一轮二次函数代数综合题)

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2022年河南省中考数学一轮复习：二次函数综合训练

2022年河南中考数学一轮复习：二次函数综合训练一、单选题1．如图，一次函数y 1＝kx +b 与二次函数y 2＝ax 2交于A （﹣1，1）和B （2，4）两点，则当y 1＞y 2时x 的取值范围是（）A ．x ＜﹣1B ．x ＞2C ．﹣1＜x ＜2D ．x ＜﹣1或x ＞2 2．抛物线23y x =沿x 轴向右平移2个单位后的顶点坐标是（）． A ．（0，2） B ．（0，－2） C ．（2，0） D ．（－2，0） 3．如图,二次函数24y x x m =-+的图象与y 轴交于点C ,点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y kx b =+的图象经过该二次函数图象上点1,0A 及点B ．则满足24kx b x x m +≥-+的x 的取值范围是（）．A ．1x ≤或4x ≥B ．14x ≤≤C ．1x ≤或5x ≥D ．15x ≤≤ 4．将抛物线2364y x x =---向右平移1个单位长度，向上平移2个单位，所得到的的抛物线的解析式为（）A ．233y x =-+B ．232y x =-+C ．231y x =-+D ．23y x =- 5．如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 给出下列结论：①abc ＜0，②4a +2b +c ＜0，③a +c ＞b ，④a +b ≤t （at +b ）（t 是任意一个实数），⑤当x ＜-1时，y 随x 的增大而减少．其中结论正确的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 6．下列关于二次函数y ＝2x 2的说法正确的是（）A ．它的图象经过点（－1，－2）B ．它的图象的对称轴是直线x ＝2C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大D ．当－1x ≤≤2时，y 有最大值为8，最小值为07．抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论：①abc ＜0；②b 2＜4ac ；③b +2a =0；④3a +c ＝0；其中正确的是（）A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③ 8．若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的交点坐标分别是(),0m 、(),0n ，且m n <，图象上有一点()M p q ，，且()()0a p m p n --<，对于以下说法：①240b ac ->；②x p =是方程20ax bx c q ++-=的解；③m p n <<；④M 点在x 轴下方，对于以上说法正确的是（）A ．①②③④B ．①②④C ．③④D ．①③ 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+4x +m 的顶点为A ，它与x 轴分别交于B ，C 两点，与y 轴的交点为D ，过点D 作DE 平行于x 轴交于抛物线于点E ，BF ∥CE 交DE 于点F ，若3S △ABC ＝4S △FEC ，则m 的值为（）A．﹣127B．﹣712C．﹣12 D．1210．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①4a﹣2b+c＜0；②抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）；③若点A（k2+1，y1），点B（k2+2，y2）在抛物线上，那么y1＞y2；④若m，n（m＜n）为方程a（x﹣3）（x+1）﹣2＝0的两个根，则﹣1＜m＜n＜3．正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图①，在正方形ABCD中，点E在AD边上，连接BE，以BE为边作等边△BEF，点F在BC的延长线上，动点M从点B出发，沿B→E→F向点F做匀速运动，过点M 作MP⊥AD于点P．设点M运动的距离为x，△PEM的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则DE的长为（）12．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）图象的对称轴为直线1x =-，部分图象如图所示，下列结论中：①0abc >；②240b ac ->；③40a c +>；④若t 为任意实数，则有2a bt at b -≤+；⑤当图象经过点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭时，方程220ax bx c ++-=的两根为1x ，2x ()12x x <，则12322x x +=-，其中正确的结论有（）A ．①②③B ．②③⑤C ．②③④⑤D ．②③④二、填空题 13．若y ＝（m ﹣1）x |m |+1+8mx ﹣8是关于x 的二次函数，则其图象与x 轴的交点坐标为 _________．14．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①b ＞0；②a ﹣b +c ＝0；③当x ＜﹣1或x ＞3时，y ＞0；④一元二次方程ax 2+bx +c +1＝0（a ≠0）有两个不相等的实数根．上述结论中正确的是_____．（填上所有正确结论的序号）15．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线y 1＝x 2（x ≥0）与y 2＝25x （x ≥0）于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DE AB＝_______________．16．如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++<与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，且132x -<<-，122x x +=-，则下列结论：①240b ac ->；②若点17,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，23,4y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是该抛物线上的点，则12y y <；③2at a bt b -≤-（t 为任意数）；④0a b c ++<．其中正确的有______．17．某水果店销售一批水果，平均每天可售出40kg ，每千克盈利4元，经调查发现，每千克降价0.5元，商店平均每天可多售出10kg 水果，则商店平均每天的最高利润为_____元．三、解答题18．如图，二次函数2y ax bx c =++的图像交x 轴与A (-1，0)，B (2，0)两点；交y 轴于点C (0，-2)，过点A ，C 画直线；(1)求抛物线的解析式和对称轴；(2)设点P 在x 轴正半轴上，且P A =PC ，求OP 的长．19．如图，若要建一个矩形场地，场地的一面靠墙，墙长10m，另三边用篱笆围成，篱笆总长20m，设垂直于墙的一边为x m，矩形场地的面积为S m2(1)S与x的函数关系式为S＝，其中x的取值范围是；(2)若矩形场地的面积为42m2，求矩形场地的长与宽．(3)当矩形场地的面积最大时，求矩形场地的长与宽，并求出矩形场地面积的最大值．20．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+m与x轴的一个交点为A(4，0)，另一交点为B，且与y 轴交于点C，连接AC．(1)求m的值及该抛物线的对称轴；(2)若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．(1)求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；(2)是否存在使BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．22．已知二次函数21=-+的图象与x轴仅有一个公共点A．y mx mx(1)求m的值；(2)过点（0，3）作直线l平行于x轴，在对称轴右侧的抛物线上任取一点P，过点P向直线l作垂线，垂足为E点，若在抛物线的对称轴上存在点D，使得△PDE是以D为直角顶点的等腰直角三角形．请求出点P的横坐标．23．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．(1)则点A，B，C的坐标分别是A（，），B（，），C （，）；(2)设经过A，B两点的抛物线的解析式为y＝14（x﹣5）2+k，它的顶点为F，求证：直线F A与⊙M相切；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案1．C2．C3．B4．C5．C6．D7．A8．B9．A10．D11．A12．C13．（﹣2，0）14．②③④15．5516．①②③④17．18018(1) 解：二次函数2y ax bx c =++的图象交x 轴于(1,0)A -、(2,0)B ， ∴设该二次函数的解析式为：(2)(1)(0)y a x x a =-+≠．将0x =，2y =-代入，得2(02)(01)a -=-+，解得1a =，∴抛物线的解析式为(2)(1)y x x =-+，即2y x x 2=--；∴对称轴为直线122b x a =-=； (2) 解：如图．由（1）知，抛物线的解析式为2y x x 2=--，则(0,2)C -．设OP x =，则1PA PC x ==+，在Rt POC △中，由勾股定理，得2222(1)x x +=+，解得，32x =，即32OP =．19．(1)解：由题意得平行于墙的一边长为()202m x -，∴()2202=220S x x x x =--+，∵墙的长度为10m ，∴平行于墙的一边长不能超过10m ，∴220202100x x x <⎧⎪-≤⎨⎪>⎩，∴510x ≤<，故答案为：2220x x -+；510x ≤<；(2)解：∵矩形场地的面积为42m 2，∴222042x x -+=，即210210x x -+=，解得7x =或3x =（舍去），∴2026x -=，∴矩形场地的长与宽分别为7m 、6m ；(3)解：∵()222202550S x x x =-+=--+，20-<， ∴当5x =时，S 有最大值50，∴当矩形场地的面积最大时，矩形场地的长与宽分别为10m，5m，此时矩形场地的最大面积为50m2．20．(1)解：把A（4，0）代入二次函数y＝﹣x2+3x+m得：∴﹣16+12+m＝0，解得：m＝4，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣32）2+254，∴二次函数对称轴为直线x＝32；(2)解：存在，理由如下：令y=0，即y＝﹣x2+3x+4，解得x=4或x=-1，∴点B的坐标为（-1，0）①当AB是正方形的边时，此时，对应的正方形为ABP′Q′，∵A（4，0），AB＝5，∴点Q′的坐标为（4，5）；②当AB是正方形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，∵AB、PQ是正方形对角线，∴线段AB和线段PQ互相垂直平分，∴点Q在抛物线对称轴上，且到x轴的距离为52，∴点Q的坐标为（32，﹣52），故点Q的坐标为（4，5）或（32，﹣52）．21．(1)解：（1）∵y＝m（x﹣2）2﹣9m，∴抛物线顶点M的坐标为（2，﹣9m），∵抛物线与x轴交于A、B两点，∴当y＝0时，mx2﹣4mx﹣5m＝0，∵m＞0，∴x2﹣4x﹣5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，∴A，B两点的坐标为（﹣1，0）、（5，0），(2)解：存在使△BCM为直角三角形的抛物线．过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为直角三角形，CN＝OD＝2，DN＝OC＝5m，∴MN＝DM﹣DN＝4m，∴CM2＝CN2+MN2＝4+16m2，在Rt△OBC中，BC2＝OB2+OC2＝25+25m2，在Rt△BDM中，BM2＝BD2+DM2＝9+81m2．①如果△BCM是直角三角形，且∠BMC＝90°时，CM2+BM2＝BC2，即4+16m2+9+81m2＝25+25m2，解得6m=∵m＞0，∴6m = ∴存在抛物线262656y =△BCM 是直角三角形； ②如果△BCM 是直角三角形，且∠BCM ＝90°时，BC 2+CM 2＝BM 2．即25+25m 2+4+16m 2＝9+81m 2，解得 2m = ∵m ＞0， ∴2m =． ∴存在抛物线22522y x =-使得△BCM 是Rt △； ③∵25+25m 2＞4+16m 2，9+81m 2＞4+16m 2，∴以∠CBM 为直角的直角三角形不存在，综上，存在抛物线262656y x x =22522y x =-使△BCM 是直角三角形． 22．(1) 解：二次函数21y mx mx =-+的图象与x 轴仅有一个公共点A ，0m ∴≠，且关于x 的一元二次方程210mx mx -+=只有一个实数根， ∴此方程根的判别式240m m ∆=-=，解得4m =或0m =（舍去），即m 的值为4．(2)解：设PE 的中点为点B ，连接BD ，由题意，画图如下：由（1）可知，2214414()2y x x x =-+=-，则二次函数的对称轴为直线12x =，所以点D 的横坐标为12，设点P 的坐标为21(,441)()2P a a a a -+>，则点E 的坐标为(,3)E a ，点B 的横坐标为a ，所以224413122122a a BE BP EP a a -+-====--， PDE 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，22,21a BD BE BD a EP --∴==⊥，l x 轴，EP 垂直直线l ，EP x ∴⊥轴，BD x ∴轴，12BD a ∴=-， 222112a a a --∴=-，即221221a a a --=-或222112a a a =-+--，解得313a +=31312a -=<（舍去）或113a +=或11312a -=（舍去），故点P 313+113+ 23(1)解：连接MC 、MA ，设过点M 与y 轴平行的直线交x 轴于D ，如图所示：∵⊙M 与y 轴相切于点C ，∴MC ⊥y 轴，∵M （5，4），∴MC =MA =5，OC =MD =4，∴C （0，4），∵MD ⊥AB ，∴DA =DB ，∠MDA =90°，∴AD 225-4，∴BD =3，∴OA =5-3=2，OB =5+3=8，∴A （2，0），B （8，0），故答案为2，0；8，0；0，4；(2)解：把A （2，0）代入21(5)4y x k =-+，解得94k =- ∴219(5)44y x =--， ∴F （5，94-） ∴MF =4+94=254，94DF =， ∴AF 22AD FD +154∴22262516FA AM MF +==∴MA ⊥AF∴F A 与⊙M 相切；(3)解：存在；点P 坐标为（5，555715，4）；理由如下：由勾股定理得：BC 22224845OC OB +=+=分三种情况：①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合∴P（5，4）；②当BP=BC52所示：∵PD222--BP BD80371∴P（571；③当PC=BC5MC，如图3所示：则∠PMC=90°，根据勾股定理得：PM222--80555PC MC∴PD55∴P（5，55；综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，点P的坐标为（5，555715，4），．。

2023年中考苏科版数学一轮复习专题提优练习-一次函数和二次函数综合

2023年中考数学一轮复习专题提优练习一次函数和二次函数综合一、选择题1．二次函数y 1＝ax 2+bx +c 与一次函数y 2＝mx +n 的图象如图所示，则满足ax 2+bx +c ＞mx +n 的x 的取值范围是（）A ．﹣3＜x ＜0B ．x ＜﹣3或x ＞0C ．x ＜﹣3D ．0＜x ＜3第1题第2题2．如图，直线y ＝kx +b 与直线y ＝mx 相交于点A （﹣1，2），与x 轴相交于点B （﹣3，0），则关于x 的不等式组0＜kx +b ＜mx 的解集为（）A ．x ＞﹣3B ．﹣3＜x ＜﹣1C ．﹣1＜x ＜0D ．﹣3＜x ＜03．已知二次函数y=－(x －h)2(h 为常数)，当自变量x 的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为－1，则h 的值为（）A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或64．用列表法画二次函数y=x 2+bx+c 的图象时先列一个表，当表中自变量x 的值以相等间隔增加时，函数y 所对应的值依次为：20, 56, 110, 182, 274, 380, 506, 650. 其中有一个值不正确，这个不正确的值是（）A ．505B ．380C ．274D ．1825．若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫作“整点”. 例如：P （1，0），Q （2，－2）都是“整点”. 抛物线y=mx 2－4mx+4m －2（m>0）与x 轴的交点为A ，B ，若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包含边界）恰有7个“整点”，则m 的取值范围是（）A ．121<≤m B ．121≤<m C ．1<m ≤2 D ．1≤m<26．四位同学在研究函数y=x 2+bx+c （b, c 是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现－1是方程x 2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4. 已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．根据关于x 的一元二次方程x 2+px +q ＝0，可列表如下：则方程x 2+px +q ＝0的正数解满足（）x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 x 2+px +q﹣15﹣8.75﹣2﹣0.590.842.29A ．解的整数部分是0，十分位是5B ．解的整数部分是0，十分位是8C ．解的整数部分是1，十分位是1D ．解的整数部分是1，十分位是28. 已知二次函数c bx x y ++=2中，函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：X … 0 1 2 3 … y…5212…点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在函数图象上，则当0<x 1<1，2<x 2<3时，y 1与y 2的大小关系正确性是（）A ．y 1≥y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．y 1≤y 2二、填空题9．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0的两个根分别是x 1＝1.3和x 2＝．10．如图，在抛物线y 1＝ax 2（a ＞0）和和y 2＝mx 2+nx （m ＜0）中，抛物线y 2的顶点在抛物线y 1上，且与x 轴的交点分别为（0，0）（4，0），则不等式（a ﹣m ）x 2﹣nx ＜0的解集是．第9题第10题第11题第12题11．如图，二次函数y 1＝ax 2+bx +c 与一次函数y 2＝kx 的图象交于点A 和原点O ，点A 的横坐标为﹣4，点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，点B 的横坐标为1，则满足0＜y 1＜y 2的x 的取值范围是．12. 如图是抛物线y=c bx ax ++2(0≠a )的一部分，其对称轴为直线x=2，若其与x 轴的一个交点为B （5，0），则由图像可知，不等式02>++c bx ax 的解集是________. 13. 如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx +c 的两个交点坐标分别为A （﹣2，4），B （1，1），则方程ax 2＝bx +c 的解是__________________．第13题第14题14．已知点A （﹣2，0），点P 是直线y ＝x 上的一个动点，当以A ，O ，P 为顶点的三角形面积是3时，点P 的坐标为．15. 对于二次函数322-==mx x y ，有下列说法：①它的图像与x 轴有两个公共点；②如果当x≤1时，y 随x 的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=－1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为－3. 其中正确的说法是___________（把你认为正确说法的序号都填上）. 三、解答题16．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其中点A （﹣1，0），点C （0，5），点D （1，8）都在抛物线上，M 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求△MCB 的面积；（3）根据图形直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．17．如图①，将抛物线y ＝ax 2（﹣1＜a ＜0）平移到顶点恰好落在直线y ＝x ﹣3上，并设此时抛物线顶点的横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式（用含a 、m 的代数式表示）（2）如图②，Rt △ABC 与抛物线交于A 、D 、C 三点，∠B ＝90°，AB ∥x 轴，AD ＝2，BD ：BC ＝1：2．①求△ADC 的面积（用含a 的代数式表示）②若△ADC 的面积为1，当2m ﹣1≤x ≤2m +1时，y 的最大值为﹣3，求m 的值．18．如图1，平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2+4x 与x 轴交于O 、A 两点．直线y ＝kx +m 经过抛物线的顶点B 及另一点D （D 与A 不重合），交y 轴于点C ．（1）当OA ＝4，OC ＝3时．①分别求该抛物线与直线BC 相应的函数表达式；②连结AC ，分别求出tan ∠CAO 、tan ∠BAC 的值，并说明∠CAO 与∠BAC 的大小关系；（2）如图2，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接CE ．当a 为任意负数时，试探究AB 与CE 的位置关系？19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（﹣3，﹣12）．（1）求此二次函数的表达式；（2）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，若锐角∠PCO ＝∠ACO ，写出此时点P 的坐标；（3）若直线l ：y ＝kx （k ≠0）与线段BC 交于点D （不与点B ，C 重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B ，O ，D 为顶点的三角形与△BAC 相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由．20. 如图，抛物线y=ax ax 22（a<0）位于x 轴上方的图象记为F 1，它与x 轴交于P 1，O 两点，图象F 2与F 1关于原点O 对称，F 2与x 轴的另一个交点为P 2，将F 1与F 2同时沿x 轴向右平移P 1P 2的长度即可得F 5与F 6；……；按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F 1，F 2，…，F n ，我们把这组图象称为“波浪抛物线”.（1）当a=－1时， ①求图象F 1的顶点坐标.②点H （2014，－3）________（填“在”或“不在”）该“波浪抛物线”上；若图象F n 的顶点T n 的横坐标为201，则图象F n 对应的解析式为__________，其自变量x 的取值范围为_________.（2）设图象F m ，F m+1的顶点分别为T m ，T m+1（m 为正整数），x 轴上一点Q 的坐标为（12，0）.试探究：当a 为何值时，以O ，T m ，T m+1，Q 四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m 的值.21. 设二次函数)(2b a bx ax y +-+=（a ，b 是常数，a≠0）.（1）判断该二次函数图象与x 轴的交点的个数，说明理由.（2）若该二次函数图象经过A （－1，4），B （0，－1），C （1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式.（3）若a+b<0，点P （2，m ）（m>0）在该二次函数图象上，求证：a>0.22. 如图所示，已知二次函数c bx x y ++-=2的图像经过点C （0，3），与x 轴分别交于点A.点B （3，0）.点D （n, y 1）.E （n+t ，y 2）.F （n+4，y 3）都在这个二次函数的图像上，其中0<t<4，连接DE.DF.EF ，记ΔDEF 的面积为S.（1）求二次函数c bx x y ++-=2的表达式；（2）若n=0，求S 的最大值，并求此时t 的值；（3）若t=2，当n 取不同数值时，S 的值是否变化？如不变，求该定值；如变化，试用含n 的代数式表示S.23.如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）.C.H.N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．。

2023年中考数学一轮综合培优测试卷：二次函数-动态几何问题【含答案】

2023年中考数学一轮综合培优测试卷：二次函数-动态几何问题一、综合题1．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．2．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，点P 为抛物线上第一象限内一动点，当△BCP 面积最大时，求点P 的坐标；（3）设点D 是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q ，使以点B ，C ，D ，Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，抛物线y=﹣x 2+6x 与x 轴交于点O ，A ，顶点为B ，动点E 在抛物线对称轴上，点F 在对称轴右侧抛物线上，点C 在x 轴正半轴上，且EF OC ，连接OE ，CF 得四边形OCFE ．//=（1）求B 点坐标；（2）当tan ∠EOC= 时，显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点F 的坐标；43（3）当0＜tan ∠EOC ＜3时，对于每一个确定的tan ∠EOC 值，满足条件的四边形OCFE 有两个，当这两个四边形的面积之比为1：2时，求tan ∠EOC ．4．若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C 1：y 1=﹣2x 2+4x+2与C 2：y 2=﹣x 2+mx+n 为“友好抛物线”．（1）求抛物线C 2的解析式．（2）点A 是抛物线C 2上在第一象限的动点，过A 作AQ ⊥x 轴，Q 为垂足，求AQ+OQ 的最大值．（3）设抛物线C 2的顶点为C ，点B 的坐标为（﹣1，4），问在C 2的对称轴上是否存在点M ，使线段MB 绕点M 逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C 2上？若存在求出点M 的坐标，不存在说明理由．5．如图，已知抛物线与直线AB 交于、两点，与y 轴交于y =−x 2+bx +c A(−1，0)B(2，3)点C ，顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABD的面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(−1,0)OA=OC=4OB6．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)A,B,C图象经过三点.A,C（1）求两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；P AC PD⊥AC D PD （3）若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大P PD时，求此时点的坐标及的最大值.7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段DC的长；（2）当点Q与点C重合时，求t的值；（3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．8．已知，经过点A（－4，4）的抛物线y=ax2+bx与x轴相交于点B（－3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，平行于y轴的直线交线段AO于点Q，交抛物线于点P，当四边形AHPQ为平行四边形时，求∠AOP的度数；（3）如图2，试探究：在抛物线上是否存在点C，使∠CAO＝∠BAO？若存在，请求出直线AC解析式；若不存在，请说明理由．9．如图，已知△ABC是边长为12的正三角形，AD是边BC上的高线，CF是外角ACE的平分线，点P是边BC B，C不重合），∠APQ＝60°，射线PQ分别与边AC，射线CF交于点N，Q．（1）求证：△ABP∽△PCN；（2）不管点P运动到何处，在不添辅助线的情况下，除第（1）小题中的一对相似三角形外，请写出图中其它的所有相似三角形；（3）当点P从BD的中点运动到DC的中点时，点N都随着点P的运动而运动．在此过程中，试探究：能否求出点N运动的路径长？若能，请求出这个长度；若不能，请说明理由．10．已知二次函数y = -x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C （0，3），M 为它的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）连接MC 、BC 、BM ，画出图象并求出△MCB 的面积S △MCB ．11．已知二次函数y ＝ax 2+2x+c 的图象经过点（1，4）和（0，3）两点，与x 轴交于A 、B 两点（A点在B 点的左侧）．（1）求二次函数的表达式及对称轴；（2）若点P 在此抛物线上，且在x 轴上方，求△PAB 的最大面积．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y= 的图象经过点A （2，0）和点14x 2+mx +nB （1，﹣ ），直线l 经过抛物线的顶点且与y 轴垂直，垂足为Q ．34（1）求该二次函数的表达式；（2）设抛物线上有一动点P 从点B 处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y 1随时间t （t≥0）的变化规律为y 1=﹣ +2t ．现以线段OP 为直径作⊙C ．34①当点P 在起始位置点B 处时，试判断直线l 与⊙C 的位置关系，并说明理由；在点P 运动的过程中，直线l 与⊙C 是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．②若在点P 开始运动的同时，直线l 也向上平行移动，且垂足Q 的纵坐标y 2随时间t 的变化规律为y 2=﹣1+3t ，则当t 在什么范围内变化时，直线l 与⊙C 相交？此时，若直线l 被⊙C 所截得的弦长为a ，试求a 2的最大值．13．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点 .y =x 2+x−2x A B y CA B C（1）求点，点和点的坐标；P PB+PC P（2）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标；M AC M ABCM （3）若点是直线下方抛物线上一动点，运动到何处时四边形面积最大，最大值面积是多少？14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，与x轴交于点B．抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）点A，B的坐标分别是A ，B ；（2）求抛物线的解析式；（3）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一动点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．y=ax2+bx+c C(0，−5)x15．如图，已知抛物线与y轴交于点，与轴交于点A和点B，其(5,0)x=2中点B的坐标为抛物线对称轴为直线．（1）求抛物线的解析式；（2）当时，y 的取值范围为　　．0<x <5（3）点P 为该二次函数在第四象限内图像上的一动点，过点P 作轴，交于点Q ，PQ//y BC 设线段长为l ，求l 的最大值，并写出此时点P 的坐标．PQ 16．如图，对称轴为直线x= 的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）．72（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）解：将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线y=ax 2+bx+c 中，得：，{a−b +c =09a +3b +c =0c =−3解得： {a =1b =−2c =−3故抛物线的解析式：y=x 2﹣2x﹣3（2）解：当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=﹣ =1，b2a 故P （1，0）（3）解：如图所示：抛物线的对称轴为：x=﹣ =1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则：b2a MA 2=m 2+4，MC 2=（3+m ）2+1=m 2+6m+10，AC 2=10；①若MA=MC ，则MA 2=MC 2，得：m 2+4=m 2+6m+10，解得：m=﹣1，②若MA=AC ，则MA 2=AC 2，得：m 2+4=10，得：m=± ；6③若MC=AC ，则MC 2=AC 2，得：m 2+6m+10=10，得：m 1=0，m 2=﹣6；当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1，）（1，﹣ ）（1，﹣1）（1，0）．662．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a （x+1）（x﹣3），把C （0，3）代入得a•1•（﹣3）=3，解得a=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x 2+2x+3（2）解：设直线BC 的解析式为y=kx+m ，把B （3，0），C （0，3）代入得，解得，{3k +m =0m =3{k =−1m =3所以直线BC 的解析式为y=﹣x+3，作PM ∥y 轴交BC 于M ，如图1，设P （x ，﹣x 2+2x+3），（0＜x ＜3），则M （x ，﹣x+3），∴PM=﹣x 2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x 2+3x ，∴S △PCB = •3•PM=﹣ x 2+ =﹣ （x﹣ ）2+ ，1232923232278当x= 时，△BCP 的面积最大，此时P 点坐标为（，）3232154（3）解：如图2，抛物线的对称轴为直线x=1，当四边形BCDQ 为平行四边形，设D （1，a ），则Q （4，a﹣3），把Q （4，a﹣3）代入y=﹣x 2+2x+3得a﹣3=﹣16+8+3，解得a=﹣2，∴Q （4，﹣5）；当四边形BCQD 为平行四边形时，设D （1，a ），则Q （﹣2，3+a ），把Q （﹣2，3+a ）代入y=﹣x 2+2x+3得3+a=﹣4﹣4+3，解得a=﹣8，∴Q （﹣2，﹣5）；当四边形BQCD 为平行四边形时，设D （1，a ），则Q （2，3﹣a ），把Q （2，3﹣a ）代入y=﹣x 2+2x+3得3﹣a=﹣4+4+3，解得a=0，∴Q （2，3），综上所述，满足条件的Q 点坐标为（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）或（2，3）．3．【答案】（1）解：∵y=﹣x 2+6x=﹣（x﹣3）2+9，∴B （3，9）（2）解：抛物线的对称轴为直线x=3，直线x=3交x 轴于H ，如图，∵tan ∠EOC= ，即tan ∠EOH= ，4343∴ = ，EH OH 43∴EH=4，∴E 点坐标为（3，4）或（3，﹣4），当y=4时，﹣（x﹣3）2+9=4，解得x 1=3﹣ （舍去），x 2=3+ ，55当y=﹣4时，﹣（x﹣3）2+9=﹣4，解得x 1=3﹣ （舍去），x 2=3+ ，1313∴F 点坐标为（3+ ）或（3+ ，﹣4）513（3）解：如图，∵平行四边形和平行四边形OE′F′C′等高，∴这两个四边形的面积之比为1：2时，OC′=2OC ，设OC=t ，则OC′=2t ，∴F 点的横坐标为3+t ，F′点的横坐标为3+2t ，而点F 和F′的纵坐标互为相反数，∴﹣（3+t﹣3）2+9+[﹣（3+2t﹣3）2+9]=0，解得t 1= ，t 2=﹣ （舍去），31053105∴F 点坐标为（3+ ，），3105275∴E （3，），275∴tan ∠EOC= = ．2753954．【答案】（1）解：∵y 1=﹣2x 2+4x+2=﹣2（x﹣1）2+4，∴抛物线C 1的顶点坐标为（1，4）．∵抛物线C 1与C 2顶点相同，∴ =1，﹣1+m+n=4．−m−1×2解得：m=2，n=3．∴抛物线C 2的解析式为y 2=﹣x 2+2x+3（2）解：如图1所示：设点A 的坐标为（a ，﹣a 2+2a+3）．∵AQ=﹣a 2+2a+3，OQ=a ，∴AQ+OQ=﹣a 2+2a+3+a=﹣a 2+3a+3=﹣（a﹣ ）2+ ．32214∴当a= 时，AQ+OQ 有最大值，最大值为 32214（3）解：如图2所示；连接BC ，过点B′作B′D ⊥CM ，垂足为D ．∵B （﹣1，4），C （1，4），抛物线的对称轴为x=1，∴BC ⊥CM ，BC=2．∵∠BMB′=90°，∴∠BMC+∠B′MD=90°．∵B′D ⊥MC ，∴∠MB′D+∠B′MD=90°．∴∠MB′D=∠BMC ．在△BCM 和△MDB′中，，{∠MB'D =∠BMC∠BCM =∠MDB'BM =MB'∴△BCM ≌△MDB′．∴BC=MD ，CM=B′D ．设点M 的坐标为（1，a ）．则B′D=CM=4﹣a ，MD=CB=2．∴点B′的坐标为（a﹣3，a﹣2）．∴﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3=a﹣2．整理得：a 2﹣7a+10=0．解得a=2，或a=5．当a=2时，M 的坐标为（1，2），当a=5时，M 的坐标为（1，5）．综上所述当点M 的坐标为（1，2）或（1，5）时，B′恰好落在抛物线C 2上5．【答案】（1）解：把、两点代入得，A(−1，0)B(2，3)y =−x 2+bx +c ，{−1−b +c =0−4+2b +c =3解得：，{b =2c =3∴抛物线的解析式为： y =−x 2+2x +3（2）解：∵ ，y =−x 2+2x +3=−(x−1)2+4∴D 点坐标为：，D(1，4)设直线AB 的解析式为：，代入A 、B 两点可得：y =kx +d ，{−k +d =02k +d =3解得：，{k =1d =1∴直线AB 的解析式为：，y =x +1设直线AB 与抛物线对称轴交于点E ，则，E(1，2)∴ ；S △ABD =12×(4−2)×3=3（3）解：假设存在，设点，由解析式可知C 点坐标为（0，3）P(1，m)∴ ，，，AC 2=12+32=10CP 2=12+(m−3)2=m 2−6m +10AP 2=m 2+4△ACP ①当时，，即，∠APC =90°AP 2+CP 2=AC 2m 2+4+m 2−6m +10=10解得：，，m 1=1m 2=2此时点P 的坐标为（1，1）或（1，2）；②当时，，即，∠ACP =90°AC 2+CP 2=AP 210+m 2−6m +10=m 2+4解得：，m =83此时点P 的坐标为；(1，83)③当时，，即，∠PAC =90°AP 2+AC 2=PC 2m 2+4+10=m 2−6m +10解得：，m =−23此时点P 的坐标为；(1，−23)综上所述，满足条件的P 点的坐标为（1，1）或（1，2）或或．(1，83)(1，−23)6．【答案】（1）解：OA ＝OC ＝4OB ＝4，故点A 、C 的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）（2）解：抛物线的表达式为：，y ＝a （x +1）(x−4)=a(x 2﹣3x﹣4)即﹣4a ＝﹣4，解得：a ＝1，故抛物线的表达式为： y ＝x 2−3x−4（3）解：直线CA 过点C ，设其函数表达式为：， y ＝kx−4将点A 坐标代入上式并解得：k ＝1，故直线CA 的表达式为：y ＝x﹣4，过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H ，∵OA ＝OC ＝4，，∴∠OAC ＝∠OCA ＝45°∵PH//y 轴，，∴∠PHD ＝∠OCA ＝45°设点，则点H （x ，x﹣4），P （x ，x 2−3x−4）PD ＝22（x−4−x 2+3x +4）=−22x 2+22x∵ ＜0，∴PD 有最大值，当x ＝2时，其最大值为，−222此时点P （2，﹣6）.7．【答案】（1）解：在Rt △ABC 中，∠A=30°，AB=4，∴AC=2 ，3∵PD ⊥AC ，∴∠ADP=∠CDP=90°，在Rt △ADP 中，AP=2t ，∴DP=t ，AD=APcosA=2t× = t ，323∴CD=AC﹣AD=2 ﹣ t （0＜t ＜2）33（2）解：在Rt △PDQ 中，∵∠DPC=60°，∴∠PQD=30°=∠A ，∴PA=PQ ，∵PD ⊥AC ，∴AD=DQ ，∵点Q 和点C 重合，∴AD+DQ=AC ，∴2× t=2 ，33∴t=1（3）解：当0＜t≤1时，S=S △PDQ = DQ×DP= × t×t=t 2，当1＜t ＜2时，如图2，1212332CQ=AQ﹣AC=2AD﹣AC=2 t﹣2 =2 （t﹣1），333在Rt △CEQ 中，∠CQE=30°，∴CE=CQ•tan ∠CQE=2 （t﹣1）× =2（t﹣1），333∴S=S △PDQ ﹣S △ECQ = × t×t﹣ ×2 （t﹣1）×2（t﹣1）=﹣ t 2+4 t﹣2 ，12312333233∴S={32t 2(0<t ≤1)−33t 2+43t−23(0<t <2)（4）解：当PQ 的垂直平分线过AB 的中点F 时，如图3，∴∠PGF=90°，PG=12PQ= AP=t ，AF= AB=2，∵∠A=∠AQP=30°，∴∠FPG=60°，∴∠PFG=30°，∴PF=2PG=2t ，1212∴AP+PF=2t+2t=2，∴t= ；12当PQ 的垂直平分线过AC 的中点M 时，如图4，∴∠QMN=90°，AN= AC= ，QM= PQ= AP=t ，1231212在Rt △NMQ 中，NQ= ，MQ cos30°=233t ∵AN+NQ=AQ ，∴ + =2 t ，3233t3∴t= ，34当PQ 的垂直平分线过BC 的中点时，如图5，∴BF= BC=1，PE= PQ=t ，∠H=30°，∵∠ABC=60°，∴∠BFH=30°=∠H ，1212∴BH=BF=1，在Rt △PEH 中，PH=2PE=2t ，∴AH=AP+PH=AB+BH ，∴2t+2t=5，∴t= ，即：当线段PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，t 的值为秒或秒或秒541234548．【答案】（1）解：抛物线的解析式为 y =x 2+3x（2）解：设点P 坐标为，其中 (m ，m 2+3m)−4<m <0∵点A （－4，4），∴直线OA 的解析式为，y =−x 从而点Q 的坐标为，∴ = (m ，−m)PQ =−m−(m 2+3m)−m 2−4m当四边形AHPQ 为平行四边形时，PQ=AH=4，即，解得，此时点P 坐标为 −m 2−4m =4m =−2(−2，−2)∴∠AOP=∠AOH+∠POH=45o +45o =90o .（3）解：设AC 交y 轴于点D ，由点A （－4，4）得，， ∠AOB =∠AOD =45o∵∠CAO ＝∠BAO ，，∴ ≌ AO =AO ΔAOD ΔAOB ∴ ，点D 坐标为（0，3）OD =OB =3设直线AC 解析式为，则y =px +q {−4p +q =4q =3解得，，∴直线AC 解析式为 .p =−14q =3y =−14x +39．【答案】（1）证明：在正三角形ABC 中，∠ABP ＝∠PCN ＝60°， ∴∠BAP+∠BPA ＝120°，又∵∠APQ ＝60°，∴∠CPN+∠BPA ＝120°，∴∠BAP ＝∠CPN ，∴△ABP ∽△PCN（2）解：△ABD ≌△ACD ；△APN ∽△ACP ；△APN ∽△QCN ；△ACP ∽△QCN ；理由：∵△ABC 是正三角形，AD ⊥BC ，由三线合一可证△ABD ≌△ACD ；∵∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP ，∴△APN ∽△ACP ；∵∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,∴△APN ∽△QCN ；∵△APN ∽△ACP ，△APN ∽△QCN ，∴△ACP ∽△QCN（3）解：能，设PB ＝x ，CN ＝y ，由第（1）题可得：， y x=12−x12∴，又3≤x≤9，利用函数图象可知：y =−112x 2+x 当x ＝3或9时，y ＝，当x ＝6时，y 最大＝3；94∴点N 运动的路径长为：（3－）×2＝1.59410．【答案】（1）解：∵抛物线与y 轴交于点C （0，3），∴c=3，∴抛物线解析式为：y = -x 2，将（﹣1，0）代入上述解析式，得：-1-b+3=0，解得：b=2，∴抛物线的解析式为：y = -x 2+2x+3，整理为顶点式为：y = -（x-1）2+4，∴顶点M 坐标为（1，4）（2）解：∵抛物线对称轴为直线x=1，A 、B 关于对称轴对称， ∴点B 的坐标为（3，0），作图如图所示，过M 点作MN ∥y 轴，交BC 于N 点，设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，将B （3，0）和C （0，3）代入解得k=-1，b=3，∴直线BC 的解析式为：y=-x+3，∵MN ∥y 轴，∴M 、N 两点横坐标相同，由（1）知M 点横坐标为1，∴N 点横坐标为1，∴代入直线BC 解析式可得N 点纵坐标为2，∴MN=4-2=2，∴S △MBC = MN （x B -x C ）= ×2×（3-0）=3，1212∴△MCB 的面积为3．11．【答案】（1）解：把（1，4），（0，3）代入二次函数y ＝ax 2+2x+c 得：，{a +2+c =4c =3解得：a ＝－1，c ＝3∴y ＝－x 2＋2x ＋3对称轴为：直线x ＝-＝1．b2a （2）解：令y ＝0得：x 2-2x-3＝0，(x+1)(x-3)＝0，x 1＝－1，x 2＝3，∵A 点在B 点的左侧，∴A （－1，0），B （3，0），∴AB ＝3-(－1)＝4，当P 点为抛物线的顶点时，△PAB 的面积最大，把x ＝1代入y ＝-x 2+2x+3得：y ＝4，∴ P 点的坐标为（1，4），∴S △PAB ＝×4×4＝8，12即△PAB 的最大面积为8．12．【答案】（1）解：将点A （2，0）和点B （1，﹣ ）分别代入y= x 2+mx+n 中，得：3414 ，{14×4+2m +n =014+m +n =−34解得：，{m =0n =−1∴抛物线的解析式：y= x 2﹣114（2）解：①将P 点纵坐标代入（1）的解析式，得：x 2﹣1=﹣ +2t ，x= ，14348t +1∴P （，﹣ +2t ），8t +134∴圆心C （，﹣ +t ），8t +1238∴点C 到直线l 的距离：﹣ +t﹣（﹣1）=t+ ；3858而OP 2=8t+1+（﹣ +2t ）2，得OP=2t+ ，半径OC=t+ ；345458∴直线l 与⊙C 始终保持相切．②Ⅰ、由①可知，若直线l 与⊙C 相切，则：2t﹣ =t+ ，t= ；585854∴当0＜t ＜时，直线l 与⊙C 相交；54Ⅱ、∵0＜t ＜时，圆心C 到直线l 的距离为d=|2t﹣ |，又半径为r=t+ ，545858∴a 2=4（r 2﹣d 2）=4[（t+ ）2﹣|2t﹣ |2]=﹣12t 2+15t ，5858∴t= 时，a 的平方取得最大值为 58751613．【答案】（1）由y=0，得x 2+x﹣2=0 解得 x 1=﹣2，x 2=l ，∴A （﹣2，0），B （l ，0），由x=0，得y=﹣2，∴C （0，﹣2）.（2）连接AC 与对称轴的交点即为点P.设直线AC 为y=kx+b ，则，{﹣2k +b =0b =﹣2得 k=﹣l ，∴y=﹣x﹣2.对称轴为x= ，当 x= 时，y=-（）﹣2= ，−12−12−12−32∴P （，）.−12−32（3）过点M 作MN 丄x 轴与点N ，设点M （x ，x 2+x﹣2），则OA=2，ON=﹣x ，OB=1，OC=2，MN=﹣（x 2+x﹣2）=﹣x 2﹣x+2，S 四边形ABCM =S △AOM +S △OCM +S △BOC= ×2×（﹣x 2﹣x+2）+ ×2（﹣x ）+ ×1×2121212=﹣x 2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4.∵a=﹣1＜0，∴当x=﹣1时，S 四边形ABCM 的最大值为4.∴点M 坐标为（﹣1，﹣2）时，S 四边形ABCM 的最大值为4.14．【答案】（1）（0，5）；（5，0）（2）解：将点A 、B 的坐标代入二次函数表达式得：， {−25+5b +c =0c =5解得：，{b =4c =5即抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+4x+5；（3）解：抛物线的对称轴为x ＝﹣ ＝2，则点C 的坐标为（4，5）， b 2a 设点P 的坐标为（x ，﹣x 2+4x+5），则点D 坐标为（x ，﹣x+5）∵AC ⊥PD ，∴S 四边形APCD ＝ ×AC×PD ＝2（﹣x 2+4x+5+x﹣5）＝﹣2x 2+10x ，12∵a ＝﹣2＜0，∴S 四边形APCD 有最大值，当x ＝时，其最大值为：，此时点P 的坐标（，）．522525225215．【答案】（1）解：∵点B 的坐标为(5，0)，抛物线对称轴为直线， x =2∴点A 的坐标为(-1，0)，设抛物线的解析式为，y =a(x +1)(x−5)把点C(0，-5)代入得：，−5=a(0+1)(0−5)解得：，a =1∴抛物线的解析式为，y =(x +1)(x−5)=x 2−4x−5（2）−9≤y <0（3）解：设直线BC 的解析式为，y =kx−5把点B 的坐标(5，0)代入得：，0=5k−5解得：，k =1∴直线BC 的解析式为，y =x−5设P 点的坐标为(x ， )，则点Q 的坐标为(x ， )，x 2−4x−5x−5∴ ( )l =PQ =x−5−x 2−4x−5= −x 2+5x=，−(x−52)2+254当时，，x =52l 最大=254此时，P 点的坐标为( ， )，52−35416．【答案】（1）解：因为抛物线的对称轴是x= ，72设解析式为y=a （x﹣ ）2+k ．72把A ，B 两点坐标代入上式，得，{a(6−72)2+k =0a(0−72)2+k =4解得a= ，k=﹣ ．23256故抛物线解析式为y= （x﹣ ）2﹣ ，顶点为（，﹣ ）237225672256（2）解：∵点E （x ，y ）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y= （x﹣ ）2﹣ ，2372256∴y ＜0，即﹣y ＞0，﹣y 表示点E 到OA 的距离．∵OA 是OEAF 的对角线，∴S=2S △OAE =2× ×OA•|y|=﹣6y=﹣4（x﹣ ）2+25．1272因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）和（6，0），所以自变量x 的取值范围是1＜x ＜6．① 根据题意，当S=24时，即﹣4（x﹣ ）2+25=24．72化简，得（x﹣ ）2= ．7214解得x 1=3，x 2=4．故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，﹣4），E 2（4，﹣4），点E 1（3，﹣4）满足OE=AE ，所以平行四边形OEAF 是菱形；点E 2（4，﹣4）不满足OE=AE ，所以平行四边形OEAF 不是菱形；②当OA ⊥EF ，且OA=EF 时，平行四边形OEAF 是正方形，此时点E 的坐标只能是（3，﹣3），而坐标为（3，﹣3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ，使平行四边形OEAF 为正方形。

二次函数代数推理综合问题解析

二次函数代数推理综合问题解析二次函数是一种常见的二次曲线，其一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

在代数推理的综合问题中，有一些与二次函数相关的问题需要解析。

下面将介绍几个常见的二次函数代数推理综合问题，并给出解析。

问题一：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为(2,3)，且过点(-1,0)，求该函数的表达式。

解析：由题可知，二次函数的顶点坐标为(2,3)，则顶点坐标中的x坐标为2，代入函数表达式可以得到：3=a*2^2+b*2+c另外，已知过点(-1,0)，把该点的坐标代入函数表达式可以得到：0=a*(-1)^2+b*(-1)+c将上述两个方程组成一个方程组：4a+2b+c=3----(1)a-b+c=0----(2)解决方程组(1)和(2)，可以采用消元法或代入法：将公式(2)的c解出来得到c=-a+b，代入公式(1)可以得到：4a+2b+(-a+b)=3，整理得到3a+3b=3，整理为a+b=1由公式a+b=1可以得到a=1-b，代入公式(2)可以得到(1-b)-b+c=0，整理得到c=2b-1综上所述，函数表达式为：y = (1 - b)x^2 + bx + (2b - 1)。

问题二：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的两个零点为-2和5，求该函数的表达式。

解析：已知二次函数的两个零点为-2和5，可得到两个方程：a*(-2)^2+b*(-2)+c=0a*5^2+b*5+c=0整理得到：4a-2b+c=0----(3)25a+5b+c=0----(4)解决方程组(3)和(4)，可以采用消元法或代入法：将公式(3)的c解出来得到c=2b-4a，代入公式(4)可以得到：25a+5b+(2b-4a)=0，整理得到-21a+7b=0，整理为-3a+b=0。

由公式-3a+b=0可以得到b=3a，代入公式(3)可以得到4a-2(3a)+c=0，整理得到c=2a。

一元二次方程与二次函数综合测试题及参考答案

A．B．C．D．2、下列命题：①若，则；②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（）Ａ．只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②③④3、若一次函数的图象过第一、三、四象限，则函数（）A．有最大值B．有最大值－C．有最小值D．有最小值－4、已知二次函数y=a x2+b x+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②a b c＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个5、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（）A．1B．12C．13D．256、设、是方程的两根，则代数式=。

7、已知关于一元二次方程有一根是，则。

三、计算题8、已知：关于的方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是，求另一个根及值．9、解方程：四、综合题10、已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.11、如图：抛物线与轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），与轴交于点C．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）过点C作C P⊥对称轴于点P，连接B C交对称轴于点D，连接A C、B P，且∠B P D=∠B C P，求抛物线的解析式。

12、已知关于x的二次函数y=x2-（2m-1）x+m2+3m+4.（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数.（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且+=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线C M的解析式.13、如图，已知点，直线交轴于点，交轴于点（1）求对称轴平行于轴，且过三点的抛物线解析式；（2）若直线平分∠A B C，求直线的解析式；（3）若直线产（>0）交（1）中抛物线于两点，问：为何值时，以为边的正方形的面积为9？14、如图，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结，是线段上一动点，以为一边向右侧作正方形，连结，交于点．（1）试判断的形状，并说明理由；（2）求证：；（3）连结，记的面积为，的面积为，若，试探究的最小值．15、如图，抛物线y＝－x22＋b x＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形O C E F为矩形，且O F＝2，E F＝3．(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求△A B D的面积；(3)将△A O C绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．五、简答题16、已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边的长是．(1)为何值时，是以为斜边的直角三角形；(2)为何值时，是等腰三角形，并求的周长17、已知关于的一元二次方程：．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，．18、已知抛物线y = a x 2－x + c 经过点Q （－2，），且它的顶点P 的横坐标为－1．设抛物线与x 轴相交于A A 、、B B 两两点点，，如如图图．．（1）求抛物线的解析式；（2）求A 、B 两点的坐标；（3）设P B 于y 轴交于C 点，求△A B C 的面积．19、如图，已知抛物线的顶点为A （1，4）、抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C 、D 两点.点P 是x 轴上的一个动点. （1）求此抛物线的解析式.（2）当P A +P B 的值最小时，求点P 的坐标．20、已知二次函数的部分图象如图7所示，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线.（1）若，求的值；（2）若实数，比较与的大小，并说明理由.参考答案一、选择题1、C2、B3、B4、考点：二次函数图象与系数的关系。

备考2023年中考数学一轮复习-函数_二次函数_二次函数的最值-综合题专训及答案

备考2023年中考数学一轮复习-函数_二次函数_二次函数的最值-综合题专训及答案二次函数的最值综合题专训1、(2018徐州.中考真卷) 如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q（1）【探究一】在旋转过程中，①如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.②如图3，当时E P与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系式为,其中的取值范围是(直接写出结论，不必证明)（2）【探究二】若且AC＝30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中：①S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.②随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.2、(2017南京.中考真卷) 已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是．（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．3、(2017满洲里.中考模拟) 如图（1），抛物线 y=﹣x2平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式及点D的坐标；（2）直接写出阴影部分的面积 S；阴影（3）如图（2），直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点（点M 不与点A，O重合），∠PMN为直角，MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究：t 为何值时，△MAN为等腰三角形？4、(2018无锡.中考模拟) 九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品时间x（天）1≤x＜50 50≤x≤90售价（元/件）x+40 90每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．5、(2018惠山.中考模拟) 重庆市的重大惠民工程﹣﹣公租房建设已陆续竣工，计划10年内解决低收入人群的住房问题，前6年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是y= x+5，（x单位：年，1≤x≤6且x为整数）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是y=- x+ （x单位：年，7≤x≤10且x为整数）．假设每年的公租房全部出租完．另外，随着物价上涨等因素的影响，每年的租金也随之上调，预计，第x年投入使用的公租房的租金z（单位：元/m2）与时间x（单位：年，1≤x≤10且x为整数）满足一次函数关系如下表：z（元/m2）50 52 54 56 58 …x（年） 1 2 3 4 5 …（1）求出z与x的函数关系式；（2）求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多，最多为多少百万元；（3）若第6年竣工投入使用的公租房可解决20万人的住房问题，政府计划在第10年投入的公租房总面积不变的情况下，要让人均住房面积比第6年人均住房面积提高a%，这样可解决住房的人数将比第6年减少1.35a%，求a的值．（参考数据：，，）6、(2018宁波.中考真卷) 如图1，直线l：与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜），以点A为圆心，AC 长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE·EF的最大值．7、(2017菏泽.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．8、(2017平顶山.中考模拟) 如图，已知ED为⊙O的直径且ED=4，点A（不与E、D 重合）为⊙O上一个动点，线段AB经过点E，且EA=EB，F为⊙O上一点，∠FEB=90°，BF的延长线交AD的延长线交于点C．（1）求证：△EFB≌△ADE；（2）当点A在⊙O上移动时，直接回答四边形FCDE的最大面积为多少．9、(2017重庆.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y= x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10、(2017四川.中考真卷) 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？11、(2018遵义.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点(不与点A、B重合)，过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G.求出△PFG的周长最大值；（3）在抛物线y＝ax2＋bx＋c上是否存在除点D以外的点M，使得△ABM与△ABD 的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．12、(2020合肥.中考模拟) 某市政府为了扶贫，鼓励当地农民养殖小龙虾，如图：张叔叔顺着圩梗AN、AM（AN＝3 m，AM＝10m，∠MAN＝45°），用8m长的渔网搭建了一个养殖水域（即四边形ABCD），圩梗边不需要渔网，AB∥CD，∠C＝90°．设BC＝xm，四边形ABCD面积为S（m2）．（1）求出S关于x的函数表达式及x的取值范围；（2）x为何值时，围成的养殖水域面积最大？最大面积是多少？13、(2020东城.中考模拟) 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B 的坐标为，抛物线的顶点为C．（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；（2）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围；（3）若满足不等式的x的最大值为3，直接写出实数a的值．14、已知二次函数的图象经过点，且对称轴为直线．（1）求的值；（2）当时，求的最大值；（3）平移抛物线，使其顶点始终在二次函数上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值．15、如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点.（1）求二次函数的解析式；（2）若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；（3）点是二次函数第四象限图象上一点，过点作轴的垂线，交直线于点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标.二次函数的最值综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。

专题：二次函数与代数综合题(解析版)

专题:二次函数与代数综合题【典例1】（2019•自贡）如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．（1）求抛物线C函数表达式；（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=17 4的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF＝BN，CF＝CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可．【解答】解：（1）由题意把点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c，得，，解得a＝﹣1，c＝3，∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，将点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中，得，，解得，k＝1，b＝1，∴y AB＝x+1，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1）＝﹣（a﹣）2+，根据二次函数的性质可知，当a＝时，MK有最大长度，∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK＝MK•AH+MK•（x B﹣x H）＝MK•（x B﹣x A）＝××3＝，∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，S最大＝2S△AMB最大＝2×＝，M（，）；（3）存在点F，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，设F（1，a），连接BF，CF，则BF＝BN＝﹣3＝，CF＝CH＝，由题意可列：，解得，a＝，∴F（1，）．【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．【精练1】（2019•贵阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．【点拨】（1）先根据题意得出点B 的坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）分点P 在点C 上方和下方两种情况，先求出∠OBP 的度数，再利用三角函数求出OP 的长，从而得出答案；（3）分对称轴x ＝1在a 到a +1范围的右侧、中间和左侧三种情况，结合二次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）∵点A （﹣1，0）与点B 关于直线x ＝1对称， ∴点B 的坐标为（3，0），代入y ＝x 2+bx +c ，得： {1−b +c =09+3b +c =0，解得{b =−2c =−3，所以二次函数的表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）如图所示：由抛物线解析式知C （0，﹣3），则OB ＝OC ＝3， ∴∠OBC ＝45°，若点P在点C上方，则∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°，∴OP＝OB tan∠OBP＝3×√33=√3，∴CP＝3−√3；若点P在点C下方，则∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°，∴OP′＝OB tan∠OBP′＝3×√3=3√3，∴CP＝3√3−3；综上，CP的长为3−√3或3√3−3；（3）若a+1＜1，即a＜0，则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，解得a＝1−√5（正值舍去）；若a＜1＜a+1，即0＜a＜1，则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，解得：a＝﹣2（舍去）；若a＞1，则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2+√7（负值舍去）；综上，a的值为1−√5或2+√7．【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的运用、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用．【精练2】（2019•长春）已知函数y={−x2+nx+n，(x≥n)，−12x2+n2x+n2，(x＜n)（n为常数）（1）当n＝5，①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；②求此函数的最大值．（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．【点拨】（1）①将P （4，b ）代入y =−12x 2+52x +52；②当x ≥5时，当x ＝5时有最大值为5；当x ＜5时，当x =52时有最大值为458；故函数的最大值为458；（2）将点（4，2）代入y ＝﹣x 2+nx +n 中，得到n =185，所以185＜n ＜4时，图象与线段AB 只有一个交点；将点（2，2）代入y ＝﹣x 2+nx +n 和y =−12x 2+n2x +n2中，得到n ＝2，n =83，所以2≤n ＜83时图象与线段AB 只有一个交点；（3）利用数形结合的思想，分别画出图象解决问题即可：n ＞0时，n ＞n2，①如图1中，当点A 的纵坐标为4时，构建方程解决问题即可．②如图2中，观察图象可知，当n ≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A ，B ，C ，D ． ③如图3中，当点A 的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A ，B ，C ，D ．构建方程即可解决问题．④如图4中，当n ≤﹣8时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是图中A ，B ，C ，D ．【解答】解：（1）当n ＝5时， y ={−x 2+5x +5(x ≥5)−12x 2+52x +52(x ＜5)， ①将P （4，b ）代入y =−12x 2+52x +52， ∴b =92；②当x ≥5时，当x ＝5时有最大值为5；当x ＜5时，当x =52时有最大值为458；∴函数的最大值为458；（2）将点（4，2）代入y ＝﹣x 2+nx +n 中， ∴n =185， ∴185＜n ＜4时，图象与线段AB 只有一个交点；将点（2，2）代入y ＝﹣x 2+nx +n 中， ∴n ＝2，将点（2，2）代入y =−12x 2+n 2x +n 2中， ∴n =83，∴2≤n ＜83时图象与线段AB 只有一个交点；综上所述：185＜n ＜4，2≤n ＜83时，图象与线段AB 只有一个交点；（3）n ＞0时，n ＞n2，函数图象如图实线所示． ①如图1中，当点A 的纵坐标为4时，则有−n 28+n 24+n 2=n 28+n2=4时，解得n ＝4或n ＝﹣8（舍去），观察图象可知：n ＝4时，满足条件的点恰好有四个，分别是A ，B ，C ，D ．②如图2中，观察图象可知，当n ≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A ，B ，C ，D ．n＜0时，n＜n2，函数图象如图中实线．③如图3中，当点A的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．则有：−n24+n22+n＝4时，解得n＝﹣2﹣2√5或n＝﹣2+2√5（舍弃）④如图4中，当n≤﹣8时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．综上所述，函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，n≤﹣8或n＝﹣2﹣2√5或n＝4或n≥8．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会正确画出函数图象，利用图象法解决问题，属于中考压轴题．【精练3】（2019•绥化）已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x=12，交x轴于点A、B，交y轴于点C，且点A坐标为A（﹣2，0）．直线y＝﹣mx﹣n（m＞0）与抛物线交于点P、Q（点P在点Q的右边），交y轴于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若n＝﹣5，且△CPQ的面积为3，求m的值；（3）当m≠1时，若n＝﹣3m，直线AQ交y轴于点K．设△PQK的面积为S，求S与m之间的函数解析式．【点拨】（1）将点A（﹣2，0）代入解析式，对称轴为x=−b2a=12，联立即可求a与b的值；（2）设点Q横坐标x1，点P的横坐标x2，则有x1＜x2，联立y＝﹣mx+5，y=−12x2+12x+3根据韦达定理可得x1+x2＝2m+1，x1x2＝4，由面积之间的关系：S△CPQ＝S△CHP﹣S△CHQ，可求m的值；（3）当n＝﹣3m时，PQ解析式为y＝﹣mx+3m，联立有：﹣mx+3m=−12x2+12x+3，解得x＝3或x＝2m﹣2；由条件可得P（3，0），Q（2m﹣2，﹣2m2+5m），K（0，5﹣2m），所以有HK＝|5m﹣5|＝5|m﹣1|；①当0＜m＜1时，HK＝5﹣5m，S△PQK＝S△PHK+S△QHK=12×HK（x P﹣x Q）=12×（5﹣5m）（5﹣2m）＝5m2−352m+252，②当1＜m＜52时，HK＝5m﹣5，S△PQK＝﹣5m2+352m−252，③当2m﹣2＞3时，如图③，有m＞52，S△PQK=12×KQ|y P|=32（2m2﹣5m）＝3m2−152m，【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）代入解析式，得4a﹣2b+3＝0，∵x=−b2a=12，∴a=−12，b=12；∴y=−12x2+12x+3；（2）设点Q横坐标x1，点P的横坐标x2，则有x1＜x2，把n＝﹣5代入y＝﹣mx﹣n，∴y＝﹣mx+5，联立y ＝﹣mx +5，y =−12x 2+12x +3得：﹣mx +5=−12x 2+12x +3，∴x 2﹣（2m +1）x +4＝0，∴x 1+x 2＝2m +1，x 1x 2＝4，∵△CPQ 的面积为3；∴S △CPQ ＝S △CHP ﹣S △CHQ ，即12HC （x 2﹣x 1）＝3， ∴x 2﹣x 1＝3，∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2＝9，∴（2m +1）2＝25，∴m ＝2或m ＝﹣3，∵m ＞0，∴m ＝2；（3）当n ＝﹣3m 时，PQ 解析式为y ＝﹣mx +3m ，∴H （0，3m ），∵y ＝﹣mx +3m 与y =−12x 2+12x +3相交于点P 与Q ，∴﹣mx +3m =−12x 2+12x +3，∴x ＝3或x ＝2m ﹣2，当2m ﹣2＜3时，有0＜m ＜52，∵点P 在点Q 的右边，∴P （3，0），Q （2m ﹣2，﹣2m 2+5m ），∴AQ 的直线解析式为y =5−2m 2x +5﹣2m ， ∴K （0，5﹣2m ），∴HK ＝|5m ﹣5|＝5|m ﹣1|，①当0＜m ＜1时，如图①，HK ＝5﹣5m ，∴S △PQK ＝S △PHK +S △QHK =12×HK （x P ﹣x Q ）=12×（5﹣5m ）（5﹣2m ）＝5m 2−352m +252，②当1＜m ＜52时，如图②，HK ＝5m ﹣5，∴S △PQK ＝﹣5m 2+352m −252， ③当2m ﹣2＞3时，如图③，有m ＞52，∴P （2m ﹣2，﹣2m 2+5m ），Q （3，0），K （0，0），∴S △PQK =12×KQ |y P |=32（2m 2﹣5m ）＝3m 2−152m ，综上所述，S ={ 5m 2−352m +252(0＜m ＜1)−5m 2+352m −252(1＜m ＜52)3m 2−152m(m ＞52)；【点睛】本题是二次函数的综合题；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的主要思想．【精练4】（2019•大庆）如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y＝x2+bx+c图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象，得到的新图象与直线y＝t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．当以EF为直径的圆过点Q（2，1）时，求t的值；（3）在抛物线y＝x2+bx+c上，当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤7，请直接写出x的取值范围．【点拨】（1）抛物线的对称轴是x＝2，且过点A（﹣1，0）点，∴{−b2=21−b+c=0，即可求解；（2）翻折后得到的部分函数解析式为：y ＝﹣（x ﹣2）2+9＝﹣x 2+4x +5，（﹣1＜x ＜5），新图象与直线y＝t 恒有四个交点，则0＜t ＜9，由{y =t y =−x 2+4x +5解得：x ＝2±√9−t ，即可求解；（3）分m 、n 在函数对称轴左侧、m 、n 在对称轴两侧、m 、n 在对称轴右侧时，三种情况分别求解即可．【解答】解：（1）抛物线的对称轴是x ＝2，且过点A （﹣1，0）点，∴{−b 2=21−b +c =0，解得：{b =−4c =−5， ∴抛物线的函数表达式为：y ＝x 2﹣4x ﹣5；（2）y ＝x 2﹣4x ﹣5＝（x ﹣2）2﹣9，则x 轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为：y ＝﹣（x ﹣2）2+9＝﹣x 2+4x +5，（﹣1＜x ＜5），其顶点为（2，9）．∵新图象与直线y ＝t 恒有四个交点，∴0＜t ＜9，设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2）．由{y =t y =−x 2+4x +5解得：x ＝2±√9−t ， ∵以EF 为直径的圆过点Q （2，1），∴EF ＝2|t ﹣1|＝x 2﹣x 1，即2√9−t =2|t ﹣1|，解得t =1±√332，又∵0＜t ＜9，∴t 的值为1+√332；（3）①当m 、n 在函数对称轴左侧时，m ≤n ≤2，由题意得：x ＝m 时，y ＝7，x ＝n 时，y ＝m ，即：m 2﹣4m ﹣5＝7，解得m ＝﹣2或m ＝6（舍），n 2﹣4n ﹣5＝m ，解得n ＝2−√7或m ＝2+√7（舍），解得：﹣2≤x ≤2−√7；②当m 、n 在对称轴两侧时，x ＝2时，y 的最小值为﹣9，不合题意；③当m 、n 在对称轴右侧时，同理可得：5+3√52≤x ≤6；故x 的取值范围是：﹣2≤x ≤2−√7或5+3√52≤x ≤6．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本性质性质、图形的翻折等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【精练5】（2019•玉林）已知二次函数：y ＝ax 2+（2a +1）x +2（a ＜0）．（1）求证：二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）当二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且a 为负整数时，求a 的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x 轴的两个交点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴的交点C 及其顶点D 这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A ，B ，C ，D 的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P 使∠PCA ＝75°？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【点拨】（1）将解析式右边因式分解得抛物线与x 轴的交点为（﹣2，0）、（−1a ，0），结合a ＜0即可得证；（2）结合（1）中一个交点坐标（−1a ，0）及横坐标均为整数，且a 为负整数可得a 的值，从而得出抛物线解析式，继而求出点C 、D 坐标，从而画出函数图象；（3）分点P在AC上方和下方两种情况，结合∠ACO＝45°得出直线PC与x轴所夹锐角度数，从而求出直线PC解析式，继而联立方程组，解之可得答案．【解答】解：（1）∵y＝ax2+（2a+1）x+2＝（x+2）（ax+1），且a＜0，∴抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）、（−1a，0），则二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）∵两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数，∴a＝﹣1，则抛物线与x轴的交点A的坐标为（﹣2，0）、B的坐标为（1，0），∴抛物线解析式为y＝（x+2）（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+12）2+94，当x＝0时，y＝2，即C（0，2），函数图象如图1所示：（3）存在这样的点P，∵OA＝OC＝2，∴∠ACO＝45°，如图2，当点P在直线AC上方时，记直线PC与x轴的交点为E，∵∠PCA ＝75°，∴∠PCO ＝120°，∠OCB ＝60°，则∠OEC ＝30°，∴OE =OC tan∠OEC =33=2√3，则E （2√3，0），求得直线CE 解析式为y =−√33x +2，联立{y =−√33x +2y =−x 2−x +2，解得{x =0y =2或{x =√3−33y =√3+53， ∴P （√3−33，√3+53）；如图3，当点P 在直线AC 下方时，记直线PC 与x 轴的交点为F ，∵∠ACP ＝75°，∠ACO ＝45°，∴∠OCF ＝30°，则OF ＝OC tan ∠OCF ＝2×√33=2√33， ∴F （2√33，0），求得直线PC 解析式为y =−√3x +2，联立{y =−√3x +2y =−x 2−x +2，解得：{x =0y =2或{x =√3−1y =√3−1， ∴P （√3−1，√3−1），综上，点P 的坐标为（√3−33，√3+53）或（√3−1，√3−1）．【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、直线与抛物线相交的问题等．【精练6】（2019•河北）如图，若b 是正数，直线l ：y ＝b 与y 轴交于点A ；直线a ：y ＝x ﹣b 与y 轴交于点B ；抛物线L ：y ＝﹣x 2+bx 的顶点为C ，且L 与x 轴右交点为D ．（1）若AB ＝8，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标；（2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；（3）设x 0≠0，点（x 0，y 1），（x 0，y 2），（x 0，y 3）分别在l ，a 和L 上，且y 3是y 1，y 2的平均数，求点（x 0，0）与点D 间的距离；（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b ＝2019和b ＝2019.5时“美点”的个数．【点拨】（1）当x ＝0时，y ＝x ﹣b ＝﹣b ，所以B （0，﹣b ），而AB ＝8，而A （0，b ），则b ﹣（﹣b ）＝8，b ＝4．所以L ：y ＝﹣x 2+4x ，对称轴x ＝2，当x ＝2吋，y ＝x ﹣4＝﹣2，于是L 的对称轴与a 的交点为（2，﹣2 ）；（2）y ＝﹣（x −b 2）2+b 24，顶点C （b 2，b 24）因为点C 在l 下方，则C 与l 的距离b −b 24=−14（b ﹣2）2+1≤1，所以点C 与1距离的最大值为1；（3）由題意得y 3=y 1+y 22，即y 1+y 2＝2y 3，得b +x 0﹣b ＝2（﹣x 02+bx 0）解得x 0＝0或x 0＝b −12．但x 0≠0，取x 0＝b −12，对于L ，当y ＝0吋，0＝﹣x 2+bx ，即0＝﹣x （x ﹣b ），解得x 1＝0，x 2＝b ，右交点D（b ，0）．因此点（x 0，0）与点D 间的距离b ﹣（b −12）=12（4）①当b ＝2019时，抛物线解析式L ：y ＝﹣x 2+2019x 直线解析式a ：y ＝x ﹣2019，美点”总计4040个点，②当b ＝2019.5时，抛物线解析式L ：y ＝﹣x 2+2019.5x ，直线解析式a ：y ＝x ﹣2019.5，“美点”共有1010个．【解答】解：（1）当x ＝0时，y ＝x ﹣b ＝﹣b ，∴B （0，﹣b ），∵AB ＝8，而A （0，b ），∴b ﹣（﹣b ）＝8，∴b ＝4．∴L ：y ＝﹣x 2+4x ，∴L 的对称轴x ＝2，当x ＝2吋，y ＝x ﹣4＝﹣2，∴L 的对称轴与a 的交点为（2，﹣2 ）；（2）y ＝﹣（x −b 2）2+b 24， ∴L 的顶点C （b 2，b 24）∵点C 在l 下方，∴C 与l 的距离b −b 24=−14（b ﹣2）2+1≤1， ∴点C 与1距离的最大值为1；（3）由题意得y 3=y 1+y 22，即y 1+y 2＝2y 3，得b +x 0﹣b ＝2（﹣x 02+bx 0）解得x 0＝0或x 0＝b −12．但x 0≠0，取x 0＝b −12，对于L，当y＝0吋，0＝﹣x2+bx，即0＝﹣x（x﹣b），解得x1＝0，x2＝b，∵b＞0，∴右交点D（b，0）．∴点（x0，0）与点D间的距离b﹣（b−12）=12（4）①当b＝2019时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019x直线解析式a：y＝x﹣2019联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019，∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点∴总计4042个点，∵这两段图象交点有2个点重复，∴美点”的个数：4042﹣2＝4040（个）；②当b＝2019.5时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019.5x，直线解析式a：y＝x﹣2019.5，联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019.5，∴当x取整数时，在一次函数y＝x﹣2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y＝x2+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知﹣1到2019.5之间有1010个偶数，因此“美点”共有1010个．故b＝2019时“美点”的个数为4040个，b＝2019.5时“美点”的个数为1010个．【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．。

中考压轴题二次函数与代数综合题

二次函数与代数综合题【典例1】（2019•自贡）如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．（1）求抛物线C函数表达式；（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=17 4的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF＝BN，CF＝CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可．【解答】解：（1）由题意把点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c，得，，解得a＝﹣1，c＝3，∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，将点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中，得，，解得，k＝1，b＝1，∴y AB＝x+1，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1）＝﹣（a﹣）2+，根据二次函数的性质可知，当a＝时，MK有最大长度，∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK＝MK•AH+MK•（x B﹣x H）＝MK•（x B﹣x A）＝××3＝，∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，S最大＝2S△AMB最大＝2×＝，M（，）；（3）存在点F，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，设F（1，a），连接BF，CF，则BF＝BN＝﹣3＝，CF＝CH＝，由题意可列：，解得，a＝，∴F（1，）．【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．【精练1】（2019•贵阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．【点拨】（1）先根据题意得出点B 的坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）分点P 在点C 上方和下方两种情况，先求出∠OBP 的度数，再利用三角函数求出OP 的长，从而得出答案；（3）分对称轴x ＝1在a 到a +1范围的右侧、中间和左侧三种情况，结合二次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）∵点A （﹣1，0）与点B 关于直线x ＝1对称， ∴点B 的坐标为（3，0），代入y ＝x 2+bx +c ，得： {1−b +c =09+3b +c =0，解得{b =−2c =−3，所以二次函数的表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）如图所示：由抛物线解析式知C （0，﹣3），则OB ＝OC ＝3， ∴∠OBC ＝45°，若点P在点C上方，则∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°，∴OP＝OB tan∠OBP＝3×√33=√3，∴CP＝3−√3；若点P在点C下方，则∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°，∴OP′＝OB tan∠OBP′＝3×√3=3√3，∴CP＝3√3−3；综上，CP的长为3−√3或3√3−3；（3）若a+1＜1，即a＜0，则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，解得a＝1−√5（正值舍去）；若a＜1＜a+1，即0＜a＜1，则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，解得：a＝﹣2（舍去）；若a＞1，则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2+√7（负值舍去）；综上，a的值为1−√5或2+√7．【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的运用、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用．【精练2】（2019•长春）已知函数y={−x2+nx+n，(x≥n)，−12x2+n2x+n2，(x＜n)（n为常数）（1）当n＝5，①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；②求此函数的最大值．（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．【点拨】（1）①将P （4，b ）代入y =−12x 2+52x +52；②当x ≥5时，当x ＝5时有最大值为5；当x ＜5时，当x =52时有最大值为458；故函数的最大值为458；（2）将点（4，2）代入y ＝﹣x 2+nx +n 中，得到n =185，所以185＜n ＜4时，图象与线段AB 只有一个交点；将点（2，2）代入y ＝﹣x 2+nx +n 和y =−12x 2+n2x +n2中，得到n ＝2，n =83，所以2≤n ＜83时图象与线段AB 只有一个交点；（3）利用数形结合的思想，分别画出图象解决问题即可：n ＞0时，n ＞n2，①如图1中，当点A 的纵坐标为4时，构建方程解决问题即可．②如图2中，观察图象可知，当n ≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A ，B ，C ，D ． ③如图3中，当点A 的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A ，B ，C ，D ．构建方程即可解决问题．④如图4中，当n ≤﹣8时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是图中A ，B ，C ，D ．【解答】解：（1）当n ＝5时， y ={−x 2+5x +5(x ≥5)−12x 2+52x +52(x ＜5)， ①将P （4，b ）代入y =−12x 2+52x +52， ∴b =92；②当x ≥5时，当x ＝5时有最大值为5；当x ＜5时，当x =52时有最大值为458；∴函数的最大值为458；（2）将点（4，2）代入y ＝﹣x 2+nx +n 中， ∴n =185， ∴185＜n ＜4时，图象与线段AB 只有一个交点；将点（2，2）代入y ＝﹣x 2+nx +n 中， ∴n ＝2，将点（2，2）代入y =−12x 2+n 2x +n 2中， ∴n =83，∴2≤n ＜83时图象与线段AB 只有一个交点；综上所述：185＜n ＜4，2≤n ＜83时，图象与线段AB 只有一个交点；（3）n ＞0时，n ＞n2，函数图象如图实线所示． ①如图1中，当点A 的纵坐标为4时，则有−n 28+n 24+n 2=n 28+n2=4时，解得n ＝4或n ＝﹣8（舍去），观察图象可知：n ＝4时，满足条件的点恰好有四个，分别是A ，B ，C ，D ．②如图2中，观察图象可知，当n ≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A ，B ，C ，D ．n＜0时，n＜n2，函数图象如图中实线．③如图3中，当点A的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．则有：−n24+n22+n＝4时，解得n＝﹣2﹣2√5或n＝﹣2+2√5（舍弃）④如图4中，当n≤﹣8时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．综上所述，函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，n≤﹣8或n＝﹣2﹣2√5或n＝4或n≥8．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会正确画出函数图象，利用图象法解决问题，属于中考压轴题．【精练3】（2019•绥化）已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x=12，交x轴于点A、B，交y轴于点C，且点A坐标为A（﹣2，0）．直线y＝﹣mx﹣n（m＞0）与抛物线交于点P、Q（点P在点Q的右边），交y轴于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若n＝﹣5，且△CPQ的面积为3，求m的值；（3）当m≠1时，若n＝﹣3m，直线AQ交y轴于点K．设△PQK的面积为S，求S与m之间的函数解析式．【点拨】（1）将点A（﹣2，0）代入解析式，对称轴为x=−b2a=12，联立即可求a与b的值；（2）设点Q横坐标x1，点P的横坐标x2，则有x1＜x2，联立y＝﹣mx+5，y=−12x2+12x+3根据韦达定理可得x1+x2＝2m+1，x1x2＝4，由面积之间的关系：S△CPQ＝S△CHP﹣S△CHQ，可求m的值；（3）当n＝﹣3m时，PQ解析式为y＝﹣mx+3m，联立有：﹣mx+3m=−12x2+12x+3，解得x＝3或x＝2m﹣2；由条件可得P（3，0），Q（2m﹣2，﹣2m2+5m），K（0，5﹣2m），所以有HK＝|5m﹣5|＝5|m﹣1|；①当0＜m＜1时，HK＝5﹣5m，S△PQK＝S△PHK+S△QHK=12×HK（x P﹣x Q）=12×（5﹣5m）（5﹣2m）＝5m2−352m+252，②当1＜m＜52时，HK＝5m﹣5，S△PQK＝﹣5m2+352m−252，③当2m﹣2＞3时，如图③，有m＞52，S△PQK=12×KQ|y P|=32（2m2﹣5m）＝3m2−152m，【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）代入解析式，得4a﹣2b+3＝0，∵x=−b2a=12，∴a=−12，b=12；∴y=−12x2+12x+3；（2）设点Q横坐标x1，点P的横坐标x2，则有x1＜x2，把n＝﹣5代入y＝﹣mx﹣n，∴y＝﹣mx+5，联立y ＝﹣mx +5，y =−12x 2+12x +3得：﹣mx +5=−12x 2+12x +3，∴x 2﹣（2m +1）x +4＝0，∴x 1+x 2＝2m +1，x 1x 2＝4，∵△CPQ 的面积为3；∴S △CPQ ＝S △CHP ﹣S △CHQ ，即12HC （x 2﹣x 1）＝3， ∴x 2﹣x 1＝3，∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2＝9，∴（2m +1）2＝25，∴m ＝2或m ＝﹣3，∵m ＞0，∴m ＝2；（3）当n ＝﹣3m 时，PQ 解析式为y ＝﹣mx +3m ，∴H （0，3m ），∵y ＝﹣mx +3m 与y =−12x 2+12x +3相交于点P 与Q ，∴﹣mx +3m =−12x 2+12x +3，∴x ＝3或x ＝2m ﹣2，当2m ﹣2＜3时，有0＜m ＜52，∵点P 在点Q 的右边，∴P （3，0），Q （2m ﹣2，﹣2m 2+5m ），∴AQ 的直线解析式为y =5−2m 2x +5﹣2m ， ∴K （0，5﹣2m ），∴HK ＝|5m ﹣5|＝5|m ﹣1|，①当0＜m ＜1时，如图①，HK ＝5﹣5m ，∴S △PQK ＝S △PHK +S △QHK =12×HK （x P ﹣x Q ）=12×（5﹣5m ）（5﹣2m ）＝5m 2−352m +252，②当1＜m ＜52时，如图②，HK ＝5m ﹣5，∴S △PQK ＝﹣5m 2+352m −252， ③当2m ﹣2＞3时，如图③，有m ＞52，∴P （2m ﹣2，﹣2m 2+5m ），Q （3，0），K （0，0），∴S △PQK =12×KQ |y P |=32（2m 2﹣5m ）＝3m 2−152m ，综上所述，S ={ 5m 2−352m +252(0＜m ＜1)−5m 2+352m −252(1＜m ＜52)3m 2−152m(m ＞52)；【点睛】本题是二次函数的综合题；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的主要思想．【精练4】（2019•大庆）如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y＝x2+bx+c图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象，得到的新图象与直线y＝t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．当以EF为直径的圆过点Q（2，1）时，求t的值；（3）在抛物线y＝x2+bx+c上，当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤7，请直接写出x的取值范围．【点拨】（1）抛物线的对称轴是x＝2，且过点A（﹣1，0）点，∴{−b2=21−b+c=0，即可求解；（2）翻折后得到的部分函数解析式为：y ＝﹣（x ﹣2）2+9＝﹣x 2+4x +5，（﹣1＜x ＜5），新图象与直线y＝t 恒有四个交点，则0＜t ＜9，由{y =t y =−x 2+4x +5解得：x ＝2±√9−t ，即可求解；（3）分m 、n 在函数对称轴左侧、m 、n 在对称轴两侧、m 、n 在对称轴右侧时，三种情况分别求解即可．【解答】解：（1）抛物线的对称轴是x ＝2，且过点A （﹣1，0）点，∴{−b 2=21−b +c =0，解得：{b =−4c =−5， ∴抛物线的函数表达式为：y ＝x 2﹣4x ﹣5；（2）y ＝x 2﹣4x ﹣5＝（x ﹣2）2﹣9，则x 轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为：y ＝﹣（x ﹣2）2+9＝﹣x 2+4x +5，（﹣1＜x ＜5），其顶点为（2，9）．∵新图象与直线y ＝t 恒有四个交点，∴0＜t ＜9，设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2）．由{y =t y =−x 2+4x +5解得：x ＝2±√9−t ， ∵以EF 为直径的圆过点Q （2，1），∴EF ＝2|t ﹣1|＝x 2﹣x 1，即2√9−t =2|t ﹣1|，解得t =1±√332，又∵0＜t ＜9，∴t 的值为1+√332；（3）①当m 、n 在函数对称轴左侧时，m ≤n ≤2，由题意得：x ＝m 时，y ＝7，x ＝n 时，y ＝m ，即：m 2﹣4m ﹣5＝7，解得m ＝﹣2或m ＝6（舍），n 2﹣4n ﹣5＝m ，解得n ＝2−√7或m ＝2+√7（舍），解得：﹣2≤x ≤2−√7；②当m 、n 在对称轴两侧时，x ＝2时，y 的最小值为﹣9，不合题意；③当m 、n 在对称轴右侧时，同理可得：5+3√52≤x ≤6；故x 的取值范围是：﹣2≤x ≤2−√7或5+3√52≤x ≤6．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本性质性质、图形的翻折等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【精练5】（2019•玉林）已知二次函数：y ＝ax 2+（2a +1）x +2（a ＜0）．（1）求证：二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）当二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且a 为负整数时，求a 的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x 轴的两个交点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴的交点C 及其顶点D 这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A ，B ，C ，D 的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P 使∠PCA ＝75°？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【点拨】（1）将解析式右边因式分解得抛物线与x 轴的交点为（﹣2，0）、（−1a ，0），结合a ＜0即可得证；（2）结合（1）中一个交点坐标（−1a ，0）及横坐标均为整数，且a 为负整数可得a 的值，从而得出抛物线解析式，继而求出点C 、D 坐标，从而画出函数图象；（3）分点P在AC上方和下方两种情况，结合∠ACO＝45°得出直线PC与x轴所夹锐角度数，从而求出直线PC解析式，继而联立方程组，解之可得答案．【解答】解：（1）∵y＝ax2+（2a+1）x+2＝（x+2）（ax+1），且a＜0，∴抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）、（−1a，0），则二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）∵两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数，∴a＝﹣1，则抛物线与x轴的交点A的坐标为（﹣2，0）、B的坐标为（1，0），∴抛物线解析式为y＝（x+2）（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+12）2+94，当x＝0时，y＝2，即C（0，2），函数图象如图1所示：（3）存在这样的点P，∵OA＝OC＝2，∴∠ACO＝45°，如图2，当点P在直线AC上方时，记直线PC与x轴的交点为E，∵∠PCA ＝75°，∴∠PCO ＝120°，∠OCB ＝60°，则∠OEC ＝30°，∴OE =OC tan∠OEC =33=2√3，则E （2√3，0），求得直线CE 解析式为y =−√33x +2，联立{y =−√33x +2y =−x 2−x +2，解得{x =0y =2或{x =√3−33y =√3+53， ∴P （√3−33，√3+53）；如图3，当点P 在直线AC 下方时，记直线PC 与x 轴的交点为F ，∵∠ACP ＝75°，∠ACO ＝45°，∴∠OCF ＝30°，则OF ＝OC tan ∠OCF ＝2×√33=2√33， ∴F （2√33，0），求得直线PC 解析式为y =−√3x +2，联立{y =−√3x +2y =−x 2−x +2，解得：{x =0y =2或{x =√3−1y =√3−1， ∴P （√3−1，√3−1），综上，点P 的坐标为（√3−33，√3+53）或（√3−1，√3−1）．【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、直线与抛物线相交的问题等．【精练6】（2019•河北）如图，若b 是正数，直线l ：y ＝b 与y 轴交于点A ；直线a ：y ＝x ﹣b 与y 轴交于点B ；抛物线L ：y ＝﹣x 2+bx 的顶点为C ，且L 与x 轴右交点为D ．（1）若AB ＝8，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标；（2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；（3）设x 0≠0，点（x 0，y 1），（x 0，y 2），（x 0，y 3）分别在l ，a 和L 上，且y 3是y 1，y 2的平均数，求点（x 0，0）与点D 间的距离；（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b ＝2019和b ＝2019.5时“美点”的个数．【点拨】（1）当x ＝0时，y ＝x ﹣b ＝﹣b ，所以B （0，﹣b ），而AB ＝8，而A （0，b ），则b ﹣（﹣b ）＝8，b ＝4．所以L ：y ＝﹣x 2+4x ，对称轴x ＝2，当x ＝2吋，y ＝x ﹣4＝﹣2，于是L 的对称轴与a 的交点为（2，﹣2 ）；（2）y ＝﹣（x −b 2）2+b 24，顶点C （b 2，b 24）因为点C 在l 下方，则C 与l 的距离b −b 24=−14（b ﹣2）2+1≤1，所以点C 与1距离的最大值为1；（3）由題意得y 3=y 1+y 22，即y 1+y 2＝2y 3，得b +x 0﹣b ＝2（﹣x 02+bx 0）解得x 0＝0或x 0＝b −12．但x 0≠0，取x 0＝b −12，对于L ，当y ＝0吋，0＝﹣x 2+bx ，即0＝﹣x （x ﹣b ），解得x 1＝0，x 2＝b ，右交点D（b ，0）．因此点（x 0，0）与点D 间的距离b ﹣（b −12）=12（4）①当b ＝2019时，抛物线解析式L ：y ＝﹣x 2+2019x 直线解析式a ：y ＝x ﹣2019，美点”总计4040个点，②当b ＝2019.5时，抛物线解析式L ：y ＝﹣x 2+2019.5x ，直线解析式a ：y ＝x ﹣2019.5，“美点”共有1010个．【解答】解：（1）当x ＝0时，y ＝x ﹣b ＝﹣b ，∴B （0，﹣b ），∵AB ＝8，而A （0，b ），∴b ﹣（﹣b ）＝8，∴b ＝4．∴L ：y ＝﹣x 2+4x ，∴L 的对称轴x ＝2，当x ＝2吋，y ＝x ﹣4＝﹣2，∴L 的对称轴与a 的交点为（2，﹣2 ）；（2）y ＝﹣（x −b 2）2+b 24， ∴L 的顶点C （b 2，b 24）∵点C 在l 下方，∴C 与l 的距离b −b 24=−14（b ﹣2）2+1≤1， ∴点C 与1距离的最大值为1；（3）由题意得y 3=y 1+y 22，即y 1+y 2＝2y 3，得b +x 0﹣b ＝2（﹣x 02+bx 0）解得x 0＝0或x 0＝b −12．但x 0≠0，取x 0＝b −12，对于L，当y＝0吋，0＝﹣x2+bx，即0＝﹣x（x﹣b），解得x1＝0，x2＝b，∵b＞0，∴右交点D（b，0）．∴点（x0，0）与点D间的距离b﹣（b−12）=12（4）①当b＝2019时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019x直线解析式a：y＝x﹣2019联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019，∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点∴总计4042个点，∵这两段图象交点有2个点重复，∴美点”的个数：4042﹣2＝4040（个）；②当b＝2019.5时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019.5x，直线解析式a：y＝x﹣2019.5，联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019.5，∴当x取整数时，在一次函数y＝x﹣2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y＝x2+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知﹣1到2019.5之间有1010个偶数，因此“美点”共有1010个．故b＝2019时“美点”的个数为4040个，b＝2019.5时“美点”的个数为1010个．【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．。

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二次函数代数综合题
1．已知直线m x y +=和抛物线c bx x y ++=2都经过点A (1，0)，B (3，2)．
(1)求m 的值和抛物线的解析式；
(2) 结合函数图象，求不等式m x c bx x +>++2
的解集．
2．如图，二次函数的图象经过点D (0，39
7)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6.
(1)求二次函数的解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上找一点P ，使P A +PD 最小，求出点P 的坐标．
3．已知抛物线2442y ax ax a =-+-，其中a 是常数．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若25
a >，且抛物线与x 轴交于整数点(坐标为整数的点)，求此抛物线的解析式．
4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y mx n =++经过P ，A (0，2)两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ，直线l 与抛
物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；
(3)在(2)的条件下，求到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标．
5．已知关于x 的二次函数y =x 2-（2m -1）x +m 2+3m +4.
（1）探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数.
（2）设二次函数y 的图象与x 轴的交点为A （x 1，0），B （x 2，0），且21x +22x =5，与
y 轴的交点为C ，它的顶点为M ，求直线CM 的解析式.
6.已知抛物线223
4
y x kx k =+-（k 为常数，且k ＞0）．
（1）证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；
（2）设抛物线与x 轴交于M 、N 两点，若这两点到原点的距离分别为OM 、ON ，且1123ON OM -=，求k 的值．
7．已知二次函数y =x 2－(2m +4)x +m 2－4(x 为自变量)的图象与y 轴的交点在原点下方，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左边，且A ，B 两点到原点的距离AO 、OB •满足3(•OB －AO )=2AO ·OB ，直线y =kx +k 与这个二次函数图象的一个交点为P ，且锐角∠POB •的正切值4．
(1)求m 的取值范围；(2)求这个二次函数的解析式；(3)确定直线y =kx +k 的解析式．
8．已知：二次函数y =2(32)220(0)mx m x m m -+++=>．
(1)求证：此二次函数的图象与x 轴有两个交点；
(2)设函数图象与x 轴的两个交点方程的分别为(1x ,0)，(2x ,0)(其中12x x <)．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；
(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 满足什么条件时，2y m ≤．
9、关于x 的方程x 2－2ax ＋9＝0的两个实数根分别为α、β，则(α－1)2＋(β－1)2的最小值是 _______________
（4）已知函数y ＝x 2－4ax ＋2a ＋30的图象与x 轴无交点，求关于x 的方程
3
+a x ＝|a －1|＋1的根的范围.
（5）若关于x 的二次方程7x 2－(p ＋13)x ＋p 2－p －2＝0的两根α、β满足0＜α＜1＜β＜2，求实数p 的取值范围.
10. 设a ，b 为实常数，k 取任意实数时，函数y ＝(k 2＋k ＋1)x 2－2(a ＋k)2x ＋(k 2＋3ak ＋b)的图象与x 轴都交于点A(1，0).
① 求a 、b 的值；
② 若函数与x 轴的另一个交点为B ，当k 变化时，求|AB|的最大值
17．已知P (3,m -)和Q (1，m )是抛物线221y x bx =++上的两点．
(1)求b 的值；(2)判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出
它的实数根；若没有，请说明理由；
(3)将抛物线2
21y x bx =++的图象向上平移k (k 是正整数)个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．
18．已知：关于x 的一元二次方程063)2(22=-+-+m x m x .
(1)求证：x 无论为任何实数，方程总有实数根；
(2)抛物线m x m x y 63)2(22-+-+=与x 轴交于A 、B 两点，A 在原点左侧，B 在原点右侧，且OA =3OB ，请确定抛物线的解析式；
19．已知二次函数y ＝x 2－x ＋c ．
(1)若点A (－1，n )、B (2，2n －1)在二次函数y ＝x 2－x ＋c 的图象上，求此二次函数的最小值；
20．已知关于x 的方程032)1(32=-+--m x m mx ．
(1)求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；
(2)若关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称．
①求这个二次函数的解析式；
②已知一次函数222-=x y ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值y 1≥y 2均成立；。