(△a)=△′h(a)，h(△b)=△′h(b)
∴ h(△a)= h(△b), ∴△aR△b，即R是关于运算△的同余关系；
ii）如果aRb，cRd，则h(a)=h(b),h(c)=h(d), ∴ h(a)*′h(c)= h(b)*′h(d)， ∵h为同态 ∴ h(a*c)=h(a)*′h(c)，h(b*d) = h(b)*′h(d) ∴ h(a*c)= h(b*d)， ∴ (a*c)R(b*d)，即R是关于运算*的同余关系。
(2) 证明h是双射函数。h: S/～→f(S)是单射：对任意x1、x2∈S, 若f(x1)
证明： 必要性： 设～是关于运算*的同余关系,并对任意a、b、c、d∈S,假设 a～b和c～d。a～b蕴含着ac～bc,而c～d蕴含着bc～bd。根据～ 的传递性, 得出ac～bd。 充分性： ～是一等价关系, 假设对任意a、b、c、d∈S,当a～b和c～d 时,ac～bd。因为c～c,故如果a～b,那么ac～bc。类似地,ca～cb。
一、同余关系
同余关系定义: 设R为代数A=<S, *, △>的载体S上的等价关系, 如果在代 数运算*下仍能保持, 则称R是关于运算*的同余关系。
a b
a*c b*c
a b
c
△a △b
一、同余关系
例1：给定代数A=<I, ·>，I：整数集合，运算· 为普通乘法运算，R为I
上的模k相等(k∈I+)关系, 即xRy当且仅当x≡y(mod k)，现在证明R是 关于运算· 的同余关系。
由定理2可以看出，一 个同态可以诱导出一 个同余关系； 反过来， 可以证明一个同余关 系也可以导出一个同 态。
∵h为同态 ∴ h(△a)=△′h(a)，h(△b)=△′h(b)
∴ h(△a)= h(△b), ∴△aR△b，即R是关于运算△的同余关系；
ii）如果aRb，cRd，则h(a)=h(b),h(c)=h(d), ∴ h(a)*′h(c)= h(b)*′h(d)， ∵h为同态 ∴ h(a*c)=h(a)*′h(c)，h(b*d) = h(b)*′h(d) ∴ h(a*c)= h(b*d)， ∴ (a*c)R(b*d)，即R是关于运算*的同余关系。
(2) 证明h是双射函数。h: S/～→f(S)是单射：对任意x1、x2∈S, 若f(x1)
《离散数学》总复习省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
P ES, ①
③(x)(P(x) (Q(x)R(x))) ④P(c) (Q(c)R(c)) ⑤Q(c)R(c)
P US, ③ T, ②, ④, I
⑥R(c) ⑦P(c)R(c) ⑧(x)(P(x)R(x))
T, ⑤, I T, ②, ⑥, I EG, ⑦
6
2、证明推理：
(PQ)(RS), (QP)R, R PQ
13
第三部分 代数系统
一、内容提要
1、代数系统旳定义（封闭性）、特殊元素（幺元，零元、逆 元、幂等元）。 2、代数系统之间旳关系：子代数，同态（单同态、满同态、 同构）。 3、同余关系旳定义和商代数。 4、半群、独异点和群旳定义及其相互间旳关系。 5、群旳基本性质：消去律、元素旳阶。 6、循环群旳性质及生成元。 7、子群旳定义及鉴定措施、正规子群旳定义及鉴定措施、子 群旳陪集。(拉格朗日定理)
=(a*c)*(a*b*c)
（由提醒）
即： (a*b*c)*(a*c) =(a*c)*(a*b*c)
故： a*b*c=a*c
24
8、设<G, ∘>是一种群，b G，定义函数f: G→G且给定成： 对任意旳x G，f(x)=b∘x∘b-1。
证明：f是从<G, ∘>到<G, ∘>旳一种同构映射。
证：
（1）显然<G, ∘>与<G, ∘>同类型；
b*a=a*b
18
4、设*运算是X中旳可结合旳二元运算，而且对任意旳x, y X, 若x*y=y*x，则x=y。证明：X中旳每个元素都是等幂旳。
证： 对任意旳x X, 要证明x是等幂旳，即证明：x*x=x 因为：*运算是X中旳可结合旳二元运算 所以：x*(x*x)=(x*x)*x 由已知：x*y=y*x x=y 得：x*x=x
离散数学(chapter3集合的基本概念和运算)PPT课件
离散数学
主讲教师
13.11.2020
1
第三章 集合的基本概念和运算
§3.1 集合的基本概念 §3.2 集合的基本运算 §3.3 集合中元素的计数
13.11.2020
离散数学
2
集合论 集合论是研究集合一般性质的数学分支,它的创 始人康托尔(G.Cantor ,1845－1918)。在现代数学中， 每个对象(如数，函数等)本质上都是集合，都可以用 某种集合来定义，数学的各个分支，本质上都是在研 究某一种对象集合的性质。集合论的特点是研究对象 的广泛性，它也是计算机科学与工程的基础理论和表 达工具，而且在程序设计，数据结构，形式语言，关 系数据库，操作系统等都有重要应用。本课程在第三， 四章中介绍集合论的内容。
如：
A∪B
E
A∩B
E
AB
E
~A
E
AB
E
13.11.2020
离散数学
15
二、文氏图 （Jahn Venn）
例4：用文氏图表示下面集合
13.11.2020
离散数学
16
二、文氏图 （Jahn Venn）
例5：用集合公式表示下面文氏图中的阴影部分
(1)A ∩ B ∩ C，
(2) (A∩B )∪(B∩C)∪(C∩A)
或A = B x(x A x B)
x(x A x B) x(x B x A)
13.11.2020
离散数学
8
四、集合之间的关系
3、真子集： B A。 BABABA BABA B=A
4、幂 集：集合A的全体子集构成的集合，记作P (A)。 符号化为 P (A) = { x | x A}
n 元集A的幂集P (A)含有2n个元素。
主讲教师
13.11.2020
1
第三章 集合的基本概念和运算
§3.1 集合的基本概念 §3.2 集合的基本运算 §3.3 集合中元素的计数
13.11.2020
离散数学
2
集合论 集合论是研究集合一般性质的数学分支,它的创 始人康托尔(G.Cantor ,1845－1918)。在现代数学中， 每个对象(如数，函数等)本质上都是集合，都可以用 某种集合来定义，数学的各个分支，本质上都是在研 究某一种对象集合的性质。集合论的特点是研究对象 的广泛性，它也是计算机科学与工程的基础理论和表 达工具，而且在程序设计，数据结构，形式语言，关 系数据库，操作系统等都有重要应用。本课程在第三， 四章中介绍集合论的内容。
如：
A∪B
E
A∩B
E
AB
E
~A
E
AB
E
13.11.2020
离散数学
15
二、文氏图 （Jahn Venn）
例4：用文氏图表示下面集合
13.11.2020
离散数学
16
二、文氏图 （Jahn Venn）
例5：用集合公式表示下面文氏图中的阴影部分
(1)A ∩ B ∩ C，
(2) (A∩B )∪(B∩C)∪(C∩A)
或A = B x(x A x B)
x(x A x B) x(x B x A)
13.11.2020
离散数学
8
四、集合之间的关系
3、真子集： B A。 BABABA BABA B=A
4、幂 集：集合A的全体子集构成的集合，记作P (A)。 符号化为 P (A) = { x | x A}
n 元集A的幂集P (A)含有2n个元素。
离散数学讲解第三章
2018/12/20 8
函数概念的第五次扩张，提出了“近代函数定义”。
美国数学家维布伦的函数定义，这个定义是建立在重新定义变量、变域 和常量的基础上的。 所谓变量，是代表某集合中任意一个“元素”的记号，由变量所表示的 任一元素，称为该变量的值。变量x代表的“元素”的集合,为该变量的变域， 而常量是上述集合中只包含一个“元素”情况下的特殊变量。这样的变量与 常量的定义，比原来的定义更趋一般化了，而且克服了以往变量定义的缺陷， 变量“变动”改进为变量在变域（集合）中代表一个元素。 利用这一变量的定义，维布伦给出了近代函数定义：“设集合X、Y，如 果X中每一个元素x都有Y中唯一确定的元素y与之对应，那么我们就把此对应 叫做从集合X到集合Y的映射,记作f：XY，y=f(x)”。 从“数集”到“集”仅一字之差，但含意却大不相同。从而使函数概念 摆脱了数的束缚，使得函数概念能广泛地应用于数学的各个分支及其它学科 中。
根据定义，若在A中有一个元素a，使得f(a) ≠g (a) , 则f≠g 。
设 A 和 B 都 是 有 限 集 , ＃ A ＝ n, ＃ B ＝ m, 设 A={a1,a2,…,an}, B={b1,b2, …,bm}。
A中n个元素的取值方式是 种, 因此由A到B的函数有mn个, n个 m m m
2018/12/20
19
２.对下列每一函数，确定是否内射，是否满射，是否双射。分别将 “内”、“满”或“双”填入相应的括号内。
(1)
f1 : I I
i 2 i是偶数 f1 i 1 i是奇数 2
满
(2)
f2 : R R
f3 : N 2 N
f 2 r 2r 15
记ＢA={f|f: A→B}, 则#(BA)=(#B)#A
函数概念的第五次扩张，提出了“近代函数定义”。
美国数学家维布伦的函数定义，这个定义是建立在重新定义变量、变域 和常量的基础上的。 所谓变量，是代表某集合中任意一个“元素”的记号，由变量所表示的 任一元素，称为该变量的值。变量x代表的“元素”的集合,为该变量的变域， 而常量是上述集合中只包含一个“元素”情况下的特殊变量。这样的变量与 常量的定义，比原来的定义更趋一般化了，而且克服了以往变量定义的缺陷， 变量“变动”改进为变量在变域（集合）中代表一个元素。 利用这一变量的定义，维布伦给出了近代函数定义：“设集合X、Y，如 果X中每一个元素x都有Y中唯一确定的元素y与之对应，那么我们就把此对应 叫做从集合X到集合Y的映射,记作f：XY，y=f(x)”。 从“数集”到“集”仅一字之差，但含意却大不相同。从而使函数概念 摆脱了数的束缚，使得函数概念能广泛地应用于数学的各个分支及其它学科 中。
根据定义，若在A中有一个元素a，使得f(a) ≠g (a) , 则f≠g 。
设 A 和 B 都 是 有 限 集 , ＃ A ＝ n, ＃ B ＝ m, 设 A={a1,a2,…,an}, B={b1,b2, …,bm}。
A中n个元素的取值方式是 种, 因此由A到B的函数有mn个, n个 m m m
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２.对下列每一函数，确定是否内射，是否满射，是否双射。分别将 “内”、“满”或“双”填入相应的括号内。
(1)
f1 : I I
i 2 i是偶数 f1 i 1 i是奇数 2
满
(2)
f2 : R R
f3 : N 2 N
f 2 r 2r 15
记ＢA={f|f: A→B}, 则#(BA)=(#B)#A
第四节 同余关系与商代数(Congruence Relation and
自然映射: f:AA/R, f(a)=[a]R, R为A上等 价关系
只有恒等关系才是单射
© Peking University
16
同态基本定理
Fundamental Theorem of Homomorphism
定理 3 设 V1 A, o1 , o2 ,...,or 与V2 B, o1 ' , o2 ' ,...,or ' 是同类型的代 数系统，对于 i=1,2,…,r，oi 与 oi’都是 ki 元运算，f:AB 是 V1 到 V2 的同态，关系 R 是 f 导出的 V1 上的同余关系，则 V1 关于同余关系 R 的商代数同构于 V1 在 f 下的同态像，即
oi ([a1 ], [a2 ],...,[a ki ]) [oi (a1 , a 2 ,...,a ki )] [oi (b1 , b2 ,...,bki )] oi ([b1 ], [b2 ],...,[bki ])
© Peking University 10
商代数的性质
设代数系统V,R是V上的同余关系，V关于R的商代数V/R，那么 (1) V/R 保持V的下述性质：
oi ([a1 ],[a2 ],..., aki ]) [oi (a1 , a2 ,...,aki )] [
© Peking University 9
商代数的良定义性
运算的良定义： 运算结果与同余类代表元素的选取无关 对于任意运算 oi, 设为 ki 元运算， ajbj,j=1,2,„,ki, 则
2. 商代数性质
三、同态映射、同余关系与商代数之间的联系
© Peking University 2
同余关系
在代数系统中有一种很重要的关系－同余关系。 它在化简运算过程中具有十分重要的作用。
商代数与同余关系
对于任意两个元素a和b，如果存在一 个整数n，使得a和b对模n同余，则称 a和b具有同余关系，记作a ≡ b (mod n)。
同余关系是等价关系
同余关系具有自反性、对称性和传递 性，因此是等价关系。
同余关系的性质
1 2
同余关系的对称性
如果a ≡ b (mod n)，则b ≡ a (mod n)。
同余关系的传递性
02
在本研究中，我们探讨了商代数与同余关系的性质和关系，并利用这些性质和 关系解决了一些数学问题。通过实例验证，我们证明了商代数与同余关系在解 决数学问题中的有效性。
03
此外，我们还发现商代数与同余关系在某些数学问题上具有更高效、更简洁的 求解方法，这为解决这类问题提供了新的思路和工具。
对未来研究的展望
05 商代数与同余关系的应用
CHAPTER
在数学中的应用
代数结构
商代数提供了一种代数结构，可 以用来研究数学中的各种概念和 问题，如群、环、域等。
数学证明
同余关系在数学证明中有着广泛 的应用，特别是在模运算和同余 方程的证明中。
组合数学
商代数和同余关系在组合数学中 也有着重要的应用，如排列和组 合的公式推导。
详细描述
在商代数中，加法和减法是基本的运算规则，它们满足交换律、结合律和单位元等性质。乘法和除法 是更为复杂的运算规则，它们也满足交换律、结合律和单位元等性质。在商代数中，除法运算可能不 存在或具有特殊性质，需要根据具体情况而定。
03 同余关系的基本概念
CHAPTER
同余关系的定义
同余关系的定义
商代数与同余关系
目录
CONTENTS
• 引言 • 商代数的基本概念 • 同余关系的基本概念 • 商代数与同余关系的关系 • 商代数与同余关系的应用 • 结论
同余关系是等价关系
同余关系具有自反性、对称性和传递 性，因此是等价关系。
同余关系的性质
1 2
同余关系的对称性
如果a ≡ b (mod n)，则b ≡ a (mod n)。
同余关系的传递性
02
在本研究中，我们探讨了商代数与同余关系的性质和关系，并利用这些性质和 关系解决了一些数学问题。通过实例验证，我们证明了商代数与同余关系在解 决数学问题中的有效性。
03
此外，我们还发现商代数与同余关系在某些数学问题上具有更高效、更简洁的 求解方法，这为解决这类问题提供了新的思路和工具。
对未来研究的展望
05 商代数与同余关系的应用
CHAPTER
在数学中的应用
代数结构
商代数提供了一种代数结构，可 以用来研究数学中的各种概念和 问题，如群、环、域等。
数学证明
同余关系在数学证明中有着广泛 的应用，特别是在模运算和同余 方程的证明中。
组合数学
商代数和同余关系在组合数学中 也有着重要的应用，如排列和组 合的公式推导。
详细描述
在商代数中，加法和减法是基本的运算规则，它们满足交换律、结合律和单位元等性质。乘法和除法 是更为复杂的运算规则，它们也满足交换律、结合律和单位元等性质。在商代数中，除法运算可能不 存在或具有特殊性质，需要根据具体情况而定。
03 同余关系的基本概念
CHAPTER
同余关系的定义
同余关系的定义
商代数与同余关系
目录
CONTENTS
• 引言 • 商代数的基本概念 • 同余关系的基本概念 • 商代数与同余关系的关系 • 商代数与同余关系的应用 • 结论
《离散数学》课件第3章
(5)基数大于1的集合上的全域关系是自反的,对称 的和传递的,但不是反自反的和反对称的.例如图3.1―11 所示的关系。
第3章 二元关系
图 3.1―11
第3章 二元关系
3.2 关系的合成
3.2.1 关系的合成 前边已经指出，关系是序偶的集合，因此可以进
行集合运算。本节介绍一种对关系来说更为重要的运 算——合成运算。假设R1是A到B的关系，R2是B到C的 关系(参看图3.2-1)。合成关系R1R2是一个A到C的关系: 如果在关系图上，从a∈A到c∈C有一长度(路径中弧的 条数)为2的路径，其第一条弧属于R1，其第二条弧属 于R2，那么〈a，c〉∈R1R2。合成关系R1R2就是由〈a， c〉这样的序偶组成的集合。
例3.1-1和例3.1-2是列举法的例子。 一个谓词P(x1,x2,…,xn)可以定义一个n元关系R:
R={〈x1,x2,…,xn〉|P(x1,x2,…,xn)} 例如,实数R上的二元关系＞可定义如下:
＞={〈x,y〉|x∈R∧y∈R∧x＞y} 反之,一个n元关系也可定义一个谓词:
P(x1,x2,…,xn)=
利用关系R的图示,也可写出关系R.
第3章 二元关系
3.1.4 关系的特性 在研究各种二元关系中,关系的某些特性扮演着重
要角色,我们将定义这些特性,并给出它的图示和矩阵 的特点
定义3.1―5 设R是A上的二元关系, (1)如果对A中每一x,xRx,那么R是自反的.即
A上的关系R是自反的 x(x∈A→xRx)
第3章 二元关系
例3.1-2 设学生集合A1={a,b,c,d},选修课集合A2={日 语,法语},成绩等级集合A3={甲,乙,丙}.如果四人的选修 内容及成绩如下:
a日乙 b法甲 c 日丙 d 法乙 我 们 可 表 达 为 S={〈a, 日 , 乙 〉,〈b, 法 , 甲 〉,〈c, 日 , 丙〉,〈d,法,乙〉}
第3章 二元关系
图 3.1―11
第3章 二元关系
3.2 关系的合成
3.2.1 关系的合成 前边已经指出，关系是序偶的集合，因此可以进
行集合运算。本节介绍一种对关系来说更为重要的运 算——合成运算。假设R1是A到B的关系，R2是B到C的 关系(参看图3.2-1)。合成关系R1R2是一个A到C的关系: 如果在关系图上，从a∈A到c∈C有一长度(路径中弧的 条数)为2的路径，其第一条弧属于R1，其第二条弧属 于R2，那么〈a，c〉∈R1R2。合成关系R1R2就是由〈a， c〉这样的序偶组成的集合。
例3.1-1和例3.1-2是列举法的例子。 一个谓词P(x1,x2,…,xn)可以定义一个n元关系R:
R={〈x1,x2,…,xn〉|P(x1,x2,…,xn)} 例如,实数R上的二元关系＞可定义如下:
＞={〈x,y〉|x∈R∧y∈R∧x＞y} 反之,一个n元关系也可定义一个谓词:
P(x1,x2,…,xn)=
利用关系R的图示,也可写出关系R.
第3章 二元关系
3.1.4 关系的特性 在研究各种二元关系中,关系的某些特性扮演着重
要角色,我们将定义这些特性,并给出它的图示和矩阵 的特点
定义3.1―5 设R是A上的二元关系, (1)如果对A中每一x,xRx,那么R是自反的.即
A上的关系R是自反的 x(x∈A→xRx)
第3章 二元关系
例3.1-2 设学生集合A1={a,b,c,d},选修课集合A2={日 语,法语},成绩等级集合A3={甲,乙,丙}.如果四人的选修 内容及成绩如下:
a日乙 b法甲 c 日丙 d 法乙 我 们 可 表 达 为 S={〈a, 日 , 乙 〉,〈b, 法 , 甲 〉,〈c, 日 , 丙〉,〈d,法,乙〉}
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= r2 (mod m) △(z2) = (z2)2(mod m)=(m·a2+r)2(mod m) = ((a2)2m2+2ma2+r2) (mod m)
= r2 (mod m) 所以，△(z1)≡△(z2)(mod m), 即△(z1)R△(z2)。
一、同余关系Biblioteka 代数A上的同余关系定义: 设～是代数A=<S , * , △>的载体S上的等价关系，对一切元素a、
从上述表中可以看出cRd, b*c=d, b*d = a, 但是d与a不等价，即b*c与 b*d不等价，所以R不是关于运算*的同余关系。
一、同余关系
定理1：等价关系～关于二元运算*是一个同余关系当且仅当对 任意a、b、c、d∈S, a～b和c～d 时有ac～bd。
证明： 必要性： 设～是关于运算*的同余关系,并对任意a、b、c、d∈S,假设 a～b和c～d。a～b蕴含着ac～bc,而c～d蕴含着bc～bd。根据～ 的传递性, 得出ac～bd。 充分性： ～是一等价关系, 假设对任意a、b、c、d∈S,当a～b和c～d 时,ac～bd。因为c～c,故如果a～b,那么ac～bc。类似地,ca～cb。
a
a*c
a
b
b*c
b
△a c
△b
一、同余关系
例1：给定代数A=<I, ·>，I：整数集合，运算·为普通乘法运算，R为I 上的模k相等(k∈I+)关系, 即xRy当且仅当x≡y(mod k)，现在证明R是 关于运算·的同余关系。
证明： (a)容易看出R是I上的等价关系； (b)下面只需证明对任意a,b,c∈I，若aRb,则(a·c)R(b·c)和(c·a)R(c·b)。
证明： (a)容易看出R是I上的等价关系, (b)因此只需证明对任意z1, z2∈I，若z1Rz2, 则△(z1)R△(z2)。 若z1Rz2, 即z1≡z2(mod m),设z1=m·a1+r, z2=m·a2+r(0≼r≼m-1, a1,a2∈I), △(z1) = (z1)2(mod m)= (m·a1+r)2(mod m) = ((a1)2m2+2ma1+r2) (mod m)
离散数学（二）
1
同余关系和商代数
主要内容:
11 同余关系 2 商代数 3 商代数和同态象的关系
重点和难点 :
重点: 同余关系
难点: 商代数和同态象的关系
一、同余关系
关于运算的同余关系：
设～是代数A=<S, *, △>的载体S上的等价关系,任取a,b,c∈S， (1) 当a～b时, 若有ac～bc和ca～cb, 那么我们说等价关系～在运算*
一、同余关系
定理2：设h是从A=<S, *, △>到A′=<S′, *′, △′>的一个同态。如果在A上定 义二元关系R: aRb⇔h(a)=h(b)(a、b∈S),则R是代数A上的同余关系。
证明：②再证该等价关系R是A上的同余关系。
对任意a、b、c、d∈S， i）如果aRb，则h(a)=h(b), ∴ △′h(a)= △′h(b),
设aRb, 即存在n∈I使得a-b=kn。于是(a·c)-(b·c)=tn, 因此(a·c)R(b·c) 。又乘法是可交换, 有(c·a)R(c·b) 。所以, R是关于·的同余关系。
一、同余关系
例2：给定代数A=<I, △>，I：整数集合，I上的一元运算△定义为： z∈I, △(z) = z2(mod m)(m>0)，I上的模m相等关系R为: z1Rz2 当且仅当 z1≡z2(mod m)，问：R是关于运算△的同余关系吗？
所以～关于运算*是一同余关系。
一、同余关系
自然等价关系: h是 A到A′的任一个同态, h：S→S′可诱导出一个S上的自然等价关系, 这 一关系定义如下: a、b∈S, a~b当且仅当h(a) = h(b)。
定理2: 设h是从A=<S, *, △>到A′=<S′, *′, △′>的一个同态。如果在 A上定 义二元关系R: aRb⇔h(a)=h(b)(a、b∈S),则R是代数A上的同余关系。
下具有置换性质，或者说等价关系～在运算*下仍能保持，称～ 是关于运算*的同余关系； (2) 当a～b时, 若有△a～△b, 那么我们说等价关系～在运算△下具 有置换性质, 或者说等价关系～在运算△下仍能保持，称~是关 于运算△的同余关系。
一、同余关系
同余关系定义: 设R为代数A=<S, *, △>的载体S上的等价关系, 如果在代 数运算*下仍能保持, 则称R是关于运算*的同余关系。
∵h为同态 ∴ h(a*c)=h(a)*′h(c)，h(b*d) = h(b)*′h(d)
∴ h(a*c)= h(b*d)，
∴ (a*c)R(b*d)，即R是关于运算*的同余关系。
二、商代数
回忆：设R是非空集合S上的等价关系,称划分{[a]R｜a∈S}为S关于R 的商集，记为S/R。即S/R={[a]R｜a∈S}。
∵h为同态 ∴ h(△a)=△′h(a)，h(△b)=△′h(b) ∴ h(△a)= h(△b),
由定理2可以看出，一 个同态可以诱导出一 个同余关系； 反过来， 可以证明一个同余关 系也可以导出一个同 态。
∴△aR△b，即R是关于运算△的同余关系；
ii）如果aRb，cRd，则h(a)=h(b),h(c)=h(d), ∴ h(a)*′h(c)= h(b)*′h(d)，
b、c∈S (1) 若a～b, 则ac～bc 和 ca～cb , (2) 若a～b, 则△a～△b ,
都满足, 则～称为代数A上的同余关系。～的等价类叫做关系～的 同余类。
注意：S上的等价关系～是代数A的同余关系当且仅当～关于A 的每一运算是同余的。
一、同余关系
例3：A={a,b,c,d}, 运算表(a)为在A上定义的*运算，表(b)为A 上的等价关系R，判断R是不是关于运算*的同余关系。
证明：①先证R是等价关系。对任意a、b∈S， ∵ h(a)=h(a), ∴aRa， ∴R自反； ∵若aRb, 则h(a)=h(b),有h(b)=h(a), ∴bRa，∴R对称； ∵若aRb, bRc, 则有h(a)=h(b),h(b)=h(c), ∴ h(a)=h(c), ∴aRc,∴R传递。 综上所述，R是等价关系。 ②再证该等价关系R是A上的同余关系。[证明见下页] 由①和②知R是A上的同余关系。
= r2 (mod m) 所以，△(z1)≡△(z2)(mod m), 即△(z1)R△(z2)。
一、同余关系Biblioteka 代数A上的同余关系定义: 设～是代数A=<S , * , △>的载体S上的等价关系，对一切元素a、
从上述表中可以看出cRd, b*c=d, b*d = a, 但是d与a不等价，即b*c与 b*d不等价，所以R不是关于运算*的同余关系。
一、同余关系
定理1：等价关系～关于二元运算*是一个同余关系当且仅当对 任意a、b、c、d∈S, a～b和c～d 时有ac～bd。
证明： 必要性： 设～是关于运算*的同余关系,并对任意a、b、c、d∈S,假设 a～b和c～d。a～b蕴含着ac～bc,而c～d蕴含着bc～bd。根据～ 的传递性, 得出ac～bd。 充分性： ～是一等价关系, 假设对任意a、b、c、d∈S,当a～b和c～d 时,ac～bd。因为c～c,故如果a～b,那么ac～bc。类似地,ca～cb。
a
a*c
a
b
b*c
b
△a c
△b
一、同余关系
例1：给定代数A=<I, ·>，I：整数集合，运算·为普通乘法运算，R为I 上的模k相等(k∈I+)关系, 即xRy当且仅当x≡y(mod k)，现在证明R是 关于运算·的同余关系。
证明： (a)容易看出R是I上的等价关系； (b)下面只需证明对任意a,b,c∈I，若aRb,则(a·c)R(b·c)和(c·a)R(c·b)。
证明： (a)容易看出R是I上的等价关系, (b)因此只需证明对任意z1, z2∈I，若z1Rz2, 则△(z1)R△(z2)。 若z1Rz2, 即z1≡z2(mod m),设z1=m·a1+r, z2=m·a2+r(0≼r≼m-1, a1,a2∈I), △(z1) = (z1)2(mod m)= (m·a1+r)2(mod m) = ((a1)2m2+2ma1+r2) (mod m)
离散数学（二）
1
同余关系和商代数
主要内容:
11 同余关系 2 商代数 3 商代数和同态象的关系
重点和难点 :
重点: 同余关系
难点: 商代数和同态象的关系
一、同余关系
关于运算的同余关系：
设～是代数A=<S, *, △>的载体S上的等价关系,任取a,b,c∈S， (1) 当a～b时, 若有ac～bc和ca～cb, 那么我们说等价关系～在运算*
一、同余关系
定理2：设h是从A=<S, *, △>到A′=<S′, *′, △′>的一个同态。如果在A上定 义二元关系R: aRb⇔h(a)=h(b)(a、b∈S),则R是代数A上的同余关系。
证明：②再证该等价关系R是A上的同余关系。
对任意a、b、c、d∈S， i）如果aRb，则h(a)=h(b), ∴ △′h(a)= △′h(b),
设aRb, 即存在n∈I使得a-b=kn。于是(a·c)-(b·c)=tn, 因此(a·c)R(b·c) 。又乘法是可交换, 有(c·a)R(c·b) 。所以, R是关于·的同余关系。
一、同余关系
例2：给定代数A=<I, △>，I：整数集合，I上的一元运算△定义为： z∈I, △(z) = z2(mod m)(m>0)，I上的模m相等关系R为: z1Rz2 当且仅当 z1≡z2(mod m)，问：R是关于运算△的同余关系吗？
所以～关于运算*是一同余关系。
一、同余关系
自然等价关系: h是 A到A′的任一个同态, h：S→S′可诱导出一个S上的自然等价关系, 这 一关系定义如下: a、b∈S, a~b当且仅当h(a) = h(b)。
定理2: 设h是从A=<S, *, △>到A′=<S′, *′, △′>的一个同态。如果在 A上定 义二元关系R: aRb⇔h(a)=h(b)(a、b∈S),则R是代数A上的同余关系。
下具有置换性质，或者说等价关系～在运算*下仍能保持，称～ 是关于运算*的同余关系； (2) 当a～b时, 若有△a～△b, 那么我们说等价关系～在运算△下具 有置换性质, 或者说等价关系～在运算△下仍能保持，称~是关 于运算△的同余关系。
一、同余关系
同余关系定义: 设R为代数A=<S, *, △>的载体S上的等价关系, 如果在代 数运算*下仍能保持, 则称R是关于运算*的同余关系。
∵h为同态 ∴ h(a*c)=h(a)*′h(c)，h(b*d) = h(b)*′h(d)
∴ h(a*c)= h(b*d)，
∴ (a*c)R(b*d)，即R是关于运算*的同余关系。
二、商代数
回忆：设R是非空集合S上的等价关系,称划分{[a]R｜a∈S}为S关于R 的商集，记为S/R。即S/R={[a]R｜a∈S}。
∵h为同态 ∴ h(△a)=△′h(a)，h(△b)=△′h(b) ∴ h(△a)= h(△b),
由定理2可以看出，一 个同态可以诱导出一 个同余关系； 反过来， 可以证明一个同余关 系也可以导出一个同 态。
∴△aR△b，即R是关于运算△的同余关系；
ii）如果aRb，cRd，则h(a)=h(b),h(c)=h(d), ∴ h(a)*′h(c)= h(b)*′h(d)，
b、c∈S (1) 若a～b, 则ac～bc 和 ca～cb , (2) 若a～b, 则△a～△b ,
都满足, 则～称为代数A上的同余关系。～的等价类叫做关系～的 同余类。
注意：S上的等价关系～是代数A的同余关系当且仅当～关于A 的每一运算是同余的。
一、同余关系
例3：A={a,b,c,d}, 运算表(a)为在A上定义的*运算，表(b)为A 上的等价关系R，判断R是不是关于运算*的同余关系。
证明：①先证R是等价关系。对任意a、b∈S， ∵ h(a)=h(a), ∴aRa， ∴R自反； ∵若aRb, 则h(a)=h(b),有h(b)=h(a), ∴bRa，∴R对称； ∵若aRb, bRc, 则有h(a)=h(b),h(b)=h(c), ∴ h(a)=h(c), ∴aRc,∴R传递。 综上所述，R是等价关系。 ②再证该等价关系R是A上的同余关系。[证明见下页] 由①和②知R是A上的同余关系。