第7讲-二次函数与其它代数知识综合

内容基本要求略高要求较高要求 二次函数1.能根据实际情境了解二次函数的意义；2.会利用描点法画出二次函数的图像；1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2.能从函数图像上认识函数的性质；3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1.能用二次函数解决简单的实际问题；2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；一、二次函数与一次函数的联系一次函数()0y kx n k =+≠的图像l 与二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像G 的交点，由方程组2y kx ny ax bx c =+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.二、二次函数与方程、不等式的联系1.二次函数与一元二次方程的联系： 1.直线与抛物线的交点:（1）y 轴与抛物线2y ax bx c =++的交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点(h ,2ah bh c ++).（3）抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是2ax bx c k ++=的两个实数根.（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()()1200A x B x ，，，，由于1x 、中考要求知识点睛第7讲二次函数与其它代数知识综合2x 是方程20ax bx c ++=的两个根，故1212,b cx x x x a a+=-⋅=12AB x x a =-===2.二次函数常用解题方法⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：3.二次函数与一元二次方程之根的分布（选讲）所谓一元二次方程，实质就是其相应二次函数的零点（图象与x 轴的交点问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的．设()()20f x ax bc c a =++≠的二实根为1x ，2x ，()12x x <，24b ac ∆=-，且()αβαβ<，是预先给定的两个实数．⑴ 当两根都在区间()αβ，内，方程系数所满足的充要条件： ∵12x x αβ<<<，对应的二次函数()f x 的图象有下列两种情形：当0a >时的充要条件是：0∆>，2ba αβ<-<，()0f α>，()0f β>． 当0a <时的充要条件是：0∆>，2baαβ<-<，()0f α<，()0f β<．两种情形合并后的充要条件是：()()0200b a f f αβαααβ⎫∆><-<⎪⎬⎪>>⎭，， ……①⑵ 当两根中有且仅有一根在区间(),αβ内，方程系数所满足的充要条件； ∵1x αβ<<或2x αβ<<，对应的函数()f x 的图象有下列四种情形：从四种情形得充要条件是： ()()0f f αβ⋅< ……②⑶ 当两根都不在区间[]αβ，内方程系数所满足的充要条件： 当两根分别在区间[]αβ，的两旁时； ∵12x x αβ<<<对应的函数()f x的图象有下列两种情形：当0a >时的充要条件是：()0f α<，()0f β<． 当0a <时充要条件是：()0f α>，()0f β>． 两种情形合并后的充要条件是：()0f αα<，()0f αβ< ……③当两根分别在区间[,]αβ之外的同侧时：∵12x x αβ<<<或12x x αβ<<<，对应函数()f x 的图象有下列四种情形：当12x x α<<时的充要条件是：0∆>，2baα-<，()0f αα> ……④当12x x β<<时的充要条件是：0∆>，2baβ->，()0f αβ> ……⑤4区间根定理如果在区间()a b ，上有()()0f a f b ⋅<，则至少存在一个()x a b ∈，，使得()0f x =． 此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力．重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点.难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．板块一 二次函数与一次函数的联系【例1】 （09湖北省荆门市）函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）【解析】 本题考查函数图象与性质，当0a >时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D 是错的，函数1y ax =＋与210y ax bx a =≠＋＋（）的图象必过（0，1），所以C 是正确的，故选C ．【巩固】（09年嘉兴市）已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（ ）【解析】 考察系数与函数图像的关系。

A 选项：一次函数01a ＜＜，二次函数1a ≥；B 选项：一次函数1a =-， 二次函数1a =；C 选项：一次函数1a =-， 二次函数1a =-；D 选项：一次函数1a =， 二次函数1a =-. 【解析】 所以选 C【例2】 （08泰州市）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过三点A ()1,0-，B ()3,0，C ()0,3，它的顶点为M ，又正比例函数y kx =的图像于二次函数相交于两点D 、E ，且P 是线段DE 的中点。

⑴ 该二次函数的解析式，并求函数顶点M 的坐标； ⑵ 知点E ()2,3，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自变量x 的取值范围；⑶ 02k <<时，求四边形PCMB 的面积s 的最小值。

【参考公式：已知两点()11D x y ，，()22E x y ，，则线段DE 的中点坐标为121222x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭， 0≠a ax y =2ax y =重、难点例题精讲【解析】 由2y ax bx c =++，则得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩故函数解析式是：223y x x =-++。

由()222314y x x x =-++=--+ 知，点M （1，4）。

（2）由点E ()2,3在正比例函数y kx =的图像上得，332,2k k ==得，故32y x =，由23223y xy x x ⎧=⎪⎨⎪=-++⎩解得D 点坐标为（39,24--），由图象可知，当二次函数的函数值大于正比例函数时，自变量x 的取值范围是322x -p p 。

（3）223y kx y x x =⎧⎨=-++⎩ 解得，点D 、E 坐标为Dk ）、Ek ），则点P 坐标为P （22,22k kk --g ）由02k <<，知点P 在第一象限。

由点B ()3,0，C ()0,3，M （1，4），得 ()13411524222COBM S ⨯+=+⨯⨯=四边形， 则1515121233222222OPC OPB PCMB k kS S S k --=--=-⨯⨯-⨯⨯V V g 四边形整理，配方得：231934216PCMB S k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭四边形。

故当12k =时，四边形PCMB 的面积值最小，最小值是9316。

板块二 二次函数与反比例函数的联系【例3】 （2009烟台市）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）【解析】 考察函数图像与系数之间的关系。

由二次函数图像可知 00a b ＞，＜，0c ＜，所以240b ac -＞。

当x =1时，y ＜0，所以a +b +c ＜0.所以选 D 。

【例4】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】 （1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ，由题意得11k y x =，22ky x =．1111122S x y k ∴==，2221122S x y k ==．12S S ∴=，即AOE △与FOB △的面积相等．（2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，44k F ⎛⎫⎪⎝⎭，，11121222EOF AOE BOF ECF ECF ECF AOBC S S S S S k k S k S ∴=---=---=--△△△△△△矩形2112S k k ∴=-+．当161212k =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，S 有最大值． 131412S -==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭最大值．（3）解：设存在这样的点F ，将沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，134MF CF k ==-，90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠=o Q EMN MFB ∴∠=∠．又90ENM MBF ∠=∠=o Q ， ENM MBF ∴△∽△． EN EMMB MF∴=11414312311331412k k MB k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴==⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 94MB ∴=．222MB BF MF +=Q ，，解得218k =．21432k BF ∴== ∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432⎛⎫⎪⎝⎭，．【例5】 (2009年义乌)已知点A 、B 分别是x 轴、y 轴上的动点，点C 、D 是某个函数图像上的点，当四边形ABCD （A 、B 、C 、D 各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。