高数C期中试卷答案
2021-2022学年山东省泰安市新泰二中高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年山东省泰安市新泰二中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于Oxy平面的对称点为B，则( )A. B. C. 4 D. 102.若圆：和：相交，则m的取值范围是( )A. B.C. 或D. 或3.如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则等于( )A. B.C. D.4.已知，，，则点A到直线BC的距离为( )A. B. 1 C. D.5.若圆与圆有三条公切线，则m的值为( )A. 2B.C. 4D. 66.直线与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是( )A. B. 或C. D.以上都不对7.已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为( )A. B. C. D.8.已知椭圆左右焦点分别为，，若椭圆上一点P满足轴，且与圆相切，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则( )A. C的焦距为B. C的离心率为C. 圆D在C的内部D. 的最小值为10.已知实数x，y满足方程，则下列说法错误的是( )A. 的最大值为B. 的最大值为C. 的最大值为D. 的最大值为11.设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )A.B. 离心率C. 面积的最大值为D. 以线段为直径的圆与直线相切12.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的是( )A. 线段上存在点F，使得B. 平面ABCDC. 的面积与的面积相等D. 三棱锥的体积为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.四棱锥的底面是一个正方形，平面ABCD，，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是__________.14.在长方体中，，Q是线段上一点，且，则点Q到平面的距离为__________.15.已知、是椭圆C：的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆C交于A，B 两点，且，，则椭圆C的离心率为__________；若，则椭圆方程为__________.16.给出下列命题：直线与线段AB相交，其中，，则k的取值范围是；点关于直线的对称点为，则的坐标为；圆C：上恰有3个点到直线的距离为1；直线与抛物线交于A，B两点，则以AB为直径的圆恰好与直线相切．其中正确的命题有__________把所有正确的命题的序号都填上四、解答题：本题共6小题，共70分。
江苏省常州市高二下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．已知，则（ ） 35C =C n n 2A =n A ．28B ．30C ．56D ．72【答案】C【分析】由组合数性质求出，再用排列数公式求值. n 【详解】因为，35C =C n n 所以由组合数性质得，，358n =+=所以.2286A A 875n ===⨯故选：C.2．如图所示的一圆形花圃，拟在A ，B ，C ，D 区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（ ）A ．12B ．18C ．24D ．30【答案】B【分析】先对A 区域种植，再对B 区域种植，最后分两类：D 块与块相同、D 块与块不相同，B B 对C 、D 区域种植，根据计数原理即可求解. 【详解】根据题意，分3步进行分析：(1)对于块，可以在3种不同的花中任选1种，有种情况； A 3(2)对于块，可以在剩下的2种不同的花中任选1种，有种情况； B 2(3)对于C 、D 块，分2种情况：若D 块与块相同，则C 块可以在其余的2种不同的花中任选1种，有种情况， B 2若D 块与块不相同，则块有1种情况，块有1种情况，此时C 、D 有1种情况， B C D 则C 、D 共有种情况；213+=综合可得：一共有种不同的种法. 32318⨯⨯=故选：B3．某乳业公司新推出了一款儿童酸奶，其包装有袋装､杯装､瓶装.现有甲､乙两名学生欲从这3种包装中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响.在甲学生选杯装酸奶的前提下，两人选的包装不同的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．16122334【答案】C【分析】利用条件概率进行求解即可.【详解】记事件C 为“甲同学选杯装酸奶”，则，记事件D 为“两人选的包装不同”，则事()13P C =件CD 为“甲同学选杯装酸奶，乙同学选袋装酸奶或瓶装酸奶”，所以，所以. ()122339P CD =⨯=()P D C =()()23P CD P C =故选：C.4．已知矩形，为平面外一点，平面，点满足，ABCD P ABCD PA ⊥ABCD M N ，12PM PC =．若，则（ ）23PN PD = MN x AB y AD z AP =++x y z ++=A ．B ．C ．D ．－112-1256-【答案】A【分析】利用空间向量基本定理表示出，即可求解.MN【详解】在矩形中，,所以.ABCD AC AB AD =+ PC PA AC PA AB AD AP AB AD =+=++=-++因为，所以. 12PM PC = ()12PM AP AB AD =-++因为,，所以.PD AD AP =- 23PN PD =()23PN AD AP =- 所以.()()2111132266MN PN PM AD AP AP AB AD AB AP AD =-=---++=--+所以，所以.111,,266x y z =-=-=11112662x y z ⎛⎫⎛⎫++=-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A5．北郊高中合唱节中，甲、乙、丙、丁名志愿者被安排到，，三个岗位，每个岗位至少4A B C 安排名志愿者，甲不能安排在岗位，则不同的分配方案种数为（ ） 1A A ．B ．C ．D ．12142428【答案】C【分析】分为甲独自一人安排一个岗位和甲与另一人安排同一岗位两类进行计算即可.【详解】名志愿者被安排到三个岗位，每个岗位至少安排名志愿者，则有名志愿者被安排到412同一岗位，另外名志愿者分别被安排到其他岗位，2则甲不能安排在岗位，分为甲独自一人安排一个岗位和甲与另一人安排同一岗位两类， A 第一类，甲独自一人安排一个岗位，第步，为甲安排一个除之外的岗位，有种方法，1A 12C 第步，乙、丙、丁人中，选出人，在剩余的个岗位中，安排到同一岗位，有种方法， 23222132C C 第步，乙、丙、丁中未被选出的人安排到剩余的个岗位，有种方法，3111则甲独自一人安排一个岗位有种方法；121232C C C 23212=⨯⨯=第二类，甲与另一人安排到同一岗位，第步，乙、丙、丁人中，选出人，与甲共同安排到除之外的同一岗位，有种方法， 131A 1132C C 第步，乙、丙、丁中未被选出的人，安排到剩余的个岗位，有种方法，22222A 则甲与另一人安排到同一岗位有种方法，112322C C A 32212=⨯⨯=∴甲不能安排在岗位，则不同的分配方案有种. A 121224+=故选：C.6．某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用10合一混管检验，检验结果为阴性（都没有被感染）则只要检验1次，如果检验结果为阳性（至少有1人被感染），就要再全部进行单管检验．设10名人员都未被感染的概率为p ，若对这10名人员采用10合一混管检验，总检验次数为，则的充要条件是（ ） ξ()10E ξ<A ． B ．C ．D ．0.011p <≤0.021p <≤0.11p <≤0.21p <≤【答案】C【分析】由题意求出分布列，得到，解不等式即可得到答案. ()E ξ【详解】由题意可得：的可能取值为：1，11. ξ所以，. ()1P p ξ==()111P p ξ==-所以.()()11111110E p p p ξ=⨯+⨯-=-.()101110100.1E p p ξ<⇔-<⇔>而所以. 1p ≤0.11p <≤故选：C7．已知定义在上的偶函数的导函数为，若，且当时，()(),00,∞-+∞U ()f x ()'f x ()10f -=0x >有，则使得成立的x 的取值范围是（ ） ()()20f x x xf '+>()0xf x <A ． B ． C ． D ．()(),11,-∞-⋃+∞()()1,01,-⋃+∞()()1,00,1-U ()(),10,1-∞-⋃【答案】D【分析】由题意构造函数，利用导数判断出的单调性和零点，把不等式()()2g x x f x =()g x 化为，即可求解. ()0xf x <()0g x x<【详解】因为当时，有，所以，所以.0x >()()20f x x xf '+>()()220xf x x f x '+>()()20x f x '>令，则在上单调递增.()()2g x x f x =()g x ()0,∞+因为为定义在上的偶函数，所以.()f x ()(),00,∞-+∞U ()f x ()()f x f x -=所以，所以为上的偶函数，图像关于y()()()()()22g x x f x x f x g x -=--==()g x ()(),00,∞-+∞U 轴对称.因为，所以，所以()10f -=()()()21110g f -=--=()()110g g =-=所以在上单调递减，经过点；在上单调递增，经过点. ()g x (),0∞-()1,0-()g x ()0,∞+()1,0作出符合题意的的一个图像如图所示：()g x不等式可化为， ()0xf x <()0g x x<所以或 ()00x g x <⎧⎨>⎩()0x g x >⎧⎨<⎩解得：或. 1x <-01x <<故选：D8．如图，在某城市中，M ，N 两地之间有整齐的正方形格状道路网（其中虚线部分因施工暂时不通）．今有甲、乙两人，其中甲在M 处，乙在N 处，他们分别随机选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，同时到达N ，M 处，则在此过程中，甲、乙两人在A 处相遇的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．6412253612256462536625【答案】D【分析】先分析出甲从M 到N 处的路径种数，和点M 沿M →A →N 的路径种数，同理求出乙的路径种数，套公式即可求出概率. 【详解】如图所示.甲从点M 沿M →D →B →N ,共有种;从点M 沿M →C →N ,共有种,综上可得,甲从26C 115⨯=47C 135⨯=点M 出发到点N ,共有种走法. 153550+=同理可得：乙从点N 出发到点M ,共有50种走法.甲从点M 沿M →A →D →B →N ,共有种,从点M 沿M →A →C →N ,共有种,综上可14C 218⨯⨯=14C 14⨯=得,共有种走法.4812+=同理：乙从点N 经过A 处到M 有12种走法. 所以甲、乙两人在A 处相遇的概率为.1212365050625p ⨯==⨯故选：D二、多选题9．某地区高三男生的“50米跑”测试成绩（单位：秒）服从正态分布，且ξ()28,N σ()70.2P ξ=≤．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取5个，其中成绩在内的个数记为X ，则()7,9下列说法正确的有（ ） A ． B ．()790.8P ξ<<=1780.152P ξ⎛⎫<<> ⎪⎝⎭C ． D ．()3E X =()10.9P X >≥【答案】BCD【分析】由正态分布的对称性和图象特征判断AB ；由，利用二项分布概率，期望公()5,0.6X B :式，判断CD.【详解】A.因为，，正态分布密度曲线的对称轴为，()28,N ξσ:8μ=8x =根据对称性可知，，故A 错误；()()790.2P P ξξ=≥=≤()()7912710.40.6P P ξξ<<=-≤=-=B.，，()890.50.20.3P ξ<<=-=17178922P P ξξ⎛⎫⎛⎫<<><< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，故B 正确；1780.152P ξ⎛⎫<<> ⎪⎝⎭C.，，故C 正确； ()5,0.6X B :()50.63E X np ==⨯=D. ，,()5,0.6X B :()()()050500.60.40.01024P X C ==⨯⨯=，故D 正确. ()()1100.989760.9P X P X =-==>≥故选：BCD 10．已知函数，其中，则下列说法正确的有（ ） ()1sin 2f x x x =+[]0,2πx ∈A ．的极大值为B ．的极小值为()f x π3()f x 2π3C ．的单调减区间为D ．的值域为()f x 2π,2π3⎛⎫⎪⎝⎭()f x []0,π【答案】ABD【分析】首先求函数的导数，并利用导数判断函数的单调性和极值，比较端点值，求函数的值域.【详解】，，令，得或，()1cos 2f x x '=+[]0,2πx ∈()0f x '=2π3x =4π3x =当，，函数单调递增，当，，函数单调递2π0,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()0f x ¢>()f x 2π4π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x减，当，，函数单调递增，4π,2π3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()0f x ¢>()f x所以是函数的极大值点，极大值是函数的极小值点，极小值2π32ππ33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭4π3，故AB 正确；C 错误； 4π2π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，比较函数的极大值和极小值，可知，函数的最小值是0，函数的最大值是()00f =()2ππf =π，所以函数的值域是，故D 正确. []0,π故选：ABD三、解答题11．一个质点从数轴上的原点出发，每一秒等可能地向前或向后移动1个单位，设第n 秒末质点所在位置对应的数为随机变量，则（ ） n ξA ． B ． ()()4402P P ξξ=<=()()5513P P ξξ=>=-C ． D ．()()46E E ξξ=()()53E E ξξ>【答案】BC【分析】利用小虫等概率地向前或向后爬，可知随机变量，且小虫向前或向后爬行1个[,]n n n ξ∈-单位的概率均为，结合取值的正负对称性，以及其对应的概率相等，即可求，即可12n ξ()0n E ξ=判断各项正误.【详解】由题意知，随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为， [,]n n n ξ∈-12A.若，则爬行4次后小虫一共向前爬行2次，向后爬行2次，，若40ξ=()424410C 2P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭42ξ=，则爬行4次后小虫一共向前爬行3次，向后爬行1次，，所以()414412C 2P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭，A 错误；()()4402P P ξξ=>=B.若，则爬行5次后小虫一共向前爬行3次，向后爬行2次，，51ξ=()555311C 2516P ξ⎛⎫==⎪= ⎝⎭若，则爬行5次后小虫一共向前爬行1次，向后爬行4次，53ξ=-，则，B 正确； ()515513C 2253P ξ⎛⎫=-=⎪=⎝⎭()()5513P P ξξ=>=-爬行n 次后小虫一共向前爬行r 次，向后爬行次，有，故n r -[()]2n r n r r n ξ=+--=-，，{}12C 2nr n nP r n ξ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭0r n ≤≤则．故C 正确，D 错误． 0C (2)()02r nn n nr r n E ξ=-==∑故选：BC ．四、多选题12．如图所示的几何体是由正方形ABCD 沿直线AB 旋转90°得到的，设G 是圆弧的中点，H:CE是圆弧上的动点（含端点），则（ ） :DFA ．存在点H ，使得 EH BG ⊥B ．存在点H ，使得 EH BD ∥C ．存在点H ，使得EH ∥平面BDGD ．存在点H ，使得直线EH 与平面BDG 的所成角为30° 【答案】ACD【分析】先将图形补全为一个正方体，对于A 、B ：利用正方体的性质直接判断；ADMF BCNE -对于C 、D ：以A 为原点，为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解.,,AD AF AB【详解】由题意可将图形补全为一个正方体，如图示：ADMF BCNE -对于A ：因为正方体中，面， ADMF BCNE -EF ⊥BCNE 所以.所以当重合时，有.故A 正确；EF BG ⊥,F H EH BG ⊥对于B ：因为面，而是圆弧上的动点，所以不成立.故B 错误； //BD EFMN H :DF//EH BD 对于C ：以A 为原点，为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系.设，,,AD AF AB2BC =则()0,0,0,A ()2,0,0,D ()0,2,2,E ()0,2,0,F ()0,0,2,B ()2,0,2,C )2,G ，()()22,,0,4,0,0H m n m n m n +=>>所以.())2,0,2,,BD BG =-= (),2,2EH m n =--设为平面的一个法向量，则， (),,e x y z =BDG 202000BD e x z BG e z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅-=⎪⎩ 不妨设，则.1x =()1,1,1e =-假设平面，则，所以.//EH BDG 220e EH m n ⋅=-+-=m n =因为，所以是圆弧的中点，符合题意.故C 正确； 224,0,0m n m n +=>>m n ==H :DF对于D ：当点与点重合时,直线EH 与平面BDG 所成角最大，HF 因为，所以, (0,0,2)EF BA ==- cos ||||e EF e EF e EF ⋅⋅===此时直线EH 与平面BDG,得直线EH 与平面BDG 的所成角的最大角大于30°， 12>所以存在点H ，使得直线EH 与平面BDG 的所成角为30°，选项D 正确. 故选：ACD五、填空题13．的展开式中含项的系数为______________．()5122x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭3x 【答案】60-【分析】首先将原式变形为，再写成展开式的通项，从而求出含项，即()()551222x x x +--()52x -3x 可得解；【详解】因为，()()()5552212122x x x x x ⎛⎫+--+ ⎭=-⎪⎝又展开式的通项为， ()52x -()()55155C 2C 2rrr r rr r T x x --+=-=-所以含的项有，， 3x ()33235C 280x x x -=-()223351C 2202x x -=故含项的系数为. 3x 802060-+=-故答案为： 60-14．若函数在区间内有极值，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范()ln x a f x x +=21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭围是______________． 【答案】 ()1,2-【分析】求导，从而得到在区间内有解，求得函数在()21ln x a f x x --'=1ln a x =-21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭1ln y x =-区间上的值域就是a 的取值范围.21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭【详解】因为，所以，()ln x af x x +=()21ln x a f x x --'=因为函数在区间内有极值， ()ln x a f x x +=21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭所以在区间内有解， ()21ln 0x a f x x --'==21e ,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭即在区间内有解，1ln a x =-21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭而函数在区间上单调递减，1ln y x =-21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭所以. ()1,2a ∈-故答案为：()1,2-15．某单位招聘工作人员的面试环节共8道问题，考官随机抽取3道让应聘者回答，规定至少要正确回答其中2道题才能进入后续环节．若应聘者甲因自身业务能力原因，在这8道题中有3道不能正确回答，其他均可正确回答，则他能进入后续环节的概率是______________．（用既约分数作答） 【答案】57【分析】根据题意应聘者能进入后续环节要正确回答其中2道题或3道题，根据古典概型计算公式及计数原理即可求得概率.【详解】设随机抽出的3道题目中应聘者能答对的道数为X ， 则他能进入后续环节的概率为(2)(2)(3)P X P X P X ≥==+=. 2133388355C C C 3010405C C 5656567=+=+==故答案为：5716．设随机变量取值为弧度制角，在正三棱柱的9条棱任取两条，当两条棱平行时，，当两ξ0ξ=条棱相交时，为这两条棱的夹角，当两条棱异面时，为这两条棱所在的异面直线所成的角，则ξξ______________．()E ξ=【答案】13π36【分析】根据位置关系，求出，，，即可求出.()0P ξ=π3P ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭π2P ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭()E ξ【详解】如图示：从正三棱柱的9条棱任取两条，有种. 2998C 3621⨯==⨯所取的两条棱平行如或，有6种，此时；11//AA BB 11//AB A B 0ξ=所取的两条棱相交，同在上底面（或下底面）,如和，有种，此时； AB BC 232C 236⨯=⨯=3πξ=所取的两条棱相交，同在侧面，如和， 有，此时； AB 1AA 3412⨯=2πξ=所取的两条棱为异面直线，一条在底面上，另一条为相对的侧棱，如和，有6种，此时AB 1CC ； 2πξ=所取的两条棱为异面直线，一条在上底面，另一条在上底面，如和，有6种，此时. AB 11B C 3πξ=所以；；. ()610366P ξ===π6613363P ξ+⎛⎫=== ⎪⎝⎭π61212362P ξ+⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以. ()1π1π113π06332236E ξ=⨯+⨯+⨯=故答案为：. 13π36六、解答题17．已知在的展开式中，所有的二项式系数之和为256．n(1)求展开式中所有项的系数之和；(2)求展开式中的所有的有理项． 【答案】(1)； 1256(2).423518256x x x ，，【分析】（1）先根据题意求得，再令即可求解；8n =1x =（2）先求得通项公式，在时，使为整数的对应的项为有理()34841C 12r rrr r T x -+=-⋅[0,8]r ∈344r -r 项．【详解】（1）依题意得：，.2256n =8n ∴=令，则，1x =886112125⎛⎫- ⎪⎝==⎭所以展开式中所有项的系数之和为. 1256（2）， ()3848418C C 12rr rrr rr r T x--+⎛==-⋅ ⎝当时，为有理项. 048r =，，1r T +展开式中所有有理项为：..∴423518256x x x ，，18．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有2个白球，3个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取1球．(1)记随机变量X 表示从甲盒取出的红球个数，求X 的分布列； (2)求从乙盒取出的1个球为红球的概率． 【答案】(1)答案见解析； (2). 1935【分析】（1）由题意分析出X 的可能取值，分别求概率，写出分布列；（2）对从甲盒所取出的2个小球颜色分类讨论，利用古典概型的概率公式计算概率，即可求解. 【详解】（1）由题意可知：X 的可能取值为：0，1，2.所以；；. ()2325C 30C 10P X ===()112325C C 31C 5P X ⨯===()2225C 12C 10P X ===分布列为：X 0 1 2P310 35 110（2）i.若，则甲盒任取2白球放入乙盒，所以乙盒的小球4白3红，再从乙盒任取1球为红X 0=球的概率为； 137P =ii. 若，则甲盒所取放入乙盒的两个小球为1白1红，所以乙盒的小球3白4红，再从乙盒任1X =取1球为红球的概率为； 247P =iii. 若，则甲盒任取2红球放入乙盒，，所以乙盒的小球2白5红，再从乙盒任取1球为红2X =球的概率为. 357P =所以从乙盒取出的1个球为红球的概率为. 3364151910710710735⨯+⨯+⨯=19．已知函数，其中为自然对数的底数()()2e 61xf x x x =-+e (1)求曲线在处的切线方程； ()y f x =1x =(2)求函数在区间上的最值． ()f x []2,6-【答案】(1)8e 4e 0x y +-=(2)，()5min 4e f x =-()6max e f x =【分析】（1）求导，求出和，通过点斜式可得切线方程； ()1f '()1f （2）求导，确定函数单调性，通过确定极值和端点值的大小来确定最值.【详解】（1），()()()()22e 61e 26e 45x x xf x x x x x x '=-++-=--故，，()()1e 1458e f '=--=-()()1e 1614e f =-+=-曲线在处的切线方程为，即；()y f x =1x =()()4e 8e 1y x --=--8e 4e 0x y +-=（2），，()()2e 45xf x x x '=--[]2,6-令，得或，令，得， ()0f x ¢>2<<1x --56x <<()0f x '<15x -<<故函数在区间和上单调递增，在上单调递减，()f x ()2,1--()5,6()1,5-，，()()222e 412117e f ---=++=()()()5255e 53014e 2f f =-+=-<-，()()5min 54e f x f ==-，， ()()111e 1618e f ---=++=()()()666e 36361e 1f f =-+=>-.()()6max 6e f x f ==20．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面P ABCD -ABCD PAD :平面，．棱上点满足直线与平面PAD ⊥ABCD PB AD ⊥PC E AE ABCD ．(1)求二面角大小的余弦值； E AD C --(2)求点到平面的距离． P ADE【答案】【分析】（1）取的中点,连接.先证明出两两垂直，以O 为原点,AD O ,OB OP ,,OA OB OP 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系.用向量法求出二面角大小的余,,OA OB OPE AD C --弦值；（2）向量法求点到平面的距离． P ADE 【详解】（1）取的中点,连接.AD O ,OB OP因为为等边三角形，所以.PAD :OP AD ⊥又平面平面，平面平面，平面, PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =OP ⊂PAD 所以平面，又平面，所以.OP ⊥ABCD AD ⊂ABCD OP AD ⊥因为，且平面，平面，， PB AD ⊥OP ⊂POB OB ⊂POB OP OB O = 所以平面,所以.AD ⊥POB AD OB ⊥以O 为原点, 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系.,,OA OB OP因为底面是边长为2的菱形，为等边三角形， ABCD PAD :所以1,2,OA OD AB DC OP OB ======所以,,,,,.()0,0,0O ()1,0,0A ()B ()C -()1,0,0D-(P 因为点是棱上一点，可设，则.E PC PE tPC =()2E t -所以.()2AE t =--因为平面，OP ⊥ABCD 所以平面的一个法向量为.ABCD (OP = 所以cos ,AE OP AE OP AE OP⋅===⨯ 解得：. 13t =设平面的一个法向量为.ADE (),,n x y z = 则. 20503n AD x n AE x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩不妨取,则,所以平面的法向量为. =2y -0,1x z ==ADE ()0,2,1n =- 所以平面与平面夹角的余弦值为ADEABCD cos ,n OP n OP n OP ⋅===⨯故平面与平面ADE ABCD（2）设点到平面的距离为d ，则P ADEd 所以点到平面P ADE 21．甲、乙两人参加两个项目的对抗赛，每一个项目的对抗赛均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），且每个项目每一局都没有平局．按以往两人比赛结果的统计估计，甲在项目A 中每一局获胜的概率为，在项目B 中每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响． 2312(1)分别求甲在项目A 、项目B 中获胜的概率；(2)设甲获胜的项目个数为X ，求X 的分布列及数学期望． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析.【分析】（1）分析比赛过程，二项分布的概率公式和概率的乘法即可分别求出概率；（2）由题意分析X 的可能取值，分别求概率，写出分布列，求出数学期望.【详解】（1）记“甲在项目A 中获胜”为事件A ，包含甲三局获胜，其概率为；甲四局获222333⨯⨯胜（前三局甲胜任意两局，第四局甲胜），其概率为；甲五局获胜（前四局甲胜任223212C 333⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭意两局，第五局甲胜），其概率为.2224212C 333⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则. ()222223422*********C C 33333333381P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭记“甲在项目B 中获胜”为事件B ，同理可求.()34522341111C C 2222P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）X 的可能取值为：0，1，2. 所以； ()()()()171170812162P X P AB P A P B ====⨯=； ()()()()641642812162P X P AB P A P B ====⨯=所以. ()()()17641110211621622P X P X P X ==-=-==--=所以分布列为： X 012P17162 6416212所以. ()171642090121622162162E X =⨯+⨯+⨯=22．已知函数，其中，e 为自然对数的底数． ()()21e 1x f x x m x -=-+R m ∈(1)讨论的单调性；()f x (2)若不等式对恒成立，求实数m 的取值范围．()()23e 0f x m x x +++≥[)2,x ∈-+∞【答案】(1)见解析(2)34e 233e e m --≤≤【分析】（1）求导，讨论、、、，得出的单调性； 0m ≤2102e m <<212e m =212e m >()f x （2）将变形为，构造函数，由导数得()()23e 0f x m x x +++≥(1)e e tmt t ≥-+-(1)e e()t t g t t++=-出其单调性，进而根据恒成立问题的解题方法得出实数m 的取值范围． 【详解】（1）， 111()e e 2(1)(1)(e 2)x x x f x x m x x m ---'=+-+=+-当时，，0m ≤1e 20x m -->若，则；若，则.()0f x '>1x >-()0f x '<1x <-则函数在上单调递减，在上单调递增. ()f x (,1)-∞-(1,)-+∞当时， 2102e m <<若，则或；若，则. ()0f x '>ln 21x m <+1x >-()0f x '<ln 211m x +<<-则函数在，上单调递增，在上单调递减.()f x (),ln 21m -∞+(1,)-+∞(ln 21,1)m +-当时，，函数在上单调递增. 212e m =()0f x '≥()f x (,)-∞+∞当时，若，则或；212em >()0f x '>1x <-ln 21x m >+若，则；()0f x '<1ln 21x m -<<+即函数在，上单调递增，在上单调递减. ()f x (,1)-∞-()ln 21,m ++∞(1,ln 21)m -+综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 0m ≤()f x (,1)-∞-(1,)-+∞当时，函数在，上单调递增，在上单调递减. 2102e m <<()f x (),ln 21m -∞+(1,)-+∞(ln 21,1)m +-当时，函数在上单调递增. 212e m =()f x (,)-∞+∞当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.212em >()f x (,1)-∞-()ln 21,m ++∞(1,ln 21)m -+（2）不等式可化为，()()23e 0f x m x x +++≥1(1)e e x m x x --≥--令，则，即在恒成立. [)13,t x =-∈-+∞1x t =+(1)e e t mt t ≥-+-[)3,∞-+当时，在恒成立.0=t (1)e e t mt t ≥-+-[)3,∞-+构造函数，且，. (1)e e ()t t g t t++=-[)3,t ∈-+∞0t ≠22e (1)()e t t t g t t -+-'=令，.()2e (1)e t h x t t =-+-()2()e (1)e (21)3e t t th t t t t t t '=-+--+=-+若，则；若，则. ()0h t '>(3,0)t ∈-()0h t '<(0,)t ∈+∞则函数在上单调递增，在上单调递减， ()h x (3,0)-(0,)+∞因为，，， ()353e 0eh -=->()02(0)=e e 001e 1h -+-=+(1)0h =所以当时，；当时，. ()0g t '>()(3,0)0,1t ∈-⋃()0g t '<()1,t ∈+∞即函数在上单调递增，在上单调递减，()g t ()(3,0),0,1-()1,+∞且，， 34e 3)e 32(g --=(1)3e g =-函数的图象如下图所示:()g t要使得在恒成立，则，解得. (1)e e t mt t ≥-+-[)3,∞-+43e 2(3)3e (1)3em g m g ⎧-≤-=⎪⎨⎪≥=-⎩34e 233e e m --≤≤即. 34e 233e em --≤≤【点睛】关键点睛：在得出的单调性时，关键在于令，进(1)e e ()t t g t t++=-()2e (1)e t h x t t =-+-行二次求导，从而得出函数的单调性.()g t。
重庆市重点高中高二下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．已知，则m 等于（ ）2188C C m m -=A ．1 B ．3 C ．1或3 D ．1或4【答案】C【分析】根据组合数的性质即可求解.【详解】由可知:或者,解得:或2188C =C m m -21m m =-2-18m m +=1m =3m =故选：C2．函数在上的图像大致为（ ） ()3sin xf x x x=-[]π,π-A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答. 【详解】函数定义域为， 3sin ()xf x x x=-(,0)(0,)-∞+∞ 而，且， 33sin()sin ()()()x xf x x x f x x x--=--=--≠-()()f x f x -≠-即函数既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD ； ()f x 而当时，，排除选项A ，选项B 符合要求. πx =()(π)πf x f ==故选：B3．在中国地图上，西部五省（甘肃、四川、青海、新疆、西藏）如图所示，有四种颜色供选择，要求每省涂一色，相邻省不同色，则不同的涂色方法有（ ）种.A ．48B ．72C ．96D ．120【答案】B【分析】结合分步、分类计数原理求得正确答案.【详解】先进行编号：新疆、甘肃、青海、西藏、四川， A B C D E 按的顺序进行涂色，其中颜色可以相同或不相同， A B C D E →→→→,B D 所以不同的涂色方法数有种. ()432121172⨯⨯⨯⨯+⨯=故选：B4．已知函数在上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） ()212ln 22g x x a x x =--()0,∞+A ．B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】D【分析】首先求出函数的导函数，参变分离，可将原问题转化为在上恒成立，再2(2)a x x -…(0,)+∞由配方法，即可得解． 【详解】解：因为在上单调递增， 21()2ln 22g x x a x x =--(0,)+∞所以在上恒成立，即在上恒成立， 2()20ag x x x'=--…(0,)+∞2(2)a x x -…(0,)+∞而，当且仅当时，等号成立， 2(2)(1)11y x x x =-=---…1x =所以，即，21a - (1)2-a …所以实数的取值范围为．a 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦故选：D ．5．3个0和2个1随机排成一行，则2个1相邻的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．15253545【答案】B【分析】先求出将3个0和2个1随机排成一行的排法，再求出2个1相邻的排法，由古典概型求解即可.【详解】将3个0和2个1随机排成一行，只需要在5个位子中选2个放1即可，有种排25C 10=法；其中2个1相邻，只需要将2个1捆绑，在4个位子中选1个放1即可，有种排法；14C 4=则2个1相邻的概率为. 42105=故选：B.6．已知椭圆：（）的左右焦点分别为、，为椭圆上一点，C 22221x y a b+=0a b >>1F 2F P，若坐标原点到，则椭圆离心率为（ ） 1260F PF ∠=︒O 1PFA B C D 【答案】D【分析】设，，通过椭圆的定义，以及三角形的解法求出直角三角形的1PF m =2PF n =2m n a +=边长关系，利用勾股定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值． 【详解】设，， 1PF m =2PF n =作，，1ON PF ⊥21F M PF ⊥，，， 2F 1260F PF ∠=︒即有，，由，13PM a =223PF a =2m n a +=可得，1MF a =因为，在直角三角形中，由勾股定理得， 122FF c =12F MF 2224a c ⎫+=⎪⎪⎭可得 c e a ==故选：D ．7．有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂,,A B C 至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ） A A ．12 B ．14 C ．36 D ．72【答案】B【分析】根据题意，分厂只接受1个女生和厂接受2个女生两类情况，结合厂的分派方A A ,B C 案，利用分类、分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，可分为两种情况：①若厂只接受1个女生，有种分派方案，A 12C 2=则厂分派人数可以为或，则有种分派方案，,B C 1,22,11233C C 6+=由分步计数原理可得，共有种不同的分派方案； 2612⨯=②若厂接受2个女生，只有1种分派方案，A 则厂分派人数为，则有种分派方案，,B C 1,112C 2=此时共有种不同的分派方案，122⨯=综上，由分类计数原理可得，共有种不同的分派方案. 12214+=故选：B.8．已知函数，关于的方程恰有两个不等实根，则()232,0ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩x ()f x a =()1212,x x x x <的最大值为（ ）212x x ⋅A ． B ．C ．D ．e 2e 22e 2e 【答案】B【分析】作出函数的图像，数形结合可得出实数a 的取值范围，将用a 表示，可得()y f x =12,x x 表示为以a 为自变量的函数，利用导数可求函数的单调性，进而求出最大值.212x x ⋅【详解】解：作出函数的图像如下图所示：()y f x =由图像可知，当时，直线与函数的图像有两个交点，，3a ≤y a =()y f x =()1,x a ()2,x a ，则，可得， 12x x < 21232ln x a x a ⎧-=⎨=⎩21232e a ax x -⎧=⎪⎨⎪=⎩， ()21213e 2a a x x =⋅⋅-∴构造函数，， ()()13e 2x g x x =⋅-3x ≤则，()()111e 3e 1e 222x xx g x x x ⎛⎫'-+⋅-=- ⎪⎝⎭=当，，此时函数单调递增， 2x <()0g x '>()y f x =当，，此时函数单调递减，23x <≤()0g x '<()y f x =，()()()22max1e 32e 222g g x =-==⋅故选：B.二、多选题9．下列导数运算正确的有（ ） A ．B ． 211'x x⎛⎫= ⎪⎝⎭()2ln 2'x x=⎡⎤⎣⎦C ．D ．()22'2xxee=()()'1x xxe x e =+【答案】CD【分析】根据导数的运算法则依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，，故错误；211'x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于B 选项，，故错误；()1ln 2'x x =⎡⎤⎣⎦对于C 选项，，故正确；()22'2xxee=对于D 选项，，故正确.()()'1x x x xxe e xe x e =+=+故选：CD10．已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（ ） {}n a n S n 78S S =A ． B ．0d ＞80a =C ． D ．、均为的最大值150S >7S 8S n S 【答案】BD【分析】根据等差数列的性质以及其前项和的性质，逐个选项进行判断即可求解 n 【详解】因为等差数列是递减数列，所以，，所以，，故A 错误； {}n a 10n n a a +-<0d <因为，所以，故B 正确； 78S S =8870a S S =-=因为，故C 错误； ()115158151502a a S a +===因为由题意得，，所以，，故D 正确；789000a a a >⎛ = <⎝*78()n S S S n N =≥∈故选：BD11．带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（ ） A ．全部投入4个不同的盒子里，共有种放法54B ．放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法34C C ．将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有种放法 4154C C D ．全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法 2454C A 【答案】ACD【分析】对A ：根据分步乘法计数原理运算求解；对B ：分类讨论一共用了几个球，再结合捆绑法运算求解；对C ：根据分步乘法计数原理运算求解；对D ：利用捆绑法运算求解.【详解】对于A ：每个球都可以放入4个不同的盒子，则共有种放法，A 正确； 5444444⨯⨯⨯⨯=对于B ：放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，则有：全部投入4个不同的盒子里，每盒至少一个，相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，B 错误；2454C A 240=对于C ：先选择4个球，有种，再选择一个盒子，有种，故共有种放法，C 正确；45C 14C 4154C C对于D ：全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，则相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，D 正确；2454C A 240=故选：ACD.12．已知函数的定义域为，则下列说法正确是（ ） ()cos f x ax x =+[]0,πA ．若函数无极值，则()f x 1a ≥B ．若，为函数的两个不同极值点，则 1x 2x ()f x ()()12πf x f x a +=C ．存在，使得函数有两个零点 R a ∈()f x D ．当时，对任意，不等式恒成立 1a =[]0,πx ∈()21e 2xf x x ≤+【答案】BCD【分析】函数无极值，则或，求解即可判断A ；若，为函数的()f x ()0f x '≥()0f x '≤1x 2x ()f x 两个不同极值点可得，即，代入可求出的值，可判断()()120f x f x ''==12πx x +=()()12f x f x +B ；要使得函数有两个零点，即与有两个交点，画出图象即可判断C ；当()f x cos y x =y ax =-时，对任意，不等式恒成立即证明在1a =[]0,πx ∈()21e 2x f x x ≤+()21cos e 02x g x x x x =+--≤上恒成立即可判断D.[]0,πx ∈【详解】对于A ，若函数无极值，，， ()f x ()sin f x a x =-'[]0,πx ∈则或恒成立，则或， ()0f x '≥()0f x '≤()max sin a x ≥()min sin a x ≤当，则，解得：或，故A 不正确；[]0,πx ∈[]sin 0,1∈x 1a ≥0a ≤对于B ，若，为函数的两个不同极值点，，所以1x 2x ()f x ()()1212sin sin 0'==--'==f x f x a x a x ，12sin sin x x =因为，则，∴，故B 正确； []0,πx ∈12πx x +=()()121122cos cos πf x f x ax x ax x a +=+++=对于C ，存在，使得函数有两个零点，与有两个交点，R a ∈()f x cos cos =-⇒=x ax y x y ax =-在处的切线平行于轴，过原点的切线在的左侧稍微旋转后可得两个交点，cos y x =()π,1-x ()π,1-故C 正确；对于D ，当时，对任意，不等式恒成立 1a =[]0,πx ∈()21e 2xf x x ≤+， ()2211cos e cos e 022x x x x x g x x x x +≤+⇒=+--≤，()20100cos00e 02g =+-⨯-=，，()1sin e x g x x x =--'-()001sin00e 0g =---='令，()1sin e xh x x x =---对任意恒成立，()cos 1e 0x h x x --'=-≤[]0,πx ∈在上单减，， ()1sin e x h x x x =---[]0,π()001sin00e 0h =---=对任意恒成立，所以，()1sin e 0x h x x x =---≤[]0,πx ∈()0g x '≤在上单减，()21cos e 2x g x x x x =+--[]0,π()20100cos00e 02g =+-⨯-=对任意恒成立，故D 正确. ()21cos e 02xg x x x x =+--≤[]0,πx ∈故选：BCD.【点睛】方法点睛：函数零点和方程根的问题往往利用数形结合转化成函数图象交点的问题，导数恒成立、极值问题通常构造函数并利用导数研究其单调性即可得出结论.三、填空题13．甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们都和丙不相邻的排法共有__________种.（填数字） 【答案】144【分析】根据相邻问题捆绑，不相邻问题插空，结合分步乘法计数原理即可求解.【详解】第一步：现将除甲乙丙之外的三个人全排列，有种方法，33A 6=第二步；将甲乙捆绑看成一个整体，然后连同丙看成两个个体，插空共有种方法，24A 12=第三步：甲乙两个人之间全排列，22A 2=由分步乘法计数原理可得总的排法有， 6122144⨯⨯=故答案为：14414．已知的展开式中含项的系数为，则______. ()()52x a x +-3x 60-=a 【答案】/ 120.5【分析】求出的展开式通项，然后利用含项的系数为列方程求解. ()52x -3x 60-【详解】，()()()()555222x a x x x a x +-=-+-又的展开式通项为， ()52x x -()()56155C 22C r rr r r r r xT x x x --+=-=-的展开式通项为， ()52a x -()()55155C 22C r rr r r r r aT a x a x --+=-=-，解得. ()()3232552C 2C 60a ∴-+-=-12a =故答案为：. 1215．如图，直三棱柱中，，为线段上的一个动111ABC A B C -122BC AA ==AB AC ==P 1A B 点，则的最小值是_______.PA PC +【分析】根据已知条件及直棱柱的性质，结合直角三角形的性质及勾股定理即可求解. 【详解】将图中的和放置于同一平面内，如图所示，11AA B A 1A BC A 2则.PA PC AC +≥因为直三棱柱中，，，111ABC A B C -122BC AA ==AB AC =所以中，.1Rt A AB △1130,2ABA A B ∠==同理，在中，, 1A AC △12AC =所以160,A BC ∠=所以在图中，, 21190ABC ABA A BC ∠=∠+∠=所以,即2227AC AB BC =+=AC =所以. PA PC +.16．已知函数有三个零点，且有，则()()2e 820e x x x xf x x m m -=-+≠123,,x x x 123x x x <<的值为________. 11e 2x x ⎛- ⎝【答案】12【分析】由得出，令，得出()0f x =2e e 2(4)2120x xm x x ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭e 2x t x =-2(4)120t m t ++-=，利用导数得出的图象，由零点的个数，结合图象求解即可.e ()2xg x x=-【详解】若，则，即()0f x =2e 820e x x x x x m --+=22e 8e e 20x x x mx mx -⋅-+=当时，可得，不成立，故0x =0e 0=0x ≠等式两边同除以，得∴2x 22e 8e e 20x x xm m x x x--+=即 2e e 2(4)2120x xm x x ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，则e 2xt x=-2(4)120t m t ++-= 22Δ(4)41(12)(4)480m m ⎡=+-⨯⨯-=++>⎣方程有两个不等的实根，，∴12,t t 12120t t ⋅=-<令，则，令， 10t >20t >e ()2x g x x =-()21()x e x g x x '-=当时，，当或时，(1,)x ∈+∞()0g x '<(0,1)x ∈(,0)x ∈-∞()0g x '>即函数在上单调递减，在，上单调递增， ()g x (1,)+∞(0,1)(,0)-∞(1)2e 0g =-<如下图所示函数有三个零点，()f x 123,,x x x 123x x x <<31212123e e e 2,22x x x t t x x x ∴=-=-=-由图可知，121e 212x t t x ⎛-=-⋅ =⎝故答案为：12【点睛】方法点睛：已知零点的个数求参数的范围一般思路：利用导数得出函数的简图，由交点的个数结合图象得出参数的范围.四、解答题17．已知()*(31),n f x x n N =-∈(1)若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，求展开式中的系数；()f x 2x (2)苦，且，求. 2023n =()2023220230122023(31)f x x a a x a x a x =-=++++ 012023a a a +++ 【答案】(1)594 (2) 20234【分析】（1）根据二项式系数的性质可求出，然后可求的系数；n 2x （2）根据展开式系数特点判定系数正负去掉绝对值，然后给赋值就可求出和.x 【详解】（1）由于的二项展开式中第7项的二项式系数为且最大，可得，则()f x 6C n 12n =，所以当时，故展开式中的系数为594； 12112C (3)(1)r r r r T x -+=-10r =1021021112C (3)(1)594T x x =-=2x （2）若，由可知当为奇数时，即的奇次项2023n =20232023120232023C (3)(1)(1)3C r r r r r r rr T x x --+=-=-⋅r x系数为正，当为偶数时，即的偶次项系数为负，所以r x ，又01202301232023a a a a a a a a +++=-+-++⋅⋅⋅+ ，故. ()202301232022033241(31)f a a a a a -=--=-+=--- 20230120234a a a +++= 18．已知函数是的极大值点. ()()()235ln 23,R ,2f x x x a x a a =+-+∈()f x (1)求的值； a (2)求函数的极值. ()f x 【答案】(1)1 (2)极大值，极小值 132-5555ln 36-【分析】（1）由极值点的定义可得，解方程求，验证所得结果是否满足要求； ()0f a ¢=a （2）由（1）可得，结合极值的定义可求函数的极值. 1a =【详解】（1）函数的定义域为， ()()235ln 232f x x x a x =+-+()0,∞+导函数为 ()()()232355323x a x f x x a x x-++'=+-+=∵是函数的极大值点，a ()f x ，即，()()232350f a a a a ∴=++'-=2650a a -+=解得或，1a =5a =当时，，1a =()2385x x f x x-+='当时，，函数在上单调递增， 01x <<()0f x ¢>()f x ()0,1当时，，函数在上单调递减， 513x <<()0f x '<()f x 51,3⎛⎫⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增， 53x >()0f x ¢>()f x 5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当时，函数取得极大值，符合题意；∴1x =()f x 当时，，5a =()23165x x f x x-+'=当时，，函数在上单调递增， 103x <<()0f x ¢>()f x 10,3⎛⎫⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递減， 153x <<()0f x '<()f x 1,53⎛⎫⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增，5x >()0f x ¢>()f x ()5,+∞当时，函数取得极小值，不符合题意；∴5x =()f x 综上，，1a =（2）当a =1时，， ()235ln 82f x x x x =+-由（1）可得当时，，函数在上单调递增， 01x <<()0f x ¢>()f x ()0,1当时，，函数在上单调递减， 513x <<()0f x '<()f x 51,3⎛⎫⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增，53x >()0f x ¢>()f x 5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以当时，函数取得极大值， 1x =()f x 132-当时，函数取得极小值.53x =()f x 5555ln 36-19．已知数列的前n 项和为Sn ，满足． {}n a 2n n a S n +=(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；{}2n a -{}n a (2)若不等式2对任意的正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．2(23)(2)n n a λλ->--【答案】(1)证明见详解； *1122n n a n N -=-∈，(2) 1322λ<<【分析】（1）利用得，变形得，则可证明等比数列，根据等1n n n a S S -=-122n n a a -=+11222n n a a -=--比数列的通项公式可得答案；（3）令，通过计算的正负，求出的最大值，将题目转()()()232n f n n a =--()()1f n f n +-()f n 化为，解不等式即可.()2max 2f n λλ->【详解】（1）①2n n a S n += ②1122,2n n a S n n --∴+=-≥①-②得，即， 12n n n a a a -+=-122n n a a -=+变形可得，11222n n a a -=--又，得112a S +=11a =故数列是以-1为首项，为公比的等比数列，{}2n a -12由等比数列的通项公式可得， 1122n n a --=-. *1122n n a n N -∴=-∈，（2）令，则 ()()()232n f n n a =--()1232n n f n --=()()12123521222n n nn n nf n f n ----∴+-=-=当或时，， 1n =2n =()()10f n f n +->当时， 3,n n N ≥∈()()10f n f n +-<又，， ()334f =()max 34f n ∴=因为不等式对任意的正整数恒成立，()()22232n n a λλ->--n ，解得. 2324λλ∴->1322λ<<20．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AD BD ，AB ＝2AD ，且PD ⊥底面⊥ABCD ．(1)证明：平面PBD ⊥平面PBC ； (2)若二面角P －BC －D 为，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值． π6【答案】(1)见解析【分析】（1）根据平行线的性质以及线面垂直的判定定理，结合线面垂直性质定理以及面面垂直性质定理，可得答案；（2）由题意，建立空间直角坐标系，利用二面角的定义以及勾股定理，求得棱长，写出点的坐标，求得平面的法向量，根据计算公式，可得答案.【详解】（1）在平行四边形中，，，，ABCD //AD BC AD BD ⊥ BC BD ∴⊥平面，平面，，PD ⊥ ABCD BC ⊂ABCD PD BC ∴⊥，平面，平面，PD BD D ⋂= ,PD BD ⊂PDB BC ∴⊥PDB 平面，平面平面. BC ⊂ PBC ∴PBD ⊥PBC （2）由题意，建立空间直角坐标系，如下图所示：设，则，在中，，1AD =2AB =Rt △ABD BD ==平面，平面，，CB ⊥ PDB PB ⊂PDB CB PB ∴⊥，平面，平面，BD CB ⊥ PB ⊂PBC BD ⊂ABCD 在二面角的平面角，即， PBD ∴∠P BC D --π6PBD ∠=在中，， Rt PDB A sin 1PD BD PBD =÷∠=在平行四边形中，，ABCD 1AD BC ==则，，，，()1,0,0A()B ()C -()0,0,1P ，，，()1,0,1AP =-()0,BP = ()1,CP = 设平面的法向量为，PBC (),,n x y z =则，即，化简可得，00n BP n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00z x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩0x z =⎧⎪⎨=⎪⎩令，的一个法向量，1y=z =PBC (n =设与平面的夹角为，AP PBC θsin θ21．已知点,,动点,满足直线与直线的斜率之积为,记动点的轨迹()2,0A -()2,0B (),S x y AS BS 14-S 为曲线.C (1)求曲线的方程.C (2)设经过点且不经过点的直线与曲线相交于M ,N 两点,求证:为定值.()1,1--()0,1P l C PM PN k k +【答案】(1)()221,24x y x +=≠±(2)证明见解析【分析】(1)根据题意,由各个点的坐标,根据斜率公式代入上式,进行化简即可得曲线方14AS BS k k ⋅=-程;(2)先考虑直线斜率不存在的情况,写出直线方程,求出M ,N 两点坐标,求出,计算,在l ,PM PN k k PM PN k k +考虑斜率存在的情况,设出直线方程及M ,N 两点坐标,联立方程组,判别式大于零,韦达定理,写出,化简并计算即可得出结果,证明结论.,PM PN k k PM PN k k +【详解】（1）解:因为,直线与直线的斜率之积为,(),S x y AS BS 14-所以,即,, 14AS BS k k ⋅=-1224y y x x ⋅=-+-2x ≠±化简可得:,()221,24x y x +=≠±故曲线的方程为:;C ()221,24x y x +=≠±（2）证明:①当直线的斜率不存在时,直线,l :1l x =-与曲线联立可得:, C ,1,M N ⎛⎛--⎝⎝此时11PM PN k k ==+所以;2PM PN k k +=②当直线的斜率存在时,设直线, l :l y kx m =+因为直线经过点且不经过点, l ()1,1--()0,1P 所以,设,1,1k m m =+≠()()1122,,,M x y N x y 联立可得:, 2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222418440k x kmx m +++-=所以,解得:,()()222264441440k m k m ∆=-+->2241k m +>由韦达定理可得:, 2121222844,4141km m x x x x k k --+=⋅=++因为, 121211,PM PN y y k k x x --==所以 ()12212121211211PM PN x y x y x x y y k k x x x x +-+--+=+=()()()12212112x kx m x kx m x x x x +++-+=()()12211221kx x m x x x x +-+=()222224482141414441m km k m k k m k --⋅+-⋅++=-+()()222448144k m km m m ⋅---=- 222888844km k km kmm --+=-,()()()21222111k m k km m m k-====-++综上:为定值2.PM PN k k +【点睛】思路点睛:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,关于定值问题的思路有: (1)根据题意分情况讨论直线斜率是否存在; (2) 设直线方程,联立方程组; (3) 判别式大于零,韦达定理;(4) 根据题意建立关于的等式,化简即可. 1212,x x x x +⋅22．已知函数． ()()1ln 1f x ax x=-+(1)若函数的最小值为0，求实数的值； ()f x a (2)证明：对任意的，，恒成立．*n ∈N ()0,x ∈+∞()11e ln x nxx n--≥【答案】(1) 1a =(2)证明见解析【分析】（1）由题，，按和分类讨论，求函数的最小值，解得a 的值；0a ≠0a >a<0（2）由（1）得，即，对命题进行放缩，证明，构1ln 1x x ≥-ln 1≤-x x ()111e e 1ln 0xn x x n ⎛⎫-+--≥ ⎪⎝⎭造函数，求导数，证明最小值大于或等于零，即原不等式成立.()()e 1ln mg m x m =--【详解】（1）当时，函数的定义域为，， 0a >()0,∞+()22111x f x x x x-'=-=当，，单调递减， ()0,1x ∈()0f x '<()f x 当，，单调递增， ()1,x ∈+∞()0f x ¢>()f x 所以，可得； ()()min 1ln 0f x f a ===1a =当时，函数的定义域为，， a<0(),0∞-()221110x f x x x x-'=-=<在上单调递减，无最小值，不合题意． ()f x (),0∞-综上，.1a =（2）证明：由（1）可得不等式恒成立，用替代可得， 1ln 1x x≥-1xx ln 1≤-x x ，由，()()1111e ln 1e ln ln x x nn x x x x n n---≥⇔--≥1ln x x -≥即证，即证，()111e ln 1x n x x n ---≥-()111e e 1ln 0xn x x n ⎛⎫-+--≥ ⎪⎝⎭令，构造函数，，(]10,1m n =∈()()e 1ln mg m x m =--()1e 1ln m g m m x m ⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭由，，1ln 1m m≥-11ln 0m m --≤所以，在上单调递减，，()0g m '≤()g m (]0,1()()()1e 1g m g x ≥=-所以，()()()()()111e e 1ln 1e e 11e e xx xnx x x x x n ⎛⎫-+--≥-+-=-- ⎪⎝⎭由于，在，上同号，在时两式相等，1x -e e x -()0,1()1,+∞1x =所以，()()1e e 0xx --≥所以对任意的，，恒成立．*n ∈N ()0,x ∈+∞()11eln x nxx n--≥【点睛】要证对任意恒成立，变换主元，构造函数()111e e 1ln 0xnx x n ⎛⎫-+--≥ ⎪⎝⎭()0,x ∈+∞，求出m 取不同值时函数的变化规律，得函数的最小值，可得只要证()()e 1ln m g m x m =--()g m 对任意恒成立.()()1e e 0x x --≥()0,x ∈+∞。
1213高数C期中答案
第 1 页/共 3 页中国农业大学2023年年～2023年年 学年秋季学期高等数学C 课程期中考试试题A 卷答案一、1、2()=1+32x f x x +;2、4;34、12;5、2I =2cos sin 2x x x ''-;6、x c +;7、420x y π-+-=;8、12ln 2-;9、ln 2;10、52二、11、B ；12、C ；13、C ；14、A ；15、C三、计算题，共30 分16、解：两边对x 求导，222212221y xy x yy y x y x y y xy x yy y xy y x''-+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭''-=+-'=+ 17、3224123612243612(3)(1)10,130,30,---y x x xy x x x x x y x y x y '=--''=--=-+''<->''-<<<''>>时，曲线凹时，曲线凸时，曲线凹（1，13），（3，81)是拐点拐点是:（-1，-13），（3，-189） 18、2332,,212211ln ln ln 1t x t dx tdttdt dt dx t t t t c c c t =====----=-+=-=++⎰⎰⎰19、()()1113200012022232001()()2()0()=1()3212()(321)100f x dx x x f x dx f x dx f x dx f x x x f x dx x x dx x x x =+-=-=+-=+-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰对等式两端在[0,1]求定积分所以，， 2022222221arctan 1arctan 111arctan arctan 1arctan arctan arctan 111arctan ln(1)arctan 22x xdx xdx x x xdx xdx x x x x dx xd x x x x x x c ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭=-+=--+=-+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 四、5分21、证实：()()()()()222221()ln ,112112()0111()11()(1)0,ln 01x f x x x x x x f x x x x x x x f x x x f x f x x -=-++--'=-==>+++->>=-+令单调递增时，即> 五、20分22、)22322111(1)(1)A=1232(1)153311y ax y x x ya a x ax x dx x a a =+===-⎡-+-=+⎢⎣-=+--与交点为。
2025届昆明市五华区高三数学上学期期中考试卷附答案解析
2025届昆明市五华区高三数学上学期期中考试卷本卷满分150分，考试时间120分钟2024.10一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 在复平面内对应的点为(),Z x y ，若11z -=，则（）A.()2211x y -+= B.()2211x y ++= C.()2211x y +-= D.()2211x y ++=2.已知1e ，2e 都为单位向量，若1e 在2e 上的投影向量为212e，则12e e += （）A.B.C.2D.33.在正方体1111ABCD A B C D -中，下列说法错误的是（）A.11AD AC ⊥ B.1AD 与BD 所成角为π3C.1//AD 平面1BDCD.1AD 与平面1ACC 所成角为π34.在践行“乡村振兴”战略的过程中，某地大力发展特色花卉种植业．某农户种植一种观赏花㚏，为了解花卉的长势，随机测量了100枝花的高度（单位：cm ），得到花枝高度的频率分布直方图，如图所示，则（）A.样本花卉高度的极差不超过20cmB.样本花卉高度的中位数不小于众数C.样本花的高度的平均数不小于中位数D.样本花升高度小于60cm 的占比不超过70%5.设等比数列{}n a 公比为q ，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件6.已知圆台的母线长为4，体积为，则圆台的侧面积为（）A.48πB.24πC.20πD.10π7.已知A 、B 为直线l 上的两个定点，2AB =，P 为l 上的动点．在平面直角坐标系中，()13,0F -、()23,0F ，以1F 为圆心，PA 为半径作圆1F ；以2F 为圆心，PB 为半径作圆2F ，则两圆公共点的轨迹方程为（）A.2218y x -= B.2218x y -= C.22198x y += D.22110x y +=8.已知函数()ln f x x =和两点(1,0)A ，()e ,mB m ，设曲线()y f x =过原点的切线为l ，且l AB ∥，则m 所在的大致区间为（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()sin cos (0)f x x a x ωωω=+>）A.1ω=B.函数π4y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭为偶函数C.()y f x =在[0,]m 上有4个零点，则13π17π44m ≤<D.当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()cos f x y x=的值域为(-10.已知函数3()2()f x x ax a =-+∈R ，则（）A.(2)(2)4f f -+= B.若0a >，则()f x 的极大值点为x =C.若()f x 至少有两个零点，则3a ≥ D.()f x 在区间(,1)a -∞--上单调递增11.抛物线C ：24y x =的准线为l ，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足分别为A '，B '，记AA F ' ，A B F ''△，BB F ' 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则（）A.A B F '' 为锐角三角形B.2S 的最小值为4C.1S ，212S ，3S 成等差数列 D.1S ，212S ，3S 成等比数列三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知1sin 23cos 25αα+=，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．13.在正项数列{}n a 中，1ln ln 2n n a a +=+，且613e a a =，则n a =______．14.甲口袋中有标号为1、2、3的三张卡片，乙口袋中有标号为4、5、6、7的四张卡片，从两个口袋中不放回地随机抽出三张卡片，每个口袋至少抽一张，则抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法共有______种（用数字作答）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且cos cos a B b A c b -=-．（1）求角A ；（2）已知A 的角平分线交BC 于点D ，若2c =，4AB AC ⋅=，求AD ．16.如图，在多面体111ABC A B C -中，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求二面角11A B C C --的正弦值．17.一项没有平局的对抗赛分为两个阶段，参赛者在第一阶段中共参加2场比赛，若至少有一场获胜，则进入第二阶段比赛，否则被淘汰，比赛结束；进入第二阶段比赛的参赛者共参加3场比赛．在两个阶段的每场比赛中，获胜方记1分，负方记0分，参赛者参赛总分是两个阶段得分的总和，若甲在第一阶段比赛中每场获胜的概率都为()01p p <<，在第二阶段比赛中每场获胜的概率都为13，每场比赛是否获胜相互独立．已知甲参赛总分为2分的概率为827．（1）求p ；（2）求甲参赛总分X 的分布列和数学期望．18.设椭圆()222:11x C y a a+=>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知11OF OA AF e +=，下中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（1）求C 的方程；（2）设点P 为C 上一动点，过P 作不与坐标轴垂直的直线l ．①若l 与C 交于另一点T ，E 为PT 中点，记l 斜率为k ，OE 斜率为0k ，证明：0k k ⋅为定值；②若l 与C 相切，且与直线2x =相交于点Q ，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若否，请说明理由．19.行列式最早起源于对线性方程组的研究，起初是一种速记的表达式，发展到现在已经成为一种非常有用的数学工具．已知a b c d 表示二阶行列式，规定a b ad bc c d=-；123123123a a ab b bc c c 表示三分行列式，规定123232323123111232323123a a ab b a a a a b b b a bc c c c c b b c c c =-+．设03()3011xxf x xx=---．（1）求()f x ；（2）以()(),n n n A x f x 为切点，作直线1n l +交()f x 的图象于异于n A 的另一点()()111,n n n A x f x +++，其中n ∈N ．若00x =，当1n ≥时，设点n A 的横坐标n x 构成数列．①求的通项公式；②证明：12111ln 1ln 1ln 11111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．2025届昆明市五华区高三数学上学期期中考试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 在复平面内对应的点为(),Z x y ，若11z -=，则（）A.()2211x y -+= B.()2211x y ++=C.()2211x y +-= D.()2211x y ++=【答案】A 【解析】【分析】利用复数的几何意义可得出i z x y =+，再利用复数的减法以及复数的模长公式化简可得结果.【详解】由复数的几何意义可得i z x y =+，所以，()11i 1z x y -=-+=，化简可得()2211x y -+=.故选：A.2.已知1e ，2e 都为单位向量，若1e 在2e 上的投影向量为212e，则12e e += （）A.B.C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合投影向量可得1212e e ⋅= ，平方结合数量积的运算律分析求解.【详解】由题意可知：121==e e ，因为1e 在2e 上的投影向量为()12212222212e e e e e e e e ⎛⎫⋅ ⎪=⋅= ⎪⎝⎭u r u ru r u r u r u r u r u r ，可得1212e e ⋅= ，又因为()2112212221122132e e e e e e +=⋅+=+⨯++=u r u r u r u u r u r r，所以12e e += .故选：B.3.在正方体1111ABCD A B C D -中，下列说法错误的是（）A.11AD AC ⊥ B.1AD 与BD 所成角为π3C.1//AD 平面1BDCD.1AD 与平面1ACC 所成角为π3【答案】D 【解析】【分析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A 、()1,1,0B 、()0,1,0C 、()0,0,0D 、()11,0,1A 、()11,1,1B 、()10,1,1C 、()10,0,1D ，对于A 选项，()11,0,1AD =- ，()11,1,1AC =--，则111010AD AC ⋅=+-=，所以，11AD AC ⊥，A 对；对于B 选项，()1,1,0DB =，则1111cos ,2AD DB AD DB AD DB⋅==-⋅，所以，1AD 与BD 所成角的大小为π3，B 对；对于C 选项，设平面1BDC 的法向量为()111,,m x y z = ，()10,1,1DC =，则1111100m DB x y m DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11y =-，则()1,1,1m =- ，则11010AD m ⋅=-++= ，所以，1AD m ⊥ ，又因为1AD ⊄平面1BDC ，所以，1//AD 平面1BDC ，C 对；对于D 选项，设平面1ACC 的法向量为()222,,x n y z = ，()10,0,1CC = ，()1,1,0CA =-，则12220n CC z n CA x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取21x =，则()1,1,0n =r ，所以，1111cos ,2AD n AD n AD n⋅==-⋅，所以，1AD 与平面1ACC 所成角为为π6，D 错.故选：D.4.在践行“乡村振兴”战略的过程中，某地大力发展特色花卉种植业．某农户种植一种观赏花㚏，为了解花卉的长势，随机测量了100枝花的高度（单位：cm ），得到花枝高度的频率分布直方图，如图所示，则（）A.样本花卉高度的极差不超过20cmB.样本花卉高度的中位数不小于众数C.样本花的高度的平均数不小于中位数D.样本花升高度小于60cm 的占比不超过70%【答案】D 【解析】【分析】利用极差的定义可判断A 选项；利用中位数和众数的定义可判断B 选项；利用平均数公式求出样本花卉高度的平均数，可判断C 选项；计算出样本花升高度小于60cm 的占比，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，由频率分布直方图可知，样本花卉高度的极差为()704030cm -=，A 错；对于B 选项，样本花卉高度的众数为()556057.5cm 2+=，设样本花卉高度的中位数为cm a ，前三个矩形的面积和为()0.0120.0280.03650.38++⨯=，前四个矩形的面积和为0.380.05650.66+⨯=，故()55,60a ∈，由中位数的定义可得()0.38550.0560.5a +-⨯=，解得()57.14cm a ≈，则57.5a <，所以，样本花卉高度的中位数小于众数，B 错；对于C 选项，由频率分布直方图可知，样本花卉高度的平均数为()42.50.0647.50.1452.50.1857.50.2862.50.2467.50.156.5cm x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，且x a <，所以，样本花的高度的平均数小于中位数，C 错；对于D 选项，由B 选项可知，样本花升高度小于60cm 的占比为66%，D 对.故选：D.5.设等比数列{}n a 公比为q ，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】要判断“1q >”与“等比数列{}n a 为递增数列”之间的条件关系.需要分别从充分性和必要性两方面进行分析，即看“1q >”能否推出“等比数列{}n a 为递增数列”，以及“等比数列{}n a 为递增数列”能否推出“1q >”.【详解】假设1q >.对于等比数列{}n a ，其通项公式为11n n a a q -=.当2q =，12a =-时，根据通项公式可得21224a a q ==-⨯=-.此时21a a <，等比数列{}n a 不是递增数列.这说明仅仅1q >不能保证等比数列{}n a 一定是递增数列，所以“1q >”不是“等比数列{}n a 为递增数列”的充分条件.假设等比数列{}n a 为递增数列，那么1n n a a +>.由通项公式可得11n n a a q-=，11n n a a q +=，所以111n n a q a q->.当10a <时，不等式两边同时除以11n a q -（因为10a <，10n q ->，不等号方向改变），得到1n n q q -<.例如当2n =时，2q q <，解得01q <<.这说明等比数列{}n a 为递增数列时，不一定有1q >，所以“1q >”不是“等比数列{}n a 为递增数列”的必要条件.则“1q >”是“为递增数列”的既不充分又不必要条件.故选：D.6.已知圆台的母线长为4，体积为，则圆台的侧面积为（）A.48πB.24πC.20πD.10π【答案】C 【解析】【分析】利用母线长和高，求出上底面半径和下底面半径的等式关系，然后利用体积求出上底面半径和下底面半径的另一个等式关系，然后求出上下底面半径，再用侧面积公式即可求解.【详解】如下图所示，设圆台上底面半径为r ，下底面半径为R ，则R r >，设AC 为圆台的一条母线，连接OA 、1O C ，则四边形1OO CA 为直角梯形，过点C 在平面1OO CA 内作CB OA ⊥，垂足为点B ，根据题意，4AC =，1OO =，1O C r =，OA R =，因为1//O C OA ，1OO OA ⊥，BC OA ⊥，则四边形1OO CB 为矩形，所以，1BC OO ==1OB O C r ==，则AB OA OB R r =-=-，由勾股定理可得222AB BC AC +=，即()2716R r -+=，可得3R r -=，①又因为圆台的体积为()2213V R Rr r =⨯++=2221R Rr r ++=，②所以，22321R r R Rr r R r-=⎧⎪++=⎨⎪>⎩，解得41R r =⎧⎨=⎩，所以，圆台的侧面积为()12π44π520π2S R r =⨯⨯+⨯=⨯=.故选：C.7.已知A 、B 为直线l 上的两个定点，2AB =，P 为l 上的动点．在平面直角坐标系中，()13,0F -、()23,0F ，以1F 为圆心，PA 为半径作圆1F ；以2F 为圆心，PB 为半径作圆2F ，则两圆公共点的轨迹方程为（）A.2218y x -= B.2218x y -= C.22198x y += D.22110x y +=【答案】A 【解析】【分析】作出图形，分析可知，点P 不在线段AB （不包括端点）上，对点P 的位置关系进行分类讨论，结合双曲线的定义可求得动点的轨迹方程.【详解】如下图所示：设圆1F 、圆2F 的半径分别为r 、R ，则r PA =，R PB =，设两圆的一个公共点为M ，由题意可知，点P 不能与点A 或点B 重合，若点P 在线段AB （不包括端点）上运动时，则122MF MF r R PA PB AB +=+=+==，事实上，12126MF MF F F +≥=，此时点M 不存在；当点P 在以点A 为端点以BA的方向为方向的射线上时，此时，212MF MF R r PB PA AB -=-=-==；当点P 在以点B 为端点且以AB的方向为方向的射线上时，此时，122MF MF r R PA PB AB -=-=-==.综上，121226MF MF F F -=<=，所以，动点M 的轨迹是以点1F 、2F 为焦点的双曲线，设该双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>，焦距为2c ，则2226a c c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，可得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩因此，两圆公共点的轨迹方程为2218y x -=.故选：A.8.已知函数()ln f x x =和两点(1,0)A ，()e ,mB m ，设曲线()y f x =过原点的切线为l ，且l AB ∥，则m 所在的大致区间为（）A.(1,0)-B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【答案】C 【解析】【分析】求导，利用导数求得切线l 的斜率1ek =，根据直线平行可得e e 10m m --=，构建()e e 1m g m m =--，可知m 为()g m 的非零零点，求导，利用导数判断其单调性结合零点存在性定理分析判断.【详解】由题意可知：()y f x =的定义域为()0,∞+，且1()f x x'=，设切点坐标为()00,ln x x ，则切线l 的斜率001()k f x x '==，则切线l 的方程为()0001ln y x x x x -=-，若切线过原点，则()0001ln 1x x x -=-=-，解得0e x =，可在切线l 的1ek =，若l AB ∥，且直线AB 的斜率()0e 1AB mmk m =≠-，则AB k k =，即1e 1emm =-，整理可得e e 10m m --=，构建()e e 1mg m m =--，则()e e mg m '=-，可知m 为()g m 的非零零点，令()0g m '>，解得1m >；令()0g m '<，解得1m <；可知()g m 在(),1-∞内单调递减，在()1,+∞内单调递增，则()g m 分别在(),1-∞、()1,+∞内至多一个零点且()()()200,110,2e 2e 10g g g ==-<=-->，又因为0m ≠，所以m 所在的大致区间为()1,2.故选：C.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()sin cos (0)f x x a x ωωω=+>）A.1ω=B.函数π4y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭为偶函数C.()y f x =在[0,]m 上有4个零点，则13π17π44m ≤<D.当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()cos f x y x=的值域为(-【答案】ABC【解析】【分析】对于A ：根据函数周期分析判断；对于B ：根据函数最值分析判断；对于C ：令()0f x =，可得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，以π4x -为整体，结合正弦函数性质分析判断；对于D ：整理可得()tan 1cos f x x x =-，结合正切函数分析求解.【详解】对于选项A ：因为()()sin cos f x x a x x ωωωϕ=+=+，由图象可知：函数()y f x =的最小正周期5ππ22π44T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且0ω>，则2π2πω=，解得1ω=，可得()sin cos f x x a x =+，故A 正确；对于选项B ：由图可知：当π5π3π4424x +==时，函数()y f x =取到最大值，则()3π3π3πsin cos 104442f a a ⎛⎫=+=-=⎪⎝⎭，整理可得()3π3π3πsin cos 104442f a a ⎛⎫=+=-=⎪⎝⎭，解得1a =-，则π()sin cos sin 4f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所有ππ42y f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，故B 正确；对于选项C ：令π()04f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为[0,]x m ∈，则πππ,444x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，若()y f x =在[0,]m 上有4个零点，则π3π4π4m ≤-<，解得13π17π44m ≤<，故C 正确；对于选项D ：因为()sin cos tan 1cos cos f x x xy x x x-===-，又因为π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则(tan x ∈，可得()tan 11,1x -∈-，所以函数()cos f x y x=的值域为()1-，故D 错误；故选：ABC.10.已知函数3()2()f x x ax a =-+∈R ，则（）A.(2)(2)4f f -+= B.若0a >，则()f x 的极大值点为x =C.若()f x 至少有两个零点，则3a ≥ D.()f x 在区间(,1)a -∞--上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：根据函数解析式运算求解即可；对于B ：求导，利用导数分析函数单调性和极值；对于CD ：分0a ≤和0a >两种情况，结合导数分析单调性和零点.【详解】对于选项A ：因为3()2f x x ax =-+，则()()()()33()224f x f x x ax x a x ⎡⎤+-=-++---+=⎣⎦，所以(2)(2)4f f -+=，故A 正确；对于选项B ：因为2()3f x x a '=-，且0a >，令()0f x '>，解得x <x >()0f x '<，解得x <<可知()f x 在,⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭内单调递增，在⎛ ⎝内单调递减，所以()f x 的极大值点为x =B 错误；对于选项C ：若()f x 至少有两个零点，当0a ≤时，则2()30f x x a '=-≥，可知()f x 在R 内单调递增，至多有一个零点，不合题意；当0a >时，结合选项B 可知：0f f ⎛≤≤ ⎝，即202≤≤，解得3a ≥；综上所述：3a ≥，故C 正确；对于选项D ：因为2()3f x x a '=-，当0a ≤，可知()f x 在R 内单调递增，符合题意；当0a >，则10a --<，对于(,1)x a ∞∈---，可得()()22()131353f x f a a a a a ''>--=---=++，此时2536110∆=-=-<，则2()3530f x a a '>++>，所以()f x 在区间(,1)a -∞--上单调递增；综上所述：()f x 在区间(,1)a -∞--上单调递增，故D 正确；故选：ACD.11.抛物线C ：24y x =的准线为l ，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足分别为A '，B '，记AA F ' ，A B F ''△，BB F ' 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则（）A.A B F '' 为锐角三角形B.2S 的最小值为4C.1S ，212S ，3S 成等差数列 D.1S ，212S ，3S 成等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】设:1AB x my =+，1,1,2,2，联立方程可得韦达定理.对于A ：根据直线垂直的斜率关系分析判断；对于B ：根据面积关系结合韦达定理分析判断；对于CD ：根据面积结合等差、等比数列性质分析判断.【详解】由题意可知：焦点1,0，准线:1l x =-，直线AB 的斜率不为0，且与抛物线必相交，设:1AB x my =+，1,1,2,2，则()()121,,1,A y B y --''，可得112212,12A F x my B F x my =+=+=+='+'，联立方程=B +12=4，消去x 可得2440y my --=，则12124,4y y m y y +=⋅=-，对于选项A ：因为12,22A F B F y y k k ''=-=-，可得1214A FB F y yk k ''⋅==-，可知A F B F ''⊥，所以A B F '' 为直角三角形，故A 错误；对于选项B ：因为12y y -===，可得2121242S y y =-⨯=≥，当且仅当0m =时，等号成立，所以2S 的最小值为4，故B 正确；对于选项CD ：因为()()111322112,222S y my S y my =+=+，则()()()21311221212121112224224S S y my y my y y m y y m y y ⎡⎤=+⨯+=+++⎣⎦()()222221144844142m m m S ⎛⎫=⨯-++=+= ⎪⎝⎭，即213212S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，显然1231,,2S S S 不恒相等，且不为0，所以1S ，212S ，3S 成等比数列，不成等差数列，故C 错误，D 正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；（2）面积问题常采用12S =⨯ 底⨯高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知1sin 23cos 25αα+=，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【答案】35##0.6【解析】【分析】利用二倍角公式、弦化切以及两角和的正切公式化简可得结果.【详解】因为()()()22222cos sin 1sin 2cos 2sin cos sin cos 2cos sin cos sin cos sin αααααααααααααα++++==-+-πtan tancos sin tan 1π34tan πcos sin 1tan 451tan tan 4ααααααααα+++⎛⎫====+= ⎪--⎝⎭-.故答案为：35.13.在正项数列{}n a 中，1ln ln 2n n a a +=+，且613e a a =，则n a =______．【答案】21e n -【解析】【分析】推导出数列{}n a 是等比数列，利用等比中项的性质求出2a 的值，再利用等比数列的通项公式可求得n a 的表达式.【详解】在正项数列{}n a 中，1ln ln 2n n a a +=+，则11ln ln ln 2n n n na a a a ++-==，可得21e n n a a +=，所以，数列{}n a 是公比为2e 的等比数列，因为26132e a a a ==，且20a >，则32e a =，因为()22324212e e e e n n n n a a ---=⋅=⋅=.故答案为：21e n -.14.甲口袋中有标号为1、2、3的三张卡片，乙口袋中有标号为4、5、6、7的四张卡片，从两个口袋中不放回地随机抽出三张卡片，每个口袋至少抽一张，则抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法共有______种（用数字作答）【答案】26【解析】【分析】计算出从甲、乙两个口袋中，每个口袋至少抽一张卡片，共抽取三张卡片的抽法种数，以及抽取的三张卡片都是奇数的抽法种数，利用间接法可得结果.【详解】从甲、乙两个口袋中，每个口袋至少抽一张卡片，共抽取三张卡片，不同的抽法种数为12213434C C C C 181230+=+=，其中，抽取的三张卡片都是奇数的抽法种数为34C 4=，因此，抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法种数为30426-=.故答案为：26.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且cos cos a B b A c b -=-．（1）求角A ；（2）已知A 的角平分线交BC 于点D ，若2c =，4AB AC ⋅=，求AD ．【答案】（1）π3A =（2）433AD =【解析】【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值；（2）利用平面向量数量积的定义可求出b 的值，再利用ABC ABD ACD S S S =+ 结合三角形的面积公式可求得AD 的长.【小问1详解】解：因为cos cos a B b A c b -=-，由正弦定理可得sin cos sin cos sin sin A B B A C B -=-，即()sin cos sin cos sin sin sin cos cos sin sin A B B A A B B A B A B B -=+-=+-，所以，2cos sin sin 0A B B -=，因为A 、()0,πB ∈，则sin 0B >，可得2cos 10A -=，则1cos 2A =，故π3A =.【小问2详解】解：因为π1cos 432AB AC AB AC bc b ⋅=⋅=== ，因为ABC ABD ACD S S S =+ ，即1π1π1πsin sin sin 232626bc c AD b AD =⋅+⋅，整理可得63AD b c ===+.16.如图，在多面体111ABC A B C -中，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求二面角11A B C C --的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）4【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，找到点的坐标，得出直线方向向量和平面内任意向量，得到向量垂直，从而得到线线垂直，即可证明线面垂直；（2）由空间直角坐标系求出面的法向量，由面的法向量求出二面角的余弦值的绝对值，由三角恒等变换得到角的正弦值.【小问1详解】过点B 在平面ABC 内作一条直线与BC 垂直，则以B 为原点，BC 为x 轴，BC 的垂直为y 轴，1BB 为z 轴如图建立空间直角坐标系，∴()0,0,0B ，()2,0,0C ∵120ABC ∠=︒∴()A -∴()14A -，()10,0,2B ，()12,0,1C ，∴()11,2AB = ，()112,0,1B C =-，()112B A =- ∵1111112201340AB B C AB B A ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，∴111AB B C ⊥，111AB B A ⊥又∵11111B C B A B = ，11B C ⊂平面111A B C ，11B A ⊂平面111A B C ∴1AB ⊥平面111A B C 【小问2详解】由（1）可知：()11,2AB =，()13,AC = ，()12,0,2B C =- ，()10,0,1C C =，设平面11AB C 的一个法向量为()1111,,n x y z =，设平面11CB C 的一个法向量为()2222,,n x y z =，∴111100AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，121200B C n C C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111112030x z x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，2222200x z z -=⎧⎨=⎩则可取1115x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，222010x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩即1n = ，()20,1,0n =设二面角11A B C C --为θ，则1212cos n n n n θ⋅==⋅∴sin 4θ==17.一项没有平局的对抗赛分为两个阶段，参赛者在第一阶段中共参加2场比赛，若至少有一场获胜，则进入第二阶段比赛，否则被淘汰，比赛结束；进入第二阶段比赛的参赛者共参加3场比赛．在两个阶段的每场比赛中，获胜方记1分，负方记0分，参赛者参赛总分是两个阶段得分的总和，若甲在第一阶段比赛中每场获胜的概率都为()01p p <<，在第二阶段比赛中每场获胜的概率都为13，每场比赛是否获胜相互独立．已知甲参赛总分为2分的概率为827．（1）求p ；（2）求甲参赛总分X 的分布列和数学期望．【答案】（1）12p =（2）分布列见解析，数学期望为74.【解析】【分析】（1）利用独立事件概率的乘法公式来求解，要根据甲参赛总分为2分的情况进行分析，求p 的值，（2）需要考虑X 所有可能的取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据分布列求数学期望.【小问1详解】甲参赛总分为2分有两种情况：第一种情况是在第一阶段两场比赛一胜一负（概率为12C (1)p p -），然后在第二阶段三场比赛一胜两负（概率为12311C (1)33⨯⨯-）.第二种情况是在第一阶段两场比赛全胜（概率为2p ），然后在第二阶段三场比赛全负（概率为31(13-）.根据甲参赛总分为2分的概率为827，可列出方程：11223231118C (1)C (1)(1)33327p p p -⨯⨯⨯-+⨯-=先计算组合数122!C 21!(21)!==-，133!C 31!(31)!==-.方程变为214882(1)3392727p p p -⨯⨯⨯+⨯=.化简得2888(1)92727p p p -+=.即2321p p -=.因式分解得(21)(1)0p p --=.解得12p =或1p =，因为01p <<，所以12p =.【小问2详解】甲参赛总分X 的可能取值为0，1，2，3，4，5.X 0=包括：在第一阶段两场全输，概率为2211(1)(1)24p -=-=.1X =包括：在第一阶段一胜一负（概率为12111C (1)2222p p -=⨯⨯=），然后在第二阶段三场全输（概率为318(1327-=），所以184(1)22727P X ==⨯=.2X =：前面已求出为827.3X =包括：在第一阶段两场全胜（概率为214p =），然后在第二阶段一胜两负（概率为123114C (1)339⨯⨯-=），此时1141499P =⨯=.也包括在第一阶段一胜一负（概率为12111C (1)2222p p -=⨯⨯=），然后在第二阶段两胜一负（概率为223112C ((1339⨯⨯-=）.此时2121299P =⨯=.则112(3)999P X ==+=.4X =包括：在第一阶段两场全胜（概率为214p =），在第二阶段两胜一负（概率为223112C ()(1)339⨯⨯-=），此时31214918P =⨯=.也包括在第一阶段一胜一负（概率为12111C (1)2222p p -=⨯⨯=），然后在第二阶段三场全胜（概率为311()327=），此时411122754P =⨯=.则112(4)185427P X ==+=.5X =包括：在第一阶段两场全胜（概率为214p =），然后在第二阶段三场全胜（概率为311()327=），所以111(5)427108P X ==⨯=.所以X 的分布列为：X12345P14427827292271108根据数学期望公式，1482211897()012345427279271081084E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==18.设椭圆()222:11x C y a a+=>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知11OF OA AF e +=，下中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（1）求C 的方程；（2）设点P 为C 上一动点，过P 作不与坐标轴垂直的直线l ．①若l 与C 交于另一点T ，E 为PT 中点，记l 斜率为k ，OE 斜率为0k ，证明：0k k ⋅为定值；②若l 与C 相切，且与直线2x =相交于点Q ，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若否，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=（2）①证明见解析；②是，且定点坐标为1,0【解析】【分析】（1）根据11OF OA AF e +=可得出221e =，可得出关于a 的方程，解出a 的值，即可得出椭圆C 的方程；（2）①设点()11,P x y 、()22,T x y ，则点1212,22x x y y E ++⎛⎫⎪⎝⎭，利用点差法可证得结论成立；②设()00,P x y ，证明出椭圆2212x y +=在点P 处的切线方程为0012x x y y +=，将切线方程与直线2x =的方程联立，求出点Q 的坐标，由对称性知，以PQ 为直径的圆过定点(),0M m ，由0PM QM ⋅=求出m 的值，即可得出结论.【小问1详解】解：因为椭圆()222:11x C y a a+=>的右焦点为F ，右顶点为A ，则OF c =，OA a =，AF a c =-，因为11OF OA AF e +=，即11e c a a c+=-，即a c a c e c a --+=，整理可得1e e e -=，可得221e =，即()22222121a c a a-==，解得a =所以，椭圆C 的方程为2212x y +=.【小问2详解】解：①设点()11,P x y 、()22,T x y ，则点1212,22x x y y E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为直线1l 不与坐标轴垂直，则2212x x ≠，2212y y ≠，所以，1212y y k x x -=-，1212012120202y y y y k x x x x +-+==++-，因为221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，这两个等式作差可得2222121202x x y y -+-=，所以，2212121202212121212y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==--+-；②设()00,P x y ，先证明出椭圆2212x y +=在点P 处的切线方程为0012x x y y +=，联立00221212x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得2222000122y x x x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，整理可得22001102x x x y -+-=，即220011022x x x x -+=，即()200x x -=，解得0x x =，所以，椭圆2212x y +=在点P 处的切线方程为0012x x y y +=，因为直线0012x xy y +=与直线2x =交于点Q ，则00y ≠，联立00122x xy y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，可得001x y y -=，即点0012,x Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由对称性可知，以PQ 为直径的圆过x 轴上的定点(),0M m ，则PM QM ⊥，且()00,PM m x y =-- ，0012,x QM m y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，则()()()()()200021110PM QM m x m x m x m ⋅=----=-+-= ，所以，()21010m m -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1m =，因此，以PQ 为直径的圆过定点()1,0M .【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．19.行列式最早起源于对线性方程组的研究，起初是一种速记的表达式，发展到现在已经成为一种非常有用的数学工具．已知a b c d 表示二阶行列式，规定a b ad bc c d=-；123123123a a ab b bc c c 表示三分行列式，规定123232323123111232323123a a ab b a a a a b b b a bc c c c c b b c c c =-+．设03()3011xxf x xx=---．（1）求()f x ；（2）以()(),n n n A x f x 为切点，作直线1n l +交()f x 的图象于异于n A 的另一点()()111,n n n A x f x +++，其中n ∈N ．若00x =，当1n ≥时，设点n A 的横坐标n x 构成数列．①求的通项公式；②证明：12111ln 1ln 1ln 11111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）32()39f x x x x =+-（2）①()21nn a =--；②证明见详解【解析】【分析】（1）根据行列式的定义运算求解即可；（2）①根据所给的规则求出切点为()32,39n n n n n A x x x x +-的切线方程，再进一步求得1n x +，结合等比数列的定义得出结果；②当0x >时，先证明()ln 1x x +<成立，得出()1111ln 11122n n n n a a ⎛⎫+<== ⎪ ⎪++-⎝⎭，再结合等比数列求和得出结果.【小问1详解】由题意可得：()()232030303()30033339111111x xx x f x x x x x x x x xx x x x x--=-=-+=+-+=+-------.【小问2详解】①由（1）可知：()3239f x x x x =+-，()2369f x x x '=+-，则切点()32,39n n n n n A x x x x +-，切线斜率：()2369n n n k f x x x =+'=-，故切线方程为：()()23236939n n nn n n y x x x x xx x =+--++-，联立()3239f x x x x =+-得：()()232323693939n n nnn n x x x x xx x x x x +--++-=+-，化简得：()32232336230n n n n x x x x x x x +-+++=，因式分解得：()()2230n n x x x x -++=，故123n n x x +=--，上式亦满足由0A 作切线而得到的1A 的横坐标1x ，故13x =-，()1121n n x x ++=-+，则{}1n x +是以2-为首项，以2-为公比的等比数列,故()12nn x +=-，故()21nn x =--，即()21nn a =--；②构造()()ln 1g x x x =+-，()0x >则()11011x g x x x-=-=+'<+，故()g x 在()0,∞+上单调递减，故()()00g x g <=，可得当0x >时，()ln 1x x +<，则()1111ln 11122n n n n a a ⎛⎫+<== ⎪ ⎪++-⎝⎭，即1111ln 112a ⎛⎫+< ⎪⎪+⎝⎭，2211ln 112a ⎛⎫+< ⎪ ⎪+⎝⎭，……，将上式累加可得12121111111ln 11111112222n n n a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+++=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，故12111ln 1111111n a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【点睛】方法点睛：利用导数证明数列不等式问题:常根据已知的函数不等式或者构造函数不等式进行证明，用关于正整数n 的不等式替代函数不等式中的自变量，通过求和达到证明的目的.。
2025届辽宁省点石高三数学上学期期中联考试卷及答案解析
高三期中考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}0,1,2,3M =，{}2N x x =<，则()M N ⋂=R ð（ ）A. (),2∞-B. (2,3)C. {}2,3 D. {}1,2,3【答案】C 【解析】【分析】利用补集和交集的概念求出答案.【详解】{}2N x x =≥R ð，故(){}{}{}0,1,2,322,3M N x x ⋂=⋂≥=R ð.故选：C2. 已知命题:R,11p x x ∀∈-<，命题2:R,10q x x x ∃∈-+<，则（ ）A. 命题p 和命题q 都是真命题B. 命题p 的否定和命题q 都是真命题C. 命题q 的否定和命题p 都是真命题D. 命题p 的否定和命题q 的否定都是真命题【答案】D 【解析】【分析】依次判断两个命题的真假，即可求解.【详解】对于命题:R,11p x x ∀∈-<，当0x ≤或2x ≥时，11x -≥，故命题p 是假命题，命题p 的否定为真命题；对于命题2:R,10q x x x ∃∈-+<，因为22131(024x x x -+=-+>，所以命题q 为假命题，命题q 的否定为真命题；综上可得：命题p 的否定和命题q 的否定都是真命题，故选：D3. 函数()2e sin2e 1x x xf x =-图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性与有无零点，借助排除法即可得.【详解】定义域为{|0}x x ≠，()()()22e sin2e sin2e 11ex x x xx x f x f x -----===--，故该函数为偶函数，故可排除B 、D ，当πx =时，有()π2πe sin2π0e 1f π==-，故可排除A.故选：C.4. 已知m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）A. 若//,//m n n α，则//m α B. 若//,//m m αβ，则//αβC. 若,ααβ⊥⊥m ，则//m β D. 若,//m m αβ⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】结合空间线面的位置关系及平行与垂直的判定与性质定理对各个选项分别进行判断即可.【详解】由//,//m n n α，得//m α或m α⊂，则A 错误．由//,//m m αβ，得//αβ或,αβ相交，则B 错误．由,ααβ⊥⊥m ，得//m β或m β⊂，则C 错误．由,//m m αβ⊥，得αβ⊥，则D 正确．故选：D5. 已知向量()1,a t = ，()3,1b =- ，且()2a b b +⊥ ，则向量a与b 的夹角等于（ ）A.π4B.π3C.2π3D.3π4【答案】D 【解析】【分析】利用向量垂直则数量积为零，可求出t ，再由利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角即可.【详解】由(1,)a t =，(3,1)b =-，得2(1,21)a b t +=-+，由(2)a b b +⊥，得1(3)(2110)t -⨯-++⨯=，解得2t =-，则(1,2)a =- ，则||a ==，||b == ，1(3)(2)15a b ⋅=⨯-+-⨯=- ，因此cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉=== ，而,[0,π]a b 〈〉∈，所以3π,4a b 〈〉= .故选：D6. 中国古代数学名著《九章算术》中有如下问题.今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还的粟(单位：升)为（ ）A. 253B.503 C.507D.1007【答案】D 【解析】【分析】设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，利用等比数列的前n 项和公式即可求解.【详解】5斗＝50升.设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，由题意可知a 1，a 2，a 3构成公比为2的等比数列，且S 3＝50，则()311212a --＝50，解得a 1＝507，所以马主人应偿还粟的量为a 2＝2a 1＝1007，故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和公式，需熟记公式，考查了考生的基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正数a b c ，，满足e ln e ln 1a c a b b c ===，则a b c ，，的大小关系为（ ）A. c a b << B. c b a << C. a b c << D. a c b<<【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，构造函数，借助函数的单调性及零点存在性定理比较大小.【详解】由e ln e ln 1a c a b b c ===，得111e ln ln 0eac b c a b -=-=-=，令函数1()e ,0xf x x x=->，显然函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，而121()e 20,(1)e 102f f =-<=->，()0f a =，则112a <<；令函数1()ln g x x x =-，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，1(2)ln 202g =->，而332212()ln 0223323g =-<=-<， ()0g b =，则322b <<；令1()ln e x h x x =-，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增，而1(1)0eh =-<，3233131127111()ln ln ln ln e 022*******e h =->-=->-=，()0h c =，则312c <<，所以a b c ，，的大小关系为a c b <<.故选：D8. 已知函数(1)y f x =+为偶函数，且()y f x =的图象关于点(2,0)对称，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则(2024)f =（ ）A. 2024B. 2C. 1D. 0【答案】D 【解析】【分析】首先利用函数的奇偶性及其对称性推导得到()f x 的周期为4，进而利用函数的周期性求解()2024f 即可.【详解】因为函数(1)y f x =+为偶函数，所以()y f x =的图象关于直线1x =对称，所以(1)(1)f x f x +=-，即()(2)f x f x =-，又因为函数()y f x =的图象关于点(2,0)对称，所以(2)(2)0f x f x ++-=，进而可得：()()20f x f x ++=又(2)(4)0f x f x +++=，所以()(4)0f x f x -+=，即(4)()f x f x +=，所以函数()f x 的周期为4，所以(2024)(45060)(0)0f f f =⨯+==.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若:10p mx +=是2:60q x x +-=的充分不必要条件，则实数m 的值可以为（ ）A. 2 B. 12-C.13D. 0【答案】BCD 【解析】【分析】根据条件:2q x =或3x =-，则{}10x mx +=可以是∅，{3}-或{2}，分情况即可求得m 的值.【详解】依题意{}10x mx +=是{3,2}-的真子集，则{}10x mx +=可以是∅，{3}-或{2}.当{}10x mx +==∅时，易得0m =；当{}{}103x mx +==-时，可得13m =；当{}{}102x mx +==时，可得12m =-.故选：BCD.10. 已知函数()cos2cos f x x x =+，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ）A. ()f x 的图像关于y 轴对称B. π不是()f x 的一个周期C. ()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D. 当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为2⎤⎥⎦【答案】ABD 【解析】【分析】利用奇偶性判断A ，利用周期性定义判断B ，利用单调性定义判断C ，分类讨论去绝对值符号后求得值域后判断D ．【详解】()cos(2)cos cos 2cos ()f x x x x x f x -=-+-=+=，f (x )定义域是全体实数关于原点对称，()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，A 正确；π2ππ()cos()cos 1333f -=-+-=，π4π2π11π(π)cos cos 0()333223f f -+=+=-=≠-，所以π不是()f x 的一个周期，B 正确；()cos2cos cos 2cos f x x x x x =+=+，3π3π3π()cos cos 424f =+=3π(π)cos 2πcos π0()4f f =+=>，C 错；π[0,4x ∈时，2219()cos2cos 2cos cos 12(cos 48f x x x x x x =+=+-=+-，cos 1x ≤≤，则()f x ∈，ππ(,42x ∈时，2219()cos2cos 2cos cos 12(cos 48f x x x x x x =-+=-++=--+，又0cos x ≤<，所以9()]8f x ∈，综上，π[0,]2x ∈时，()f x ∈，D 正确．故选：ABD ．11. 已知函数()2e xf x x a =--，则（）A. ()f x 在()1,2上单调递增B. 1x =是函数()f x 的极大值点C. ()f x 既无最大值，也无最小值D. 当()1,2a ∈时，()f x 有三个零点【答案】BD 【解析】【分析】先将()f x 用分段函数表示出来，再根据各个选项，利用导数研究其单调性、极值点、最值及零点即可.【详解】由题意得()()()2e ,22e 2e ,2xxxx a x f x x a x a x ⎧--≥⎪=--=⎨--<⎪⎩，所以()()()1e ,21e ,2xxx x f x x x ⎧->⎪=⎨-<'⎪⎩，对于A ，当()1,2x ∈时，()()1e 0xf x x =-<'，所以()f x 在()1,2上单调递减，故A 错误;对于B ，当(),1x ∞∈-时，()0f x '>，当()1,2x ∈时，()0f x '<，当()2,x ∞∈+时，()0f x '>,所以()f x 在(),1∞-单调递增，在()1,2单调递减，在[)2,+∞单调递增，所以x =1是函数()f x 的极大值点，故B 正确;对于C ，当x ∞→-时，()2e xf x x a a =-->-，当x ∞→+时，()f x ∞→+又()()1e 2f a f a =->=-,()f x 的大致图象如图所示，()f x 的值域为[),a -+∞,所以()f x 有最小值，无最大值，故C 错误;,对于D ，当2x ≥时，()f x 在[)2,∞+上单调递增,因为()1,2a ∈,所以()()320,3e 0f a f a =-=-,所以()f x 在[)2,∞+上有一个零点;当x <2时，()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,2上单调递减,又()1e 0f a =->，当x ∞→-时，()()()2e 2.120xf x x a a f a =-->-∈--=-<，.结合()f x 的大致图象（如上图），()f x 在(),1∞-有一个零点，在()1,2上有一个零点，综上，当()1,2a ∈时，()f x 有三个零点，故D 正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知数列1,,,,n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数其前n 项和为n S ，则100S =______.【答案】5000【解析】【分析】按奇偶项分类求和．【详解】由题意10013992410050(098)50(2100)()()500022S a a a a a a ⨯+⨯+=+++++++=+= .故答案：5000.13. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1B F //平面1A BE ，则1B F 与平面11CDD C 所成角的正切值的最大值是_________.【答案】2为【解析】【分析】设,,G H I 分别为111,,CD CC C D 边上的中点,根据面面平行的判定定理，可得平面1//A BGE 平面1B HI ，结合已知中1//B F 面1A BE ，可得F 落在线段HI 上，11B FC ∠即为1B F 与平面11CDD C 所成角,求出该角正切的最大值即可得到结论.【详解】设,,G H I 分别为111,,CD CC C D 边上的中点,则1A BEG 四点共面，且平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，11B FC ∠是1B F 与平面11CDD C 所成的角，11111B C tan B FC FC ∠=，设HI 的中点为J ,则当F 与J 重合时1FC 最小，此时1B F 与平面11CDD C=，故答案为.【点睛】本题主要考查面面平行、线面平行的判断与性质以及线面角的求解方法，属于难题. 根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，但这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程.14. 已知曲线()2f x x =与()lng x a x =+有公共切线，则实数a 的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先设出切点，求导得到切线方程，斜率截距对应相等，得到2221ln 104a x x ++-=,构造函数()21ln 4h x x x =+，转化为存在性问题，最终求最值即可.【详解】设曲线()2f x x =与()lng x a x =+的切点分别为()211,x x ，()22,ln x a x +，因为()2f x x '=，()1g x x '=，则两切线斜率112k x =，221k x =，所以()21112y x x x x -=-，()()2221ln y a x x x x -+=-，所以1221212ln 10x x x a x ⎧=⎪⎨⎪++-=⎩，所以2221ln 104a x x ++-=，即22211ln 4a x x -=+，令()21ln 4h x x x =+，则()23212x h x x-'=，当0x <<()0h x '<，()h x 单调递减；当x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()12h x h ≥=+，即11ln 2a -≥+，即1ln ln 2a ≤-=故答案为：ln .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，ccos sin C c B =．（1）求角C 的大小（2）若c =ABC V 的面积为ABC V 的周长．【答案】（1）3C π=（2）10+【解析】【分析】(1)将已知关系式化边为角，可得C 的正切，进而可求角C ；(2)由三角形面积公式及角C 可得ab ，进而由余弦定理整体得a b +的值解决问题.【小问1详解】cos sin sin B C C B =,()0,B π∈ , sin 0B ∴≠, sin tan cos C C C ∴==,()0,C π∈ , 3C π∴=.【小问2详解】由三角形面积可知：11sin sin 223S ab C ab π====24ab ∴=，由余弦定理可知：()()222222248281cos 22482a b ab c a b a b c C ab ab +--+--+-====,解得：10a b +=，所以三角形ABC 的周长为：10a b c ++=+.16. 某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第n 年(*)n ∈N 花在该台运输车上的维护费用总计为2(5)n n +万元，该车每年运输收入为25万元.（1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）（2）若该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.【答案】（1）3年 （2）方案①较为合算【解析】【分析】（1）由22549(5)0n n n --+≥，能求出该车运输3年开始盈利.（2）方案①中，22549(5)4920(6n n n n n n--+=-+≤.从而求出方案①最后的利润为59（万)；方案②中，2222549(5)2049(10)51y n n n n n n =--+=-+-=--+，10n =时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万)，比较时间长短，进而得到方案①较为合算.【小问1详解】由题意可得22549(5)0n n n --+≥，即220490n n -+≤，解得1010n -≤≤，3n ∴≥，∴该车运输3年开始盈利.；【小问2详解】该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，22549(5)4920()6n n n n n n--+=-+≤，当且仅当7n =时，取等号，∴方案①最后的利润为：25749(4935)1759⨯--++=（万)；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，2222549(5)2049(10)51y n n n n n n =--+=-+-=--+，10n ∴=时，利润最大，∴方案②的利润为51859+=（万)，两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，∴方案①较为合算.17. 已知向量(cos ,1)=- a x ，3(sin ,4b x = ，函数()2()f x a b a =+⋅ .（1）若//a b r r ，求5πtan(4x +；（2）当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，求函数()f x 的值域.（3）若将()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移π4个单位长度，可得到()g x 的图象，求1()2g x >的解集.【答案】（1）17（2）1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （3）3π3π(2π,2π44k k -+，k ∈Z 【解析】【分析】（1）根据两向量平行的坐标表示可求得3tan 4x =-，再根据诱导公式化简即可；（2）根据题意先求出()f x 的解析式，再根据定义域求出值域即可；（3）先进行图形变换，再根据不等式求解集.【小问1详解】因为(cos ,1)=- a x ，3(sin ,)4b x = ，//a b r r ，则3cos sin 4x x =-，显然cos 0x ≠，所以3tan 4x =-，则π3tan tan 15ππ144tan(tan()π34471tan tan 1()44x x x x +-++=+===---；【小问2详解】1(cos sin ,4a b x x +=+- ，211()2()2(cos sin ,)(cos ,1)2cos 2sin cos 42f x a b a x x x x x x =+⋅=+-⋅-=++3π3sin 2cos 2242x x x =++=++，当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ3π2,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦π3134222x ⎡⎤++∈+⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 的值域为1322⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；【小问3详解】由（2）知π3())42f x x =++，结合题意，得π33()222g x x x =++=+，1()2g x >3122x +>，即cos x >，所以3π3π2π2π44k x k -<<+，k ∈Z ，即1()2g x >的解集为3π3π(2π,2π)44k k -+，k ∈Z .18. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C ⊥底面ABC ，且AB AC =，11A B A C =．（1）证明：1AA ⊥平面ABC ；（2）若12AA BC ==，90BAC ∠=︒，求平面1A BC 与平面11A BC 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）取BC 的中点M ，连结MA 、1MA ，根据等腰三角形性质和线面垂直判定定理得⊥BC 平面1A MA ，进而由11A A B B 得1B B BC ^，再证明1B B ⊥平面ABC 即可得证.（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于1A B 的垂面，从而得出二面角的平面角再进行求解即可.【小问1详解】取BC 的中点M ，连结MA 、1MA ．因为AB AC =，11A B A C =，所以BC AM ⊥，1BC A M ⊥，由于AM ，1A M ⊂平面1A MA ，且1AM A M M ⋂=，因此⊥BC 平面1A MA ，因为1A A ⊂平面1A MA ，所以1BC A A ⊥，又因为11A A B B ，所以1B B BC ^，因为平面11BB C C ⊥平面ABC ，平面11BB C C 平面ABC BC =，且1B B ⊂平面11BB C C ，所以1B B ⊥平面ABC ，因为11A A B B ，所以1AA ⊥平面ABC.【小问2详解】法一：因为90BAC ∠=︒，且2BC =，所以AB AC ==以AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()10,0,2A ，)B ，()C ，()12C ．所以)12A B =- ，()12A C =- ，()11A C = ．设平面1A BC 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1)，则11·0·0m A B m A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得11112020z z -=-=，令11z =，则)m = ，设平面11A BC 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2)，则11100n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得222200z -==，令21z =，则)n = ，设平面1A BC 与平面11A BC 夹角为θ，则cos m n m n θ⋅=== ，所以平面1A BC 与平面11A BC 夹角法二：将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体1111ABDC A B D C -．连接1C D ，过点C 作1CP C D ⊥，垂足为P ，再过P 作1PQ A B ⊥，垂足为Q ，连接CQ ，因为BD ⊥平面11CDD C ，且CP ⊂平面11CDD C ，所以BD CP ⊥，又因为1CP C D ⊥，由于BD ，1C D ⊂平面11A BDC ，且1BD C D D = ，所以⊥CP 平面11A BDC ，则CPQ 为直角三角形，由于1A B ⊂平面11A BDC ，所以1A B CP ⊥，因为CP ，PQ ⊂平面CPQ ，且CP PQ P = ，所以1A B ⊥平面CPQ ，因为CQ ⊂平面CPQ ，所以1CQ A B ⊥，则∠CQP 为平面1A BC 与平面11A BC 的夹角或补角，在1A BC中，由等面积法可得CQ =,的因为11PQ A C ==，所以cos PQ CQP CQ ∠==，因此平面1A BC 与平面11A BC19. 已知函数()()()2ln 2,ln 1,f x x a x a x g x x x x a a =+-+=--+∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()g x 有两个零点，求a 的取值范围；（3）若()()1ln f x g x a x +≥+对任意1x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()0,1（3）,0]∞-（【解析】【分析】（1）函数求导，根据参数a 进行分类，讨论函数的单调性即得；（2）将函数()g x 有两个零点，转化为()ln h x x x x =-与1y a =-有两个交点问题，利用导数研究并作出函数()h x 的图象，即得a 的取值范围；（3）由原不等式恒成立转化为1ln 0a x x a x ---+≥恒成立，设()1ln a x x x a xϕ=---+，就参数a 分类讨论，找到使()0x ϕ≥恒成立时情况，即得a 的取值范围.【小问1详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()()()()()2221222x a x a x x a a f x x a x x x-++--=+-+='=．当0a ≤时，()0,1x ∈时，()()01,f x x ∞'<∈+；时，()0f x '>；当2a =时，()0,x ∞∈+时，()0f x '≥；当02a <<时，,12a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；()0,1,2a x ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭时()0f x '>；的当2a >时，1,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<；()0,1,2a x ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭时()0f x '>；综上，0a ≤时，()f x 的递减区间是()0,1，递增区间是()1,∞+；2a =时，()f x 的递增区间是()0,∞+，无递减区间；02a <<时，()f x 的递增区间是0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,∞+，递减区间是,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；2a >时，()f x 的递增区间是()0,1和,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，递减区间是1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】令()0g x =得ln 1x x x a -=-，设()ln h x x x x =-，则()ln h x x '=，当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '<在()0,1上递减；当()1,x ∞∈+时，()()0,h x h x '>在()1,∞+上递增，则()()min 11,h x h ==-.又因0x +→时，()0,h x x ∞-→→+时，(),h x ∞→+作出函数()ln h x x x x =-的图象，由图可得，要使直线1y a =-与函数()h x 的图象有两个交点，须使110a -<-<，即01a <<，故a 的取值范围是()0,1.【小问3详解】由()()1ln f x g x a x +≥+得2ln 0x x x x ax a ---+≥，因1x ≥，即得，1ln 0a x x a x ---+≥（*），易得1x =时，不等式成立，设()1ln a x x x a xϕ=---+，1x >，则22221(1)()1a x x a x x a x x x x xϕ----'=--==，当0a ≤时，()0x ϕ'>，函数()ϕx 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0x ϕϕ>=，（*）恒成立；当0a >时，设2()p x x x a =--，则方程20x x a --=有两根12,x x ，12121,0x x x x a +==-<，可得120,1,x x <>当21x x <<时，()0p x <，则()0x ϕ'<，()ϕx 在2(1,)x 上单调递减；又()10ϕ=，所以当21x x <<时，()0x ϕ<，不满足条件，综上，a 的取值范围是,0]∞-（.【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的零点和不等式恒成立问题，属于难题.对于函数零点的探究，一般考虑参变分离法，不易分离变量的则考虑根据参数，分析讨论函数的图象性质判断求解；对于由不等式恒成立的求参问题，一般是分离变量后，将其转化为求函数的最值问题解决，对于不易转化时，可以通过构造函数，根据参数范围，讨论函数不等式何时恒成立.。
江苏省无锡市高二下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．函数在点处的切线方程是（ ）()xf x e =()()0,0f A ． B ． C ． D ．y x =1y x =-1y x =+2y x =【答案】C【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再求出的值，利用直线方程的斜0x =(0)f 截式得答案．【详解】解：由，得， ()x f x e =()x f x e '=则， 0(0)1f e '==又，(0)1f =函数在点，处的切线方程是．∴()x f x e =(0(0))f 1y x =+故选：．C2．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则的值为（ ）12nx ⎫⎪⎭n A ．11 B ．12 C ．13 D ．14【答案】B【分析】根据题中条件得出二项展开式的总项数，再求解n 的值即可.【详解】根据题意，只有第7项为二项展开式的中间项，所以二项展开式的总项数为13， 即，解得， 113n +=12n =故答案为：12.3．从4名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名男生和1名女生的选法共有（ ） A ．16种 B ．20种 C ．24种 D ．36种【答案】A【分析】分为1名男生，2名女生和2名男生，1名女生两种情况，分别计算，根据分类加法计数原理，相加即可得出答案.【详解】3名志愿者为1名男生，2名女生时，选法的种数为；2142C C 4=3名志愿者为2名男生，1名女生时，选法的种数为.2142C C 12=所以，根据分类加法计数原理可知，至少有1名男生和1名女生的选法共有种. 41216+=故选：A.4．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是M N3”，则等于（ ） ()P N M A ． B ．C ．D ．23591213【答案】B【分析】根据条件概率公式转化为，分别求解事件和实际包含的基本事()()()n NM P N M n M =M MN 件的个数，代入求解.【详解】事件为“两次所得点数均为奇数”，则事件为，，，，，M ()1,1()1,3()1,5()3,1()3,3()3,5，，，，故；为“至少有一次点数是3”，则事件为，，()5,1()5,3()5,5()9n M =N MN ()1,3()3,1，， ，故，所以. ()3,3()3,5()5,3()5n MN =()59P NM =故选：B.5．若，则（ ）1021001210(2)(3)(3)(3)x a a x a x a x +=+++++++ 7a =A ．45 B ．120 C ． D ．10-120-【答案】D【分析】将展开，即可得出展开式中含有的系数，计算即可得出答()()1010213x x +=-++⎡⎤⎣⎦7(3)x +案.【详解】，()()1010213x x +=-++⎡⎤⎣⎦()()()()()10091100110101010C 13C 13C 3x x x =⋅-⋅++⋅-⋅+++⋅+L 展开式中含有的系数为7(3)x +.()373710101098C 1C 120321a ⨯⨯=⋅-=-=-=-⨯⨯故选：D.6．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有（ ） A ．4种 B ．6种C ．10种D ．16种【答案】C【分析】分两类：甲第一次踢给乙时，和甲第一次踢给丙时，分别求得传递方式的种数再由分类加法计数原理计算可得选项. 【详解】甲_ _ _ _甲（1）中间无甲，则有：甲乙丙乙丙甲，甲丙乙丙乙甲，共2种；（2）甲在第三个，则有：甲乙甲乙丙甲，甲乙甲丙乙甲，甲丙甲乙丙甲，甲丙甲丙乙甲，共4种；（3）甲在第四个，则有：甲乙丙甲乙甲，甲丙乙甲乙甲，甲乙丙甲丙甲，甲丙乙甲丙甲，共4种. 综上，共10种. 故选：C.7．若在x=1处取得极大值10，则的值为（ ） 322()7f x x ax bx a a =++--baA ．或B ．或C ．D ．32-12-32-1232-12-【答案】C【分析】由于，依题意知，，，2'()32f x x ax b =++'(1)320f a b =++=2(1)1710f a b a a =++--=于是有，代入f （1）=10即可求得，从而可得答案． 32b a =--,a b 【详解】∵，∴， 322()7f x x ax bx a a =++--2'()32f x x ax b =++又在x=1处取得极大值10， 322()7f x x ax bx a a =++--∴，， '(1)320f a b =++=2(1)1710f a b a a =++--=∴，28120a a ++=∴或．2,1a b =-=6,9a b =-=当时，， 2,1a b =-=3'()341(31)(1)f x x x x x =-+=--当＜x ＜1时，，当x ＞1时，， 13'()0f x <'()0f x >∴f （x ）在x=1处取得极小值，与题意不符；当时，， 6,9a b =-=2'()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--当x ＜1时，，当＜x ＜3时，， '()0f x >'()0f x <∴f （x ）在x=1处取得极大值，符合题意；则， 9362b a =-=--故选C ．【点睛】本题考查函数在某点取得极值的条件，求得，利用，f （1）2'()32f x x ax b =++'(1)0f ==10求得是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．,a b 8．设函数，的导数为，且，，则不等式成立的是()y f x =x ∈R ()f x '()()=f x f x -()()f x f x '>（ ）A ．B ． 12(0)e (1)e (2)f f f -<<12e (1)(0)e (2)f f f -<<C ．D ．21e (2)(0)e (1)f f f -<<21e (2)e (1)(0)f f f -<<【答案】C【分析】构造函数，求出，根据已知得出为R 上的()()e xg x f x -⋅=()()()e x g x f x f x -''=-⎡⎤⎣⎦()g x 增函数，则.代入结合，即可得出答案.()()()201g g g -<<()()=f x f x -【详解】构造辅助函数，令，()()e xg x f x -⋅=则.()()()()()e e e x x xg x f x f x f x f x ---'''=-⋅+⋅=-⎡⎤⎣⎦因为，所以，所以，()()f x f x '>()()0f x f x '->()0g x '>所以函数为R 上的增函数，()()e xg x f x -⋅=则.()()()201g g g -<<又，，.()()()00e 00g f f ==()()11e 1g f -=()()22e 2g f -=-又，所以，所以，()()f x f x -=()()22f f -=()()22e 2g f -=所以.()()()21e 20e 1f f f -<<故选：C.二、多选题 9．直线可作为函数的图像的切线，则的解析式可以是（ ） 1ey x b =+()y f x =()f x A ． B ．()1f x x=()ln f x x =C ． D ．()sin f x x =()e xf x =【答案】BCD【分析】求出的导函数，根据已知只需有解即可. ()f x ()1ef x '=【详解】对于A 项，的定义域为，且，()1f x x={}|0x x ≠()210f x x '=-<此时无解，故A 错误； ()1ef x '=对于B 项，定义域为，则， ()ln f x x =()0,∞+()10f x x'=>显然在上有解，故B 正确； ()11ef x x '==()0,∞+对于C 项，定义域为R ，且，()sin f x x =()cos f x x '=因为，所以在R 上有解，故C 正确；1cos 1x -≤≤()1cos ef x x '==对于D 项，定义域为R ，，()e xf x =()e >0x f x '=显然在R 上有解，故D 正确.()1e exf x '==故选：BCD.10．对于的展开式，下列说法正确的是（ ）6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．展开式共有6项B ．展开式中各项系数之和为1C ．展开式中的常数项是240-D ．展开式中的奇数项的二项式系数之和为32 【答案】BD【分析】根据二项式展开式的项数判断A ；根据二项式系数和性质可判断B ，D ；根据二项式通项公式求得常数项判断C.【详解】因为二项式的次数为6，所以展开式共有7项，故A 错误； 令，则展开式中各项系数之和为1，故B 正确；1x =的通项为， 6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭66636621C 6(2)(1)2C ,0,1,2,,rr r r r r rr x x x ---⎛⎫⋅-=-⋅ ⎪=⎝⎭令，得，故展开式中的常数项为，故C 错误； 630r -=2r =()242612C 240-=展开式中奇数项的的二项式系数之和为，故D 正确.612322⨯=故选：BD11．假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌甲乙其他市场占有率 50% 30% 20% 优质率80% 90% 70%在该市场中任意买一部智能手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌､乙品牌､其他1A 2A 3A 品牌，B 表示买到的是优质品，则（ ）A ．B ．C ．D ．()230%P A =()370%P BA =()180%P B A =()81%P B =【答案】ACD【分析】根据表中数据，结合条件概率公式、全概率公式逐一判断即可. 【详解】因为乙品牌市场占有率为30%，所以，因此选项A 正确； ()230%P A =因为，所以选项B 不正确； ()333()()20%70%14%P BA P A P B A ==⨯=因为，所以选项C 正确；因为()180%P B A =()112233()()()()()()50%80%30%90%20%70%81%,P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯+⨯+⨯=所以选项D 正确， 故选：ACD12．已知函数，下列说法正确的有（ ） ()ln 2cos f x x x =+A ．函数是周期函数 ()f x B ．函数有三个零点 ()f x C ．函数有无数个极值点()f x D ．函数在上不是单调函数()f x ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】根据周期函数的定义判断A ，构造新函数，由函数图象交点判断B ，求出导函数，()f x '利用的零点个数判断C ，由零点存在定理判断在上有无零点，从而判断D ．()f x '()f x 'π(,π)2【详解】因为不是周期函数，则不是周期函数，A 错误；ln y x =()f x 作出与的图象，由图可知，与的图象有三个交点，B 正确；ln y x =-2cos y x =ln y x =-2cos y x=，作出与的图象，由图可知，有无数个交点，即有无数个极()12sin f x x x'=-1y x =2sin y x =()f x 值点，C 正确；因为，，所以在有零点，不是单调函数，D 正()1sin f x x x '=-()ππ02f f ⎛⎫''< ⎪⎝⎭()f x 'π,π2⎛⎫⎪⎝⎭()f x 确；故选：BCD ．三、填空题13．一辆汽车做直线运动，位移与时间的关系为，若汽车在时的瞬时速度为s t ()21s t at =+2t =8，则实数的值为________. a 【答案】2【分析】根据导数的定义可推得，根据导数的意义，即可得出答案.()24s a '=【详解】根据导数的定义可得，()()()0222lim t s t s s t ∆→+∆-'=∆()202141lim t a t a t∆→+∆+--=∆， ()204lim t a t a t t ∆→∆+∆=∆()0lim 44t a a t a∆→=+∆=根据导数的意义，可知，所以. 48a =2a =故答案为：2.14．设，且，若能被13整除，则的值可以为________. a ∈N 026a ≤<202351a +a 【答案】1或14【分析】变形，写出通项，根据通项可知，除第2024项外，其他项均能被13()2023202351521=-1-整除，即可得出能被13整除.进而只需满足能被13整除，即可根据的取值范围得出2023511+1a -a 答案.【详解】()2023202351521=-该二项式展开式通项为，， ()202312023C 521rrr r T -+=⋅⨯-0,1,2,,2023r =L 显然，当时，能被13整除， 02022r ≤≤()202312023C 521rr rr T -+=⋅⨯-但是时，不能被13整除， 2023r =20241T =-所以能被13整除.2023511+要使能被13整除，则应满足能被13整除. 202351a +1a -因为，所以， 026a ≤<1125a -≤-<所以或，所以或. 10a -=113a -=1a =14a =故答案为：1或14.15．甲罐中有4个红球，4个白球和2个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则B 的值为________.()P B 【答案】/ 250.4【分析】根据全概率公式以及条件概率的计算公式，即可求得答案.【详解】分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件, 1A 2A 3A 则()()()()123P B P A B P A B P A B =++()()()()()()112233P A P B A P A P B A P A P B A =++ 454424101110111011=⨯+⨯+⨯， 25=故答案为：2516．已知对，不等式恒成立，则的最大值是________.()0,x ∀∈+∞ln 1n x m x+≥-mn 【答案】e 【分析】由不等式恒成立，求得，故，只需求ln 1nx m x +≥-2ln m n ≤+2ln m n n n+≤()2ln n G n n +=的最大值即可.【详解】下面证明当时不成立：当时，原不等式变形为，，0n <0n <ln 1nx m x ≥--0x >若，则，而当时，原不等式不成立； 10m -≥10nm x-->()0,1x ∈ln 0x <若，当时，，取，则，，10m -<0,1n x m -⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭10n m x -->01min ,21n x m -⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭0ln 0x <010n m x --≥原不等式不成立，故当时不成立，所以. 0n <0n >不等式可化为， ln 1nx m x +≥-ln 10n x m x+-+≥令，则，()ln 1n F x x m x=+-+()221n x nF x x x x -'=-=当时，单调递减，()0,x n ∈()0F x '<()F x 当时，单调递增， ()x n ∈+∞，()0F x '>()F x 所以当时，，即， x n =()min ln 2F x n m =+-()ln 202ln 0n m m n n +-≥⇒≤+>所以， 2ln m nn n+≤令，则令可得，()2ln n G n n +=()21ln 0n G n n -'-==1e n =当时，单调递增，10,e n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0G n '>()G n 当时，单调递减， 1e n ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，()0G n '<()G n 故，即， ()max 21e1eG n -==2ln e m n n n+≤≤故答案为：e 【点睛】关键点点睛：解答本题的思路是将不等式可化为，然后再ln 1nx m x +≥-ln 10n x m x+-+≥，构造函数，并对其进行求导，求出函数的最小值为()ln 1n F x x m x =+-+()ln 1nF x x m x=+-+，即，然后求出目标函数的最大值为，即，ln 2n m +-ln 20n m +-≥()2ln nG n n +=e 2ln e m n n n+≤≤所以求出的最大值是． mne四、解答题17．盒子内有3个不同的黑球，4个不同的白球.(1)全部取出排成一列，3个黑球两两不相邻的排法有多少种？ (2)从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种？(3)若取一个白球记2分，取一个黑球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【答案】(1)1440 (2)7(3)21【分析】（1）首先4个白球进行排列，然后3个黑球进行插空即可得出结果；（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有2类：2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球；（3）从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有4类：4个白球1个黑球、3个白球2个黑球、2个白球3个黑球.【详解】（1）首先4个白球进行排列，然后3个黑球进行插空，则共有种；4345A A 1440=（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有2类：2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球，共有种；24333434C C C C 7+=（3）从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有4类：4个白球1个黑球、3个白球2个黑球、2个白球3个黑球，共有种.142332343434C C C C C C 21++=18．在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列.()*3,nn n ≥∈N (1)求的值；n (2)求展开式中所有的有理项. 【答案】(1)7 (2)； 23214T x =17764T x -=【分析】（1）根据条件求接建立等式，再利用组合数公式即可求出结果；132C C 2C n n n +=（2）利用二项展开式的通项公式，通过的取值即可得到结果.r 【详解】（1）因为展开式中第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，所以，得到，整理得，即132C C 2C n n n +=(1)(2)(1)23221n n n n n n ---+=⨯⨯⨯29140n n -+=，()()270n n --=又因为，，所以的值为7.3n ≥*n ∈N n（2）当时，展开式的第项为，7n =71r +141737741C (1)C 2rrr rr r r r T x -+-⎛==-⋅⋅ ⎝其中，，07r ≤≤r ∈N 当，即，时，得到展开式中的有理项， 1434r -∈Z 2r =6当时，，当时，，所以展开式中所有的有理项为，2r =23214T x =6r =17764T x -=23214T x =. 17764T x -=19．甲、乙、丙、丁4位志愿者被安排到，，三所山区学校参加支教活动，要求每所学校至A B C 少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教.(1)不同的安排方法共有多少种？(2)求甲乙志愿者被同时安排到同一个学校的概率.(3)求在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两位志愿者的概率.A A 【答案】(1)36(2) 16(3)12【分析】（1）先把甲、乙、丙、丁 4人被分成2,1,1三组，再进行全排列即可；（2）甲乙志愿者被同时安排到同一个学校共有办法，再除以安排方法的总数可得概率； 1232C A （3）先求出甲志愿者被安排到学校支教的方法数，在其中找到学校有两位志愿者的方法数，A A 求其概率即可.【详解】（1）先把甲、乙、丙、丁 4人被分成2,1,1三组，先选2人为一组，其余2人各自一组，则有种办法，再进行3个的全排列即可， 根据分步乘法计数原理24C 则共有种方法. 2343C A 36=（2）甲乙志愿者被同时安排到同一个学校，共有种方法，其余两人有种方法，13C 22A 则以上共有种办法， 1232C A 6=由（1）知甲、乙、丙、丁4位志愿者被安排到，，三所山区学校参加支教总共有36种方A B C 法.则所求概率为. 1232C A 1366=（3）甲志愿者被安排到学校支教，若学校只有一个人，则需要把剩余3人分成两组，两组人A A 员再分配到两所学校，则有种安排方法；2232C A 6=若学校有两个人，则需要从剩余3人选出1人去学校，另外2人去剩余的两所学校，共有A A 种安排方法.1232C A 6=甲志愿者被安排到学校支教的方法数，A 6612+=在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两位志愿者的概率为. A A 61=12220．已知函数， ()1ln x f x x +=(1)设，若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； 0a >1,3a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭a (2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 1x ≥()21k k f x x +≥+k 【答案】(1) 213a <<(2)21k -≤≤【分析】（1）利用导数求得函数的极值点，根据题意列出不等式，即得答案；（2）将，变为，由此构造函数，利用导数求出其最值，结合()21k k f x x +≥+()()211ln x x k k x ++≥+解不等式，即可求得答案.【详解】（1）∵，则，， ()1ln x f x x+=()2ln x f x x '=-0x >当时，，当时，.01x <<()0f x ¢>1x >()0f x '<∴在上单调递增，在上递减,()f x ()0,1()1,+∞∴函数在处取得极大值,()f x 1x =因为函数在区间上不单调， ()f x 1,3a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以函数在存在极值， ()f x ()1,03a a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭∴，解得. 113a a <<+213a <<（2）时，不等式，即为， 1x ≥()21k k f x x +≥+()()211ln x x k k x ++≥+记，∴， ()()()11ln x g x x x++=()2ln x x g x x -'=令，则， ()ln h x x x =-()11h x x'=-∵，∴.∴在上单调递增，1x ≥()0h x '≥()h x [)1,+∞∴，，∴在上递增，()()110h x h ≥=>()0g x '>()g x [)1,+∞所以在上的最小值为,()g x [)1,+∞()12g =∴，解得.22k k +≤21k -≤≤【点睛】方法点睛：证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 21．某生态旅游景区升级改造，有一块半圆形土地打算种植花草供人游玩欣赏，如图所示，其中长为，，两点在半圆弧上，满足，设为圆心，.若在和AB 2km C D BC CD =O COB θ∠=AOD △内种满向日葵，在扇形内种满薰衣草，已知向日葵利润是每平方千米元，薰衣草的BOC A COD 2a 利润是每平方千米元. a(1)试用表示总利润；θW (2)试确定的值，使得总利润最大？θ【答案】(1)， 1(2sin 2sin 2)2W a θθθ=++π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(2) π3θ=【分析】（1）由已知可求得，.进而根据三角形以及扇形的面积COD COB θ∠=∠=π2DOA θ∠=-公式，即可得出答案；（2）令，根据导函数得出函数的单调性，进而求出函数的极值以及最()2sin 2sin 2f θθθθ=++值，即可得出答案.【详解】（1）由已知，所以，所以，所以. BC CD =COD COB θ∠=∠=π2DOA θ∠=-π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭又扇形的半径， 112r AB ==所以，，，， 211sin sin 22BOC S r θθ==A 211sin(π2)sin 222AOD S r θθ=-=△21122COD S r θθ==扇形所以总利润，. 11112sin sin 2(2sin 2sin 2)2222W a a a θθθθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）令，()2sin 2sin 2f θθθθ=++所以()2cos 4cos 21f θθθ'=++()242cos 12cos 1θθ=⨯-++，28cos 2cos 3(4cos 3)(2cos 1)θθθθ=+-=+-因为，所以， π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0θ>所以由得，，所以. ()0f θ'=1cos 2θ=π3θ=当时，，所以在上单调递增； π03θ<<()(4cos 3)(2cos 1)0f θθθ'=+->()f θπ0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，所以在上单调递减. ππ32θ<<()(4cos 3)(2cos 1)0f θθθ'=+-<()f θππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，在处取得极大值，也是最大值. ()f θπ3θ=ππ2πππ2sin 2sin 33333f ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭所以，当时，总利润最大，最大值为. π3θ=1ππ236W af a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭22．已知函数. ()21ln 22f x m x x x =+-(1)若函数在定义域内单调递增，求实数的范围；()f x m (2)若实数，求的单调递增区间；1m <()f x (3)若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围.()f x ()1212,x x x x <()120f x ax -≥a 【答案】(1)m 1≥(2)答案见解析(3) 3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】（1）根据函数在定义域内单调递增，则其导数在恒成立，解不()f x ()0f x '≥()0,x ∈+∞等式可得答案.（2）求出的根，讨论m 的取值范围，结合不等式的解集，即可求得答案.()0f x '=（3）由题意可得，进而参变分离，构造函数，将不等式恒成立问题转化为函数的单()112m x x =-调性或最值问题，利用导数即可求解.【详解】（1）的定义域为，求导得， ()f x ()0,∞+22()2m x x m f x x x x '-+=+-=函数在定义域内单调递增，故在恒成立，()f x ()0f x '≥()0,x ∈+∞所以恒成立，则，即.220x x m -+≥440m -≤m 1≥（2）令，得，，()0f x '=220x x m -+=()4441m m ∆=-=-若时，，方程的两根为1m <0∆>220x x m -+=11x =21x =当时，，，则时，，故在单调递增； 0m ≤10x <20x >()2,x x ∈+∞()0f x ¢>()f x ()2,x +∞当时，，则或时，，01m <<120x x <<()10,x x ∈()2,x x ∈+∞()0f x ¢>故在和上单调递增，()f x ()10,x ()2,x +∞综上，当时，的单调递增区间为；0m ≤()f x ()1++∞当时，的单调递增区间为，.01m <<()f x (0,1()1+∞（3）由上可知有两个极值点时，等价于方程有两个不等正根， ()f x ()1212,x x x x <220x x m -+=∴，∴，，， ()1212Δ41020m x x x x m ⎧=->⎪+=⎨⎪=>⎩()112m x x =-101x <<212x <<此时不等式恒成立，()120f x ax -≥等价于对恒成立， ()()211111112l 2202n x x x x x x a -+---≥()10,1x ∈可化为恒成立， ()2111111111112ln 2122ln 1222x x x x x a x x x x x -+-≤=+----令，， 12()ln 122g x x x x x=+---(0,1)x ∈则， 2221212(4)()1ln ln ln 2(2)2(2)2(2)x x g x x x x x x x '-=+--=+-=+---∵，∴，，∴在恒成立，()0,1x ∈ln 0x <()40x x -<()0g x '<()0,1∴在上单调递减，()g x ()0,1∴， 123()(1)0112212g x g >=+-⨯-=--∴，故实数的取值范围是. 32a ≤-a 3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题，一般方法是分离参数，然后构造函数，转化为函数的最值问题解决，另外有时当参变量不好分离时也可以尝试变形进而构造恰当的函数，利用导数求解函数单调性或最值加以解决.。
2022-2023学年广西师范大学附属中学高二上学期11月期中考试数学试题(解析版)
2022-2023学年广西师范大学附属中学高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知、、，若，则的坐标是（ ）()3,4,5A ()0,2,1B ()0,0,0O 25OC AB =C A ． B ．648,,555⎛⎫--- ⎪⎝⎭648,,555⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．D ．648,,555⎛⎫-- ⎪⎝⎭648,,555⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】设点的坐标为，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可C (),,x y z x y z 得出点的坐标.C 【详解】设点坐标为，则， C (),,x y z (),,OC x y z =又，，()3,2,4AB =---2648,,5555OC AB ⎛⎫==--- ⎪⎝⎭所以，，，，则点的坐标为.65x =-45y =-85z =-C 648,,555⎛⎫--- ⎪⎝⎭故选：A.2．从甲地出发前往乙地，一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择．某人某天要从甲地出发，去乙地旅游，则所有不同走法的种数是（ ） A ．16 B ．15C ．12D ．8【答案】D【分析】根据分类加法计数原理即得.【详解】根据分类加法计数原理，可知共有4＋3＋1＝8种不同的走法． 故选：D.3．若点P 到点的距离比它到直线的距离大1，则点P 的轨迹方程为（ ） (0,2)1y =-A ． B ．C ．D ．24y x =24x y =28y x =28x y =【答案】D【分析】将点到点的距离比它到直线的距离大1转化为点到点的距离等于它到P (0,2)1y =-P (0,2)直线的距离，根据抛物线的定义，即可求得点的轨迹为抛物线，进而可求出点的轨迹方=2y -P P 程．【详解】∵点到点的距离比它到直线的距离大1，P (0,2)1y =-∴点到点的距离等于它到直线的距离，P (0,2)=2y -∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程是. P ()0,2=2y -P 28x y =故选：D.4．直线与圆的位置关系是（ ） 0()ax y a a +-=∈R 22(2)4x y -+=A ．相离 B ．相交C ．相切D ．无法确定【答案】B【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可. 【详解】由， 0(1)ax y a y a x +-=⇒=--所以直线恒过定点，0ax y a +-=()1,0因为，所以点在圆的内部，所以直线与圆22(12)04-+<()1,022(2)4x y -+=0ax y a +-=相交. 22(2)4x y -+=故选：B5．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，，为的A BCD -DA DB DC 3DB DC ==4=ADE BC 中点，则等于（ ）AE BC ⋅A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】D【分析】以为基底向量，利用向量的三角形法则将用基底向量表示，根据向{},,DA DB DC ,AE BC量数量积的运算律结合垂直和长度关系即可得到结果．【详解】以为基底向量，则， {},,DA DB DC 0DA DB DA DC DB DC ⋅=⋅=⋅= ∵，()()()1112,222AE AB AC DB DA DC DA DB DA DC BC DC DB =+=-+-=-+=-则()()122AE BC DB DA DC DC DB⋅=-+⋅- ， 2222111111222222DB DC DB DA DC DA DB DC DC DB DC DB =⋅--⋅+⋅+-⋅=-又∵，即，DB DC =22DC DB =∴．0AE BC ⋅=故选：D ．6．已知则“”是“”的（ ）条件. ()12:120,:240,l x m y l mx y ++-=++=1m =12l l //A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要【答案】C【分析】根据两直线平行，得到关于的方程，求出的值，再根据充分条件、必要条件的定义判m m 断可得；【详解】解：因为若，则，解得()12:120,:240,l x m y l mx y ++-=++=12l l //11224m m +-=≠2m =-或，当时，直线与直线重合，所以，若时1m =2m =-11224m m +-==1l 2l 1m =1m =11224m m +-=≠，所以“”是“”的充要条件； 1m =12l l //故选：C7．已知双曲线的左焦点为，右顶点为，直线与双曲线的一条渐近线22221(0,0)x y a b a b-=>>F A x a =的交点为．若，则双曲线的离心率为 B 30BFA ∠=︒A B C ．2D ．3【答案】C【解析】先求解B 的坐标，再由. ||tan ||AB BFA FA ∠==【详解】由题意可得A （a ，0），双曲线的渐近线方程为：ay ±bx ＝0，不妨设B 点为直线x ＝a 与的交点，则B 点的坐标（a ，b ）， by x a=因为AB ⊥FA ，∠BFA ＝30°，所以e ＝2． ||tan ||AB b BFA FA a c ∠====+故选C ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．8．定义：若点在椭圆上，则以 为切点的切线方程为：()00,P x y ()222210x y a b a b+=>>P .已知椭圆 ，点为直线上一个动点，过点作椭圆的00221x x y y a b +=22:132x y C +=M 260x y --=M C 两条切线 ，，切点分别为，，则直线恒过定点（ ）MA MB A B ABA ．B ．C ．D ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设，，，即可表示出的方程，又在上，即可得到()26,M t t +()11,A x y ()22,B x y MA M MA ，即可得到直线的方程，从而求出直线过的定点； ()1126132x t y t++=AB AB 【详解】解：因为点在直线上，设，，，所以的M 260x y --=()26,M t t +()11,A x y ()22,B x y MA 方程为，又在上，所以①，同理可得②； 11132x x y y+=M MA ()1126132x t y t ++=()2226132x t y t ++=由①②可得的方程为，即，即，所AB ()26132x t yt++=()22636x t yt ++=()()431260x y t x ++-=以，解得，故直线恒过定点4301260x y x +=⎧⎨-=⎩1223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：C二、多选题9．在四棱维中，已知⊥底面，底面为正方形，则下列命题中正确的P ABCD -PA ABCD ABCD （ ）A ．平面B ．平面BD ⊥PAC BC ⊥PAD C ．为直线的方向向量 D ．直线的方向向量一定是平面的法向量CDAB BC PAB 【答案】ACD【分析】由条件，根据线面垂直判定定理判断A ，B ，根据方向向量和法向量的定义判断C ，D. 【详解】因为⊥平面，平面，所以，PA ABCD BD ⊂ABCD PA BD ⊥因为四边形是正方形，所以，又，平面，所以平ABCD AC BD ⊥AC PA A ⋂=,AC PA ⊂PAC BD ⊥面，A 正确；PAC 因为，平面，平面，所以平面，B 错误；//BC AD AD ⊂PAD BC ⊄PAD //BC PAD 因为，所以为直线的方向向量，C 正确； //CD AB CDAB 因为⊥平面，平面，所以，PA ABCD BC ⊂ABCD PA BC ⊥因为四边形是正方形，所以，又，平面，所以平ABCD AB BC ⊥AB PA A = ,AB PA ⊂PAB BC ⊥面，所以直线的方向向量一定是平面的法向量，D 正确； PAB BC PAB 故选：ACD.10．下列命题正确的是（ ）A ．已知，则向量在方向上的投影向量的长度为4 ()()3,4,0,1a b == a bB ．若向量的夹角为钝角，则 ,a b 0a b ⋅<C ．若向量满足，则或,a b 0a b ⋅= 0a = 0b =D ．设是同一平面内两个不共线的向量，若，则可作为该平面的一个21,e e 12122,a e e b e e =+=- ,a b基底【答案】ABD【分析】由投影向量的长度公式计算向量在方向上的投影向量的长度，判断A ，根据数量积的a b性质判断B ，C ，根据基底的定义判断D.【详解】对于选项A ，因为，所以向量在方向上的投影向量的长度为()()3,4,0,1a b == a b ，A 正确；4cos ,41a b a a b b⋅===对于选项B ，因为向量的夹角为钝角，所以，所以 ,a bcos ,0a b < ，B 正确；cos ,0a b a b a b ⋅=⋅<对于选项C ，当时，，但且，C 错误；()()3,0,0,1a b == 0a b ⋅=0a ≠ 0b ≠r r 对于选项D ，假设共线，则，又，所以，因为,a b a b λ=12122,a e e b e e =+=- 12122e e e e λλ+=- 不共线，所以，方程组无解，故假设错误，即不共线，所以可作为该平面的一21,e e 21λλ=⎧⎨=-⎩,a b ,a b 个基底，D 正确； 故选：ABD.11．已知抛物线C ：，过焦点F 的直线交抛物线C 于两点，直线214y x =()()1122,,,A x y B x y AO ，分别于直线m ：相交于两点则下列说法正确的是（ ）BO =2y -,M N .A ．焦点F 的坐标为 ()0,2B ．121y y =C ．的最小值为4FA FB ⋅ D ．与的面积之比为定值 AOB MON △【答案】BCD【分析】A 选项，根据抛物线方程直接求出焦点坐标即可；B 选项设出直线，联立抛物线，根据韦达定理得到；C 选项，根据抛物线的性质得到，进而求出的121y y =121,1FA y FB y =+=+ FA FB ⋅最小值；D 选项，利用三角形面积公式及线段比值求出面积比为定值. 【详解】由题意知抛物线方程为，其焦点坐标为，故A 错误； 24x y =()0,1显然直线AB 的斜率存在，设斜率为k ，则直线AB 的方程为，1y kx =+联立，消去x 得到，214y kx x y=+⎧⎨=⎩()222410y k y -++=，，，故B 正确；4216160k k ∆=+ (2)1224y y k +=+121y y =由抛物线性质知， 121,1FA y FB y =+=+ 则， ()()()2121212111444FA FB y y y y y y k ⋅=++=+++=+ …当且仅当时，取得最小值为4，故 C 正确；0k =FA FB ⋅显然，（定AOB MON ∠=∠12121||||sin ||||121||||2244||||sin 2AOB MONOA OB AOBS y y y y OA OB S OM ON OM ON MON ∆∆⋅⋅⋅∠⋅===⋅==⋅⋅⋅⋅∠值），故D 正确． 故选：BCD ．12的椭圆为“黄金椭圆”如图，已知椭圆分别为左、右顶点，分别为上、下顶点，分别为左、右()22122210x y C a b A A a b +=>>：，，12,B B 12,F F 焦点，为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）P CA ．B ．2112212A F A F F F ⋅=11290F B A ∠=︒C ．轴 D ．四边形的内切圆过左右两个焦点1PF x ⊥1221A B A B 【答案】BD【分析】结合椭圆的定义、几何性质等知识对选项的条件逐一分析，求出相应的离心率，结合“黄金椭圆”的定义判断.【详解】由椭圆，2222:1(0)x y C a b a b+=>>可得，，12(,0),(,0)A a A a -12(0,),(0,)B b B b -12(,0),(,0),F c F c -对于A ，，即，化简得，即， 2112212A F F A F F ⋅=22()(2)a c c -=2a c c -=13c e a ==不符合题意，故A 错误；对于B ，，则，即，11290F B A ︒∠=222211112||||||A F B F B A =+2222()()a c a a b +=++化简得，即有， 220c ac a +-=210e e +-=解得（，符合题意，故B 正确；e =e =对于C ，因为轴， 由，解得， 1PF x ⊥()22221Pc y a b-+=2P b y a =±无法确定椭圆的离心率，不符合题意，故C 错误；对于D ，四边形的内切圆过焦点，，即四边形的内切圆的半径为c ，1221A B A B 1F 2F 1221A B A B则，可得 1122ab =222b a c =-()()2222222a a c c a c -=-即，又，所以 即D 正确. 42310e e -+=01e <<2e =e =故选：BD.三、填空题13．学校食堂在某天中午备有种素菜，种荤菜，种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可532以配制出不同的套餐______种． 【答案】30【分析】利用分步计数原理求解即可【详解】要配成一荤一素一汤的套餐，需要分三个步骤完成： 第一步：从5种素菜中任选1种有5种选法， 第二步：从3种荤菜中任选1种有3种选法， 第三步：从2种汤中任选1种有2种选法， 根据分步计数原理，一共可以配制出 种不同的套餐，53230⨯⨯=故答案为：3014．已知F 为双曲线的左焦点，P ，Q 为双曲线C 同一支上的两点．若PQ 的长等于22:149x y C -=虚轴长的2倍，点在线段PQ 上，则的周长为________． A PQF △【答案】32【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值“解2a 决．求出周长即可．【详解】解：根据题意，双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右22:149x y C -=(F A 焦点，虚轴长为：6； 双曲线图象如图：① ||||24PF AP a -== ②||||24QF QA a -==而， ||12PQ =①＋②得：，||||||8PF QF PQ +-=∴周长为． ||||||82||32PF QF PQ PQ ++=+=故答案为32．【点睛】本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题．15．斜率为的直线与椭圆（）相交于，两点，线段的中点坐13-l 2222:1x y C a b+=0a b >>A B AB 标为，则椭圆的离心率等于______. ()1,1C【分析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出椭圆的离心率．()1,1AB 13-C 【详解】解：设，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 则①，②， 2211221x y a b +=2222221x y a b+=是线段的中点，()1,1 AB ，， ∴121()12x x +=121()12y y +=直线的方程是，AB 1(1)13y x =--+，12121()3y y x x ∴-=--①②两式相减可得：， 222212122211()()0x x y y a b-+-=， ∴121212122211()()()()0x x x x y y y y a b -++-+=， 121222112()2()0x x y y a b∴⨯-+⨯-=， ∴2213b a =， 222213b e a ∴=-=e ∴=. 16．正方体棱长为2，E 是棱的中点，F 是四边形内一点（包含边1111ABCD A B C D -AB 11AA D D 界），且，当直线与平面所成的角最大时，三棱锥的体积为1FE FD ⋅=EF ABCD 1F AEB -__________．【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，设，利用数量积的坐标运算表示出(0,,)F m n ,m n 的关系，进而表示出直线与平面所成的角的正切值，求得其取最大值时m 的值，即可求EF ABCD 得三棱锥的体积.1F AEB -【详解】如图，以A 为坐标原点，所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，1,,AB AD AA则，设，(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0)A E D (0,,),[0,2],[0,2]F m n m n ∈∈则，22(1,,)(0,2,)21FD m n m n m m n FE ⋅=--⋅--=-+=设与平面所成的角为，在平面内作,垂足为P, EF ABCD θ11AA D D FP AD ⊥由于正方体中，平面平面， 1111ABCD A B C D -11AA D D ⊥ABCD 平面平面，平面,11AA D D ⋂ABCD AD =FP ⊂11AA D D 则平面 ，连接,则 ,，FP ⊥ABCD EP π,[0,2FEP θθ∠=∈,FP n EP==所以tanθ====令1,tan t mθ=+∴==由于，当且仅当 222t t-+≥t =即时，最大，此时与平面所成的角最大， 1m =ta nθ=EF ABCD 此时三棱锥的体积为1F AEB -11111)12332AEB m S ⋅=⨯⨯⨯=△ 【点睛】本题考查了三棱锥体积的求解，涉及到空间向量的应用，以及线面角的求法，和均值不等式的应用，综合性较强，解答时要能熟练应用相关知识.四、解答题17．根据下列条件求椭圆的标准方程：(1)焦点坐标为，过点； ()12,0F 5322P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)经过两点． ()2,1A B ⎛- ⎝，【答案】(1)221106x y +=(2)22182x y +=【分析】(1)由条件求出左焦点坐标，结合椭圆的定义求，再由关系求即可；a ,,abc b (2)设椭圆方程为，由条件求即可.()2210,0,mx ny m n m n +=>>≠,m n 【详解】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，a b因为焦点的坐标为，所以另一个焦点为，且，1F ()2,0()22,0F -224a b -=又椭圆过点，所以， 5322P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，122a PF PF =+所以2a =所以，故，所以椭圆的标准方程为；a =b 221106x y +=（2）设椭圆方程为，因为椭圆经过两点，()2210,0,mx ny mn m n +=>>≠()2,1A B ⎛- ⎝，所以，解得， 413212m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩1812m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以椭圆的标准方程为.22182x y +=18．如图，在四棱锥中，，，底面为矩形.P ABCD -PA BC ⊥PA BD ⊥ABCD(1)证明：平面平面；PAB ⊥PAD (2)若，与所成角的大小. 1==PA AB AD =AB PC 【答案】(1)证明见解析 (2)60°.【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质的得到平面，根据面面垂直的判定证出平面AB ⊥PAD 平面；PAB ⊥PAD （2）因为，所以异面直线与所成的角即（或其补角），利用已知条件//AB CD AB PC PCD ∠，则，求出各边长度即可求解. CD PD ⊥tan PDPCD CD∠=【详解】（1）证明：因为，， PA BC ⊥PA BD ⊥且，平面， BC BD B = ,BC BD ⊂ABCD 所以平面，PA ⊥ABCD因为平面，所以， AB ⊂ABCD PA AB ⊥又底面为矩形，所以， ABCD AD AB ⊥因为，平面， PA AD A ⋂=,PA AD ⊂PAD 所以平面， AB ⊥PAD 又平面， AB ⊂PAB 所以平面平面.PAB ⊥PAD （2）因为，所以异面直线与所成的角即（或其补角）. //AB CD AB PC PCD ∠由（1）知，平面，因为，所以平面， AB ⊥PAD //AB CD CD ⊥PAD 因为平面，所以，从而， PD ⊂PAD CD PD ⊥tan PDPCD CD∠=因为平面，所以，所以. PA ⊥ABCD PA AD ⊥PD ==故与所成的角为60°.tan PCD ∠=AB PC 19．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知P 射线，为两边夹角为的公路(长度均超过3千米)，在两条公路，上分别设立游AB AC 120︒AB AC客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得M N P M N PM PN AM =.AN =（1）求线段的长度；MN （2）若，求两条观光线路与之和的最大值. 60MPN ∠=︒PM PN 【答案】（1）3千米；（2）最大值为6千米．【分析】（1）用余弦定理，即可求出；AM AN =0120MAN ∠=MN（2）设，，用正弦定理求出，PMN α∠=120PNM α∠=︒-()120PM α=︒-PN α=，展开，结合辅助角公式可化为，由的取()120PM PN αα+=︒-+()6sin 30α+︒α值范围，即可求解．【详解】解：（1）在中，由余弦定理得，AMN ∆，，22212cos12033292MN AM AN AM AN ⎛⎫=+-⋅︒=+--= ⎪⎝⎭3MN =所以线段的长度为3千米；MN （2）设，因为，所以， PMN α∠=60MPN ∠=︒120PNM α∠=︒-在中，由正弦定理得，PMN ∆()3sin sin 120sin sin 60MN PM PN MPN αα====∠︒-︒所以，， ()120PM α=︒-PN α=因此()120PM PN αα+=︒-+1sin 2ααα⎫=++⎪⎪⎭，()3cos 6sin 30ααα=+=+︒因为，所以.0120α︒<<︒3030150α︒<+︒<︒所以当，即时，取到最大值6. 3090α+︒=︒60α=︒PM PN +所以两条观光线路与之和的最大值为6千米． PM PN 【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 20．已知直线，点 22l x y +=：()()2,00,1A B --，(1)求线段的中垂线与直线的交点坐标； AB l (2)若点在直线上运动求的最小值．P l PA PB +【答案】(1)111,510⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】(1)先由点斜式求线段的中垂线方程，联立方程组求其与直线的交点坐标； AB l (2)求点关于直线的对称点的坐标，再求的长度即可.A l A 'AB '【详解】（1）因为，所以的中点坐标为，()()2,00,1A B --，AB 11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭直线的方程为，所以线段的中垂线的斜率为2，AB 112y x =--AB 则线段的中垂线方程为，化简得，AB ()1212y x +=+322y x =+联立，解得，32222y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩151110x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以线段的中垂线与直线的交点坐标为；AB l 111,510⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）设A 点关于直线对称的点为，22l x y +=：(),A x y '则的中点坐标为，因为点在直线上，故： AA '2,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭22l x y +=：①，又直线的斜率为2，故：②， 222x y -+=AA '22yx =+联立①②解得：，因为，216,55A ⎛⎫- ⎪⎝⎭'PA PBPA PB A B ''+=+≥所以的最小值为PA PB +A B '=21．图是直角梯形，，，，，，，以1ABCD //AB CD 90D ∠= 2AB =3DC=AD =2CE ED =为折痕将折起，使点到达的位置，且.BE BCE C 1C 1AC =2(1)求证：平面平面；1BC E ⊥ABED (2)在棱上是否存在点，使得到平面的1DC P 1C PBE P BE A --大小；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）根据长度关系可证得为等边三角形，取中点，由等腰三角形三线1,C BE ABE BE G 合一和勾股定理可证得、，由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论；1C G BE ⊥1C G AG ⊥（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设存在且，由共线向G (),,P x y z ()101DP DC λλ=≤≤量可表示出点坐标，利用点到面的距离的向量求法可求得，进而由二面角的向量求法求得结果. P λ【详解】（1）在图中取中点，连接，，1CE F BF AE，，，，，2CE ED =3CD =2AB =1CF ∴=1EF =，，，四边形为矩形，，2DF AB == //DF AB 90D ∠= ∴ABFD BF CD ∴⊥，又，为等边三角形；2BE BC ∴===2CE =BCE ∴△又，为等边三角形； 2AE ==ABE ∴ 在图中，取中点，连接，2BE G 1,AG C G为等边三角形，，，1,C BE ABE 1C G BE ∴⊥AG BE ⊥，， 1C G AG ∴==1AC =22211AG C G AC ∴+=1C G AG ∴⊥又，平面，平面，AG BE G = ,AG BE ⊂ABED 1C G ∴⊥ABED 平面，平面平面.1C G ⊂ 1BC E ∴1BC E ⊥ABED （2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， G 1,,GA GB GC,,x y z则，，，，，()0,1,0B ()0,1,0E-)A(1C 3,02D ⎫-⎪⎪⎭，，，132DC ⎛∴= ⎝ ()0,2,0EB =(1EC = 设棱上存在点且满足题意，1DC (),,P x y z ()101DP DC λλ=≤≤即，解得：，即，3322x y z λ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩3322x y z λ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩33,22P λ⎫-⎪⎪⎭则，31,22EP λ⎫=+⎪⎪⎭设平面的法向量，PBE (),,n a b c =则，令，则， 3102220EP n a b c EB n b λ⎧⎫⎛⎫⋅=++=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎭⎪⋅==⎩ 2a =01b c λλ=⎧⎪-⎨=⎪⎩，12,0,n λλ-⎛⎫∴= ⎪⎝⎭到平面的距离为，解得：， 1C ∴PBE d 13λ=，()2,0,2n ∴=又平面的一个法向量， ABE ()0,0,1m =cos ,m n m n m n ⋅∴<>===⋅又二面角为锐二面角，二面角的大小为.P BE A --∴P BE A --4π22．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，且经过点xOy C 22221(0,0)x y a b ab -=>>()3,0．()(1)求双曲线的标准方程；C (2)已知，是双曲线上关于原点对称的两点，垂直于的直线与双曲线有且仅有一个公A B C AB l C 共点．当点位于第一象限，且被轴分割为面积比为的两部分时，求直线的方P P PAB x 3:2AB 程．【答案】(1)；22163x y -=(2). y =【分析】（1）由题意可得，解方程组即可求出结果；22229811a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩（2）分别将直线以及直线的方程与双曲线联立，表示出点与点的坐标，然后根据题意得AB l B P 到关于的方程组，解方程组即可求出结果.,k m 【详解】（1）因为的右焦点为，且经过点，22221(0,0)x y a ba b-=>>()3,0()所以，解得．22229811a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩2263a b ⎧=⎨=⎩故双曲线的标准方程为．C 22163x y -=（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为．AB AB y kx =联立消去，得．22163x x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩y ()221260k x --=由得且， 21200k k ⎧->⎨≠⎩k -<<0k ≠解得．22612x k =-因为与垂直，所以设的方程为． l AB l 1y x m k=-+联立消去，化简得．221631x y y x m k ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩y ()()222224230k x kmx k m -+-+=由且，得．k -<<0k ≠220k -≠因为与双曲线有且仅有一个公共点，l 所以，即，Δ0=()()22222168320k m k m k ++-=化简得，且点． ()22232k m k =-2222,22km mk P k k ⎛⎫- ⎪--⎝⎭因为点位于第一象限，所以，． P 0m<0k <<不妨设，分别位于双曲线的左、右两支上，记与轴的交点为． A B BP x M 因为被轴分割为面积比为的两部分，且与面积相等， PAB x 3:2PAO PBO 所以与的面积比为，由此可得．POM BOM 1:44PB y y =-因此，即． 2242mk k ⨯=--()22222616122m k kk ⨯=--又因为，所以，解得． ()22232k m k =-223616212k k ⨯=--225k =因为，所以0k <<k =故直线的方程为． AB y =【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ-=≠，再由条件求出λ的值即可.。
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2010-2011高等数学C （二）期中考试试卷（答案）
姓名 学号 班级 成绩
注：该试卷中含有微分方程的题目，不属于本次期中考试内容。
一、选择填空题（每空3分，共36分）
1、300ln(1)lim sin x x t dt t x x
→+-⎰= 2 ； 解：上式=22/lim cos 1)1ln(lim 22
030==-+→→x x x
x x x x 等价无穷小代换 2、曲线1y x =与直线,2y x y ==所围的平面图形的面积为2ln 2
3- 解：积分区域⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≤≤y x y y D 121:，所以所求面积=-=⎰dy y y S )1(212ln 23- 3、1
21sin x xdx -⎰= 0 ；
解：奇函数在对称区间上的定积分为零 4、已知函数()f x 可导，(1)2f =，
10()5f x dx =⎰，则10()xf x dx '⎰=3- 解：根据分部积分：1
0()xf x dx '⎰352)()()(1
01010-=-=-==⎰⎰dx x f x xf x xdf 5、已知22123,,x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e --=+=+=+-是某二阶线性非齐次微分方程的
三个解，则该方程的通解为 ， 该微分方程对应的二阶线性齐次微分方程为 。
6、方程2
2
14y x +=所表示的曲面类型是 椭圆柱面 ； 7、设22(,)f u v u v v u +-=-，则(,)f x y =xy -
8、二重极限22(,)(0,0)lim
x y xy x y →+ 不存在 ；
解：由于222200
1lim k
k x k x kx x kx y x +=+⨯→=→，与k 有关，所以极限不存在 9、函数(,)z f x y =在点(,)P x y 偏导数存在是函数在该点连续的 D ；
A 充分非必要条件
B 必要非充分条件
C 充要条件
D 无关条件
10、二元函数sin ,0,R (,)20,
0R xy x y f x y x x y ⎧≠∈⎪=⎨⎪=∈⎩，，则(0,3)x f = 不存在
解：(0,3)x f =∞=∆-∆∆=∆-∆→∆→∆x
x x x f x f x x 023sin lim )3,0()3,(lim 00 11、设函数2x z y =，则全微分dz =dy xy ydx y
x x 1222ln 2-+ 解：dy xy ydx y dz x x 1222ln 2-+=
二、计算题（共52分）
1、(6分)
计算0
-⎰ 解：被积函数在积分区域上连续
所以0
-⎰2ln 32332124-=-=⎰=+dt t t t x 2、(6分)计算222||2x x dx x -++⎰
解：利用定积分的奇偶性
2
22||2x x dx x -++⎰3ln )2ln(222202202222=+=+=+=⎰⎰-x dx x x dx x x 3、(6分)计算401x dx x
+∞
+⎰ 解：
401x dx x +∞+⎰4arctan 2
1)(121020222π==+=∞
+∞+⎰x x dx 4、(6分)计算
1sin(ln )e x dx ⎰ 解：1sin(ln )e
x dx ⎰⎰⎰-===1
01010ln cos )sin (sin tdt e t e de t t t t t x ⎰⎰--=-=1
01010sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t
所以
1sin(ln )e x dx ⎰)11cos 1sin (2
1+-=e e 5、(6分)求微分方程12sin ,()xy y x y ππ'+==
的特解
6、(6分)求微分方程ln 0dy x y y dx
-=的通解。
7、(8分)设(ln ,),z f x xy =其中(,)f u v 具有两阶连续偏导数，求2z x y
∂∂∂ 解：y f x f z x ⨯'+⨯
'=211 )0()0(1222121211x f f y f x f f x
z xy ⨯''+⨯''+'+⨯''+⨯''= 22212
f yx f f ''+'+''= 8、(8分)设三元方程z x xyz e +=确定两元隐函数(,)z z x y =，求,z z x y
∂∂∂∂ 解：令x z e
xyz z y x F +-=),,(， x z z y x z x e xy F xz F e yz F ++-==-=,,
所以：x z y x z x z z x x e
xy xz z e xy e yz F F z +++-=---=-=, 三、（共8分）当a 取何值时，曲线2y x =与直线,1x a x a ==+及x 轴所围平面图形面积最小；并求上述面积最小的平面图形绕y 轴旋转所得旋转体体积。
解：])1[(3
1)(331
2a a dx x a S a a -+==⎰+ 2
10])1[()(22-=⇒=-+='a a a a S 方法一：32
)(41)21(24/102πππ=-⨯=⎰dy y V 方法二：3222
/102ππ=⨯=⎰dx x x V
四、设()f x 可导，且20()2x
x t f x f dt e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
⎰，求()f x 。
（4分） 解：等式两边对x 求导：x e x f x f +=')(2)(，再解此微分方程。