弹簧振子实验报告

弹簧振子实验报告
一、引言
●实验目的
1.测定弹簧的刚度系数(stiffness coefficient).
2.研究弹簧振子的振动特性，验证周期公式.
3.学习处理实验数据.
●实验原理
一根上端固定的圆柱螺旋弹簧下端悬一重物后，就构成了弹簧振子.当振子处于静止状况时,重物所受的重力与弹簧作用于它的弹性恢复力相平衡,这是振子的静止位置就叫平衡位置.如用外力使振子离开平衡位置然后释放,则振子将以平衡位置为中心作上下振动.实验研究表明,如以振子的平衡位置为原点(x=0),则当振子沿铅垂方向离开平衡位置时,它受到的弹簧恢复力F在一定的限度内与振子的位移x成正比,即
F=−kx
(1)
式中的比例常数k称为刚度系数（stiffness coefficient），它是使弹簧产生单位形变所须的载荷.这就是胡克定律.式（1）中的负号表示弹性恢复力始终指向平衡位置.当位移x为负值，即振子向下平移时，力F向上.这里的力F表示弹性力与重力mg的综合作用结果.
根据牛顿第二定律，如振子的质量为m，在弹性力作用下振子的运动方程为：
m d2x
dt2
+kx=0(2)
令ω2=k
m ，上式可化为一个典型的二阶常系数微分方程d
2x
dt2
+ω02=0，其解
为
x=A sin（ω0t+ϕ）（3）
（3）式表明.弹簧振子在外力扰动后，将做振幅为A，角频率为ω0的简谐振动，式中的（ω0t+ϕ）称为相位，ϕ称为初相位.角频率为ω0的振子其振动周期为T0=2π
ω0
，可得
x=2π√m
k
（4）
(4)式表示振子的周期与其质量、弹簧刚度系数之间的关系，这是弹簧振子的最基本的特性.弹簧振子是振动系统中最简单的一种，它的运动特性（振幅，相位，频率，周期）是所有振动系统共有的基本特性，研究弹簧振子的振动是认识更复杂震动的基础.
弹簧的质量对振动周期也有影响.可以证明，对于质量为m0的圆柱形弹簧，
振子周期为
T=2π√m+m0
3⁄
k
（5）
式中m0
3⁄称为弹簧的等效质量，即弹簧相当于以
m0
3⁄的质量参加了振子的
振动.非圆柱弹簧（如锥形弹簧）的等效质量系数不等于1/3.
我们选用短而轻的弹簧并配备适当重量的砝码组成振子，是实验条件与理论比较相符.在此基础上测振子周期，考察振子质量和弹簧刚度系数对周期的影响，再将所得结果与理论公式比较，并探讨实验中存在的问题.
实验仪器装置
游标高度尺，电子天平，弹簧，砝码，秒表
二、实验步骤
1.测弹簧质量和刚度系数
先测出弹簧的质量和刚度系数，测量时要分清弹簧的标记色，避免测周期是把数据弄混.弹簧的刚度系数可用静力平衡法测定，即在悬挂好的弹簧下端逐次加挂砝码，设其质量为m1，m2，m3，m4，m5，然后取x i为自变量、y i=m i g为因变量作直线拟合，斜率b的绝对值即为弹簧的刚度系数.(也可对x
i，
m i拟合做出直线斜率，再乘以g=9.801m s−2).为测准x i，应选一能正确反映弹簧伸长的标志线或面，而且要保证高度尺能方便地校准.实验中砝码和弹簧质量要求读到0.01g.
2.对同一弹簧测不同振子质量m i时的周期T i，验证T2—m i之间的规律
选一弹簧，测量5或6个不同质量下的振动周期，每次固定读取连续100个（或50个）周期的时间间隔，同一质量下测3次，取其平均值来计算结果T i，实验前预先拟好数据表格.
（5）式改写为方程
m=k
4π2T2−m0
3
(6)
对测量数据作以T 2为自变量、m 为因变量的最小二乘法直线拟合.可由直线的斜率与截距求得刚度系数k 与弹簧的质量m 0.
3. 对几乎相同的振子质量测不同弹簧的周期，验证T i —k i 之间的规律.
砝码质量可选定大于0.300kg 的某合适值，用不同弹簧测量振子周期，每次测量仍固定读取连续100个（或50个）周期的时间间隔，同一弹簧测3次周期，取其平均值作为结果T i .
不同弹簧的振子总等效质量可能略有不同.下面的数据处理中计算总振子质量时，近似的统一加上弹簧平均质量的1/3，经过分析可以得知，这样不同弹簧的振子总等效质量与近似值的差别不大于0.15%，折合成的等效周期测量误差不大于0.08%，即使不对质量因素进行修正，其影响也不太大.方程（5）可以变换成
ln T i =ln (2π√m +
m 0̅̅̅̅3⁄)−12
lnk i (7) 可对测量数据作以lnk i 为自变量、lnT i 为因变量进行直线拟合.
三、 数据分析
1. 砝码质量与弹簧质量
其中质量测量的不确定度均为δm =0.0001g
表1 砝码的质量
表2 弹簧的质量
2.测量弹簧的k值
其中长度测量的不确定度均为δl=0.01mm.表中长度单位均为mm.读数指弹簧最下端在游标高度尺上的读数.
表3 悬挂不同砝码的各弹簧读数下面是以读数为自变量, m i g为因变量进行直线拟合所得的图像:
R² = 0.9991
图1无（较小）弹簧mg-x
R² = 0.981
图2 红色弹簧的mg-x
R² = 0.9173
图3 黄色弹簧的mg-x
R² = 0.9996
图4 橙色弹簧的mg-x
R² = 0.9983
图5 蓝色弹簧的mg-x
R² = 0.9991
图6 无(较大)弹簧mg-x
由拟合直线的斜率可以求得各弹簧的刚度系数见下表
表4 各弹簧的刚度系数
3.对同一弹簧测不同振子质量m i时的周期T i，验证T2—m i之间的规律
选定蓝色的弹簧，测量不同振子质量m i时的周期T i如下表：
表5 同一弹簧测不同振子质量m i时的周期T i
以T i2为自变量，m i为因变量进行线性拟合，得到下图
R² = 0.9999
图7 m-T i2拟合直线
由直线可得m-T i2满足线性关系.由斜率计算蓝色弹簧得刚度系数为5.772N/m.由截距算的蓝色弹簧的质量为44.49g.
4.对几乎相同的振子质量测不同弹簧的周期，验证T i—k i之间的规律.
选定4个砝码不变.换用不同的弹簧，测得周期数据如下表：
R² = 0.9835
图8 不同弹簧的T i—k i之间的规律
四、误差分析
1.测量弹簧的k值的误差分析见下表
综上,各弹簧的刚度系数见下表
2.验证T2—m i之间的规律的误差分析
Γ=0.098
Δy=8.62×10−5
Δ
k
4π2
=ΔB=5.499×10−4
由上式得出
Δk=4π2ΔB=0.0217N/m
所以由拟合直线计算蓝色弹簧的刚度系数为k=5.7717±0.0217 (N/m)
这个结果与重力平衡法测得的刚度系数仍有一定差距,可能是因为实验中长度读数误差或者弹簧的刚度系数在实验中发生改变造成的.
ΔA=1.844×10−4
Δm0=ΔA×3=5.532×10−4
所以蓝色弹簧的质量m0=0.04449±5.532×10−4(kg)
3.验证T i—k i之间的规律的误差分析
Γ=3.652
Δy=0.0766
ΔB=0.0896
所以拟合直线的斜率为-0.4891±0.0896,该范围包括-0.5这个理论预计值,说明实验很好的证实了ln k i与ln T i的线性关系.
五、实验结论
该实验通过重力平衡法测得了各弹簧的刚度系数.研究了弹簧振子的运动
特性,验证了周期公式T=2π√m+m0
3⁄
k
.实验数据与理论符合的较好.。