北航06-07高数第2学期期中试卷及参考答案
北航-工科数学分析2006-2007 期末试题
2006-2007学年第二学期期末考试试题数学分析一、 填空题 （每小题6分，共30分）1． 设向量场),,(222222y x x z z y F +++=，则_,____________________=F div ._______________________________=F rot ２．在曲面0:2=−Σ−z x e y 上点)2,1,1(处的法线方程是.________________________３．设}0,1|),{(22≥=+=y y x y x L ，则.___________2=∫L ds x４．锥面22y x z +=被圆柱面x y x 222=+截下的曲面的面积为._______________ ５．求极限._____________)1(lim 2200222=+∫∫→xx t x t x dt e x dt e二、 （本题满分１０分）计算定积分∫−=10ln 1dx x x I ．三、 （本题满分１０分）计算∫∫∫V z dxdydz e ||，其中1:222≤++z y x V ． 四、 （本题满分１０分）设函数)(x f 在),(+∞−∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面)0(>y 内的有向分段光滑曲线，其起点为),(b a ，终点为),(d c ．记∫−++=L dy xy f y y x dx xy f y y I ]1)([)](1[1222，（１） 证明曲线积分I 与路径L 无关；（２） 当cd ab =时，求I 的值．（３）五、 （本题满分１０分）求解微分方程0)sin ()(22=+−−dy y x dx y x ．六、 （本题满分１０分）计算∫∫Σ−+−xzdxdyxydzdx dydz x 48)1(22，其中Σ是由曲线)0(a y e x y ≤≤=绕x 轴旋转而成的旋转曲面，其法向量与x 轴正向的夹角恒大于2π．七、 （本题满分１０分）计算∫−+−+−=L dzy x dy x z dx z y I )()()(222222，其中L 为平面1=++z y x 被三个坐标平面所截三角形Σ的边界，若从x 轴的正向看去，定向为顺时针方向．八、 （本题满分１０分） 证明∫∞+−+18sin dx y x x e xy 在),0[+∞上一致收敛．九、 加选题（本题满分１０分）设L 是不经过点)0,2(及点)0,2(−的分段光滑的简单闭曲线，试就L 的不同情形计算曲线积分∫ +++−+−−+ ++++−=L dy y x x y x x dx y x y y x y I .)2(2)2(2)2()2(22222222 其中L 取正向．1.解：0)()()(222222=+∂∂++∂∂++∂∂=y x zx z y z y x F div ,222222y x x z z y z y xk j i F rot +++∂∂∂∂∂∂= , ),,(2y x x z z y F rot −−−= , 或k y x j x z i z y F rot )(2)(2)(2−+−+−=.2.解：z x e y F −−=2, ),1,2(),,(22z x z x z y x e e F F F −−−=,)1,1,2(|),,()2,1,1(−==z y x F F F n , 于是所求法线方程为121121−=−=−−z y x 3.解：。
06-07学年第二学期期中考试试卷及参考答案
06-07学年第二学期期中考试试卷及参考答案一、解答下列各题（第1小题5分）1、求曲面221y x z ++=与平面1=x 的交线在点)3,1,1(处的切线与y 轴正向的倾角。
2、具有连续偏导数的函数),(y x f 应满足怎样的条件，才能使曲线积分⎰+L xdy ydx y x f ))(,(与积分路径无关。
（7分）3、求函数)ln(2xy e y x z ++=的全微分。
（6分）4、求函数z xy u 3=在点)2,1,5(A 处沿从点)2,1,5(A 到点)14,4,9(B 方向的方向导数。
（8分）5、求曲线t c z t t b y t a x 22cos ,cos sin ,sin ===在对应于4π=t 的点处的切线和法平面方程(a ，b ，c 为正的常数)。
（7分） 二、在曲面22y x z +=上找一点，使它到点)33,2,1(的距离最短，并求最短距离。
（12分）三、计算曲线积分⎰+L y x ds ，其中L 为连接点)1,0(A 与点)0,3(B 的直线段。
（7分） 四、计算曲面积分⎰⎰∑+dS z y x )(，其中∑为锥面22y x z +=被柱面ax y x 222=+ 所截得的有限部分。
（10分）五、（8分）计算⎰=a dx x f I 0)(，其中⎰-->=x a y a y a dy e x f 0)2()0(.)( 六、计算曲线积分dy y x x x y dx y x L )]ln([2222+++++⎰，其中L 为曲线x y sin =上从π2=x 到π3=x 的一段。
（10分）七、（10分）设∑为曲面21,222≤≤--=z y x z ，取上侧，计算⎰⎰∑--+=dxdy z x yzdzdx x dydz x z x I 2223)(八、（10分）求均匀圆锥体的质心，其中圆锥体是由锥面22y x Rh z +=与平面)0,0(>>=h R h z 所围成。
(完整版)高等数学(A)06-07下期中试卷参考答案及评分标准
一．填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）
xyz 1 1．曲线 x y 2 在点 (1,1,1) 处的切线方程为
x1 2
y1
z 1； 3
2． 方程 xyz x2 y 2 z2
2 所确定的函数 z z(x, y) 在点 (1,0, 1) 处的全微分
为 dz dx 2dy ；
3．交换二次积分的积分次序
0
2
2
0
dy f (x, y)dx ＝ dx f ( x, y)dy ；
1
1y
1
1x
4． 设曲线 C : x cost , y sin t, z
3,0 t
，则
x2 y2 z2ds 2 ；
C
ò 5． 设曲面
:x
y z 1 ，则
(x
y )dS
4 3.
3
0
0
1
y y2
（ A ） dy
f(x, y)dx
0
0
1
1 y2
（ B） dy
f(x, y)dx
0
0
1
1
（ C） dx f(x, y)dy
0
0
1
x x2
（ D） dx
f(x, y)dy
0
0
8． 设 由 3 x2 y 2 z, z 1 x 2 所围成，则
f ( x, y, z)dv
[
[D] C]
1
1 4x2
f (i) 2 e 1 i （ 1 分） 13. 计算 zdv ，其中
( x, y, z) R 3 z x2 y2 z2 2z .
《高等数学》(Ⅱ)期中试题及答案解析
中国石油大学（北京）2008／2009学年第二学期《高等微积分》(Ⅱ) 期中试卷一、填空题（本题包括5小题，每小题4分，本题满分20分）1. 函数)ln(),(22y x y x f +=沿21bl al l +=方向的方向导数，其中b a ,为正实数，{}{}1,0,0,121==l l ： 。
⎰⎰⎰Ω++=--=+=Ω积分是在球面坐标系下的三次为连续函数其中则重积分所围成的积分区域是由设)()(,4.22222222f dv z y x f I y x z y x z 与。
()()()=+→2222,0,lim .3yx y x yx 。
().)2,0(,11)(,21)(.41∈----=∑∞=x x x x f x x x f n n 的幂级数是展开成将设.222)(,0,0,2)(.5πππππ+=⎩⎨⎧≤<≤<-=处收敛于为周期的傅里叶级数在的以则设x x f x x x x f二、计算题（本题包括6小题，每小题8分，本题满分48分）1、讨论函数()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,,00,1sin ,22222222y x y x y x y x y x f 在()0,0点的偏导数，偏导函数连续性及可微性。
2、试将yux u 2222∂∂+∂∂化成极坐标的形式。
3、试将()()π≤≤=x x x f 0展开成为正弦，余弦级数，并写出和函数()x s 。
4、试求内接于椭球1222222=++cz b y a x 的长方体中（长方体的各面平行于坐标轴）体积最大者。
5、计算积分()⎰⎰++Dyx adxdy,23222其中D 为a y a x ≤≤≤≤0;0。
6、证明曲线t t tae z t ae y t ae x ===,sin ,cos 与锥面222z y x =+的各母线相交的角度相同。
三、（本题满分8分）.,,还是条件收敛若收敛是绝对收敛敛散性试判断下列两个级数的∑∞=+-1;)1ln()1()1(n n n .,0)1ln(1,故该级数收敛这是一交错级数解↓→+n.................)2(分及比较判别法知故由调和级数的发散性都有又,1)1ln(1)1ln()1(:,,2,1nn n n n >+=+-=∀ .)1(,)1(仅条件收敛即级数非绝对收敛该级数 .......................................................................)4(分∑∞=++-11.2)1()1()2(n n n n n ,2)1()1(,1nn n n n u +-=+令这是一交错级数解 .)2(,121)21(21lim 2)1(2)2)(1(lim ||||lim 11绝对收敛故知级数由于<=+=+++=∞→+∞→+∞→n n n n n u u n nn n nn n...........)8(分 四、（本题满分6分）设函数)(),(y x g x y xy f z +=,其中g f ,均具有二阶连续偏导数, 求yx z∂∂∂2.:,,,有由四则法则与链式法则令解yxw x y v xy u === g y f xy f y•x w g x v f x u f x z '+'-'=∂∂'+∂∂'+∂∂'=∂∂122121 ........................................................................)4(分 y y y g y g yf x y f x f y•f y x z )(11)(1)(22222112''+'-''-'-''+'=∂∂∂ ............................................................)6(分 y wg y g yy v f y u f x y f x y v f y u f y•f ∂∂''+'-∂∂''+∂∂''-'-∂∂''+∂∂''+'=11)(1)(2222122212111g yx g y f x f f x y f y x f y x f xy ''-'-'-'+''-''-''+''=3222122321121111 ....................................................)8(分 .113222122311g yxg y f x f f x y f xy ''-'-'-'+''-''=或 ...............................................................)8(分 五、（本题满分8分）在极坐标系下交换积分的次序。
《高等数学》(下)2006-2007学年第二学期期中考试试卷
北京化工大学2006——2007学年第二学期《高等数学》（下）期中考试试卷班级： 姓名： 学号： 分数：一、填空（每空3分，3×27=81分） 1．(,,)f x y z =的定义域 。
2．设222(,,)33261f x y z x y z x y x y z =++++--+，则在点（1，1，1）处f f fx y z∂∂∂++∂∂∂= 。
3．设(,)z f x y =由方程222224100x y z x y z ++-+--=确定，则zx∂∂= 。
4．设22(,)f x y x y =+，22(,)x y x y Φ=-，则[](,),(,)f f x y x y Φ=。
5．设z f =，其中f 具有连续导数，e sin y u x =，e cos x v y =，函数z对于自变量x ，y 在（0，0）点处的全微分d z = 。
6．函数22u x y =-在点（1，1）处沿与x 轴正方向成角3πα=方向的方向导数为。
7．2u x y z =在点P (1，-1，2)处方向导数的最大值是 。
8．曲线x t =，2y t =，3z t =在点（3，9，27）处的切线方程是。
9．曲面e 3zz x y -+=在点（2，1，0）处切平面方程 。
10．设D ：2214x y ≤+≤，则()1222d Dxy σ+⎰⎰= 。
11．设D ：3x ≤，1y ≤，则()d Dx x y σ+⎰⎰= 。
12．二次积分d (,)d a xx f x y y ⎰⎰（其中0a >）交换积分顺序后的形式是。
13．二次积分220e 2e 2e 0e d (,)d d (,)d yyy f x y x y f x y x --+⎰⎰⎰⎰交换积分顺序后的形式是 。
14．设Ω：22214x y z ++≤，则2d z v Ω⎰⎰⎰的值是 。
15．设Ω：z ≤≤222()d f x y z v Ω++⎰⎰⎰化成球坐标系下的三次积分是 。
高等数学（下册）（北航）参考答案
高等数学（下册）（北航）参考答案一、选择题（每题3分，共15分）1．平面0122=-++z y x 被柱面422=+y x 截得的区域面积是 ( ) （A ）4π （B ）π54 （C ）12π （D ）48π 解析平面与xoy 面夹角的余弦1cos 3γ=，故被柱面422=+y x 截得的区域面积是412cos ππγ=。
答案 (C) 2．设??≤+=1122)cos(y x dxdy xy I ，??≤+=12)cos(y x dxdy xy I ，??≤≤=1,13)cos(y x dxdy xy I ，则（）（A ）312I I I << （B ）321I I I << （C ）213I I I << （D ）132I I I << 解析当1,1x y ≤≤时，11xy -≤≤，所以()cos 0xy >。
观察积分区域的大小。
答案（A ）。
3．设函数),(y x f 连续, 则=?θθθθsin 204π0)d sin ,cos (d r r r rf ( ).（A ）y y x f x x ?--211010)d ,(d （B ）y y x f x x x-+2111)d ,(d（C ）x y x f y y y ?-2201)d ,(d （D ）x y x f y y y y-221)d ,(d答案 (D)4．设函数),(y x f 具有连续偏导数且12),1(+=y y f y ，若y y x f x x y x d ),(d )13(2+++是某二元函数的全微分，则),(y x f 可取的函数为（）（A ）12++y xy （B ）y xy +2 （C ）y y x ++23 （D ）y xy x ++23解析因为y y x f x x y x d ),(d )13(2+++是某二元函数的全微分，所以2(,)3x f x y x '=，从而()3(,)f x y x C y =+。
高等数学第二学期期中考试试卷及答案
卷号：（A ） （ 年 月 日） 机密学年第2学期2010级计算机专业《高等数学》期中考试试卷A 卷一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.下列方程所示曲面是双叶旋转双曲面的是( )(A) 1222=++z y x (B) z y x 422=+(C) 14222=+-z y x (D) 1164222-=-+z y x 2.二元函数 222214y x y x z +++=arcsin ln的定义域是( )(A) 4122≤+≤y x (B) 4122≤+<y x (C) 4122<+≤y x (D) 4122<+<y x3.已知),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是),(y x f 在 该点可微的( )(A) 充分条件,但不是必要条件; (B) 必要条件,但不是充分条件;(C) 充分必要条件 ; (D) 既不是充分条件,也不是必要条件. 4. 下列直线中平行xOy 坐标面的是________ ．（A ）．233211+=+=-z y x ； （B ）．⎩⎨⎧=--=--04044z x y x ； （C ）．10101zy x =-=+； （D ）．3221=+=+=z t y t x ，，． 5.函数z y x u sin sin sin =满足),,(0002>>>=++z y x z y x π的条件极值是( )(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 61 ; (D) 81 . 二、填空题（本大题共10个填空题，每空3分，共30分）1.已知52==||,||b a ϖϖ且,),(3π=∠b a ϖϖ则_______)()(=+⋅-b a b a ρϖϖϖ32.2.通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0562222222y z x z y x ,且母线平行于y 轴的柱面方程是_________________. 3.若),ln(222z y x u ++=则._________________=du4. 已知球面的一直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________________．.5. 函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -的梯度为___________及沿梯度方向上函数的方向导数为_________.6．设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________． 7．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 00 , ),(2222222y x y x y x y x y x f ,求),(y x f x =___________________________.8.xy y x y x +→)2,1(),(lim=___________.y xy y x )tan(lim )0,2(),(→=___________.三、解下列微分方程（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1．给定一阶微分方程dydx= 3x （1）求它的通解；（2）求过点（2，5）的特解；（3）求出与直线y = 2x – 1 相切的曲线方程。
北师大版高二下期中考试数学试卷及答案(理科)-精选
高二下学期期中考试数学（理）一、选择题：（每小题5分，共60分）1. 椭圆2212xy+=上的一点P到焦点1F的距离等于1，则点P到另一个焦点2F的距离是（）A．1B．3C1D．12. 若方程22125x yk k-=+-表示双曲线，则k的取值范围是（）A．(,2)-∞-B．(2,5)-C．[)(,2)5,-∞-+∞D．(5,)+∞3. 设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为12y x=±，则双曲线的离心率为（）A．5B C D．544. 设椭圆22221x ym n+=（0m>，0n>）的右焦点与抛物线28y x=的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）A.2211216x y+= B.2211612x y+= C.2214864x y+= D.2216448x y+=5. xy=与2xy=围成的封闭图形的面积为（）A.31B.41C.61D.216．函数32()32f x ax x=++，若4)1(=-'f，则a的值等于（）A．193B．163C．133D．1037. 曲线123+-=xxy在点（1,0）处的切线方程为（）A.1-=xy B.1+-=xy C. 22-=xy D. 22+-=xy8．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D.89. dxx⎰421等于（）A.2ln2- B. 2ln2 C. 2ln- D. 2ln10. 设)(xf'是函数f(x)的导函数，=y)(xf'的图象如左下图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是（) （的图象）A B C D11. 方程0333=--xx的实数根的个数为（）A. 3B. 2C. 1D.012. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FCFBFA++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（）A ．9 B. 6 C. 4D. 3 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线的倾斜角为___________________； . 14. 函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是_________________________ 15． 设点P 是双曲线x 2－23y =1上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是 ． 16. 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的 方程为______________________ .三、解答题（共70分） 17. 已知函数23)(bx ax x f +=，当1x =时，有极大值3；（1）求,a b 的值；（2）求函数)(x f 的极小值 18. 若双曲线与椭圆1162522=+y x 有相同的焦点，与双曲线1222=-y x 有相同渐近线，求双曲线方程. 19. 已知长轴长为22，短轴长为2，焦点在x 轴上的椭圆，过它的左焦点1F 作倾斜角为4π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．20. 已知a 为实数，()()2()4f x x x a =--。
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(B) 方向导数存在；
(C) 有极小值； (D) 偏导数存在.
2. 设 f ( x, y), ( x, y)有偏导数, 且z f ( x, y)在( x0 , y0 )处
在条件 ( x, y) 0下取得极值，则下列各式中( D )正确.
(A) f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0 (B) f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 )可能不为零 (C) f x ( x0 , y0 )可能不为零, f y ( x0 , y0 ) 0 (D) f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )可能都不为零
0
(1
cos
)d
,
积分值为
.
11. 将变力 f
y x
i
2
xj y2
沿曲线
L
:
x
2
2y2
1逆时针
所做值为
2
.
二．单项选择 (每题1分,共4分)
高等数学
1. 设 f ( x, y) x 2 y2 ，则在点（0，0）处不正确 的是( D ).
(A) 连续；
0
0
2
4 r 2 4 r 2
zrdz
，在球面坐标系下的三次积分
为
2 0
d
2 0
d
4 cos 0
r
3
cos
sin
dr
，在直角坐标系
下的累
次积
分为
4 0
dz
Dz
zdxdy
,该积分的值为
64 3
.
高等数学
10. 设曲线 L : x2 y2 2x, y 0 的线密度为 x，则
L的质量M用线积分表示为 L xds ,化为定积分为
4. 设可微函数 z f ( x, y)在点P0处的梯度为T (1,2)，
则下列各式中错误的是( B ).
(A) T (1,2)是曲线 f ( x, y) 1上在点P0处的法线方向
(B) T (1,2)是曲线 f ( x, y) 1上在点P0处的切线方向 (C) 函数 z f ( x, y)在点P0处的最大的方向导数为 5 (D) 函数 z f ( x, y)在点P0处的最小的方向导数为 5
的方向导数为 4 . 56
高等数学
5.设 z f (u, x, y)，其中u xe x且 f 具有二阶偏导，
则 2z xy
ex(
x
1)
f13
f23 .
6.设
曲
线
x
x 2
yz y2 z2
0
， 1
则在点(
1 ,0, 2
1 )处的 2
切线的方向向量为( 1 , 2 , 1 ) . 22 2
7.函数z x 2 y 3 xy在区域D : x y 2上, x 0, y 0
高等数学期中考试解答(2007-5-17) 高等数学
一．填空 (每空1分,共19分)
1.lim x0
x2y x2
x2 y2
y2
1 .
y0
2.曲面z xy 在点M0 ( 3, 1, 3)处的法线垂直于
平面z x 3 y 2.
3.设
u
(
z )x，则du y
|(1,1,1)
dy
dz
.
4.函数u ln( x y2 z 2 )在点M0 (0,1,2)处的沿 l (2,1,1)
上的最大值为2，最小值为 19 . 4
高等数学
8.
2dy
0
0 2 y y2
x 2 y2dx 在极坐标系中的二次积分
为
d
2sin r 2dr
0
，该二次积分的值为 2 . 9
2
9. 设是由曲面x 2 y 2 z 2 4z所围成的区域，
则重积分 zdv在柱面坐标系下的三次积分为
2 d 2dr 2
高等数学
3. 设 xOy面内的曲线L : x 2 y2 1, y 0 , L1是其在第一象限
的部分,则( C ).
(A) xds 2 xds
L
L1
(B) xyds 2 xyds
L
L1
(C) x2 yds 2 x2 yds
L
L1
(D) xy2ds 2 xy2ds
L
L1