2019年内蒙古通辽中考数学试题(解析版)

{来源}2019年××中考数学试卷 {适用范围:3． 九年级}{标题}2019年内蒙古省通辽市中考数学试卷考试时间：分钟 满分：分{题型:1－选择题}一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，合计分．{题目}1．（2019年内蒙古通辽T 1）12019-的相反数是 （ ） A ．2 019B ．12019-C ．－2 019D ．12019{答案}D{解析}本题考查了相反数的意义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由定义可知，12019-的相反数为12019，因此本题选D ． {分值}3{章节:[1-1-2-3]相反数} {考点:相反数的定义} {考点:倒数} {类别:常考题} {难度:1－最简单}{题目}2．（2019年内蒙古通辽T 2 （ ） A ．±4 B ．4 C ．±2 D ．＋2{答案}C{解析}16的算术平方根，∵42＝1644的平方根．∵(±2)2＝4，∴4的平方根是±2±2，因此本题选C ． {分值}3{章节:[1-6-1]平方根} {考点:平方根的定义} {考点:算术平方根} {类别:易错题} {难度:2－简单}{题目}3．（2019年内蒙古通辽T 3）2018年12月，在国家发展改革委发布《关于全力做好2019年春运工作的意见》中预测，2019年春运全国民航旅客发送量将达到7 300万人次，比上一年增长12%，其中7 300万用科学记数法表示为（ ） A ．73×106 B .7.3×103 C .7.3×107 D .0.73×108{答案}C{解析}本题考查了科学记数法．∵1万＝104，∴7 300万＝7 300×104＝7.3×103×104＝7.3×107，，因此本题选C ． {分值}3{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1－最简单}{题目}4．（2019年内蒙古通辽T 4）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图和俯视图相同的是（ ）{答案}B{解析}本题考查了几何本的三视图．选项逐项分析左视图、俯视图是否相同 左视图 俯视图 A不相同B相同C 不相同D不相同因此本题选B ． {分值}3{章节:[1-29-2]三视图}{考点:简单组合体的三视图} {类别:常考题} {难度:2－简单}{题目}5．（2019年内蒙古通辽T 5）如图，直线y ＝kx ＋b （k ≠0）经过点（－1，3），则不等式kx ＋b ≥3的解集为 （ ） A ．x ＞－1 B D ．x ≥－1{答案}D{解析}本题考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系．由图象知，直线y ＝kx ＋b 经过点（－1，3）且经过第一、三象限．∴k ＞0．∴y 随x 的增大而增大．∵y ＝kx ＋b ，kx ＋b ≥3，∴y ≥3．∴不等式kx ＋b ≥3的解集就是当y ≥3时对应的自变量x 的取值范围．∵y 随x 的增大而增大，直线y ＝kx ＋b 经过点（－1，3），∴当x ≥－1时，y ≥3．∴不等式kx ＋b ≥3的解集为x ≥－1，，因此本题选D ． {分值}3{章节:[1-19-3]一次函数与方程、不等式} {考点:一次函数与一元一次不等式} {类别:常考题}{难度:3－中等难度}kx b+A ．B ．C ．D ．{题目}6．（2019年内蒙古通辽T6）一个菱形的边长是方程x2－8x＋15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（）A．48 B．24 C．24或40 D．48或80{答案}B{解析}本题考查了一元二次方程的解法，菱形的性质以及面积公式．∵x2－8x＋15＝0，∴(x－3)(x －5)＝0．∴x1＝3，x2＝5，即菱形的边长为3或5．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．不妨设对角线BD＝8．∵四边形ABCD中菱形，∴AC⊥BC，BO＝12BD＝12×8＝4．∴∠AOB＝90°．在Rt△AOB中，∵AB＞BO，∴AB＞4．当AB＝3时，不满足AB＞4，舍去；当AB＝5时，满足AB＞4．∴菱形的边长为5．在Rt△AOB中，由勾股定理得OA＝3．∵菱形ABCD是菱形，∴BD＝2BO＝2×3＝6．∴S菱形ABCD＝12AC·BD＝12×6×8＝24，，因此本题选B．{分值}3{章节:[1-18-2-2]菱形}{考点:解一元二次方程－因式分解法}{考点:菱形的判定}{类别:常考题}{难度:3－中等难度}{题目}7．（2019年内蒙古通辽T7）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于（）A．π3B．2π3C．4π3D2π{答案}C{解析}本题考查了，如图，连接OC．∵等边三角形ABC内接于⊙O，∴∠AOB＝∠AOC＝360 3︒＝120．在△AOB和△AOC中，OA OAAOB AOCOB=OC=⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，，，∴△AOB≌△AOC．∴S△AOB＝S△AOC．∴S阴影＝S扇形OAC＝120360×π×22＝43π，因此本题选C．{分值}3{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:正多边形和圆}{考点:扇形的面积}{类别:常考题}{题目}8．（2019年内蒙古通辽T8）现有以下命题：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等；③通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰是随机事件；④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条宜线与已知直垂直．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个{答案}B{解析}本题考查了真命题与假命题．考虑①，如果斜边上的中线相等，那么由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，斜边相等，又一个锐角相等，而直角也相等，所以依据“AAS”可知这两个直角三角形全等，①正确；考虑②，一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行或在一条直线上，②不正确；考虑③，通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰是必然事件，③不正确；考虑④，一个角的两边与另一个的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，③不正确；考虑⑤，这是垂线的性质，⑤正确．综合知，①⑤正确，，因此本题选B．{分值}3{章节:[1-5-4] 命题、定理、证明}{考点:命题}{类别:易错题}{难度:3－中等难度}{题目}9．（2019年内蒙古通辽T9）关于x、y的二元一次方程组2234x y kx y k-=⎧⎨-=-⎩，的解满足x＜y，则直线y＝kx－k－1与双曲线y＝kx在同一平面直角坐标系中大致图象是（）{答案}B{解析}本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质以及二元一次方程组的解法．∵关于x、y的二元一次方程组2234x y kx y k-=⎧⎨-=-⎩，①②的解满足x＜y，∴x－y＜0，②－①得x－y＝－5k．∴－5k＜0．∴k＞0．∴在y＝kx－k－1中，一次项系数k＞0，常数项－k－1＜0．∴直线y＝kx－k－1经过第一、三、四象限，双曲线y＝kx分布在第一、三象限，，因此本题选B．{分值}3{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}{考点:三元一次方程组的解法}{考点:反比例函数的图象}{考点:反比例函数的性质}{考点:一次函数的图象}{考点:一次函数的性质}{类别:易错题}A B C D{题目}10．（2019年内蒙古通辽T 10）在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc ＜0；@c ＋2a ＜0；③9a －36＋c ＝0，④a －b ≥m (am ＋b )（m 为实数）；⑤4ac －b 2＜0．其中错误结论的个数有（ ） A ．1个 B ．2个D ．4个{答案}A{解析}本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系．考虑①，∵抛物线开口向上，∴a ＞0．∵对称轴为直线x ＝－1，∴2ba-＝－1．∴b ＝2a ＞0．∵抛物线与y 轴负半轴相交，∴c ＜0．∴abc ＜0，①正确；考虑②∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点（1，0），∴a ＋b ＋c ＝0．∵b ＝2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0．∴c ＋2a ＝－a ＜0，②正确；考虑③，设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一个交点为（x 1，0），∵抛物线的对称轴为直线x ＝－1，∴112x +＝－1．解得x 1＝－3．∴抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一个交点（－3，0）．∴0＝a ×(－3)2＋b ×(－3)＋c ．∴9a －3b ＋c ＝0．③正确；考虑④，∵当x ＝－1时，y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a －b ＋c ，∴抛物线的顶点为（－1，a －b ＋c ）．∴函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小值为a －b ＋c ．当x ＝m 时，y ＝ax 2＋bx ＋c ＝am 2＋bm ＋c ．∴a －b ＋c ≤am 2＋bm ＋c ．∴a －b ≤am 2＋bm ．④不正确；考虑⑤，∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个公共点，∴b 2－4ac ＞0．∴4ac －b 2＜0，故⑤正确．综合知，错误的是③，，因此本题选A ． {分值}3{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程} {考点:二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质} {考点:二次函数的系数与图象的关系} {类别:易错题}{类别:新定义} {难度:4－较高难度}{题型:2－填空题}二、填空题：本大题共 小题，每小题 分，合计分．{题目}11．（2019年内蒙古通辽T 11）如图，是我市6月份某7天的最高气温折线统计图，则这些最高气温的中位数是________．{答案}27{解析}本题考查了折线统计图以及中位数的意义．由折线统计图可知，这7天的最高气温（单位：℃）分别为：24，29，27，28，28，25，26．将这组数据按由小到大的顺序排列是：24，25，26，27，28，28，29，处在最中间的数是27，∴这些最高气温的中位数是27℃．日期{分值}3{章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {考点:折线统计图} {考点:中位数} {类别:常考题} {难度:2－简单}{题目}12．（2019年内蒙古通辽T 12）某机床生产一种零件，在6月6日至9日这4天中出现次品的数．{答案}12{解析}本题考查了众数，平均数以及方差的意义．，由表格可知，这4天中出现次品的数量分别为：1，0，2，a ．∵出现次品数量的唯一众数为1，∴a ＝1．∴这组数据为1，0，2，1．它的平均数x ＝14×(1＋0＋2＋1)＝1．∴s 2＝14×[(1－1)2×2＋(0－1)2＋(2－1)2]＝12．{分值}3{章节:[1-20-2-1]方差} {考点:众数}{考点:算术平均数} {考点:方差的性质} {类别:常考题} {难度:2－简单}{题目}13．（2019年内蒙古通辽T 13）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝8，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为点E ，且AE 平分∠BAC ，则AB 的长为________．{答案 {解析}本题考查了，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，OA ＝12AC ，OB ＝12BD ，AC ＝BD ．∴OA ＝OB ．∵AE ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠AEO ＝90°．∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE＝∠OAE ．在△ABE 和△AOE 中，AEB AEO AEAE BAE OAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，，∴△ABE ≌△AOE ．∴AB ＝AO ．∴AB ＝AO ＝OB ．∴△ABO 是等边三角形．∴∠ABO ＝60°．在Rt △ABD 中，tan ∠ABO ＝ADAB．∴AB ＝tan AD ABO ∠＝8tan 60︒{分值}3{章节:[1-18-2-1]矩形} {考点:矩形的性质}C DE ABO{考点:等边三角形的判定} {类别:常考题}{难度:3－中等难度}{题目}14．（2019年内蒙古通辽T 14）已知三个边长分别为2 cm ，3 cm ，5 cm 的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为________．{答案}154cm 2 {解析}本题考查了正方形的性质、相似三角形的性质以及梯形的面积公式，如图，∵四边形BCGH是正方形，∴BE ∥CF ．∵四边形CDMN 是正方形，∴CF ∥DM ．∴BE ∥DM ．∴△ABE ∽△ADM ．∴BE DM ＝AB AD ，即5BE ＝2235++．∴BE ＝1．∵BE ∥CF ，∴△ABE ∽△ACF ．∴BE CF ＝AB AC ．∴1CF ＝223+．∴∴CF ＝52．∴S 阴影＝S 正方形BCGH －S 梯形BCFE ＝32－12×(1＋52)×3＝154（cm 2）．{分值}3{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} {考点:由平行判定相似} {考点:相似三角形的性质} {考点:正方形的性质} {类别:常考题}{难度:3－中等难度}{题目}15．（2019年内蒙古通辽T 15）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为________．{答案}．6或{解析}本题考查了等腰三角形、勾股定理以及分类思想，当高在等腰三角形的内部时，若高为底边上的高，如图1，由题意知腰AB ＝AC ＝5，高AD ＝4．在Rt △ABD 中，由勾股定理得BD ＝3．∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝DC ．∴DC ＝3．∴BC ＝6．若高为腰上的高，如图2，由题意知腰AB ＝AC ＝5，高CD ＝4．在Rt △ACD 中，由勾股定理得AD ＝3．∴BD ＝AB －AD ＝5－3＝2．在Rt △BCD 中，由勾股定理得BC当高在等腰三角形的外部时，则高只能为腰上的高．如图3，由题意知腰AB ＝AC ＝5，高CD ＝4．在Rt △ACD 中，由勾股定理得AD ＝3．∴BD ＝AB ＋ADC＝5＋3＝8．在Rt △BCD 中，由勾股定理得BC＝ 综合知，底边长为6或{分值}3{章节:[1-13-2-1]等腰三角形} {考点:等边三角形的性质} {考点:勾股定理} {类别:易错题}{难度:3－中等难度}{题目}16．（2019年内蒙古通辽T 16）取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字1，2，3，4，5，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上.从中任意抽出1张，记卡片上的数字为m ，则数字m 使分式方程11xx --＝(1)(2)m x x -+无解的概率为________．{答案}15{解析}本题考查了分式方程的解法，等可能条件下的概率公式．在方程11xx --＝(1)(2)m x x -+两边同乘(x －1)(x ＋2)，得x (x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝m ．解得x ＝m －2．检验：当x ＝m －2时，(x －1)(x ＋2)＝(m －2－1)( m －2＋2)＝m (m －3)．若m (m －3)＝0，则m 1＝0，m 2＝3．∴当m ＝0或3时，分式方程11xx --＝(1)(2)m x x -+无解．∴记“从1，2，3，4，5中任意抽出一个数m ，数字m 使分式方程11xx --＝(1)(2)m x x -+无解”为事件A ，则P （A ）＝15． {分值}3{章节:[1-25-1-2]概率} {考点:分式方程的解} {考点:一步事件的概率} {类别:易错题}{难度:3－中等难度}{题目}17．（2019年内蒙古通辽T 17）如图，在边长为3的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边上的一点，且AM ＝13AD ，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A 'MN ，连接A 'C ，则A 'C 长度的最小值是________．CDABNMA 'C D AB图1图2 AB C D图3AB CD{答案1{解析}本题考查了，∵菱形的边长为AD＝3，AM＝13AD，∴AM＝13×3＝1，MD＝2．如图，以点M为圆心，MA为半径作⊙M．由折叠得MA＝MA′＝1．∴点A′在⊙M上．连接MC 交⊙M于点A1．当点M、A′、C不在一条直线上时，则在△MA′C中，A′C＞|MC－MA′|，即A′C＞|MC－1|．当点M、A′、C在一条直线上时，A′C＝|MC－MA′|，即A′C＝|MC－1|．∴折叠过程中，A′C≥|MC－1|．∴A′C的最小值为|MC－1|．过点M作ME⊥CD交CD的延长线于点E．∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD．∴∠MDE＝∠MAB＝60°．在Rt△MDE中，sin∠MDE＝MEMD ，cos∠MDE＝DEMD．∴ME＝MD·sin∠MDE＝2×sin60°＝2DE＝MD·cos∠MDE＝2×cos60°＝2×12＝1．∴CE＝ED＋CD＝1＋3＝4．在Rt△MCE中，由勾股定理得MCA′C的最小值为1|1．{分值}3{章节:[1-18-2-2]菱形}{考点:菱形的性质}{考点:轴对称的性质}{考点:解直角三角形}{考点:点与圆的位置关系}{类别:思想方法}{类别:数学文化}{类别:北京作图}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{类别:常考题}{类别:易错题}{类别:新定义}{难度:5－高难度}{题型:4－解答题}三、解答题：本大题共小题，合计分．{题目}18．（2019年内蒙古通辽T18）计算：－14－1|＋1.414)0＋2sin60°－11()2--．{解析}本题考查了实数的运算．解答时先分别计算出乘方、绝对值、零次幂、特殊角的三角函数以及负整数次数幂，再进行加减运算．{答案}解：原式＝－1－1)＋1＋2－112-＝－11＋12＝3．{分值}5{章节:[1-28-2-1]特殊角} {考点:有理数乘方的定义} {考点:绝对值的性质}{考点:零次幂}{考点:特殊角的三角函数值}CDEA BNMA'1A{考点:负指数参与的运算} {类别:易错题} {难度:2－简单}{题目}19．（2019年内蒙古通辽T 19）先化简，再求值．221211212x x x x x x +÷+--++，请从不等式组52130x x -⎧⎨+>⎩，的整数解中选择一个你喜欢的求值． {解析}本题考查了分式的混合运算、一元一次不等式组的解法以及代数式的值．解答时先根据分式混合运算的顺序将算式化简，再解一元一次不等式组，从解集中确定出整数解，最后根据算式确定出能取的x 的值代入求值．{答案}解：221211212x x x x x x +÷+--++＝＝21(1)11(2)2x x x x x -⋅+-++＝11(2)2x x x x -+++＝1(2)x x x x -++＝212x x+． 解不等式5－2x ≥1，得x ≤2．解不等式x ＋3＞0，得x ＞－3．∴不等式组的解集为－3＜x ≤2．∴不等式组的整数解为－2，－1，0，1，2．由221211212x x x x x x +÷+--++知22010x x x ⎧+≠⎨-≠⎩，．解得x ≠0，x ≠－2，x ≠1．∴x ＝－1或2． 取x ＝2，则原式＝21222+⨯＝18．{分值}6{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {考点:分式的混合运算} {考点:解一元一次不等式}{考点:一元一次不等式的整数解} {考点:分式的值} {类别:常考题}{难度:3－中等难度}{题目}20．（2019年内蒙古通辽T 20）两栋居民楼之间的距离CD ＝30 cm ，楼AC 和BD 均为10层，每层楼高为3 m ．上午某时刻，太阳光线GB 与水平面的夹角为30°，此刻BD 的影子会遮挡到楼AC 的第1.7， 1.4）{解析}本题考查了解直角三角形的应用．过点E 作EM ⊥BD 于点M ，在Rt △BEM 中求出BM 的长，进而求出DM 长，于是得到EC 长，用EC 长÷3可知影子会遮挡到楼AC 的层数．{答案}解：如图，设太阳光线GB 交AC 于点E ，过点E 作EM ⊥BD 于点M ．由题意知AC ＝BD ＝3×10＝30 m ，EM ＝CD ＝30 m ，∠BEM ＝∠α＝30°．在Rt △BEM 中，tan ∠BEM ＝BMEM．∴BM ＝EM ·tan ∠BEM ＝30·tan30°＝30＝CE ＝AC －CE ＝30－BM ＝30－30－10×1.7＝13（m ）．∵13÷3≈4.3，∴此刻楼BD的影子会遮挡到楼︒AC 的第5层．{分值}5{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}{考点:一元二次方程的应用—增长率问题} {类别:常考题} {难度:2－简单}{题目}21．（2019年内蒙古通辽T 21）有四张反面完全相同的纸牌A 、B 、C 、D ，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是________；（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由.（纸牌用A 、B 、C 、D 表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．{解析}本题考查了用树状图（或表格）求等可能条件下的概率．（1）在A 、B 、C 、D 4张纸牌中，牌面图形是中心对称图形的是A 、C 、D 3张，∴P （随机摸出一张纸牌，牌面图形是中心对称图形）＝34；（2）先用表格（树状图）列出所有可能出现的结果数，再从中确定出两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的数量，最后利用等可能条件下的概率公式求解．{答案}（1）34（2）游戏不公平，理由是：用表格（或树状图）列出所有可能出现的结果： A B C D A（A ，B ）（A ，C ） （A ，D ） B （B ，A ）（B ，C ）（B ，D ） C （C ，A ） （C ，B ）（C ，D ）D（D ，A ）（D ，B ）（D ，C ）由表格可知，一共出现了12种可能的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中两张牌面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的有两种，即（A ，C ），（C ，A ）．∴P （两张牌面既是中心对称图形又是轴对称图形）＝212＝16≠12．∴游戏不公平． 修改规则：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形（或若抽到的两张牌面图形都是轴对称图形），则小明获胜，否则小亮获胜．{分值}6{章节:[1-25-2]用列举法求概率}圆 A正五边形 B矩形 B平行四边形D︒{考点:一步事件的概率} {考点:两步事件不放回} {类别:常考题} {难度:2－简单}{题目}22．（2019年内蒙古通辽T 22）通辽市某中学为了了解学生“大课间”活动情况，在七、八、九年级的学生中，分别抽取了相同数量的学生对“你最喜欢的运动项目”进行调查（每人只能选一项），调查结果的部分数据如下表（图）所示，其中七年级最喜欢跳绳的人数比人年级多5人，九年级最喜欢排球的人数为10人．项目 排球 篮球 踢毯 跳绳 其它人数（人）7 8 14 6请根据以上统计表（图）解答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少人？ （2）补全统计表和统计图；（3）该校有学生1 800人，学校想对“最喜欢踢毯子”的学生每4人提供一个毯子，学校现有124个毽子，能否够用？请说明理由．{解析}本题考查了条形统计图，扇形统计图以及样本估计总体．（1）从扇形统计图中求出九年级“最喜欢排球”所占的百分比为20%，而由题意知，九年级“最喜欢排球”的有10人．∴抽取的九年级人数为10÷20%＝50（人）．∵三个年级抽取了相同数量的学生，∴本次调查抽取的总人数为50×3＝150．（2）由（1）知，七年级抽取的人数为50．∴表格中跳绳的人数为50－7－8－14－6＝15．∵七年级最喜欢跳绳的人数比人年级多5人，∴八年级跳绳的人数为15－5＝10．∴八年级踢毯的人数为50－12－10－10－5＝13．据此补全条形统计图．由（1）知，最喜欢喜欢排球“”所占的百分比为20%，据此补全扇形统计图．（3）先“最喜欢踢毯子”所占的百分比乘以全校总人数1 800，即为1 800×14135030%150++⨯＝1 872（人），再用1 872÷4的值与124比较大小即可确定．{答案}解：（1）10÷（1－24%－16%－30%－10%）＝50（人）．50×3＝150（人）．答：本次调查共抽取了150人． （2）补全统计表和统计图如下： 项目 排球 篮球 踢毯 跳绳 其它 人数（人）78141561 八年级学生最喜欢的运动项目人数统计图 排球 其它 踢毯篮球 跳绳 10%30%24%16%%九年级学生最喜欢的 运动项目人数统计图（3）不够用，理由是：1 800×14135030%150++⨯÷4＝504÷4＝126．∵126＞124，∴不够用．{分值}9{章节:[1-10-1]统计调查} {考点:统计表} {考点:条形统计图} {考点:扇形统计图}{考点:数据分析综合题} {类别:常考题}{难度:3－中等难度}{题目}23．（2019年内蒙古通辽T 23）如图，△ABC 内接于OO ，AB 是O 0的直径，AC ＝CE ，连接AE 交BC 于点D ，延长DC 至F 点，使CF ＝CD ，连接AF ． （1）判断直线AF 与OO 的位置关系，并说明理由；（2）若AC ＝10，tan ∠CAE ＝34，求AE 的长．{解析}本题考查了切线的判定以及锐角三角函数．（1）证明OA ⊥AF ；（2）过点C 作CM ⊥AE 于点M ．在Rt △ACM 中由tan ∠CAE ＝34可设CM ＝3k ，AM ＝4k ，∴AC ＝5k ．而AC ＝10，∴k ＝2．∴AM ＝8．在△ACE 中由AC ＝CE ，CM ⊥AE 得AE ＝2AM ＝8．{答案}解：（1）直线AF 与OO 相切于点A ．理由是：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°．∴∠B ＋∠BAC ＝90°，AC ⊥BC ．又∵CD ＝CF ，∴.AD ＝AF ．又∵AC ⊥BC ，∴∠DAC ＝∠FAC ．∵AC ＝EC ，∴∠DAC ＝∠E ．又∵∠E ＝∠B ，∴∠FAC ＝∠B ．∴∠FAC ＋∠BAC ＝90°，即∠BAF ＝90°．∴OA ⊥AF ．∴直线AF 与OO 相切于点A ．（2）如图，过点C 作CM ⊥AE 于点M ．又∵AC ＝CE ，∴AE ＝2AM ．在Rt △AMC 中，tan ∠CAE ＝CM AM ．∵tan ∠CAE ＝34，∴CM AM ＝34．设CM ＝3k ，AM ＝4k （k ＞0）．在Rt △AMC 中，由勾股定理得AM 2＋CM 2＝AC 2．∴(3k )2＋(4k )2＝102．解得k ＝2．∴AM ＝4k ＝4×2＝8．∴AE ＝2AM ＝2×8＝16．1 八年级学生最喜欢的 运动项目人数统计图排球 其它踢毯篮球跳绳10%30%24%16%20%九年级学生最喜欢的 运动项目人数统计图{分值}8{章节:[1-28-3]锐角三角函数}{考点:切线的判定}{考点:勾股定理}{考点:三线合一}{考点:正切}{类别:常考题}{难度:3－中等难度}{题目}24．（2019年内蒙古通辽T24）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本．书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围；（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤6）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1 960元，求a的值．{解析}本题考查了用二次函数解决实际问题．（1）y关于x的函数关系式根据“当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本”求解，自变量的取值范围根据“书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元”求解；（2）先列出W关于a的函数关系式W＝(x－20－a)(－10x＋500)，再利用二次函数的性质求解．{答案}解：（1）y＝－10x＋500（30≤x≤38）【解析】∵当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，∴销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y＝250－25101x-⨯，∴y＝－10x＋500．∵书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元，∴10≤x－20≤18．∴30≤x≤38，即为所求自变量的取值范围．（2）设每天扣除捐赠后可获得的利润为W元，则W＝(x－20－a)(－10x＋500)＝－10x2＋(10a＋700)x－500a－1 000．∵对称轴为x＝12a＋35，且0＜a≤6，∴：30＜12a＋35≤35．∴当x＝12a＋35时，W有最大值．∴1 960＝(12a＋35－20－a)[－10(12a＋35)＋500]．∴a1＝2，a2＝58（不符合题意，舍去）．答：a的值为2．{分值}9{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}{考点:商品利润问题}{类别:常考题}{难度:3－中等难度}{题目}25．（2019年内蒙古通辽T25）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．（1）如图1，求证：△BCP ≌△DCQ ； （2）如图，延长BP 交直线DQ 于点E ．①如图2，求证：BE ⊥DQ ；②如图3，若△BCP 为等边三角形，判断△DEP 的形状，并说明理由．{解析}本题考查了正方形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定．（1）由正方形ABCD 得BC ＝CD ，∠BCD ＝90°．由旋转得CP ＝CQ ，∠PCQ ＝90°．∴∠BCP ＝∠DCQ ．利用“SAS ”可证明△BCP ≌△DCQ ；（2）①设BE 交CD 于点M ．在△DEM 与△BCM 中利用三角形内角和定理及（1）中△BCP ≌△DCQ 证明∠DEM ＝∠BCM 即可．②△DEP 是等腰直角三角形．由正方形ABCD 、等边三角形BPC 、等边三角形CDQ 及等腰三角形CDP 分别计算出∠EPD 与∠EDP 的度数．{答案}．解：（1）证明：∵线段CP 绕点C 顺时针旋转90°至CQ ，∴∠PCQ ＝90°，CP ＝CQ ．∵四边形ABCD 为正方形，∴.BC ＝CD ，∠BCD ＝90°．∴∠BCP ＝∠DCQ ．∴△BCP ≌△DCQ ． （2）①证明：由（1）知，△BCP ≌△DCQ ．∴∠CDQ ＝∠CBP ．设BE 交CD 于点M ．∵∠BMC ＝∠EMD ，∴∠DEM ＝∠BCM ＝90°．∴BE ⊥DQ ．②△DEP 为等腰直角三角形，理由是：∵线段CP 绕点C 顺时针旋转90°至CQ ，又∵△BCP 为等边三角形，∴CP ＝CQ ，∠BCP ＝∠DCO ＝60°．∴CP ＝CD ，∠BPC ＝∠QDC ＝∠BCP ＝60°．∴∠PCD ＝∠BCD －∠BCP ＝90°－60°＝30°．∴∠CPD ＝∠CDP ＝75°．∴∠EPD ＝∠EDP ＝180°－60°－75°＝45°．∴EP ＝ED ，∠PED ＝90°．∴△PED 为等腰直角三角形． {分值}9{章节:[1-23-1]图形的旋转} {考点:全等三角形的判定SAS } {考点:等角对等边} {考点:旋转的性质}{考点:等边三角形的判定与性质} {类别:常考题}{难度:3－中等难度}{题目}26．（2019年内蒙古通辽T 26）已知，如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为M （1，9），经过抛物线上的两点A （－3，－7）和B （3，m ）的直线交抛物线的对称轴于点C ． （1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式；（2）在抛物线上A 、M 两点之间的部分（不包含A 、M 两点），是否存在点D ，使得S △DAC ＝2S △DCM ？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．图1 CQDABP 图2 E CQDA BP 图3 CQDAB PE{解析}想．（1）利用待定系数法求解；（2）设D（t，－t2＋2t＋8），过点D作DE⊥x轴将△DCE的面积转化△DEA、△DEC面积之和求解，进而由S△ACD＝2S△DCM列方程求出t的值，得到点D的坐标；（3）按平行四边形的对角线分三种情形求解．求解时利用两条对角线的中点坐标相同列方程求解．{答案}解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，9），又经过点A（－3，－7），∴－7＝a(－3－1)2＋9．∴a＝－1．∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋9．∵抛物线经过点B（3，m），∴m＝－(3－1)2＋9＝5．∴B（3，5）．设直线AB的解析式为y＝kx＋b（k≠0）．把A（－3，－7）、B（3，5）代入，得7353k bk b-=-+⎧⎨=+⎩，．解得k＝2，b＝－1．∴直线AB的解析式y＝2x－1．（2）存在．如图，过点D作DE⊥x轴交直线AB于点E，连接CD、DM、AD．设D（t，－t2＋2t＋8），则E（t，2t－1）．∵点C是直线y＝2x－1与抛物线对称轴的交点，∴C（1，1）．∵S△ACD＝2S△DCM，∴12(－t2＋2t＋8－2t＋1)×(1＋3)．∴x1＝－1，x2＝5．∵－3＜x＜1，∴x＝－1．∴D（－1，5）．（3）∵y＝－(x－1)2＋9＝－x2＋2x＋8，点P在抛物线上，∴可设P（n，－n2＋2n＋8）．①当AM为对角线时，∵A（－3，－7），M（1，9），∴AM的中点坐标为（－1，1）．∵四边形APMQ是平行四边形，∴PQ的中点坐标为（－1，1）．又∵P（n，－n2＋2n＋8），∴Q（－2－n，n2－2n－6）．∵点Q在x轴上，∴n2－2n－6＝0．解得n1＝1＋，n2＝1n2－2n－6＝0，∴n2－2n＝6．∴－n2＋2n＋8＝－6＋8＝2．∴P （（1，2）或（1，2）．②当MP为对角线时，同理可求P（6，－16）或（－4，－16）．③当AP为对角线时，同理可求Q（n－4，－n2＋2n－8）．∵点Q在x轴上，∴－n2＋2n－8＝0．∵b2－4ac＝22－4×(－1)×(－8)＝4－32＜0，∴此方程没有实数根．综合知，点P坐标为（12）或（12）或（6，－16）或（－4，－16）．{分值}12{章节:[1-22-1-4]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质}{考点:代数综合}{考点:二次函数与平行四边形综合}{类别:常考题}{难度:5－高难度}。