六年级奥数第27讲-同余法解题(教)

学科教师辅导讲义学员编号：年级：六年级课时数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第27讲——同余法解题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，教学目标和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂知识梳理一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。

由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、中国剩余定理1.中国古代趣题韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

2.核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。

先由5735⨯=，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数35270⨯=是否可以，很显然70除以3余1类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。

最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：k k⨯+⨯+⨯±=-，其中k是从1开始的自然数。

270321245[3,5,7]233[3,5,7]也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。

例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，那么我们可以计算2703212452[3,5,7]23⨯+⨯+⨯-⨯=得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。

典例分析10，17，24，31，38，45，52，…；三个条件都符合的最小的数是52，其后的是一次加上3、5、7的最小公倍数，直到加到1000和1200之间．结果是10510521102⨯+=．方法3：设这个自然数为a，被3除余1，被5除余2，可以理解为被3除余321+，所以满⨯+，被5除与52足前面两个条件的157÷=L，m+除以7余3，即15m除以7余3，而15721a m=+ (m为自然数)，只需157只需m除以7余3，m最小为3，所以满足三个条件的最小自然数为315752⨯+=，那么这个数在1000和1200之间，应该是10510521102⨯+=．例2、一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为多少？【解析】根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是53718+=+=，这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以可以看成这个数除以5、7、9的余数都是8，那么它减去8之后是5、7、9的公倍数．而[]=，所以这个数最小为31583235,7,9315+=．例3、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数为多少？【解析】法一：根据总结，我们发现前面两种都不符合，所以可以使用普遍适用的“中国剩余定理”，步骤如下：分别找出除以7余4的3、5的公倍数，除以5余3的3、7的公倍数，除以3余2的5、7的公倍数，分别是：60、63、35；可见606335158++=满足我们的条件，但是要求的是满足条件的最小的自然数，158不是最小的，对此的处理方法就是减去3、5、7的最小公倍数的若干倍，使结果小于最小公倍数．所以答案为：15810553-=．法二：逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合后面两个条件的最小自然数，依次用7的倍数加4，当4被加上两个7时得到18，恰好除以5余3，此时符合后两个条件；再依次用7和5的最小公倍数的倍数加18，当18被加上1个35个，得到53，检验符合三个条件．所以所求的最小自然数就是53.例4、在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？【解析】先找出两个连续自然数，第一个被3整除，第二个被7整除．例如，找出6和7，下一个连续自然数是8．3和7的最小公倍数是21，考虑8加上21的整数倍，使加得的数能被13整除．82112260+⨯=，能被13整除，那么258，259，260这三个连续自然数，依次分别能被3，7，13整除，又恰好在200至300之间．由于3，7，13的最小公倍数为273，所以在200至300之间只有258，259，260这三个数满足条件．例5、一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数．【解析】法一：将3、5、7、11这4个数3个3个一起分别计算公倍数，如表：3、5、7的公倍数中被11除余5的数不太好找，但注意到210除以11余1，所以21051050⨯=被11除余5，由此可知77069316510502678+++=是符合条件的一个值，但不是最小值，还需要减去3、5、7、11的公倍数使得它小于它们的最小公倍数．由于3、5、7、11的最小公倍数是1155，所以267811552368-⨯=是符合条件的最小值．法二：对于这种题目，也可以先求满足其中3个余数条件的，比如先求满足除以3、5、7的余数分别是2、3、4的，既可采用中国剩余定理，得到702213154263⨯+⨯+⨯=是满足前3个余数条件的，从而其中最小的是+⨯=除以11的余数为-⨯=；由于53除以11的余数为9，105除以11的余数为6，可知963272631052535，所以531053368+⨯=是满足条件的最小数．也可以直接观察发现这个数乘以2之后除以3、5、7的余数分别是4、6、8，也就是除以3、5、7的余数都是1，所以满足前三个条件的数最小为(3571)253⨯⨯+÷=，后面的步骤与上面的解法相同．P (Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1、有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【解析】(法1) 39336-=，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．2、求19973的最后两位数．【解析】即考虑19973除以100的余数．由于100425=⨯，由于3327=除以25余2，所以93除以25余8， 103除以25余24，那么203除以25余1；又因为23除以4余1，则203除以4余1；即2031-能被4 和25整除，而4与25互质，所以2031-能被100整除，即203除以100余1，由于1997209917=⨯+，所以19973除以100的余数即等于173除以100的余数，而63729=除以100余29，53243=除以100余43，176253(3)3=⨯，所以173除以100的余数等于292943⨯⨯除以100的余数，而29294336163⨯⨯=除以100余63，所以19973除以100余63，即19973的最后两位数为63．实战演练又因为2903193(mod271)≡，803261(mod271)≡，464193(mod271)≡，所以29038034642611932611932610(mod 271)n n n n n n n n A =--+≡--+≡，故A 能被271整除．因为7与271互质，所以A 能被1897整除．1、(南京市少年数学智力冬令营试题) 20032与22003的和除以7的余数是________．【解析】找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222⨯+=，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415+=．2、(全国小学数学奥林匹克试题)六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________．(第五届小数报数学竞赛初赛)【解析】根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍”可知，甲、乙手中五张卡片上的数之和应是3的倍数．计算这六个数的总和是11931258184218661912249410565+++++=，10565除以3余2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是3的倍数，那么丙手中的卡片上的数除以3余2．六个数中只有1193除以3余2，故丙手中卡片上的数为1193．3、(奥数网杯)已知20082008200820082008a =L 144424443个，问：a 除以13所得的余数是多少？【解析】2008除以13余6，10000除以13余3，注意到200820082008100002008=⨯+；20082008200820082008100002008=⨯+；2008200820082008200820082008100002008=⨯+；L L根据这样的递推规律求出余数的变化规律：20082008除以13余6361311⨯+-=，200820082008除以13余1136390⨯+-=，即200820082008是13的倍数．直击赛场如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数．这个15的倍数加上1 就等于孔数，设孔数为a ，则151a m =+（m 为非零自然数）而且a 能被7整除．注意15被7除余1，所以156⨯被7除余6，15的6倍加1正好被7整除．我们还可以看出，15的其他(小于的7)倍数加1都不能被7整除，而157105⨯=已经大于100．7以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是156191⨯+=．S (Summary-Embedded)——归纳总结一、带余除法的定义及性质二、三大余数定理：1.余数的加法定理2.余数的乘法定理3.同余定理四、中国剩余定理1.中国古代趣题2.核心思想和方法弃九法原理 重点回顾名师点拨在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。