10-11-2高数1(A)期中考试试卷答案
高数下期中考试(10-11)试卷及解答
广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 1 页一、填空题（每题3分分）．已知{4,3,4}a =-在向量{2,2,1}b =t e e x,sin cos ==广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 2 页广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 3 页解：两边微分得 )()(21yz d f x z d f dx '+'= 2分2221yz d yy d z f x z d x x d z f dx -'+-'= 5分 整理得 dx f y x f xy f z x dx f y x f xy f zy y x dz 22122222121222)('+''+'+''+= 6分四、计算下列各题（每题7分，共28分）１．计算Dx ⎰⎰，其中Ｄ是由曲线.10y x y x ===及所围成的区域:2031441200:1112(1)31212311)18yD xx dxy y ====+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰解２．计算⎰⎰Ddxdy xy }1,max{，其中}20,20),{(≤≤≤≤=y x y x D．解：曲线1=xy 把区域D 分成三个区域1D 、2D 和3D21,221:1≤≤≤≤y x x D ；x y x D 10,221:2≤≤≤≤；20,210:3≤≤≤≤y x D 2分⎰⎰Ddxdy xy }1,max{＝dxdy xy D ⎰⎰1＋⎰⎰2D dxdy ＋⎰⎰3D dxdy＝212122121221⨯++⎰⎰⎰⎰x xdy dx xydy dx 6分 ＝2ln 419+ 7分 ３．设Ω是曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面8=z 围成的空间区域，求广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 4 页⎰⎰⎰+=Ωdv y x I )(22。
解：Ω由z y x 222=+与 8=z 所围成，在柱坐标系下 Ω：82,40,202≤≤≤≤≤≤z ρρπθ 3分⎰⎰⎰=8224202ρπρρρθdz d d I 5分＝π31024五、设),(y x f 连续，且⎰⎰+=Ddudv v u f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2xy =，1=x 所围成区域，求),(y x f （6分）五、解：设A dxdy y x f D=⎰⎰),(，则⎰⎰⎰⎰+=DDdxdy A dxdy xy A2分 A xydy dx A x 31210+=⎰⎰⇒81=A 5分 从而 81),(+=xy y x f 6分六、设曲线:C ⎩⎨⎧=++=-+5302222z y x z y x ，求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点。
《统计学》期中考试试卷10-11第二学期[2]
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一、填空：（10分）1. 平均指标和变异指标（或σ和x ）。
2．统计中，标志的承担者是总体单位 。
3．抽样平均误差的实质是样本平均数 的标准差。
4．由组距数列计算平均数，由组中值代表各组标志值的水平，其假定前提是组内标志值均匀分布 。
5．负责向上报告调查内容的单位，称为报告单位 。
6．在统计调查方法体系中，以普查为基础，以抽样调查 为主体。
7．现象总体在轻微偏态情况下，中位数与平均数的距离是平均数与众数距离的 1/3 。
8．社会经济统计学的研究对象是研究大量社会经济现象 总体 的数量方面。
9．在组距数列的条件下，众数的计算公式是 。
10．反映总体中各个组成部分之间数量对比关系的指标是比例相对 指标。
二、单项选择（20分）1．攻读某专业硕士学位的四位研究生英语成绩分别为75分、78分、85分、和88分，这四个数字是：（ D ）A.指标B.标志C.变量D.标志值2．已知：∑2x =2080，∑x =200，总体单位数为20。
则标准差为（ B ）A.1B.2C.4D.103.调查某地区1010户农民家庭，按儿童数分配的资料如下：根据上述资料计算的中位数为（ B ）A. 380B. 2C. 2.5D. 5054．某地区为了了解小学生发育状况，把全地区各小学按地区排队编号，然后按排队编号顺序每隔20个学校抽取一个学校，对抽中学校所有学生都进行调查，这种调查是（ D ）厦门大学《统计学》2010~2011第二学期期中试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业主考教师： 试卷类型：（A 卷）A. 简单随机抽样B. 等距抽样(系统抽样)C. 分层抽样D. 整群抽样5．统计工作中，搜集原始资料，获得感性知识的基础环节是（B ）A.统计设计B.统计调查C.统计整理D.统计分析6．人口普查的调查单位是（ B ）A.全部人口B.每个人C.全部人口数D.每户家庭7．对两工厂工人工资做纯随机不重复抽样，调查的工人数一样，两工厂工资方差一样，但第二个工厂工人数多一倍，则抽样平均误差：（ B ）A.第一个工厂大B.第二个工厂大C.两个工厂一样大D.不能做结论8．必要的样本容量不受下面哪个因素影响（ B ）。
10-11-2高数1(B)期中考试试卷参考答案
3、设积分区域 D 是 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ，则 ∫∫ dxdy =
D
（A） π
（B）3 π
（C）4 π
（D）15 π
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4、设 z = z ( x, y ) 由 x 3 + y 3 + z 3 + xyz − 6 = 0 所确定的函数，则 （A）
1 5
2 0
∂z ∂x
系
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3、求旋转抛物面 z = x 2 + y 2 − 1 在点 (2,1, 4) 的切平面及法线方程
解： F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 − z − 1, 则有 Fx = 2 x, Fy = 2 y, Fz = −1; 设 Fx (2,1, 4) = 4, Fy (2,1, 4) = 2, Fz (2,1, 4) = −1LLLLLLLLLLL 2分 所求切平面方程为 4( x − 2) + 2( y − 1) − ( z − 4) = 0 即 4 x + 2 y − z = 6LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL 4分 所求法线方程为 x − 2 y −1 z − 4 = = LLLLLLLLLLLLLL 6分 4 2 −1
(1, 2 , −1)
=
（B）
x2 0
11 5
（C） −
1 5
（D） −
11 5
5、二次积分 ∫ dx ∫ （A） ∫ dy ∫
0 4 2 y
f ( x, y )dy 的另一种积分次序是 （B） ∫ dy ∫
0 4 y 0 y 2
f ( x, y )dx
f ( x, y )dx f ( x, y )dx
高等数学上10-11期中试题
中国传媒大学2010─2011学年第一学期期中考试试卷参考答案及评分标准考试科目：高等数学A 上 考试班级： 2010电气信息类、光电、游戏 考试方式： 闭卷 命题教师：一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共3小题，每题4分，共12分）1．==⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=a x x a x xe x xf ax 处连续，则在当 当0 , 001sin )(21-。
2．='→∆∆-∆+)(,02sin )()(000x f x x x f x x f 则时的等价无穷小为与若 2 。
3．曲线2)1(2-=x y 在=x 1 处具有最小的曲率半径=ρ 4 。
二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共4小题，每题4分，共16分）1．当0x x →时，)(),(x x βα都是无穷小，则当0x x →时，下列表示式哪一个不一定是无穷小？（ A ）;)()()];()(1ln[);()(;)()(222x x D x x C x x B x x A βαβαβαβα+++2．设2)()()(lim2=--→a x a f x f ax ，则在点a 处（ C ） ;)(;)(;)(;0)()(的导数不存在取得极小值取得极大值的导数存在，且x f D x f C x f B a f x f A ≠'3．设)(x f 在a x =的某邻域内有定义，则)(x f 在a x =处可导的一个充分条件是（ D ）;)()(lim ;2)()(lim ;)()2(lim;)]()1([lim 000存在存在存在存在h h a f a f D hh a f h a f C hh a f h a f B a f ha f h A h h h h ----++-+-+→→→+∞→4．设xx f ab b a 1)(,0,=<<在b x a <<内使))(()()(a b f a f b f -'=-ξ成立的点ξ（ C ）A 只有一点；B 有两点；C 不存在；D 是否存在，与b a ,的具体数值有关；三、解答下列各题（本大题共7小题，共51分） 1、（本小题7分）)1()1(21lim )(--∞→+-=x n x n n e e x x x ϕ，讨论其连续性，指出间断点及其类型。
2011级高数II期中考试试卷及答案
B．
∫ dy ∫
1
2
4
y
y2
f ( x, y )dx
C．∫1 dy ∫y f ( x, y)dx
y2
D． ∫1
dy ∫ 2 f ( x, y )dx
y
y
2 2 5．设L为 x=y2从y = -1到y = 1的一段弧，则 ∫L y dx − x dy =
(
A
)
2 − A． 5
1 B．− 5
1 C． 5
∫∫ xydσ = ∫ dy∫ 2 xydx
D −1 y
2
y+ 2
x2 = ∫ y dy −1 2 y2
2
Y+2
y=x-2
=
∫ [y( y + 2)
2 −1
2
− y 5 dy
]
=
45 8
2 2 4. 计算三重积分 ∫∫∫zdxdydz ，其中 Ω 是由曲面 z = x + y 与平面
∂u y = ∂y ( x + y) 2
∂ 2 u a ( x + y) 2 − 2( x + ay）x + y） ( = ∂x∂y ( x + y) 4
∂ 2 u − 2 y( x + y) = ∂y∂x ( x + y) 4
∂2u ∂2u = ∂x∂y ∂y∂x
a ( x + y) 2 − 2( x + ay）x + y） −2 y( x + y) ( =
4．若L是椭圆
x = a cos θ ，取逆时针方向，则 y = b sin θ
∫
L
y d x − x d y = − 2πab
2011级《高等数学一》期中试卷答案(2011[1].10.28)
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《高等数学一》期中试卷答案与评分标准（2011. 10）大题 一二三四五附加题总 分小题 1-7 1-6 1 2 3 4 5 6 1 1 1 2 题分 21 18 8 7 7 7 7 9 10 6 5 7 112一．填空题 (每小题3分，共21分) 1．计算极限：))12()12(1531311(lim +⋅−++⋅+⋅∞→n n n L = 1/2 ． 2．已知在点可导，且)(x f 0x 2)(0=′x f ，则极限xx f x x f x Δ−Δ−→Δ3)()(lim 000=3/2−．3．曲线在x y cos 1−=3π=x 点处的切线方程是 π632123−+=x y ． 4．已知当时，有等价式：0→x x ax 22arcsin ~11−−，则常数=a 2−．5．设10()1sin 0x ae x f x x x x ⎧−≥⎪=⎨<⎪⎩在0x =连续，则a =__1___． 6．抛物线在其顶点处的曲率342+−=x x y = 2 ． 7．已知，则极限2)(=′a f =−−→ax x af a xf ax )()(lima a f 2)(−．二、单项选择题 (每小题3分，共18分)1．函数()f x 在点存在极限0x A x f x x =→)(lim 0，是()f x 在点连续的（ A ）．0x （A ）必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充分必要条件 （D ）无关条件2．函数)1( )(22−−=x x xx x f 的可去间断点是（ C ）． (A) 1−=x (B) 0=x (C) 1=x (D) 2=x3．已知函数在)(x f y =x 点可微，y Δ与是dy )(x f 在x 点相应于自变量增量x Δ的增量与微分，则当0→Δx 时，dy y −Δ是关于x Δ的（ D ）． （A ）低阶无穷小 （B ）等价无穷小 （C ）同阶无穷小 （D ）高阶无穷小.4．设函数)(x f 在区间I 内二阶可导，如果)(x f 在I 满足（ B ）， 则)(x f 在区间I 内是上凸的．(A) (B) "()0f x >"()0f x < (C) "()0f x ≡ (D) '()f x 单调递增5．如果的图像如右图所示，则()y f x ′=()y f x =的图像是（ A（A ） （B ） (C) (D) 6．设函数|)1(|)(x x x f −=，则（ C ）．（A ）0=x 是)(x f 的极值点，但不是曲线)0,0()(x f y =的拐点； （B ）0=x 不是)(x f 的极值点，但是曲线)0,0()(x f y =的拐点； （C ）0=x 是)(x f 的极值点，且是曲线)0,0()(x f y =的拐点； （D ）0=x 不是)(x f 的极值点，且也不是曲线)0,0()(x f y =的拐点． 三. 计算题（要求步骤合理，等式完整、计算正确、极限计算过程中极限符号不得随便漏写）（本大题第1题8分，第2-5题每题7分，第6题每题9分，共45分）1．求极限（每小题4分，共8分）（1）11lim 31−−→x x x （2）20sin 1lim ln(1)x x e x x →−−+解1 原式1111lim 3321−++⋅+−=→x x x x x x 原式201sin lim x x e x x −−=→ 11lim 3321+++=−x x x x 3分 x x e x x 2cos lim 0−=→ 2分23= 1分 2sin lim 0x e x x +=→解2 原式3/22/11321lim −−→=x xx 3分 21= 2分23=1分 解3 令，则原式6t x =2311lim 11lim 21231=+++=−−=→→t t t t t t t 4分2. 已知函数)(x y y =由方程1ln )sin(=−+y y x 所确定，求dy ，dxdy ． 解1 方程两边微分得01)cos()(=−++dy yy x dy dx 3分 解出得 dy dx y x y y x y dy )cos(1)cos(+−+=2分从而 )cos(1)cos(y x y y x y dx dy y +−+==′ 2分 解2 方程两边对x 求导得01)cos()1(=′−+′+y yy x y 3分解出 得 y ′)cos(1)cos(y x y y x y dx dy y +−+==′ 2分 从而 dx y x y y x y dy )cos(1)cos(+−+=2分3. 设参数方程 确定函数⎩⎨⎧−=−=)cos 1()sin (t a y t t a x ()y y x =, 求dx dy 、22dx y d . 解tt t a t a t x t y dx dy cos 1sin )cos 1(sin )()(−=−=′′=)(:t ω= 3分 2222)cos 1(1cot)1()cos 1(1cos )()(t a a t t t x t dx y d −−=−−−=′′=ω 4分 4. 求函数3412+−=x x y 的n 阶导数． )(n y 解 1131(213412−−−=+−=x x x x y 4分 ))1(1)3(1(!)1(2111)(++−−−−=n n n n x x n y 3分 5．设气球以100s cm /3的速度输入气体（假设气球是球体），求在充气过程中当气球半径cm 时，气球半径增加的速率（假设气球压力不变）.10=R 解 设充气t 秒后，气球的体积为V ，半径为r ，则 343V r π=， 3分上式两边对t 求导，得24343dV dr drr r dt dt dtππ=⋅=2， 3分 将100, 10dVr dt==代入，得 14dr dt π==0.08（cm/s ） 即气球半径增加的速率为0.08cm/s. 1分6．列表讨论函数的单调区间、极值、凹凸区间，以及对应曲线的拐点.3239y x x x =−−−2解 , 23693(3)(1y x x x x ′=−−=−+6(1)y x )′′=−−令，解得 ; 令0y ′=123, 1x x ==0y ′′=，解得 31x =. 3分所以，单调递增区间为(,，[31−∞−],)+∞，单调递减区间为[1,3]−， 极大值为，极小值为(1)3f −=(3)29f =−； 4分 凹区间为[1,，凸区间为(，拐点为)+∞,1−∞](1,13)−. 2分四、应用题（本题10分）设M 是曲线上一点， 22(0y x x =−>)（1）求曲线上点M 处的切线l 的方程； ),(00y x （2）切线l 与两坐标轴所围三角形的面积； S （3）问当点M 在何处时，出其最小值.解 (1)曲线在M 处切线的斜率为0002x x y y k y x ==′==−，所以该点处切线方程为002()0y y x x −=−−x 0. 2分(2) 令x =0，则；令y =0，则202y y x =+0002y x x x =+. 所以切线与两坐标轴围成三角形的面积为200001()(222y S x y x x =++0)2200(2)4x x += () 2分00x >(3) 因为 22(2)()4x S x x+=（）， 所以0x >222()(2)(32)4dS x x x dx x+−=， 3分 令()0dS x dx=，得驻点3x =，3x =−（舍去） 因为驻点唯一，由实际意义知，最小值在驻点处取得， 1分所以当3x =时，切线l 与两坐标轴所围三角形的面积最小， 且最小值为698)(=x S , 此时点M为4,33. 2分 五、证明题（本题6分）设函数()f x 在闭区间上连续，在开区间内可导，且．证明：对任意实数]1,0[ (0,1)(1)0f =λ0>，在开区间(0内存在一点,1)ξ，使得 0)()(=′+⋅ξξξλf f ． 证明：设， 3分 ()()F x x f x λ=显然在闭区间上连续，在开区间(0内可导，()F x ]1,0[ ,1)且 . 2分 (0)0(1)F ==F 所以由Rolle 定理知，在开区间内存在一点(0,1)ξ，使得 ()0F ξ′=，即 0)()(=′+⋅ξξξλf f . 1分附加题（共12分，其中第一小题5分、第二小题7分）1．计算极限)14(tan lim nnn +∞→π.解 令x n=1，并视x 为连续变量，则当∞→n 时，0x +→，从而 原式1tan(/4ln tan()40lim lim x n nn x ee ππ+)1x+−+→∞→== 3分2分20lim sec (/4)2x x eπ+→+=e =2．设函数在区间上具有二阶导数，而且当)(x f ]1,0[ ]1,0[ ∈x 时，恒有4/|)(|A x f ≤，B x f ≤′′|)(|证明：当时，成立不等式： ]1,0[ ∈x 2/2/|)(|B A x f +≤′.证明 对任一点]1,0[0∈x ，作Taylor 公式： 012010000,)(21)()()0(x x f x x f x f f ≤≤′′+′−=ξξ 1,)1)((21)1)(()()1(20202000≤≤−′′+−′+=ξξx x f x x f x f f 2分 两式相减得])()1)(([21)()0()1(2012020x f x f x f f f ξξ′′−−′′+′=− 1分 所以)122(212/])1[(21|)0(||)1(||)(|02020200+−+≤+−++≤′x x B A x x B f f x f 1分 令 ，]1,0[,122)(00200 ∈+−=x x x x g 则由 024)(00=−=′x x g 得210=x ，从而当]1,0[0 ∈x 时，有 1)}1(),2/1(),0({)(0=≤f f f Max x g 2分所以当时，有 ]1,0[0 ∈x 2/2/|)(|0B A x f +≤′ 1分。
10-11年上期中 -答案2022
一、 选择题（每小题4分，共16分）1、设()sin f x x x =, 则（ C ）。
（A ）在(,)-∞+∞内有界；（B ）当x →+∞时为无穷大； （C ）在(,)-∞+∞内无界； （D ）当x →+∞时有极限。
2、设(1)(2)(3)(4)(5)lim 0(32)x x x x x x x αβ→∞-----=≠-，则α、β的数值为 （ C ）。
（A ）1α=，13β= （B ）5α=，13β= （C ）5α=，513β= （D ）均不对 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时， （ B ）。
（A ）()f x 是x 的等价无穷小 （B ）()f x 与x 是同阶但非等价无穷小（C ）()f x 是比x 较低阶的无穷小 （D ）()f x 是比x 较高阶无穷小4、设11()1xx f x e -=-，则1x =是()f x 的 （ B ）。
(A)可去间断点 (B)跳跃间断点(C)第二类间断点 (D)连续点二、填空题：(每题4分，共16分)1、设2()45f x x x =-+，则[()]f f x '=______________ .应填 242437x x -+2. 设函数321y x =+-(1,2)处的切线方程为_____________ .（答案：1=x ）3、设方程2cos xy e y x +=确定y 为x 的函数，则dy =_________________ .厦门大学《高等数学B 》期中试卷 ＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业 主考教师：高数B 组 试卷类型：A 2010.11解 应填sin 2xy xy ye x dx xe y+-+。
4.若(1)()f x af x +=总成立，且(0)f b '=（a ，b 为非零常数），则(1)f '=_________ . 应填：(1)f ab '=。
三、计算题（每题10分，共50分）1、求极限()1ln 0lim cot x x x +→。
10高数(2-2)期中参考答案
2010-1011学年第二学期高等数学（2-2）期中考试A 卷参考答案一、填空题（5525⨯=分分） 1.=++-+∞→+∞→)(22)(lim y x y x e y x .02. 如果直线⎩⎨⎧=+--=--+072072:1z y x z y x L 与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=-=-=2513:2t z kt y t x L 垂直，则k =.34 3.函数z xy u 2=在点)2,1,1(-P 处沿→→→+-k j i 42方向的方向导数值最大，最大的方向导数值为.214. (,)f x y 为连续函数，且(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰，其中D 由,0=y ,2x y =1=x 围成，则(,)f x y =.81+xy5. )11(21112edy e dx xy -=⎰⎰-二、选择题（5525⨯=分分）1. {}{},3,5,8,1,1,a b a b a b z +=-=-=-r r r r r r则z =（ B ）(A) 1-； (B) 1； (C)3 ； (D)-3.2．函数(,)f u v 有连续的偏导数,,122),(,2),(221342+-='++=x x x x f x x x x x f 则='),(22x x f ( A )(A)2221x x ++； (B) 221x x ++； (C) 2222x x ++； (D) 221x x ++. 3. 下列关于函数(,)z f x y =在000(,)P x y 处的性质描述正确的是（ D ） (A) f 在0P 处连续是函数f 在该点偏导数存在的必要条件； (B) f 在0P 处可微分是函数f 在该点偏导数存在的必要条件；(C) 如果f 在0P 处的两个偏导数为零，则函数f 在该点可以取得极值；(D) 如果f 在0P 处两个偏导数连续，则函数f 在该点沿任何方向的方向导数都存在.4. cos sin 02t tt x e t y e t t z e ⎧=⎪==⎨⎪=⎩曲线在对应处的切线与z 轴正向夹角的正弦是( C )(A) 2；(B) 3 ； (C)3；(D) 6.5. 设函数333),(y x xy y x f --= ，则 ),(y x f （ B ） (A) 在)0,0(点有极小值； (B) 在)1,1(点有极大值； (C) 在)2,1(点有极小值； (D) 没有极值.三、计算题 (6+7+7+8+7+7+8=50分) 1. 直线1123:101x y z L ---==-，221:,211x y zL +-== 求过1L 且与2L 平行的平面∏的方程，并求2L 到平面∏的距离.(6分)解1：120:40y L x z -=⎧⎨+-=⎩，过1L 的平面束方程为2(4)0y x z λ-++-=， 即 420x y z λλλ++--=………………………（2分）其法向量为 {,1,}n λλ=r，2{2,1,1}s =r2n s ⊥r r Q 21310λλλ∴++=+=，13λ=- .所求平面∏的方程为：320x y z -++= ………………………………（4分） 取2L 上一点(2,1,0)-，d ===…………………（6分） 解2：,}1,0,1{1-=→s ,}1,1,2{1=→s 则平面∏的法向量为}.1,3,1{11210121-=-=⨯=→→→→→→kj i s s n …………………………………………（2分）取1L 上一点,)3,2,1(所求平面∏的方程为：,0)3()2(3)1(=-+---z y x 即320x y z -++=. ………………………………………………………………（4分） 以下同解1.2. 计算二重积分,)1(2⎰⎰++Ddxdy y x 其中D 为.122≤+y x (7分)解⎰⎰++Ddxdy y x 2)1(⎰⎰+++++=Ddxdy xy y x y x ]2221)[(22 ⎰⎰+=Ddxdy y x )(22⎰⎰+Ddxdy ⎰⎰+Dxdxdy 2⎰⎰++Ddxdy x y )1(2（D Θ关于y 轴对称，x y x f =),(关于x 为奇函数，,0=∴⎰⎰DxdxdyD Θ关于x 轴对称，)1(),(x y y x f +=关于y 为奇函数，0)1(=+∴⎰⎰Ddxdy x y ） ⎰⎰+=Ddxdy y x )(2200+++π……………………………………………（4分）（令,sin ,cos θθr y r x ==则10,20≤≤≤≤r D πθ：）ππθπ2310220=+⋅=⎰⎰rdr r d ………………………………………………（7分）3.求空间区域y x e z y x x y x +≤≤+≤≤≤≤Ω,0,10：的体积V .(7分) 解 ⎰⎰⎰Ω=dxdydz V ………………………………………………………………（2分）⎰⎰⎰++=y x e yx xdz dy dx 010………………………………………………………（4分）⎰⎰+-=+xyx dy y x e dx 010)]([⎰==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=1002)2(dx y xy e xy y y x⎰--=122)23(dx e x exx.22e e -=………………………………………（7分） 4. 设),(y x z z =是由0),(=--z y z x f 确定的隐函数,其中f 有二阶连续偏导数,且,021≠'+'f f 求.22xz∂∂（8分）解 对方程 0),(=--z y z x f 两边关于x 求偏导数，得,0)()1(21=∂∂-⋅'+∂∂-⋅'x z f x z f 即 )1(0)(211=∂∂'+'-'xz f f f)2(211f f f x z '+''=∂∂∴， ……………………………………………（4分）对)1(式两边再关于x 求偏导数，得-∂∂-⋅''+∂∂-⋅'')()1(1211x z f x z f +∂∂-⋅''+∂∂-⋅'')()1([1211x z f x z f)1(21xzf ∂∂-⋅''+0)(])(222122=∂∂'+'-∂∂∂∂-⋅''+x z f f x z x z f ……………（6分） .)()(2)(32121222112221122f f f f f f f f f x z '+''⋅''+'⋅'⋅''-'⋅''=∂∂∴……………………………（8分） 5. 由曲线220y zx ⎧=⎪⎨=⎪⎩绕z 轴旋转一周形成的曲面与8z =围成的区域为Ω，求22()I x y dxdydz Ω=+⎰⎰⎰. （7分）解 旋转曲面的方程为：222x y z +=，…………………………………………（2分）利用柱面坐标变换：,,sin ,cos z z r y r x ===θθ则82,40,20:2≤≤≤≤≤≤Ωz r r πθ………………………………………（3分）22()I x y dxdydz Ω=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=82240202r rdz r dr d πθ……………………………………（5分）⎰-=4023)28(2dr r r π 10243π= …………………………………………（7分）6. 求极限⎰⎰⎰≤++→+++22222322260)sin(1lim t z y x t dxdydz z y x t（7分）解 利用球面坐标变换：,cos ,sin sin ,cos sin ϕθϕθϕr z r y r x ===⎰⎰⎰≤++++222223222)sin(t z y x dxdydz z y x ⎰⎰⎰⋅=tdr r r d d 023020sin sin ϕϕθππ⎰=t dr r r 032sin 4π………………………………………………………………………（4分）⎰⎰⎰≤++→++∴+2222232226)sin(1lim t z y x t dxdydz z y x t 6320sin 4lim tdrr r tt ⎰+→=π（利用罗比达法则）53206sin 4lim tt t t π+→=…………………………………………（6分） 330sin lim 32t t t +→=π.32π=……………………………………（7分） 7. 在曲面2222:()()0x y y z z x x y z ∑+++-+=上的点(0,0,0)处的切平面∏内求一点P ，使P 到(2,1,2)和(3,1,2)--的距离的平方和最小.（8分） 解 曲面∑在(0,0,0)处的法向量为22222222{2()(2)1,2()(2)1,n x y y z z x xy z x y y z z x x yz =+++++++-r2222(0,0,0)2()(2)1}x y y z z x y zx ++++{1,1,1}=-切平面方程为 1(0)(0)1(0)0x y z ⋅---+⋅-=，即0.x y z -+=……………………（2分） 假设所求点的坐标(,,)P x y z ，2222222(2)(1)(2)(3)(1)(2)d x y z x y z =-+-+-+++-++令222222(,,,)(2)(1)(2)(3)(1)(2)()L x y z x y z x y z x y z λλ=-+-+-+++-+++-+………………………………………………………………………………………（4分）2(2)2(3)0,2(1)2(1)0,2(2)2(2)0,0,Lx x x Ly y yLz z z Lx y z λλλλ∂⎧=-+++=⎪∂⎪⎪∂=-+--=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+++=⎪∂⎪⎪∂=-+=⎪∂⎩ ……………………………（6分） 解得110,,22x y z ===是唯一驻点，所求点即为11(0,,)22.………………………（8分）。
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题号
1
2
3
4
5
6
答案DCCAAB
（A）
（B） （C）
（D）
2、已知曲面 上点 处的切平面平行于平面 ，则点
的坐标是
（A） （B） （C） （D）
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3、设 由 所确定的函数，则 =
（A） （B） （C） （D）
4、二次积分 的另一种积分次序是
（A） （B）
（C） （D）
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★厦门理工学院试卷★
诚信考试承诺书
我保证在本科目考试中所提供的个人信息是真实、准确的。在我填写考生信息之后，表示我已阅读和理解《厦门理工学院考场规则》和《厦门理工学院考试违纪处理办法》有关规定，我承诺在考试中自觉遵守该规定，如有违反将接受处理。
学年学期：10-11学年第2学期考试课程：高数Ⅰ（A级）期中考试
装订线
4、计算 ，其中 是：
(1)抛物线 上从点 到点 的一段弧；
(2)从点 到点 的直线段；
(3)先沿直线从点 到点 ，然后再沿直线到点 的折线.
得分
阅卷人
五、综合题（6分），请把答案写在问题的下面。
考试地点：考试时间：
试卷卷别：A卷（ ）B卷（ ）考试方式：闭卷
本试卷共五大题(6页)，满分100分，考试时间120分钟。
题号
一
二
三
四
五
合计
统分人
签名
得分
得分
阅卷人
一、填空题（每题2分，共20分），请把答案写在下面表格中对应的位置。
题号
答案
题号
答案
1
6
2
7
3
8
4
9
5
10
0
1、
2、两平面 和 的夹角是
5、设 是连续函数，而 ： 且 ，则 =
（A） （B） （C）2 （D）2
6、
则
（A） （B） （C）2 （D）-2
得分
阅卷人
三、解答题（每题6分，共24分），请
把答案写在问题的下面。
1、
2、
3、
4、
得分
阅卷人
四、解答题（每题8分，共32分），请
把答案写在问题的下面。
1、
2、
3、
考生信息栏
系专业级班级姓名学号
3、已知 ， ，则△OAB的面积为
4、过曲面 上点 处切平面方程为
5、由曲线 和 围成的图形绕 轴旋转所得的旋转体的体积为
6、
7、设 ，而 ， ，则 在点 处的值为
8、设 ，而 ， ，则 =
9、设 是由点O(0,0)经过点A(1,0)到点B(0,1)的折线，则曲线积分
10、
得分
阅卷人
二、选择题（每题3分，共18分），请把答案写在下面表格中对应的位置。