2020-2021学年广东省佛山市南海区九年级(上)期末数学模拟卷
2024届广东省佛山市南海区数学九上期末综合测试试题含解析
2024届广东省佛山市南海区数学九上期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，垂足为D ,若5AC =，2BC =，则cos ACD ∠的值为（ ）A ．255B ．53C ．52D ．232．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴的正半轴交于点C ，下列结论：①abc ＞0；②4a ﹣2b +c ＞0；③2a ﹣b ＞0，其中正确的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 3．在同一平面上，O 外有一定点P 到圆上的距离最长为10，最短为2，则O 的半径是（ ） A ．5 B ．3 C ．6 D ．44．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin ∠A ＝23，则cosB ＝（ ） A ．23 B 5C 25 D 55．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是（ ）A ．CM=DMB ．CB=DBC ．∠ACD=∠ADCD ．OM=MD6．二次函数()20y ax bx c a =++≠图象的一部分如图所示，顶点坐标为()1,m -，与x 轴的一个交点的坐标为(-3，0)，给出以下结论：①0abc >；②420a b c -+>；③若15,2B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、21,2C y ⎛⎫- ⎪⎝⎭为函数图象上的两点，则12y y <；④当30x -<<时方程2ax bx c t ++=有实数根，则t 的取值范围是0t m <≤．其中正确的结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．3mC ．150mD ．38．三角形的内心是（ ）A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C ．三边的垂直平分线的交点D ．三条角平分线的交点9．关于x 的一元二次方程2x 2﹣mx ﹣3＝0的一个解为x ＝﹣1，则m 的值为（ ）A ．﹣1B ．﹣3C ．5D ．110．设A (﹣2，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)是抛物线y ＝﹣(x +1)2+m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A ．y 3＞y 2＞y 1B ．y 1＞y 2＞y 3C ．y 1＞y 3＞y 2D ．y 2＞y 1＞y 3二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O ）20米的A 处，则小明的影子AM 长为 米．12．函数224y x x =-+沿直线1y =翻折所得函数解析式为_____________.13．方程22x x -=的解是_____．14．若一个圆锥的侧面积是18π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是______．15．如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD AB ⊥,垂足为E,如果20,16AB CD ==,那么线段OE 的长为__________.16．如图，P 为O 外一点，PA 切O 于点A ，若3PA =，45APO ∠=︒，则O 的半径是______.17．抛物线y ＝x 2+2x 与y 轴的交点坐标是_____．18．若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，则AC ＝_____AB （用含无理数式子表示）．三、解答题(共66分)19．（10分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标注数字1，2，3，每个小球除所标注数字不同外，其余均相同．小勇先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀，再次从口袋中随机摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小勇两次摸出的小球所标数字之和为3的概率．20．（6分）如图，已知ABO ∆，点A 、B 坐标分别为(2,4)-、(2,1)-．（1）把ABO ∆绕原点O 顺时针旋转90︒得11A B O ∆，画出旋转后的11A B O ∆；（2）在（1）的条件下，求点A 旋转到点1A 经过的路径的长．21．（6分）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2＝0有实数根．（1）求k 的取值范围．（2）设方程的两个实数根分别为x 1、x 2，若2x 1x 2﹣x 1﹣x 2＝1，求k 的值．22．（8分）已知抛物线y ＝12x 2+bx+c 与x 轴交于A （4，0）、B （﹣2，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）点D 为第四象限抛物线上一点，设点D 的横坐标为m ，四边形ABCD 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求S 的最值；（3）点P 在抛物线的对称轴上，且∠BPC ＝45°，请直接写出点P 的坐标．23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =+与函数(0)k y k x=≠的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1,)a ．（1）求k 的值；（2）已知点(,0)P m ，过点P 作平行于y 轴的直线，交直线2y x =+于点C ，交函数(0)k y k x =≠的图象于点D ． ①当2m =时，求线段CD 的长；②若PC PD >，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．24．（8分）如图，已知一次函数y ＝x ﹣2与反比例函数y ＝3x的图象交于A 、B 两点． （1）求A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积．25．（10分）在⊙O 中，AB 为直径，C 为⊙O 上一点．（1）如图1，过点C 作⊙O 的切线，与AB 延长线相交于点P ，若∠CAB=27°，求∠P 的度数；（2）如图2，D 为弧AB 上一点，OD ⊥AC ，垂足为E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线交于点P ，若∠CAB=10°，求∠P 的大小．26．（10分）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E.若一个三角形模板与△ABE 完全重合地叠放在一起，现将该模板绕 点E 顺时针旋转.要使该模板旋转60°后，三个顶点仍在平行四边形ABCD 的边上，请探究平行四边形ABCD 的角和边需要满足的条件.参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得3AB =，而∠B=∠ACD ，即可把求cos ACD ∠转化为求cos B ∠．【题目详解】在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得：2222(5)23AB AC BC =+=+=∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD ，∴cos ACD ∠=2cos =3BC B AB ∠=． 故选D ．【题目点拨】本题考查了了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．2、C【分析】由抛物线的开口方向判断a 与1的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与1的关系，进而判断①；根据x=﹣2时，y ＞1可判断②；根据对称轴x=﹣1求出2a 与b 的关系，进而判断③．【题目详解】①由抛物线开口向下知a ＜1，∵对称轴位于y 轴的左侧，∴a 、b 同号，即ab ＞1．∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞1，∴abc ＞1；故①正确；②如图，当x=﹣2时，y ＞1，则4a ﹣2b+c ＞1，故②正确；③∵对称轴为x=﹣2b a ＞﹣1， ∴2a ＜b ，即2a ﹣b ＜1，故③错误；故选：C ．【题目点拨】本题主要考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系． 3、D【分析】由点P 在圆外，易得到圆的直径为10-2，然后计算圆的半径即可.【题目详解】解：∵点P 在圆外∴圆的直径为10-2=8∴圆的半径为4故答案为D.【题目点拨】本题考查了点与圆的位置关系，关键是根据题意确定圆的直径，是解答本题的关键.4、A【分析】根据正弦和余弦的定义解答即可.【题目详解】解：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∵sin A ＝23BC AB ，cos B ＝BC AB ，∴cos B ＝23． 故选：A ．【题目点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，属于应知应会题型，熟练掌握锐角三角函数的概念是解题关键.5、D【解题分析】∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，∴M 为CD 的中点，即CM=DM ，选项A 成立；∵B 为CD 的中点，即CB=DB ，选项B 成立；在△ACM 和△ADM 中，∵AM=AM ，∠AMC=∠AMD=90°，CM=DM ，∴△ACM ≌△ADM （SAS ），∴∠ACD=∠ADC ，选项C 成立．而OM 与MD 不一定相等，选项D 不成立．故选D ．6、D【分析】由二次函数的图象可知0,0a c <>，再根据对称轴为x=-1，得出b=2a<0，进而判断①，当x=-2时可判断②正确，然后根据抛物线的对称性以及增减性可判断③，再根据方程的根与抛物线与x 交点的关系可判断④．【题目详解】解：∵抛物线开口向下，交y 轴正半轴∴0,0a c <>∵抛物线对称轴为x=-1,∴b=2a<0∴①0abc >正确；当x=-2 时， 42y a b c =-+位于y 轴的正半轴故②420a b c -+>正确； 点21,2C y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的对称点为23,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵当31x -<<-时，抛物线为增函数，∴12y y <③正确；若当30x -<<时方程2ax bx c t ++=有实数根，则需2y ax bx c t =++-与x 轴有交点则二次函数2y ax bx c =++向下平移的距离即为t 的取值范围，则t 的取值范围是0t m <≤，④正确．故选：D ．【题目点拨】本题考查的知识点是二次函数图象及其性质，熟悉二次函数的图象上点的坐标特征以及求顶点坐标的公式是解此题额关键．7、A【解题分析】∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1BCAC ，∵BC=50，∴100==（m ）．故选A 8、D【分析】根据三角形的内心的定义解答即可．【题目详解】解：因为三角形的内心为三个内角平分线的交点，故选：D．【题目点拨】此题主要考查了三角形内切圆与内心，解题的关键是要熟记内心的定义和性质．9、D【分析】把x＝﹣1代入方程2x2﹣mx﹣3＝0得到2+m﹣3＝0，然后解关于m的方程即可．【题目详解】把x＝﹣1代入方程2x2﹣mx﹣3＝0得2+m﹣3＝0，解得m＝1．故选D．【题目点拨】本题考查了一元二次方程的解，熟知能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解决问题的关键．10、B【分析】本题要比较y1，y2，y3的大小，由于y1，y2，y3是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得A点关于对称轴的对称点A'的坐标，再根据抛物线开口向下，在对称轴右边，y随x的增大而减小，便可得出y1，y2，y3的大小关系．【题目详解】∵抛物线y＝﹣（x+1）2+m，如图所示，∴对称轴为x＝﹣1，∵A（﹣2，y1），∴A点关于x＝﹣1的对称点A'（0，y1），∵a＝﹣1＜0，∴在x＝﹣1的右边y随x的增大而减小，∵A'（0，y1），B（1，y2），C（2，y3），0＜1＜2，∴y1＞y2＞y3，故选：B ．【题目点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是能画出二次函数的大致图象，据图判断．二、填空题(每小题3分,共24分)11、1．【解题分析】根据题意，易得△MBA ∽△MCO ， 根据相似三角形的性质可知AB AM OC OA AM =+，即1.6AM 820AM=+，解得AM=1． ∴小明的影长为1米．12、2(1)1y x =---【解题分析】函数224y x x =-+沿直线1y =翻折所得函数图像开口向下，只要根据轴对称的性质求出对称后的顶点坐标即可.【题目详解】∵224y x x =-+=(x -1)2+3，∴其顶点坐标是（1,3），∵（1,3）关于直线1y =的点的坐标是（1，-1），∴所得函数解析式为y =-(x -1)2-1.故答案为：()211y x =---.【题目点拨】本题考查了二次函数的轴对称变换，其形状不变，但开口方向相反，因此a 值为原来的相反数，顶点位置改变，只要根据轴对称的点坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定解析式.13、x 1=2，x 2=﹣1【解题分析】解：方程两边平方得，x 2﹣x =2，整理得：x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1．经检验，x 1=2，x 2=﹣1都是原方程的解，所以方程的解是x 1=2，x 2=﹣1．故答案为：x 1=2，x 2=﹣1．14、1．【解题分析】试题解析：设圆锥的母线长为R ， 21π18π2R =， 解得：R =6，∴圆锥侧面展开图的弧长为：6π，∴圆锥的底面圆半径是6π÷2π=1．15、6【分析】连接OD，根据垂径定理，得出半径OD的长和DE的长，然后根据勾股定理求出OE的长即可. 【题目详解】∵AB是⊙O的直径,弦CD AB⊥,垂足为E，∴OD= 12AB=10，DE=12CD=8，在Rt ODE∆中，由勾股定理可得：226OD DE-=OE=，故本题答案为：6.【题目点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.16、1【分析】由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA 的长，即可求解．【题目详解】解：连接OA，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°，∵∠APO=45°，∴OA=PA=1，故答案为：1．【题目点拨】本题考查切线的性质即圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．【解题分析】令x=0求出y的值，然后写出即可．【题目详解】令x=0，则y=0，所以，抛物线与y轴的交点坐标为（0，0）．故答案为（0，0）．【题目点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握抛物线与坐标轴的交点的求解方法是解题的关键．18、51 2 -【分析】直接利用黄金分割的定义求解．【题目详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，∴AC＝512-AB．故答案为:512-．【题目点拨】本题考查了黄金分割的定义，点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，则512ACBC-=，正确理解黄金分割的定义是解题的关键.三、解答题(共66分)19、树状图见详解，2 9【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两次摸出的小球所标数字之和为3的结果数，然后根据概率公式求解．【题目详解】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的小球所标数字之和为3的结果数为2，所以两次摸出的小球所标数字之和为3的概率＝29．【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率20、（1）答案见解析；（2）5π．【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）求出OA 的长，再根据弧长公式即可得出结论．【题目详解】（1）11A B O ∆如图所示，（2）由（1）图可得224+2=25AO =190AOA ∠=︒， ∴90255l ππ⋅⋅== 【题目点拨】本题考查的是作图-旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．21、（1）14k -；（2）k ＝1 【分析】（1）由△≥1，求出k 的范围；（2）由根与系数的关系可知：x 1+x 2＝﹣2k ﹣1，x 1x 2＝k 2，代入等式求解即可．【题目详解】解：（1）∵一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2＝1有实数根，∴△＝（2k +1）2﹣4k 2≥1，∴14k -； （2）由根与系数的关系可知：x 1+x 2＝﹣2k ﹣1，x 1x 2＝k 2，∴2x 1x 2﹣x 1﹣x 2＝2k 2+2k +1＝1，∴k ＝1或k ＝﹣1，∵14k -； ∴k ＝1．【题目点拨】本题考查根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，并能用判别式判断根的存在情况是解题的关键．22、（1）y ＝12 x 2﹣x ﹣4；（2）S ＝﹣（m ﹣2）2+16，S 的最大值为16；（3）点P 的坐标为：（1，﹣1+10）或（1，﹣1﹣10）．【分析】（1）根据交点式可求出抛物线的解析式；（2）由S=S △OBC +S △OCD +S △ODA ，即可求解；（3）∠BPC=45°，则BC 对应的圆心角为90°，可作△BCP 的外接圆R ，则∠BRC=90°，过点R 作y 轴的平行线交过点C 与x 轴的平行线于点N 、交x 轴于点M ，证明△BMR ≌△RNC （AAS ）可求出点R （1，-1），即点R 在函数对称轴上，即可求解．【题目详解】解：（1）∵抛物线y ＝12x 2+bx+c 与x 轴交于A （4，0）、B （﹣2，0）， ∴抛物线的表达式为：y ＝12（x ﹣4）（x+2）＝12x 2﹣x ﹣4； （2）设点D （m ，12 m 2﹣m ﹣4），可求点C 坐标为（0，-4）， ∴S ＝S △OBC +S △OCD +S △ODA＝211112444[(4)]2222m m m ⨯⨯+⨯+⨯--- ＝﹣（m ﹣2）2+16，当m ＝2时，S 有最大值为16；（3）∠BPC ＝45°，则BC 对应的圆心角为90°，如图作圆R ，则∠BRC ＝90°，圆R 交函数对称轴为点P ，过点R 作y 轴的平行线交过点C 与x 轴的平行线于点N 、交x 轴于点M ，设点R （m ，n ）．∵∠BMR+∠MRB ＝90°，∠MRB+∠CRN ＝90°，∴∠CRN ＝∠MBR ，∠BMR ＝∠RNC ＝90°，BR ＝RC ，∴△BMR ≌△RNC （AAS ），∴CN ＝RM ，RN ＝BM ，即m+2＝n+4，﹣n ＝m ，解得：m ＝1，n ＝﹣1，即点R （1，﹣1），即点R 在函数对称轴上，圆的半径为：2(12)1++＝10，则点P 的坐标为：（1，﹣1+10）或（1，﹣1﹣10）．【题目点拨】本题考查的是二次函数与几何综合运用，涉及圆周角定理、二次函数解析式的求法、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏，能灵活运用数形结合的思想是解题的关键，（3）的难点是作出辅助圆．23、（1）3k =；（2）①52CD =；②3m <-或1m 【分析】（1）先把点A 代入一次函数得到a 的值，再把点A 代入反比例函数，即可求出k ；（2）①根据题意，先求出m 的值，然后求出点C 、D 的坐标，即可求出CD 的长度；②根据题意，当PC=PD 时，点C 、D 恰好与点A 、B 重合，然后求出点B 的坐标，结合函数图像，即可得到m 的取值范围.【题目详解】解：（1）把(1,)A a 代入2y x =+，得3a =，∴点A 为（1，3），把(1,3)A 代入k y x=，得3k =； （2）当2m =时，点P 为（2，0），如图：把2x =代入直线2y x =+，得：224y =+=，∴点C 坐标为（2，4），把2x =代入3y x =，得：32y =， ∴35422CD =-=； ②根据题意，当PC=PD 时，点C 、D 恰好与点A 、B 重合，如图，∵23y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：31x y =-⎧⎨=-⎩或13x y =⎧⎨=⎩（即点A ）， ∴点B 的坐标为（31--，）， 由图像可知，当PC PD >时，有点P 在3x =-的左边，或点P 在1x =的右边取到，∴3m <-或1m .【题目点拨】本题考查了反比例函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，解题的关键是掌握反比例函数与一次函数的联系，熟练利用数形结合的思想进行解题.24、（1）A 的坐标是（3，1），B 的坐标是（﹣1，﹣3）；（2）1【分析】（1）求出两函数解析式组成的方程组的解即可；（2）先求出函数y ＝x ﹣2与y 轴的交点的坐标，再根据三角形的面积公式求出面积即可．【题目详解】解：（1）解方程组23y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得：1113x y =-⎧⎨=-⎩，2231x y =⎧⎨=⎩， 即A 的坐标是（3，1），B 的坐标是（﹣1，﹣3）；（2）设函数y ＝x ﹣2与y 轴的交点是C ，当x＝0时，y＝﹣2，即OC＝2，∵A的坐标是（3，1），B的坐标是（﹣1，﹣3），∴△AOB的面积S＝S△AOC+S△BOC＝11232122⨯⨯+⨯⨯＝1．【题目点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解方程组等知识点，能求出A、B、C的坐标是解此题的关键．25、（1）∠P =36°；（2）∠P=30°．【分析】（1）连接OC，首先根据切线的性质得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；（2）根据E为AC的中点得到OD⊥AC，从而求得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，然后利用圆周角定理求得∠ACD=∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性质求解即可．【题目详解】解：（1）如图，连接OC，∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，∵∠CAB=27°，∴∠COB=2∠CAB=54°，在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，∴∠P=90°﹣∠COP=36°；（2）∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠AEO=90°，在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，∴∠ACD=∠AOD=40°，∵∠ACD是△ACP的一个外角，∴∠P=∠ACD﹣∠A=40°﹣10°=30°．【题目点拨】本题考查切线的性质．26、详见解析.【分析】三角形模板绕点E旋转60°后，E为旋转中心，位置不变，仍在边BC上，过点E分别做射线EM，EN，EM，EN分别AB,CD于F,G使得∠BEM=∠AEN=60°，可证△BEF为等边三角形，即EB=EF，故B的对应点为F.，即EA=GE根据SAS可证EAF GEC，故A的对应点为G.由此可得：要使该模板旋转60°后，三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上, 平行四边形ABCD 的角和边需要满足的条件是:∠ABC=60°，AB=BC.【题目详解】解：要使该模板旋转60°后，三个顶点仍在ABCD的边上，ABCD的角和边需要满足的条件是：∠ABC=60°，AB=BC理由如下：三角形模板绕点E旋转60°后，E为旋转中心，位置不变，仍在边BC上，过点E分别做射线EM，EN，使得∠BEM=∠AEN=60°，∵AE⊥BC，即∠AEB=∠AEC=90°，∴∠BEM<∠BEA∴射线EM只能与AB边相交，记交点为F在△BEF中，∵∠B=∠BEF=60°，∴∠BFE=180°-∠B-∠BEF=60°∴∠B=∠BEF=∠BFE=60°∴△BEF为等边三角形∴EB=EF∵当三角形模板绕点E旋转60°后，点B的对应点为F，此时点F在边AB边上∵∠AEC=90°∴∠AEN=60°<∠AEC∴射线EN只可能与边AD或边CD相交若射线EN与CD相交，记交点为G在Rt△AEB中，∠1=90°-∠B=30°∴BE=12 AB∵AB=BC=BE+EC∴EC=12 AB∵∠GEC=∠AEC-∠AEG=90°-60°=30°∵在ABCD中，AB//CD∠C=180°-∠ABC=120°又∵∠EGC=180°-120°-30°=30°∴EC=GC即AF=EF=EC=GC=12AB,且∠1=∠GEC=30°∴EAF GEC∴EA=GE∴当三角形模板绕点E旋转60°后，点A的对应点为G，此时点G在边CD边上∴只有当∠ ABC=60°, AB= BC时,三角形模板绕点E顺时针旋转60°后,三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上. ∴要使该模板旋转60°后，三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上, 平行四边形ABCD的角和边需要满足的条件是:∠ABC=60°，AB=BC.【题目点拨】本题考查了旋转的性质以及平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的性质及判定是解题的关键.。
★试卷3套精选★佛山市2021届九年级上学期期末考前模拟数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，AB 是半圆的直径，AB ＝2r ，C 、D 为半圆的三等分点，则图中阴影部分的面积是（ ）。
A ．112πr 2B ．124πr 2C ．14πr 2D ．16πr 2 【答案】D【分析】连接OC 、OD ，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD 的面积，然后计算扇形面积就可．【详解】连接OC 、OD ．∵点C ，D 为半圆的三等分点，AB=1r ，∴∠AOC=∠BOD=∠COD=180°÷3=60°，OA=r ．∵OC=OD ，∴△COD 是等边三角形，∴∠OCD=60°，∴∠OCD=∠AOC=60°，∴CD ∥AB ，∴△COD 和△CDA等底等高，∴S △COD =S △ACD ，∴阴影部分的面积=S 扇形COD 26013606r π⨯==πr 1． 故选D ．【点睛】本题考查了扇形面积求法，利用已知得出理解阴影部分的面积等于扇形OCD 的面积是解题的关键． 2．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是 ( )A ．2210x x +=B ．20ax bx c ++=C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --=【答案】C【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】A 、2210x x+=不是整式方程，故本选项错误； B 、当a =0时，方程就不是一元二次方程，故本选项错误；C 、由原方程，得230x x +-=，符合一元二次方程的要求，故本选项正确；D 、方程223250x xy y --=中含有两个未知数，故本选项错误．故选C ．【点睛】此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义是解决此题的关键．3．已知x ＝1是方程x 2+m ＝0的一个根，则m 的值是（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．2【答案】A【分析】把x=1代入方程，然后解一元一次方程即可．【详解】把x=1代入方程得：1+m=0，解得：m=﹣1．故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解．掌握一元二次方程的解的定义是解答本题的关键．4．已知二次函数2(0)y x x a a =-+>，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，则下列结论正确的是（ ）A ．x 取1m -时的函数值小于0B ．x 取1m -时的函数值大于0C ．x 取1m -时的函数值等于0D ．x 取1m -时函数值与0的大小关系不确定【答案】B【分析】画出函数图象，利用图象法解决问题即可；【详解】由题意，函数的图象为：∵抛物线的对称轴x=12，设抛物线与x 轴交于点A 、B ， ∴AB ＜1， ∵x 取m 时，其相应的函数值小于0，∴观察图象可知，x=m-1在点A 的左侧，x=m-1时，y ＞0，故选B ．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用函数图象解决问题，体现了数形结合的思想．5．如图，反比例函数y＝16x（x＞0）的图象经过Rt△BOC斜边上的中点A，与边BC交于点D，连接AD，则△ADB的面积为（）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】A【解析】过A作AE⊥OC于E，设A（a，b），求得B（2a，2b），ab＝16，得到S△BCO＝2ab＝32，于是得到结论．【详解】过A作AE⊥OC于E，设A（a，b），∵当A是OB的中点，∴B（2a，2b），∵反比例函数y＝16x（x＞0）的图象经过Rt△BOC斜边上的中点A，∴ab＝16，∴S△BCO＝2ab＝32，∵点D在反比例函数数y＝16x（x＞0）的图象上，∴S△OCD＝16÷2=8，∴S△BOD＝32﹣8＝24，∴△ADB的面积＝12S△BOD＝12，故选：A．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与三角形的综合，掌握反比例函数的比例系数k的几何意义，添加合适的辅助线，是解题的关键.6．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若12ABBC=，则DEEF=（）A．12B．13C．23D．1【答案】A【分析】由题意直接根据平行线分线段成比例定理进行分析即可求解．【详解】解：∵a//b//c，∴DEEF=12ABBC=．故选：A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理．注意掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．7．如图，已知ADE ABC∆∆∽，且:2:1AD DB=，则:ADE ABCS S∆∆=（）A．2:1B．4:1C．2:3D．4:9【答案】D【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．【详解】解：∵:2:3AD DB=，∴:2:3AD AB=，∵ADE ABC∆∆∽，∴249ADEABCS ADS AB∆∆⎛⎫==⎪⎝⎭，故选：D．【点睛】此题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质解决问题，记住相似三角形的面积比等于相似比的平方．8．甲、乙两位同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）A．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率B．掷一枚硬币，出现反面朝上的概率C．掷一枚骰子，出现3点的概率D．从只有颜色不同的两个红球和一个黄球中，随机取出一个球是黄球的概率【答案】D【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【详解】解：A. 掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为1=0.52，故此选项不符合题意；B. 掷一枚硬币，出现反面朝上的概率为1=0.52，故此选项不符合题意；C. 掷一枚骰子，出现3点的概率为10.1676≈，故此选项不符合题意；D. 从只有颜色不同的两个红球和一个黄球中，随机取出一个球是黄球的概率为10.333≈，故此选项符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．9．下列说法中，正确的是（）A．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式；B．只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式；C．35和15D 112213.【答案】D【分析】根据同类二次根式的定义逐项分析即可.【详解】解：A、被开方数不同的二次根式若化简后被开方数相同，就是同类二次根式，故不正确；B. 化成最简二次根式后，被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式，故不正确；C.D. 和，是同类二次根式，正确 故选D.【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键.化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.10．下列各式正确的是（ ）A =B 3=C 123=⨯ D = 【答案】B【分析】根据二次根式的性质，同类二次根式的定义，以及二次根式的除法，分别进行判断，即可得到答案.【详解】解：A A 错误；B 3=，故B 正确；C =，故C 错误；D 23=，故D 错误； 故选：B.【点睛】本题考查了二次根式的性质，同类二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质进行解题. 11．已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ）A ．-2B ．2C ．-3D ．3【答案】B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．【详解】设另一根为m ，则1•m=1，解得m=1．故选B ．【点睛】考查了一元二次方程根与系数的关系．根与系数的关系为：x 1+x 1=-b a ，x 1•x 1=c a．要求熟练运用此公式解题．12．二次函数y=x 2-2x+3的最小值是（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．1【答案】B【解析】试题解析：因为原式=x 1-1x+1+1=（x-1）11，所以原式有最小值，最小值是1．故选B ．二、填空题（本题包括8个小题） 13．已知⊙1O 的半径为4，⊙2O 的半径为R ，若⊙1O 与⊙2O 相切，且1210O O =，则R 的值为________．【答案】6或14【解析】⊙O 1和⊙O 2相切，有两种情况需要考虑：内切和外切．内切时，⊙O 2的半径=圆心距+⊙O 1的半径；外切时，⊙O 2的半径=圆心距-⊙O 1的半径．【详解】若⊙1O 与⊙2O 外切，则有4+R=10，解得：R=6；若⊙1O 与⊙2O 内切，则有R-4=10，解得：R=14，故答案为6或14.14．如果二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，那么abc ____0 .（填“＞”，“=”，或“＜”）．【答案】＜【分析】首先根据开口方向确定a 的符号，再依据对称轴的正负和a 的符号即可判断b 的符号，然后根据与Y 轴的交点的纵坐标即可判断c 的正负，代入即可判断abc 的正负．【详解】解：∵图象开口方向向上，∴a ＞0.∵图象的对称轴在x 轴的负半轴上，∴02b a-< . ∵a ＞0，∴b>0.∵图象与Y 轴交点在y 轴的负半轴上，∴c ＜0.∴abc<0.故答案为<.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，此题运用了数形结合思想．15．已知P （﹣1，y 1），Q （﹣1，y 1）分别是反比例函数y ＝﹣3x 图象上的两点，则y 1_____y 1．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）【答案】＜【分析】先根据反比例函数中k ＝﹣3＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【详解】∵比例函数y ＝﹣3x中，k ＜0， ∴此函数图象在二、四象限，∵﹣1＜﹣1＜0，∴P （﹣1，y 1），Q （﹣1，y 1）在第二象限，∵函数图象在第二象限内，y 随x 的增大而增大，∴y 1＜y 1．故答案为：＜．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质，掌握其函数增减性是关键．16．抛物线y ＝(m 2－2)x 2－4mx ＋n 的对称轴是x ＝2，且它的最高点在直线y ＝12x ＋2上，则m=________,n ＝________.【答案】-1 -1【分析】由对称轴可求得m 的值，且可求得顶点坐标，再把顶点坐标代入直线解析式可求得n ．【详解】∵抛物线y=(m 2−2)x 2−4mx+n 的对称轴是x=2，∴−2422()m m --=2，解得m=2或m=−1， ∵抛物线有最高点，∴m 2−2<0，∴m=−1，∴抛物线解析式为y=−x 2+4x+n=−(x−2)2+4+n ，∴顶点坐标为(2,4+n)，∵最高点在直线y=12x+2上， ∴4+n=1+2，解得n=−1，故答案为−1，−1.【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征.17．一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格形状大小完全相同，当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为________．【答案】49【解析】分析：首先确定阴影的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出蚂蚁停在阴影部分的概率．详解：∵正方形被等分成9份，其中阴影方格占4份， ∴当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为49， 故答案为49． 点睛：此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．18．因式分解：34a a -=_______________________．【答案】(2)(2)a a a +-【分析】先提公因式，再用平方差公式分解.【详解】解：()3244(2)(2)a a a a a a a -=-=+-【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键.三、解答题（本题包括8个小题）19．A 、B 两地间的距离为15千米，甲从A 地出发步行前往B 地，20分钟后，乙从 B 地出发骑车前往A 地，且乙骑车比甲步行每小时多走10千米．乙到达A 地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B 地．求甲从A 地到B 地步行所用的时间．【答案】3小时．【分析】本题的等量关系是路程=速度×时间．本题可根据乙从B 到A 然后再到B 用的时间=甲从A 到B 用的时间-20分钟-40分钟来列方程．【详解】解：设甲从A 地到B 地步行所用时间为x 小时，由题意得：301510 1x x=+ -化简得：2x2-5x-3=0，解得：x1=3，x2=-12，经检验知x=3符合题意，∴x=3，∴甲从A地到B地步行所用时间为3小时．【点睛】本题考查分式方程的应用，注意分式方程结果要检验．20．利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件．（1）若降价6元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【答案】（1）32；（2）每件商品应降价2元时，该商店每天销售利润为12元．【分析】（1）根据销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件，可得若降价6元，则平均每天可多售出3×4＝12件，即平均每天销售数量为1+12＝32件；（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种商品利润列出方程解答即可．【详解】解：（1）若降价6元，则平均每天销售数量为1+4×3＝32件．故答案为32；（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为12元．根据题意，得（40﹣x）（1+2x）＝12，整理，得x2﹣30x+2＝0，解得：x1＝2，x2＝1．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2＝1应舍去，解得：x＝2．答：每件商品应降价2元时，该商店每天销售利润为12元．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.21．小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动，该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A、B、C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D、E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成.（1）用画树状图或列表的方法，列出小明参加项目的所有等可能的结果；（2）求小明恰好抽中B 、D 两个项目的概率.【答案】（1）见解析；（2）16. 【分析】（1）画树状图得出所有等可能结果；（2）从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【详解】（1）画树状图如下：（2）由树状图知共有6种等可能结果，其中小明恰好抽中B 、D 两个项目的只有1种情况，所以小明恰好抽中B 、D 两个项目的概率为：()16B D P =小明恰好抽中、两个项目． 【点睛】 本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．在等边ABC 中，点D 为AC 上一点，连接BD ，直线l 与,,AB BD BC 分别相交于点,,E P F ，且60BPF ︒=∠．（1）如图（1），写出图中所有与BPF △相似的三角形，并选择其中的一对给予证明；（2）若直线l 向右平移到图（2）、图（3）的位置时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立?若成立请写出来(不证明)，若不成立，请说明理由；（3）探究:如图（1），当BD满足什么条件时(其他条件不变)，12PF PE=?请写出探究结果，并说明理由(说明:结论中不得含有未标识的字母)．【答案】（1）△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD；（2）均成立，分别为△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，（3）当BD平分∠ABC时，PF=12 PE．【分析】（1）由两角对应相等的三角形是相似三角形找出△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，这两组三角形都可由一个公共角和一组60°角来证明；（2）成立，证法同（1）；（3）先看PF=12PE能得出什么结论，根据△BPF∽△EBF，可得BF2=PF∙PE=3PF2，因此BF3PF=，因为60BPF︒=∠，可得∠PFB=90°，则∠PBF=30°，由此可得当BD平分∠ABC时，PF=12 PE．【详解】解：（1）△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，证明如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∵∠BPF=60°∴∠BPF=∠EBF=60°，∵∠BFP=∠BFE，∴△BPF∽△EBF；∵∠BPF=∠BCD=60°，∠PBF=∠CBD，∴△BPF∽△BCD；（2）均成立，分别为△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，证明如下：如图（2）∵∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，∴△BPF∽△EBF；∵∠BPF=∠BCD=60°，∠PBF=∠CBD，∴△BPF∽△BCD．如图（3），同理可证△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD；（3）当BD平分∠ABC时，PF=12 PE，理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBF=30°．∵∠BPF=60°，∴∠BFP=90°．∴PF=12 PB又∵∠BEF=60°−30°=30°=∠ABP，∴PB=PE．∴PF=12 PE．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判断是解题的关键．23．如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点(点P不与A，B两点重合)，连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP．(1)求证：△BOQ≌△POQ；(2)若直径AB的长为1．①当PE＝时，四边形BOPQ为正方形；②当PE＝时，四边形AEOP为菱形．【答案】（1）见解析；（2）①6，②3【分析】(1)根据切线的性质得∠OBQ＝90°，再根据平行线的性质得∠APO＝∠POQ，∠OAP＝∠BOQ，加上∠OPA＝∠OAP，则∠POQ＝∠BOQ，于是根据“SAS”可判断△BOQ≌△POQ；(2)①利用△BOQ≌△POQ得到∠OPQ＝∠OBQ＝90°，由于OB＝OP，所以当∠BOP＝90°，四边形OPQB为正方形，此时点C、点E与点O重合，于是PE＝PO＝6；②根据菱形的判定，当OC＝AC，PC＝EC，四边形AEOP为菱形，则OC＝12OA＝3，然后利用勾股定理计算出PC，从而得到PE的长．【详解】(1)证明：∵BM切⊙O于点B，∴OB⊥BQ，∴∠OBQ＝90°，∵PA∥OQ，∴∠APO＝∠POQ，∠OAP＝∠BOQ，而OA＝OP，∴∠OPA ＝∠OAP ，∴∠POQ ＝∠BOQ ，在△BOQ 和△POQ 中OB OP BOQ POQ OQ OQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOQ ≌△POQ ；(2)解：①∵△BOQ ≌△POQ ，∴∠OPQ ＝∠OBQ ＝90°，当∠BOP ＝90°，四边形OPQB 为矩形，而OB ＝OP ，则四边形OPQB 为正方形，此时点C 、点E 与点O 重合，PE ＝PO ＝12AB ＝6； ②∵PE ⊥AB ，∴当OC ＝AC ，PC ＝EC ，四边形AEOP 为菱形，∵OC ＝12OA ＝3， ∴PC=∴PE ＝2PC ＝．故答案为6，【点睛】本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质和菱形、正方形的判定方法；综合应用所学知识是解答本题的关键．24．已知y 与x 成反比例，则其函数图象与直线()0y kx k ≠＝相交于一点A ()31－，－． (1)求反比例函数的表达式；(2)直接写出反比例函数图象与直线y ＝kx 的另一个交点坐标；(3)写出反比例函数值不小于正比例函数值时的x 的取值范围．【答案】（1）y ＝3x；见详解；（2）另一个交点的坐标是()31，；见详解；（1）0<x≤1或x≤－1． 【分析】（1）根据题意可直接求出反比例函数表达式；（2）由（1）及一次函数表达式联立方程组求解即可；（1）根据反比例函数与一次函数的不等关系可直接求得．【详解】解：(1)设反比例函数表达式为k y x=，由题意得：把A ()31－，－代入得k=1， ∴反比例函数的表达式为：y ＝3x；(2)由（1）得：把A ()31－，－代入()0y kx k ≠＝，得k=1，∴13y x =， ∴133x x=，解得3x =±， ∴另一个交点的坐标是()3,1；(1)因为反比例函数值不小于正比例函数值，所以0<x≤1或x≤－1．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，关键是根据题意得到两个函数表达式．25．其中A 代表湘江源，B 代表百叠岭，C 代表塔下寺，D 代表三分石．（1）请你设计一种较好的方式（统计图），表示以上数据；（2）同学们最喜欢去的地点是哪里？【答案】（1）条形图，见解析；（2）A 湘江源头【分析】（1）根据统计表中的数据绘制条形统计图即可；（2）根据统计表中的信息即可得到结论．【详解】（1）利用条形图表示：（2）由统计表知同学们最喜欢的地点是：A 湘江源头．【点睛】本题考查了统计的问题，掌握统计的定义以及应用、条形图的绘制方法是解题的关键．26．某校有一露天舞台,纵断面如图所示,AC 垂直于地面,AB 表示楼梯,AE 为舞台面,楼梯的坡角∠ABC=45°,坡长AB=2m,为保障安全,学校决定对该楼梯进行改造,降低坡度,拟修新楼梯AD,使∠ADC=30°(1)求舞台的高AC(结果保留根号)(2)楼梯口B 左侧正前方距离舞台底部C 点3m 处的文化墙PM 是否要拆除?请说明理由.【答案】（1）2m ；（2）不需拆除文化墙PM ，理由见解析.【分析】（1）根据锐角三角函数，即可求出AC ；（2）由题意可知：CM=3m ，根据锐角三角函数即可求出DC ，最后比较DC 和CM 的大小即可判断.【详解】解：（1）在Rt △ABC 中，∠ABC=45°,坡长AB=2m,∴AC=AB ·sin ∠ABC=2m答：舞台的高AC 为2m ；（2）不需拆除文化墙PM ，理由如下，由题意可知：CM=3m在Rt △ADC 中，∠ADC=30°，AC=2m∴DC=6tan AC ADC=∠m ∵6m ＜3m∴DC ＜CM∴不需拆除文化墙PM.【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.27．在平面直角坐标系中，点到直线的距离即为点到直线的垂线段的长．（1）如图1，取点M （1，0），则点M 到直线l ：y ＝12x ﹣1的距离为多少？ （2）如图2，点P 是反比例函数y ＝4x在第一象限上的一个点，过点P 分别作PM ⊥x 轴，作PN ⊥y 轴，记P 到直线MN 的距离为d 0，问是否存在点P ，使d 0＝2105？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）如图3，若直线y ＝kx+m 与抛物线y ＝x 2﹣4x 相交于x 轴上方两点A 、B （A 在B 的左边）．且∠AOB ＝90°，求点P （2，0）到直线y ＝kx+m 的距离最大时，直线y ＝kx+m 的解析式．【答案】（1）5；（2）点P （2，22）或（22，2）；（3）y ＝﹣2x+1 【分析】（1）如图1，设直线l ：y ＝12x ﹣1与x 轴，y 轴的交点为点A ，点B ，过点M 作ME ⊥AB ，先求出点A ，点B 坐标，可得OA ＝2，OB ＝1，AM ＝1，由勾股定理可求AB 长，由锐角三角函数可求解； （2）设点P （a ，4a），用参数a 表示MN 的长，由面积关系可求a 的值，即可求点P 坐标； （3）如图3，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥y 轴于点D ，设点A （a ，a 2﹣4a ），点B （b ，b 2﹣4b ），通过证明△AOC ∽△BOD ，可得ab ﹣4（a+b ）+17＝0，由根与系数关系可求a+b ＝k+4，ab ＝﹣m ，可得y ＝kx+1﹣4k ＝k （x ﹣4）+1，可得直线y ＝k （x ﹣4）+1过定点N （4，1），则当PN ⊥直线y ＝kx+m 时，点P 到直线y ＝kx+m 的距离最大，由待定系数法可求直线PN 的解析式，可求k ，m 的值，即可求解．【详解】解：（1）如图1，设直线l ：y ＝12x ﹣1与x 轴，y 轴的交点为点A ，点B ，过点M 作ME ⊥AB ，∵直线l ：y ＝12x ﹣1与x 轴，y 轴的交点为点A ，点B ， ∴点A （2，0），点B （0，﹣1），且点M （1，0），∴AO ＝2，BO ＝1，AM ＝OM ＝1，∴AB 22AO BO +14+5∵tan ∠OAB ＝tan ∠MAE ＝OB ME AB AM =， 15ME =， ∴ME 5， ∴点M 到直线l ：y ＝12x ﹣15 （2）设点P （a ，4a），（a ＞0）∴OM ＝a ，ON ＝4a ， ∴MN ＝22O ON M +＝2216a a+， ∵PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，∠MON ＝10°，∴四边形PMON 是矩形，∴S △PMN ＝12S 矩形PMON ＝2， ∴12×MN×d 0＝2， ∴2216a a +×2105＝4， ∴a4﹣10a2+16＝0，∴a 1＝2，a 2＝﹣2（舍去），a 3＝22，a 4＝﹣22（舍去），∴点P （2，22）或（22，2），（3）如图3，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥y 轴于点D ，设点A （a ，a 2﹣4a ），点B （b ，b 2﹣4b ），∵∠AOB ＝10°，∴∠AOC+∠BOD ＝10°，且∠AOC+∠CAO ＝10°，∴∠BOD ＝∠CAO ，且∠ACO ＝∠BDO ，∴△AOC ∽△BOD ，∴AC OD CO BD=， ∴2244a a b a b b-=-- ∴ab ﹣4（a+b ）+17＝0，∵直线y ＝kx+m 与抛物线y ＝x 2﹣4x 相交于x 轴上方两点A 、B ，∴a ，b 是方程kx+m ＝x 2﹣4x 的两根，∴a+b＝k+4，ab＝﹣m，∴﹣m﹣4（k+4）+17＝0，∴m＝1﹣4k，∴y＝kx+1﹣4k＝k（x﹣4）+1，∴直线y＝k（x﹣4）+1过定点N（4，1），∴当PN⊥直线y＝kx+m时，点P到直线y＝kx+m的距离最大，设直线PN的解析式为y＝cx+d，∴1402c dc d =+⎧⎨=+⎩解得121 cb⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线PN的解析式为y＝12x﹣1，∴k＝﹣2，∴m＝1﹣4×（﹣2）＝1，∴直线y＝kx+m的解析式为y＝﹣2x+1．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，根与系数关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，利用参数列出方程是本题的关键．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．4πB ．3πC ．2π+4D ．3π+4【答案】D 【解析】试题解析：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为2，表面积有四个面组成：两个半圆，一个侧面，还有一个正方形.故其表面积为： 212π1π12223π42⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=+， 故选D.2．如图，已知矩形ABCD 的对角线AC 的长为8，连接矩形ABCD 各边中点E 、F 、G 、H 得到四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长为（ ）A ．12B ．16C ．24D ．32【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理易得四边形EFGH 的各边长等于矩形对角线的一半，而矩形对角线是相等的，都为8，那么就求得了各边长，让各边长相加即可．【详解】解：∵H 、G 是AD 与CD 的中点，∴HG 是△ACD 的中位线，∴HG=12AC=4cm ， 同理EF=4cm ，根据矩形的对角线相等，连接BD ，得到：EH=FG=4cm ，∴四边形EFGH 的周长为16cm ．故选：B ．【点睛】本题考查了中点四边形．解题时，利用了“三角形中位线等于第三边的一半”的性质．3．已知一元二次方程1–（x –3）（x +2）=0，有两个实数根x 1和x 2（x 1<x 2），则下列判断正确的是( ) A ．–2<x 1<x 2<3 B ．x 1<–2<3<x 2 C ．–2<x 1<3<x 2 D ．x 1<–2<x 2<3【答案】B【解析】设y=-（x ﹣3）（x+2），y 1=1﹣（x ﹣3）（x+2）根据二次函数的图像性质可知y 1=1﹣（x ﹣3）（x+2）的图像可看做y=-（x ﹣3）（x+2）的图像向上平移1个单位长度，根据图像的开口方向即可得出答案.【详解】设y=-（x ﹣3）（x+2），y 1=1﹣（x ﹣3）（x+2）∵y=0时，x=-2或x=3，∴y=-（x ﹣3）（x+2）的图像与x 轴的交点为（-2，0）（3，0），∵1﹣（x ﹣3）（x+2）=0，∴y 1=1﹣（x ﹣3）（x+2）的图像可看做y=-（x ﹣3）（x+2）的图像向上平移1，与x 轴的交点的横坐标为x 1、x 2，∵-1<0，∴两个抛物线的开口向下，∴x 1＜﹣2＜3＜x 2，故选B.【点睛】本题考查二次函数图像性质及平移的特点，根据开口方向确定函数的增减性是解题关键.4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数21y ax bx =++的图象经过点A ，B ，对系数a 和b 判断正确的是（ ）A ．0,0a b >>B ．0,0a b <<C ．0,0a b ><D ．0,0a b <>【答案】D 【分析】根据二次函数y=ax 2+bx+1的图象经过点A ，B ，画出函数图象的草图，根据开口方向和对称轴即可判断．【详解】解：由二次函数y=ax 2+bx+1可知图象经过点（0，1），∵二次函数y=ax 2+bx+1的图象还经过点A ，B ，则函数图象如图所示，抛物线开口向下，∴a ＜0，，又对称轴在y 轴右侧，即02b a -> ， ∴b ＞0， 故选D5．函数y=k x与y=-kx 2+k （k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B【分析】先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致，由此即可解答．【详解】由解析式y=-kx 2+k 可得：抛物线对称轴x=0；选项A ，由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k ＜0，则-k ＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y 轴的交点为y 轴的负半轴上；本图象与k 的取值相矛盾，选项A 错误；选项B ，由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k ＞0，则-k ＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象符合题意，选项B 正确；选项C ，由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k ＞0，则-k ＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象与k 的取值相矛盾，选项C 错误；选项D ，由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k ＞0，则-k ＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象与k 的取值相矛盾，选项D 错误．故选B ．【点睛】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k 取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y 轴的交点是否符合要求．6．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A （2，2）、B （3，1），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的2倍后得到线段CD ，则端点C 的坐标分别为（ ）A．（4，4）B．（3，3）C．（3，1）D．（4，1）【答案】A【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．【详解】∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，∴A点与C点是对应点，∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为1：2，∴点C的坐标为：（4，4）故选A．【点睛】本题考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．7．设a，b是方程x2+2x﹣20＝0的两个实数根，则a2+3a+b的值为（）A．﹣18 B．21 C．﹣20 D．18【答案】D【分析】根据根与系数的关系看得a+b＝﹣2，由a，b是方程x2+2x﹣20＝0的两个实数根看得a2+2a＝20，进而可以得解．【详解】解：∵a，b是方程x2+2x﹣20＝0的两个实数根，∴a2+2a＝20，a+b＝﹣2，∴a2+3a+b＝a2+2a+a+b＝20﹣2＝1则a2+3a+b的值为1．故选：D．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系式解此题的关键.8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A ．CM=DMB ．CB=DBC ．∠ACD=∠ADCD ．OM=MD【答案】D 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，∴M 为CD 的中点，即CM=DM ，选项A 成立；∵B 为CD 的中点，即CB=DB ，选项B 成立；在△ACM 和△ADM 中，∵AM=AM ，∠AMC=∠AMD=90°，CM=DM ，∴△ACM ≌△ADM （SAS ），∴∠ACD=∠ADC ，选项C 成立．而OM 与MD 不一定相等，选项D 不成立．故选D ．9．将6497.1亿用科学记数法表示为（ ）A ．6.4971×1012B ．64.971×1010C ．6.5×1011D ．6.4971×1011 【答案】D【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：6497.1亿＝649710000000＝6.4971×1．故选：D ．【点睛】此题主要考查科学记数法，解题的关键是熟知科学记数法的表示方法.10．某次聚会，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，有人统计一共握了10次手．求这次聚会的人数是多少？设这次聚会共有x 人，可列出的方程为（ ）A ．()110x x +=B ．()1=10x x -C ．()21=10x x -D ．1(1)102x x -= 【答案】D【分析】每个人都要和他自己以外的人握手一次，但两个人之间只握手一次，所以等量关系为12×聚会人数×（聚会人数-1）=总握手次数，把相关数值代入即可．【详解】解：设参加这次聚会的同学共有x 人， 由题意得：1(1)102x x -=， 故选：D ．。
〖汇总3套试卷〗佛山市2021年九年级上学期期末考前模拟数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为（）A．112B．512C．16D．12【答案】A【解析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用黄灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是黄灯的概率为多少．【详解】根据题意可知，每分钟内黄灯亮的时间为秒，每分钟内黄灯亮的概率为516012P==，故抬头看是黄灯的概率为1 12.故选A.【点睛】本题主要考查求随机事件概率的方法，熟悉掌握随机事件A的概率公式是关键.2．某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由草坪面积为100m2，可知x、y存在关系y=，然后根据两边长均不小于5m，可得x≥5、y≥5，则x≤20，故选：C．3．我校小伟同学酷爱健身，一天去爬山锻炼，在出发点C处测得山顶部A的仰角为30度，在爬山过程中，每一段平路（CD、EF、GH）与水平线平行，每一段上坡路（DE、FG、HA）与水平线的夹角都是45度，在山的另一边有一点B（B、C、D同一水平线上），斜坡AB的坡度为2：1，且AB长为5伟走平路的速度为65.7米/分，走上坡路的速度为42.3米/分．则小伟从C 出发到坡顶A 的时间为（ ）（图中所有点在同一平面内2≈1.41，3≈1.73）A ．60分钟B ．70分钟C ．80分钟D ．90分钟【答案】C 【分析】如图，作AP ⊥BC 于P ，延长AH 交BC 于Q ，延长EF 交AQ 于T ．想办法求出AQ 、CQ 即可解决问题．【详解】解：如图，作AP ⊥BC 于P ，延长AH 交BC 于Q ，延长EF 交AQ 于T ．由题意：PA PB＝2，AQ ＝AH+FG+DE ，CQ ＝CD+EF+GH ，∠AQP ＝45°， ∵∠APB ＝90°，AB ＝5∴PB ＝900，PA ＝1800，∵∠PQA ＝∠PAQ ＝45°，∴PA ＝PQ ＝1800，AQ 2PA ＝2，∵∠C ＝30°，∴PC 3＝3，∴CQ ＝31800， ∴小伟从C 出发到坡顶A 的时间＝1800318001800265.742.3+ ≈80（分钟）， 故选：C ．【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．4．若()350a b b =≠，则下列各式一定成立的是（ ）A ．35a b =B ．53a b =C ．35a b =D ．145a b +=【答案】B【分析】由0,b ≠ 等式的两边都除以3b ，从而可得到答案．【详解】解：()350,a b b =≠∴ 等式的两边都除以：3b ， 35,33a b b b∴= 5.3a b ∴= 故选B ．【点睛】本题考查的是把等积式化为比例式的方法，考查的是比的基本性质，等式的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角∠DCE ＝65°，∠ABC ＝68°，则∠A 的度数为（ ）.A ．112°B ．68°C ．65°D ．52°【答案】C 【分析】由四边形ABCD 内接于⊙O ，可得∠BAD+∠BCD ＝180°，又由邻补角的定义，可证得∠BAD ＝∠DCE ．继而求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠BAD+∠BCD ＝180°， ∵∠BCD+∠DCE ＝180°，∴∠A ＝∠DCE ＝65°．故选：C ．【点睛】此题考查了圆的内接四边形的性质．注意掌握圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．6．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，31A ∠=︒，将ABC ∆绕点C 按顺时针旋转后得到EDC ∆．此时点D 在AB 边上，则旋转角的大小为( )【分析】根据旋转的性质和三角形的内角和进行角的运算即可得出结果．【详解】解：∵在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，31A ∠=︒，∴∠B=59°，∵将ABC ∆绕点C 按顺时针旋转后得到EDC ∆，∴∠BCD 是旋转角，ABC ∆≅EDC ∆，∴BC=DC ，∴∠CDB=∠B=59°，∴∠BCD=180°−∠CDB−∠B=62°，故选A ．【点睛】本题考查了旋转的性质和三角形的内角和，解题的关键是找到旋转角并熟练运用旋转的性质求解． 7．用配方法解方程240x x +=,下列配方正确的是（ ）A ．()220x +=B ．()220x -= C ．()224x +=D ．()224x -= 【答案】C【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方．【详解】解： 等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方22， 2224+20+2x x +=，∴2(2)4x +=；故选：C ．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．8．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠CDB ＝25°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E 的度数为（ ）【分析】首先连接OC，由切线的性质可得OC⊥CE，又由圆周角定理，可求得∠COB的度数，继而可求得答案．【详解】解：连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE＝90°，∵∠COB＝2∠CDB＝50°，∴∠E＝90°﹣∠COB＝40°．故选：A．【点睛】本题考查了切线性质，三角形的外角性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9．《朗读者》是中央电视台推出的大型文化情感类节目，节目旨在实现文化感染人、鼓舞人、教育人的引.为此，某校举办演讲比赛，李华根据演讲比赛时九位评委所给的分数制作了如下表格：导作用平均数中位数众数方差8.58.38.18.15对9位评委所给的分数，去掉一个最高分和一个最低分后，表格中数据一定不发生变化的是() A．平均数B．中位数C．众数D．方差【答案】B【分析】根据方差、平均数、众数和中位数的定义进行判断．【详解】解：对9位评委所给的分数，去掉一个最高分和一个最低分后，中位数一定不发生变化．故选B．【点睛】.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量.也考查了平均数、众数和中位数．性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好10．九（1）班的教室里正在召开50人的座谈会，其中有3名教师，12名家长，35名学生，当林校长走到教室门口时，听到里面有人在发言，那么发言人是家长的概率为（）A．710B．625C．350D．13【答案】B【解析】根据概率=频数除以总数即可解题.【详解】解：由题可知：发言人是家长的概率=1250=625,故选B.【点睛】本题考查了概率的实际应用,属于简单题,熟悉概率的计算方法是解题关键.11．如图，将命题“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，下列正确的是（）A．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD，弧AB=弧CD．求证：AB=CDB．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD，弧AB=弧BC．求证：AD=BCC．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD．求证：弧AD=弧BC，AD=BCD．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD．求证：弧AB=弧CD，AB=CD【答案】D【分析】根据命题的概念把原命题写成:“如果...求证...”的形式.【详解】解：“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”，改写成：已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD.求证：弧AB=弧CD，AB=CD故选：D【点睛】本题考查命题，掌握将命题改写为“如果...求证...”的形式,是解题的关键.12．如图，A、B两点在双曲线y=4x上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（）A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D【分析】欲求S 1+S 1，只要求出过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=4x的系数k ，由此即可求出S 1+S 1． 【详解】∵点A 、B 是双曲线y=4x 上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S 1+S 1=4+4-1×1=2．故选D ．二、填空题（本题包括8个小题）13．已知关于x 的一元二次方程2350ax bx --=的一个根是2，则812a b -的值是：______．【答案】1【分析】先将所求式子化成4(23)a b -，再根据一元二次方程的根的定义得出一个a 、b 的等式，然后将其代入求解即可得．【详解】8124(23)a b a b -=-由题意，将2x =代入方程得：223250a b -⨯-=整理得：465a b -=，即5232a b -=将5232a b -=代入得：58124(23)4102a b a b -=-=⨯= 故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义、代数式的化简求值，利用一元二次方程的根的定义得出465a b -=是解题关键．14．若代数式2x -有意义，则x 的取值范围是____________． 【答案】x≥1且x≠1【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，即可求解．【详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x-1≥0且x-1≠0，解得：x≥1且x≠1．故答案为：x≥1且x≠1．【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，难度不大.15．将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BF 的长度是_________．【答案】2或12 7【分析】设BF=x，根据折叠的性质用x表示出B′F和FC，然后分两种情况进行讨论（1）△B′FC∽△ABC 和△B′FC∽△BAC，最后根据两三角形相似对应边成比例即可求解．【详解】设BF=x，则由折叠的性质可知：B′F=x，FC=4x-，（1）当△B′FC∽△ABC时，有B F FC AB BC='，即：434x x-=，解得：127x=；（2）当△B′FC∽△BAC时，有B F FC BA AC='，即：433x x-=，解得：2x=；综上所述，可知：若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是2或12 7故答案为2或127．【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，解本题时，由于题目中没有指明△B′FC和△ABC相似时顶点的对应关系，所以根据∠C是两三角形的公共角可知，需分：（1）△B′FC∽△ABC；（2）△B′FC∽△BAC；两种情况分别进行讨论，不要忽略了其中任何一种．16．如图，角α的两边与双曲线y=kx（k＜0，x＜0）交于A、B两点，在OB上取点C，作CD⊥y轴于点D，分别交双曲线y=kx、射线OA于点E、F，若OA=2AF，OC=2CB，则CEEF的值为______．【答案】4 9【解析】过C，B，A，F分别作CM⊥x轴，BN⊥x轴，AG⊥x轴，FH⊥x轴，设DO为2a，分别求出C，E，F的坐标，即可求出CEEF的值．【详解】如图：过C，B，A，F分别作CM⊥x轴，BN⊥x轴，AG⊥x轴，FH⊥x轴，设DO 为2a ，则E （2k a ，2a ）， ∵BN ∥CM ， ∴△OCM ∽△OBN ，∴CO CM BO BN ==23， ∴BN =3a ， ∴B （3k a ，3a ）， ∴直线OB 的解析式y =29a kx ， ∴C （29k a，2a ）， ∵FH ∥AG ，∴△OAG ∽△OFH ，∴23OA AG OF FH ==， ∵FH=OD=2a ，∴AG =43a ， ∴A （34k a ，43a ）， ∴直线OA 的解析式y =2169a kx ， ∴F （98k a，2a ）， ∴CE EF =292928k k a a k k a a --=49，故答案为：49【点睛】 本题考查反比例函数图象上点的特征，相似三角形的判定，关键是能灵活运用相似三角形的判定方法． 17．九年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：100，112，102，105，112，110，则该同学这6次成绩的众数是_____．【答案】1【分析】根据众数的出现次数最多的特点从数据中即可得到答案.【详解】解：在这组数据中出现次数最多的是1，所以这组数据的众数为1，故答案为：1．【点睛】此题重点考查学生对众数的理解，掌握众数的定义是解题的关键.18．圆锥的侧面展开图是一个_____形，设圆锥的母线长为3，底面圆的半径为2，则这个圆锥的全面积为_____．【答案】扇10π【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，利用圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积即可得答案．【详解】圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆锥的侧面积＝rlπ=π×2×3＝6π，底面积为2rπ=4π，∴全面积为6π+4π＝10π．故答案为：扇，10π【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图及侧面积的计算，熟记圆锥侧面积公式是解题关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．（1）求证：BD＝CD．（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的长．【答案】（1）详见解析；（2）65°；（3）43π．【分析】（1）连接AD，利用圆周角定理推知AD⊥BD，然后由等腰三角形的性质证得结论；（2）根据已知条件得到∠EOD＝50°，结合圆周角定理求得∠DAC＝25°，所以根据三角形内角和定理求得∠ABD的度数，则∠C＝∠ABD，得解；（3）设半径OD＝x．则AB＝2x．由AF＝3BF可得AF＝34AB＝32x，BF＝14AB＝12x，根据射影定理知：BD2＝BF•AB，据此列出方程求得x的值，最后代入弧长公式求解．【详解】（1）证明：如图，连接AD．∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD．又∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）解：∵弧DE＝50°，∴∠EOD＝50°．∴∠DAE＝12∠DOE＝25°．∵由（1）知，AD⊥BD，则∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABD＝65°．（3）∵BC＝8，BD＝CD，∴BD＝1．设半径OD＝x．则AB＝2x．由AF＝3BF可得AF＝34AB＝32x，BF＝14AB＝12x，∵AD⊥BD，DF⊥AB，∴BD2＝BF•AB，即12＝12x•2x．解得x＝1．∴OB＝OD＝BD＝1，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°．∴弧BD的长是：604180π⨯＝43π．【点睛】此题主要考查圆的综合，解题的关键是熟知圆周角定理、三角形内角和及射影定理的运用.20．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E,（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．【答案】（1）见解析（2）2：1【分析】（1）连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线．（2）由△COD≌△COB．可得CD=CB，即可得DE=2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值．【详解】解：（1）证明：连接DO，∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO．∴∠COD=∠COB．在△COD和△COB中，CO CO{COD COB OD OB=∠=∠=，∴△COD≌△COB（SAS）．∴∠CDO=∠CBO=90°.又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线.（2）∵△COD≌△COB．∴CD=CB．∵DE=2BC，∴ED=2CD．∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO．∴AD：OC=DE：CE=2：1．21．已知：如图，一次函数y kx b =+与反比例函数3y x=的图象有两个交点(1,)A m 和B ，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ；过点B 作BC y ⊥轴，垂足为点C ，且2BC =，连接CD .（1）求m ，k ，b 的值；（2）求四边形ABCD 的面积.【答案】（1）3m =，32k ，32b =.（2）6 【解析】（1）用代入法可求解，用待定系数法求解；（2）延长AD ，BC 交于点E ，则90E ∠=︒.根据ABE CDE ABCD S S S ∆∆=-四边形求解.【详解】解：（1）∵点(1,)A m 在3y x=上， ∴3m =，∵点B 在3y x =上，且2BC =， ∴3(2,)2B --.∵y kx b =+过A ，B 两点， ∴3322k b k b +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩， 解得3232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴3m =，32k ，32b =. （2）如图，延长AD ，BC 交于点E ，则90E ∠=︒.∵BC y ⊥轴，AD x ⊥轴，∴(1,0)D ，3(0,)2C -，∴92AE =，3BE =， ∴ABE CDE ABCD S S S ∆∆=-四边形1122AE BE CE DE =⋅⋅-⋅⋅ 1913312222=⨯⨯-⨯⨯ 6=.∴四边形ABCD 的面积为6.【点睛】考核知识点：反比例函数和一次函数的综合运用.数形结合分析问题是关键.22．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）将△ABC 向上平移3个单位后，得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1，并直接写出点A 1的坐标． （2）将△ABC 绕点O 顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A 2B 2C 2，并求点B 所经过的路径长（结果保留π）【答案】（1） 图见解析，（-3，6）；（2） 17 【分析】（1）根据△ABC 向上平移3个单位，得出对应点位置，即可得出A 1的坐标；（2）得出旋转后的△A 2B 2C 2，再利用弧长公式求出点B 所经过的路径长．【详解】解：（1）如图所示：A 1的坐标为：（-3，6）；（2）如图所示：∵BO=221417+=， ∴点B 所经过的路径长=9017171802ππ⨯=． 23． “2020比佛利”无锡马拉松赛将于3月22日鸣枪开跑，本次比赛设三个项目：A ．全程马拉松；B ．半程马拉松；C ．迷你马拉松．小明和小红都报名参与该赛事的志愿者服务工作，若两人都已被选中，届时组委会随机将他们分配到三个项目组．（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为 ；（2）请利用树状图或列表法求两人被分配到同一个项目组的概率．【答案】（1）13；（2）13． 【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）先利用画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人被分配到同一个项目组的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】解：（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为13； （2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两人被分配到同一个项目组的结果数为3，所以两人被分配到同一个项目组的概率＝39＝13． 【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知树状图的画法.24．如图，在△ABC中，AB=AC，O在AB上，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点F，交BC于点D，交AB于点G，过D作DE⊥AC，垂足为E．（1）DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；（2）若⊙O的半径长为3，AF=4，求CE的长．【答案】（1）DE与⊙O相切，证明见解析；（2）CE长度为1【分析】（1）连接OD，如图，根据等腰三角形的性质和等量代换可得∠ODB=∠C，进而可得OD∥AC，于是可得OD⊥DE，进一步即可得出结论；（2）连接OF，由切线的性质和已知条件易得四边形ODEF为矩形，从而可得EF=OD=3，在Rt△AOF中根据勾股定理可求出AO的长，进而可得AB的长，即为AC的长，再利用线段的和差即可求出结果．【详解】解：（1）DE与⊙O相切；理由如下：连接OD，如图，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；（2）如图，连接OF ；∵DE ，AF 是⊙O 的切线，∴OF ⊥AC ，OD ⊥DE ，又∵DE ⊥AC ，∴四边形ODEF 为矩形，∴EF=OD=3，在Rt △OFA 中，∵AO 2=OF 2+AF 2， ∴22345AO +=，∴AC=AB=AO+BO=8，CE=AC ﹣AF ﹣EF=8﹣4﹣3=1．答：CE 长度为1．【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．25．（1）计算()213sin 6013605--+︒--+ （2）解不等式组：()56231531123x x x x ⎧+>-⎪⎨-+-≥-⎪⎩【答案】（1）10339 （2）143x -<≤ 【分析】（1）先算乘方、特殊三角函数值、绝对值，再算乘法，最后算加减法即可．（2）分别解各个一元一次不等式，即可解得不等式组的解集．【详解】（1）()213sin 6013605--+︒--+13311292=+109=-+109=． （2）()56231531123x x x x ⎧+>-⎪⎨-+-≥-⎪⎩()5623x x +>-5626x x +>-312x >-解得4x >-1531123x x -+-≥- 315626x x ---≥-721x ≥ 解得13x ≤ 故解集为 143x -<≤． 【点睛】本题考查了实数的混合运算和解不等式组的问题，掌握实数的混合运算法则、特殊三角函数值、绝对值的性质、解不等式组的方法是解题的关键．26．解方程：x 2﹣6x ﹣40＝0【答案】x 1＝10，x 2＝﹣1．【分析】用因式分解法即可求解.【详解】解：x 2﹣6x ﹣10＝0，（x ﹣10）（x+1）＝0，∴x ﹣10＝0或x+1＝0，∴x 1＝10，x 2＝﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法，有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．27．如图，已知四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，DE=EC ，以AE 为直径的⊙O 与CD 相切于点D ，点B 在⊙O 上，连接OB ．（1）求证：DE=OE ；（2）若CD∥AB，求证：BC是⊙O的切线．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【分析】(1)先判断出∠2+∠3=90°，再判断出∠1=∠2即可得出结论；(2)根据等腰三角形的性质得到∠3=∠COD=∠DEO=60°，根据平行线的性质得到∠4=∠1，根据全等三角形的性质得到∠CBO=∠CDO=90°，于是得到结论；【详解】(1)如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°，∵DE=EC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠COD，∴DE=OE；(2)∵OD=OE，∴OD=DE=OE，∴∠3=∠COD=∠DEO=60°，∴∠2=∠1=30°，∵AB∥CD，∴∠4=∠1，∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°，∴∠BOC=∠DOC=60°，在△CDO与△CBO中，OD OB DOC BOC OC OC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CDO ≌△CBO(SAS)，∴∠CBO=∠CDO=90°，∴OB ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线；【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，同角的余角相等，等腰三角形的性质，判断出△CDO ≌△CBO 是解本题的关键．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的⊙O 交x 轴正半轴为M ，P 为圆上一点，坐标为（3，1），则cos ∠POM=（ ）A ．3B ．12 C ．3D ．22【答案】A【解析】试题分析：作PA ⊥x 轴于A ，∵点P 的坐标为（3，1），∴OA=3，PA=1，由勾股定理得，OP=2，cos ∠POM=OAOP =3，故选A ．考点：锐角三角函数2．若关于x 的一元二次方程x 2+2x+k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的最大整数是（） A ．1 B ．0 C ．﹣1 D ．﹣2【答案】B【分析】根据题意知，>0∆，代入数据，即可求解．【详解】由题意知：一元二次方程x 2+2x+k ＝1有两个不相等的实数根，∴240b ac ∆=->4410kk解得44k ．∴1∴k的最大整数是1．故选B．【点睛】本题主要考查了利用一元二次方程根的情况求参数范围，正确掌握利用一元二次方程根的情况求参数范围的方法是解题的关键．3．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，若以点A为圆心，以4为半径作⊙A，则下列各点中在⊙A外的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】C【解析】试题分析：根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B，C，D与⊙A的位置关系．解：连接AC，∵AB=3cm，AD=4cm，∴AC=5cm，∵AB=3＜4，AD=4=4，AC=5＞4，∴点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外．故选C．考点：点与圆的位置关系．4．能判断一个平行四边形是矩形的条件是（）A．两条对角线互相平分B．一组邻边相等C．两条对角线互相垂直D．两条对角线相等【答案】D【分析】根据矩形的判定进行分析即可；【详解】选项A中，两条对角线互相平分是平行四边形，故选项A错误；选项B中，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项B错误；选项C中，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C错误；选项D中，两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项D正确；故选D.【点睛】本题主要考查了矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键.5．如图，AB切⊙O于点B，C为⊙O上一点，且OC⊥OA，CB与OA交于点D，若∠OCB＝15°，AB＝23，则⊙O的半径为（）A3B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】连接OB，由切线的性质可得∠OBA=90°，结合已知条件可求出∠A=30°，因为AB的长已知，所以⊙O的半径可求出．【详解】连接OB，∵AB切⊙O于点B，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵OC⊥OA，∠OCB＝15°，∴∠CDO＝∠ADO＝75°，∵OC＝OB，∴∠C＝∠OBD＝15°，∴∠ABD＝75°，∴∠ADB＝∠ABD＝75°，∴∠A＝30°，∴BO＝1AO，2∵AB＝3∴BO2+AB2＝4OB2，∴BO＝2，∴⊙O的半径为2，故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，求出∠A=30°，是解题的关键．6．下列不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据中心对称图形的定义，逐一判断选项，即可．【详解】∵A是轴对称图形，不是中心对称图形，∴A符合题意，∵B是中心对称图形，∴B不符合题意，∵C是中心对称图形，∴C不符合题意，∵D是中心对称图形，∴D不符合题意，故选A．【点睛】本题主要考查中心对称图形的定义，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．7．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣2＝0，下列说法正确的是( )A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【答案】B【分析】根据一元二次方程的构成找出其二次项系数、一次项系数以及常数项，再根据根的判别式△＝17＞0，即可得出方程有两个不相等的实数根，此题得解.【详解】解：在一元二次方程x2+3x﹣2＝0中，二次项系数为1，一次项系数为3，常数项为﹣2，∵△＝32﹣4×1×(﹣2)＝17＞0，∴方程x2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根.故选：B.【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b 2﹣4ac 与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根. 8．用配方法将二次函数267y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式为（ ）A ．2(3)2y x =-+B ．2(3)16y x =--C ．2(3)2y x =++D ．2(3)16y x =+- 【答案】B【分析】加上一次项系数一半的平方凑成完全平方式，将一般式转化为顶点式即可．【详解】()222676997316=---+--=--y x x x x x =故选：B ．【点睛】本题考查二次函数一般式到顶点式的转化，熟练掌握配方法是解题的关键．9．从﹣1，0，1三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率为（ ） A ．13 B ．12 C ．23 D ．34【答案】C【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出刚好在坐标轴上的点个数，即可求出所求的概率．【详解】解：根据题意列表如下：所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在坐标轴上的情况有4种，所以该点在坐标轴上的概率＝4263=； 故选：C ．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．也考查了点的坐标特征． 10．如图，一个半径为r （r ＜1）的圆形纸片在边长为6的正六边形内任意运动，则在该六边形内，这个圆形纸片不能接触到的部分的面积是（ ）A ．πr 2B ．23rC ．2223r r π-D ．221233r r π- 【答案】C 【分析】当圆运动到正六边形的角上时，圆与ABC ∠两边的切点分别为E,F ，连接OE,OB,OF ，根据六边形的性质得出120ABC ∠=︒ ，所以60OBF ∠=︒，再由锐角三角函数的定义求出BF 的长，最后利用626BOF EOF S S ⨯-扇形可得出答案．【详解】如图，当圆运动到正六边形的角上时，圆与ABC ∠两边的切点分别为E,F ，连接OE,OB,OF ，∵多边形是正六边形，∴120ABC ∠=︒ ,60OBF ∴∠=︒90,OFB OF r ∠=︒= ,3tan 6033OF r BF ∴===︒ ∴圆形纸片不能接触到的部分的面积是22213606266262323360BOF EOF r r S S r r r ππ⋅⨯-=⨯⨯⨯⋅-⨯=-扇形 故选：C ．【点睛】本题主要考查正六边形和圆，掌握正六边形的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．11．抛物线23y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）A ．23(1)2=--y xB ．23(1)2y x =+-C ．23(1)2y x =++D ．23(1)2y x =-+【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移规律即可解答．【详解】解：抛物线23y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是23(1)2y x =+-， 故答案为：B ．【点睛】本题考查了抛物线的平移，解题的关键是熟知“左加右减、上加下减”的平移规律．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．4πB ．3πC ．2π+4D ．3π+4【答案】D 【解析】试题解析：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为2，表面积有四个面组成：两个半圆，一个侧面，还有一个正方形.故其表面积为： 212π1π12223π42⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=+， 故选D.二、填空题（本题包括8个小题）13．方程ax 2+x+1=0 有两个不等的实数根，则a 的取值范围是________. 【答案】14a <且a≠0 【解析】∵方程210ax x ++=有两个不等的实数根，∴20140a a ≠⎧⎨=->⎩ ，解得14a <且0a ≠. 14．一种药品经过两次降价，药价从每盒80元下调至45元，平均每次降价的百分率是__．【答案】25%【分析】设每次降价的百分比为x ，根据前量80，后量45，列出方程280(1)45x ，解方程即可得到答案.【详解】设每次降价的百分比为x ， 280(1)45x ，解得：x 1=0.25=25%，x 2=1.75（不合题意舍去）故答案为：25%.此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解百分率问题，代入公式：前量（1±x ）2=后量，即可解答此类问题.15．在平面直角坐标系中，二次函数2y x 与反比例函数1(0)y x x=-<的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点1(,)A x m ，2(,)B x m ，3(,)C x m ，其中m 为常数，令123x x x δ=++，则δ的值为_________．（用含m 的代数式表示）【答案】1m- 【分析】根据题意由二次函数的性质、反比例函数的性质可以用含m 的代数式表示出W 的值，本题得以解决．【详解】解：∵两个函数图象上有三个不同的点A （x 1，m ），B （x 2，m ），C （x 3，m ），其中m 为常数，∴其中有两个点一定在二次函数图象上，且这两个点的横坐标互为相反数，第三个点一定在反比例函数图象上，假设点A 和点B 在二次函数图象上，则点C 一定在反比例函数图象上，∴m=31x -，得x 3=1m-， ∴δ=x 1+x 2+x 3=0+x 3=1m -； 故答案为：1m-. 【点睛】 本题考查反比例函数的图象和图象上点的坐标特征、二次函数的图象和图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数和二次函数的性质解答．16．如果将抛物线221y x x =+-向上平移，使它经过点(0,3)A ，那么所得新抛物线的表达式是_______________．【答案】223y x x =++【解析】试题解析：设平移后的抛物线解析式为y=x 2+2x-1+b ，把A （0，1）代入，得1=-1+b ，解得b=4，则该函数解析式为y=x 2+2x+1．考点：二次函数图象与几何变换.17．已知二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的部分对应值列表如下： x…－3 －2 －1 0 … y… 0 －3 －4 －3 … 则关于x 的方程20ax bx c ++=的解是______.【答案】13x =-，21x =【分析】首先根据x 与函数y 的部分对应值求出二次函数解析式，然后即可得出一元二次方程的解.【详解】将（0，-3）（-1，-4）（-3,0）代入二次函数，得34930c a b c a b c =-⎧⎪-+=-⎨⎪-+=⎩解得123a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴二次函数解析式为223y x x =+-∴方程为2230x x +-= ()()130x x -+=∴方程的解为13x =-，21x =故答案为13x =-，21x =.【点睛】此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.18．如图，已知点A ，C 在反比例函数(0)a y a x =>的图象上，点B ，D 在反比例函(0)b y b x=<的图象上，AB ∥CD ∥x 轴，AB ，CD 在x 轴的两侧，AB=5，CD=4，AB 与CD 的距离为6，则a−b 的值是_______.【答案】403。
佛山市2021初三数学九年级上册期末试题和答案
佛山市2021初三数学九年级上册期末试题和答案一、选择题1．在半径为3cm 的⊙O 中，若弦AB ＝32，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ） A ．30°B ．45°C ．30°或150°D ．45°或135°2．如图，AB 为圆O 直径，C 、D 是圆上两点，∠ADC=110°，则∠OCB 度（ ）A ．40B ．50C ．60D ．703．在平面直角坐标系中，O 的直径为10，若圆心O 为坐标原点，则点()8,6P -与O的位置关系是（ ） A ．点P 在O 上B ．点P 在O 外C ．点P 在O 内 D ．无法确定4．已知34a b=（0a ≠，0b ≠），下列变形错误的是（ ） A ．34a b = B ．34a b = C ．43b a = D ．43a b = 5．若关于x 的一元二次方程240ax bx ++=的一个根是1x =-，则2015a b -+的值是（ ） A ．2011 B ．2015 C ．2019 D ．2020 6．两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ） A ．9︰16 B ．3︰4 C ．9︰4 D ．3︰16 7．若直线l 与半径为5的O 相离，则圆心O 与直线l 的距离d 为（ ）A ．5d <B ．5d >C ．5d =D ．5d ≤8．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上，ABAD=2，那么下列条件中能判断DE ∥BC 的是（ ）A ．12AE EC = B ．2ECAC= C ．12DE BC = D ．2ACAE= 9．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝2（x ﹣1）2+1先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式是（ ） A ．y ＝2（x+1）2+4 B ．y ＝2（x ﹣1）2+4 C ．y ＝2（x+2）2+4D ．y ＝2（x ﹣3）2+410．某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为172cm ，方差为k 2cm ，第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是172cm ，此时全班同学身高的方差为'k 2cm ，那么'k 与k 的大小关系是（ ）A ．'k k >B ．'k k <C ．'k k =D ．无法判断 11．数据3、4、6、7、x 的平均数是5，这组数据的中位数是（ ） A ．4 B ．4.5 C ．5D ．612．一元二次方程x 2＝－3x 的解是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x 1＝0，x 2＝3D ．x 1＝0，x 2＝－3 13．若二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与坐标轴只有两个公共点，则c 应满足的条件是（ ）A ．c ＝0B ．c ＝1C ．c ＝0或c ＝1D ．c ＝0或c ＝﹣114．如图，点P （x ，y ）（x ＞0）是反比例函数y=kx（k ＞0）的图象上的一个动点，以点P 为圆心，OP 为半径的圆与x 轴的正半轴交于点A ，若△OPA 的面积为S ，则当x 增大时，S 的变化情况是（ ）A ．S 的值增大B ．S 的值减小C ．S 的值先增大，后减小D ．S 的值不变15．如图，在正方形 ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE ⊥EF ．有下列结论：①∠BAE ＝30°；②射线FE 是∠AFC 的角平分线；③CF ＝13CD ； ④AF ＝AB ＋CF ．其中正确结论的个数为（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个二、填空题16．如图，已知菱形ABCD 中，4AB =，C ∠为钝角，AM BC ⊥于点M ，N 为AB 的中点，连接DN ，MN .若90DNM ∠=︒，则过M 、N 、D 三点的外接圆半径为______.17．某同学想要计算一组数据105，103，94，92，109，85的方差20S ，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去100，得到一组新数据5，3，－6，－8，9，－15，记这组新数据的方差为21S ，则20S ______21S （填“>”、“=”或“<”）.18．如图，边长为2的正方形ABCD ，以AB 为直径作⊙O ，CF 与⊙O 相切于点E ，与AD 交于点F ，则△CDF 的面积为________________19．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，若∠P ＝40°，则∠ADC ＝____°．20．如图，在□ABCD 中，AB ＝5，AD ＝6，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点C 作⊙O 的切线交AD 于点N ，切点为M ．当CN ⊥AD 时，⊙O 的半径为____．21．如图，在Rt △ABC 中，BC AC ⊥，CD 是AB 边上的高，已知AB ＝25，BC ＝15，则BD ＝__________．22．抛物线21(5)33y x =--+的顶点坐标是_______．23．一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为2米，旗杆的影长为20米，若小青的身高为1.60米，则旗杆的高度为__________米.24．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是_________.25．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若点()11,A y ，()23,B y 是图象上的两点，则1y ____2y (填“>”、“<”、“=”).26．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点O ，则tan ∠AOD=________.27．已知 x 1、x 2 是关于 x 的方程 x 2+4x -5＝0的两个根，则x 1 + x 2＝_____． 28．若m 是方程2x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则6m 2﹣9m +2020的值为_____． 29．如图，点G 为△ABC 的重心，GE ∥AC ，若DE ＝2，则DC ＝_____．30．在一块边长为30 cm 的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为10 cm 的圆形阴影区域，则飞镖落在阴影区域内的概率为__________．三、解答题31．5G 网络比4G 网络的传输速度快10倍以上，因此人们对5G 产品充满期待.华为集团计划2020年元月开始销售一款5G 产品.根据市场营销部的规划，该产品的销售价格将随销售月份的变化而变化.若该产品第x 个月（x 为正整数）销售价格为y 元/台，y 与x 满足如图所示的一次函数关系：且第x 个月的销售数量p （万台）与x 的关系为1p x =+.（1）该产品第6个月每台销售价格为______元；（2）求该产品第几个月的销售额最大？该月的销售价格是多少元/台？（3）若华为董事会要求销售该产品的月销售额不低于27500万元，则预计销售部符合销售要求的是哪几个月？（4）若每销售1万台该产品需要在销售额中扣除m 元推广费用，当68x ≤≤时销售利润最大值为22500万元时，求m 的值. 32．如图，在矩形纸片ABCD 中，已知2AB =，6=BC ，点E 在边CD 上移动，连接AE ，将多边形ABCE 沿AE 折叠，得到多边形AB C E ''，点B 、C 的对应点分别为点B '，C '.（1）连接AC .则AC =______，DAC ∠=______°； （2）当B C ''恰好经过点D 时，求线段CE 的长；（3）在点E 从点C 移动到点D 的过程中，求点C '移动的路径长.33．（1）如图，已知AB 、CD 是大圆⊙O 的弦，AB ＝CD ，M 是AB 的中点．连接OM ，以O 为圆心，OM 为半径作小圆⊙O ．判断CD 与小圆⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）已知⊙O ，线段MN ，P 是⊙O 外一点．求作射线PQ ，使PQ 被⊙O 截得的弦长等于MN ．（不写作法，但保留作图痕迹）34．某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：第一次 第二次 第三次 第四次 甲 9 8 8 7 乙10679（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩；（2）分别计算甲、乙两人四次测试成绩的方差；根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由．35．如图，已知⊙O 的直径AC 与弦BD 相交于点F ，点E 是DB 延长线上的一点，∠EAB=∠ADB ．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）已知点B 是EF 的中点，求证：△EAF ∽△CBA ； （3）已知AF=4，CF=2，在（2）的条件下，求AE 的长．四、压轴题36．在长方形ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．（1）填空：______＝______，______＝______（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？26cm？若存在，请求出此时t的（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于2值；若不存在，请说明理由．37．如图，Rt△ABC，CA⊥BC，AC＝4，在AB边上取一点D，使AD＝BC，作AD的垂直平分线，交AC边于点F，交以AB为直径的⊙O于G，H，设BC＝x．（1）求证：四边形AGDH为菱形；（2）若EF＝y，求y关于x的函数关系式；（3）连结OF，CG．①若△AOF为等腰三角形，求⊙O的面积；②若BC＝3，则30CG+9＝______．（直接写出答案）．38．翻转类的计算问题在全国各地的中考试卷中出现的频率很大，因此初三（5）班聪慧的小菲同学结合2011年苏州市数学中考卷的倒数第二题对这类问题进行了专门的研究。
{3套试卷汇总}2021年佛山市九年级上学期期末考试数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=23x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣23）x+c=0（a≠0）的两根之和（）A．大于0B．等于0C．小于0D．不能确定【答案】A【解析】试题分析：设ax2+bx+c=1（a≠1）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞1，a＞1，设方程ax2+（b﹣）x+c=1（a≠1）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论．设ax2+bx+c=1（a≠1）的两根为x1，x2，∵由二次函数的图象可知x1+x2＞1，a＞1，∴﹣＞1．设方程ax2+（b﹣）x+c=1（a≠1）的两根为a，b，则a+b=﹣=﹣+，∵a＞1，∴＞1，∴a+b＞1．考点：抛物线与x轴的交点2．设计一个摸球游戏，先在一个不透明的盒子中放入2个白球，如果希望从中任意摸出1个球是白球的概率为13，那么应该向盒子中再放入多少个其他颜色的球．（游戏用球除颜色外均相同）（）A．4B．5C．6D．7【答案】A【分析】利用概率公式，根据白球个数和摸出1个球是白球的概率可求得盒子中应有的球的个数，再减去白球的个数即可求得结果．【详解】解：∵盒子中放入了2个白球，从盒子中任意摸出1个球是白球的概率为13，∴盒子中球的总数=1263÷=，∴其他颜色的球的个数为6−2=4，故选：A．【点睛】本题考查了概率公式的应用，灵活运用概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．3．某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为172cm，方差为k2cm，第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是172cm ，此时全班同学身高的方差为'k 2cm ，那么'k 与k 的大小关系是（ ） A ．'k k >B ．'k k <C ．'k k =D ．无法判断 【答案】B【分析】设该班的人数有n 人，除小明外，其他人的身高为x 1，x 2……x n-1，根据平均数的定义可知：算上小明后，平均身高仍为172cm ，然后根据方差公式比较大小即可．【详解】解：设该班的人数有n 人，除小明外，其他人的身高为x 1，x 2……x n-1，根据平均数的定义可知：算上小明后，平均身高仍为172cm 根据方差公式：()()()22212111721721721n k x x x n -⎡⎤=-+-++-⎣⎦- ()()()()2222'1211172172172172172n x x k x n -⎡⎤=-+-++-+-⎣⎦ ()()()2221211172172172n x x x n -⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ∵111n n <- ∴()()()()()()222222121121111721721721721721721n n x x x x x x n n --⎡⎤⎡⎤-+-++-<-+-++-⎣⎦⎣⎦-即'k k <故选B ．【点睛】 此题考查的是比较方差的大小，掌握方差公式是解决此题的关键．4．若点A(-3，m)，B(3,m)，C(-1，m+n²+1)在同一个函数图象上，这个函数可能是( )A ．y ＝x+2B ．-2y x =C ．y ＝x²+2D ．y ＝-x²-2 【答案】D【分析】先根据点A 、B 的坐标可知函数图象关于y 轴对称，排除A 、B 选项；再根据点C 的纵坐标大于点A 的纵坐标，结合C 、D 选项，根据y 随x 的增减变化即可判断.【详解】(),3,3(,)A m B m -∴函数图象关于y 轴对称，因此A 、B 选项错误又231,1m m n -<-<++再看C 选项，22y x =+的图象性质：当0x <时，y 随x 的增大而减小，因此错误D 选项，22y x =--的图象性质：当0x <时，y 随x 的增大而增大，正确故选：D.【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象的性质是解题关键.5．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数kyx=（x＜0）的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为（）A．﹣6 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣12【答案】D【分析】先设D（a，b），得出CO=-a，CD=AB=b，k=ab，再根据△BCE的面积是6，得出BC×OE=12，最后根据AB∥OE，BC•EO=AB•CO，求得ab的值即可．【详解】设D（a，b），则CO=﹣a，CD=AB=b，∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数kyx=（x＜0）的图象上，∴k=ab，∵△BCE的面积是6，∴12×BC×OE=6，即BC×OE=12，∵AB∥OE，∴BC ABOC EO=，即BC•EO=AB•CO，∴12=b×（﹣a），即ab=﹣12，∴k=﹣12，故选D．考点：反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；平行线分线段成比例；数形结合．6．下列各组中的四条线段成比例的是( )A．4cm，2cm，1cm，3cmB．1cm，2cm，3cm，5cmC．3cm，4cm，5cm，6cmD．1cm，2cm，2cm，4cm【答案】D【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例.⨯≠⨯，所以不成比例，不符合题意；【详解】A.从小到大排列，由于1423⨯≠⨯，所以不成比例，不符合题意；B. 从小到大排列，由于1523⨯≠⨯，所以不成比例，不符合题意；C. 从小到大排列，由于3645⨯=⨯，所以成比例，符合题意；D. 从小到大排列，由于1422故选D.【点睛】此题主要考查线段成比例的关系，解题的关键是通过计算判断是否成比例.7．下列事件中，是随机事件的是（）A．任意画一个三角形，其内角和为180°B．经过有交通信号的路口，遇到红灯C．太阳从东方升起D．任意一个五边形的外角和等于540°【答案】B【解析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．【详解】A．任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件；B．经过有交通信号的路口，遇到红灯是随机事件；C．太阳从东方升起是必然事件；D．任意一个五边形的外角和等于540°是不可能事件．故选B．【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．8．已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图1．则旋转的牌是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】解：观察发现，只有是中心对称图形，∴旋转的牌是．故选A ． 9．下列计算正确的是（ ）A ．3x ﹣2x ＝1B ．x 2+x 5＝x 7C ．x 2•x 4＝x 6D ．12（xy ）4＝xy 4 【答案】C【分析】分别根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方逐一判断即可．【详解】解：3x ﹣2x ＝x ，故选项A 不合题意；x 2与x 5不是同类项，故不能合并，故选项B 不合题意；x 2•x 4＝x 6，正确，故选项C 符合题意；44411()22xy x y ，故选项D 不合题意． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OB 、OD ，若∠BOD= ∠BCD ，则∠A 的度数为（ ）A ．60°B ．70°C ．50°D ．45°【答案】A 【分析】根据圆内接四边形的性质，构建方程解决问题即可．【详解】设∠BAD=x ，则∠BOD=2x ，∵∠BCD=∠BOD=2x ，∠BAD ＋∠BCD=180°，∴3x=180°，∴x=60°，∴∠BAD=60°.故选：A ．【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 11．下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．20x x +=B ．220x -=C ．210x x +-=D ．210x x -+=【答案】D【分析】要判定所给方程根的情况，只要分别求出它们的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．没有实数根的一元二次方程就是判别式的值小于0的方程．【详解】解：A 、x 2+x=0中，△=b 2-4ac=1＞0，有实数根；B 、x 2-2=0中，△=b 2-4ac=8＞0，有实数根；C 、x 2+x-1=0中，△=b 2-4ac=5>0，有实数根；D 、x 2-x+1=0中，△=b 2-4ac=-3，没有实数根．故选D ．【点睛】本题考查一元二次方程根判别式△：即（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着原点旋转180，所得抛物线的解析式是（ ） A ．2(1)2y x =---B ．2(1)2y x =-+-C ．2(1)2y x =--+D ．2(1)2y x =-++ 【答案】A【解析】试题分析：先将原抛物线化为顶点式，易得出与y 轴交点，绕与y 轴交点旋转180°，那么根据中心对称的性质，可得旋转后的抛物线的顶点坐标，即可求得解析式． 解：由原抛物线解析式可变为：， ∴顶点坐标为（-1，2），又由抛物线绕着原点旋转180°，∴新的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于点原点中心对称，∴新的抛物线的顶点坐标为（1，-2），∴新的抛物线解析式为：．故选A．考点：二次函数图象与几何变换．二、填空题（本题包括8个小题）13．一个直角三角形的两直角边长分别为12cm和8cm，则这个直角三角形的面积是_____cm1．【答案】26【分析】本题可利用三角形面积1=2×底×高，直接列式求解．【详解】∵直角三角形两直角边可作为三角形面积公式中的底和高，∴该直角三角形面积11=128232226 22⨯⨯=⨯⨯=．故填：26．【点睛】本题考查三角形面积公式以及二次根式的运算，难度较低，注意计算仔细即可．14．在一个不透明的袋子中放有a个球，其中有6个白球，这些球除颜色外完全相同，若每次把球充分搅匀后，任意摸出一一球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则a的值约为_____．【答案】1．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在0.25左右得到比例关系，列出方程求解即可．【详解】解：根据题意得：60.25 a=，解得：a＝1，经检验：a＝1是分式方程的解，故答案为：1．【点睛】本题考查的知识点是事件的概率问题，弄清题意，根据概率公式列方程求解比较简单.15．如图在平面直角坐标系中，若干个半径为2个单位长度、圆心角为60的扇形组成一条连续的曲线，点Р从原点О出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为每秒2个单位，在弧线上的速度为每秒23π个单位长度，则5秒时，点Р的坐标是_______；2019秒时，点Р的坐标是_______．【答案】(3(2019,3-【分析】设第n 秒时P 的位置为P n ， P 5可直接求出，根据点的运动规律找出规律，每4秒回x 轴，P 4n (4n ，0)，由2019=504×4+3，回到在P 3的位置上，过P 3作P 3B ⊥x 轴于B ，则OB=3，P 3B=3，P 3（3，-3），当t=2019时，OP 2019=OP 2016+OB ，此时P 2019点纵坐标与P 3纵坐标相同，即可求．【详解】设n 秒时P 的位置为P n ，过P 5作P 5A ⊥x 轴于A ， OP 4=OP 2+P 2P 4=4，P 4（4，0），当t=5时，由扇形知P 4P 5=2，OP 4=4，在Rt △P 4P 5A 中，∠P 5P 4A=60º，则∠P 4P 5A=90º-∠P 5P 4A=60º =30º，P 4A=12P 4P 5=1， 由勾股定理得PA=222454213P P P A -=-=，OA=OP 4+AP 4=5，由点P 在第一象限，P （5，3），通过图形中每秒后P 的位置发现，每4秒一循环，2019=504×4+3，回到相对在P 3的位置上，过P 3作P 3B ⊥x轴于B ，则OB=3，P 3B=3，由P 3在第四象限，则P 3（3，-3），当t=2019时，OP 2019=OP 2016+OB=4×504+3=2019，P 2019点纵坐标与P 3纵坐标相同，此时P 2019坐标为（2019，-3），2019秒时，点Р的坐标是（2019，- 3）． 故答案为：（5，3），（2019，-3）． 【点睛】本题考查规律中点P 的坐标问题关键读懂题中的含义，利用点运动的速度，考查直线与弧线的时间，发现都用1秒，而每4秒就回到x 轴上，由此发现规律便可解决问题．16．已知如图，DE 是ABC ∆的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点A Q ，那么:CPE ABC S S ∆∆=__________．【答案】1:1【分析】连结AP 并延长交BC 于点F ，则S △CPE =S △AEP ，可得S △CPE ：S △ADE =1：2，由DE//BC 可得△ADE ∽△ABC ，可得S △ADE ：S △ABC =1：4，则S △CPE ：S △ABC =1：1．【详解】解：连结AP 并延长交BC 于点F ，∵DE △ABC 的中位线，∴E 是AC 的中点，∴S △CPE ＝S △AEP ，∵点P 是DE 的中点，∴S △AEP ＝S △ADP ，∴S △CPE ：S △ADE ＝1：2，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，DE ：BC ＝1：2，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE ：S △ABC ＝1：4，∴S △CPE ：S △ABC ＝1：1．故答案为1：1．【点睛】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．17．用一块圆心角为120°的扇形铁皮，围成一个底面直径为10cm 的圆锥形工件的侧面，那么这个圆锥的高是_____cm ．【答案】【分析】求得圆锥的母线的长利用勾股定理求得圆锥的高即可．【详解】设圆锥的母线长为l ，则1201180π＝10π， 解得：l ＝15，＝故答案为：.【点睛】考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长，难度不大． 18．将抛物线22y x =-向上平移1个单位后，再向左平移2个单位，得一新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是__________________________．【答案】y=(x+2)2-1【分析】根据函数图象的平移规律解答即可得到答案【详解】由题意得：平移后的函数解析式是22(2)21(2)1y x x =+-+=+-，故答案为：2(2)1y x =+-.【点睛】此题考查抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，正确掌握平移的规律并运用解题是关键.三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，且点B 的坐标为（4，2）．（1）画出OAB 关于点O 成中心对称的11OA B ，并写出点B 1的坐标；（2）求出以点B 1为顶点，并经过点B 的二次函数关系式.【答案】（1）图见解析，点()142B --，；（2）()214216y x =+-. 【分析】(1) 先由条件求出A 点的坐标, 再根据中心对称的性质求出1A 、 1B 的坐标, 最后顺次连接1OA 、1OB , △OAB 关于点O 成中心对称的△11OA B 就画好了,可求出B 1点坐标.(2) 根据 (1) 的结论设出抛物线的顶点式, 利用待定系数法就可以直接求出其抛物线的解析式.【详解】（1）如图，点()142B --，.（2）设二次函数的关系式是()242y a x =+-，把（4，2）代入上式得()22442a =+-，116a ∴=， 即二次函数关系式是()214216y x =+-. 【点睛】本题主要考查中心对称的性质，及用待定系数法求二次函数的解析式，难度不大.20．如图，AB和DE直立在地面上的两根立柱，已知AB=5m,某一时刻AB在太阳光下的影子长BC=3m．（1）在图中画出此时DE在太阳光下的影子EF；（2）在测量AB影子长时，同时测量出EF=6m，计算DE的长．【答案】（1）详见解析；（2）10m【分析】（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影；（2）易证△ABC∽△DEF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答即可.【详解】（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影．（2）∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，∵∠ABC=∠DEF=90°，∴△ABC∽△DEF，∴AB：DE=BC：EF，∵AB=5m，BC=3m，EF=6m，∴5：DE=3：6，∴DE=10m．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解此题的关键在于熟练掌握相似三角形的判定与性质.21．同圆的内接正三角形与外切正三角形的周长比是_____．【答案】1:1【分析】作出正三角形的边心距，连接正三角形的一个顶点和中心可得到一直角三角形，解直角三角形即可．【详解】解：如图所示：∵圆的内接正三角形的内心到每个顶点的距离是等边三角形高的23，设内接正三角形的边长为a，∴等边三角形的高为32a，∴该等边三角形的外接圆的半径为3 a∴同圆外切正三角形的边长＝1×3a×tan30°＝1a.∴周长之比为：3a：6a＝1：1，故答案为：1：1．【点睛】此题主要考查正多边形与圆，解题的关键是熟知正三角形的性质．22．如图，AB为⊙O的直径，弦AC的长为8cm．（1）尺规作图：过圆心O作弦AC的垂线DE，交弦AC于点D，交优弧ABC于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）若DE的长为8cm，求直径AB的长．【答案】（1）见解析；（2）10cm．【分析】（1）以点A，点C为圆心，大于12AC为半径画弧，两弧的交点和点O的连线交弦AC于点D，交优弧ABC于点E；（2）由垂径定理可得AD=CD=4cm，由勾股定理可求OA的长，即可求解．【详解】（1）如图所示：（2）∵DE⊥AC，∴AD＝CD＝4cm，∵AO2＝DO2+AD2，∴AO2＝（DE﹣AO）2+16，∴AO＝5，∴AB＝2AO＝10cm．【点睛】本题考查了圆的有关知识，勾股定理，灵活运用勾股定理求AO的长是本题的关键．23．如图，△ABC的顶点坐标分别为A(0，1)，B(3，3)，C(1，3)，（1）①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；②画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到的△A2B2C2，写出点C2的坐标；（2）若△ABC上任意一点P(m，n)绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则点Q的坐标为________.(用含m，n的式子表示)【答案】（1）①见解析，②见解析，点C2的坐标为(-3，1)；（2）(-n，m)【分析】(1)①根据关于原点对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；②利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，然后顺次连接，从而得到点C2的坐标；(2)利用②中对应点的规律写出Q的坐标．【详解】解：（1）①如图，△A1B1C1为所求；②如图，△A2B2C2为所求，点C2的坐标为(-3，1)（2）∵A(0，1) 绕原点O逆时针旋转90°的对应点A2（-1，0），B(3，3) 绕原点O逆时针旋转90°的对应点B2（-3,3）, C(1，3) 绕原点O逆时针旋转90°的对应点C2（-3，1），∴点Q的坐标为(-n，m).【点睛】本题考查了作图−−中心对称与旋转变换，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．24．“垃圾分类”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就“垃圾分类”知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有人，条形统计图中m的值为；（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为；（3）若从对垃圾分类知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加垃圾分类知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【答案】（1）60，10；（2）96°；（3）2 3【分析】（1）根据基本了解的人数和所占的百分比可求出总人数，m=总人数-非常了解的人数-基本了解的人数-了解很少的人数；（2）先求出“了解很少”所占总人数的百分比，再乘以360°即可；（3）采用列表法或树状图找到所有的情况，再从中找出所求的1名男生和1名女生的情况，再由概率等于所求情况数与总情况数之比来求解.【详解】（1）3050%60÷=604301610m=---=（2）“了解很少”所占总人数的百分比为1646015= 所以所对的圆心角的度数为43609615⨯︒=︒ （3）由表格可知，共有12种结果，其中1名男生和1名女生的有8种可能，所以恰好抽到1名男生1名女生的概率为82=123【点睛】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，根据图中信息解题，以及用列表法或树状图求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或表格，再由概率等于所求情况与总情况之比求解，注意列表时要做到不重不漏. 25．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量(个)与y 销售单价x(元)有如下关系:60(3060)y x x =-+≤≤，设这种双肩包每天的销售利润为w 元．(1)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(2)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元?【答案】（1）当x=45时，w 有最大值，最大值是225;（2）获得200元的销售利润，销售单价应定为40元【分析】（1）根据销售利润=单件利润⨯销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大值即可；（2）根据二次函数与一元二次方程的关系可计算得，同时要注意考虑实际问题，对答案进行取舍即可．【详解】解:(1)(30)w x y =-⋅(60)(30)x x =-+-230601800x x x =-++-2901800x x =-+-w 与x 之间的函数解析式2901800w x x =-+-根据题意得: 22901800(45)225w x x x =-+-=--+w ，∵10-<，当x=45时，w 有最大值，最大值是225(2)当200w =时，2901800200x x -+-=，解得1240,50x x ==，25042,50x >=不符合题意，舍去，答:该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．【点睛】本题考查二次函数与实际问题，解题的关键是能够根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求解实际问题．26．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）x （2x ﹣5）＝4x ﹣1．（2）x 2+5x ﹣4＝2．【答案】（1）x ＝2.5或x ＝2；（2）x ＝52-±． 【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【详解】解：（1）∵x （2x ﹣5）﹣2（2x ﹣5）＝2，∴（2x ﹣5）（x ﹣2）＝2，则2x ﹣5＝2或x ﹣2＝2，解得x ＝2.5或x ＝2；（2）∵a ＝1，b ＝5，c ＝﹣4，∴△＝52﹣4×1×（﹣4）＝41＞2，则x ＝52-． 【点睛】本题考查因式分解法、公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法、公式法解一元二次方程.27．一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其它差别，其中红球有2个，若从中随机摸出一个，这个球是白球的概率为23． （1）求袋子中白球的个数；（2）随机摸出一个球后，不放回，再随机摸出一个球，请结合树状图或列表求两次都摸到相同颜色的小球的概率．【答案】（1）袋子中白球有4个；（2）7 15【分析】（1）设白球有 x 个，利用概率公式得方程，解方程即可求解；（2）画树状图展示所有30种等可能的结果数，再找出两次摸到颜色相同的小球的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）设袋中白球有x个，由题意得：2 23xx=+，解之，得：4x=，经检验，4x=是原方程的解，故袋子中白球有4个；（2）设红球为A、B，白球为a b c d，，，，列举出两次摸出小球的所有可能情况有：共有30种等可能的结果，其中，两次摸到相同颜色的小球有14种，故两次摸到相同颜色的小球的概率为：1473015P==．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列事件中，是必然事件的是（ ）A ．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为偶数B ．三角形的内角和等于180°C ．不透明袋子中装有除色外无其它差别的9个白球，1个黑球，从中摸出一球为白球D ．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，出现1次“正面向上”，1次“反面向上”【答案】B【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．【详解】解：A 、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为偶数是随机事件；B 、三角形的内角和等于180°是必然事件；C 、不透明袋子中装有除色外无其它差别的9个白球，1个黑球，从中摸出一球为白球是随机事件；D 、抛掷一枚质地均匀的硬币2次，出现1次“正面向上”，1次“反面向上”是随机事件；故选：B ．【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．反比例函数k y x在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．8【答案】B 【分析】根据点（1，3）在反比例函数图象下方，点（3，2）在反比例函数图象上方可得出k 的取值范围，即可得答案.【详解】∵点（1，3）在反比例函数图象下方，∴k>3，∵点（3，2）在反比例函数图象上方，∴3k <2，即k<6， ∴3<k<6，故选：B.【点睛】本题考查了反比例函数的图象的性质，熟记k=xy 是解题关键.3．已知⊙O 的半径是4，OP=5，则点P 与⊙O 的位置关系是( )A ．点P 在圆上B ．点P 在圆内C ．点P 在圆外D ．不能确定 【答案】C【分析】根据“点到圆心的距离大于半径，则点在圆外”即可解答．【详解】解：∵⊙O 的半径是4，OP=5，5>4即点到圆心的距离大于半径，∴点P 在圆外，故答案选C ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与半径的大小确定点与圆的位置关系． 4．用配方法解一元二次方程2410x x --=，配方后的方程是（ ）A ．2(2)1x -=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x -=D ．2(4)5x -=【答案】C【分析】先移项变形为241x x -=，再将两边同时加4，即可把左边配成完全平方式，进而得到答案.【详解】∵241=0--x x∴24=1-x x∴244=1+4-+x x∴()22=5-x故选C.【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的解法步骤是解题的关键.5．如图，四边形OABC 的顶点坐标分别为(0,0),(2,0),(4,4),(2,2)-．如果四边形''''O A B C 与四边形OABC 位似，位似中心是原点，它的面积等于四边形OABC 面积的94倍，那么点',','A B C 的坐标可以是（ ）A ．'(0,3),'(6,6),'(3,3)ABC -B ．'(3,0),'(6,6),'(3,3)A BC - C ．'(0,3),'(6,6),'(3,3)A B C -D ．'(3,0),'(6,6),'(3,3)A B C -【答案】B 【分析】根据位似图形的面积比得出相似比，然后根据各点的坐标确定其对应点的坐标即可．【详解】解：∵四边形OABC 与四边形O ′A ′B ′C ′关于点O 位似，且四边形的面积等于四边形OABC 面积的94，∴四边形OABC 与四边形O ′A ′B ′C ′的相似比为2:3， ∵点A ，B ，C 分别的坐标(2,0),(4,4),(2,2)-），∴点A ′，B ′，C ′的坐标分别是（3，0），（6，6），（-3，3）或（-3，0），（-6，-6），（3，-3）.故选：B ．【点睛】本题考查了位似变换及坐标与图形的知识，解题的关键是根据两图形的面积的比确定其位似比，注意有两种情况．6．抛物线22(2)3=--+y x 的顶点坐标是（ ）A ．(2,3)-B ．(2,3)-C ．(2,3)--D ．(2,3)【答案】D【分析】当2x = 时，是抛物线的顶点，代入2x =求出顶点坐标即可．【详解】由题意得，当2x = 时，是抛物线的顶点代入2x =到抛物线方程中 22(22)33y =-⨯-+=∴顶点的坐标为(2,3)故答案为：D ．【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标问题，掌握求二次函数顶点的方法是解题的关键．7．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝40°，则∠D 的度数是（ ）A ．140°B ．130°C ．120°D ．110°【答案】B 【分析】根据圆周角定理求出∠ACB ，根据三角形内角和定理求出∠B ，求出∠D+∠B=180°，再代入求出即可.【详解】∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=40°，∴∠B=180°﹣∠ACB ﹣∠BAC=50°，∵A 、B 、C 、D 四点共圆，∴∠D+∠B=180°，∴∠D=130°，故选：B ．【点睛】此题主要考查圆周角定理以及圆内接四边形的性质，熟练掌握，即可解题.8．将抛物线()2213y x =+-先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度可得抛物线（） A ．22y x = B ．()222y x =+C ．226y x =-D ．()2226y x =+-【答案】A【分析】根据抛物线平移的规律：上加下减，左加右减，即可得解.【详解】平移后的抛物线为()22211332y x x =+--+=故答案为A.【点睛】此题主要考查抛物线平移的性质，熟练掌握，即可解题.9．如图，已知∠BAC=∠ADE=90°，AD ⊥BC ，AC=DC ．关于优弧CAD ，下列结论正确的是（ ）A ．经过点B 和点E B ．经过点B ，不一定经过点EC ．经过点E ，不一定经过点BD ．不一定经过点B 和点E【答案】B 【分析】由条件可知BC 垂直平分AD ，可证△ABC≌△DBC，可得∠BAC=∠BDC=90°故∠BAC+∠BDC=180°则A 、B 、D 、C 四点共圆，即可得结论.【详解】解：如图：设AD 、BC 交于M∵AC=CD，AD⊥BC∴M 为AD 中点∴BC 垂直平分AD∴AB=DB∵BC=BC，AC=CD∴△ABC≌△DBC∴∠BAC=∠BDC=90°∴∠BAC+∠BDC=180°∴A、B 、D 、C 四点共圆∴优弧CAD 经过B ，但不一定经过E故选 B【点睛】本题考查了四点共圆，掌握四点共圆的判定是解题的关键.10．已知点P （1，-3）在反比例函数k y (k 0)x =≠的图象上，则k 的值是 A ．3B ．-3C ．D ． 【答案】B【解析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P （1，-1）代入k y x =，得k 31-=，解得k=－1．故选B ．11．一次抽奖活动特等奖的中奖率为150000,把150000用科学记数法表示为（ ） A ．4510⨯﹣B ．5510⨯﹣C ．4210⨯﹣D ．5210⨯﹣【答案】D【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】150000=0.00002=2×10﹣1． 故选D ．【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10﹣n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12．已知x 1，x 2是一元二次方程2x 2x 0-=的两根，则x 1＋x 2的值是（ ）A ．0B ．2C ．－2D ．4 【答案】B【解析】∵x 1，x 1是一元二次方程2x 2x 0-=的两根，∴x 1+x 1=1．故选B ．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，正方形ABOC 与正方形EFCD 的边OC 、CD 均在x 轴上，点F 在AC 边上，反比例函数k y x =的图象经过点A 、E ，且3OAE S =，则k =________.【答案】6【分析】设正方形ABOC 与正方形EFCD 的边长分别为m ，n ，根据S △AOE =S 梯形ACDE +S △AOC -S △ADE ，可求出m 2=6，然后根据反比例函数比例系数k 的几何意义即可求解.【详解】设正方形ABOC 与正方形EFCD 的边长分别为m ，n ，则OD=m+n ，∵S △AOE =S 梯形ACDE +S △AOC -S △ADE ，∴()()21113222n m n m m n n +⋅+-+⋅=， ∴m 2=6，∵点A 在反比例函数k y x=的图象上， ∴k=m 2=6，故答案为：6.【点睛】。
广东省佛山市南海区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
24．如图，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG．
（1）求证：△BDE≌△BAC；
（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．
（3）直接回答下面两个问题，不必证明：
2．D．
【解析】
试题分析：主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形．因此，
A、圆柱主视图、俯视图分别是长方形、圆，主视图与俯视图不相同，故A选项错误；
B、圆锥主视图、俯视图分别是三角形、有圆心的圆，主视图与俯视图不相同，故B选项错误；
C、三棱柱主视图、俯视图分别是长方形，三角形，主视图与俯视图不相同，故C选项错误；
C． D．
10．一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．方程 的根是________．
12．如图，已知DE∥BC，AE=3，AC=5，AB=6，则AD=_____．
13．如图，过反比例函数y= （x＞0）图象上的一点A，作x轴的垂线，垂足为B点，连接OA，则S△AOB=_____
A．a＞bB．a＜bC．a≥bD．a=b
6．某池塘中放养了鲫鱼1000条，鲮鱼若干条，在几次随机捕捞中，共抓到鲫鱼200条，鲮鱼400条，估计池塘中原来放养了鲮鱼（）
A．500条B．1000条C．2000条D．3000条
7．对于二次函数y=﹣3（x﹣2）2+9，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向上B．当x＜2时，y随x的增大而增大
∵AC=8，BD=6，
佛山市2021学年九年级上学期期末学业教学质量监测数学试题(Word版,含答案)
第1页（共27页）禅城区2020﹣2021学年第一学期初中学业质量监测九年级 数学说明：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅰ卷，满分为120分，考试时间90分钟．2．用黑色或蓝色钢笔或圆珠笔在答卷上作答．第Ⅰ卷一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程属于一元二次方程的是（ ）A ．x 2+y ﹣2=0B ．x+y=3C ．x 2+2x=3D ．x+x 1=52．已知3a=2b （a ≠0，b ≠0），下列变形错误的是( )A ． 32b a= B ．32a b= C ． 23a b = D ．3b2a =3．关于菱形，下列说法错误的是（ ）A ．对角线互相平分B ．对角线互相垂直C ．四条边相等D ．对角线相等4．在中ABC R △t 中，ⅠC= 90，若ⅠABC 的三边都缩小5倍，则A sin 的值（ ）A ． 放大5倍B ． 缩小5倍C ． 不变D ．无法确定5．关于x 的一元二次方程9x 2﹣6x+k=0有两个不相等的实根，则k 的范围是（ ）A ．k ＜1B ．k ＞1C ．k≤1D ．k≥16．如图，已知Ⅰ1=Ⅰ2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ⅠABC~ⅠADE 的是（）第2页（共27页）A ．DE BC AD AB = B ．AEAC AD AB = C ．ⅠB=ⅠD D ．ⅠC=ⅠAED 7． 如图，已知ABC R △t 中，斜边BC 上的高AD=3，B cos =53，则AC 的长为（ ） A ． 3 B ． 3.5 C ． 4.8 D ． 58．四张完全相同的卡片上，分别画有菱形、矩形、等边三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为（ ）A ．41B ． 21C ． 43D ．1第3页（共27页）9．如下表给出了二次函数y=x 2+2x ﹣10中x ，y 的一些对应值，则可以估计一元二次方程y=x 2+2x ﹣10的一个近似解（精确到0．1）为（ ）A ．2．2B ． 2．3C ． 2．4D ． 2．510. 如图，点A 在反比例函数y 1=x 20（x ＞0）的图象上，过点A 作ABⅠx 轴，垂足为B ，交反比例函数y 2=x8的图象于点C ，P 为轴上一点，连接PA ，PC ，则ⅠAPC 的面积为（ ）A ． 6B ． 8C ． 12D ． 20第6题图 第7题图 第10题图第Ⅰ卷二．填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）11．方程x 2=4x 的解是 ．12．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O,已知ⅠAOD=120°，AB=2．5则AC 的长为 。
佛山市2021年数学九年级上册期末试卷及答案
佛山市2021年数学九年级上册期末试卷及答案一、选择题1．已知一元二次方程2330p p --=，2330q q --=，则p q +的值为（ ） A ．3- B ．3C ．3-D ．32．若将半径为24cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（ ） A ．3cmB ．6cmC ．12cmD ．24cm3．如图，在Rt ABC ∆中，AC BC =，52AB =，以AB 为斜边向上作Rt ABD ∆，90ADB ∠=︒.连接CD ，若7CD =，则AD 的长度为（ ）A ．32或42B ．3或4C ．22或42D ．2或44．下图是甲、乙两人2019年上半年每月电费支出的统计，则他们2019年上半年月电费支出的方差2S 甲和2S 乙的大小关系是（ ）A ．2S 甲＞2S 乙B ．2S 甲＝2S 乙C ．2S 甲＜2S 乙D ．无法确定5．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ）A ．100°B ．72°C ．64°D ．36°6．甲、乙两人参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（ ）A ．34B ．14C ．13D ．127．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上，ABAD=2，那么下列条件中能判断DE ∥BC 的是（ ）A ．12AE EC = B ．2ECAC= C ．12DE BC = D ．2ACAE= 8．如图，ABC △内接于⊙O ，30BAC ∠=︒，8BC = ，则⊙O 半径为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．129．在六张卡片上分别写有13，π，1.5，5，0，2六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ）A ．16B ．13C ．12D ．5610．如图，已知等边△ABC 的边长为4，以AB 为直径的圆交BC 于点F ，CF 为半径作圆，D 是⊙C 上一动点，E 是BD 的中点，当AE 最大时，BD 的长为（ ）A ．3B ．5C ．4D ．611．一元二次方程230x x k -+=的一个根为2x =，则k 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 12．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ）A ．12B ．1：2C ．1：3D ．1：413．如图，BC 是A 的内接正十边形的一边，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，则下列结论正确的有（ ）①BC BD AD ==；②2BC DC AC =⋅；③2AB AD =；④512BC AC -=．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．在平面直角坐标系中，将二次函数y =32x 的图象向左平移2个单位，所得图象的解析式为( ) A ．y =32x −2B ．y =32x +2C ．y =3()22x -D ．y =3()22x +15．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），AB=4，那么AP 的长是（ ） A ．252-B ．25-C ．251-D ．52-二、填空题16．如图，A 、B 、C 是⊙O 上三点，∠ACB ＝30°，则∠AOB 的度数是_____．17．一元二次方程290x 的解是__．18．O 的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为2，则直线l 与O 的位置关系是______.19．已知线段4AB =，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），那么线段AP =______.（结果保留根号）20．在△ABC 中，∠C=90°，若AC=6，BC=8，则△ABC 外接圆半径为________；21．如图，△ABC 中，AB ＞AC ，D ，E 两点分别在边AC ，AB 上，且DE 与BC 不平行．请填上一个你认为合适的条件：_____，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）22．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，AD AB ＝AEAC，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，则AD 的长为_____．23．将正整数按照图示方式排列，请写出“2020”在第_____行左起第_____个数．24．已知圆锥的侧面积为20πcm 2，母线长为5cm ，则圆锥底面半径为______cm ． 25．如图，123////l l l ，直线a 、b 与1l 、2l 、3l 分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若AB=3，BC=5，DE=4，则EF 的长为______．26．已知 x 1、x 2 是关于 x 的方程 x 2+4x -5＝0的两个根，则x 1 + x 2＝_____．27．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中黑色区域的概率是_____．28．如图，正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别是BC 、CD 上的两个动点，AE ⊥EF ．则AF 的最小值是_____．29．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）满足函数表达式21220h t t =-++，则火箭升空的最大高度是___m30．若二次函数24y x x =-的图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图像的其余部分保持不变，翻折后的图像与原图像x 轴上方的部分组成一个形如“W ”的新图像，若直线y =-2x +b 与该新图像有两个交点，则实数b 的取值范围是__________三、解答题31．如图1，AB 、CD 是圆O 的两条弦，交点为P .连接AD 、BC ．OM ⊥ AD ，ON ⊥BC ，垂足分别为M 、N.连接PM 、PN.图1 图2 （1）求证：△ADP ∽△CBP ；（2）当AB ⊥CD 时，探究∠PMO 与∠PNO 的数量关系，并说明理由； （3）当AB ⊥CD 时，如图2，AD=8,BC=6, ∠MON=120°，求四边形PMON 的面积. 32．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的月销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数，其售价x 、月销售量y 、月销售利润w （元）的部分对应值如下表： 售价x （元/件） 40 45 月销售量y （件） 300 250 月销售利润w （元）30003750注：月销售利润＝月销售量×（售价－进价） （1）①求y 关于x 的函数表达式；②当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；（2）由于某种原因，该商品进价提高了m 元/件（m ＞0），物价部门规定该商品售价不得超过40元/件，该商店在今后的销售中，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若月销售最大利润是2400元，则m 的值为 ．33．如图，⊙O 为ABC ∆的外接圆，9012ACB AB ∠=︒=，，过点C 的切线与AB 的延长线交于点D ，OE 交AC 于点F ，CAB E ∠=∠.（1）判断OE 与BC 的位置关系，并说明理由；（2）若3tan4BCD∠=，求EF的长.34．中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为；（2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．35．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在AmB上运动（点P不与点A、B重合），且∠APB＝30°，设图中阴影部分的面积为y．（1）⊙O的半径为；（2）若点P到直线AB的距离为x，求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．四、压轴题36．如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点p从A开始折线A——B——C——D以4cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t（秒）（1）t为何值时，四边形APQD为矩形.（2）如图（2），如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切？37．已知，如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P为AC的中点，Q从点A运动到B，点Q运动到点B停止，连接PQ，取PQ的中点O，连接OC，OB．(1)若△ABC∽△APQ，求BQ的长；(2)在整个运动过程中，点O的运动路径长_____；(3)以O为圆心，OQ长为半径作⊙O，当⊙O与AB相切时，求△COB的面积．38．我们知道，如图1，AB是⊙O的弦，点F是AFB的中点，过点F作EF⊥AB于点E，易得点E是AB的中点，即AE＝EB．⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”．（1）当点C在弦AB的上方时（如图2），过点F作EF⊥AC于点E，求证：点E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB．（2）当点C在弦AB的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．（3）如图4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2，过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H，交AB于点M，当∠PAB＝45°时，求AH的长．39．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接AC，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）如图2，点P为抛物线上一动点，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标．40．对于线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点关于这条线段的视角．如图1，对于线段AB及线段AB外一点C，我们称∠ACB为点C关于线段AB的视角．如图2，点Q在直线l上运动，当点Q关于线段AB的视角最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于线段AB的“视角”．（1）如图3，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，2），点C坐标为（﹣2，2），点C关于线段AB的视角为度，x轴关于线段AB的视角为度；（2）如图4，点M是在x轴上，坐标为（2，0），过点M作线段EF⊥x轴，且EM＝MF ＝1，当直线y＝kx（k≠0）关于线段EF的视角为90°，求k的值；（3）如图5，在平面直角坐标系中，P3，2），Q3，1），直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的夹角为60°，且关于线段PQ的视角为45°，求这条直线的解析式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据题干可以明确得到p,q 是方程2330x x --=的两根,再利用韦达定理即可求解. 【详解】解：由题可知p,q 是方程2330x x --=的两根, ∴p+q=3, 故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,韦达定理的应用,熟悉韦达定理的内容是解题关键.2．C解析：C 【解析】 【分析】易得圆锥的母线长为24cm ，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2π即为圆锥的底面半径. 【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为：2π24224π⨯÷=， ∴圆锥的底面半径为：()24π2π12cm ÷=. 故答案为：C. 【点睛】本题考查的知识点是圆锥的有关计算，熟记各计算公式是解题的关键.3．A解析：A 【解析】 【分析】利用A 、B 、C 、D 四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等，得出ADC ABC ∠∠=，再作AE CD ⊥，设AE=DE=x ，最后利用勾股定理求解即可. 【详解】 解：如图所示，∵△ABC 、△ABD 都是直角三角形，∴A,B,C,D 四点共圆， ∵AC=BC ，∴BAC ABC 45∠∠==︒， ∴ADC ABC 45∠∠==︒， 作AE CD ⊥于点E,∴△AED 是等腰直角三角形，设AE=DE=x,则AD =，∵CD=7,CE=7-x,∵AB = ∴AC=BC=5，在Rt△AEC 中，222AC AE EC =+， ∴()22257x x =+- 解得，x=3或x=4，∴AD ==.故答案为：A.【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的综合应用，解题的关键是根据题目得出四点共圆，作出合理辅助线，在圆内利用勾股定理求解.4．A解析：A 【解析】 【分析】方差的大小反映数据的波动大小，方差越小，数据越稳定，根据题意可判断乙的数据比甲稳定，所以乙的方差小于甲. 【详解】解：由题意可知，乙的数据比甲稳定，所以2S 甲＞2S 乙 故选：A 【点睛】本题考查方差的定义与意义,方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．5．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：设AC 和OB 交于点D ，根据同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数2倍可得：∠O=2∠A=72°，根据∠C=28°可得：∠ODC=80°，则∠ADB=80°，则∠B=180°-∠A-∠ADB=180°-36°-80°=64°，故本题选C ．6．B解析：B【解析】试题解析：可能出现的结果 小明打扫社区卫生 打扫社区卫生 参加社会调查 参加社会调查 小华 打扫社区卫生 参加社会调查 参加社会调查 打扫社区卫生 的结果有1种，则所求概率1.4P =故选B.点睛：求概率可以用列表法或者画树状图的方法. 7．D解析：D【解析】 【分析】只要证明AC AB AE AD =，即可解决问题． 【详解】解:A.12AE EC = ，可得AE ：AC=1：1，与已知2AB AD =不成比例，故不能判定 B. 2EC AC =，可得AC ：AE=1：1，与已知2AB AD=不成比例，故不能判定； C 选项与已知的2AB AD =，可得两组边对应成比例，但夹角不知是否相等，因此不一定能判定；12DE BC = D. 2AC AB AE AD==，可得DE//BC ， 故选D.【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．C解析：C【解析】【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB＝OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．【详解】解：连接OB，OC，∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°．∵OB＝OC，BC＝8，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC＝8．故选：C.【点睛】本题考查的是圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．9．B解析：B【解析】【分析】无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式：一是开方开不尽的数，二是圆周率π，三是构造的一些不循环的数，如1.010010001……（两个1之间0的个数一次多一个）.然后用无理数的个数除以所有书的个数，即可求出从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率.【详解】∵这组数中无理数有 2共2个，∴卡片上的数为无理数的概率是21 = 63.故选B.【点睛】本题考查了无理数的定义及概率的计算. 10．B解析：B【分析】点E在以F为圆心的圆上运到，要使AE最大，则AE过F，根据等腰三角形的性质和圆周角定理证得F是BC的中点，从而得到EF为△BCD的中位线，根据平行线的性质证得CD⊥BC，根据勾股定理即可求得结论．【详解】解：点D在⊙C上运动时，点E在以F为圆心的圆上运到，要使AE最大，则AE过F，连接CD，∵△ABC是等边三角形，AB是直径，∴EF⊥BC，∴F是BC的中点，∵E为BD的中点，∴EF为△BCD的中位线，∴CD∥EF，∴CD⊥BC，BC=4，CD=2，故2216425+=+=BC CD故选：B．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，圆周角定理，三角形中位线的性质以及勾股定理，熟练并正确的作出辅助圆是解题的关键．11．B解析：B【解析】【分析】将x=2代入方程即可求得k的值，从而得到正确选项．【详解】解：∵一元二次方程x2-3x+k=0的一个根为x=2，∴22-3×2+k=0，解得，k=2，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确一元二次方程的解一定使得原方程成立．解析：D【解析】【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，∴这两个三角形们的面积比为1：4，故选：D．【点睛】此题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解决此题的关键．13．C解析：C【解析】【分析】①③，根据已知把∠ABD，∠CBD，∠A角度确定相等关系，得到等腰三角形证明腰相等即可;②通过证△ABC∽△BCD,从而确定②是否正确,根据AD=BD=BC,即BC AC BC AC BC-=解得BC=12AC，故④正确.【详解】①BC是⊙A的内接正十边形的一边,因为AB=AC,∠A=36°,所以∠ABC=∠C=72°,又因为BD平分∠ABC交AC于点D,∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°=∠A,∴AD=BD,∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C,∴BC=BD,∴BC=BD=AD,正确;又∵△ABD中，AD+BD＞AB∴2AD＞AB,故③错误.②根据两角对应相等的两个三角形相似易证△ABC∽△BCD,∴BC CDAB BC=,又AB=AC,故②正确,根据AD=BD=BC,即BC AC BC AC BC-=,解得BC=12AC ,故④正确, 故选C ．【点睛】 本题主要考查圆的几何综合,解决本题的关键是要熟练掌握圆的基本性质和几何图形的性质.14．D解析：D【解析】【分析】先确定抛物线y=3x 2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）向左平移2个单位所得对应点的坐标为（-2，0），然后利用顶点式写出新抛物线解析式即可．【详解】解：抛物线y=3x 2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位所得对应点的坐标为（-2，0），∴平移后的抛物线解析式为：y=3（x+2）2．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．15．A解析：A【解析】根据黄金比的定义得：12AP AB = ，得1422AP =⨯= .故选A. 二、填空题16．60°【解析】【分析】直接利用圆周角定理，即可求得答案．【详解】∵A 、B 、C 是⊙O 上三点，∠ACB=30°，∴∠AOB 的度数是：∠AOB =2∠ACB=60°．故答案为：60°．【点解析：60°【解析】直接利用圆周角定理，即可求得答案．【详解】∵A、B、C是⊙O上三点，∠ACB=30°，∴∠AOB的度数是：∠AOB=2∠ACB=60°．故答案为：60°．【点睛】考查了圆周角定理的运用，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半．17．x1＝3，x2＝﹣3．【解析】【分析】先移项，在两边开方即可得出答案．【详解】∵∴=9，∴x=±3，即x1＝3，x2＝﹣3，故答案为x1＝3，x2＝﹣3．【点睛】本题考查了解一解析：x1＝3，x2＝﹣3．【解析】【分析】先移项，在两边开方即可得出答案．【详解】x-=∵290∴2x=9，∴x=±3，即x1＝3，x2＝﹣3，故答案为x1＝3，x2＝﹣3．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键.18．相交【解析】【分析】由圆的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．解：∵⊙O 的半径为4，圆心O 到直线L 的解析：相交【解析】【分析】由圆的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l 与O 的位置关系是相交．【详解】解：∵⊙O 的半径为4，圆心O 到直线L 的距离为2，∵4＞2，即：d ＜r ，∴直线L 与⊙O 的位置关系是相交．故答案为：相交.【点睛】本题考查知道知识点是圆与直线的位置关系，若d ＜r ，则直线与圆相交；若d>r ，则直线与圆相离；若d=r ，则直线与圆相切.19．【解析】【分析】根据黄金比值为计算即可.【详解】解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP>BP ）∴故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.解析：2【解析】【分析】根据黄金比值为12计算即可. 【详解】解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP>BP ）∴AP 2AB ==故答案为：2.【点睛】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.20．5【分析】先确定外接圆的半径是AB，圆心在AB的中点，再计算AB的长，由此求出外接圆的半径为5.【详解】∵在△ABC中，∠C=90°，∴△ABC外接圆直径为斜边AB、圆心是AB的解析：5【解析】【分析】先确定外接圆的半径是AB，圆心在AB的中点，再计算AB的长，由此求出外接圆的半径为5.【详解】∵在△ABC中，∠C=90°，∴△ABC外接圆直径为斜边AB、圆心是AB的中点，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴22226810AB AC BC，∴△ABC外接圆半径为5.故答案为：5.【点睛】此题考查勾股定理的运用、三角形外接圆的确定.根据圆周角定理，直角三角形的直角所对的边为直径，即可确定圆的位置及大小.21．∠B=∠1或【解析】【分析】此题答案不唯一，注意此题的已知条件是：∠A=∠A，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可. 【详解】此题答案不唯解析：∠B=∠1或AE AD AC AB【解析】【分析】此题答案不唯一，注意此题的已知条件是：∠A=∠A，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可.【详解】此题答案不唯一，如∠B =∠1或AD AE AB AC=． ∵∠B =∠1，∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ABC ； ∵AD AE AB AC=，∠A =∠A ， ∴△ADE ∽△ABC ； 故答案为∠B =∠1或AD AE AB AC = 【点睛】此题考查了相似三角形的判定：有两角对应相等的三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，根据判定定理解题. 22．3【解析】【分析】把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．【详解】解：∵＝，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，∴＝，解得：AD ＝3，故答案为：3．【点睛】本题解析：3【解析】【分析】把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．【详解】 解：∵AD AB ＝AE AC，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12， ∴12AD ＝226+， 解得：AD ＝3，故答案为：3．【点睛】 本题考查了成比例线段，灵活的将已知线段的长度代入比例式是解题的关键.23．4【解析】【分析】根据图形中的数字，可以写出前n行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决．【详解】解：由图可知，第一行1个数，第二行2个数，第解析：4【解析】【分析】根据图形中的数字，可以写出前n行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决．【详解】解：由图可知，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则第n行n个数，故前n个数字的个数为：1+2+3+…+n＝(1)2n n+，∵当n＝63时，前63行共有63642⨯＝2016个数字，2020﹣2016＝4，∴2020在第64行左起第4个数，故答案为：64，4．【点睛】本题考查了数字类规律探究，从已有数字确定其变化规律是解题的关键.24．4【解析】【分析】由圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，求圆锥侧面展开扇形的弧长，然后再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求解．【详解】解：由圆锥的母线长是5cm，侧面积解析：4【解析】【分析】由圆锥的母线长是5cm ，侧面积是20πcm 2，求圆锥侧面展开扇形的弧长，然后再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求解．【详解】解：由圆锥的母线长是5cm ，侧面积是20πcm 2， 根据圆锥的侧面展开扇形的弧长为：2405S l r π===8π， 再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， 可得822l r πππ===4cm ． 故答案为：4．【点睛】 本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键．25．【解析】【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】，，，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键． 解析：203【解析】【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】123////l l l ，AB DE BC EF∴=， 3,5,4AB BC DE ===，345EF∴=，解得203 EF=，故答案为：203．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．26．-4【解析】【分析】根据根与系数的关系即可求解．【详解】∵x1、x2 是关于 x 的方程 x2+4x5＝0的两个根，∴x1 x2＝-=-4，故答案为：-4．【点睛】此题主要考解析：-4【解析】【分析】根据根与系数的关系即可求解．【详解】∵x1、x2是关于 x 的方程 x2+4x-5＝0的两个根，∴x1+ x2＝-41=-4，故答案为：-4．【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知x1+ x2＝-ba．27．【解析】【分析】根据几何概率的求解公式即可求解.【详解】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积∴飞镖落在阴影部分的概率是，故答案为．【点睛】此题主要解析：1 3【解析】【分析】根据几何概率的求解公式即可求解.【详解】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积∴飞镖落在阴影部分的概率是31 93 =，故答案为13．【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知几何概率的公式.28．【解析】【分析】设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，构建二次函数了，利用二次函数的性质求出CF 的最大值，求出DF的最小值即可解决问题．【详解】解：设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，解析：25 4【解析】【分析】设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，构建二次函数了，利用二次函数的性质求出CF的最大值，求出DF的最小值即可解决问题．【详解】解：设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，而∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴Rt△ABE∽Rt△ECF，∴ABEC＝BECF，∴55x-＝xy，∴y＝﹣15x2+x＝﹣15（x﹣52）2+54，∵﹣15＜0，∴x＝52时，y有最大值54，∴CF的最大值为54，∴DF的最小值为5﹣54＝154，∴AF的最小值＝22AD DF+＝221554⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝254，故答案为254．【点睛】本题考查了几何动点问题与二次函数、相似三角形的综合问题，综合性较强，解题的关键是找出相似三角形，列出比例关系，转化为二次函数，从而求出AF的最小值．29．56【解析】【分析】将函数解析式配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．【详解】解：∵==，∵，∴抛物线开口向下，当x=6时，h取得最大值，火箭能达到最大高度为56m．故解析：56【解析】【分析】将函数解析式配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．【详解】解：∵21220h t t =-++=2(23636)120t t -+-+-=2(6)56t --+，∵10a =-<，∴抛物线开口向下，当x=6时，h 取得最大值，火箭能达到最大高度为56m ．故答案为：56．【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握配方法及二次函数的性质，是解题的关键．30．【解析】【分析】当直线y=-2x+b 处于直线m 的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A ，当直线处于直线n 的位置时，此时直线与新图象有三个交点，当直线y=-2x+b 处于直线m 、n 之间时，与该新图解析：18b -<<【解析】【分析】当直线y=-2x+b 处于直线m 的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A ，当直线处于直线n 的位置时，此时直线与新图象有三个交点，当直线y=-2x+b 处于直线m 、n 之间时，与该新图象有两个公共点，即可求解．【详解】解：设y=x 2-4x 与x 轴的另外一个交点为B ，令y=0，则x=0或4，过点B （4，0）， 由函数的对称轴，二次函数y=x 2-4x 翻折后的表达式为：y=-x 2+4x ，当直线y=-2x+b 处于直线m 的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A ，当直线处于直线n 的位置时，此时直线n 过点B （4，0）与新图象有三个交点， 当直线y=-2x+b 处于直线m 、n 之间时，与该新图象有两个公共点，当直线处于直线m 的位置：联立y=-2x+b 与y=x 2-4x 并整理：x 2-2x-b=0，则△=4+4b=0，解得：b=-1；当直线过点B时，将点B的坐标代入直线表达式得：0=-8+b，解得：b=8，故-1＜b＜8；故答案为：-1＜b＜8．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数与x轴交点、几何变换、一次函数基本知识等内容，本题的关键是确定点A、B两个临界点，进而求解．三、解答题31．（1）证明见解析；（2）∠PMO=∠PNO，理由见解析；（3）S平行四边形PMON=63【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可证明相似,（2）由OM⊥ AD，ON⊥BC得到M、N为AB、CD的中点，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可解题,（3）由三角形中位线性质得∠QBC=90°,进而证明∠QCB=∠PBD,得到四边形MONP为平行四边形即可解题.【详解】（1）因为同弧所对的圆周角相等，所以∠A=∠C, ∠D=∠B,所以△ADP∽△CBP.（2）∠PMO=∠PNO因为OM⊥ AD，ON⊥BC，所以点M、N为AB、CD的中点，又AB⊥CD，所以PM=12AD,PN=12BC，所以，∠A=∠APM，∠C=∠CPN，所以∠AMP=∠CNP,得到∠PMO与∠PNO. （3）连接CO并延长交圆O于点Q，连接BD.因为AB⊥CD，AM=12AD,CN=12BC，所以PM=12AD,PN=12BC.由三角形中位线性质得，ON=1BQ 2.因为CQ 为圆O 直径，所以∠QBC=90°，则∠Q+∠QCB=90°，由∠DPB=90°，得∠PDB+∠PBD=90°，而∠PDB=∠Q ，所以∠QCB=∠PBD,所以BQ=AD ，所以PM=ON.同理可得，PN=OM.所以四边形MONP 为平行四边形.S 平行四边形【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,圆的基本知识,圆周角的性质,直角三角形的性质,平行四边形的判定,综合性强,熟悉圆周角的性质是求解（1）的关键,利用斜边中线等于斜边一半这一性质是求解（2）的关键,证明四边形MONP 为平行四边形是求解（3）的关键.32．（1）①y ＝－10x ＋700；②当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最大，最大利润是4000元．（2）2.【解析】【分析】（1）①将点（40，300）、（45，250）代入一次函数表达式：y=kx+b 即可求解； ②设该商品的售价是x 元，则月销售利润w= y （x －30），求解即可；（2）根据进价变动后每件的利润变为[x-(m+30)]元，用其乘以月销售量，得到关于x 的二次函数，求得对称轴，判断对称轴大于50，由开口向下的二次函数的性质可知，当x=40时w 取得最大值2400，解关于m 的方程即可．【详解】（1）①解：设y ＝kx ＋b （k ，b 为常数，k ≠0）根据题意得：,4030045250k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：10700k b =-⎧⎨=⎩∴y ＝－10x ＋700②解：当该商品的进价是40－3000÷300＝30元设当该商品的售价是x 元/件时，月销售利润为w 元根据题意得：w ＝y （x －30）＝（x －30）（－10x ＋700）＝－10x 2＋1000 x －21000＝－10（x －50）2＋4000∴当x ＝50时w 有最大值，最大值为4000答：当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最大，最大利润是4000元． （2）由题意得：w=[x-(m+30)]（-10x+700）=-10x 2+（1000+10m ）x-21000-700m对称轴为x=50+2m ∵m ＞0∴50+2m >50。
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2020-2021学年广东省佛山市南海区九年级（上）期末数学模拟卷题号一二三四总分得分注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.方程3x(x−1)=5(x−1)的根为()A. x=53B. x=1C. x1=1，x2=53D. x1=1，x2=352. 5.从五个数−1,0,52,π−1.5中任意抽取一个作为x，则x满足不等式2x−1≥3的概率是()A. 15B. 25C. 35D. 453. 4.下图几何体的主视图是()A.B.C.D.4.在正方形网格中，∠BAC如图放置，点A，B，C都在格点上，则sin∠BAC的值为()A. 12B. √22C. √32D. √335.已知点P(1,−3)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k的值是()A. 3B. 13C. −3 D. −136.二次函数y=−5(x−2)2+3的顶点坐标是()A. (2,3)B. (2,−3)C. (−2,3)D. (−2,−3)7.下列命题中假命题是()A. 平行四边形的对边相等B. 正方形的对角线相等C. 菱形的对角线互相垂直D. 矩形的对角线互相垂直8.已知a6=b5=c4≠0，且a+b−2c=6，则a的值是()A. 12B. 8C. 6D. 29.如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知△AEF的面积为4，则△OBE的面积为()A. 4B. 8C. 10D. 1210.如图所示，在▱ABCD中，AB=AC=4，BD=6，P是线段BD上任意一点，过点P作PQ//AB，与AC交于点Q，设BP=x，PQ=y，则能反映y与x之间关系的图象为()A. B.C. D.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）=________.11.若2x=3y，则xy12.已知一元二次方程x2+mx+m−1=0有两个相等的实数根，则m=______．13.小明和小红在太阳光下行走，小明身高1.5m，他的影长2.0m，小红比小明矮30cm，此刻小红的影长为______m.14.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2，点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为E，则tan∠ADE的值是_____．15.如图，在等边△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且AD=CE，则∠ADC+∠BEA=______°.16.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE=5cm，则AD的长为________cm．(x>0)17.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=6x的图象交于A(m,6)，B(3,n)两点，根据图象直接写出<0的x的取值范围：．kx+b−6x三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）−cot30°．18.计算：cot45°+tan60°2(sin60°−cos60°)19.已知方程x2+(m−1)x+m−10=0的一个根是3，求m的值及方程的另一个根．四、解答题（本大题共6小题，共50.0分）20.如图，△ABC中，点D在边AC上，且∠ABD=∠C．(1)求证：△ADB∽△ABC；(2)若AD=4，AC=9，求AB的长．21.在一个不透明的袋子中有一个黑球a和两个白球b，c(除颜色外其它均相同)用树状图(或列表法)解答问题：小丽第一次从袋子中摸出一个球不放回，第二次又从袋子中摸出一个球，则小丽两次都摸到白球的概率是多少？22.某市为争创全国文明卫生城，2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2010年投入的资金是2420万元，且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同．(1)求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；(2)若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012年需投入多少万元？23.如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．(1)求证：四边形BCFD是菱形；(2)若AD=1，BC=2，求BF的长．24.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，过对角线BD的中点O的直线分别交AB、CD于点E、F，连接DE，BF．(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．25.抛物线y=x2+bx+c过点A(4,5)、C(0,−3)，其顶点为B．(1)求抛物线的解析式；(2)P在抛物线上，若∠BAP=45°，求P点坐标．(3)过A作x轴的垂线，垂足为H，过D(0,3)作直线，交抛物线于E、F，若E、F到AH的距离之和为7，求直线EF的解析式．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键．先移项，再提公因式，解一元一次方程即可．【解答】解：3x(x−1)−5(x−1)=0，(x−1)(3x−5)=0，x−1=0或3x−5=0，x1=1，x2=5．3故选C．2.【答案】A【解析】【分析】不等式2x−1≥3的解集为：x≥2，进而利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：∵不等式2x−1≥3的解集为：x≥2，∴x满足不等式2x−1≥3的概率是1，5故选：A．【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3.【答案】C【解析】【分析】找到从正面看所得到的图形即可．【详解】解：从正面可看到的几何体的左边有3个正方形，中间只有2个正方形，右边有1个正方形．故选：C．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．在直角△ABC中，首先利用勾股定理求得AB的长，然后根据正弦的定义求解．【解答】解：AB=√12+33=√10，BC=√12+22=√5，AC=√5，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，所以△ABC是直角三角形，则sin∠BAC=BCAB =√5√10=√22，故选B.5.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式.把点P(1,−3)代入反比例函数y=kx，求出k的值即可．(k≠0)的图象上，【解答】解：∵点P(1,−3)在反比例函数y=kx∴−3=k，1解得：k=−3．故选C．6.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】本题考查了根据二次函数的顶点式求顶点坐标，解题关键是掌握二次函数y=a(x−ℎ)2+k中顶点坐标为(ℎ,k)．解题时，直接由抛物线的顶点式写出顶点坐标即可．【解答】解：二次函数y=−5(x−2)2+3的顶点坐标是(2,3)．故选A．7.【答案】D【解析】【分析】此题考查了命题与定理，用到的知识点是平行四边形、等腰梯形、菱形、矩形的性质，关键是能够运用性质，对命题进行判断．根据平行四边形、等腰梯形、菱形、矩形的性质分别对每一项进行分析即可．【解答】解：A.平行四边形的对边相等，正确，是真命题；B.正方形的对角线相等，正确，是真命题；C.菱形的对角线互相垂直，正确，是真命题；D.矩形的对角线相等，并且互相平分，故矩形的对角线互相垂直是假命题；故选D．8.【答案】A【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出b=56a，c=23a是解题关键．根据比例的性质，可用a表示b、c，代入解方程，可得答案．【解答】解：由a6=b5=c4≠0，得b=56a，c=23a.a+b−2c=6，得a+56a−2×23a=6．解得a=12，故选A．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行是四边形的性质得到AD//BC，OA=OC，得到△AFE∽△CEB，根据点E是OA的中点，得到AE=13EC和△AEB的面积=△OEB的面积，计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，OA=OC，∴△AFE∽△CBE，，∵点E是OA的中点，∴AE=13EC，△AEB的面积=△OEB的面积，，∴△CEB的面积=36，∴△OBE的面积=13×36=12．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是动点图象问题，涉及到平行线分线段成比例等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．当点P在OB段时，则PQ//AB，PQ AB =OPOB，则y=43(3−x)，0≤x≤3；当P在OD段时，同理可得：y=43(x−3)，3≤x≤6，即可求解．【解答】解：设平行四边形ABCD对角线交于点O，当点P在OB段时，AB=4，BO=12BD=3，BP=x，则OP=3−x，∵PQ//AB，∴PQAB =OPOB，即y4=3−x3，即y=43(3−x)，为一次函数，且0≤x≤3；当P在OD段时，3≤x≤6，同理可得：y=43(x−3)为一次函数，故选：B．11.【答案】32【解析】【分析】本题考查比例的性质，根据比例的即可解决．【解答】解：∵2x=3y；∴xy=32故答案是32．12.【答案】2【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−mx+m−1=0有两个相等的实数根，∴△=b2−4ac=m2−4×1×(m−1)=m2−4m+4=(m−2)2=0，∴m=2，故答案为：2．首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值即可．此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．13.【答案】1.6【解析】【分析】此题主要考查了平行投影，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解答】解：根据题意知，30cm=0.3m小红的身高为1.5−0.3=1.2(厘米)，设小红的影长为x厘米则1.52=1.2x，解得：x=1.6，∴小红的影长为1.6米，故答案为1.6．14.【答案】32【解析】【分析】本题考查了三角函数的定义有关知识，根据∠ADE=90°−∠A，∠B=90°−∠A判断出∠ADE=∠B，再根据三角函数的定义求出tan∠ADE的值．【解答】解：∵∠ADE=90°−∠A，∠B=90°−∠A，∴∠ADE=∠B，在Rt△ABC中，tan∠ADE=tan∠B=ACBC =32，故答案为32．15.【答案】180【解析】解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，AC=BC，∵AD=CE，∴△ADC≌△CEB(SAS)，∴∠ACD=∠CBE，∴∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°．∴∠BOC=120°，∴∠DOE=120°，∴∠ADC+∠BEA=360°−60°−120°=180°，故答案为：180．根据等边三角形的性质，得出各角相等各边相等，已知AD=CE，利用SAS判定△ADC≌△CEB，从而得出∠ACD=∠CBE，所以∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，进而利用四边形内角和解答即可．此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法，常用的判定方法有SSS，SAS，AAS，HL等．16.【答案】10【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形中位线是解决问题的关键．由平行四边形的性质得出OB =OD ，再由已知条件证出OE 是△ABD 的中位线，由三角形中位线定理得出AD =2OE 即可．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB =OD ，∵点E 是AB 的中点，∴OE 是△ABD 的中位线，∴OE =12AD ，即AD =2OE =10cm ；故答案为10． 17.【答案】0<x <1或x >3【解析】【分析】本题考查的是正比例函数与反比例函数的交点问题，能根据图象和两个点的坐标得出答案是解此题的关键，注意：数形结合思想的应用；先把A 、B 的坐标代入反比例函数的解析式，求出A 、B 的坐标，根据两点的坐标和图象得出即可．【解答】解：把A 、B 的坐标代入反比例函数y =6x 得：m =1，n =2，即A 的坐标为(1,6)，B 的坐标为(3,2)，所以kx +b −6x <0的x 的取值范围为0<x <1或x >3，故答案为：0<x <1或x >3． 18.【答案】解：原式=√32(√32−12)√3=√3+1√3−1−√3=√32(√3+1)(√3−1)√3=4+2√32−√3=2+√3−√3=2．【解析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．将特殊角的三角函数值代入求解．19.【答案】解：∵方程x2+(m−1)x+m−10=0的一个根是3，∴方程9+3(m−1)+m−10=0，即4m−4=0，解得m=1；有方程x2−9=0，解得x=±3，所以另一根为−3．【解析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=3代入原方程即可求得m及另一根的值．本题考查的是一元二次方程的根的定义．20.【答案】(1)证明：∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，∴△ADB∽△ABC；(2)解：∵△ADB∽△ABC，AB AD =ACAB，即AB2=AC⋅AD，∵AD=4，AC=9，∴AB2=4×9=36，∴AB=6．【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明；(2)根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．21.【答案】解：根据题意画图如下：共有6种等情况数，其中两次都摸到白球的情况数有2种，则小丽两次都摸到白球的概率是26=13．【解析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和两次都摸到白球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22.【答案】解：(1)设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为x，根据题意得，2000(1+x)2=2420，得x1=0.1=10%，x2=−2.1(舍去)，答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为10%．(2)2012年需投入资金：2420×(1+10%)2=2928.2(万元)答：2012年需投入资金2928.2万元．【解析】(1)等量关系为：2008年市政府对市区绿化工程投入×(1+增长率)2=2010年市政府对市区绿化工程投入，把相关数值代入求解即可；(2)2012年该市政府对市区绿化工程投入=2010年市政府对市区绿化工程投入×(1+增长率)2．考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．23.【答案】解：(1)∵AF//BC，∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，∵点E为CD的中点，∴DE=EC，在△BCE与△FDE中，{∠FBC=∠BFD ∠DCB=∠CDF DE=EC，∴△BCE≌△FDE；∴DF=BC，又∵DF//BC，∴四边形BCFD为平行四边形，∵BD=BC，∴四边形BCFD是菱形；(2)∵四边形BCFD是菱形，∴BD=DF=BC=2，在Rt△BAD中，AB=√BD2−AD2=√3，∵AF=AD+DF=1+2=3，在Rt△BAF中，BF=√AB2+AF2=2√3．【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质．关键是根据平行关系及中点证明两个三角形全等．(1)根据DE=EC，AF//BC，得出内错角相等，证明△BCE≌△FDE，可判断BC//DF且BC=DF，从而得出四边形BCFD为平行四边形，再根据菱形的判定求解即可；(2)根据菱形的性质得到BD=DF=BC=2，根据勾股定理可得AB，根据线段的和差关系可得AF，再根据勾股定理可得BF的长．24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB//DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF．在△BOE和△DOF中，{∠OBE=∠ODF OB=OD∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴EO=FO，∴四边形BEDF是平行四边形．(2)解：当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ，设BE =x ，则DE =x ，AE =8−x ．在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2，∴x 2=42+(8−x)2，解得x =5，即BE =5．∵BD =√AD 2+AB 2=√82+42=4√5，∴OB =12BD =2√5．∵BD ⊥EF ，∴EO =√BE 2−OB 2=√52−(2√5)2=√5，∴EF =2EO =2√5．【解析】(1)根据平行四边形ABCD 的性质，判定△BOE≌△DOF(ASA)，得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；(2)在Rt △ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE ，由勾股定理求出BD ，得出OB ，再由勾股定理求出EO ，即可得出EF 的长．本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键．25.【答案】解：(1)将点A 和点C 的坐标代入抛物线的解析式得：{16+4b +c =5c =−3， 解得：b =−2，c =−3．∴抛物线的解析式为y =x 2−2x −3；(2)作BH ⊥AP 于H 点，如图1，∵y =x 2−2x −3=(x −1)2−4．∴点B 的坐标为(1,−4)．设H(m,n)，AH 2=(m −4)2+(n −5)2，BH 2=(m −1)2+(n +4)2，AB 2=(1−4)2+(−4−5)2=90，∵∠BAP =45°，∴△ABH 为等腰直角三角形，∴(m −4)2+(n −5)2=(m −1)2+(n +4)2，①(m −4)2+(n −5)2+(m −1)2+(n +4)2=90，②由①得m =4−3n ，③把③代入②得(4−3n −4)2+(n −5)2+(4−3n −1)2+(n +4)2=90，② 整理得n 2−n −2=0，解得n 1=−1，n 2=2，当n =−1时，m =7，此时H(7,−1)，直线AH 的解析式为y =−2x +13，解方程组{y =−2x +13y =x 2−2x −3得{x =4y =5或{x =−4y =21，此时P 点坐标为(−4,21)； 当n =2时，m =−2，此时H(−2,2)，直线AH 的解析式为y =12x +3，解方程组{y =12x +3y =x 2−2x −3得{x =4y =5或{x =−32y =94，此时P 点坐标为(−32,94)； 综上所述，P 点坐标为(−32,94)，(−4,21)；(3)设直线EF 的解析式为y =kx +3，设E 、F 点的横坐标分别为x 1、x 2，∵x 1、x 2为方程x 2−2x −3=kx +3的两根，方程整理得x 2−(k +2)x −6=0，∴x 1+x 2=k +2，x 1⋅x 2=−6，作EM ⊥AH 于M ，FN ⊥AH 于N ，如图2，当E 、F 点分别在直线AH 的左侧，则EM =4−x 1，FN =4−x 2，∴4−x 1+4−x 2=7，即x 1+x 2=1，∴k +2=1，解得k =−1，此时直线EF 的解析式为y =−x +3；当E 、F 点分别在直线AH 的两侧(E 点在右侧)，则EM =x 1−4，FN =4−x 2， ∴x 1−4+4−x 2=7，即x 1−x 2=7，∴(x 1−x 2)2=49，即(x 1+x 2)2−4x 1x 2=49，∴(k +2)2+24=49，解得k 1=−7(舍去)，k 2=3，此时直线EF 的解析式为y =3x +3，综上所述，直线EF 的解析式为y =−x +3或y =3x +3．【解析】【试题解析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用根与系数的关系解决一次函数与抛物线的交点问题；理解坐标与图形性质，记住勾股定理．(1)利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)作BH⊥AP于H点，把(1)中的解析式配成顶点式得到点B的坐标为(1,−4).设H(m,n)，利用勾股定理得到AH2=(m−4)2+(n−5)2，BH2=(m−1)2+(n+4)2，AB2=90，则根据△ABH为等腰直角三角形得到(m−4)2+(n−5)2=(m−1)2+(n+4)2①，(m−4)2+(n−5)2+(m−1)2+(n+4)2=90②，接着解关于m、n的方程组得到n=−1，m=7；n=2，m=−2，所以H(7,−1)或H(−2,2)，然后利用利用待定系数法求出直线AH的解析式，再把它与二次函数解析式组成方程组，于是通过解方程组可确定P点坐标；(3)设直线EF的解析式为y=kx+3，设E、F点的横坐标分别为x1、x2，则x1、x2为方程x2−2x−3=kx+3的两根，利用根与系数的关系得x1+x2=k+2，x1⋅x2=−6，作EM⊥AH于M，FN⊥AH于N，讨论：当E、F点分别在直线AH的左侧，则EM=4−x1，FN=4−x2，根据题意得4−x1+4−x2=7，所以k+2=1，解得k=−1，于是得到此时直线EF的解析式；当E、F点分别在直线AH的两侧(E点在右侧)，则EM=x1−4，FN=4−x2，根据题意得x1−4+4−x2=7，即x1−x2=7，利用完全平方公式得到(x1+x2)2−4x1x2=49，所以(k+2)2+24=49，然后解方程求出k即可得到满足条件的直线EF的解析式．第21页，共21页。