函数模型及其应用教案_00002

2.【答案】同解析
【解析】(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，
y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x>4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.
当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，
由 解得
∴t＝－2n＋24.
设每次拖挂n节车厢每天营运人数为y，
则y＝tn×110×2＝2(－220n2＋2 640n)，
当n＝ ＝6时，总人数最多为15 840人．
答每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15 840人．
1.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用下图(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用下图(2)的抛物线表示．
2．怎样选择数学模型分析解决实际问题
数学应用问题形式多样，解法灵活。在应用题的各种题型中，有这样一类题型：信息由表格数据的形式给出，要求对数据进行合理的转化处理，建立数学模型，解答有关的实际问题。解答此类题型主要有如下三种方法：
（1）直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解；
类型一函数模型解决实际问题
某地区2019年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2019年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2019年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？
求得k=0.2，b=0，
所以y=0.2x（x∈N）。
因为原有沙漠面积为95万公顷，则到2019年底沙漠面积大约为
95+0.5×15=98（万公顷）。
（2）设从2019年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得
95+0.2x－0.6(x－5)=90，
解得x=20（年）。
故到2019年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。
(1)用 表示 与 ，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；
(2)试根据 的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．
(参考数据： )
2．现有某种细胞100个，其中有占总数 的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过 个？
即h(t)＝
当0≤t≤200时，配方整理得h(t)＝－ (t－50)2＋100，
所以，当t＝50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；
当200＜t≤300时，配方整理得h(t)＝－ (t－350)2＋100，
所以，当t＝300时，h(t)取得区间（200，300]上的最大值87.5．
综上，由100＞87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．
＝－ (x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
∴x＝210时，R(x)有最大值为－ ×(210－220)2＋1 680＝1 660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．
2.【答案】同解析
【解析】设这列火车每天来回次数为t次，每次拖挂车厢n节，则设t＝kn＋b.
这些步骤用框图表示：
（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；
（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；
（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。
（2）列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较；
（3）描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变话m分钟的电话费 (单位：元)，其中 ，[m]表示不大于m的最大整数(如 )，当 时，函数 的值域是_______________．
函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。
（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；
（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。
y＝100×( )x，x∈N*，
由100×( )x>1010，得( )x>108，
两边取以10为底的对数，
得xlg >8，∴x> ，
∵ ＝ ≈45.45，
∴x>45.45.
答经过46小时，细胞总数可以超过1010个．
课程小结
1．将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
教学重点
了解函数模型的广泛应用。
教学难点
了解函数模型的广泛应用。
【知识导图】
函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
2．即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次．每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．(注：营运人数指火车运送的人数)．
适用学科
高中数学
适用年级
高一
适用区域
苏教版区域
课时时长（分钟）
2课时
知识点
几类不同增长的函数模型的特点、用已知函数模型解决实际问题、建立函数模型解决实际问题
教学目标
利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；
了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例。
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
答案与解析
【答案】同解析
【解析】解：（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为
f(t)＝
由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为
g(t)＝ (t－150)2＋100，0≤t≤300．
（2）设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)＝f(t)－g(t)，
（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；
（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；
（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.
观测时间
2019年底
2019年底
2019年底
2019年底
2019年底
该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）
0.2019
0.4000
0.6001
0.7999
1.0001
【规范解答】（1）由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数y=kx+b的图象。
将x=1，y=0.2与x=2，y=0.4，代入y=kx+b，
答案与解析
1.【答案】同解析
【解析】(1)每吨平均成本为 (万元)．
则 ＝ ＋ －48
≥2 －48＝32，
当且仅当 ＝ ，即x＝200时取等号．
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．
(2)设年获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y＝40x－ ＋48x－8 000
＝－ ＋88x－8 000
1小时后，细胞总数为
×100＋ ×100×2＝ ×100；
2小时后，细胞总数为
× ×100＋ × ×100×2＝ ×100；
3小时后，细胞总数为
× ×100＋ × ×100×2＝ ×100；
4小时后，细胞总数为
× ×100＋ × ×100×2＝ ×100；
可见，细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为：
乙户用水量为3x＝4.5吨，
付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
1.诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：2019年诺贝尔奖发放后基金总额约为 万美元．设 表示第 年诺贝尔奖发放后的基金总额(2019年记为 ，2019年记为 ，…，依次类推)．